Kolorowanie wierzchołków
|
|
- Bożena Filipiak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie nazywać będziemy właściwym. Czy pewne grafy mogą być pokolorowane za pomocą danej liczby kolorów? Jaka jest najmniejsza liczba kolorów potrzebna do pokolorowania grafu? Na ile sposobów można dany graf pokolorować przy użyciu zadanej liczby kolorów? Barbara Głut
2 Definicja: Graf jest k-kolorowalnykolorowalny (wierzchołkowo), jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów tak, że żadne dwa wierzchołki sąsiednie nie mają tego samego koloru. Definicja: Jeśli G jest k-kolorowalny, ale nie jest (k-)-kolorowalny to mówimy, że graf jest k-chromatyczny. Definicja: Liczbą chromatyczną grafu χ(g) nazywamy najmniejszą liczbę kolorów niezbędną do właściwego pokolorowania wierzchołków grafu. Graf -chromatyczny Do pokolorowania grafu pełnego K n potrzeba n kolorów (wszystkie jego wierzchołki są sąsiednie). Graf zawierający graf pełny o r wierzchołkach jest co najmniej r-chromatyczny. Barbara Głut
3 Grafy cykliczne: χ(g)= χ(g)= parzysta liczba wierzchołków nieparzysta liczba wierzchołków Grafy dwudzielne (niepuste): χ(g)= Drzewa: Każde drzewo o dwóch lub więcej wierzchołkach jest -chromatyczne. Twierdzenie: Jeśli G jest grafem prostym, w którym największy stopień wierzchołka wynosi d, to graf G jest (d+)-kolorowalny. χ(g) d+ górne ograniczenie liczby chromatycznej Twierdzenie: Jeśli G jest spójnym grafem prostym, nie będącym grafem pełnym i jeśli największy stopień wierzchołka grafu G wynosi d (d ), to graf G jest d-kolorowalny (tzn. χ(g) d). Gdy wszystkie stopnie wierzchołków są w przybliżeniu takie same - można mieć korzyść z twierdzenia. Ale np. K,s - z twierdzenia wynika, że graf ten jest s-kolorowalny, a naprawdę jest -kolorowalny dla każdego s. Barbara Głut
4 Jeśli ograniczymy rozważania do grafów planarnych, to: Twierdzenie o czterech barwach (Appel, Haken,, 976): KAŻDY PLANARNY GRAF PROSTY JEST -KOLOROWALNY. Przykład zastosowania: Potrzeba przechować substancji chemicznych a, b, c, d, e Niektóre z tych substancji reagują gwałtownie w przypadku zetknięcia - powinny być przechowywane w odległych miejscach. a b c d e a b c d e pary substancji, które muszą być rozdzielone W ilu oddzielnych częściach magazynu możemy przechowywać te substancje? b Dwa wierzchołki sąsiednie, gdy substancje muszą być oddzielnie a c e Potrzebne są części magazynu. d Barbara Głut
5 Przykład zastosowania - rozkład godzin wykładów: Niektóre wykłady nie mogą się odbywać jednocześnie. Czy jest możliwe ułożenie planu zajęć? Graf wierzchołki wykłady krawędzie łączą te pary wykładów, które nie mogą być zaplanowane w tym samym czasie kolor wierzchołka godzina Pokolorowanie wierzchołków zaplanowanie zajęć Przykład - słowa kodowe Niektóre słowa kodowe są tak do siebie zbliżone, że można je pomylić. Pary takich słów łączy się krawędzią. Znaleźć największy zbiór słów kodowych dla niezawodnej łączności. Niezależny zbiór wierzchołków żadne dwa wierzchołki nie są sąsiednie. Problem znajdowania maksymalnego zbioru niezależnego o największej liczbie wierzchołków (dla przykładu { a, c, d, f } ) Liczba wierzchołków w największym zbiorze niezależnym grafu G o n wierzchołkach n/χ(g) a b c d e f g Barbara Głut
6 Sprawiedliwe kolorowanie grafów Kolorowanie klasyczne wierzchołków z ograniczeniem, aby krotności użycia kolorów różniły się co najwyżej o jeden Zastosowanie: np. problem optymalnego podziału zbioru zawierającego konflikty na równoliczne podzbiory bezkonfliktowe. Przykład: W problemie dostaw wierzchołki grafu reprezentują miejsca dostaw. Dwa wierzchołki są połączone krawędzią, gdy miejsca dostaw nie mogą być obsłużone tego samego dnia. Problem przydziału jednego z 6 dni pracy każdemu miejscu pokolorowanie grafu sześcioma kolorami. Z uwagi na ograniczenie taboru w każdym dniu chcemy obsłużyć możliwie taką samą liczbę miejsc. Kontrastowe kolorowanie grafów Dodatkowy warunek wierzchołki sąsiadujące otrzymują kolory, których odległość nie należy do pewnego ustalonego zbioru T. Zastosowanie: problem przydziału częstotliwości, układanie rozkładów zajęć itd. Inne: sumacyjne (minimalna suma kolorów ), listowe (dla każdego wierzchołka zbiór dopuszczalnych kolorów jest ograniczony przez pewien podzbiór)... Barbara Głut 6
7 G graf prosty Wielomiany chromatyczne Funkcja chromatyczna P G (k) liczba sposobów pokolorowania właściwego wierzchołków grafu G dysponując k kolorami. Twierdzenie: Funkcja chromatyczna grafu prostego jest wielomianem. P G (k) - wielomian chromatyczny grafu G Jeśli graf G ma n wierzchołków, to wielomian P G (k) ma stopień n ze współczynnikiem przy k n. Wyraz wolny dowolnego wielomianu chromatycznego jest równy 0 (grafu nie można pokolorować, gdy k = 0, czyli nie mamy żadnego koloru). Wielomiany chromatyczne Np. jeśli G jest drzewem o wierzchołkach k- k k- P G ( k) = k ( k ) Jeśli G jest dowolnym drzewem o n wierzchołkach, to P n G ( k) = k ( k ) Barbara Głut 7
8 Wielomiany chromatyczne Np. G graf pełny o wierzchołkach k PG ( k) = k ( k ) ( k ) k- k- Dla grafu K n : PG ( k) = k ( k ) ( k ) K ( k n + ) Kolorowanie krawędzi Graf G jest k-barwny krawędziowo (k-barwny(e)), gdy jego krawędzie można tak pokolorować k barwami, aby żadne dwie krawędzie sąsiednie nie miały tego samego koloru. Gdy graf G jest k-barwny(e), lecz nie jest (k-)-barwny(e), to jego liczba chromatyczna krawędziowa - indeks chromatyczny χ (G) - wynosi k. χ (G) = Barbara Głut 8
9 Twierdzenie: Jeśli G jest grafem prostym, którego największy stopień wierzchołka wynosi d, to d χ (G) d+. Dokładne określenie, które grafy mają χ (G)=d, a które χ (G)= d+, jest problemem. Np. χ (C n ) =, gdy n jest parzyste lub χ (C n ) =, gdy n jest nieparzyste. Np. χ (K n ) = n, gdy n jest nieparzyste, χ (K n ) = n-, gdy n jest parzyste. Twierdzenie: Jeśli G jest grafem dwudzielnym z maksymalnym stopniem wierzchołka d, to χ (G) = d. Kolorowanie map Iloma kolorami można pokolorować mapę tych państw tak, aby żadne dwa państwa mające wspólną granicę nie były pomalowane tym samym kolorem? Co nazywamy mapą? Mapa - graf planarny -spójny. Nie zawiera rozcięć mających lub dwie krawędzie. Nie ma wierzchołków stopnia i. Barbara Głut 9
10 Mapa jest k-kolorowalna (f), jeśli jej ściany można pokolorować k kolorami tak, by żadne dwie ściany ograniczone wspólną krawędzią nie były pomalowane tym samym kolorem. () () () () () -kolorowalny(v) -kolorowalny(f) Twierdzenie: Niech G będzie grafem planarnym bez pętli i niech G* będzie grafem geometrycznie dualnym do grafu G. Graf G jest k kolorowalny(v) wtedy i tylko wtedy, gdy graf G* jest k kolorowalny(f). Dla dowolnego twierdzenia dotyczącego kolorowania wierzchołków grafu planarnego możemy utworzyć twierdzenie dualne mówiące o kolorowaniu ścian mapy. Twierdzenie o czterech barwach dla map jest równoważne z twierdzeniem o czterech barwach dla grafów planarnych. Barbara Głut 0
11 Graf G( V, E ) Pokrycia w grafach Pokryciem krawędziowym grafu nazywamy taki podzbiór jego krawędzi, że każdy wierzchołek grafu jest incydentny z przynajmniej jedną krawędzią tego podzbioru. Pokryciem wierzchołkowym grafu nazywamy taki podzbiór jego wierzchołków, że każda krawędź grafu jest incydentna z przynajmniej jednym wierzchołkiem z tego podzbioru. Zbiory wewnętrznie stabilne Wierzchołki v, v nazywamy niezależnymi, gdy nie są wierzchołkami sąsiednimi. Zbiorem wewnętrznie stabilnym Zbiorem wewnętrznie stabilnym wierzchołków grafu G nazywamy dowolny podzbiór wierzchołków parami niezależnych. Barbara Głut
12 Skojarzenia Krawędzie e, e grafu nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. Skojarzenia w grafach dwudzielnych Graf dwudzielny G( V V, E ) Skojarzeniem całkowitym ze zbioru V w zbiór V grafu dwudzielnego G(V V, E) nazywamy takie skojarzenie w grafie G, że dla każdego wierzchołka v V istnieje w skojarzeniu krawędź incydentna z tym wierzchołkiem. istnieje skojarzenie całkowite nie istnieje skojarzenie całkowite Barbara Głut
13 G = G(V V, E) graf dwudzielny A podzbiór zbioru V zbiór ϕ(a) zbiór tych wierzchołków należących do V, które sąsiadują z co najmniej jednym wierzchołkiem ze zbioru A. A ϕ( A) Problem kojarzenia małżeństw Przykład: W grupie złożonej z siedmiu panów i sześciu pań w wieku małżeńskim: pani zna panów `, `, ` pani zna panów `, ` pani zna panów `, `, 7` pani zna panów `, ` pani zna panów `, `, ` pani 6 zna panów `, `, 6` Czy możliwe jest znalezienie męża dla każdej z pań (tj. dla każdej innego pana spośród tych, których zna)? NIE Cztery panie,,, znają tylko trzech panów `, `, ` Aby zaistniała szansa znalezienia męża dla każdej z pań, musi zachodzić taka sytuacja, że dowolny podzbiór r pań zna co najmniej r panów (warunek konieczny). Barbara Głut
14 Przykład: pani zna panów `, ` pani zna panów `, ` pani zna panów `, `, `, ` pani zna panów `, `, 6`, 7` pani zna panów `, `` pani 6 zna panów `, ` Każdy zbiór pań zna co najmniej tylu panów, ile jest w nim pań Np. panie {,, 6 } znają panów { `, `, ` } Czy możemy dla każdej pani znaleźć męża? Zaczynamy dla każdej pani wybierać różnych panów tak długo, jak długo nie znajdzie się pani, dla której nie został do wyboru żaden pan. Np. ` ` ` ` ` 6 zna tylko `, `, którzy są już zaangażowani Pani 6 urządza przyjęcie. Zaprasza wszystkich panów, których zna. Ci zapraszają swoje narzeczone. Panie te zapraszają wszystkich znajomych panów, którzy nie zostali jeszcze zaproszeni. Ci panowie zapraszają swoje narzeczone.... W końcu zostaje zaproszony pan C`, który nie jest zaręczony. C` = 6` nie jest zaręczony { } - { `, ` } - {, } - { ` } - { } - { `, ` } - {, } - { 6`, } (, ` ) (, ` ) (, ` ) (, 6` ) (, ` ) ( 6, ` ) Twierdzenie Halla ( wersja małżeńska): W grupie pań każda może wybrać męża spośród panów, których zna, wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze r pań, panie te znają co najmniej r panów. Barbara Głut
15 Panie {d, d, d, d } znają panów { c, c, c, c, c } zgodnie z tabelą: d d d d c c c c c c c c c co daje graf dwudzielny: Problem kojarzenia małżeństw w języku teorii grafów: Jeżeli G = G(V V, E) jest grafem dwudzielnym, to kiedy istnieje skojarzenia całkowite z V do V w grafie G? Twierdzenie Halla ( wersja grafowa): Niech G = G(V V, E) będzie grafem dwudzielnym i niech dla każdego podzbioru A zbioru V zbiór ϕ(a) będzie zbiorem tych wierzchołków należących do V, które sąsiadują z co najmniej jednym wierzchołkiem ze zbioru A. Istnieje skojarzenie całkowite z V do V wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru A zbioru V zachodzi nierówność A ϕ(a) Barbara Głut
16 Transwersale Rodzina zbiorów pewna uporządkowana lista zbiorów F = ( S,..., S m ) Niech A niepusty zbiór skończony S i niepuste podzbiory A Transwersalą rodziny F (systemem różnych reprezentantów) nazywamy zbiór m różnych elementów zbioru A, wybranych po jednym z każdego zbioru S i. Np. A = {,,,,, 6, 7 } S = {, } S = {, } S = {,,, } S = {,, 6, 7 } S = {, } S 6 = {, } Transwersala X = {,,, 7,, } Jakie warunki powinna spełniać rodzina zbiorów, aby miała transwersalę? Związek z problemem kojarzenia małżeństw: zbiór A reprezentuje zbiór panów S i zbiór tych panów, których zna pani d i dla i =,..., m Transwersala jest zbiorem panów, z których każdy jest narzeczonym kolejnej pani. Twierdzenie Halla ( wersja transwersalowa): Niech A będzie niepustym zbiorem skończonym i niech F = ( S,..., S m ) będzie rodzina niepustych podzbiorów zbioru A. Rodzina F ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy suma dowolnych k podzbiorów S i ma co najmniej k elementów ( dla k m). Barbara Głut 6
17 Np. A = {,,,,, 6 } S = S = {, } S = S = {, } S = {,,, 6 } Nie jest możliwe znalezienie pięciu różnych elementów zbioru A, po jednym z każdego podzbioru. Rodzina F nie ma transwersali. Ale: podrodzina F` = ( S, S, S, S ) ma transwersalę X` = {,,, } Transwersala podrodziny F nazywa się Twierdzenie: transwersalą częściową rodziny F. Rodzina F ma transwersalę częściową mającą t elementów wtedy i tylko wtedy, gdy suma dowolnych k podzbiorów S i ma co najmniej k+t m elementów. Kwadraty łacińskie Prostokątem tem łacińskim wymiaru mxn nazywamy macierz M = (m ij ) mxn, której wyrazy są liczbami całkowitymi spełniającymi następujące warunki: () m ij n () żadne dwa wyrazy stojące w tym samym wierszu lub w tej samej kolumnie nie są równe. Uwaga: m n Przykład: Barbara Głut 7
18 Barbara Głut 8 Jeśli m = n, to prostokąt nazywamy kwadratem kwadratem łaci acińskim skim. Mamy dany prostokąt łaciński wymiaru mxn (m < n). Kiedy można dołączyć do niego n m nowych wierszy tak, by powstał kwadrat łaciński? Przykład: Dodanie wiersza w celu utworzenia prostokąta łacińskiego x o elementach ze zbioru {,,,, } oznacza wyznaczenie różnych reprezentantów ze zbiorów: {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } Następny wiersz: [ ] Kontynuując możemy rozszerzyć prostokąt do kwadratu x.
