Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie"

Transkrypt

1 Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62

2 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. 2 / 62

3 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. 3 / 62

4 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). 4 / 62

5 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). χ(g) = 4, 4-chromatyczny 5 / 62

6 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych χ(g) = 4, 4-chromatyczny 6 / 62

7 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków χ(g) = 4, 4-chromatyczny 7 / 62

8 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków wierzchołki z pętlami nie mogą być w ogóle kolorowane χ(g) = 4, 4-chromatyczny 8 / 62

9 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków wierzchołki z pętlami nie mogą być w ogóle kolorowane χ(g) = 4, 4-chromatyczny Problem kolorowania wierzchołków grafów rozpatrujemy tylko dla prostych grafów spójnych. 9 / 62

10 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. 10 / 62

11 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. Twierdzenie Jeżeli graf jest grafem cyklicznym C n, to { 2 dla n parzystego χ(c n) = 3 dla n nieparzystego, co możemy zapisać inaczej χ(c 2i+1 ) = 3, χ(c 2i ) = 2 dla i {1, 2,...}. 11 / 62

12 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. Twierdzenie Jeżeli graf jest grafem cyklicznym C n, to { 2 dla n parzystego χ(c n) = 3 dla n nieparzystego, co możemy zapisać inaczej χ(c 2i+1 ) = 3, χ(c 2i ) = 2 dla i {1, 2,...}. a) χ(k 4) = 4 b) χ(c 5) = 3 c) χ(c 6) = 2 12 / 62

13 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie χ(g) = 1 jeżeli G jest grafem pustym (składającym się jednego wierzchołka). χ(g) = 2, gdy G jest grafem dwudzielnym, w szczególności każde drzewo jest 2-chromatyczne. 13 / 62

14 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie χ(g) = 1 jeżeli G jest grafem pustym (składającym się jednego wierzchołka). χ(g) = 2, gdy G jest grafem dwudzielnym, w szczególności każde drzewo jest 2-chromatyczne. χ(g) = 1 χ(k 3,2) = 2 χ(t ) = 2 14 / 62

15 Zbiory niezależne Zachłanny algorytm kolorowania wierzchołków grafu Dane: graf prosty G, o n wierzchołkach, którego wierzchołki są ponumerowane {v 1, v 2,..., v n}, kolory numerujemy od 1 do n Wynik: pokolorowany graf G ZAKG(G) 1 przypisz kolor 1 do wierzchołka v 1 2 for k 2 to n 3 do 4 dla wierzchołka v k użyj pierwszego dostępnego koloru, 5 który nie był wykorzystany do pokolorowania wierzchołka sąsiedniego 15 / 62

16 Przykład Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne v 1 v 4 v 2 v 2 v 3 v 5 v 5 v 3 v 6 Proces kolorowania rozpoczynamy od wierzchołka v 1. v 6 v 4 v 1 w wyniku działania algorytmu otrzymamy graf / 62

17 Oszacowania liczby χ(g) Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne Uwaga Z definicji liczby χ(g) wynika, że jeżeli graf G ma n wierzchołków, to jego liczba chromatyczna jest nie większa od n tzn. V = n χ(g) n 17 / 62

18 Oszacowania liczby χ(g) Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne Uwaga Z definicji liczby χ(g) wynika, że jeżeli graf G ma n wierzchołków, to jego liczba chromatyczna jest nie większa od n tzn. V = n χ(g) n b 3 Definicja Kliką grafu G nazywamy jego podgraf pełny. b 4 b 3 b 1 b 2 4 χ(g) 5 Twierdzenie W dowolnym grafie χ(g) ω gdzie ω jest rozmiarem (ilością wierzchołków) największej kliki. χ(g) = 4 18 / 62

19 Zbiory niezależne Twierdzenie Brooksa Jeżeli graf G = V, E jest grafem prostym, w którym stopień grafu jest równy (G), to χ(g) (G) + 1 (1) 19 / 62

20 Zbiory niezależne Twierdzenie Brooksa Jeżeli graf G = V, E jest grafem prostym, w którym stopień grafu jest równy (G), to χ(g) (G) + 1 (1) Uwaga Równość w relacji (1) zachodzi tylko w dwu przypadkach: gdy graf G jest grafem pełnym K n (n 3). Wiemy, że (K n) = n 1 i χ(k n) = n stąd (K n) + 1 = n = n = χ(k n) gdy graf G jest grafem cyklicznym o nieparzystej liczbie wierzchołków tzn. G = C 2i+1, (i = 1, 2,...). Mamy (C 2i+1 ) = 2, χ(c 2i+1 ) = 3, stąd (C 2i+1 ) + 1 = = 3 = χ(c 2i+1 ) 20 / 62

