Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ilustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna"

Bożena Drozd
7 lat temu
Przeglądów:

1 Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają różne pary końców, 2) wnętrza krzywych nie zawierają punktów innych krzywych zbioru E ani żadnych punktów zbioru V. Graf płaski jest grafem abstrakcyjnym o zbiorze wierzchołków V i zbiorze krawędzi E, ale też zbiorem punktów G = V E

2 Ilustracja

3 Ściany R 2 G jest otwartym podzbiorem płaszczyzny jego obszary spójne nazywamy ścianami G dokładnie 1 ściana jest nieograniczona nazywamy ją zewnętrzną. brzeg ściany albo daną krawędź zawiera albo jest rozłączny z jej wnętrzem.

4 Ilustracja S3 S1 S2 S3 S3 ściana zewnętrzna

5 Mosty i nie-mosty Niech C będzie cyklem w grafie płaskim G. Jeśli e należy do C, to e leży na brzegu dokładnie dwóch ścian i te ściany zawarte są w 2 różnych ścianach grafu C. Jeśli e jest mostem, to e leży na brzegu dokładnie jednej ściany. Wniosek: płaski las ma tylko jedną ścianę.

6 Ilustracja: mosty, cykle

7 2-spójne grafy płaskie Fakt: W 2-spójnym grafie płaskim brzeg każdej ściany jest cyklem. Dowód: Indukcja z wykorzystaniem konstrukcyjnej charakterystyki grafów 2-spójnych. H P

8 Triangulacje Graf płaski nazywamy maksymalnym, gdy żaden jego nadgraf właściwy o tym samym zbiorze wierzchołków nie jest płaski. Graf płaski nazywamy triangulacją, gdy brzeg każdej ściany jest trójkątem. Fakt. Graf płaski o co najmniej 3 wierzchołkach jest maksymalny wgdy jest triangulacją.

9 Dowód Jeśli każda ściana jest trójkątem, to nie można dodać krawędzi, która nie naruszałaby warunków 1) i 2) z def. płaskości. G musi być 2-spójny, więc brzeg każdej ściany jest cyklem. Niech C będzie jednym z nich. Skoro G jest maksymalny, to V(C) jest kliką w G, której wszystkie krawędzie leżą na zewnętrznej ścianie C. Jest to jednak możliwe tylko, gdy V(C) <4 (patrz: rysunek).

10 Ilustracja dowodu C

11 Zajrzyjmy do pudełek n=8, m=12, l=6 n=20, m=30, l=12 n-m+l=2

12 Wzór Eulera Tw. (Euler, 1752) W każdym spójnym grafie płaskim liczba wierzchołków n, liczba krawędzi m i liczba ścian l spełniają równość: n-m+l=2 Dowód: Indukcja względem m przy ustalonym n. Jeśli m=n-1, to G jest drzewem i l=1. Jeśli m>n-1, to G zawiera cykl. Usuńmy krawędź e z tego cyklu. Graf G-e ma jedną krawędź mniej i jedną ścianę mniej niż G. Stosujemy założenie indukcyjne do G-e.

13 Liczba krawędzi grafu płaskiego Wniosek: Graf płaski o n wierzchołkach ma nie więcej niż 3n-6 krawędzi, triangulacja ma ich dokładnie tyle. Dowód: Licząc krawędzie wokół każdej ściany triangulacji i sumując je, otrzymamy 2m, ale jednocześnie 3l. Stąd i ze wzoru Eulera pomnożonego przez 3, 3n-3m+2m=6.

14 Przykład triangulacji n=7, m=3n-6=15, l=10

15 Grafy planarne Graf G jest planarny, gdy jest izomorficzny z grafem płaskim. Mówimy wtedy, że można go zanurzyć w (narysować na) płaszczyźnie. Graf płaski izomorficzny z G nazywamy rysunkiem G. Fakt: Każdy graf planarny posiada rysunek, którego krawędzie są odcinkami prostymi. (ćw) K 4

16 Równoważność topologiczna Dwa rysunki tego samego grafu są topologicznie równoważne, gdy (multi)zbiory podgrafów będących brzegami ścian pokrywają się. Przykład: 2 topologicznie równoważne rysunki K 4

17 Poniższe pary nie są równoważne

18 3-spójne grafy planarne Tw. (Whitney, 1932) Każde dwa rysunki 3-spójnego grafu planarnego są topologicznie równoważne. Lemat: Cykl C 3-spójnego grafu płaskiego jest brzegiem ściany wgdy C jest cyklem indukowanym a V(C) nie rozdziela G. Dowód Tw.:Z Lematu, każdy rysunek 3-spójnego grafu planarnego ma te same cykle na brzegach ścian. Dowód Lematu: Skoro V(C) nie rozdziela G, to przynajmniej jedna ze ścian C nie zawiera punktów G-C. Zatem C jest brzegiem ściany.

19 Maksymalne grafy planarne Graf planarny jest maksymalny, gdy żaden jego nadgraf właściwy o tym samym zbiorze wierzchołków nie jest planarny. Rysunek maksymalnego grafu planarnego jest triangulacją, i odwrotnie, każda triangulacja jest maksymalnym grafem planarnym. Zatem, graf planarny o n>2 wierzchołkach jest maksymalny wgdy ma 3n-6 krawędzi. Triangulacje są 3-spójne (bez dowodu)

20 Ani, ani Wszystkie grafy na 4 wierzchołkach są planarne (bo K 4 jest planarny) Wszystkie grafy na 5 wierzchołkach są planarne, oprócz K 5 (ćw.) Wszystkie grafy dwudzielne na 6 wierzchołkach są planarne, oprócz K 3,3 (ćw.) Ani K 5, ani K 3,3 nie jest planarny Dowód dla K 5 : m=10>9=3n-6 Dowód dla K 3,3 : na ćwiczeniach!

21 D1 D2 D3?? S1 S2 S3

22 Podziały topologiczne krawędzi K 3 G=TK 3 Nieformalny zapis G=TH oznacza, ze G jest jednym z grafów, które można otrzymać z grafu H przez topologiczne podziały krawędzi. (TH jest więc nieskończoną rodziną grafów)

23 Tw. Kuratowskiego Ani TK 5, ani TK 3,3 nie jest planarny. Żaden graf planarny nie zawiera ich. Tw. (Kuratowski 1930) Graf G jest planarny wgdy nie zawiera ani TK 5 ani TK 3,3. (bez dowodu.)

Podobne dokumenty

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.

SPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki. SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką