Wyk lad 4. Grafy skierowane

Transkrypt

1 Wyk lad 4 Grafy skierowane Definicja Graf skierowany G sk lada si e z dwóch zbiorów, niepustego zbioru V (G) grafu G i zbioru E(G) kraw edzi grafu G oraz z funkcji γ (gamma) ze zbioru E(G) w zbiór V (G) V (G) Jeśli e jest krawedzi a grafu G i γ(e) = (p, q), to p nazywamy poczatkiem kraw edzi e, zaś q końcem kraw edzi e i mówimy, że e biegnie od p do q Definicja ta ma sens również, jeśli zbiory V (G) lub E(G) sa nieskończone, ale ponieważ w naszych rozważaniach mamy do czynienia ze zbiorami skończonymi, przyjmujemy na tym wyk ladzie, że zbiory V (G) i E(G) sa skończone Rysunkiem grafu skierowanego G jest wykres sk ladajacy sie z punktów, odpowiadajacych elementom zbioru V (G) oraz strza lek, odpowiadajacych elementom zbioru E(G), takich, że jeśli γ(e) = (p, q), to strza lka odpowiadajaca e biegnie od punktu oznaczonego przez p do punktu oznaczonego przez q Przyk lad 1 Weźmy graf skierowany G, w którym dane sa dwa zbiory: V (G) = {w, x, y, z} oraz E(G) = {a, b, c, d, e, f, g, h}, a funkcja γ jest zadana tabelka: e a b c d e f g h γ(e) (w, z) (w, x) (x, z) (z, z) (z, x) (z, y) (y, w) (y, x) Wtedy rysunek tego grafu jest przedstawiony w dodatku (Rys 1), zaś jego uproszczenie podano na Rys 2 Uproszczony zapis rysunku tego grafu nie prowadzi do nieporozumień, ponieważ w tym przypadku nie ma kraw edzi wielokrotnych, tzn jest co najwyżej jedna kraw edź o danym poczatku i końcu Innymi s lowy funkcja γ jest różnowartościowa Jeśli funkcja γ : E(G) V (G) V (G) jest różnowartościowa, to możemy utożsamiać kraw edzie e z ich obrazami γ(e) w zbiorze V (G) V (G) i traktować zbiór E(G) jako podzbiór zbioru V (G) V (G) Niektórzy definiuja grafy skierowane jako grafy, w których E(G) V (G) V (G), a bardziej ogólne grafy skierowane, które my tutaj rozważamy, nazywaja multigrafami skierowanymi Majac dany rysunek grafu G, możemy odtworzyć sam graf skierowany G, ponieważ strza lki mówia nam wszystko o γ Bedziemy zazwyczaj opisywać grafy skierowane za pomoca rysunku a nie tabeli funkcji γ, choć ten sposób opisu zosta l wybrany ze wzgledu na nasza wygode Komputer zapamietuje grafy skierowane, zapamietuj ac w jakiś sposób funkcje γ Droga w grafie skierowanym G nazywamy ciag krawedzi taki, że koniec jednej krawedzi jest poczatkiem nastepnej Zatem, jeśli e 1,, e n należa do zbioru E(G), to e 1 e 2 e n jest droga, 1