21 Zbiory niezależne Uwaga Z twierdzenia Brooksa wynika, że K 2,s jest s + 1 kolorowalny tzn. χ(k 2,s) s + 1, ale jak łatwo można stwierdzić χ(k 2,s) = / 62

22 Zbiory niezależne Uwaga Z twierdzenia Brooksa wynika, że K 2,s jest s + 1 kolorowalny tzn. χ(k 2,s) s + 1, ale jak łatwo można stwierdzić χ(k 2,s) = 2. y 2 x 1 x 2 x 3 x s y 1 22 / 62

23 Zbiory niezależne Definicja Podzbiór wierzchołków S V grafu g = (V, E), nazywamy niezależnym, jeżeli żadne dwa wierzchołki tego podzbioru, nie są sąsiednie. W szczególności każdy podzbiór jednoelementowy zbioru V oraz zbiór pusty wierzchołków jest zbiorem niezależnym grafu G. 23 / 62

24 Zbiory niezależne Definicja Podzbiór wierzchołków S V grafu g = (V, E), nazywamy niezależnym, jeżeli żadne dwa wierzchołki tego podzbioru, nie są sąsiednie. W szczególności każdy podzbiór jednoelementowy zbioru V oraz zbiór pusty wierzchołków jest zbiorem niezależnym grafu G zbiory niezależne: {2, 5, 7, 8}, {1, 3, 7}, {2, 4, 8}, {4, 6}, {3, 6}, {1, 5, 7}, {1, 4}, {3, 7, 8} 24 / 62

25 Zbiory niezależne Definicja Liczbę α(g) = max S i i gdzie S i są wszystkimi niezależnymi zbiorami grafu G, nazywamy liczbą niezależności grafu G. Zbiór S, dla którego osiągnięte jest maksimum, nazywamy maksymalnym zbiorem niezależnym. 25 / 62

26 Zbiory niezależne Definicja Liczbę α(g) = max S i i gdzie S i są wszystkimi niezależnymi zbiorami grafu G, nazywamy liczbą niezależności grafu G. Zbiór S, dla którego osiągnięte jest maksimum, nazywamy maksymalnym zbiorem niezależnym Dla grafu z rysunku mamy S = {2, 5, 7, 8} oraz α(g) = 4 26 / 62

27 Zbiory niezależne Problem pokolorowania wierzchołków grafu jest równoważny z podzieleniem zbioru wierzchołków V na k rozłącznych podzbiorów niezależnych, takich, że k i=1 V i = V. Wtedy χ(g) = k, V 1 = {1, 3}, V 2 = {4, 6}, V 3 = {2, 5, 7, 8}. Graf jest 3-kolorowalny i χ(g) = / 62

28 Oszacowanie liczby chromatycznej Zbiory niezależne Własność Liczbę chromatyczną grafu można oszacować następująco n χ(g) α(g) y x 1 x 2 x 3 x s 7 5 y 1 χ(g) 8 4 = 2 oraz z twierdzenia Brooksa mamy 6 χ(g) 2 Dla grafu K 2,s mamy α(g) = s oraz χ(g) s + 2 α(g) = s + 2 = 2 s Można zauważyć, że χ(g) = / 62

29 - definicja Definicja Mówimy, że graf G jest krawędziowo k kolorowalny jeśli jego krawędzie można pokolorować k kolorami w taki sposób, że przyległe krawędzie mają różne kolory. Jeżeli graf G jest krawędziowo k kolorowalny i nie jest krawędziowo (k 1) kolorowalny, to mówimy, że jego indeks chromatyczny χ(g) wynosi k. G 1 G 2 χ(g 1) = 4 i χ(g 2) = 5 29 / 62

30 Indeks chromatyczny grafów pełnych Twierdzenie Indeks chromatyczny grafu pełnego K n wynosi: { n 1 jeżeli n parzyste χ(k n) = n jeżeli n nieparzyste a) b) c) χ(k 4) = 3, χ(k 5) = 5, χ(k 7) = 7 30 / 62

31 Indeks chromatyczny grafów cyklicznych Łatwo zauważyć, że indeks chromatyczny grafu cyklicznego C n wynosi: { 2 gdy n parzyste, χ(c n) = 3 gdy n nieparzyste. χ(c 5) = 3, χ(c 6) = 2 31 / 62

