Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Transkrypt

1 Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62

2 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. 2 / 62

3 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. 3 / 62

4 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). 4 / 62

5 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). χ(g) = 4, 4-chromatyczny 5 / 62

6 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych χ(g) = 4, 4-chromatyczny 6 / 62

7 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków χ(g) = 4, 4-chromatyczny 7 / 62

8 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków wierzchołki z pętlami nie mogą być w ogóle kolorowane χ(g) = 4, 4-chromatyczny 8 / 62

9 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków wierzchołki z pętlami nie mogą być w ogóle kolorowane χ(g) = 4, 4-chromatyczny Problem kolorowania wierzchołków grafów rozpatrujemy tylko dla prostych grafów spójnych. 9 / 62

10 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. 10 / 62

11 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. Twierdzenie Jeżeli graf jest grafem cyklicznym C n, to { 2 dla n parzystego χ(c n) = 3 dla n nieparzystego, co możemy zapisać inaczej χ(c 2i+1 ) = 3, χ(c 2i ) = 2 dla i {1, 2,...}. 11 / 62

12 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. Twierdzenie Jeżeli graf jest grafem cyklicznym C n, to { 2 dla n parzystego χ(c n) = 3 dla n nieparzystego, co możemy zapisać inaczej χ(c 2i+1 ) = 3, χ(c 2i ) = 2 dla i {1, 2,...}. a) χ(k 4) = 4 b) χ(c 5) = 3 c) χ(c 6) = 2 12 / 62

13 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie χ(g) = 1 jeżeli G jest grafem pustym (składającym się jednego wierzchołka). χ(g) = 2, gdy G jest grafem dwudzielnym, w szczególności każde drzewo jest 2-chromatyczne. 13 / 62

14 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie χ(g) = 1 jeżeli G jest grafem pustym (składającym się jednego wierzchołka). χ(g) = 2, gdy G jest grafem dwudzielnym, w szczególności każde drzewo jest 2-chromatyczne. χ(g) = 1 χ(k 3,2) = 2 χ(t ) = 2 14 / 62

15 Zbiory niezależne Zachłanny algorytm kolorowania wierzchołków grafu Dane: graf prosty G, o n wierzchołkach, którego wierzchołki są ponumerowane {v 1, v 2,..., v n}, kolory numerujemy od 1 do n Wynik: pokolorowany graf G ZAKG(G) 1 przypisz kolor 1 do wierzchołka v 1 2 for k 2 to n 3 do 4 dla wierzchołka v k użyj pierwszego dostępnego koloru, 5 który nie był wykorzystany do pokolorowania wierzchołka sąsiedniego 15 / 62

16 Przykład Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne v 1 v 4 v 2 v 2 v 3 v 5 v 5 v 3 v 6 Proces kolorowania rozpoczynamy od wierzchołka v 1. v 6 v 4 v 1 w wyniku działania algorytmu otrzymamy graf / 62

17 Oszacowania liczby χ(g) Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne Uwaga Z definicji liczby χ(g) wynika, że jeżeli graf G ma n wierzchołków, to jego liczba chromatyczna jest nie większa od n tzn. V = n χ(g) n 17 / 62

18 Oszacowania liczby χ(g) Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne Uwaga Z definicji liczby χ(g) wynika, że jeżeli graf G ma n wierzchołków, to jego liczba chromatyczna jest nie większa od n tzn. V = n χ(g) n b 3 Definicja Kliką grafu G nazywamy jego podgraf pełny. b 4 b 3 b 1 b 2 4 χ(g) 5 Twierdzenie W dowolnym grafie χ(g) ω gdzie ω jest rozmiarem (ilością wierzchołków) największej kliki. χ(g) = 4 18 / 62

19 Zbiory niezależne Twierdzenie Brooksa Jeżeli graf G = V, E jest grafem prostym, w którym stopień grafu jest równy (G), to χ(g) (G) + 1 (1) 19 / 62

