Wprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka
|
|
- Łukasz Witkowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12
2 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych
3 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych
4 Na poczatek łamigłówka, 1917
5 Jak rysować grafy? Definicja Krzywa na płaszczyźnie nazywamy obraz ciagłego odwzorowaniaφ: [0, 1] R 2. Punkty φ(0) i φ(1) nazywamy końcami krzywej. Krzywa nazywamy zwykła (ang. simple), gdy φ (0,1] oraz φ [0,1) sa odwzorowaniami różnowartościowymi. Krzywa nazywamy zamknięta, gdy φ(0) = φ(1). Twierdzenie (o krzywej Jordana, 1887) Zwykła krzywa zamknięta dzieli płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest brzegiem każdego z nich.
6 Jak rysować grafy? Definicja Krzywa na płaszczyźnie nazywamy obraz ciagłego odwzorowaniaφ: [0, 1] R 2. Punkty φ(0) i φ(1) nazywamy końcami krzywej. Krzywa nazywamy zwykła (ang. simple), gdy φ (0,1] oraz φ [0,1) sa odwzorowaniami różnowartościowymi. Krzywa nazywamy zamknięta, gdy φ(0) = φ(1). Twierdzenie (o krzywej Jordana, 1887) Zwykła krzywa zamknięta dzieli płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest brzegiem każdego z nich.
7 Jak rysować grafy? II Definicja Rysunkiem (ang. drawing) grafu G = (V, E,γ) na płaszczyźnie nazywamy funkcję f określona na V E, która przyporzadkowuje wierzchołkom grafu różne punkty w R 2, zaś każdej krawędzi e E pewna krzywa zwykła o końcach w f γ(e). Dla e, e E, e e punkt z f(e) f(e ) który nie jest wspólnym końcem obu krzywych jest przecięciem krawędzi. Uwaga Aby uniknać trudności od strony topologii zamiast krzywych używa się łamanych. W tym wykładzie będziemy się odwoływać tylko do intuicji topologicznej, więc pozostaniemy przy pojęciu krzywej.
8 Jak rysować grafy? II Definicja Rysunkiem (ang. drawing) grafu G = (V, E,γ) na płaszczyźnie nazywamy funkcję f określona na V E, która przyporzadkowuje wierzchołkom grafu różne punkty w R 2, zaś każdej krawędzi e E pewna krzywa zwykła o końcach w f γ(e). Dla e, e E, e e punkt z f(e) f(e ) który nie jest wspólnym końcem obu krzywych jest przecięciem krawędzi. Uwaga Aby uniknać trudności od strony topologii zamiast krzywych używa się łamanych. W tym wykładzie będziemy się odwoływać tylko do intuicji topologicznej, więc pozostaniemy przy pojęciu krzywej.
9 Jak rysować grafy? Intuicja Przesuwajac rysunek krawędzi odrobinkę możemy zapewnić, aby żadne trzy krawędzie nie miały wspólnego przecięcia, aby żadne dwie nie były styczne i aby krawędzie nie przechodziły przez wierzchołki których końcami nie sa. Jeśli dwie krawędzie przecinaja się więcej niż raz łatwo można je zmienić, by zmniejszyć ilość przecięć (rysunek), więc założymy, że każde dwie krawędzie przecinaja się co najwyżej raz. Rozważać będziemy wyłacznie rysunki grafów o takich własnościach.
10 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych
11 Grafy planarne i grafy płaskie Definicja Graf G jest planarny (ang. planar) gdy istnieje jego rysunek na płaszczyźnie bez przecięć krawędzi. Grafem płaskim nazywamy taki rysunek grafu planarnego (dlaczego jest to graf?). Definicja Niech G będzie grafem płaskim. Ścianami/regionami (ang. face) nazywamy maksymalne zbiory otwarte i spójne, które nie zawieraja punktów należacych do V(G) e E. Skończony graf płaski ma jeden nieograniczony region (nazywany zewnętrznym)
12 Grafy planarne i grafy płaskie Definicja Graf G jest planarny (ang. planar) gdy istnieje jego rysunek na płaszczyźnie bez przecięć krawędzi. Grafem płaskim nazywamy taki rysunek grafu planarnego (dlaczego jest to graf?). Definicja Niech G będzie grafem płaskim. Ścianami/regionami (ang. face) nazywamy maksymalne zbiory otwarte i spójne, które nie zawieraja punktów należacych do V(G) e E. Skończony graf płaski ma jeden nieograniczony region (nazywany zewnętrznym)
13 Grafy dualne Definicja Grafem dualnym do grafu płaskiego G nazywamy taki graf G, którego zbiór wierzchołków tworza punkty po jednym z każdej ściany G. Krawędzie w G odpowiadają krawędziom w G jak następuje: jeśli krawędź e E(G) należy do brzegu obszarów X i Y, wówczas krawędź dualna e E(G ) łaczy wierzchołki x X i y Y, jeśli zaś krawędź e należy do brzegu jednego obszaru krawędź e jest pętla.
14 Grafy dualne Definicja Grafem dualnym do grafu płaskiego G nazywamy taki graf G, którego zbiór wierzchołków tworza punkty po jednym z każdej ściany G. Krawędzie w G odpowiadają krawędziom w G jak następuje: jeśli krawędź e E(G) należy do brzegu obszarów X i Y, wówczas krawędź dualna e E(G ) łaczy wierzchołki x X i y Y, jeśli zaś krawędź e należy do brzegu jednego obszaru krawędź e jest pętla.
15 Grafy dualne Obserwacja Graf dualny do grafu płaskiego jest planarny. Uwaga Przy bardziej formalnym podejściu w definicji grafu dualnego do sposobu rysowania jego krawędzi można uzyskać, że graf dualny do grafu płaskiego jest płaski. Można wówczas udowodnić, że dla każdego grafu płaskiego G zachodzi (G ) = G wtedy i tylko wtedy gdy G jest spójny. Uwaga Dwa grafy płaskie odpowiadające grafowi planarnemu G moga mieć nieizomorficzne grafy dualne.
16 Grafy dualne Obserwacja Graf dualny do grafu płaskiego jest planarny. Uwaga Przy bardziej formalnym podejściu w definicji grafu dualnego do sposobu rysowania jego krawędzi można uzyskać, że graf dualny do grafu płaskiego jest płaski. Można wówczas udowodnić, że dla każdego grafu płaskiego G zachodzi (G ) = G wtedy i tylko wtedy gdy G jest spójny. Uwaga Dwa grafy płaskie odpowiadające grafowi planarnemu G moga mieć nieizomorficzne grafy dualne.
17 Grafy dualne Definicja Niech G będzie grafem płaskim. Obwodem ściany (ang. face length) f nazywamy sumę długości najkrótszych zamkniętych spacerów w G po brzegach ściany f. Obserwacja Jeśli przez l(f) oznaczymy obwód ściany f w grafie płaskim G to 2 E(G) = i l(f i). Twierdzenie Niech G będzie grafem płaskim. Wówczas G jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, gdy G jest eulerowski.
18 Wzór Eulera Twierdzenie (Euler, 1758) Jeśli G jest spójnym grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian, to: Wniosek n m+f = 2. Jeśli G jest grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian i k spójnych składowych to n m+f = k + 1.
19 Wzór Eulera Twierdzenie (Euler, 1758) Jeśli G jest spójnym grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian, to: Wniosek n m+f = 2. Jeśli G jest grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian i k spójnych składowych to n m+f = k + 1.
20 Wzór Eulera dalsze wnioski Twierdzenie Jeśli G jest prostym grafem planarnym o najmniej trzech wierzchołkach wówczas E(G) 3 V(G) 6. Co więcej, jeśli w G nie ma trójkatów to E(G) 2 V(G) 4. Wniosek Grafy K 5 i K 3,3 nie sa planarne. Wniosek Każdy prosty graf planarny ma wierzchołek o stopniu co najwyżej 5 (3, jeśli graf jest bez trójkatów).