2 o ile istnieja wierzcho lki x 1, x 2,, x n, x n+1 takie, że γ(e i ) = (x i, x i+1 ) dla i = 1, 2,, n Mówimy wówczas, że e 1 e n jest droga (ścieżka) d lugości n od wierzcho lka x 1 do wierzcho lka x n+1 Droga jest zamkni eta, jeśli x 1 = x n+1 Przyk lad 2 W grafie skierowanym G z Przyk ladu 1 fgae jest droga d lugości 4 od wierzcho lka z do wierzcho lka x Ciagi cecec, fgafhc również sa drogami, ale fa nie jest droga, ponieważ γ(f) = (z, y), γ(a) = (w, z) i y w Drogi fgafhc, cece, d sa zamkniete, drogi fhce, df nie sa zamkniete Droga e 1 e n, gdzie γ(e i ) = (x i, x i+1 ) dla i = 1,, n, l aczy ciag x 1, x 2,, x n, x n+1 Jeśli każda krawedź e i jest jedyna krawedzi a od x i do x i+1, to ten ciag jednoznacznie określa droge i możemy opisać te droge, wypisujac po prostu po kolei te wierzcho lki Przyk lad 3 Dla grafu G z Przyk ladu 1 droga fgae wyznacza ciag zywzx Zauważmy, że ten ciag sam określa droge Droga może być odtworzona z rysunku grafu G lub z tabeli funkcji γ Ponieważ ten graf nie ma kraw edzi wielokrotnych, wi ec wszystkie jego drogi sa określone przez ich ciagi Przyk lad 4 Rozważmy graf skierowany przedstawiony na Rys 3 Ciag yzzz odpowiada tylko drodze fgg, a ciag yvwz należy zarówno do drogi cae, jak i drogi cbe Droge zamkniet a d lugości co najmniej 1 z ciagiem x 1 x 2 x n x 1 nazywamy cyklem, jeśli wszystkie wierzcho lki x 1, x 2,, x n sa różne Graf skierowany nie majacy cykli nazywamy grafem acyklicznym Droga jest acykliczna, jeśli graf skierowany zawierajacy jej wierzcho lki i kraw edzie (tzn podgraf grafu G) jest acykliczny Przyk lad 5 Dla grafu G z Przyk ladu 1 droga afg jest cyklem, ponieważ jej ciagiem jest wzyw Podobnie, drogi cfh, cfgb o ciagach xzyx i xzywx sa cyklami Podobnie, drogi cfh, cfgb o ciagach xzyx i xzywx sa cyklami Krótka droga ce i petla d również sa cyklami, ponieważ ich ciagami sa odpowiednio xzx oraz zz Droga cfgae nie jest cyklem, ponieważ jej ciagiem jest xzywzx i wierzcho lek z si e powtarza Relacja w zbiorze X nazywamy dowolny podzbiór R iloczynu kartezjańskiego X X Jeżeli R jest relacja w zbiorze niepustym X, to biorac V (G) = X, E(G) = R otrzymamy graf skierowany Jeżeli np X = {1, 2, 3, 4, 6} i (a, b) R a b, to otrzymamy graf, który zosta l przedstawiony na Rys 4 Dla danego grafu skierowanego G i v i w w zbiorze V (G) mówimy, że wierzcho lek v jest sasiedni w stosunku do wierzcho lka w, jeśli istnieje krawedź w E(G) od v do w Relacja 2

3 sasiedztwa A w zbiorze V (G) jest określona nastepuj aco: Przyk lad 6 (v, w) A wierzcho lek v jest sasiedni z wierzcho lkiem w Dla grafu skierowanego z Przyk ladu 1 relacja sasiedztwa sk lada sie z par uporzadkowanych: (w, z), (w, x), (x, z), (z, z), (z, x), (z, y), (y, w) i (y, x) Innymi s lowy, relacja A zawiera wartości funkcji γ wypisane w jej tabelce Ogólnie, A = γ(e(g)) V (G) V (G) Przyk lad 7 Relacja sasiedztwa A dla grafu z Przyk ladu 4 zawiera pary uporzadkowane: (v, w), (w, x), (w, z), (z, z), (y, z) i (y, v) Nie możemy odtworzyć grafu skierowanego z A, ponieważ A nie podaje informacji o kraw edziach wielokrotnych Poniewaź (v, w) A, wiemy, że graf skierowany ma co najmniej jedna krawedź z wierzcho lka v do wierzcho lka w, ale nie możemy powiedzieć, że ma on dok ladnie dwie kraw edzie Przyk lad 8 Graf skierowany z Przyk ladu 4 przez usuniecie krawedzi a ma te sama relacje sasiedztwa co poczatkowy graf skierowany i jest już wyznaczony jednoznacznie przez relacje sasiedztwa A Przyk lady 7 i 8 pokazuja, że różne grafy skierowane moga mieć te sama relacje sasiedztwa Jednakże, jeśli ograniczymy nasze zainteresowania do grafów skierowanych bez kraw edzi wielokrotnych, to istnieje wzajemnie jednoznaczna odpowiedniość mi edzy grafami skierowanymi i relacjami Macierz sasiedztwa grafu skierowanego Niech G b edzie grafem skierowanym skończonym o zbiorze V (G) = {v 1,, v n } Macierza sasiedztwa grafu G dla ciagu v 1,, v n nazywamy n n-macierz, której każdy wyraz m ij jest nieujemna liczba ca lkowita oraz m ij = liczba kraw edzi od wierzcho lka v i do wierzcho lka v j Zatem m ij = 0, jeśli nie istnieje krawedź od v i do v j, w przeciwnym przypadku m ij jest liczba naturalna Przyk lad 9 Macierza sasiedztwa grafu z Przyk ladu 1 dla ciagu w, x, y, z jest macierz:

