Rachunek Prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Projekt - Czas dojazdu autobusem Opracowanie: Klaudia Karpińska

Transkrypt

1 Zadanie Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Projekt - Czas dojazdu autobusem Opracowanie: Klaudia Karpińska Z pracy do domu możemy dojechać autobusem jednej z trzech linii: 333, lub 999. Czas dojazdu autobusem do domu wynosi odpowiednio, oraz 8 minut. Autobusy danej linii z przystanku odjeżdżają co piętnaście minut, przy czym autobusy linii odjeżdżają o cztery minuty później niż 333, zaś autobusy linii 999 o sześć minut później niż. Przyjmując, że przychodzimy na przystanek autobusowy w losowym momencie, wyznaczyć rozkład czasu dojazdu do domu, średni czas dojazdu i jego odchylenie standardowe. Podać rozwiązanie zarówno bez, jak i z uwzględnieniem czasu oczekiwania na przystanku. Rozwiązanie: Niech T oznacza moment przyjścia na przystanek liczony w minutach od chwili odjazdu ostatniego autobusu nr 333. Z treści zadania T U(, ], czyli oraz, gdy t, t F T (t) =, gdy < t,, gdy t >. f T (t) = {, gdy < t,, poza tym. Gdy < T, to na przystanku będziemy czekać T minut, a jechać do domu autobusem. Gdy < T, to do domu dostaniemy się autobusem 999 po oczekiwaniu T minut, a gdy < T odjeżdżać będziemy po T minutach autobusem 333. (a) Przypadek bez uwzględnienia czasu oczekiwania na autobus : Oznaczmy przez T czas dojazdu do domu (tylko jazda autobusem). Mamy (czas dojazdu autobusem ), gdy < T, T = 8 (czas dojazdu autobusem 999), gdy < T, (czas dojazdu autobusem 333), gdy < T. Widzimy, że T przyjmuje trzy wartości x =, x =, x 3 = 8 z prawdopodobieństwami: p = P (T = ) = P ( < T ) =, p = P (T = ) = P ( < T ) =, p 3 = P (T = 8) = P ( < T ) =. Podsumowując, T ma rozkład dyskretny podany w tabeli: T n 3 x n 8 p n

2 Aby otrzymać średni czas dojazdu do domu, należy wyliczyć wartość oczekiwaną (średnią) zmiennej losowej T. I sposób (bezpośrednio z rozkładu zmiennej losowej T ): ET = 3 n= x n p n = =. = minut sekund. II sposób (dla T jako transformacji zmiennej losowej T z wykorzystaniem rozkładu T ): gdzie T = g(t ),, gdy x (, ], g(x) = 8, gdy x (, ],, gdy x (, ]. Rysunek : Wykres funkcji g(x). Stąd ET = Eg(T ) = g(x)f T (x)dx = dx+ 8 dx+ 7 dx = =. = minut sekund. Wniosek: Średni czas dojazdu autobusem wynosi minut sekund. Obliczamy odchylenie standardowe σ = D T, gdzie D T = ET (ET ). I sposób: II sposób: ET = Eg (T ) = Zatem 3 ET = x np n = k= g (x)f T (x)dx = dx + 8 D T = 37. (.) =. = σ σ =.. minuty 3 sekundy = 37. dx + dx = 37. Wniosek: Odchylenie standardowe czasu dojazdu autobusem wynosi około minuty 3 sekundy.

3 3 (b) Przypadek z uwzględnienieniem czasu oczekiwania na autobus : Oznaczmy przez S czas dojazdu do domu wraz z czasem oczekiwania na autobus. Mamy T +, gdy < T, S = T + 8, gdy < T, T +, gdy < T. Aby wyznaczyć rozkład zmiennej losowej S, należy znaleźć dystrybuantę F S (x) tej zmiennej losowej. Mamy F S (x) = P (S < x) = P ( T + < x i < T ) + P ( T + 8 < x i < T ) + Przyjmijmy, że : +P ( T + < x i < T ) P (x) := P ( T + < x, < T ), P (x) := P ( T + 8 < x, < T ), P (x) := P ( T + < x, < T ). Wtedy F S (x) = P (x) + P (x) + P 3 (x). Wyliczamy P (x) = P (9 T < x, < T ) = P (T > 9 x, < T ) =, gdy x, x, gdy < x 9,, gdy x > 9. P (x) = P (8 T < x, < T ) = P (T > 8 x, < T ) =, gdy x 8, x 8, gdy 8 < x,, gdy x >. P 3 (x) = P (7 T < x, < T ) = P (T > 7 x, < T ) =, gdy x, x, gdy < x 7,, gdy x > 7. Rysunek : Wykres funkcji P n (x), n =,, 3.

4 Z pomocą wykresu na rysunku. możemy łatwo wyznaczyć sumę funkcji P (x), P (x), P 3 (x) i ostatecznie otrzymać szukane F S (x):, gdy x, x, gdy < x, x + x = x 7, gdy < x 7, x F S (x) = P (S < x) = + = x, gdy 7 < x 8, x + x 8 + = x 8, gdy 8 < x 9, x = x 9, gdy 9 < x,, gdy x >. Rysunek 3: Wykresy dystrybuanty F S (x) i gęstości f S (x) zmiennej losowej S. Dystrybuanta F S (x) jest ciągła i różniczkowalna poza skończoną liczbą punktów, zatem S ma rozkład ciągły o gęstości: f S (x) =, poza tym,, x (, ] (7, 8] (9, ],, x (, 7] (8, 9]. Aby otrzymać średni czas dojazdu do domu (z uwzględnieniem czasu oczekiwania na autobus), należy wyliczyć wartość oczekiwaną (średnią) zmiennej losowej S. I sposób: (bezpośrednio z rozkładu zmiennej losowej S): ES = = 33 3 xf s (x)dx = x = 7 minut sekund dx + x 7 dx + x 8 dx + x 7 9 dx + x 8 II sposób (dla S jako transformacji zmiennej losowej T z wykorzystaniem rozkładu T ): dx + x 9 dx = gdzie S = g(t ), x = 9 x, gdy x (, ], g(x) = x + 8 = 8 x, gdy x (, ], x + = 7 x, gdy x (, ].

5 Rysunek : Wykres funkcji g(x). Otrzymujemy ES = Eg(T ) = = 33 3 g(x)f T (x)dx = = 7 minut sekund (9 x) dx + (8 x) dx + (7 x) dx = Wniosek: Średni czas dojazdu z uwzględnieniem czasu oczekiwania na autobus wynosi 7 minut sekund. Obliczamy odchylenie standardowe σ = D S, gdzie D S = ES (ES). I sposób: ES = = II sposób: x f s (x)dx = x = ES = Eg (T ) = Zatem dx + x = dx + x g (x)f T (x)dx = D S = dx + x 7 9 dx + x 8 (9 x) dx+ (8 x) dx+ ( ) 33 =.7 = σ 3 σ = minuty sekund dx + x 9 dx = (7 x) dx = 3.8 Wniosek: Odchylenie standardowe czasu dojazdu z uwzględnieniem czasu oczekiwania na autobus wynosi około 3 minuty sekund.