MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2

Transkrypt

1 1 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA A RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko Nr indeksu (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera (2p.) Korzystając z algorytmu Prima znajdź minimalne drzewo spinające. Z opisu (rysunku) musi być jasne, w jakiej kolejności w drzewie pojawiały się kolejne wierzchołki. 3. (3p). Ile jest grafów symetrycznych, bez pętli i krawędzi wielokrotnych, o 6 wierzchołkach i 10 krawędziach? Grafy izomorficzne traktujemy jako różne. 4. (2p.) Ile co najmniej wyrazów niezerowych ma macierz sąsiedztwa grafu spójnego o n wierzchołkach?

2 2 5. (3p.) Określ wartość logiczną zdań (Prawda- Fałsz) Drzewo oznacza tu zawsze drzewo o więcej niż jednym wierzchołku. a) każde drzewo T jest grafem dwudzielnym; b) liczba chromatyczna każdego drzewa T (kolorowanie wierzchołków) wynosi 2; c) nie każde drzewo T jest grafem planarnym; d) indeks chromatyczny (kolorowanie krawędzi) każdego drzewa T wynosi 2; Punkt za każdą poprawną odpowiedź POWYŻEJ pierwszej! 6. (2p.) Wyjaśnij, dla jakich n graf K n,n jest: a) eulerowski, b) hamiltonowski? 7. (3p.) Korzystając ze wzoru Eulera wykaż, ze graf kostki czterowymiarowej (czterowymiarowy odpowiednik sześcianu) nie jest planarny.

3 3 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA B RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko Nr indeksu (3p.) Określ wartość logiczną zdań (Prawda- Fałsz). Drzewo oznacza tu zawsze drzewo o więcej niż jednym wierzchołku. a) każde drzewo T ma wierzchołki stopnia 1; b) indeks chromatyczny (kolorowanie krawędzi) każdego drzewa T wynosi 2; c) liczba chromatyczna każdego drzewa T (kolorowanie wierzchołków) wynosi 2; d) żadne drzewo nie jest grafem eulerowskim; Punkt za każdą poprawną odpowiedź POWYŻEJ pierwszej! 2. (2p.) Wyjaśnij, dla jakich n graf K n jest: a) eulerowski, b) hamiltonowski? 3. (2p.) Korzystając z algorytmu Kruskala znajdź minimalne drzewo spinające. Z opisu (rysunku) musi być jasne, w jakiej kolejności w drzewie pojawiały się kolejne krawędzie.

4 4 4. (3p). Ile jest grafów symetrycznych, bez pętli i krawędzi wielokrotnych, o 7 wierzchołkach? Grafy izomorficzne traktujemy jako różne. 5. (2p.) Ile co najwyżej wyrazów niezerowych ma macierz sąsiedztwa grafu acyklicznego o n wierzchołkach? 6. (3p.) Znajdź drzewo o kodzie Prufera (3p.) Korzystając ze wzoru Eulera wykaż, że wielościan foremny, którego każda ściana jest pięciokątem, a w wierzchołku stykają się trzy pięciokąty, musi być dwunastościanem.

5 5 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA C RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko Nr indeksu (3p.) Znajdź drzewo nietykietowane o kodzie (2p.) Korzystając z algorytmu Prima znajdź minimalne drzewo spinające. Z opisu (rysunku) musi być jasne, w jakiej kolejności w drzewie pojawiały się kolejne wierzchołki. 3. (3p). Przypomnijmy, że turniej to graf pełny, w którym każdej krawędzi przypisany jest zwrot w jedna albo drugą stronę. Ile jest turniejów na zbiorze {1, 2,..., 6}? 4. (2p.) Ile co najmniej wyrazów niezerowych ma macierz incydencji grafu spójnego o n wierzchołkach?

6 6 5. (3p.) Określ wartość logiczną zdań (Prawda- Fałsz). Drzewo oznacza tu zawsze drzewo o więcej niż jednym wierzchołku. a) każdy graf dwudzielny jest drzewem; b) nie każde drzewo T jest grafem dwudzielnym; c) liczba chromatyczna (kolorowanie wierzchołków) każdego grafu C n wynosi 2; d) indeks chromatyczny (kolorowanie krawędzi) grafu K n wynosi n. Punkt za każdą poprawną odpowiedź POWYŻEJ pierwszej! 6. (2p.) Wyjaśnij, dla jakich n graf K 4,n jest: a) eulerowski, b) hamiltonowski? 7. (3p.) Korzystając ze wzoru Eulera wykaż, ze graf K 3,3 nie jest planarny.

7 7 MATEMATYKA DYSKRETNA - KOLOKWIUM 2 GRUPA D RACHUNKI+KRÓTKIE WYJAŚNIENIA! NA TEJ KARTCE! KAŻDA DODATKOWA KARTKA TO MINUS 1 PUNKT! Imię i nazwisko Nr indeksu (2p.) Wyjaśnij, dla jakich n graf K 3,n jest: a) eulerowski, b) hamiltonowski? 2. (3p.) Narysuj kod zerojedynkowy podanego drzewa, startując z wyróżnionego wierzchołka, w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. 3. (2p.) Korzystając z algorytmu Kruskala znajdź minimalne drzewo spinające. Z opisu (rysunku) musi być jasne, w jakiej kolejności w drzewie pojawiały się kolejne krawędzie. 4. (3p). Ile jest grafów symetrycznych, bez krawędzi wielokrotnych (ale mogą być pętle), o 7 wierzchołkach i 10 krawędziach? Grafy izomorficzne traktujemy jako różne.

8 8 5. (3p.) Korzystając ze wzoru Eulera wykaż, że wielościan foremny, którego kazda ściana jest trójkątem, a w wierzchołku styka się po pięć trójkątów, musi być dwudziestościanem. 6. (2p.) Ile co najwyżej wyrazów niezerowych ma macierz incydencji grafu acyklicznego o n wierzchołkach? 7. (3p.) Określ wartość logiczną zdań (Prawda- Fałsz) Drzewo oznacza tu zawsze drzewo o więcej niż jednym wierzchołku. a) każdy graf spójny ma przynajmniej jeden wierzchołek stopnia parzystego; b) każde drzewo T ma wierzchołki stopnia 1; c) indeks chromatyczny (kolorowanie krawędzi) każdego drzewa T wynosi 2; c) liczba chromatyczna każdego drzewa T (kolorowanie wierzchołków) wynosi 2. Punkt za każdą poprawną odpowiedź POWYŻEJ pierwszej!