Elżbieta Sidorowicz. Autoreferat

Transkrypt

1 Elżbieta Sidorowicz Autoreferat 2014

2

3 Autoreferat 1 Spis treści I. Imie i nazwisko... 2 II. Dyplomy i stopnie naukowe... 2 III. Informacja o zatrudnieniu w jednostkach naukowych... 2 IV. Osiagniecie naukowe wynikajace z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.)... 3 A) Tytu l osiagniecia naukowego... 3 B) Lista publikacji sk ladaj acych sie na osiagniecie naukowe... 3 C) Omówienie wyników zawartych w publikacjach wchodzacych w sk lad osiagniecia naukowego Wstep Definicje i oznaczenia Acykliczne kolorowanie grafów Krawedziowe kolorowanie grafów R(K 1,2,K 3 ) R(K 1,2,K m ) Rozgrywane kolorowanie grafów V. Omówienie pozosta lych osiagnieć naukowych A) Lista publikacji niewchodzacych w sk lad osiagniecia naukowego B) Omówienie wyników zawartych w publikacjach niewchodzacych w sk lad osiagniecia naukowego Literatura... 32

4 Autoreferat 2 I. Imi e i nazwisko: Elżbieta Sidorowicz II. Dyplomy i stopnie naukowe 1992 magister matematyki Wyższa Szko la Pedagogiczna Promotor: prof. dr hab. Mieczys law Borowiecki Tytu l: Grafy nasycone 2000 doktor nauk Politechnika Zielonogórska matematycznych Promotor: prof. dr hab. Mieczys law Borowiecki Tytu l: Problemy ekstremalne grafów III. Informacja o zatrudnieniu w jednostkach naukowych asystent Wyższa Szko la Inżynierska w Zielonej Górze adiunkt Politechnika Zielonogórska od 2001 adiunkt Uniwersytet Zielonogórski

5 Autoreferat 3 IV. Osiagni ecie naukowe wynikajace z art. 16 ust. 2 ustawy z dnia 14 marca 2003 r. o stopniach naukowych i tytule naukowym oraz o stopniach i tytule w zakresie sztuki (Dz. U. nr 65, poz. 595 ze zm.): A) Tytu l osiagni ecia naukowego Podzia ly i uogólnione kolorowania grafów B) Lista publikacji sk ladaj aca si e na osiagni ecie naukowe (prezentacja zgodna z kolejnościa omawiania): [H1] M. Borowiecki, A. Fiedorowicz, K. Jesse-Józefczyk, E. Sidorowicz, Acyclic colourings of graphs with bounded degree, Discrete Math. Theoret. Comput. Sci. 12 (2010) [H2] M. Borowiecki, K. Jesse-Józefczyk, E. Sidorowicz, The complexity of some acyclic improper colouring, Discrete Math. 311 (2011) [H3] A. Fiedorowicz, E. Sidorowicz, Acyclic improper colouring of graphs with maximum degree 4, Sci. China Math. doi: /s [H4] M.Borowiecki,I.Schiermeyer,E.Sidorowicz,Ramsey(K 1,2,K 3 )-minimalgraphs, Electron. J. Combin. 12 (2005). [H5] M. Borowiecki, M. Ha luszczak, E. Sidorowicz, On Ramsey minimal graphs, Discrete Math. 286 (2004) [H6] M. Borowiecki, E. Sidorowicz, Generalised game colouring of graphs, Discrete Math. 307 (2007) [H7] E. Sidorowicz, The game chromatic number and the colouring number of cactuses, Inform. Process. Lett. 102 (2007) [H8] E. Sidorowicz, Colouring game and generalized colouring game on graphs with cut-vertices, Discuss. Math. Graph Theory 30 (2010) [H9] E. Sidorowicz, On the relaxed colouring game and the unilateral colouring game, Graphs Combin. doi: /s

6 Autoreferat 4 C) Omówienie wyników zawartych w publikacjach wchodzacych w sk lad osiagni ecia naukowego: 1 Wst ep Kolorowanie grafów jest jednym z bardziej znanych i intensywnie badanych problemów w teorii grafów. W literaturze zosta lo opisane wiele różnych wersji i uogólnień kolorowania grafów. Wiekszość z nich możemy opisać używajac pojecia wierzcho lkowego podzia lu grafu, tzn. podzia lu wierzcho lków danego grafu na podzbiory, zwane klasami kolorów, które spe lniaj a pewne określone wewnetrzne lub zewnetrzne warunki. Przez warunki wewnetrzne rozumiemy ograniczenia narzucone na wierzcho lki należace do danej klasy kolorów, na przyk lad możemy wymagać, aby klasy kolorów by ly zbiorami niezależnymi, indukowa ly grafy o ograniczonym maksymalnym stopniu lub grafy acykliczne itd.. Przez warunki zewnetrzne rozumiemy ograniczenia jakie powinny spe lniać zbiory krawedzi l acz acych wierzcho lki dwóch różnych klas kolorów, na przyk lad możemy wymagać, aby indukowa ly one graf acykliczny lub las gwiazd itd.. Inne znane wersje kolorowania grafów zwiazane sa z podzia lem grafu z dodatkowym ograniczeniem na sposób w jaki dokonujemy podzia lu wierzcho lków. Na przyk lad możemy rozważać: on-line podzia l, off-line podzia l czy też podzia l z niewspó lpracuj acym partnerem, czyli podzia l grafu poprzez gre. W literaturze badanych by lo wiele różnych problemów zwiazanych z kolorowaniem (podzia lem) grafu wzgledem danych regu l. Jednym z najbardziej znanych problemów jest minimalizowanie liczby klas kolorów, na które dzielimy dany graf. Problem ten zwiazany jest z wyznaczeniem liczby chromatycznej grafu i różnych jej uogólnień. Z drugiej strony, dla ustalonej liczby klas kolorów, możemy optymalizować w lasności klas kolorów, na które chcemy podzielić graf. Innym ciekawym problemem jest charakteryzacja grafów, które posiadaja dany podzia l. Jednym z bardziej znanych problemów tego typu jest charakteryzacja grafów dwudzielnych, tzn. charakteryzacja grafów, których wierzcho lki można podzielić na dwa zbiory niezależne. Wiadomo, że graf jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera cykli d lugości nieparzystej. Podobnie jak kolorowanie wierzcho lków grafów możemy rozważać kolorowanie krawedzi grafu, odpowiada ono podzia lowi krawedzi grafu na podzbiory nazywane krawedziowymi klasami kolorów. Krawedziowy podzia l grafu G czesto nazywany jest dekompozycja grafu G. Problemy zwiazane z krawedziowym kolorowaniem grafu odpowiadaja problemom zwiazanym z wierzcho lkowym kolorowaniem grafu, gdyż kolorowanie krawedzi grafu G zawsze możemy postrzegać jako kolorowanie wierzcho lków grafu krawedziowego L(G).

7 Autoreferat 5 Przed lożoneosi agniecienaukowesk ladasiezwynikówdotycz acych kolorowania wierzcho lków lub krawedzi grafu, stanowia one nie tylko kontynuacje, a także rozszerzenie dotychczasowych badań nad kolorowaniem grafów. W moich rozważanich skupi lam sie na trzech typach kolorowania: acyklicznym kolorowaniu wierzcho lków, krawedziowym kolorowaniu grafu i rozgrywanym kolorowaniu. Dla tych kolorowań rozważam problemy, w których minimalizowana jest liczba klas kolorów, optymalizowane sa w lasności klas kolorów i charakteryzuje grafy, które posiadaja pewien ustalony podzia l na klasy kolorów. 2 Definicje i oznaczenia W niniejszym opracowaniu zak ladamy, że wszystkie rozważane grafy sa skończone, bezpetliiwielokrotnychkrawedzi. Zbiórwierzcho lkówikrawedzigrafugoznaczamy odpowiednio przez V(G), E(G). Symbolem I oznaczamy klase wszystkich wzajemnie nieizomorficznych grafów. Przez w lasność grafów (krótko w lasność) bedziemy rozumieli dowolna podklase klasy I. Bedziemy używać pojecia w lasność grafów i klasa grafówzamiennie. Mówimy,żew lasnośćp jestdziedziczna,jeżelijestzamknieta ze wzgledu na bycie podgrafem, tzn. jeżeli H G i G P, to H P. Mówimy, że w lasność P jest addytwna, jeżeli jest zamknieta na sume grafów, tzn. jeżeli H P i G P, to H G P. W niniejszym opracowaniu rozważmy tylko takie podzia ly grafów, w których klasy kolorów indukuja addytywne w lasności dziedziczne. Poniżej podamy przyk lady i oznaczenia w lasności dziedzicznych wykorzystywane w opracowaniu. Niech k bedzie liczba naturalna. O = {G I : E(G) = }; O k = {G I : każda komponenta G ma co najwyżej k +1 wierzcho lków}; S k = {G I : (G) k}; D k = {G I : G jest grafem k-zdegenerowanym, tzn., δ(h) k dla H G}; I k = {G I : G nie zawiera K k+2 }; T 2 = {G I : G jest grafem zewnetrznie planarnym}. Zauważmy, że D 1 jest klasa grafów acyklicznych. Ponadto oznaczmy przez LF = D 1 S 2, klase lasów liniowych. Każda nietrywialna w lasność dziedziczna P może być w sposób jednoznaczny, opisana przez zbiór minimalnych podgrafów zabronionych, zdefiniowany nastepuj aco: F(P) = {G I : G / P ale każdy podgraf w laściwy H grafu G należy do P}. Zauważmy, że jeżeli P jest addytywna w lasności a dziedziczna, to każdy graf należacy dof(p)jestspójny. NiechF bedziezbioremgrafów. OznaczmyprzezForb(F)klase

