Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie"

Transkrypt

1 Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62

2 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. 2 / 62

3 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. 3 / 62

4 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). 4 / 62

5 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). χ(g) = 4, 4-chromatyczny 5 / 62

6 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych χ(g) = 4, 4-chromatyczny 6 / 62

7 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków χ(g) = 4, 4-chromatyczny 7 / 62

8 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków wierzchołki z pętlami nie mogą być w ogóle kolorowane χ(g) = 4, 4-chromatyczny 8 / 62

9 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów, w taki sposób, by wierzchołki przyległe (sąsiednie) miały różne kolory. Jeśli graf G jest k kolorowalny, ale nie jest (k 1) kolorowalnym, to mówimy, że jest on k chromatyczny. Najmniejszą liczbę k różnych kolorów potrzebnych do pokolorowania wierzchołków grafu G nazywamy liczbą chromatyczną tego grafui oznaczamy χ(g). zagadnienie kolorowania grafów rozważamy tylko dla grafów spójnych istnienie krawędzi równoległych w grafie G nie ma znaczenia przy kolorowaniu jego wierzchołków wierzchołki z pętlami nie mogą być w ogóle kolorowane χ(g) = 4, 4-chromatyczny Problem kolorowania wierzchołków grafów rozpatrujemy tylko dla prostych grafów spójnych. 9 / 62

10 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. 10 / 62

11 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. Twierdzenie Jeżeli graf jest grafem cyklicznym C n, to { 2 dla n parzystego χ(c n) = 3 dla n nieparzystego, co możemy zapisać inaczej χ(c 2i+1 ) = 3, χ(c 2i ) = 2 dla i {1, 2,...}. 11 / 62

12 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie Dla grafu pełnego K n mamy χ(k n) = n. Twierdzenie Jeżeli graf jest grafem cyklicznym C n, to { 2 dla n parzystego χ(c n) = 3 dla n nieparzystego, co możemy zapisać inaczej χ(c 2i+1 ) = 3, χ(c 2i ) = 2 dla i {1, 2,...}. a) χ(k 4) = 4 b) χ(c 5) = 3 c) χ(c 6) = 2 12 / 62

13 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie χ(g) = 1 jeżeli G jest grafem pustym (składającym się jednego wierzchołka). χ(g) = 2, gdy G jest grafem dwudzielnym, w szczególności każde drzewo jest 2-chromatyczne. 13 / 62

14 Liczba chromatyczna pewnych klas grafów Zbiory niezależne Twierdzenie χ(g) = 1 jeżeli G jest grafem pustym (składającym się jednego wierzchołka). χ(g) = 2, gdy G jest grafem dwudzielnym, w szczególności każde drzewo jest 2-chromatyczne. χ(g) = 1 χ(k 3,2) = 2 χ(t ) = 2 14 / 62

15 Zbiory niezależne Zachłanny algorytm kolorowania wierzchołków grafu Dane: graf prosty G, o n wierzchołkach, którego wierzchołki są ponumerowane {v 1, v 2,..., v n}, kolory numerujemy od 1 do n Wynik: pokolorowany graf G ZAKG(G) 1 przypisz kolor 1 do wierzchołka v 1 2 for k 2 to n 3 do 4 dla wierzchołka v k użyj pierwszego dostępnego koloru, 5 który nie był wykorzystany do pokolorowania wierzchołka sąsiedniego 15 / 62

16 Przykład Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne v 1 v 4 v 2 v 2 v 3 v 5 v 5 v 3 v 6 Proces kolorowania rozpoczynamy od wierzchołka v 1. v 6 v 4 v 1 w wyniku działania algorytmu otrzymamy graf / 62

17 Oszacowania liczby χ(g) Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne Uwaga Z definicji liczby χ(g) wynika, że jeżeli graf G ma n wierzchołków, to jego liczba chromatyczna jest nie większa od n tzn. V = n χ(g) n 17 / 62

18 Oszacowania liczby χ(g) Kolorowanie wierzchołków Zbiory niezależne Uwaga Z definicji liczby χ(g) wynika, że jeżeli graf G ma n wierzchołków, to jego liczba chromatyczna jest nie większa od n tzn. V = n χ(g) n b 3 Definicja Kliką grafu G nazywamy jego podgraf pełny. b 4 b 3 b 1 b 2 4 χ(g) 5 Twierdzenie W dowolnym grafie χ(g) ω gdzie ω jest rozmiarem (ilością wierzchołków) największej kliki. χ(g) = 4 18 / 62