20 Zbiory niezależne Twierdzenie Brooksa Jeżeli graf G = V, E jest grafem prostym, w którym stopień grafu jest równy (G), to χ(g) (G) + 1 (1) Uwaga Równość w relacji (1) zachodzi tylko w dwu przypadkach: gdy graf G jest grafem pełnym K n (n 3). Wiemy, że (K n) = n 1 i χ(k n) = n stąd (K n) + 1 = n = n = χ(k n) gdy graf G jest grafem cyklicznym o nieparzystej liczbie wierzchołków tzn. G = C 2i+1, (i = 1, 2,...). Mamy (C 2i+1 ) = 2, χ(c 2i+1 ) = 3, stąd (C 2i+1 ) + 1 = = 3 = χ(c 2i+1 ) 20 / 62

21 Zbiory niezależne Uwaga Z twierdzenia Brooksa wynika, że K 2,s jest s + 1 kolorowalny tzn. χ(k 2,s) s + 1, ale jak łatwo można stwierdzić χ(k 2,s) = / 62

22 Zbiory niezależne Uwaga Z twierdzenia Brooksa wynika, że K 2,s jest s + 1 kolorowalny tzn. χ(k 2,s) s + 1, ale jak łatwo można stwierdzić χ(k 2,s) = 2. y 2 x 1 x 2 x 3 x s y 1 22 / 62

23 Zbiory niezależne Definicja Podzbiór wierzchołków S V grafu g = (V, E), nazywamy niezależnym, jeżeli żadne dwa wierzchołki tego podzbioru, nie są sąsiednie. W szczególności każdy podzbiór jednoelementowy zbioru V oraz zbiór pusty wierzchołków jest zbiorem niezależnym grafu G. 23 / 62

24 Zbiory niezależne Definicja Podzbiór wierzchołków S V grafu g = (V, E), nazywamy niezależnym, jeżeli żadne dwa wierzchołki tego podzbioru, nie są sąsiednie. W szczególności każdy podzbiór jednoelementowy zbioru V oraz zbiór pusty wierzchołków jest zbiorem niezależnym grafu G zbiory niezależne: {2, 5, 7, 8}, {1, 3, 7}, {2, 4, 8}, {4, 6}, {3, 6}, {1, 5, 7}, {1, 4}, {3, 7, 8} 24 / 62

25 Zbiory niezależne Definicja Liczbę α(g) = max S i i gdzie S i są wszystkimi niezależnymi zbiorami grafu G, nazywamy liczbą niezależności grafu G. Zbiór S, dla którego osiągnięte jest maksimum, nazywamy maksymalnym zbiorem niezależnym. 25 / 62

26 Zbiory niezależne Definicja Liczbę α(g) = max S i i gdzie S i są wszystkimi niezależnymi zbiorami grafu G, nazywamy liczbą niezależności grafu G. Zbiór S, dla którego osiągnięte jest maksimum, nazywamy maksymalnym zbiorem niezależnym Dla grafu z rysunku mamy S = {2, 5, 7, 8} oraz α(g) = 4 26 / 62

27 Zbiory niezależne Problem pokolorowania wierzchołków grafu jest równoważny z podzieleniem zbioru wierzchołków V na k rozłącznych podzbiorów niezależnych, takich, że k i=1 V i = V. Wtedy χ(g) = k, V 1 = {1, 3}, V 2 = {4, 6}, V 3 = {2, 5, 7, 8}. Graf jest 3-kolorowalny i χ(g) = / 62

28 Oszacowanie liczby chromatycznej Zbiory niezależne Własność Liczbę chromatyczną grafu można oszacować następująco n χ(g) α(g) y x 1 x 2 x 3 x s 7 5 y 1 χ(g) 8 4 = 2 oraz z twierdzenia Brooksa mamy 6 χ(g) 2 Dla grafu K 2,s mamy α(g) = s oraz χ(g) s + 2 α(g) = s + 2 = 2 s Można zauważyć, że χ(g) = / 62

29 - definicja Definicja Mówimy, że graf G jest krawędziowo k kolorowalny jeśli jego krawędzie można pokolorować k kolorami w taki sposób, że przyległe krawędzie mają różne kolory. Jeżeli graf G jest krawędziowo k kolorowalny i nie jest krawędziowo (k 1) kolorowalny, to mówimy, że jego indeks chromatyczny χ(g) wynosi k. G 1 G 2 χ(g 1) = 4 i χ(g 2) = 5 29 / 62