8 Autoreferat 6 wszystkich grafów, które nie zawieraja podgrafu izomorficznego z żadnym grafem ze zbioru F. Na przyk lad I k 2 = Forb({K k }). W lasność I k 2 nazywamy klasa grafów K k -wolnych. Wprowadźmy pojecia uogólnionego kolorowania i uogólnionego krawedziowegokolorowania grafów. Niech G bedzie grafem i (P 1,P 2,...,P k ) uporzadkowanym zbiorem addytywnych w lasności dziedzicznych. (P 1,...,P k )-podzia lem (lub uogólnionym kolorowaniem) grafu G nazywamy podzia l (V 1,...,V k ) zbioru wierzcho lków V(G) taki, że dla każdego i {1,...,k} podgraf G[V i ] indukowany przez V i ma w lasność P i. Klase grafów, które maja (P 1,..., P k )-podzia l oznaczamy przez P 1 P k. Jeżeli (V 1,...,V k ) jest (P 1,...,P k )- podzia lem grafu G, to odpowiadajace mu kolorowanie c definujemy nastepuj aco c(v) = i dla v V i, i {1,...,k}. Jeżeli P i = O dla wszystkich i {1,...,k}, to (P 1,...,P k )-podzia l grafu G jest dobrze znanym w laściwym k-kolorowaniem grafu G. Ponadto najmniejsza liczba k, dla której G ma w laściwe k-kolorowanie, nazywana jest liczba chromatyczna χ(g) grafu G. (P 1,...,P k )-dekompozycja (lub uogólnionym krawedziowym-kolorowaniem) grafu G nazywamy podzia l (E 1,...,E k ) zbioru krawedzi E(G) taki, że dla każdego i {1,...,k} podgraf indukowany przez zbiór krawedzi E i ma w lasność P i. Klase grafów, które maja (P 1,...,P k )-dekompozycje oznaczamy przez P 1 P k. Jeżeli (E 1,...,E k )jest(p 1,...,P k )-dekompozycjagrafug,toodpowiadaj ace mu kolorowanie f definujemy nastepuj aco f(e) = i dla e E i, i {1,...,k}. Jeżeli P i = O 1 dla i {1,...,k}, to (P 1,...,P k )-dekompozycja grafu G jest w laściwym krawedziowym k-kolorowaniem grafu G. Najmniejsza liczba k, dla której G ma w laściwe krawedziowe k-kolorowanie, nazywana jest indeksem chromatycznym χ (G) grafu G. Pojeciapodzia likolorowanie, dekompozycjaikrawedziowekolorowaniebedziemy używali zamienie. 3 Acykliczne kolorowanie grafów W rozdziale tym zostana omówione wyniki z prac [H1], [H2], [H3]. Niech(V 1,...,V k )bedzie(p 1,...,P k )-podzia lemgrafug. Krawedź l acz ac awierzcho lek ze zbioru V i z wierzcho lkiem ze zbioru V j nazywamy (i,j)-krawedzi a. (P 1,...,P k )-podzia l nazywamy acyklicznym, jeżeli dla każdej pary (i,j), i j, podgraf indukowany przez wszystkie (i,j)-krawedzie nie zawiera cykli, tzn. podgraf G[V i V j ] może zawierać cykl, ale każdy taki cykl ma co najmniej dwa kolejne wierzcho lki, którenależadov i albov j. Mówimy, żegrafgmaw lasnośćp 1 P k, jeżeli ma acykliczny (P 1,...,P k )-podzia l. Zauważmy, że jeżeli w lasność P i jest dziedziczna

9 Autoreferat 7 dla każdego i {1,...,k}, to P 1 P k jest też w lasności a dziedziczna. Acykliczny(P 1,...,P k )-podzia lgrafugnazywamyacyklicznym k-kolorowaniem, jeżeli P i = O dla każdego i {1,...,k}. Najmniejsza liczbe k, dla której G ma acykliczne k-kolorowanie, nazywamy acykliczna liczba chromatyczna grafu G i oznaczamy przez χ a (G). Innym dobrze znanym acyklicznym (P 1,...,P k )-podzia lem jest acykliczne niew laściwe kolorowanie. Acykliczny (P 1,..., P k )-podzia l nazywamy acyklicznym t-niew laściwym k-kolorowaniem, jeżeli klasa P i zawiera grafy o maksymalnym stopniu co najwyżej t dla każdego i {1,...,k}, tzn. G[V i ] S t dla i {1,...,k}. Idee acyklicznego kolorowania grafów wprowadzi l Grűnbaum [40], od tej pory ten typ kolorowania jest intensywnie badany, jednakże znalezienie wartości χ a (G) w ogólnym przypadku jest problemem trudnym. Kostochka [44] udowodni l, że problem sprawdzenia, czy dla dowolnego grafu G zachodzi χ a (G) 3, jest problemem NP-zupe lnym. W literaturze badane by ly wartości acyklicznej liczby chromatycznej dla pewnych klas grafów, miedzy innymi dla grafów planarnych, czy grafów o ma lym maksymalnym stopniu. Jednym z bardziej znanych twierdzeń tego typu jest twierdzenie udowodnione przez Borodina [11], które mówi, że acykliczna liczba chromatyczna grafu planarnego wynosi co najwyżej 5. Wśród wyników dla grafów o ma lym maksymalnym stopniu znane sa ograniczenia acyklicznej liczby chromatycznej dla grafów o maksymalnym stopniu 3, 4, 5 lub 6. Grűnbaum w pracy [40] udowodni l, że χ a (G) 4 dla dowolnego grafu o maksymalnym stopniu co najwyżej 3 (patrz też [51]). Burstein [18] udowodni l, że χ a (G) 5 dla dowolnego grafu o maksymalnym stopniu co najwyżej 4. Kostochka et al. [45] pokazali, że χ a (G) 7 dla dowolnego grafu o maksymalnym stopniu co najwyżej 5. Zhao et al. [59] udowodnili, że dla grafów o maksymalnym stopniu co najwyżej 6, wystarczy 10 kolorów, aby acyklicznie pokolorować taki graf. W 1999 roku Boiron, Sopena i Vignal [10] rozpoczeli badanie acyklicznego (P 1,...,P k )-podzia lu grafów o ograniczonym maksymalnym stopniu. Udowodnili oni, że dowolny graf G S 3 (o maksymalnym stopniu co najwyżej 3) ma acykliczny (D 1,S 2 )-podzia l oraz acykliczny (S 1,S 1,S 1 )-podzia l. W tej samej pracy autorzy postawili hipoteze, że dowolny graf o maksymalnym stopniu co najwyżej 3, ma acykliczny (S 2,S 2 )-podzia l. Najważniejszym wynikiem jednotematycznego cyklu, zwiazanym z acylicznym kolorowaniem, jest dowód tej hipotezy. Mianowicie, w [H1] udowodniono nastepuj ace twierdzenie: Twierdzenie 1 ([H1], Thm. 2) S 3 S 2 S 2. Niezależnie te hipoteze udowodnili Addario-Berry et al. w pracy [1].