19 Barbara Głut 9 Twierdzenie: Twierdzenie: Każdy prostokąt łaciński wymiaru m x n (m < n) o elementach ze zbioru {,,..., n } może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego n x n. (konsekwencja twierdzenia Halla) Przykład: Czy można rozszerzyć do kwadratu łacińskiego x? Korzystamy z transwersali, żeby rozszerzyć do prostokąta x. Ale uważnie! Ale uważnie! Wybieramy np.: co daje: Nie możemy wybrać np.: Nie możemy wybrać np.: { } { } { }
20 Przykład: x Czy można rozszerzyć do kwadratu łacińskiego x? NIE. W zadanym prostokącie nie występuje wystarczającą liczbę razy. q nq - p np - Twierdzenie: Prostokąt łaciński wymiaru p x q (p, q < n) o elementach ze zbioru {,,..., n } może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego n x n wtedy i tylko wtedy, gdy K(i) oznaczające liczbę wystąpień elementu i w K, spełnia warunek: K(i) p+q n dla każdego i =,,..., n. Barbara Głut 0
Wykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowo6d. Grafy dwudzielne i kolorowania
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr : Kolorowanie grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: -8-9-, p./ Zakład Badań Operacyjnych i Wspomagania
Bardziej szczegółowoE ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoSuma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Halla o małżeństwach
Twierdzenie Halla o małżeństwach Tomasz Tkocz Streszczenie. Notatki te, przygotowane do referatu wygłoszonego na kółku w II LO w Rybniku, pokazują jak można rozwiązywać życiowe problemy oraz te bardziej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoZadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna
Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Q1.: Mamy dany zbiór artykułów, z których każdy ma co najmniej k z n możliwych tagów. Chcemy bardzo z grubsza pokategoryzować artykuły w jak najmniejszą
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoGrafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:
Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych
Bardziej szczegółowoTeoria grafów. Magdalena Lemańska
Teoria grafów Magdalena Lemańska Literatura Aspekty kombinatoryki Victor Bryant Graph Theory V.K. Balakrishnan Fundamentals of domination in graphs T. Haynes, S. Hedetniemi, P. Slater Wstęp Graf Grafem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowoTeoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka
Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/14 TWIERDZENIE HALLA Twierdzenie o kojarzeniu małżeństw rozważa dwie grupy - dziewcząt i chłopców, oraz podgrupy dziewczyn i podgrupy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera
Bardziej szczegółowo10. Kolorowanie wierzchołków grafu
p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.
Bardziej szczegółowoWojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.
1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie
Bardziej szczegółowoc Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie
8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz
Bardziej szczegółowoRachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.
Pojęcia podstawowe c.d. Rachunek podziałów Elementy teorii grafów Klasy zgodności Rachunek podziałów i elementy teorii grafów będą stosowane w procedurach redukcji argumentów i dekompozycji funkcji boolowskich.
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015) dr hab. inż. Małgorzata Sterna PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE
MATEMATYKA DYSKRETNA (0/0) dr hab. inż. Małgorzata Sterna malgorzata.sterna@cs.put.poznan.pl www.cs.put.poznan.pl/msterna/ PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE PROSTOKĄTY ŁACIŃSKIE Prostokąt łaciński o wymiarze pq o elementach
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 7: Przydziały w grafach i sieciach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 26-83-95-04, p.225/00 Zakład
Bardziej szczegółowoZnajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej
11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoE: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują
Bardziej szczegółowoMatematyka od zaraz zatrudnię
Uniwersytet Jagielloński Gdzie jest matematyka? Soczewka, 26-28 listopada 2010 Kolorowanie grafów Dobre kolorowanie wierzchołków grafu, to nadanie im kolorów w taki sposób, że każde dwa wierzchołki połaczone
Bardziej szczegółowoProblem Hadwigera-Nelsona. Agnieszka Maślanka
Problem Hadwigera-Nelsona Agnieszka Maślanka Spis treści 1 Wstęp 2 2 Liczba chromatyczna grafów o różnych typach 3 3 Liczba chromatyczna różnych obiektów matematycznych 5 4 Oszacowanie dolne dla rozwiązań
Bardziej szczegółowoElementy teorii grafów Elementy teorii grafów
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoKody blokowe Wykład 5a;
Kody blokowe Wykład 5a; 31.03.2011 1 1 Kolorowanie hiperkostki Definicja. W teorii grafów symbol Q n oznacza kostkę n-wymiarową, czyli graf o zbiorze wierzchołków V (Q n ) = {0, 1} n i zbiorze krawędzi
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków grafu
Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,
Bardziej szczegółowoIlustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
Bardziej szczegółowoOpracowanie prof. J. Domsta 1
Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu
Bardziej szczegółowoSpis treści Podstawowe definicje Wielomian charakterystyczny grafu Grafy silnie regularne
Spis treści 1 Podstawowe definicje 4 1.1 Grafy................................ 4 1.2 Przykłady grafów......................... 12 1.2.1 Grafy puste i pełne.................... 12 1.2.2 Grafy dwudzielne.....................