19 Zbiory niezależne Twierdzenie Brooksa Jeżeli graf G = V, E jest grafem prostym, w którym stopień grafu jest równy (G), to χ(g) (G) + 1 (1) 19 / 62

20 Zbiory niezależne Twierdzenie Brooksa Jeżeli graf G = V, E jest grafem prostym, w którym stopień grafu jest równy (G), to χ(g) (G) + 1 (1) Uwaga Równość w relacji (1) zachodzi tylko w dwu przypadkach: gdy graf G jest grafem pełnym K n (n 3). Wiemy, że (K n) = n 1 i χ(k n) = n stąd (K n) + 1 = n = n = χ(k n) gdy graf G jest grafem cyklicznym o nieparzystej liczbie wierzchołków tzn. G = C 2i+1, (i = 1, 2,...). Mamy (C 2i+1 ) = 2, χ(c 2i+1 ) = 3, stąd (C 2i+1 ) + 1 = = 3 = χ(c 2i+1 ) 20 / 62

21 Zbiory niezależne Uwaga Z twierdzenia Brooksa wynika, że K 2,s jest s + 1 kolorowalny tzn. χ(k 2,s) s + 1, ale jak łatwo można stwierdzić χ(k 2,s) = / 62

22 Zbiory niezależne Uwaga Z twierdzenia Brooksa wynika, że K 2,s jest s + 1 kolorowalny tzn. χ(k 2,s) s + 1, ale jak łatwo można stwierdzić χ(k 2,s) = 2. y 2 x 1 x 2 x 3 x s y 1 22 / 62

23 Zbiory niezależne Definicja Podzbiór wierzchołków S V grafu g = (V, E), nazywamy niezależnym, jeżeli żadne dwa wierzchołki tego podzbioru, nie są sąsiednie. W szczególności każdy podzbiór jednoelementowy zbioru V oraz zbiór pusty wierzchołków jest zbiorem niezależnym grafu G. 23 / 62

24 Zbiory niezależne Definicja Podzbiór wierzchołków S V grafu g = (V, E), nazywamy niezależnym, jeżeli żadne dwa wierzchołki tego podzbioru, nie są sąsiednie. W szczególności każdy podzbiór jednoelementowy zbioru V oraz zbiór pusty wierzchołków jest zbiorem niezależnym grafu G zbiory niezależne: {2, 5, 7, 8}, {1, 3, 7}, {2, 4, 8}, {4, 6}, {3, 6}, {1, 5, 7}, {1, 4}, {3, 7, 8} 24 / 62

25 Zbiory niezależne Definicja Liczbę α(g) = max S i i gdzie S i są wszystkimi niezależnymi zbiorami grafu G, nazywamy liczbą niezależności grafu G. Zbiór S, dla którego osiągnięte jest maksimum, nazywamy maksymalnym zbiorem niezależnym. 25 / 62

26 Zbiory niezależne Definicja Liczbę α(g) = max S i i gdzie S i są wszystkimi niezależnymi zbiorami grafu G, nazywamy liczbą niezależności grafu G. Zbiór S, dla którego osiągnięte jest maksimum, nazywamy maksymalnym zbiorem niezależnym Dla grafu z rysunku mamy S = {2, 5, 7, 8} oraz α(g) = 4 26 / 62

27 Zbiory niezależne Problem pokolorowania wierzchołków grafu jest równoważny z podzieleniem zbioru wierzchołków V na k rozłącznych podzbiorów niezależnych, takich, że k i=1 V i = V. Wtedy χ(g) = k, V 1 = {1, 3}, V 2 = {4, 6}, V 3 = {2, 5, 7, 8}. Graf jest 3-kolorowalny i χ(g) = / 62

28 Oszacowanie liczby chromatycznej Zbiory niezależne Własność Liczbę chromatyczną grafu można oszacować następująco n χ(g) α(g) y x 1 x 2 x 3 x s 7 5 y 1 χ(g) 8 4 = 2 oraz z twierdzenia Brooksa mamy 6 χ(g) 2 Dla grafu K 2,s mamy α(g) = s oraz χ(g) s + 2 α(g) = s + 2 = 2 s Można zauważyć, że χ(g) = / 62

29 - definicja Definicja Mówimy, że graf G jest krawędziowo k kolorowalny jeśli jego krawędzie można pokolorować k kolorami w taki sposób, że przyległe krawędzie mają różne kolory. Jeżeli graf G jest krawędziowo k kolorowalny i nie jest krawędziowo (k 1) kolorowalny, to mówimy, że jego indeks chromatyczny χ(g) wynosi k. G 1 G 2 χ(g 1) = 4 i χ(g 2) = 5 29 / 62

30 Indeks chromatyczny grafów pełnych Twierdzenie Indeks chromatyczny grafu pełnego K n wynosi: { n 1 jeżeli n parzyste χ(k n) = n jeżeli n nieparzyste a) b) c) χ(k 4) = 3, χ(k 5) = 5, χ(k 7) = 7 30 / 62

31 Indeks chromatyczny grafów cyklicznych Łatwo zauważyć, że indeks chromatyczny grafu cyklicznego C n wynosi: { 2 gdy n parzyste, χ(c n) = 3 gdy n nieparzyste. χ(c 5) = 3, χ(c 6) = 2 31 / 62

32 Indeks chromatyczny grafów dwudzielnych Twierdzenie Königa, 1916 Jeżeli w grafie dwudzielnym G = (V, E) największy stopień wierzchołka jest równy, to jego indeks chromatyczny χ(g) = = 3 więc χ(g) = 3 32 / 62

33 Twierdzenie Vizinga Kolorowanie wierzchołków Twierdzenie Vizinga, 1964 Jeżeli graf G = (V, E) jest grafem prostym, w którym największy stopień wierzchołka wynosi, to indeks chromatyczny spełnia nierówność χ(g) + 1. G 1 G 2 W każdym z grafów G 1 i G 2 na rysunku największy stopień wierzchołka (G 1) = (G 2) = 4, natomiast = 4 i χ(g 2) = 5. Zatem 4 χ(g 1) = 5 i 4 χ(g 2) = 5 33 / 62

34 Przykład Kolorowanie wierzchołków Pewien serwis techniczny posiada cztery różne warsztaty {w 1, w 2, w 3, w 4} oraz cztery różne ekipy specjalistów {e 1, e 2, e 3, e 4}. Serwis otrzymał do wykonania siedem różnych napraw w różnych miejscowościach. Każda naprawa wymaga odpowiedniej ekipy i odpowiedniego warsztatu, co przedstawia graf G na rysunku w 1 1 e 1 w 2 w e 2 e 3 3 w 4 e 4 W istniejących warunkach jedna ekipa, wyposażona w jeden warsztat, może jednego dnia wykonać co najwyżej jedną naprawę. Należy opracować taki plan realizacji napraw w poszczególnych dniach, aby liczba niezbędnych dni była minimalna. Rozwiązanie powyższego zadania będzie oparte na pokolorowaniu krawędzi grafu G tak, aby liczba kolorów była minimalna. Naprawy wyznaczone na krawędziach tego samego koloru mogą być realizowane w tym samym dniu. Minimalna ilość dni w ciągu których, może być zrealizowane całe zamówienie jest równa indeksowi chromatycznemu grafu pokazanego na rysunku. Innym rozwiązaniem jest: naprawy (1, 2, 3, 6) będą realizowane jednego dnia, następnego dnia naprawy (4, 5), a trzeciego dnia - naprawa / 62

35 Grafy planarne Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf G nazywamy grafem planarnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka geometryczna reprezentacja tego grafu, na której dowolne dwie krawędzie mogą mieć co najwyżej jeden punkt wspólny, będący wierzchołkiem incydentnym z tymi krawędziami. Graf, który nie jest planarny nazywamy grafem nieplanarnym. 2 1 d g 5 a c b e f / 62

36 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. 36 / 62

37 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. Z definicji tej wynika, że region jest wyznaczony przez pewną płaską reprezentację grafu G, a nie przez sam abstrakcyjny graf. x 5 x 9 x 11 x 10 f 1 f 4 x 6 x 6 x 5 x 8 f 3 x 12 f 1 f 2 f 2 x 4 x 7 f 5 f 3 x 7 x 13 x 14 x 3 x 4 x 3 f 5 a) f b) x 1 x 6 2 f 6 x 1 x 2 f 4 37 / 62