10 Autoreferat 8 Ponadto w pracy [H1] podano algorytm, oparty na dowodzie twierdzenia 1, który dokonuje acyklicznego (S 2,S 2 )-podzia lu dowolnego grafu o maksymalnym stopniu co najwyżej 3 w czasie wielomianowym. Powyższego twierdzenia nie można uogólnić na grafy o dowolnym maksymalnym stopniu. Twierdzenie 2 ([H1],Thm. 1) Dla dowolnego d 4 istnieje graf G o maksymalnym stopniu d, który nie ma acyklicznego (S d 1,S d 1 )-podzia lu. Yandet al. [57]rozważali(O,D 1 )-podzia lygrafówoograniczonymmaksymalnym stopniu. Udowodnili oni, że każdy graf o maksymalnym stopniu co najwyżej 3, z wyjatkiem K 4, ma (O,D 1 )-podzia l, tzn. S 3 \{K 4 } O D 1. Wyniku tego nie można przenieść na kolorowanie acykliczne. Ponieważ istnieje nieskończenie wiele grafów o maksymalnym stopniu 3 z acykliczna liczba chromatyczna równa 4, wiec istnieje też nieskończenie wiele grafów o maksymalnym stopniu 3, które nie maja acyklicznego (O,D 1 )-podzia lu. Boiron et al. [10] udowodnili, że S 3 \ {K 4,K 3,3 } D 1 D 1. Ponadto w tej samej pracy zosta lo pokazane, że S 3 D 1 S 2. W pracy [H2] pierwszy z wyników wzmocniono w nastepuj acy sposób: Twierdzenie 3 ([H2], Thm. 4) S 3 \{K 4,K 3,3 } D 1 LF. W pracy [H3] kontynuowane sa poprzednie badania, rozważano grafy o maksymalnym stopniu co najwyżej 4. Udowodniono, że każdy graf o maksymalnym stopniu co najwyżej 4 ma acykliczny (S 3,S 3,S 3 )-podzia l. Twierdzenie 4 ([H3], Thm. 3.1) S 4 S 3 S 3 S 3. Z twierdzenia 2 wynika, że istnieje graf należacy do S 4, który nie ma acyklicznego 3-niew laściwego 2-kolorowania. Zatem poprzedniego twierdzenia nie można wzmocnić przez ograniczenie liczby kolorów. W dalszej cześci pracy [H3] rozważano acykliczne kolorowanie, w którym klasy kolorów indukuja lasy. Zauważmy, że aby pokolorować w taki sposób graf K n+1 (n 2) musimy użyć co najmniej n kolorów. W [H3] udowodniono, że każdy graf G S 4 ma acykliczny (D 1,D 1,D 1,D 1 )-podzia l. Twierdzenie 5 ([H3], Thm. 4.1) S 4 D 1 D 1 D 1 D 1. Z zaobserwowanej w lasności dla grafu K n+1 wynika, że twierdzenia 5 nie można wzmocnić przez ograniczenie liczby kolorów. Można podać silniejsza wersje twierdzenia poprawiajac w lasności, na które dzielimy graf. W [H3] udowodniono, że każdy graf G S 4 można acyklicznie pokolorować za pomoca 4 kolorów w taki sposób, że każda klasa kolorów indukuje las o maksymalnym stopniu 3. Twierdzenie 6 ([H3], Thm. 4.3) S 4 P 1 P 2 P 3 P 4, gdzie P i = D 1 S 3 dla i {1,...,4}.

11 Autoreferat 9 4 Kraw edziowe kolorowanie grafów Zauważmy, że jeżeli P 1,P 2,...,P k sa w lasnościami dziedzicznymi, to P 1 P k jest również w lasności a dziedziczna. Zatem w lasność P 1 P k może być w sposób jednoznaczny opisana za pomoca zbioru minimalnych grafów zabronionych. W pracach [H4] i [H5], poprzez zbiór minimalnych grafów zabronionych, scharakteryzowano grafy, które maja (P 1,P 2 )-dekompozycje (dla ustalonych w lasności dziedzicznych P 1,P 2 ). Zbiór minimalnych grafów zabronionych dla w lasności dziedzicznej P 1 P 2 jest ściśle zwiazany ze zbiorem grafów minimalnych Ramseya. Piszemy, że G (F, H) jeżeli w każdym czerwono-niebieskim dwukolorowaniu krawedzi grafu G, czerwony podgraf zawiera F lub niebieski podgraf zawiera H. W przeciwnym razie piszemy G (F, H). Mówimy, że graf G jest (F, H)-minimalny (minimalnym grafem Ramseya), jeżeli G (F,H) i G (F,H) dla dowolnego podgrafu w laściwego G G. Zbiór wszystkich (F, H)-minimalnych grafów oznaczamy przez R(F, H). Niech P 1, P 2 bed a w lasnościami dziedzicznymi z jednym minimalnym podgrafem zabronionym, tzn. P 1 = Forb({F}) i P 2 = Forb({H}). (P 1,P 2 )-dekompozycja jest takim podzia lem (E 1,E 2 ) krawedzi E(G), że G[E 1 ] nie zawiera grafu F i G[E 2 ] nie zawiera grafu H. Zatem G nie ma (P 1,P 2 )-dekompozycji wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi G (F, H). Z tego wynika, że zbiór minimalnych podgrafów zabronionych dlaw lasnościp 1 P 2 jestdok ladniezbioremgrafów(f,h)-minimalnych,wiecf(p 1 P 2 ) = R(F,H) lub równoważnie możemy zapisać F(Forb({F}) Forb({H})) = R(F,H). W literaturze można znaleźć wiele prac, w których rozważa sie zbiór R(F,H). W cześci z nich bada sie, czy zbiór R(F,H) jest skończony czy nieskończony. W innych charakteryzuje sie grafy należace do zbioru R(F,H), tzn. charakteryzuje sie zbior minimalnych podgrafów zabronionych dla w lasności F orb({f}) F orb({h}). Wśród nichsapracezwi azanezgrafamiminimalnymiramseyadlagwiazdik 3. Naprzyk lad Mengersen et al. [47] scharakteryzowali grafy należace do zbioru R(2K 2,K 1,n ). W pracy [16] Burr et al. opisali zbiór R(2K 2,K 3 ). Burr et al. w pracy [15] pokazali, że jeżelim,nsanieparzyste, tor(k 1,m,K 1,n ) = {K m+n+1 }. Burret al. [17]udowodnili, że R(K 1,2,K 1,2 ) = {K 1,3 } {C 2n+1 : n N}. Natomiast problem scharakteryzowania grafów należacych do R(K 1,m,K 1,n ), gdy jedna z liczb m,n jest parzysta dla pozosta lych m, n, jest otwarty. Z twierdzenia udowodnionego przez Luczaka [49] wynika, że zbiór ten jest nieskończony. W pracy [H5] podano cześciowe rozwiazanie tego problemu, badano zbiór R(K 1,2,K 1,m ) dla m 3. Podano twierdzenia charakteryzujace grafy należace do tego zbioru, wyniki te podamy w podrozdziale 4.2. Ponadto w pracy [H5] podano warunek wystarczajacy na to, aby graf należa l do