32 Indeks chromatyczny grafów dwudzielnych Twierdzenie Königa, 1916 Jeżeli w grafie dwudzielnym G = (V, E) największy stopień wierzchołka jest równy, to jego indeks chromatyczny χ(g) = = 3 więc χ(g) = 3 32 / 62

33 Twierdzenie Vizinga Kolorowanie wierzchołków Twierdzenie Vizinga, 1964 Jeżeli graf G = (V, E) jest grafem prostym, w którym największy stopień wierzchołka wynosi, to indeks chromatyczny spełnia nierówność χ(g) + 1. G 1 G 2 W każdym z grafów G 1 i G 2 na rysunku największy stopień wierzchołka (G 1) = (G 2) = 4, natomiast = 4 i χ(g 2) = 5. Zatem 4 χ(g 1) = 5 i 4 χ(g 2) = 5 33 / 62

34 Przykład Kolorowanie wierzchołków Pewien serwis techniczny posiada cztery różne warsztaty {w 1, w 2, w 3, w 4} oraz cztery różne ekipy specjalistów {e 1, e 2, e 3, e 4}. Serwis otrzymał do wykonania siedem różnych napraw w różnych miejscowościach. Każda naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego warsztatu, co przedstawia graf G na rysunku w 1 1 e 1 w 2 w e 2 e 3 3 w 4 e 4 W istniejących warunkach jedna ekipa, wyposażona w jeden warsztat, może jednego dnia wykonać co najwyżej jedną naprawę. Należy opracować taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby liczba niezbędnych dni była minimalna. Rozwiązanie powyższego zadania będzie oparte na pokolorowaniu krawędzi grafu G tak, aby liczba kolorów była minimalna. Naprawy wyznaczone na krawędziach tego samego koloru mogą być realizowane w tym samym dniu. Minimalna ilość dni w ciągu których, może być zrealizowane całe zamówienie jest równa indeksowi chromatycznemu grafu pokazanego na rysunku. Innym rozwiązaniem jest: naprawy (1, 2, 3, 6) będą realizowane jednego dnia, następnego dnia naprawy (4, 5), a trzeciego dnia - naprawa / 62

35 Grafy planarne Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie krawędzie mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny, będący wierzchołkiem incydentnym z tymi krawędziami. Graf, który nie jest planarny nazywamy grafem nieplanarnym. 2 1 d g 5 a c b e f / 62

36 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. 36 / 62

37 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. Z definicji tej wynika, że region jest wyznaczony przez pewną płaską reprezentację grafu G, a nie przez sam abstrakcyjny graf. x 5 x 9 x 11 x 10 f 1 f 4 x 6 x 6 x 5 x 8 f 3 x 12 f 1 f 2 f 2 x 4 x 7 f 5 f 3 x 7 x 13 x 14 x 3 x 4 x 3 f 5 a) f b) x 1 x 6 2 f 6 x 1 x 2 f 4 37 / 62

38 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. Z definicji tej wynika, że region jest wyznaczony przez pewną płaską reprezentację grafu G, a nie przez sam abstrakcyjny graf. x 5 x 9 x 11 x 10 f 1 f 4 x 6 x 6 x 5 x 8 f 3 x 12 f 1 f 2 f 2 x 4 x 7 f 5 f 3 x 7 x 13 x 14 x 3 x 4 x 3 f 5 a) f b) x 1 x 6 2 f 6 x 1 x 2 f 4 Region f 4 jest regionem nieskończonym. Każdy graf planarny posiada tylko jeden region nieskończony. Przez zmianę płaskiej reprezentacji grafu można zmienić postać regionu z nieskończonego na skończony i odwrotnie. 38 / 62

39 Twierdzenie Eulera dla grafów planarnych Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Eulera, 1750 Niech dany będzie spójny graf planarny o n wierzchołkach, m krawędziach i f regionach. Wówczas zachodzi związek f = m n + 2 n = 7 f 1 x 5 f 4 x 6 m = 11 f = m n + 2 = = = 6 f 3 f 2 x 4 x 7 x 3 f 5 f 6 x 1 x 2 39 / 62

40 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n / 62

41 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n 4. Twierdzenie Graf K 5 jest grafem nieplanarnym 41 / 62

42 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n 4. Twierdzenie Graf K 5 jest grafem nieplanarnym Twierdzenie Graf K 3,3 nie jest grafem planarnym. 42 / 62

