Matematyczne Podstawy Informatyki
|
|
- Ksawery Świderski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014
2 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym mającym n wierzchołków. Jeżeli graf G ma k składowych, to liczba m jego krawędzi spełnia nierówności: n k m (n k)(n k + 1)/2 Wniosek Każdy graf prosty, który ma n wierzchołków i więcej niż (n-1)(n-2)/2 krawędzi jest spójny.
3 Most Zbiór rozspajający grafu G to zbiór takich krawędzi tego grafu, że usunięcie którejś z nich spowoduje, że graf G przestanie być spójny. Rozcięcie jest takim zbiorem rozspajającym, którego żaden podzbiór właściwy nie stanowi już zbioru rozspajającego. Rozcięcie składające się z jednej krawędzi jest nazywane mostem.
4 Grafy eulerowskie Graf eulerowski Graf eulerowski to taki graf, w którym istnieje zamknięta ścieżka zawierająca każdą jego krawędź. Ścieżka tego rodzaju jest nazywana cyklem Eulera. Graf, w którym istnieje ścieżka zawierająca każdą krawędź jest nazywany półeulerowskim.
5 Grafy eulerowskie Twierdzenie 2.2 [Wilson2008] Graf spójny jest grafem eulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jego krawędzie można podzielić na rozłączne cykle. Wniosek ze wcześniejszego twierdzenia Graf spójny jest grafem półeulerowskim wtedy i tylko wtedy, gdy ma dokładnie dwa wierzchołki nieparzystych stopni.
6 Algorytm Fleury ego Algorytm Jeżeli G jest grafem eulerowskim, wtedy możliwe jest wykonanie następującej konstrukcji cyklu Eulera (zaczynając od dowolnego wierzchołka i dowolnej kolejności) zachowując następujące zasady: 1. przechodzone krawędzie i wierzchołki izolowane są usuwane w kolejnych krokach, 2. przechodzenie przez most wykonywane jest tylko wtedy, gdy nie ma innej możliwości
7 Algorytm Fleury ego
8 Grafy hamiltonowskie Grafem hamiltonowskim jest nazywany graf, w którym istnieje zamknięta ścieżka przechodząca przez każdy wierzchołek dokładnie jeden raz. Cykl tego rodzaju jest nazywany cyklem Hamiltona. Graf niehamiltonowski, w którym istnieje ścieżka przechodząca dokładnie jeden raz przez każdy wierzchołek jest nazywany grafem półhamiltonowskim.
9 Graf hamiltonowski Twierdzenie 2.3 Jeżeli graf prosty G ma n wierzchołków (n 3) oraz deg(v) + deg(w) n dla każdej pary wierzchołków niesąsiednich v i w, to graf G jest hamiltonowski. Wniosek Jeżeli w grafie prostym G, który ma n wierzchołków (n 3), deg(v) n/2 dla każdego wierzchołka v, to rozważany graf G jest hamiltonowski.
10 Graf z wagami Graf z wagami to graf, w którym każdej krawędzi przypisano liczbę nieujemną. Przypisaną do krawędzi liczbę nazywa się wagą tej krawędzi. E A B C D F 2 4 G H 2 I 5 J 4 2 K 1 3 3
11 Las i drzewo 1. Las to graf, który nie zawiera cykli. 2. Drzewo to las spójny. 3. Lasy i drzewa są grafami prostymi.
12 Własności drzew Niech T będzie grafem zawierającym n wierzchołków. W tej sytuacji następujące warunki są równoważne[wilson2008]: 1. T jest drzewem, 2. T nie zawiera cykli i ma n-1 krawędzi, 3. T jest grafem spójnym i ma n-1 krawędzi, 4. T jest grafem spójnym i każda krawędź jest mostem, 5. każde dwa wierzchołki T są połączone dokładnie jedną drogą, 6. T nie zawiera cykli, ale po dodanie dowolnej nowej krawędzi otrzyma się graf z dokładnie jednym cyklem
13 Własności drzew (1) (2) 1. Usunięcie którejkolwiek krawędzi spowoduje podział grafu T na dwie części. 2. Każda z powstałych części jest drzewem. 3. Liczba krawędzi w każdym z tych drzew jest o jeden mniejsza od liczby wierzchołków (założenie indukcyjne). 4. Liczba wszystkich krawędzi grafu T wynosi n 1. (2) (3) 1. Jeżeli graf T jest niespójny, to posiada przynajmniej dwie spójne składowe. 2. Liczba krawędzi w każdej tej składowej jest równa liczbie wierzchołków pomniejszonej o Całkowita liczba krawędzi w grafie T, będzie mniejsza o co najmniej dwa od liczby wierzchołków - zaprzeczenie założeniom z punktu 2.