38 Regiony Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Reprezentacja planarnego grafu G dzieli płaszczyznę na maksymalne i rozłączne podzbiory. Zbiory te nazywamy regionami. Regiony będziemy oznaczać literą f i dla i {1, 2,..., n}. Z definicji tej wynika, że region jest wyznaczony przez pewną płaską reprezentację grafu G, a nie przez sam abstrakcyjny graf. x 5 x 9 x 11 x 10 f 1 f 4 x 6 x 6 x 5 x 8 f 3 x 12 f 1 f 2 f 2 x 4 x 7 f 5 f 3 x 7 x 13 x 14 x 3 x 4 x 3 f 5 a) f b) x 1 x 6 2 f 6 x 1 x 2 f 4 Region f 4 jest regionem nieskończonym. Każdy graf planarny posiada tylko jeden region nieskończony. Przez zmianę płaskiej reprezentacji grafu można zmienić postać regionu z nieskończonego na skończony i odwrotnie. 38 / 62

39 Twierdzenie Eulera dla grafów planarnych Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Eulera, 1750 Niech dany będzie spójny graf planarny o n wierzchołkach, m krawędziach i f regionach. Wówczas zachodzi związek f = m n + 2 n = 7 f 1 x 5 f 4 x 6 m = 11 f = m n + 2 = = = 6 f 3 f 2 x 4 x 7 x 3 f 5 f 6 x 1 x 2 39 / 62

40 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n / 62

41 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n 4. Twierdzenie Graf K 5 jest grafem nieplanarnym 41 / 62

42 Grafy planarne Kolorowanie regionów Wniosek nierówności Eulera dla grafów planarnych Jeżeli graf G jest planarnym, prostym grafem spójnym mającym n wierzchołków i m krawędzi, to m 3n 6. Jeżeli ponadto graf G nie ma trójkątów (czyli cykli długości 3), to m 2n 4. Twierdzenie Graf K 5 jest grafem nieplanarnym Twierdzenie Graf K 3,3 nie jest grafem planarnym. 42 / 62

43 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. 43 / 62

44 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. u u u t x v y z x v y x p q v y z 44 / 62

45 Grafy planarne Kolorowanie regionów Grafy homeomorficzne Twierdzenie Kuratowskiego Definicja Dwa grafy nazywamy homeomorficznymi jeśli jeden z nich można otrzymać z drugiego przez utworzenie krawędzi szeregowych (umieszczenie dodatkowych wierzchołków na krawędziach danego grafu) lub scalenie krawędzi szeregowych. u u u t x v y z x v y x p q v y z Twierdzenie Kuratowskiego, 1930 Dany graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K 5 lub z grafem K 3,3. 45 / 62

46 Uogólnione grafy Petersena Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Gwiaździstym wielobokiem {n/k} nazywamy graf o n wierzchołkach połączonych co k wierzchołków. Bez straty ogólności można założyć, że k < n / 62

47 Uogólnione grafy Petersena Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Uogólnionym grafem Petersena nazywamy graf P n,k, dla n 3 i 1 k (n 1)/2, który składa się z grafu wewnętrznego, który jest gwiaździstym wielobokiem {n/k}, grafu zewnętrznego C n, oraz odpowiednie wierzchołki grafu zewnętrznego są połączone z grafem wewnętrznym. graf P 3,1 graf P 5,1 i P 5,2 graf P 4,1 47 / 62

48 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. 48 / 62

49 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. Twierdzenie Graf Petersena jest grafem nieplanarnym. 49 / 62

50 Graf Petersena Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Graf P 5,2 nazywamy grafem Petersena. Twierdzenie Graf Petersena jest grafem nieplanarnym. Dowód wynika wprost z tw. Kuratowskiego 50 / 62

51 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. 51 / 62

52 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. a) b) k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 3 k 1 k 2 52 / 62

53 Kolorowanie regionów Kolorowanie wierzchołków Grafy planarne Kolorowanie regionów Definicja Mówimy, że regiony grafu planarnego są regionalnie k kolorowalne (można je pokolorować k kolorami), jeśli żadne dwa regiony przyległe nie mają tego samego koloru. a) b) k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 1 k 2 k 1 k 1 k 3 k 1 k 2 Definicja Najmniejsza liczbę k taką, że regiony grafu planarnego G są regionalnie k kolorowalne nazywamy liczbą chromatyczną regionów tego grafu i oznaczać będziemy µ(g). 53 / 62

54 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Regiony grafu można pokolorować dwoma kolorami wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek grafu jest stopnia parzystego. k 2 k 2 a) b) k 1 k 1 k 1 k 1 k 2 k 1 k 2 k 2 k 2 k 1 54 / 62

55 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Graf kubiczny można pokolorować trzema barwami wtedy i tylko wtedy, gdy jest dwudzielny. 55 / 62

56 Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie Graf kubiczny można pokolorować trzema barwami wtedy i tylko wtedy, gdy jest dwudzielny. 56 / 62

57 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. 57 / 62

58 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: 58 / 62

59 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. 59 / 62

60 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. Twierdzenie o czterech kolorach zostało udowodnione dopiero w 1976 roku przez dwóch amerykańskich matematyków K. Appela i W. Hakena. Był to bardzo skomplikowany dowód wspomagany komputerowo. 60 / 62

61 Twierdzenie o czterech kolorach Grafy planarne Kolorowanie regionów Twierdzenie o czterech kolorach Każda graf planarny może być pokolorowany czterema kolorami. Historia: Pierwszy dowód pojawił się w roku Przedstawił go Alfred Kempe, londyński prawnik. Dowód okazał się błędny, ale był to jeden z najbardziej znanych fałszywych dowodów w historii matematyki. Twierdzenie o czterech kolorach zostało udowodnione dopiero w 1976 roku przez dwóch amerykańskich matematyków K. Appela i W. Hakena. Był to bardzo skomplikowany dowód wspomagany komputerowo. W 2004 roku pojawił się nowy dowód tego wyniku, również wykorzystujący komputer, ale obejmujący tylko 600 redukowalnych konfiguracji, które można sprawdzić na laptopie w ciągu kilku godzin. Jego autorami są Robertson, Sanders, Seymour i Thomas z Atlanty. 61 / 62

62 Grafy planarne Kolorowanie regionów Dziękuję za uwagę!!! 62 / 62

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las

Bardziej szczegółowo

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów

Podstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).

Bardziej szczegółowo

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania

6d. Grafy dwudzielne i kolorowania 6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima

Bardziej szczegółowo

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem

E ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie

Bardziej szczegółowo

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY

MATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych

Bardziej szczegółowo

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają

Bardziej szczegółowo

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:

Grafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych

Bardziej szczegółowo

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA

WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający

Bardziej szczegółowo

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12

Bardziej szczegółowo

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych

Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.

Bardziej szczegółowo

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów

Suma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie 8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Informatyki

Matematyczne Podstawy Informatyki Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój

Bardziej szczegółowo

Algorytmiczna teoria grafów

Algorytmiczna teoria grafów Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów

Elementy teorii grafów Elementy teorii grafów Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę

Bardziej szczegółowo

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków

Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 6.Grafy

Matematyka dyskretna - 6.Grafy Matematyka dyskretna - 6.Grafy W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

10. Kolorowanie wierzchołków grafu

10. Kolorowanie wierzchołków grafu p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.

Bardziej szczegółowo

Kody blokowe Wykład 5a;

Kody blokowe Wykład 5a; Kody blokowe Wykład 5a; 31.03.2011 1 1 Kolorowanie hiperkostki Definicja. W teorii grafów symbol Q n oznacza kostkę n-wymiarową, czyli graf o zbiorze wierzchołków V (Q n ) = {0, 1} n i zbiorze krawędzi

Bardziej szczegółowo

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych

Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski. Typeset by AMS-TEX

TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski. Typeset by AMS-TEX TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski 20 Typeset by AMS-TEX 8. GRAFY PLANARNE. 8.1. Grafy p laskie i planarne. TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. 21 Mówimy, że graf jest uk ladalny

Bardziej szczegółowo

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?

Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru

Bardziej szczegółowo

1 Wykład dwunasty wstęp do kolorowań, twierdzenie o pięciu barwach

1 Wykład dwunasty wstęp do kolorowań, twierdzenie o pięciu barwach 1 Wykład dwunasty wstęp do kolorowań, twierdzenie o pięciu barwach 1.1 Ogólne kolorowania wierzchołkowe 1.1.1 Banały Wpierw powszechnie znane definicje: Definicja 1.1. Kolorowaniem wierzchołkowym grafu

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV

Algorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów

Bardziej szczegółowo

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów

Reprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69

Bardziej szczegółowo

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza

Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych

Bardziej szczegółowo

Praca dyplomowa magisterska

Praca dyplomowa magisterska Politechnika Gdańska WYDZIAŁ ELEKTRONIKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI Katedra: Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów Forma i poziom studiów: stacjonarne, jednolite magisterskie Kierunek studiów: Informatyka

Bardziej szczegółowo

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne

Spis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................

Bardziej szczegółowo

Algorytmy multikolorowania grafów w modelu rozproszonym

Algorytmy multikolorowania grafów w modelu rozproszonym Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Wydział Matematyki i Informatyki Rafał Witkowski Algorytmy multikolorowania grafów w modelu rozproszonym rozprawa doktorska Promotor: prof. dr hab. Michał Karoński Poznań,

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów

Teoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów 17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące

Bardziej szczegółowo

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich. Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska

Teoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia

Bardziej szczegółowo

Cała prawda o powierzchniach

Cała prawda o powierzchniach Topologia Właściwości geometryczne, niezmiennicze przy ciagłych deformacjach Można: rozciagać giać Nie można: rozcinać złamać Jednak można rozciać wzdłuż linii, a potem skleić wzdłuż tejże linii: rozwiazać

Bardziej szczegółowo

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych

Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)

Bardziej szczegółowo

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność

Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii grafów ćwiczenia 1

Wybrane zagadnienia teorii grafów ćwiczenia 1 Wybrane zagadnienia teorii grafów ćwiczenia 1 WQO, minory well quasi orderings Przypomnijmy: porządek częściowy (X, ) jest WQO, jeśli w każdym nieskończonym ciągu x 1, x 2,... istnieje para indeksów i

Bardziej szczegółowo

6. Wstępne pojęcia teorii grafów

6. Wstępne pojęcia teorii grafów 6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia)

Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Matematyka Dyskretna (Ćwiczenia) Jarosław Grytczuk 1 O trudnej sztuce liczenia 1.1 Zasada Mnożenia 1. Pewien pan ma 5 garniturów, 7 krawatów i 10 koszul. Ile różnych zestawów może skompletować? 2. W zawodach

Bardziej szczegółowo

Matematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016

Matematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Gra wstępna Dany jest prostokąt podzielony na 8 pól. Gracze zamalowują pola na zmianę. Jeden na kolor czerwony, a drugi na kolor niebieski. Gra wstępna Dany

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

Matematyka od zaraz zatrudnię

Matematyka od zaraz zatrudnię Uniwersytet Jagielloński Gdzie jest matematyka? Soczewka, 26-28 listopada 2010 Kolorowanie grafów Dobre kolorowanie wierzchołków grafu, to nadanie im kolorów w taki sposób, że każde dwa wierzchołki połaczone

Bardziej szczegółowo

Polowanie na Snarka. Męczarnia w trzech konwulsjach

Polowanie na Snarka. Męczarnia w trzech konwulsjach Polowanie na Snarka 2009. Męczarnia w trzech konwulsjach Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLIII Szkole Matematyki Poglądowej, Wbrew intuicji, Grzegorzewice, sierpień Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie grafów planarnych, discharging

Kolorowanie grafów planarnych, discharging Wykład 6 (12.04.2013) Opracował: Krzysztof Węsek Kolorowanie grafów planarnych, discharging 1 Przykłady dischargingu Standardowo będziemy oznaczać dla grafu G i jego rysunku planarnego (graf i rysunek

Bardziej szczegółowo

Algorytmika Problemów Trudnych

Algorytmika Problemów Trudnych Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.

Bardziej szczegółowo

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)

Wykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające

Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule

Bardziej szczegółowo

G. Wybrane elementy teorii grafów

G. Wybrane elementy teorii grafów Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do teorii grafów. Dr inż. Krzysztof Lisiecki

Wprowadzenie do teorii grafów. Dr inż. Krzysztof Lisiecki 1 Reguły gry (1): Uczymy się systematycznie Nie używamy telefonów Zaliczamy w terminie 2 Kontakt: konsultacje poniedziałek 8.45 10.15 (pokój wykładowców) e-mail : krzysztof.lisiecki@p.lodz.pl lub krzysztof@lisiecki.org.pl

Bardziej szczegółowo

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej

V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 5.Grafy.

Matematyka dyskretna - 5.Grafy. Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte

Bardziej szczegółowo

Zadania z egzaminów z Algorytmiki

Zadania z egzaminów z Algorytmiki Zadania z egzaminów z Algorytmiki 1 Geometria obliczeniowa Zadanie 1 Zaprojektuj efektywny algorytm dla następującego problemu. Dany jest zbior n prostokątów na płaszczyźnie (o bokach niekoniecznie równoległych

Bardziej szczegółowo

Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda

Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda Segmentacja obrazów cyfrowych Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp autor: Łukasz Chlebda 1 Segmentacja obrazów cyfrowych - temat pracy Temat pracy: Aplikacja do segmentacji

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ.

Gramatyki grafowe. Dla v V, ϕ(v) etykieta v. Klasa grafów nad Σ - G Σ. Gramatyki grafowe Def. Nieskierowany NL-graf (etykietowane wierzchołki) jest czwórką g = (V, E, Σ, ϕ), gdzie: V niepusty zbiór wierzchołków, E V V zbiór krawędzi, Σ - skończony, niepusty alfabet etykiet

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa

Matematyka dyskretna - 7.Drzewa Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle

Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,

Bardziej szczegółowo

Tytuł rozprawy w języku polskim: Analiza właściwości algorytmicznych problemu szkieletowego kolorowania grafów

Tytuł rozprawy w języku polskim: Analiza właściwości algorytmicznych problemu szkieletowego kolorowania grafów Załącznik nr 1/1 do Zarządzenia Rektora PG nr 5/2015 z 10 lutego 2015 r. Imię i nazwisko autora rozprawy: Krzysztof Turowski Dyscyplina naukowa: Informatyka ROZPRAWA DOKTORSKA Tytuł rozprawy w języku polskim:

Bardziej szczegółowo

Modele i metody kolorowania grafów. Część II

Modele i metody kolorowania grafów. Część II Marek KUBALE Politechnika Gdańska, Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów Modele i metody kolorowania grafów. Część II Streszczenie. Niniejszy artykuł jest drugą częścią -odcinkowego cyklu przeglądowego

Bardziej szczegółowo

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz

Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura

Bardziej szczegółowo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo

Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy

Bardziej szczegółowo

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH

W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH ul. Konarskiego 2, 30-049 Kraków tel. 12 633 13 83 lub 12 633 02 47 W ŚWIECIE WIELOKĄTÓW GWIAŹDZISTYCH Arkadiusz Biel Kraków 2011 Wielokąty gwiaździste są ciekawym przypadkiem wielokątów, gdyż posiadają

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna - zadania

Matematyka Dyskretna - zadania zad. 1. Chcemy zdefiniować rekurencyjnie zbiór Z wszystkich trójkątów równoramiennych ABC, gdzie współrzędne wierzchołków będą liczbami całkowitymi, wierzchołek A zawsze będzie leżeć w początku układu

Bardziej szczegółowo

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć

Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie rozszerzonym. Klasa 4 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1

Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i

Bardziej szczegółowo

Charakterystyka rozbicia zbioru co najwyżej przeliczalnego. Rafał Żelazko

Charakterystyka rozbicia zbioru co najwyżej przeliczalnego. Rafał Żelazko Charakterystyka rozbicia zbioru co najwyżej przeliczalnego Rafał Żelazko Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Kolorowanie skończone i zasada szufladkowa 2 3 Kolorowanie w teorii grafów 3 4 Twierdzenie Schura

Bardziej szczegółowo

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie 6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Łukasz Janus 10B2 ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Elementarne deformacje węzła Równoważność węzłów Węzły trywialne Ruchy Reidemeistera Twierdzenie o równoważności węzłów Grafy Powtórzmy Diagram węzła Węzły reprezentuje

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e

Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone

Bardziej szczegółowo

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie

7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie 7. Teoria drzew - spinanie i przeszukiwanie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 7. wteoria Krakowie) drzew - spinanie i przeszukiwanie

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 15 (20.02.2010) Zbiory wypukłe Definicja. Zbiór

Bardziej szczegółowo

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony

Próbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA Zadanie 1 (4 pkt) Rozwiąż równanie: w przedziale 1 pkt Przekształcenie równania do postaci: 2 pkt Przekształcenie równania

Bardziej szczegółowo

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego

13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13 Zastosowania Lematu Szemerédiego 13.1 Twierdzenie Erdősa-Stone a (Rozdzia ly 7.1 i 7.5 podre cznika) Jednym z g lównych zagadnień ekstremalnej teorii grafów jest wyznaczenie parametru ex(n, H) = max{

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

Wojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r.

Wojciech Guzicki. Gdynia, 23 września 2016 r. 1 O KRÓTKICH CYKLACH W GRAFACH Wojciech Guzicki W. Guzicki: O krótkich cyklach w grafach 2 5zadań Zadanie 1.(XXXVII OM, zawody III stopnia, zadanie 5) W turnieju szachowym uczestniczy 2n zawodników(zakładamy,

Bardziej szczegółowo

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady : WYKŁAD 5 1 7. CIĄGI. CIĄGIEM NIESKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych, dodatnich, a wyrazami ciągu są wartości tej funkcji. CIĄGIEM SKOŃCZONYM nazywamy funkcję określoną na

Bardziej szczegółowo

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne

Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Podejście zachłanne, a programowanie dynamiczne Algorytm zachłanny pobiera po kolei elementy danych, za każdym razem wybierając taki, który wydaje się najlepszy w zakresie spełniania pewnych kryteriów

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria

Twierdzenie Talesa. Adrian Łydka Bernadeta Tomasz. Teoria Twierdzenie Talesa. drian Łydka ernadeta Tomasz Teoria efinicja 1. Mówimy, że odcinki i są proporcjonalne odpowiednio do odcinków EF i GH, jeżeli = EF GH. Twierdzenie 1. (Twierdzenie Talesa) Jeżeli ramiona

Bardziej szczegółowo

Problem straŝaka w drzewach. Agnieszka Skorupka Matematyka Stosowana FTiMS

Problem straŝaka w drzewach. Agnieszka Skorupka Matematyka Stosowana FTiMS Problem straŝaka w drzewach Agnieszka Skorupka Matematyka Stosowana FTiMS Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem StraŜaka: Co to jest? Problem

Bardziej szczegółowo

Algorytm Chaitin a. Mirosław Jedynak Krzysztof Lewandowski. Wstęp. Teoria grafów a teoria kompilacji

Algorytm Chaitin a. Mirosław Jedynak Krzysztof Lewandowski. Wstęp. Teoria grafów a teoria kompilacji Mirosław Jedynak Krzysztof Lewandowski Algorytm Chaitin a Wstęp Po raz kolejny spotykamy się z problemem dysproporcji między szybkością pracy procesorów i pamięci. W ciągu kilku ostatnich dekad szybkość

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych

Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Ćwiczenia 1 17 lutego 2012 Na tych ćwiczeniach zajmiemy się pojęciem well quasi-ordering (WQO) bardzo przydatnym do analizy nieskończonych ciągów. Definicja

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków 240 Kolorowanie wierzchołków Def. Niech G bdzie grafem prostym. Przez kolorowanie wierzchołków rozumiemy takie etykietowanie elementów V(G) liczbami naturalnymi, e ssiednie wierzchołki otrzymuj róne liczby

Bardziej szczegółowo

Suriekcja, iniekcja, bijekcja. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska

Suriekcja, iniekcja, bijekcja. Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska Suriekcja, iniekcja, bijekcja Autorzy: Anna Barbaszewska-Wiśniowska 2017 Suriekcja, iniekcja, bijekcja Autor: Anna Barbaszewska-Wiśniowska DEFINICJA Definicja 1: Suriekcja czyli funkcja na Mówimy, że f

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/15 WARIACJE Liczba wariacji, czyli różnych ciągów k-elementowych o wyrazach ze zbioru n-elementowego, wynosi n k. Ciąg k-elementowy,

Bardziej szczegółowo