30 Indeks chromatyczny grafów pełnych Twierdzenie Indeks chromatyczny grafu pełnego K n wynosi: { n 1 jeżeli n parzyste χ(k n) = n jeżeli n nieparzyste a) b) c) χ(k 4) = 3, χ(k 5) = 5, χ(k 7) = 7 30 / 62

31 Indeks chromatyczny grafów cyklicznych Łatwo zauważyć, że indeks chromatyczny grafu cyklicznego C n wynosi: { 2 gdy n parzyste, χ(c n) = 3 gdy n nieparzyste. χ(c 5) = 3, χ(c 6) = 2 31 / 62

32 Indeks chromatyczny grafów dwudzielnych Twierdzenie Königa, 1916 Jeżeli w grafie dwudzielnym G = (V, E) największy stopień wierzchołka jest równy, to jego indeks chromatyczny χ(g) = = 3 więc χ(g) = 3 32 / 62

33 Twierdzenie Vizinga Kolorowanie wierzchołków Twierdzenie Vizinga, 1964 Jeżeli graf G = (V, E) jest grafem prostym, w którym największy stopień wierzchołka wynosi, to indeks chromatyczny spełnia nierówność χ(g) + 1. G 1 G 2 W każdym z grafów G 1 i G 2 na rysunku największy stopień wierzchołka (G 1) = (G 2) = 4, natomiast = 4 i χ(g 2) = 5. Zatem 4 χ(g 1) = 5 i 4 χ(g 2) = 5 33 / 62

34 Przykład Kolorowanie wierzchołków Pewien serwis techniczny posiada cztery różne warsztaty {w 1, w 2, w 3, w 4} oraz cztery różne ekipy specjalistów {e 1, e 2, e 3, e 4}. Serwis otrzymał do wykonania siedem różnych napraw w różnych miejscowościach. Każda naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego warsztatu, co przedstawia graf G na rysunku w 1 1 e 1 w 2 w e 2 e 3 3 w 4 e 4 W istniejących warunkach jedna ekipa, wyposażona w jeden warsztat, może jednego dnia wykonać co najwyżej jedną naprawę. Należy opracować taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby liczba niezbędnych dni była minimalna. Rozwiązanie powyższego zadania będzie oparte na pokolorowaniu krawędzi grafu G tak, aby liczba kolorów była minimalna. Naprawy wyznaczone na krawędziach tego samego koloru mogą być realizowane w tym samym dniu. Minimalna ilość dni w ciągu których, może być zrealizowane całe zamówienie jest równa indeksowi chromatycznemu grafu pokazanego na rysunku. Innym rozwiązaniem jest: naprawy (1, 2, 3, 6) będą realizowane jednego dnia, następnego dnia naprawy (4, 5), a trzeciego dnia - naprawa / 62

35 Grafy planarne Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie krawędzie mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny, będący wierzchołkiem incydentnym z tymi krawędziami. Graf, który nie jest planarny nazywamy grafem nieplanarnym. 2 1 d g 5 a c b e f / 62

36 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. 36 / 62

37 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. Z definicji tej wynika, że region jest wyznaczony przez pewną płaską reprezentację grafu G, a nie przez sam abstrakcyjny graf. x 5 x 9 x 11 x 10 f 1 f 4 x 6 x 6 x 5 x 8 f 3 x 12 f 1 f 2 f 2 x 4 x 7 f 5 f 3 x 7 x 13 x 14 x 3 x 4 x 3 f 5 a) f b) x 1 x 6 2 f 6 x 1 x 2 f 4 37 / 62

38 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. Z definicji tej wynika, że region jest wyznaczony przez pewną płaską reprezentację grafu G, a nie przez sam abstrakcyjny graf. x 5 x 9 x 11 x 10 f 1 f 4 x 6 x 6 x 5 x 8 f 3 x 12 f 1 f 2 f 2 x 4 x 7 f 5 f 3 x 7 x 13 x 14 x 3 x 4 x 3 f 5 a) f b) x 1 x 6 2 f 6 x 1 x 2 f 4 Region f 4 jest regionem nieskończonym. Każdy graf planarny posiada tylko jeden region nieskończony. Przez zmianę płaskiej reprezentacji grafu można zmienić postać regionu z nieskończonego na skończony i odwrotnie. 38 / 62