14 Własności drzew (3) (4) 1. Usunięcie krawędzi spowoduje powstanie grafu posiadającego n wierzchołków i n 2 krawędzi. 2. Na podstawie twierdzenia z początku wykładu taki graf jest niespójny. (4) (5) 1. Graf jest spójny - każda para wierzchołków jest połączona przynajmniej jedną drogą. 2. Parę wierzchołków nie może łączyć więcej niż jedna droga, gdyż przeczyłoby to założeniu, że każda krawędź jest mostem (wymagałoby zataczania cyklu).
15 Własności drzew (5) (6) 1. Gdyby graf zawierał cykl to dwa różne wierzchołki byłyby połączone przynajmniej dwoma drogami - zaprzeczenie (5). 2. Jeżeli dodano krawędź e do grafu, to zostanie stworzony cykl, gdyż wierzchołki incydentne z e były już połączone w pierwotnym grafie T. (6) (1) 1. Założenie - graf T jest niespójny. 2. Dodając do T krawędź łącząca wierzchołki należące do różnych składowych nie zostanie utworzony cykl (przeczy 6).
16 Zliczanie drzew Twierdzenie Cayleya (2.4) Istnieje n n 2 różnych drzew oznakowanych mających n wierzchołków
17 Drzewo spinające grafu Wybierając dowolny cykl w grafie spójnym G i usuwając którąś z krawędzi z tego cyklu otrzymuje się graf, który nadal jest grafem spójnym. Ten proces można kontynuować, aż uzyska się graf bez cykli. Powstanie drzewo spinające wszystkie wierzchołki grafu, nosi ono nazwę drzewa spinającego grafu G (lub rozpinającego graf G).
18 Grafy planarne Graf planarny to graf, który można narysować na płaszczyźnie bez przecięć, żadna z krawędzi nie będzie się przecinała na rysunku w innym miejscu niż wierzchołek (oczywiście chodzi o krawędzie incydentne).
19 Grafy planarne Dwa grafy są homeomorficzne jeżeli oba grafy można otrzymać z tego samego grafu przez wstawienie nowych wierzchołków stopnia 2 wewnątrz ich krawędzi. Twierdzenie Kuratowskiego (2.5) Dany graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podgrafu homeomorficznego z grafem K 5 lub z grafem K 3,3.
20 Grafy planarne Graf H jest grafem ściągalnym do grafu K 5 lub K 3,3, jeżeli można uzyskać graf K 5 lub K 3,3 ściągające kolejne krawędzie grafu H. Twierdzenie 2.6 Dany graf jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera grafu ściągalnego do grafu K 5 lub grafu K 3,3.
21 Kolorowanie grafów Jeżeli graf G jest grafem bez pętli, to graf G jest grafem k-kolorowalnym, jeżeli każdemu wierzchołkowi można przypisać jeden z k kolorów w taki sposób, by sąsiednie wierzchołki miały inne kolory. Graf G, który jest k-kolorowalny, ale nie (k-1)-kolorowalny jest nazywany grafem k-chromatycznym. Jego liczba chromatyczna jest równa k.
22 Kolorowanie grafów Twierdzenie 2.7 Jeżeli G jest grafem prostym, w którym największym stopniem wierzchołka jest, to graf G jest + 1-kolorowalny. Twierdzenie 2.8 Jeżeli G jest spójnym grafem prostym, niebędącym grafem pełnym, i jeśli największy stopień grafu G wynosi ( 3), to graf G jest -kolorowalny.