43 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. 43 / 62

44 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. u u u t x v y z x v y x p q v y z 44 / 62

45 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. u u u t x v y z x v y x p q v y z Twierdzenie Kuratowskiego, 1930 Dany graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K 5 lub z grafem K 3,3. 45 / 62

46 Uogólnione grafy Petersena Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Gwiaździstym wielobokiem {n/k} nazywamy graf o n wierzchołkach połączonych co k wierzchołków. Bez straty ogólności można założyć, że k < n / 62

47 Uogólnione grafy Petersena Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Uogólnionym grafem Petersena nazywamy graf P n,k, dla n 3 i 1 k (n 1)/2, który składa się z grafu wewnętrznego, który jest gwiaździstym wielobokiem {n/k}, grafu zewnętrznego C n, oraz odpowiednie wierzchołki grafu zewnętrznego są połączone z grafem wewnętrznym. graf P 3,1 graf P 5,1 i P 5,2 graf P 4,1 47 / 62

48 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. 48 / 62

49 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. Twierdzenie Graf Petersena jest grafem nieplanarnym. 49 / 62

50 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. Twierdzenie Graf Petersena jest grafem nieplanarnym. Dowód wynika wprost z tw. Kuratowskiego 50 / 62

51 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. 51 / 62

52 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. a) b) k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 3 k 1 k 2 52 / 62

53 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. a) b) k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 3 k 1 k 2 Definicja Najmniejsza liczbę k taką, że regiony grafu planarnego G są regionalnie k kolorowalne nazywamy liczbą chromatyczną regionów tego grafu i oznaczać będziemy µ(g). 53 / 62

54 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Regiony grafu można pokolorować dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek grafu jest stopnia parzystego. k 2 k 2 a) b) k 1 k 1 k 1 k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 2 k 1 54 / 62

55 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Graf kubiczny można pokolorować trzema barwami wtedy i tylko wtedy, gdy jest dwudzielny. 55 / 62

56 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Graf kubiczny można pokolorować trzema barwami wtedy i tylko wtedy, gdy jest dwudzielny. 56 / 62

57 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. 57 / 62

58 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: 58 / 62

59 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. 59 / 62

60 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. Twierdzenie o czterech kolorach zostało udowodnione dopiero w 1976 roku przez dwóch amerykańskich matematyków K. Appela i W. Hakena. Był to bardzo skomplikowany dowód wspomagany komputerowo. 60 / 62

61 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. Twierdzenie o czterech kolorach zostało udowodnione dopiero w 1976 roku przez dwóch amerykańskich matematyków K. Appela i W. Hakena. Był to bardzo skomplikowany dowód wspomagany komputerowo. W 2004 roku pojawił się nowy dowód tego wyniku, również wykorzystujący komputer, ale obejmujący tylko 600 redukowalnych konfiguracji, które można sprawdzić na laptopie w ciągu kilku godzin. Jego autorami są Robertson, Sanders, Seymour i Thomas z Atlanty. 61 / 62

62 Grafy planarne Kolorowanie regionów Dziękuję za uwagę!!! 62 / 62

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia)

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Jarosław Grytczuk 1 O trudnej sztuce liczenia 1.1 Zasada Mnożenia 1. Pewien pan ma 5 garniturów, 7 krawatów i 10 koszul. Ile różnych zestawów może skompletować? 2. W zawodach

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH Arkadiusz Biel Kraków 2011 Wielokąty gwiaździste są ciekawym przypadkiem wielokątów, gdyż posiadają

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Halla o małżeństwach

Twierdzenie Halla o małżeństwach Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

Ubogi kartograf Kolorowanie grafu

Ubogi kartograf Kolorowanie grafu Temat 13 Ubogi kartograf Kolorowanie grafu Streszczenie Wiele problemów optymalizacyjnych dotyczy sytuacji, gdy dwa zdarzenia nie mogą wystąpić w tym samym momencie lub gdy pewne obiekty nie mogą do siebie.