12 Autoreferat 10 R(K 1,m,K 1,n ). W pracy [H4] opisano wszystkie grafy należace do R(K 1,2,K 3 ). Idea konstrukcji, która użyto w tej pracy, zosta la później zastosowana i uogólniona w pracach [7, 8, 12, 41]. Baskoro et al. w pracach [7, 8] za pomoca tej konstrukcji otrzymali nieskończona rodzine grafów należacych do R(K 1,2,C 4 ), Ha luszczak w pracy [41] wygenerowa l nieskończona rodzine grafów z R(K 1,2,K n ), natomiast w pracy [12] Borowiecka-Olszewska et al. wygenerowali nieskończona rodzine grafów należacych do R(K 1,2,G), gdzie G jest klasa grafów dwuspójnych. W lasność dziedziczna S k ma dok ladnie jeden minimalny podgraf zabroniony K 1,k+1, podobnie jedynym minimalnym podgrafem zabronionym dla w lasności I 1 jest graf K 3. Jeżeli graf G ma (S 1,S m 1 )-dekompozycje (G S 1 S m 1 ), to G (K 1,2,K 1,m ). Jeżeli graf G ma (S 1,I 1 )-dekompozycje (G S 1 I 1 ), to G (K 1,2,K 3 ). Zatem problem scharakteryzowaniania grafów należacych do R(K 1,2,K 1,m ), który badano w pracy [H5], możemy w sposób równoważny wyrazić jako problem scharakteryzowania zbioru minimalnych grafów zabronionych dla w lasności S 1 S m 1. Podobnie problem wyznaczenia grafów należacych do R(K 1,2,K 3 ), który badano w pracy [H4], jest równoważny problemowi wyznaczenia zbioru minimalnych grafów zabronionych dla w lasności S 1 I 1. Możemy wiec powiedzieć, że w obu przypadkach zbiory grafów, które maja pewna ustalona dekompozycje (kolorowanie krawedziowe) zosta ly opisane przez minimalne podgrafy zabronione. G lówne wyniki z prac [H4] i [H5] zostana przedstawione odpowiednio w podrozdzia- lach 4.1 i R(K 1,2,K 3 ) Omówienie g lównego twierdzenia zawartego w pracy [H4] rozpoczniemy od wprowadzenia potrzebnych definicji i oznaczeń. K 3 -droga nazywamy graf G o zbiorze wierzcho lków V(G) = {v 1,v 2,...,v k, w 1,w 2,...,w k 1 } i zbiorze krawedzi E(G) = {v i v i+1 : i = 1,2,...,k 1} {v i w i : i = 1,2,...,k 1} {w i v i+1 : i = 1,2,...,k 1}, dla k 2. K 3 -cyklem nazywamy graf G o zbiorze wierzcho lków V(G) = {v 1,v 2,...,v k,w 1,w 2,...,w k } i zbiorze krawedzi E(G) = {v i v j : i = 1,2,...,k, j i+1 (mod k)} {w i v i : i = 1,2,...,k} {w i v j : i = 1,2,...,k j i+1 (mod k)}, dla k 4. D lugości a K 3 -drogi (K 3 -cyklu) nazywamy liczbe trójkatów w niej zawartych. Z definicji wynika, że każdy K 3 -cykl ma d lugość co najmniej 4. Nieparzysta K3-drog 2 a nazywamy graf otrzymany z K 3 -drogi przez dodanie do niej krawedzi w i w i+1 (i = 1,...,k 2). D lugości a K3-drogi 2 nazywamy liczbe trójkatów w niej zawartych. Zauważmy, że d lugość K3-drogi 2 jest zawsze liczba nieparzysta.

13 Autoreferat 11 Przez R oznaczamy graf z korzeniem r przedstawiony na rysunku 1. r R Rysunek 1. Graf R. F 1 F 2 F 3 Rysunek 2. Grafy: F 1,F 2,F 3. Niech T bedzie klasa z lożon a z nastepuj acych grafów: 1. grafy F 1,F 2,F 3 przedstawione na rysunku 2; 2. F 4 (k), k 0 dwie wierzcho lkowo roz l aczne kopie grafu R, których korzenie sa po l aczone K 3 -droga d lugości k (rysunek 3), dla k = 0 mamy dwie kopie grafu R sklejone korzeniami; 3. F 5 (t 1,t 2,k), t 1 4, t 2 4, k 0 dwa wierzcho lkowo roz l aczne K 3 -cykle, d lugości t 1 i t 2, po l aczone K 3 -droga d lugości k (rysunek 3), dla k = 0 mamy dwa K 3 -cykle sklejone wierzcho lkiem; 4. F 6 (t,k), t 4,k 0 grafrik 3 -cykld lugościtrazemzk 3 -droga d lugości k, która l aczy korzeń R z dowolnym wierzcho lkiem K 3 -cyklu (rysunek 3), dla k = 0 mamy graf R i K 3 -cykl sklejone korzeniem grafu R i dowolnym wierzcho lkiem K 3 -cyklu;

14 Autoreferat F 7 (t,k), t 4,k 1 K 3 -cykl H d lugości t i K 3 -droga d lugości k, która l aczy dwa wierzcho lki x,y V(H) takie, że k+d H (x,y) 4 (symbol d H (x,y) oznacza odleg lość miedzy wierzcho lkami x i y w grafie H) (rysunek 3); 6. F 8 (t), F 9 (t),..., F 15 (t), t 4 grafy otrzymane z K 3 -cyklu d lugości t przez dodanie nowych trójkatów tak, jak na rysunku 4; 7. F 16 (t), t 5 graf otrzymany z nieparzystej K3-drogi 2 P d lugości t w nastepuj acy sposób: do P dodajemy nowe krawedzie zy,yz i zz, gdzie z,z sa wierzcho lkami stopnia 2 w P, y,y sa wierzcho lkami stopnia 3 w P (rysunek 3). F 4 (3) F 5 (4,4,3) F 6 (4,3) x y y z z y F 7 (6,3) F 16 (9) Rysunek 3. Przyk lady grafów F 4 (k),f 5 (t 1,t 2,k),F 6 (t,k),f 7 (t,k),f 16 (t).

15 Autoreferat 13 F 8 (t) F 11 (t) F 9 (t) F 10 (t) F 12 (t) F 13 (t) F 14 (t) F 15 (t) Rysunek 4. Grafy: F 8 (t),f 9 (t),...,f 15 (t). Twierdzenie 7 ([H4], Thm. 1) G R(K 1,2,K 3 ) wtedy i tylko wtedy, gdy G T. 4.2 R(K 1,2,K 1,m ) W pracy [H5] scharakteryzowano grafy należace do R(K 1,2,K 1,m ) dla m 3. Najpierw zauważmy, że K 1,m+1 R(K 1,2,K 1,m ). Zatem wszystkie pozosta le grafy G należace do R(K 1,2,K 1,m ) nie zawieraja podgrafu K 1,m+1, stad (G) m. Jeżeli (G) m 1, to każda krawedź grafu G możemy pokolorować na niebiesko i

16 Autoreferat 14 otrzymamy (S 1,S m 1 )-dekompozycje grafu G (tzn. G (K 1,2,K 1,m )), wówczas G / R(K 1,2,K 1,m ). Z tego wynika, że (G) = m. k-faktorem grafu nazywamy k- regularny podgraf rozpinajacy. Zauważmy, że jeżeli graf G, o maksymalnym stopniu równym m, ma 1-faktor, to kolorujac krawedzie 1-faktora na czerwono, a pozosta le krawedzie grafu na niebiesko, otrzymamy (S 1,S m 1 )-dekompozycje grafu G. Zatem (S 1,S m 1 )-dekompozycja grafu jest zwiazana z istnieniem 1-faktora w grafie. W charakteryzacji zbioru R(K 1,2,K 1,m ) wykorzystano dwa znane twierdzenia opisujace grafy, które posiadaja 1-faktor. Graf rzedu co najmniej 3 nazywamy faktor-krytycznym, jeżeli G v ma 1-faktor dla każdego v V(G). Zauważmy, że jeżeli graf G jest faktor-krytyczny, to G nie ma 1-faktora, bo jest nieparzystego rzedu. Oznaczmy przez C G zbiór komponent grafu G i przez q(g) liczbe komponent nieparzystego rzedu grafu G. Niech S V(G). Przez G S oznaczmy graf otrzymany z G przez ściagniecie komponent C C G S do pojedynczych wierzcho lków i usuniecie krawedzi miedzy wierzcho lkami zbioru S, tzn. G S jest grafem dwudzielnym o zbiorze wierzcho lków S C G S i zbiorze krawedzi {sc : s S i istnieje c C taki, że sc E}. Zbiór krawedzi niezależnych M grafu G nazywamy skojarzeniem. Mówimy, że zbiór wierzcho lków S jest skojarzony z G S, jeżeli istneje skojarzenie M w grafie G S takie, że każdy wierzcho lek zbioru S jest incydentny z krawedzi a M. Pierwsze twierdzenie, opisujace grafy, które posiadaja 1-faktor, jest konsekwencja twierdzenia Gallai-Edmondsa [27, 38, 39]. Przedstawimy je w postaci podanej w [24]. Twierdzenie 8 ([24]) Każdy graf G ma zbiór wierzcho lków S o nastepuj acych w lasnościach: (i) S jest skojarzony z G S; (ii) każda komponenta G S jest faktor-krytyczna. Niech S bedzie dowolnym zbiorem, który ma obie powyższe w lasności. Graf G ma 1-faktor wtedy i tylko wtedy, gdy S = C G S. W drugim twierdzeniu podamy warunek Tutte na istnienie 1-faktora w grafie. Twierdzenie 9 ([52]) Graf G ma 1-faktor wtedy i tylko wtedy, gdy q(g S) S dla każdego S V(G). Mówimy, że zbiór S V(G) ma w lasność S (lub krótko jest S-zbiorem), jeżeli spe lnia (i) and (ii) twierdzenia 8. Jeżeli S V(G) jest zbiorem, dla którego zachodzi