23 Kolorowanie grafów Twierdzenie 2.9 Każdy planarny graf prosty jest 6-kolorowalny. Twierdzenie 2.10 Każdy planarny graf prosty jest 5-kolorowalny. Twierdzenie 2.11 Każdy planarny graf prosty jest 4-kolorowalny.
24 Kolorowanie map Mapa Mapa jest grafem planarnym 3-spójnym - mapa nie zawiera rozcięć mających 1 lub 2 krawędzie, nie ma wierzchołków stopnia 1 lub 2). K-kolorowanie(f) Mapa jest k-kolorowalna(f), jeżeli jej ściany można pokolorować w ten sposób, by żadne dwie ściany ograniczone wspólna krawędzią nie były pokolorowane tym samym kolorem. (Kolorowanie jak było określone wcześniej dla map - k-kolorowanie(v))
25 Literatura Do napisania materiałów wykorzystano: 1. R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów, PWN R. Sedgewick Algorytmy w C++ - grafy, Wydawnictwo RM K.A. Ross Matematyka dyskretna, PWN 2003
Matematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoSuma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoOpracowanie prof. J. Domsta 1
Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoGrafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:
Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoCzy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka
Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów
Bardziej szczegółowoIlustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoTeoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoE ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Bardziej szczegółowoMinimalne drzewa rozpinające
KNM UŚ 26-28 listopada 2010 Ostrzeżenie Wprowadzenie Motywacja Definicje Niektóre pojęcia pojawiające się podczas tego referatu są naszymi autorskimi tłumaczeniami z języka angielskiego. Nie udało nam
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoDroga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie
Bardziej szczegółowo6. Wstępne pojęcia teorii grafów
6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017
Bardziej szczegółowoGrafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.
Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru
Bardziej szczegółowoTeoria grafów. Magdalena Lemańska
Teoria grafów Magdalena Lemańska Literatura Aspekty kombinatoryki Victor Bryant Graph Theory V.K. Balakrishnan Fundamentals of domination in graphs T. Haynes, S. Hedetniemi, P. Slater Wstęp Graf Grafem
Bardziej szczegółowoWykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoG. Wybrane elementy teorii grafów
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoZał. nr 4 do ZW. Wykład Ćwiczenia Laboratorium Projekt Seminarium 30 30
WYDZIAŁ ****** KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim MATEMATYKA DYSKRETNA Nazwa w języku angielskim DISCRETE MATHEMATICS Kierunek studiów (jeśli dotyczy): Specjalność (jeśli dotyczy): Stopień studiów
Bardziej szczegółowoGrafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków
Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie Odpowiedzi do zadania domowego www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST 1) b 2) a 3) b 4) d 5) c 6) d 7) b 8) b 9) d 10) a Zad. 1 ODPOWIEDZI
Bardziej szczegółowo6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie
6a. Grafy eulerowskie i hamiltonowskie Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny6a. w Krakowie) Grafy eulerowskie i hamiltonowskie
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Grafy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1A/14 Literatura obowiązkowa [1] K.A.Ross, Ch.R.B.Wright: Matematyka Dyskretna. Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1996 [2] R.L.Graham,
Bardziej szczegółowo1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza
165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy grafowe. Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów. Tomasz Tyksiński CDV
Algorytmy grafowe Wykład 1 Podstawy teorii grafów Reprezentacje grafów Tomasz Tyksiński CDV Rozkład materiału 1. Podstawowe pojęcia teorii grafów, reprezentacje komputerowe grafów 2. Przeszukiwanie grafów
Bardziej szczegółowoLista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 8. Egzaminy próbne. Uwaga! Niektórych z tych zadań nie obejmuje program dla studiów zaocznych - proszę się tym nie niepokoić -
Matematyka dyskretna - 8. Egzaminy próbne. Uwaga! Niektórych z tych zadań nie obejmuje program dla studiów zaocznych - proszę się tym nie niepokoić - takie zadania pojawią się tylko na egzaminach dla studentów
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do teorii grafów. Dr inż. Krzysztof Lisiecki
1 Reguły gry (1): Uczymy się systematycznie Nie używamy telefonów Zaliczamy w terminie 2 Kontakt: konsultacje poniedziałek 8.45 10.15 (pokój wykładowców) e-mail : krzysztof.lisiecki@p.lodz.pl lub krzysztof@lisiecki.org.pl
Bardziej szczegółowoAlgorytmika Problemów Trudnych
Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz
Bardziej szczegółowoElementy teorii grafów Elementy teorii grafów
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 3: Marszruty, łańcuchy, drogi w grafach dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Bardziej szczegółowoZ-LOG-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics. Przedmiot podstawowy Wybieralny polski Semestr III
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod modułu Nazwa modułu Nazwa modułu w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/2013 Z-LOG-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Algorytmy grafowe: podstawowe pojęcia, reprezentacja grafów, metody przeszukiwania, minimalne drzewa rozpinające, problemy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 5.Grafy.
Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte
Bardziej szczegółowoMarek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 7.Drzewa
Matematyka dyskretna - 7.Drzewa W tym rozdziale zajmiemy się drzewami: specjalnym przypadkiem grafów. Są one szczególnie przydatne do przechowywania informacji, umożliwiającego szybki dostęp do nich. Definicja
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12
Bardziej szczegółowoSiedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych
Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie
Bardziej szczegółowo6d. Grafy dwudzielne i kolorowania
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 6.Grafy
Matematyka dyskretna - 6.Grafy W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte
Bardziej szczegółowoGrafy (3): drzewa. Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków. UTP Bydgoszcz
Grafy (3): drzewa Wykłady z matematyki dyskretnej dla informatyków i teleinformatyków UTP Bydgoszcz 13 (Wykłady z matematyki dyskretnej) Grafy (3): drzewa 13 1 / 107 Drzewo Definicja. Drzewo to graf acykliczny
Bardziej szczegółowoGrafy i Zastosowania. 5: Drzewa Rozpinające. c Marcin Sydow. Drzewa rozpinające. Cykle i rozcięcia fundamentalne. Zastosowania
Grafy i Grafy i 5: Rozpinające Spis zagadnień Grafy i i lasy cykle fundamentalne i własności cykli i rozcięć przestrzenie cykli i rozcięć* : zastosowanie w sieciach elektrycznych minimalne * algorytm Kruskala*
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV. Drzewa. Drzewa
TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAŁIV Drzewa Drzewem lub drzewem wolnym nazywamy dowolny graf spójny i acykliczny. Drzewa Ćwiczenie 1. Narysować wszystkie, z dokłado sci a do izomorfizmu, drzewa o 1, 2, 3,
Bardziej szczegółowoWykład 8. Drzewo rozpinające (minimum spanning tree)
Wykład 8 Drzewo rozpinające (minimum spanning tree) 1 Minimalne drzewo rozpinające - przegląd Definicja problemu Własności minimalnych drzew rozpinających Algorytm Kruskala Algorytm Prima Literatura Cormen,
Bardziej szczegółowoZnajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej
11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków grafu
Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,
Bardziej szczegółowoZadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna
Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Q1.: Mamy dany zbiór artykułów, z których każdy ma co najmniej k z n możliwych tagów. Chcemy bardzo z grubsza pokategoryzować artykuły w jak najmniejszą
Bardziej szczegółowoCała prawda o powierzchniach
Topologia Właściwości geometryczne, niezmiennicze przy ciagłych deformacjach Można: rozciagać giać Nie można: rozcinać złamać Jednak można rozciać wzdłuż linii, a potem skleić wzdłuż tejże linii: rozwiazać
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Pod auspicjami Polskiej Akademii Nauk Warszawa, ul. Newelska 6, tel.
WYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA Pod auspicjami Polskiej Akademii Nauk 01-447 Warszawa, ul. Newelska 6, tel. 22 3486544 Wydział Informatyki Kierunek studiów Profil Stopień studiów Forma
Bardziej szczegółowoZofia Kruczkiewicz, Algorytmu i struktury danych, Wykład 14, 1
Wykład Algorytmy grafowe metoda zachłanna. Właściwości algorytmu zachłannego:. W przeciwieństwie do metody programowania dynamicznego nie występuje etap dzielenia na mniejsze realizacje z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoPrzecięcia odcinków. Wykład /07
Przecięcia odcinków Wykład 2 2006/07 Problem Dane: zbiór S={s 1,...,s n } odcinków na płaszczyźnie Wynik: zbiór punktów przecięć wszystkich odcinków z S, wraz z informacją które odcinki przecinają się
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoWojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.
1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część V - Model PRAM II Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.sphere.pl/ kuszner/ kuszner@sphere.pl Oficjalna strona wykładu http://www.sphere.pl/ kuszner/arir/ 2005/06
Bardziej szczegółowo10. Kolorowanie wierzchołków grafu
p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.
Bardziej szczegółowoAlgorytmy z powracaniem
Algorytmy z powracaniem Materiały Grafem nazywamy zbiór G = (V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków (ang. vertex) E jest zbiorem krawędzi (E można też określić jako podzbiór zbioru nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowoAlgorytmy i Struktury Danych.
Algorytmy i Struktury Danych. Grafy dr hab. Bożena Woźna-Szcześniak bwozna@gmail.com Jan Długosz University, Poland Wykład 9 Bożena Woźna-Szcześniak (AJD) Algorytmy i Struktury Danych. Wykład 9 1 / 53
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Bardziej szczegółowoTOMASZ TRACZYK MATEMATYKA DYSKRETNA Wykłady 9-10 Grafy Hamiltona
TOMASZ TRACZYK MATEMATYKA DYSKRETNA Wykłady 9-10 Grafy Hamiltona Legenda głosi, Ŝe kiedy sir Wiliam Hamilton został wsadzony do więzienia za długi wymyślił grę w dookoła świata aby zdobyć pieniądze i wyjść
Bardziej szczegółowoOgólne wiadomości o grafach
Ogólne wiadomości o grafach Algorytmy i struktury danych Wykład 5. Rok akademicki: / Pojęcie grafu Graf zbiór wierzchołków połączonych za pomocą krawędzi. Podstawowe rodzaje grafów: grafy nieskierowane,
Bardziej szczegółowoZ-ZIP-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics. Stacjonarne Wszystkie Katedra Matematyki Dr hab. Artur Maciąg, prof. PŚk
KARTA MODUŁU / KARTA PRZEDMIOTU Kod Nazwa Nazwa w języku angielskim Obowiązuje od roku akademickiego 2012/13 Z-ZIP-1004 Matematyka dyskretna Discrete mathematics A. USYTUOWANIE MODUŁU W SYSTEMIE STUDIÓW
Bardziej szczegółowoTEORIA wiązań Magdalena Pawłowska Gr. 10B2
TEORIA wiązań Magdalena Pawłowska Gr. 10B2 Techniki kombinatoryczne rozróżniania węzłów i splotów ØLiczba skrzyżowań, ØLiczba mostów, ØKolorowanie, ØIndeks zaczepienia, ØSzkic elementów arytmetyki węzłów.
Bardziej szczegółowoE: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne
E: Rekonstrukcja ewolucji. Algorytmy filogenetyczne Przypominajka: 152 drzewo filogenetyczne to drzewo, którego liśćmi są istniejące gatunki, a węzły wewnętrzne mają stopień większy niż jeden i reprezentują
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
ELEMENTY TEORII GRAFÓW Literatura: N.Deo Teoria grafów i e zastosowania... PWN (1980) Ross, Wright Matematyka yskretna PWN (199) R.Wilson Wprowazenie o teorii grafów PWN (1999) J.Kulikowski Zarys teorii
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Stany równoważne Stany p i q są równoważne,
Bardziej szczegółowoWykład 10 Grafy, algorytmy grafowe
. Typy złożoności obliczeniowej Wykład Grafy, algorytmy grafowe Typ złożoności oznaczenie n Jedna operacja trwa µs 5 logarytmiczna lgn. s. s.7 s liniowa n. s.5 s. s Logarytmicznoliniowa nlgn. s.8 s.4 s
Bardziej szczegółowo