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Problemy z ograniczeniami

Problemy z ograniczeniami Problemy z ograniczeniami 1 2 Dlaczego zadania z ograniczeniami Wiele praktycznych problemów to problemy z ograniczeniami. Problemy trudne obliczeniowo (np-trudne) to prawie zawsze problemy z ograniczeniami.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl

Szkoła Podstawowa. Uczymy się dowodzić. Opracowała: Ewa Ślubowska. ewa.slubowska@wp.pl Szkoła Podstawowa Uczymy się dowodzić Opracowała: Ewa Ślubowska ewa.slubowska@wp.pl PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA II etap edukacyjny: klasy IV VI I. Sprawność rachunkowa. Uczeń wykonuje proste

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI

ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI J.NAWROCKI, M. ANTCZAK, H. ĆWIEK, W. FROHMBERG, A. HOFFA, M. KIERZYNKA, S.WĄSIK ĆWICZENIE NR 1 WPROWADZENIE DO INFORMATYKI ZAD. 1. Narysowad graf nieskierowany. Zmodyfikowad go w taki sposób, aby stał

Bardziej szczegółowo

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza

Test, dzień pierwszy, grupa młodsza Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku

Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia 2013 roku Konkurs dla szkół ponadgimnazjalnych Etap szkolny 9 stycznia roku Instrukcja dla ucznia W zadaniach o numerach od do są podane cztery warianty odpowiedzi: A, B, C, D Dokładnie jeden z nich jest poprawny

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013

Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 2013 Notatki przygotowawcze dotyczące inwersji na warsztaty O geometrii nieeuklidesowej hiperbolicznej Wrocław, grudzień 013 3.4.1 Inwersja względem okręgu. Inwersja względem okręgu jest przekształceniem płaszczyzny

Bardziej szczegółowo

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza

1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza 165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie

Bardziej szczegółowo

Dzień pierwszy- grupa młodsza

Dzień pierwszy- grupa młodsza Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk

Bardziej szczegółowo

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI

TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI TWIERDZENIE TALESA W PRZESTRZENI PRACA BADAWCZA autor Agnieszka Duszeńko Uniwersytet Wrocławski Wydział Matematyki i Informatyki 2005 Na płaszczyźnie: Najpopularniejsza, powszechnie znana wersja twierdzenia

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy klasa 3

Plan wynikowy klasa 3 Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji

Bardziej szczegółowo

Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym

Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Prezentacja rozwiązań zadań 26 października 2014 a d c k e b g j i f h Adwokat Autor zadania: Jakub Łącki Zgłoszenia: 118 z 857 (13%) Zaakceptowane

Bardziej szczegółowo

Egzaminy i inne zadania. Semestr II.

Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Egzaminy i inne zadania. Semestr II. Poniższe zadania są wyborem zadań ze Wstępu do Informatyki z egzaminów jakie przeprowadziłem w ciągu ostatnich lat. Ponadto dołączyłem szereg zadań, które pojawiały

Bardziej szczegółowo

WZORU UŻYTKOWEGO PL 67148 Y1. UNITED PACKAGING SPÓŁKA AKCYJNA, Poznań, PL 10.09.2012 BUP 19/12 30.05.2014 WUP 05/14. MATEUSZ PŁÓCIENNIK, Poznań, PL

WZORU UŻYTKOWEGO PL 67148 Y1. UNITED PACKAGING SPÓŁKA AKCYJNA, Poznań, PL 10.09.2012 BUP 19/12 30.05.2014 WUP 05/14. MATEUSZ PŁÓCIENNIK, Poznań, PL PL 67148 Y1 RZECZPOSPOLITA POLSKA Urząd Patentowy Rzeczypospolitej Polskiej (12) OPIS OCHRONNY WZORU UŻYTKOWEGO (21) Numer zgłoszenia: 119796 (22) Data zgłoszenia: 01.03.2011 (19) PL (11) 67148 (13) Y1

Bardziej szczegółowo

Wzór Eulera z wykorzystaniem klocków Reko

Wzór Eulera z wykorzystaniem klocków Reko Wzór Eulera z wykorzystaniem klocków Reko Bartłomiej Zemlik Klasa IVa Szkoła Podstawowa im. Bohaterów Monte Cassino w Kętach ul. Wyspiańskiego 1 32-650 Kęty Opiekun dr Katarzyna Wadoń-Kasprzak 1 Spis Treści

Bardziej szczegółowo

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki

DZIAŁ I: LICZBY I DZIAŁANIA Ocena dostateczna. Ocena dobra. Ocena bardzo dobra (1+2) (1+2+3+4) Uczeń: (1+2+3) Uczeń: określone warunki MATEMATYKA KLASA I I PÓŁROCZE -wyróżnia liczby naturalne, całkowite, wymierne -zna kolejność wykonywania działań -rozumie poszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne -porównuje liczby wymierne -zaznacza