17 Autoreferat 15 q(g S) > S, tomówimy, żes maw lasność T (lubkrótkojestt-zbiorem). T -zbiór S jest T -maksymalny, jeżeli S nie jest podzbiorem w laściwym żadnego T -zbioru. W pierwszej charakteryzacji grafów należacych do R(K 1,2,K 1,m ) wykorzystano pojecie S-zbioru. Twierdzenie 10 ([H5], Thm. 3) Niech m 3. G R(K 1,2,K 1,m ) wtedy i tylko wtedy, gdy G = K 1,m+1 lub graf G ma nastepuj ace w lasności: 1. G jest spójny, 2. (G) = m, 3. w grafie G istnieje S-zbiór S, dla którego zachodzi: (a) d(v) = m dla każdego v V(G S), (b) S = q(g S) 1, (c) jeżeli C jest komponenta grafu G S, to S jest skojarzony z (G C) S, (d) G[S] jest grafem bezkrawedziowym. Ponadto w pracy [H5] udowodniono nastepuj ace twierdzenie: Twierdzenie 11 ([H5], Cor. 1) Niech m 3. Jeżeli G R(K 1,2,K 1,m ) i G K 1,m+1, to dla każdego S-zbioru S grafu G zachodzi: (a) d(v) = m dla każdego v V(G S), (b) S = q(g S) 1, (c) jeżeli C jest komponenta grafu G S, to S jest skojarzony z (G C) S, (d) G[S] jest grafem bezkrawedziowym. W drugiej charakteryzacji grafów należacych do R(K 1,2,K 1,m ) wykorzystano pojecie T -zbioru. Twierdzenie 12 ([H5], Thm. 4) Niech m 3. G R(K 1,2,K 1,m ) wtedy i tylko wtedy, gdy G = K 1,m+1 lub G ma nastepuj ace w lasności: 1. G jest spójny, 2. (G) = m,

18 Autoreferat istnieje T -maksymalny zbiór S, dla którego zachodzi: (a) d(v) = m dla każdego v V(G S), (b) dla każdego S S, który ma w lasność T w G, zbiór C G S zawiera tylko komponenty nieparzystego rzedu, (c) S = q(g S) 1, (d) G[S] jest grafem bezkrawedziowym. W pracy [H5] pokazano, że każdy T -maksymalny zbiór grafu G R(K 1,2,K 1,m ), podobnie jak każdy S-zbiór grafu G, spe lnia za lożenia twierdzenia 10. Twierdzenie 13 ([H5], Cor. 3) Niech m 3. Jeżeli G R(K 1,2,K 1,m ) i G K 1,m+1, to dla każdego T -maksymalnego zbioru S grafu G zachodzi: (a) d(v) = m dla każdego v V(G S), (b) S = q(g S) 1, (c) jeżeli C jest komponenta grafu G S, to S jest skojarzony z (G C) S, (d) G[S] jest grafem bezkrawedziowym. Ponadto udowodniono nastepuj ace twierdzenie: Twierdzenie 14 ([H5], Cor. 2) Niech G R(K 1,2,K 1,m ). Zbiór S ma w lasność S i spe lnia warunki (a) (d) twierdzenia 10 wtedy i tylko wtedy, gdy S jest T -maksymalnym zbiorem i spe lnia warunki (a) (d) twierdzenia 12. W pracy [H5] podano warunek wystarczajacy na to, aby graf należa l do zbioru R(K 1,m,K 1,n ). Twierdzenie 15 ([H5], Thm 6) Niech m bedzie liczba nieparzysta, n liczba parzysta oraz m,n 2. Jeżeli G (K 1,m,K 1,n ) oraz G R(K 1,2,K 1,m+n 2 ), to G R(K 1,m,K 1,n ).

19 Autoreferat 17 5 Rozgrywane kolorowanie grafów W tym rozdziale omówimy wyniki z prac: [H6], [H7], [H8], [H9], dotyczace kolorowaniawierzcho lkówgrafuzograniczeniemnasposób,wjakiwierzcho lkis a wybierane do pokolorowania. Zdefiniujemy podzia l grafu z niewspó lpracuj acym partnerem przez dwuosobowa gre. Niech dany bedzie graf G i uporzadkowany zbiór addytywnych w lasności dziedzicznych (P 1,...,P r ). Dwóch graczy Alice i Bob naprzemian koloruja wierzcho lki grafu G. Alice rozpoczyna gre. Każdy gracz koloruje jeden wierzcho lek grafu G kolorem ze zbioru {1,...,r} w taki sposób, że po jego ruchu podgraf indukowany przez G[V i ] ma w lasność P i dla i {1,2,...,r} (V i jest zbiorem wierzcho lków pokolorowanych kolorem i). Jeżeli po V(G) ruchach graczy otrzymaliśmy (P 1,...,P r )-podzia l grafu G, to gre wygrywa Alice. Mówimy wówczas, że graf G ma w lasnośćp 1 P r. Bobwygrywagre,gdyporuchugraczapojawisiewierzcho lek, którego nie można pokolorować żadnym kolorem ze zbioru {1,...,r}. Powyższa gre nazywamy (P 1,...,P r )-gra. Idee powyższej gry wprowadzono w pracy [H6]. Jeżeli P 1 = P 2 = = P r = P, topowyższagrenazywamyp-gr azr kolorami. Dladanego grafu G najmniejsza liczbe r, dla której Alice ma strategie wygrywajac a w P-gre z r kolorami, nazywamy P-rozgrywana liczba chromatyczna i oznaczamy χ P g (G). Niech R bedzie klasa grafów. Jeżeli zbiór {χ P g (G) : G R} jest skończony, to zdefiniujmy χ P g (R) = max{χ P g (G) : G R}. Gdy P jest klasa grafów bezkrawedziowych i gracze używaja r kolorów, to otrzymamydobrzeznanawersjep-gry grer-koloruj ac a. Wówczas gracz może pokolorowaćwierzcho lekv koloremi, i {1,...,r}tylko,gdyv niemasasiada pokolorowanego kolorem i. Najmniejsza liczbe r, dla której Alice ma strategie wygrywajac a w gre r-kolorujac a na grafie G, nazywamy rozgrywana liczba chromatyczna grafu G i oznaczamy χ g (G). Pojecie rozgrywanej liczby chromatycznej zosta lo wprowadzone przez Bodlaendera w pracy [9], który bada l także jej z lożoność obliczeniowa. Do tej pory zosta ly wyznaczone wartości rozgrywanej liczby chromatycznej dla różnych klas grafów. Wersja P-gry, w której P jest klasa grafów o maksymalnym stopniu co najwyżej d, zosta la wprowadzona przez Chou et al. [23] i nazywana jest gra (r,d)- niew laściwie kolorujac a. Najmniejsza liczbe r, dla której Alice ma strategie wygrywajac a w gre (r,d)-niew laściwie kolorujac a na grafie G, nazywamy d-niew laściw a rozgrywana liczba chromatyczna grafu G i oznaczamy χ (d) g (G). Dla klasy grafów R, podobie jak χ P g (R), zdefinujmy: χ g (R) = max{χ g (G) : G R}, χ (d) g (R) = max{χ (d) g (G) : G R}. Pierwszy rezultat otrzymany w pracy [H6] zwiazany jest z (O,O)-gra. Scharak-