21 Wzór Eulera dalsze wnioski Twierdzenie Jeśli G jest prostym grafem planarnym o najmniej trzech wierzchołkach wówczas E(G) 3 V(G) 6. Co więcej, jeśli w G nie ma trójkatów to E(G) 2 V(G) 4. Wniosek Grafy K 5 i K 3,3 nie sa planarne. Wniosek Każdy prosty graf planarny ma wierzchołek o stopniu co najwyżej 5 (3, jeśli graf jest bez trójkatów).
22 Wzór Eulera dalsze wnioski Twierdzenie Jeśli G jest prostym grafem planarnym o najmniej trzech wierzchołkach wówczas E(G) 3 V(G) 6. Co więcej, jeśli w G nie ma trójkatów to E(G) 2 V(G) 4. Wniosek Grafy K 5 i K 3,3 nie sa planarne. Wniosek Każdy prosty graf planarny ma wierzchołek o stopniu co najwyżej 5 (3, jeśli graf jest bez trójkatów).
23 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych
24 Minory topologiczne i minory Definicja Niech G = (V, E,γ) będzie grafem, zaś e E jego krawędzia o końcach u i v. Podziałem topologicznym (ang. subdivision) krawędzi e nazywamy graf Ge = (V {w}, E \{e} {e 1, e 2 },γ ) powstały przez zastapienie krawędzi e ścieżka (u, e 1, w, e 2, v). Podziałem topologicznym grafu G nazwiemy dowolny graf X powstały przez (być może wielokrotne) podziały topologiczne krawędzi. O grafie G powiemy wtedy, że jest minorem topologicznym dowolnego nadgrafu X. Definicja Niech G = (V, E,γ) będzie grafem, zaś e E jego krawędzia o końcach u i v. Ściagnięciem (ang. contraction) krawędzi e nazywamy graf G/e = (V \{u, v} {w}, E \{e},γ ), w którym krawędzie majace w grafie G końce w u lub v maja odpowiednie końce w w. Graf X jest minorem grafu G, gdy graf izomorficzny z X można uzyskać przez (być może powtarzane) operacje ściagania (ang. contraction) krawędzi pewnego podgrafu G.
25 Minory topologiczne i minory Obserwacja Każdy minor topologiczny grafu G jest także minorem. Obserwacja Dowolny podział topologiczny grafu nieplanarnego jest nieplanarny. Zatem minory topologiczne grafu planarnego sa planarne. Wniosek Dowolny podział topologiczny grafów K 5 i K 3,3 jest nieplanarny. Obserwacja Podobny fakt zachodzi dla (zwykłych) minorów. Zatem żaden graf planarny nie ma minora izomorficznego z K 5 ani K 3,3.
26 Minory topologiczne i minory Obserwacja Każdy minor topologiczny grafu G jest także minorem. Obserwacja Dowolny podział topologiczny grafu nieplanarnego jest nieplanarny. Zatem minory topologiczne grafu planarnego sa planarne. Wniosek Dowolny podział topologiczny grafów K 5 i K 3,3 jest nieplanarny. Obserwacja Podobny fakt zachodzi dla (zwykłych) minorów. Zatem żaden graf planarny nie ma minora izomorficznego z K 5 ani K 3,3.
27 Minory topologiczne i minory Obserwacja Każdy minor topologiczny grafu G jest także minorem. Obserwacja Dowolny podział topologiczny grafu nieplanarnego jest nieplanarny. Zatem minory topologiczne grafu planarnego sa planarne. Wniosek Dowolny podział topologiczny grafów K 5 i K 3,3 jest nieplanarny. Obserwacja Podobny fakt zachodzi dla (zwykłych) minorów. Zatem żaden graf planarny nie ma minora izomorficznego z K 5 ani K 3,3.
28 Twierdzenie Kuratowskiego Twierdzenie (Kuratowski, 1930) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podziału topologicznego grafów K 5 ani K 3,3. Ekwiwalentne twierdzenie można wyrazić w języku minorów. Twierdzenie (Wagner, 1937) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy ani K 5 ani K 3,3 nie sa minorami G.
29 Twierdzenie Kuratowskiego Twierdzenie (Kuratowski, 1930) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podziału topologicznego grafów K 5 ani K 3,3. Ekwiwalentne twierdzenie można wyrazić w języku minorów. Twierdzenie (Wagner, 1937) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy ani K 5 ani K 3,3 nie sa minorami G.
30 Hipoteza Wagnera Twierdzenie (Robertson, Seymour ) Każdy nieskończony ciag skończonych grafów G 0, G 1, G 2,... zawiera takie dwa grafy G i, G j (gdzie i < j), że G i jest minorem G j. Dowód w 20 artykułach łacznie 500 stron. Z twierdzenia wynika, że dowolna własność grafów zamknięta na relację bycia minorem może zostać scharakteryzowana przez skończony zbiór zabronionych minorów. Np. grafy planarne przez K 5 i K 3,3. Dla grafów zanurzalnych na torusie ponad 800 znanych.
31 Hipoteza Wagnera Twierdzenie (Robertson, Seymour ) Każdy nieskończony ciag skończonych grafów G 0, G 1, G 2,... zawiera takie dwa grafy G i, G j (gdzie i < j), że G i jest minorem G j. Dowód w 20 artykułach łacznie 500 stron. Z twierdzenia wynika, że dowolna własność grafów zamknięta na relację bycia minorem może zostać scharakteryzowana przez skończony zbiór zabronionych minorów. Np. grafy planarne przez K 5 i K 3,3. Dla grafów zanurzalnych na torusie ponad 800 znanych.
32 Hipoteza Wagnera Twierdzenie (Robertson, Seymour ) Każdy nieskończony ciag skończonych grafów G 0, G 1, G 2,... zawiera takie dwa grafy G i, G j (gdzie i < j), że G i jest minorem G j. Dowód w 20 artykułach łacznie 500 stron. Z twierdzenia wynika, że dowolna własność grafów zamknięta na relację bycia minorem może zostać scharakteryzowana przez skończony zbiór zabronionych minorów. Np. grafy planarne przez K 5 i K 3,3. Dla grafów zanurzalnych na torusie ponad 800 znanych.
33 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych
34 Kolorowanie mapy Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?
35 Kolorowanie mapy Hipoteza (1852 ) Wystarcza 4 kolory. Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?
36 Kolorowanie mapy Hipoteza (1852 ) Wystarcza 4 kolory. Twierdzenie (1977,1996 ) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?
37 Kolorowanie mapy Hipoteza (1852 ) Wystarcza 4 kolory. Twierdzenie (1977,1996 ) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?
38 Kolorowanie grafów planarnych Hipoteza (F. Guthrie, 1852) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ślad w liście de Morgana do Hamiltona. Twierdzenie (Kempe, 1879) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Bład w dowodzie (1890). Twierdzenie (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny.
39 Kolorowanie grafów planarnych Hipoteza (F. Guthrie, 1852) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ślad w liście de Morgana do Hamiltona. Twierdzenie (Kempe, 1879) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Bład w dowodzie (1890). Twierdzenie (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny.
40 Kolorowanie grafów planarnych Hipoteza (F. Guthrie, 1852) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ślad w liście de Morgana do Hamiltona. Twierdzenie (Kempe, 1879) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Bład w dowodzie (1890). Twierdzenie (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny.
41 Kolorowanie grafów planarnych Twierdzenie (Appel,Haken,Koch 1977) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Dowód opierał się na pomyśle Kempe a i późniejszych próbach poprawy jego dowodu. Wymagał użycia komputera. Nowy dowód Robertson, Sanders, Seymour, Thomas [1996]. Zmniejszenie ilości przypadków wymagajacych wsparcia komputera. Publikacja kodu w internecie.
Kolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoIlustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoDigraf. 13 maja 2017
Digraf 13 maja 2017 Graf skierowany, digraf, digraf prosty Definicja 1 Digraf prosty G to (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków, E jest rodziną zorientowanych krawędzi, między różnymi wierzchołkami,
Bardziej szczegółowoSiedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych
Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoE ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Bardziej szczegółowoGrafy. Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie:
Graf ( graf ogólny) to para G( V, E), gdzie: V jest zbiorem wierzchołków, ( czasami zwanymi węzłami lub punktami grafu) E jest rodziną ( być może powtarzających się) krawędzi, czyli jedno- i dwu- elementowych
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoGrafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków
Wykłady popularne z matematyki Grafy co o ich rysowaniu wiedzą przedszkolaki i co z tego wynika dla matematyków Joanna Jaszuńska Politechnika Warszawska, 6 maja 2010 Grafy Wykłady popularne z matematyki,
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 15/15 Twierdzenie Dla grafu prostego następujące warunki są równoważne: 1) jest drzewem, 2) nie zawiera cykli i ma krawędzi, 3)
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2
1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko...... Nr indeksu... 1. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera
Bardziej szczegółowoSuma dwóch grafów. Zespolenie dwóch grafów
Suma dwóch grafów G 1 = ((G 1 ), E(G 1 )) G 2 = ((G 2 ), E(G 2 )) (G 1 ) i (G 2 ) rozłączne Suma G 1 G 2 graf ze zbiorem wierzchołków (G 1 ) (G 2 ) i rodziną krawędzi E(G 1 ) E(G 2 ) G 1 G 2 G 1 G 2 Zespolenie
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski. Typeset by AMS-TEX
TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. semestr letni 2013/2014. Jerzy Jaworski 20 Typeset by AMS-TEX 8. GRAFY PLANARNE. 8.1. Grafy p laskie i planarne. TEORIA GRAFÓW. MATERIA LY VI. 21 Mówimy, że graf jest uk ladalny
Bardziej szczegółowoTeoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Podstawowe pojęcia i klasy grafów Wykład 1 Grafy nieskierowane Definicja Graf nieskierowany (graf) G = (V,E) jest to uporządkowana para składająca się z niepustego skończonego zbioru wierzchołków V oraz
Bardziej szczegółowoCała prawda o powierzchniach
Topologia Właściwości geometryczne, niezmiennicze przy ciagłych deformacjach Można: rozciagać giać Nie można: rozcinać złamać Jednak można rozciać wzdłuż linii, a potem skleić wzdłuż tejże linii: rozwiazać
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowoElementy teorii grafów Elementy teorii grafów
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 14/15 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoAlgorytmiczna teoria grafów
Przedmiot fakultatywny 20h wykładu + 20h ćwiczeń 21 lutego 2014 Zasady zaliczenia 1 ćwiczenia (ocena): kolokwium, zadania programistyczne (implementacje algorytmów), praca na ćwiczeniach. 2 Wykład (egzamin)
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie ZADANIE DOMOWE www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Drogę nazywamy
Bardziej szczegółowoGrafy dla każdego. dr Krzysztof Bryś. Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska.
Grafy dla każdego dr Krzysztof Bryś brys@mini.pw.edu.pl Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechnika Warszawska www.mini.pw.edu.pl Warszawa, 28 marca 2015 Graf składa się z elementów pewnego zbioru
Bardziej szczegółowoPrzykłady grafów. Graf prosty, to graf bez pętli i bez krawędzi wielokrotnych.
Grafy Graf Graf (ang. graph) to zbiór wierzchołków (ang. vertices), które mogą być połączone krawędziami (ang. edges) w taki sposób, że każda krawędź kończy się i zaczyna w którymś z wierzchołków. Graf
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Informacje podstawowe 1. Konsultacje: pokój
Bardziej szczegółowoG. Wybrane elementy teorii grafów
Dorota Miszczyńska, Marek Miszczyński KBO UŁ Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów Grafy są stosowane współcześnie w różnych działach nauki i techniki. Za pomocą grafów znakomicie
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 13/14 Grafy podstawowe definicje Graf to para G=(V, E), gdzie V to niepusty i skończony zbiór, którego elementy nazywamy wierzchołkami
Bardziej szczegółowoOpracowanie prof. J. Domsta 1
Opracowanie prof. J. Domsta 1 Algorytm FLEURY'ego: Twierdzenie 6.5 G-graf eulerowski. Wtedy cykl Eulera otrzymujemy nastepująco: a) Start w dowolnym wierzchołku b) Krawędzie w dowolnej kolejności po przebyciu
Bardziej szczegółowoZnajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej
11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Bardziej szczegółowoTeoria grafów - Teoria rewersali - Teoria śladów
17 maja 2012 1 Planarność Wzór Eulera Kryterium Kuratowskiego Algorytmy testujące planarność 2 Genom i jego przekształcenia Grafy złamań Sortowanie przez odwrócenia Inne rodzaje sortowania Algorytmy sortujące
Bardziej szczegółowoO TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...
O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 23.05.2016 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez
Bardziej szczegółowoWojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.
1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 03/0 Przeszukiwanie w głąb i wszerz I Przeszukiwanie metodą
Bardziej szczegółowoTeoria grafów podstawy. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów podstawy Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Grafy zorientowane i niezorientowane Przykład 1 Dwa pociągi i jeden most problem wzajemnego wykluczania się Dwa
Bardziej szczegółowoDrzewa spinające MST dla grafów ważonych Maksymalne drzewo spinające Drzewo Steinera. Wykład 6. Drzewa cz. II
Wykład 6. Drzewa cz. II 1 / 65 drzewa spinające Drzewa spinające Zliczanie drzew spinających Drzewo T nazywamy drzewem rozpinającym (spinającym) (lub dendrytem) spójnego grafu G, jeżeli jest podgrafem
Bardziej szczegółowoTeoria grafów. Magdalena Lemańska
Teoria grafów Magdalena Lemańska Literatura Aspekty kombinatoryki Victor Bryant Graph Theory V.K. Balakrishnan Fundamentals of domination in graphs T. Haynes, S. Hedetniemi, P. Slater Wstęp Graf Grafem
Bardziej szczegółowoSchemat sprawdzianu. 25 maja 2010
Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA DYSKRETNA - MATERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY
ERIAŁY DO WYKŁADU GRAFY Graf nieskierowany Grafem nieskierowanym nazywamy parę G = (V, E), gdzie V jest pewnym zbiorem skończonym (zwanym zbiorem wierzchołków grafu G), natomiast E jest zbiorem nieuporządkowanych
Bardziej szczegółowo0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A
WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy
Bardziej szczegółowoTEORIA wiązań Magdalena Pawłowska Gr. 10B2
TEORIA wiązań Magdalena Pawłowska Gr. 10B2 Techniki kombinatoryczne rozróżniania węzłów i splotów ØLiczba skrzyżowań, ØLiczba mostów, ØKolorowanie, ØIndeks zaczepienia, ØSzkic elementów arytmetyki węzłów.
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoPolowanie na Snarka. Męczarnia w trzech konwulsjach
Polowanie na Snarka 2009. Męczarnia w trzech konwulsjach Jest to zapis odczytu wygłoszonego na XLIII Szkole Matematyki Poglądowej, Wbrew intuicji, Grzegorzewice, sierpień Zofia MIECHOWICZ, Zielona Góra
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoZadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna
Zadania z ćwiczeń #18 (pon. 7 maja) Matematyka Dyskretna Q1.: Mamy dany zbiór artykułów, z których każdy ma co najmniej k z n możliwych tagów. Chcemy bardzo z grubsza pokategoryzować artykuły w jak najmniejszą
Bardziej szczegółowoPLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1
PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia
Bardziej szczegółowoELEMENTY TEORII WĘZŁÓW
Łukasz Janus 10B2 ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Elementarne deformacje węzła Równoważność węzłów Węzły trywialne Ruchy Reidemeistera Twierdzenie o równoważności węzłów Grafy Powtórzmy Diagram węzła Węzły reprezentuje
Bardziej szczegółowoTEORIA GRAFÓW I SIECI
TEORIA GRAFÓW I SIECI Temat nr 1: Definicja grafu. Rodzaje i części grafów dr hab. inż. Zbigniew TARAPATA, prof. WAT e-mail: zbigniew.tarapata@wat.edu.pl http://tarapata.edu.pl tel.: 261-83-95-04, p.225/100
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoReprezentacje grafów nieskierowanych Reprezentacje grafów skierowanych. Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów
Wykład 2. Reprezentacja komputerowa grafów 1 / 69 Macierz incydencji Niech graf G będzie grafem nieskierowanym bez pętli o n wierzchołkach (x 1, x 2,..., x n) i m krawędziach (e 1, e 2,..., e m). 2 / 69
Bardziej szczegółowoMarek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1
Marek Miszczyński KBO UŁ. Wybrane elementy teorii grafów 1 G. Wybrane elementy teorii grafów W matematyce teorię grafów klasyfikuje się jako gałąź topologii. Jest ona jednak ściśle związana z algebrą i
Bardziej szczegółowoWybrane zagadnienia teorii grafów ćwiczenia 1
Wybrane zagadnienia teorii grafów ćwiczenia 1 WQO, minory well quasi orderings Przypomnijmy: porządek częściowy (X, ) jest WQO, jeśli w każdym nieskończonym ciągu x 1, x 2,... istnieje para indeksów i
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - 5.Grafy.
Matematyka dyskretna - 5.Grafy. W tym rozdziale zajmiemy się grafami. Są to wykresy zawierające rozmaite informacje, przedstawiające połączenia pomiędzy różnymi swoimi elementami. Algorytmy na nich oparte
Bardziej szczegółowoCzy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz?
DROGI i CYKLE EULERA w grafach Czy istnieje zamknięta droga spaceru przechodząca przez wszystkie mosty w Królewcu dokładnie jeden raz? Czy można narysować podaną figurę nie odrywając ołówka od papieru
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle
Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,
Bardziej szczegółowo6. Wstępne pojęcia teorii grafów
6. Wstępne pojęcia teorii grafów Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 6. Wstępne pojęcia teorii grafów zima 2016/2017
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)
GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy
Bardziej szczegółowo(4) x (y z) = (x y) (x z), x (y z) = (x y) (x z), (3) x (x y) = x, x (x y) = x, (2) x 0 = x, x 1 = x
2. Wykład 2: algebry Boole a, kraty i drzewa. 2.1. Algebra Boole a. 1 Ważnym dla nas przykładem algebr są algebry Boole a, czyli algebry B = (B,,,, 0, 1) typu (2, 2, 1, 0, 0) spełniające własności: (1)
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoAlgebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i
Algebrą nazywamy strukturę A = (A, {F i : i I }), gdzie A jest zbiorem zwanym uniwersum algebry, zaś F i : A F i A (symbol F i oznacza ilość argumentów funkcji F i ). W rozważanych przez nas algebrach
Bardziej szczegółowoKrzywa uniwersalna Sierpińskiego
Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę
Bardziej szczegółowoMatematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016
Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Gra wstępna Dany jest prostokąt podzielony na 8 pól. Gracze zamalowują pola na zmianę. Jeden na kolor czerwony, a drugi na kolor niebieski. Gra wstępna Dany
Bardziej szczegółowoAlgorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność
Algorytmy Równoległe i Rozproszone Część III - Układy kombinacyjne i P-zupełność Łukasz Kuszner pokój 209, WETI http://www.kaims.pl/ kuszner/ kuszner@eti.pg.gda.pl Oficjalna strona wykładu http://www.kaims.pl/
Bardziej szczegółowoŚcieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne
TEORIA GRAFÓW I SIECI - ROZDZIAL II Ścieżki w grafach. Grafy acykliczne i spójne Ścieżka lub droga w grafie [digrafie] G nazywamy dowolny ciag d = (a 0, k 1, a 1,..., k n, a n ), gdzie n N {0}, a i V G,
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoKURS MATEMATYKA DYSKRETNA
KURS MATEMATYKA DYSKRETNA LEKCJA 28 Grafy hamiltonowskie Odpowiedzi do zadania domowego www.akademia.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST 1) b 2) a 3) b 4) d 5) c 6) d 7) b 8) b 9) d 10) a Zad. 1 ODPOWIEDZI
Bardziej szczegółowoDroga i cykl Eulera Przykłady zastosowania drogi i cyku Eulera Droga i cykl Hamiltona. Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoGrafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane:
Wykład 4 grafy Grafem nazywamy strukturę G = (V, E): V zbiór węzłów lub wierzchołków, E zbiór krawędzi, Grafy dzielimy na grafy skierowane i nieskierowane: Formalnie, w grafach skierowanych E jest podzbiorem
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoSegmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp. autor: Łukasz Chlebda
Segmentacja obrazów cyfrowych Segmentacja obrazów cyfrowych z zastosowaniem teorii grafów - wstęp autor: Łukasz Chlebda 1 Segmentacja obrazów cyfrowych - temat pracy Temat pracy: Aplikacja do segmentacji
Bardziej szczegółowoWykład 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykład 4. i Hamiltona Wykład 4. i Hamiltona 1 / 35 Grafy Eulera Niech G będzie grafem spójnym. Definicja Jeżeli w grafie G istnieje zamknięta droga prosta zawierająca wszystkie krawędzie grafu, to taką
Bardziej szczegółowoMatematyka od zaraz zatrudnię
Uniwersytet Jagielloński Gdzie jest matematyka? Soczewka, 26-28 listopada 2010 Kolorowanie grafów Dobre kolorowanie wierzchołków grafu, to nadanie im kolorów w taki sposób, że każde dwa wierzchołki połaczone
Bardziej szczegółowoTopologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne
Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Piotr Suwara 9 czerwca 2013 Nie ma wyznaczonego progu na kwalifikację na zajęcia. Gorąco zachęcam do wysyłania rozwiązań dużo przed terminem wtedy będzie
Bardziej szczegółowoGeometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2
Geometria. Rozwiązania niektórych zadań z listy 2 Inne rozwiązanie zadania 2. (Wyznaczyć równanie stycznej do elipsy x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 w dowolnym jej punkcie (x 0, y 0 ). ) Przypuśćmy, że krzywa na
Bardziej szczegółowoO TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...
O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 30.09.2015 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez
Bardziej szczegółowoStereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
Bardziej szczegółowo1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza
165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie
Bardziej szczegółowo6d. Grafy dwudzielne i kolorowania
6d. Grafy dwudzielne i kolorowania Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2016/2017 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w6d. Krakowie) Grafy dwudzielne i kolorowania zima
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
Bardziej szczegółowoKolorowanie grafów planarnych, discharging
Wykład 6 (12.04.2013) Opracował: Krzysztof Węsek Kolorowanie grafów planarnych, discharging 1 Przykłady dischargingu Standardowo będziemy oznaczać dla grafu G i jego rysunku planarnego (graf i rysunek
Bardziej szczegółowoa) 7 b) 19 c) 21 d) 34
Zadanie 1. Pytania testowe dotyczące podstawowych własności grafów. Zadanie 2. Przy każdym z zadań może się pojawić polecenie krótkiej charakterystyki algorytmu. Zadanie 3. W zadanym grafie sprawdzenie
Bardziej szczegółowoZłożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych
Złożoność obliczeniowa klasycznych problemów grafowych Oznaczenia: G graf, V liczba wierzchołków, E liczba krawędzi 1. Spójność grafu Graf jest spójny jeżeli istnieje ścieżka łącząca każdą parę jego wierzchołków.
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Grinberga i jego zastosowania
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU WYDZIAŁ MATEMATYKI I INFORMATYKI Maria Gabriela Dokurno Kierunek: matematyka Numer albumu: 407539 Twierdzenie Grinberga i jego zastosowania Grinberg s theorem
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoZ twierdzenia Pitagorasa mamy więc: =1 3 4 =1 4, CE 2 =AC 2 AE 2 =1 2. skądwynika,żece= 1 2.ZatemCD=1.
O kolorowaniu Wojciech Guzicki. Kilka zadań na początek Kolorowanie jest częstym tematem zadań o charakterze olimpijskim. Na początku tego wykładu pokażę 0 takich zadań; większość(dokładniej: wszystkie
Bardziej szczegółowo