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum

Wymagania edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum edukacyjne niezbędne do uzyskania poszczególnych ocen śródrocznych i rocznych ocen klasyfikacyjnych z matematyki klasa 1 gimnazjum Semestr I Stopień Rozdział 1. Liczby Zamienia liczby dziesiętne na ułamki

Bardziej szczegółowo

Podstawy działań na wektorach - dodawanie

Podstawy działań na wektorach - dodawanie Podstawy działań na wektorach - dodawanie Metody dodawania wektorów można podzielić na graficzne i analityczne (rachunkowe). 1. Graficzne (rysunkowe) dodawanie dwóch wektorów. Założenia: dane są dwa wektory

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KLASA I GIMNAZJUM na rok szkolny 2014/2015 Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: (na każdą wyższą ocenę obowiązują również wiadomości na oceny niższe oraz wiadomości

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016

Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 Kryteria oceniania z matematyki w klasie pierwszej w roku szkolnym 2015/2016 1) Liczby - zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane, - zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne klasa 1 Matematyka Liczy się matematyka Klasa klasa Rozdział. Liczby zamienia liczby dziesiętne skończone na ułamki zwykłe i liczby mieszane zapisuje ułamek zwykły w postaci ułamka dziesiętnego skończonego porównuje

Bardziej szczegółowo

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA CZ. 1

ZADANIA NA DOWODZENIE GEOMETRIA CZ. 1 Projekt współfinansowany ze środków Unii uropejskiej w ramach uropejskiego Funduszu Społecznego. ZNI N OWOZNI GOMTRI Z. 1 utor: Wojciech Guzicki Materiały konferencyjne Wrzesień 010 entralna Komisja gzaminacyjna

Bardziej szczegółowo

Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły

Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły Grafika komputerowa Wykład 6 Krzywe, powierzchnie, bryły Instytut Informatyki i Automatyki Państwowa Wyższa Szkoła Informatyki i Przedsiębiorczości w Łomży 2 0 0 9 Spis treści Spis treści 1 2 obiektów

Bardziej szczegółowo

Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3}

Grafy. Jeżeli, to elementy p i q nazywamy końcami krawędzi e. f a b c d e γ f {1} {1,2} {2,3} {2,3} {1,3} Grafy Definicja grafu nieskierowanego. Grafem nieskierowanym nazywamy uporządkowaną trójkę: gdzie: V- niepusty zbiór wierzchołków grafu G E- zbiór wszystkich krawędzi grafu G - funkcja ze zbioru E w zbiór

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania

Przykładowe rozwiązania Przykładowe rozwiązania Poniższy dokument zawiera przykładowe rozwiązania zadań z I etapu I edycji konkursu (2014 r.). Rozwiązania w formie takiej jak przedstawiona niżej uzyskałyby pełną liczbę punktów

Bardziej szczegółowo

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne

Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja

Bardziej szczegółowo

Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym

Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Akademickie Mistrzostwa Polski w Programowaniu Zespołowym Prezentacja rozwiązań zadań 30 października 2011 c h k f e j i a b d g Czy się zatrzyma? Autor zadania: Jakub Łącki Zgłoszenia: 104 z 914 (11%)

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA I DZIAŁ; LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI poziom rozszerzony Próbny egzamin maturalny z matematyki. Poziom rozszerzony 1 PRÓNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI poziom rozszerzony ZNI ZMKNIĘTE W każdym z zadań 1.. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

I. LICZBY I DZIAŁANIA

I. LICZBY I DZIAŁANIA WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA PIERWSZA GIMNAZJUM I. LICZBY I DZIAŁANIA 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej. 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne. 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.

Ćwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r. Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,

Bardziej szczegółowo

Scenariusz 14. Miejscowość turystyczna

Scenariusz 14. Miejscowość turystyczna Scenariusz 14. Miejscowość turystyczna Znakomitym modelem wielu problemów (np. inżynierskich) mogą być obiekty matematyczne zwane grafami. Dzięki temu abstrakcyjnemu przedstawieniu danego problemu projektowanie

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I

WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I WYMAGANIA EDUKACYJNE - MATEMATYKA KL. I Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej 2. Rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne 3. Umie

Bardziej szczegółowo

Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera

Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera Odkrywanie twierdzeń geometrycznych przy pomocy komputera Andrzej Sendlewski WMiI UMK Koło Matematyczne 15 maja 2010 DGS programy komputerowe CINDERELLA ver. 1.4, ver. 2.0 (komercyjna) Circle & Ruler (R.