39 Twierdzenie Eulera dla grafów planarnych Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Eulera, 1750 Niech dany będzie spójny graf planarny o n wierzchołkach, m krawędziach i f regionach. Wówczas zachodzi związek f = m n + 2 n = 7 f 1 x 5 f 4 x 6 m = 11 f = m n + 2 = = = 6 f 3 f 2 x 4 x 7 x 3 f 5 f 6 x 1 x 2 39 / 62

40 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n / 62

41 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n 4. Twierdzenie Graf K 5 jest grafem nieplanarnym 41 / 62

42 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n 4. Twierdzenie Graf K 5 jest grafem nieplanarnym Twierdzenie Graf K 3,3 nie jest grafem planarnym. 42 / 62

43 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. 43 / 62

44 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. u u u t x v y z x v y x p q v y z 44 / 62

45 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. u u u t x v y z x v y x p q v y z Twierdzenie Kuratowskiego, 1930 Dany graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K 5 lub z grafem K 3,3. 45 / 62

46 Uogólnione grafy Petersena Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Gwiaździstym wielobokiem {n/k} nazywamy graf o n wierzchołkach połączonych co k wierzchołków. Bez straty ogólności można założyć, że k < n / 62

47 Uogólnione grafy Petersena Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Uogólnionym grafem Petersena nazywamy graf P n,k, dla n 3 i 1 k (n 1)/2, który składa się z grafu wewnętrznego, który jest gwiaździstym wielobokiem {n/k}, grafu zewnętrznego C n, oraz odpowiednie wierzchołki grafu zewnętrznego są połączone z grafem wewnętrznym. graf P 3,1 graf P 5,1 i P 5,2 graf P 4,1 47 / 62

48 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. 48 / 62

49 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. Twierdzenie Graf Petersena jest grafem nieplanarnym. 49 / 62

50 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. Twierdzenie Graf Petersena jest grafem nieplanarnym. Dowód wynika wprost z tw. Kuratowskiego 50 / 62

51 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. 51 / 62

52 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. a) b) k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 3 k 1 k 2 52 / 62

53 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. a) b) k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 3 k 1 k 2 Definicja Najmniejsza liczbę k taką, że regiony grafu planarnego G są regionalnie k kolorowalne nazywamy liczbą chromatyczną regionów tego grafu i oznaczać będziemy µ(g). 53 / 62

54 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Regiony grafu można pokolorować dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek grafu jest stopnia parzystego. k 2 k 2 a) b) k 1 k 1 k 1 k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 2 k 1 54 / 62

55 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Graf kubiczny można pokolorować trzema barwami wtedy i tylko wtedy, gdy jest dwudzielny. 55 / 62

56 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Graf kubiczny można pokolorować trzema barwami wtedy i tylko wtedy, gdy jest dwudzielny. 56 / 62

57 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. 57 / 62

58 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: 58 / 62

59 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. 59 / 62

60 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. Twierdzenie o czterech kolorach zostało udowodnione dopiero w 1976 roku przez dwóch amerykańskich matematyków K. Appela i W. Hakena. Był to bardzo skomplikowany dowód wspomagany komputerowo. 60 / 62

61 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. Twierdzenie o czterech kolorach zostało udowodnione dopiero w 1976 roku przez dwóch amerykańskich matematyków K. Appela i W. Hakena. Był to bardzo skomplikowany dowód wspomagany komputerowo. W 2004 roku pojawił się nowy dowód tego wyniku, również wykorzystujący komputer, ale obejmujący tylko 600 redukowalnych konfiguracji, które można sprawdzić na laptopie w ciągu kilku godzin. Jego autorami są Robertson, Sanders, Seymour i Thomas z Atlanty. 61 / 62

62 Grafy planarne Kolorowanie regionów Dziękuję za uwagę!!! 62 / 62