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Bardziej szczegółowoMatematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016
Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Gra wstępna Dany jest prostokąt podzielony na 8 pól. Gracze zamalowują pola na zmianę. Jeden na kolor czerwony, a drugi na kolor niebieski. Gra wstępna Dany
Bardziej szczegółowoSTUDIUM PODYPLOMOWE INFORMATYKI SPI 51
STUDIUM PODYPLOMOWE INFORMATYKI SPI 51 ALGORYTMIKA I ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW Temat: Kolorowanie figur (uproszczona wersja kolorowania map grafy). Zastosowanie: Edukacja wczesnoszkolna: matematyczna, plastyczna,
Bardziej szczegółowoKombinatoryka. Jerzy Rutkowski. Teoria. P n = n!. (1) Zadania obowiązkowe
Kombinatoryka Jerzy Rutkowski 2. Elementy kombinatoryki 2.1. Permutacje Definicja 1. Niech n N. Permutacją n-elementowego zbioru A nazywamy dowolną funkcję różnowartościową f : {1,..., n} A. Innymi słowy:
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 6.Grafy
Matematyka dyskretna - 6.Grafy W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle
Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii grafów. Dr inż. Krzysztof Lisiecki
1 Reguły gry (1): Uczymy się systematycznie Nie używamy telefonów Zaliczamy w terminie 2 Kontakt: konsultacje poniedziałek 8.45 10.15 (pokój wykładowców) e-mail : krzysztof.lisiecki@p.lodz.pl lub krzysztof@lisiecki.org.pl
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoLista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
Bardziej szczegółowoG. Wybrane elementy teorii grafów
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoCzy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
Bardziej szczegółowoTest, dzień pierwszy, grupa młodsza
Test, dzień pierwszy, grupa młodsza 1. Na połowinkach 60 procent wszystkich uczniów to dziewczyny. Impreza jest kiepska, bo tylko 40 procent wszystkich uczniów chce się tańczyć. Sytuacja poprawia sie odrobinę,
Bardziej szczegółowoModele i metody kolorowania grafów. Część II
Marek KUBALE Politechnika Gdańska, Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów Modele i metody kolorowania grafów. Część II Streszczenie. Niniejszy artykuł jest drugą częścią -odcinkowego cyklu przeglądowego
Bardziej szczegółowoGrafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowoSchemat sprawdzianu. 25 maja 2010
Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,
Bardziej szczegółowoPraca dyplomowa magisterska
Politechnika Gdańska WYDZIAŁ ELEKTRONIKI TELEKOMUNIKACJI I INFORMATYKI Katedra: Katedra Algorytmów i Modelowania Systemów Forma i poziom studiów: stacjonarne, jednolite magisterskie Kierunek studiów: Informatyka
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski. Typeset by AMS-TEX
TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski 20 Typeset by AMS-TEX 8. GRAFY PLANARNE. 8.1. Grafy p laskie i planarne. TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. 21 Mówimy, że graf jest uk ladalny
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoZnajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa
Znajdowanie maksymalnych skojarzeń przy pomocy eliminacji Gaussa Marcin Mucha, Piotr Sankowski Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski - p. 1/55 Definicja problemu Skojarzeniem w grafie G = (V, E)
Bardziej szczegółowoDzień pierwszy- grupa młodsza
Dzień pierwszy- grupa młodsza 1.TomekmaTlat.Tylesamolatliczysobiewsumietrójkajegodzieci.NlattemuwiekTomkarówny był dwukrotności sumy lat swoich dzieci. Wyznacz T/N. 2.Niechk=2012 2 +2 2012.Ilewynosicyfrajednościliczbyk
Bardziej szczegółowoKernelizacja ćwiczenia 1
Kernelizacja ćwiczenia 1 kernelizacja na palcach, lemat o słoneczniku Zadanie 1. W problemie Max-SAT, mając daną formułę CNF-SAT i liczbę k pytamy, czy istnieje wartościowanie tej formuły spełniające co
Bardziej szczegółowoMetody teorii gier. ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2
Metody teorii gier ALP520 - Wykład z Algorytmów Probabilistycznych p.2 Metody teorii gier Cel: Wyprowadzenie oszacowania dolnego na oczekiwany czas działania dowolnego algorytmu losowego dla danego problemu.
Bardziej szczegółowo(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 5.Grafy.
Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoWykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką
Bardziej szczegółowoSortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych
Sortowanie topologiczne skierowanych grafów acyklicznych Metody boolowskie w informatyce Robert Sulkowski http://robert.brainusers.net 23 stycznia 2010 1 Definicja 1 (Cykl skierowany). Niech C = (V, A)
Bardziej szczegółowo