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZBY I DZIAŁANIA Poziom konieczny - ocena dopuszczająca porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej,

Bardziej szczegółowo

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.

Proces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi

Bardziej szczegółowo

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska

Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska Egzamin Gimnazjalny Zadania na dowodzenie Opracowała: Ewa Ślubowska W nauczaniu matematyki ważne jest rozwijanie różnych aktywności umysłu. Ma temu służyć min. rozwiązywanie jednego zadania czy dowodzenie

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Definicja ciągu liczbowego. Definicja 1.1. Ciągiem liczbowym nazywamy funkcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R i oznaczamy przez {a

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM

WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE KLASA I GIMNAZJUM OCENA DOPUSZCZAJĄCA pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej, pojęcia: rozwinięcie dziesiętne skończone, nieskończone, okres, algorytm zaokrąglania

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VI ROK SZKOLNY 2015/2016 PROGRAM NAUCZANIA MATEMATYKA 2001 DLA KLAS 4 6 SZKOŁY PODSTAWOWEJ REALIZOWANY PRZY POMOCY PODRĘCZNIKA MATEMATYKA 2001 DLA KLASY VI I.

Bardziej szczegółowo

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016

SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 SZCZEGÓŁOWE WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI KLASA I 2015/2016 Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: (Liczby i działania) zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej

Bardziej szczegółowo

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE klasa 1

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE klasa 1 KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE klasa 1 Przedstawiamy, jakie umiejętności z danego działu powinien zdobyć uczeń, aby uzyskać poszczególne stopnie. Na ocenę dopuszczający uczeń

Bardziej szczegółowo

Wymagania eduka cyjne z matematyki

Wymagania eduka cyjne z matematyki Wymagania eduka cyjne z matematyki Klasa I - program Matematyka z plusem" Dział: LICZ B Y I DZIAŁANIA porównywać liczby wymierne, zaznaczać liczby wymierne na osi liczbowej, zamieniać ułamki zwykłe na

Bardziej szczegółowo

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16

Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 Przedmiotowy System Oceniania klasa I TH matematyka PP 2015/16 PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające

Bardziej szczegółowo

Umieszczanie zbiorów częściowo uporządkowanych w książce o minimalnej liczbie stron

Umieszczanie zbiorów częściowo uporządkowanych w książce o minimalnej liczbie stron Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Anna Beata Kwiatkowska Umieszczanie zbiorów częściowo uporządkowanych w książce o minimalnej liczbie stron rozprawa doktorska napisana

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie zaznaczać liczbę

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum

Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum Kryteria oceniania z zakresu klasy pierwszej opracowane w oparciu o program Matematyki z plusem dla Gimnazjum DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA HASŁO PROGRAMOWE WIADOMOŚCI I UMIEJĘTNOŚCI PODSTAWOWE WIADOMOŚCI

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 5508 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż rysunek,

Bardziej szczegółowo

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników

Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Podzielność liczb; iloczyn i suma dzielników Liczba dzielników Postać (rozkład) kanoniczna każdej liczby N = p α1 1 pα2 2... pαr 1 pαr r. Każdy dzielnik d naszej liczby ma swojego partnera d 1 : N = d

Bardziej szczegółowo

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA

Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO DZIAŁ 1. LICZBY I DZIAŁANIA Wymagania przedmiotowe z matematyki w klasie I gimnazjum opracowane dla programu Matematyka z plusem GWO POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM

WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM WYMAGANIA Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY DLA I KLASY GIMNAZJUM OPRACOWANO NA PODSTAWIE PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI Matematyka 1 Podręcznik do gimnazjum Nowa wersja, praca zbiorowa

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny Matematyka klasa I Gimnazjum Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM

KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM KRYTERIA OCENY Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D - dopełniający

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY W KLASIE I GIMNAZJUM NA OCENĘ DOPUSZCZJĄCĄ UCZEN: zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie

Bardziej szczegółowo

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy

Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Matura próbna 2014 z matematyki-poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych zad 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 odp A C C C A A B B C B D A 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C C A B A D C B

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2

Dopuszczający. Opracowanie: mgr Michał Wolak 2 Dopuszczający zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby wymierne proste przypadki umie zaznaczać liczbę wymierną na

Bardziej szczegółowo

ogólnej zasady, któraformułujemy następujaco.

ogólnej zasady, któraformułujemy następujaco. Matematyka Dyskretna Jarosław Grytczuk 1 O trudnej sztuce liczenia 1.1 Zasada Mnożenia Jolanta K. (imię i inicjał fikcyjne) wybiera się na koncert charytatywny. Jak zwykle w takich wypadkach staje przed