4 Przyk lad 10 Macierza sasiedztwa grafu skierowanego z Rys 5 dla ciagu v 1, v 2, v 3, v 4 jest macierz: Przyk lad 11 Niech macierza sasiedztwa pewnego grafu skierowanego bedzie macierz Popatrzmy, czego możemy dowiedzieć si e o tym grafie tylko z tej macierzy Graf ma cztery wierzcho lki, gdyż macierz jest wymiaru 4 4 Ma on osiem kraw edzi, gdyż suma wyrazów macierzy wynosi 8 Ponieważ wszystkie wyrazy macierzy sa zerami lub jedynkami, graf nie ma krawedzi wielokrotnych Ma on jedna petl e, gdyż jest tylko jedna jedynka na g lównej przekatnej Rysunek tego grafu zosta l przedstawiony na Rys 6 Przyk lad 12 Weźmy graf skierowany przedstawiony na Rys 8 Jego macierza sasiedztwa dla ciagu v 1, v 2, v 3, v 4 jest macierz Zauważmy, że wyraz m ij jest liczba dróg d lugości 1 z wierzcho lka v i do wierzcho lka v j Spróbujmy policzyć liczb e dróg d lugości 2 w tym grafie skierowanym Latwo zauważyć, że drogami d lugości 2 z wierzcho lka v 1 do wierzcho lka v 2 sa: ab, ac, bd, be, cd, ce, hj Jest wiec 7 takich dróg W podobny sposób można znaleźć liczb e dróg d lugości 2 z dowolnego wierzcho lka v i do dowolnego wierzcho lka v j Musi istnieć lepsza metoda wyznaczania liczby wszystkich dróg niż ich bezpośrednie zliczanie, a zw laszcza wtedy, gdy mamy do czynienia z dużymi grafami skierowanymi Policzmy jeszcze raz drogi d lugości 2 od wierzcho lka v 1 do wierzcho lka v 2 Każda taka droga przechodzi w mi edzyczasie przez jeden z : v 1, v 2, v 3 lub v 4, tak wi ec możemy policzyć drogi z v 1 do v 2 przechodzace przez v 1, drogi przechodzace przez v 2, przez v 3 i przez v 4, a nast epnie otrzymane liczby dodać do siebie Jeśli chcemy np policzyć drogi 4

5 majace ciag v 1 v 1 v 2, zliczamy krawedzie z v 1 do v 1 (tzn petle) i krawedzie z v 1 do v 2 i otrzymane liczby mnożymy przez siebie: 1 2 = 2 Tymi drogami sa: ab i ac Liczb, które mnożymy, tzn m 11 i m 12 sa wziete z macierzy M Policzmy teraz drogi majace ciag v 1 v 2 v 2 W tym celu zliczamy kraw edzie od v 1 do v 2 oraz z v 2 do v 2 i te liczby mnożymy przez siebie: m 12 m 22 = 2 2 = 4 Tymi drogami sa: bd, be, cd, ce Wszystkie możliwe przypadki potrzebne do zliczania dróg z v 1 do v 2 pokazane sa w tablicy: v i lkraw edzi z v 1 do v i lkraw edzi z v i do v 2 l dróg postaci v 1 v i v 2 v 1 m 11 = 1 m 12 = 2 m 11 m 12 = 1 2 = 2 v 2 m 12 = 2 m 22 = 2 m 12 m 22 = 2 2 = 4 v 3 m 13 = 1 m 32 = 0 m 13 m 32 = 1 0 = 0 v 4 m 14 = 1 m 42 = 1 m 14 m 42 = 1 1 = 1 Zatem liczba wszystkich dróg d lugości 2 z v 1 do v 2 jest równa: m 11 m 12 + m 12 m 22 + m 13 m 32 + m 14 m 42 = = 7 Rozumujac podobnie w przypadku ogólnym uzyskamy nastepuj ace Twierdzenie 1 Niech M bedzie macierza sasiedztwa grafu skierowanego G dla ciagu v 1,, v n Wówczas liczba wszystkich dróg d lugości 2 z wierzcho lka v i do wierzcho lka v j jest równa elementowi stojacemu w i-tym wierszu oraz j-tej kolumnie macierzy M 2 = M M W Przyk ladzie 12 mamy, że M = St ad odczytujemy, że np liczba dróg d lugości 2 z v 2 do v 2 jest równa 4, liczba dróg d lugości 2 z v 3 do v 2 wynosi 3, itd Twierdzenie 1 można uogólnić do nastepuj acego twierdzenia: Twierdzenie 2 Niech k 2 bedzie ustalona liczba naturalna Niech M bedzie macierza sasiedztwa grafu skierowanego dla ciagu v 1,, v n Wówczas liczba wszystkich dróg d lugości k z wierzcho lka v i do wierzcho lka v j jest równa elementowi stojacemu w i-tym wierszu oraz j-tej kolumnie macierzy M k Niech G b edzie grafem skierowanym o wierzcho lkach v 1,, v n Latwo zauważyć, że jeśli istnieje droga z v i do v j, to istnieje droga z v i do v j d lugości n Jeśli M jest macierza sasiedztwa tego grafu dla podanego ciagu, to istnienie takiej drogi jest równoważne istnieniu liczby naturalnej k n takiej, że w i-tym wierszu i w j-tej kolumnie macierzy M k stoi pewna liczba naturalna 5