20 Autoreferat 18 teryzowano wszystkie grafy, dla których Alice ma strategie wygrywajac a w te gre, tzn. scharakteryzowano wszystkie grafy należace do zbioru O O. Niech B bedzie klasa grafów dwudzielnych G, które maja nastepuj ace w lasności: (1) χ g (G) 3, (2) Dla dowolnego wierzcho lka v V(G) istnieje wierzcho lek u V(G) (u v) taki, że {v,u} jest zbiorem dominujacym w G. Twierdzenie 16 ([H6], Thm. 2) G O O wtedy i tylko wtedy, gdy G jest lasem gwiazd lub G = G 1 G t H, gdzie H jest lasem gwiazd nieparzystego rzedu, G i B (i {1,...,t}) oraz jeżeli t 2, to rzad każdego grafu G i jest parzysty. W pracy [60] Zhu postawi l nastepuj acy problem: Problem 1 Za lóżmy, że χ g (G) = k. Czy dla dowolnej liczby k, k > k, Alice ma strategie wygrywajac a w gre k -kolorujac a na grafie G? Twierdzenie 16 daje pozytywna odpowiedź na pytanie postawione w problemie 1 dla k = 2. Ponadto z twierdzenia 16 wynika, że można w czasie wielomianowym rozstrzygnać, czy Alice ma strategie wygrywajac a w (O, O)-grze. Z lożoność problemu gry r-kolorujacej zosta la postawiona w pracy [9] jako problem otwarty. Kolejne twierdzenie udowodnione w pracy [H6] dotyczy gry kolorujacej na lasach. Chou et al. [23] udowodnili, że każde drzewo należy do O 1 O 1 O 1. W tej samej pracy zosta lo wskazane drzewo T, dla którego Bob ma strategie wygrywajac a w (O 1,O 1 )-gre. Z tego wynika, że resultat otrzymany przez Chou et al. nie może być wzmocniony przez ograniczenie liczby kolorów. W pracy [H6] wzmocniono ten rezultat przez pokazanie, że każdy las należy do O O O 1. Twierdzenie 17 ([H6], Thm. 3) D 1 O O O 1. Ponadto w pracy [H6] wskazano las T, dla którego Bob ma strategie wygrywajac a w (O,SF)-gre. Twierdzenie 18 ([H6], Thm. 4) D 1 O SF. W literaturze rozważana by la też krawedziowa wersja gry kolorujacej. Rozgrywanym indeksem chromatycznym χ g(g) nazywamy najmniejsza liczbe r, dla której Alice ma strategie wygrywajac a w krawedziow a wersje gry r-kolorujacej na grafie G. Cai i Zhu [19] wyznaczyli ograniczenie górne, równe +3k 1, dla rozgrywanego indeksu chromatycznego grafów k-zdegenerowanych o maksymalnym stopniu. Z

21 Autoreferat 19 tego wyniku otrzymujemy, że rozgrywany indeks chromatyczny dowolnego drzewa o maksymalnym stopniu, wynosi co najwyżej + 2. W tej samej pracy autorzy poprawili ograniczenie górne dla drzew o maksymalnym stopniu 3. Udowodnili, że rozgrywany indeks chromatyczny drzewa o maksymalnym stopniu 3 z nieparzysta liczba krawedzi, wynosi co najwyżej 4. Powyższe wyniki zainspirowa ly badania nad nastepuj acym problemem: czy rozgrywany indeks chromatyczny dowolnego drzewa o maksymalnym stopniu wynosi co najwyżej + 1? Latwo zauważyć, że odpowiedź na powyższe pytanie jest pozytywna dla = 2. Erdős et al. [28] dali pozytywna odpowiedź dla 6. Andres [5] poprawi l poprzedni rezultat, udowodni l, że jeżeli 5, to χ g(t) + 1 dla drzewa T o maksymalnym stopniu. Ten sam autor w pracy [4] rozwiaza l przypadek dla = 3. Problem = 4 pozostaje otwarty. Ostatnio Chan et al. [21] udowodnili, że χ g(t) 5, jeżeli (T) = 4 i T jest lasem, którego każda komponenta jest gasienic a lub T nie ma dwóch sasiednich wierzcho lków stopnia 4. GrenakrawedziachgrafuGmożemyzawszepostrzegać,jakogrenawierzcho lkach grafu krawedziowego L(G). Kaktusem nazywamy graf, w którym każdy blok jest cyklemlubk 2 idowolnedwablokimaja co najwyżej jeden wspólny wierzcho lek. Graf krawedziowydrzewaomaksymalnymstopniu3jestwieckaktusemzcyklamid lugości co najwyżej 3 taki, że każdy wierzcho lek należy do co najwyżej dwóch bloków. Wynik Andes [4] implikuje, że rozgrywana liczba chromatyczna takich specjalnych kaktusów wynosi co najwyżej 4. W pracy [H7] rozważano gre na kaktusach. Z jednej strony wskazano kaktus, dla którego Bob ma strategie wygrywajac a w gre 4-kolorujac a. Z drugiej strony udowodniono twierdzenie mówiace, że dla dowolnego kaktusa Alice ma strategie wygrywajac a w gre 5-kolorujac a. Dowód tego twierdzenia oparty jest na badaniu innego inwariantu grafu rozgrywanej liczby kolorujacej, która zosta la wprowadzona przez Zhu w [60]. Rozgrywana liczba kolorujaca zosta la zdefiniowana poprzez dwuosobowa gre gre etykietujac a. Alice i Bob naprzemian oznaczaja wierzcho lki grafu G. Alice rozpoczyna gre. Gra kończy sie, gdy wszystkie wierzcho lki sa zaznaczone. Dla wierzcho lka v oznaczmy symbolem s(v) liczbe jego sasiadów, którzy byli zaznaczeni przed nim. Wynikiem gry nazywamy liczbe s = 1+max v V s(v). Celem Alice jest minimalizowanie wyniku gry, natomiast celem Boba jest maksymalizowanie wyniku gry. Rozgrywana liczba kolorujac a col g (G) nazywamy najmniejsza liczbe s, dla której Alice ma strategie wygrywajac a w gre etykietujac a z wynikem co najwyżej s. Latwo zauważyć, że dla dowolnego grafu G zachodzi χ g (G) col g (G). W lasność powyższa pozwala wykorzystywać rozgrywana liczbe kolorujac a, jako narzedzie do badania rozgrywanej liczby chromatycznej grafu. Niech R bedzie klasa grafów, podobnie jak wcześniej, zdefiniujmy rozgrywana

22 Autoreferat 20 liczbe kolorujac a dla klasy grafów col g (R) = max{col g (G) : G R}. W pracy [H7] udowodniono nastepuj ace twierdzenie: Twierdzenie 19 ([H7], Thm. 1) Jeżeli C jest klasa kaktusów, to χ g (C) = col g (C) = 5. W kolejnych dwóch pracach [H8] i [H9] rozważano gry kolorujace na klasie grafów oznaczonych symbolem H k : H k = {G : każdy blok grafu G ma co najwyżej k wierzcho lków}. Klasa H k jest interesujaca ze wzgledu na to, że zawiera w sobie wiele znanych klas grafów. Na przyk lad H 2 jest klasa lasów. Jeżeli G H k i każdy blok grafu jest grafem pe lnym, to G jest drzewem Husimi. Jeżeli G H k i każdy blok jest cyklem lub K 2, to G jest kaktusem. H k zawiera także w sobie grafy krawedziowe lasów. Jeżeli każdy blok grafu G H k jest grafem pe lnym i każdy wierzcho lek grafu G jest w co najwyżej dwóch blokach, to G jest grafem krawedziowym lasu o maksymalnym stopniu co najwyżej k. Zatem gra kolorujaca krawedzie lasu odpowiada grze kolorujacej wierzcho lki grafów należacych do H k. Pierwszy wynik z pracy [H8] mówi o rozgrywanej liczbie chromatycznej grafów należacych do H k. Przypomnijmy, że H 2 jest klasa lasów. Faigle et al. [31] udowodnili, że rozgrywana liczba chromatyczna lasu wynosi co najwyżej 4, czyli dla T H 2 zachodzi χ g (T) 4. W pracy [H8] pokazano, że dla dowolnego k liczba k + 2 jest ograniczeniem górnym rozgrywanej liczby chromatycznej grafu należacego H k. Twierdzenie 20 ([H8], Thm. 8) Dla k 2 zachodzi χ g (H k ) k +2. Zauważmy, że z powyższego twierdzenia wynika, że rozgrywany indeks chromatyczny lasu o maksymalnym stopniu k wynosi co najwyżej k+2. Wiadomo, że istnieje las T o maksymalnym stopniu k, dla którego χ g(t) = k +1. L acz ac to z twierdzeniem 20 otrzymujemy dolne i górne ograniczenie na rozgrywana liczbe chromatyczna klasy grafów H k, k + 1 χ g (H k ) k + 2. W pracy [H8] udowodniono, że dla k 6 ograniczenie dolne jest także ograniczeniem górnym dla rozgrywanej liczby chromatycznej klasy H k. Twierdzenie 21 ([H8], Thm. 11) Jeżeli k 6, to χ g (H k ) = k +1. Z powyższego twierdzenia wynika twierdzenie Erdős et al. [28] mówiace, że rozgrywany indeks chromatyczny lasów o maksymalnym stopniu, 6 wynosi +1. Zatem w pracy [H8] uogólniono, na szersza klase grafów, twierdzenie Erdős et al. [28].

23 Autoreferat 21 Kolejne wyniki pracy [H8] dotycza (P 1,...,P r )-gry na grafach należacych do H k. W pracy [H7] zosta l wskazany kaktus T, T H 3, którego rozgrywana liczba chromatyczna wynosi 5. Kaktus ten nie zawiera cykli d lugości wiekszej niż 3. Zatem χ g (H 3 ) 5, a z tego wynika, że H 3 O O O O. W pracy [H8] udowodniono natomiast nastepuj ac a w lasność klasy grafów H 3 : Twierdzenie 22 ([H8], Thm.17) H 3 O 1 O 1 O O. Przypomnijmy, że problem czy rozgrywany indeks chromatyczny lasów o maksymalnym stopniu 4 jest ograniczony przez 5 czy 6, jest problemem otwartym. W pracy[h8]zbliżonosiedorozwi azniategoproblemu. Otrzmanowyniktroches labszy, udowodniono, że Alice ma strategie wygrywajac a w (O 1,O,O,O,O)-gre na wierzcho lkach grafu krawedziowego lasu o maksymalnym stopniu 4. Ponieważ gra na wierzcho lkach grafu krawedziowego L(G) odpowiada grze na krawedziach grafu G, wiec w pracy [H8] pokazano strategie wygrywajac a dla Alice, w gre na krawedziach lasu o maksymalnym stopniu 4, w której gracze używaja 5 kolorów i koloruja krawedzie tak, że krawedzie w pierwszym kolorze indukuja las gwiazd o maksymalnym stopni 2, a krawedzie w pozosta lych kolorach indukuja skojarzenia. Wynik ten jest wnioskiem z ogólniejszego twierdzenia udowodnionego w pracy: Twierdzenie 23 ([H8], Thm. 19) Dla k 4 zachodzi H k P 1 P 2 P k+1, gdzie P 1 = O 1, P i = O (i = 2,...,k +1). W pracy [H9] kontynuowano rozważanie gier na grafach należacych do H k, w szczególności gier niew laściwie kolorujacych grafy. W literaturze gra niew laściwie kolorujac a by la intensywnie badana dla różnych klas grafów, miedzy innymi dla cześciowych k-drzew, grafów planarnych, grafów zewnetrznie planarnych, drzew. He et al. [42] zebrali udowodnione wyniki zwiazane z gra niew laściwie kolorujac a na drzewach w nastepuj ac a formu le: Twierdzenie 24 ([23, 31, 42]) Dla d {0,1,2} zachodzi χ (d) g (H 2 ) 4 d. orazpostawilihipoteze, żewpodobnysposóbmożnaopisaćwynikidlagrynagrafach zewnetrznie planarnych. Hipoteza ta zosta la udowodniona przez Wu et al. [56], którzy uogólnili znane dotychczas twierdzenia dla grafów zewnetrznie planarnych w nastepuj acy sposób: Twierdzenie 25 ([56]) Dla 0 d 4 zachodzi χ (d) g (T 2 ) 7 d.

24 Autoreferat 22 W pracy [H9] podano podobna formu le dla grafów należacych do H k dla k {3,4}. Najpierw zauważmy, że z twierdzenia 20 wynika χ (0) g (G) k + 2 dla G H k. Z twierdzeń 22 i 23 wynika χ (1) g (G) k + 1 dla G H k (k 3). Z twierdzenia 5 udowodnionego w pracy [H9] wynika, że χ (2) g (G) 3 dla G H 3. Z twierdzenia 6 udowodnionego w pracy [H9] wynika, że jeżeli d {2,3}, to χ (d) g (G) k+2 d dla G H 4. L acz ac, te wyniki otrzymujemy nastepuj ac a formu le: Twierdzenie 26 ([H9], Cor. 4) Dla k {3,4} i 0 d k 1 zachodzi χ (d) g (H k ) k +2 d. Pomimo, że w literaturze jest wiele wyników dotyczacych rozgrywanej liczby chromatycznej, to nie ma wielu strategii dla gry kolorujacej. Najbardziej znana strategia jest strategia aktywujaca, która zosta la wprowadzona w pracy [31] dla gry na drzewach. Później zosta la ulepszona w pracy [46]. Od tej pory jest ona bardzo czesto używana, Alice grajac zgodnie ze strategia aktywujac a może wygrać gre kolorujac a, jak również opisane zosta ly wersje tej strategii dla gry etykietujacej. W pracy [H8] podano nowa strategie, która umożliwia Alice wygranie nie tylko gry kolorujacej na danym grafie, ale także dowolnej (P 1,...,P r )-gry. W pracy [H9] rozwinieto i ulepszono te strategie poprzez wprowadzenie gry pomocniczej, nazwanej jednostronna gra kolorujac a oraz parametru zwiazanego z ta gra, nazwanego jednostronnie rozgrywana liczba chromatyczna. Kluczowym punktem tej strategii jest konstrukcja dla grafu G, na którym rozgrywana jest gra, specjalnej rodziny grafów cześciowo pokolorowanych, nazywanej rodzina rozgrywanie domkniet a, która zawiera niepokolorowany graf G. Alice wygra gre na G, jeżeli bedzie kolorowa la wierzcho lki w taki sposób, aby zawsze po jej ruchu, otrzymany cześciowo pokolorowany graf G, należa l do skonstruowanej wcześniej, rodziny rozgrywanie domknietej. Poniżej podamy formalna definicje rodziny rozgrywanie domknietej oraz opiszemy strategie gry. Ograniczymy sie do P-gry, latwo widać, że wszystkie pojecia można uogólnić na (P 1,...,P r )-gre. Cześciowym r-kolorowaniem grafu G nazywamy funkcje c r : S {1,...,r}, gdzie S V(G). Pare (G,c r ) nazywamy cześciowo r-pokolorowanym grafem. Jeżeli żaden wierzcho lek grafu nie jest pokolorowany lub wszystkie wierzcho lki grafu sa pokolorowane, to również mówimy, że graf jest cześciowo pokolorowany. Niech P bedzie addytywna w lasności a dziedziczna. Mówimy, że kolor i jest (P, r)-dopuszczalny dla niepokolorowanego wierzcho lka v, jeżeli i {1,...,r} i po pokolorowaniu wierzcho lka v kolorem i, nie pojawi sie monochromatyczny podgraf zabroniony dla w lasności P, zawierajacy v. Niech β(g) zawiera grafy izomorficzne z G, które zosta ly cześciowo pokolorowane.

25 Autoreferat 23 Definicja 1 Rodzine β(g) nazywamy (P,r)-rozgrywanie domkniet a, jeżeli dla każdego (G,c r ) β(g) zachodzi: (i) Jeżeli w (G,c r ) sa wierzcho lki niepokolorowane, to istnieje wierzcho lek, który może być pokolorowany przez Alice kolorem (P, r)-dopuszczalnym w taki sposób, że otrzymany graf bedzie należa l do β(g). (ii) Jeżeli Bob pokoloruje wierzcho lek grafu (G,c r ) dowolnym kolorem i, i {1,..., r} i po jego ruchu sa wierzcho lki niepokolorowane, to istnieje wierzcho lek, który może być pokolorowany przez Alice kolorem (P, r)-dopuszczalnym w taki sposób, że otrzymany graf bedzie należa l do β(g). Definicja 2 (G, P, r)-strategia (1) Alice konstruuje rodzine (P,r)-rozgrywanie domkniet a β(g), która zawiera niepokolorwany graf G. (2) Alice gra w taki sposób, że zawsze po jej ruchu otrzymany graf należy do β(g). Bezpośrednio z definicji rodziny rozgrywanie domknietej wynika, że grajac zgodnie z (G,P,r)-strategia, Alice wygra P-gre z r kolorami na grafie G. Ponadto zauważmy też, że grajac zgodnie z ta strategia Alice wygra gre, jeżeli pierwszy ruch bedzie należa l do Boba lub jeżeli bedziemy rozważali gre, w której dopuszczamy, że Bob może opuścić swój ruch. W pracy [H9] zdefiniowano gre, w której Bob ma wiecej swobody w kolorowaniu niż Alice i może opuścić swój ruch. (G, P, r)-strategia umożliwia Alice wygranie również tej gry. Niech dany bedzie graf G, addytywna w lasność dziedziczna P i zbiór kolorów {1,...,r}. Dwóch graczy, Alice i Bob, koloruja wierzcho lki grafu G, Alice rozpoczyna gre. Gracze graja naprzemian, ale Bob może opuścić swój ruch. Bob może pokolorować wierzcho lek dowolnym kolorem ze zbioru {1,...,r}, Alice musi pokolorować wierzcho lek kolorem (P, r)-dopuszczalnym dla tego wierzcho lka. Jeżeli wszystkie wierzcho lki grafu sa pokolorowane, to gre wygrywa Alice, w przeciwnym razie gre wygrywa Bob. Zatem Bob wygrywa gre, gdy pojawi sie niepokolorowany wierzcho lek, dla którego nie ma (P,r)-dopuszczalnego koloru. Powyższa gre nazywamy jednostronna P-gra z r kolorami. Jednostronnie P-rozgrywana liczba chromatyczna, oznaczana przez χ P ug(g), nazywamy najmniejsza liczbe kolorów r, dla której Alice ma strategie wygrywajac a w jednostronna gra P-kolorujac a. Ponieważ w jednostronnej P-grze Bob ma wieksz a swobode ruchu niż w P- grze, jednostronnie P-rozgrywana liczba chromatyczna jest ograniczeniem górnym P-rozgrywanej liczby chromatycznej

26 Autoreferat 24 Twierdzenie 27 ([H9], Lem. 5) Dla dowolnego grafu G zachodzi χ P g (G) χ P ug(g). W dotychczasowej literaturze bardzo czesto do oszacowania rozgrywanej liczby chromatycznejdanegografuwykorzystywanorozgrywanaliczbekoloruj ac a, ponieważ χ g (G) col g (G). Jednostronnie rozgrywana liczba chromatyczna jest lepszym ograniczeniem dla rozgrywanej liczby chromatycznej niż rozgrywana liczba kolorujaca. Przypomnijmy, że χ g (G) = χ O g (G). Twierdzenie 28 ([H9], Lem. 6) Dla dowolnego grafu G zachodzi χ g (G) χ O ug(g) col g (G). Ponadto rozgrywanej liczby kolorujacej nie można wykorzystać do ograniczenia rozgrywanej liczby d-niew laściwie chromatycznej, natomiast jednostronnie rozgrywana liczba chromatyczna może być też narzedziem do badania tego parametru. Twierdzenie 29 ([H9], Lem. 7) Dla dowolnego grafu G zachodzi χ d g(g) χ S d ug(g). Rozważmy graf K 3,3 i jego podgraf G = K 3,3 M, gdzie M jest 1-faktorem grafu K 3,3. Latwo sprawdzić, że χ g (K 3,3 ) = 3, natomiast dla grafu G Bob ma strategie wygrywajac a w gre 3-kolorujac a. Na tym przyk ladzie widzimy, że rozgrywana liczba chromatyczna nie jest monotoniczna, co czesto utrudnia jej badanie. W przeciwieństwie do rozgrywanej liczby chromatycznej, jednostronnie rozgrywana liczba chromatyczna jest monotoniczna. Twierdzenie 30 ([H9], Lem. 3) Jeżeli G jest podgrafem G, to χ P ug(g ) χ P ug(g). Ponadto odpowiedź na pytanie postawione w problemie 1 dla jednostronnej gry kolorujacej jest pozytywna. Twierdzenie 31 ([H9], Lem. 4) Jeżeli Alice ma strategie wygrywajac a dla jednostronnej P-gry na grafie G z r kolorami, to ma strategie wygrywajac a dla jednostronnej P-gry na G z t kolorami dla t r.

27 Autoreferat 25 V. Omówienie pozosta lych osiagni eć naukowo-badawczych A) Lista publikacji niewchodzacych w sk lad osiagniecia naukowego (prezentacja zgodna z kolejnościa omawiania): [P1] E. Sidorowicz, Size of C 3 -saturated graphs, Zeszyty Naukowe Politechniki Rzeszowskiej 118 (1993) [P2] K. Amin, J. Faudree, R.J. Gould, E. Sidorowicz, On the non-(p 1)-partite K p -free graphs, Discuss. Math. Graph Theory 33 (2013) [P3] M. Borowiecki, E. Sidorowicz, Weakly P-saturated graphs, Discuss. Math. Graph Theory 22 (2002) [P4] E. Sidorowicz, Size of weakly saturated graphs, Discrete Math. 307 (2007) [P5] M. Borowiecki, E. Sidorowicz, Some extremal problems of graphs with local constraints, Discrete Math. 251 (2002) [P6] M. Borowiecki, P. Borowiecki, E. Sidorowicz, Z. Skupień, On Extremal Size of Locally k-tree Graphs, Czech. Math. J. 60 (135) (2010) [P7] A. Hoffmann, E. Sidorowicz, L. Volkmann, Extremal bipartite graphs with a unique k-factor, Discuss. Math. Graph Theory 26 (2006) [P8] M. Borowiecki, D. Michalak, E. Sidorowicz, Generalized domination, independance and irredundance in graphs, Discuss. Math. Graph Theory 17 (1997) [P9] K. Jesse-Józefczyk, E. Sidorowicz, Secure sets and their expansion in cubic graphs, Cent. Eur. J. Math. doi: /s w druku. [P10] K. Jesse-Józefczyk, E. Sidorowicz, Global security in claw-free cubic graphs, Discrete Appl. Math. doi: /j.dam w druku. [P11] M. Borowiecki, E. Sidorowicz, Zs. Tuza, Game list colouring, Electron. J. Combin. 14 (2007).

28 Autoreferat 26 [P12] P. Borowiecki, E. Sidorowicz, Dynamic coloring of graphs, Fundam. Inform. 114 (2012) [P13] E. Sidorowicz, The relaxed game chromatic number of graphs with cut-vertices, submitted. [P14] P. Dorbec, I. Schiermeyer, E. Sidorowicz, E. Sopena, Rainbow Connection in Oriented Graphs, submitted. B) Omówienie wyników zawartych w publikacjach niewchodzacych w sk lad osiagni ecia naukowego Maksymalne grafy K p -wolne ([P1], [P2]) Graf G nazywamy K p -wolnym, jeżeli nie zawiera podgrafu izomorficznego z K p. Używajac terminologii w lasności dziedzicznych, graf G jest K p -wolny, jeżeli G I p 2. Graf G jest maksymalny K p - wolny (K p -nasycony), jeżeli dla dowolnej krawedzi e / E(G) graf G + e zawiera K p. Klasyczne Twierdzenie Turána [53] mówi, że jeżeli n-wierzcho lkowy graf K p - wolny ma najwiekszy rozmiar, to jest izomorficzny z grafem pe lnym (p 1)-dzielnym K n1,...,n p 1 takim, że n i n j 1 dla i,j = 1,...,p 1 i n n p 1 = n. Z drugiej strony Erdős et al. [29] udowodnili, że każdy n-wierzcho lkowy (n p 1) graf maksymalny K p -wolny ma co najmniej (p 2)n 1 (p 1)(p 2) krawedzi. Z 2 udowodnionego w pracy [29] twierdzenia wynika również, że każdy n-wierzcho lkowy graf maksymalny K p -wolny najmniejszego rozmiaru jest grafem (p 1)-dzielnym i ma wierzcho lek stopnia n 1. Problem znalezienia najmniejszego rozmiaru n- wierzcho lkowego grafu maksymalnego K p -wolnego bez wierzcho lka stopnia n 1 by l rozważany w pracach Füredi et al. [37], Erdős et al [30] i Alon et al. [2]. Duffus et al. [25] badali minimalny rozmiar maksymalnych grafów K p -wolnych z ustalonym minimalnym stopniem. Wpracach[P1]i[P2]rozważanografymaksymalneK p -wolne, któreniesa(p 1)- dzielne. Prace [P1] i [P2] zawieraja wyniki rozprawy doktorskiej autorki niniejszego opracowania. Najmniejszy i najwiekszy rozmiar n-wierzcho lkowego grafu maksymalnego K p -wolnego, który nie jest grafem (p 1)-dzielnym, oznaczamy odpowiednio przez s(n,k p ) i e(n,k p ). Wyznaczono wartości s(n,k p ) i e(n,k p ) oraz badano spektrum rozmiaru takich grafów. W pracy [P1] rozwiazano ten problem dla p = 3. PóźniejtesamewynikiotrzymaliBarefootet al. w[6]. Problemdlap = 4by lbadany przez Amin et al. w [3]. W pracy [P2] rozstrzygnieto ten problem dla dowolnego