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE

PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE PODSTAWOWE KONSTRUKCJE GEOMETRYCZNE Dane będę rysował na czarno. Różne etapy konstrukcji kolorami: (w kolejności) niebieskim, zielonym, czerwonym i ewentualnie pomarańczowym i jasnozielonym. 1. Prosta

Bardziej szczegółowo

PODZIAŁ LOGICZNY. Zbiór Z. Zbiór A. Zbiór B

PODZIAŁ LOGICZNY. Zbiór Z. Zbiór A. Zbiór B Fragment książki Jarosława Strzeleckiego Logika z wyobraźnią. Wszelki uwagi merytoryczne i stylistyczne proszę kierować pod adres jstrzelecki@uwm.edu.pl PODZIAŁ LOGICZNY I. DEFINICJA: Podziałem logicznym

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM. rok szkolny 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MAYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM rok szkolny 2015/2016 POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K konieczny - ocena dopuszczająca (2); P podstawowy - ocena dostateczna (3); R rozszerzający

Bardziej szczegółowo

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl

Luty 2001 Algorytmy (7) 2000/2001 s-rg@siwy.il.pw.edu.pl System dziesiętny 7 * 10 4 + 3 * 10 3 + 0 * 10 2 + 5 *10 1 + 1 * 10 0 = 73051 Liczba 10 w tym zapisie nazywa się podstawą systemu liczenia. Jeśli liczba 73051 byłaby zapisana w systemie ósemkowym, co powinniśmy

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE VI

KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE VI KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASIE VI Ocenę niedostateczną (1) otrzymuje uczeń, który nie spełnia wymagań na ocenę dopuszczającą, Wymagania na ocenę dopuszczającą (2) rozróżnia liczby pierwsze i

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy. Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI We współpracy z POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM

WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM WYMAGANIA PROGRAMOWE DLA KLASY I GIMNAZJUM Wymagania podstawowe(k- ocena dopuszczająca, P ocena dostateczna), wymagania ponadpodstawowe( R ocena dobra, D ocena bardzo dobra, W ocena celująca) DZIAŁ 1:

Bardziej szczegółowo

Wykorzystanie programu Paint na lekcjach matematyki w nauczaniu zintegrowanym

Wykorzystanie programu Paint na lekcjach matematyki w nauczaniu zintegrowanym Hanna Łukasiewicz HaniaLukasiewicz@interia.pl. Wykorzystanie programu Paint na lekcjach matematyki w nauczaniu zintegrowanym "Technologia informacyjna może wspomagać i wzbogacać wszechstronny rozwój uczniów,

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część VI - Systemy rozproszone, podstawowe pojęcia

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część VI - Systemy rozproszone, podstawowe pojęcia Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część VI - Systemy rozproszone, podstawowe pojęcia Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@kaims.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g

KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g KATALOG WYMAGAŃ PROGRAMOWYCH NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE- MATEMATYKA klasa 1g POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016

Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki. dla uczniów klasy Ia i Ib. Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie. w roku szkolnym 2015/2016 Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki dla uczniów klasy Ia i Ib Gimnazjum im. Jana Pawła II w Mętowie w roku szkolnym 2015/2016 DZIAŁ I: LICZBY zaznacza na osi liczbowej punkty odpowiadające

Bardziej szczegółowo

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI

GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI GIMNAZJUM WYMAGANIA NA POSZCZEGÓLNE OCENY Z MATEMATYKI Klasa I Liczby i działania wskazać liczby naturalne, całkowite, wymierne zaznaczyć liczbę wymierną na osi liczbowej podać liczbę przeciwną do danej

Bardziej szczegółowo

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim

Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki klasa I gim POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (2) P - podstawowy ocena dostateczna (3) R - rozszerzający ocena dobra (4) D -

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM" w roku szkolnym 2015/2016 Litery w nawiasach oznaczają kolejno: K - ocena dopuszczająca P - ocena dostateczna

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLAS IA I IB NA ROK SZKOLNY 2014/2015

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLAS IA I IB NA ROK SZKOLNY 2014/2015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLAS IA I IB NA ROK SZKOLNY 2014/2015 UŁAMKI ZWYKŁE I DZIESIĘTNE Rozpoznaje ułamki właściwe i niewłaściwe Rozszerza ułamek zwykły Skraca ułamek zwykły Zapisuje ułamek

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo