Coloring the Cartesian sum of graphs

Transkrypt

1 oloring the artesian sum o grahs Dorota Dawczyk MS V, sem IX Klasyczne (wierzchołkowe) kolorowanie grau - rzyorządkowywanie wierzchołkom grau liczb naturalnych w taki sosób, aby końce żadnej krawędzi nie miały rzyisanej tej samej liczby. Ze względów historycznych oraz dla leszego zobrazowania roblemu mówi się o kolorowaniu, rzy czym różnym kolorom odowiadają różne liczby. Pokolorowaniem wierzchołków grau nazywamy jedno konkretne rzyorządkowanie kolorów wierzchołkom. Pokolorowanie jest legalne (dozwolone), gdy końcom żadnej krawędzi nie rzyorządkowano tego samego koloru. Otymalnym okolorowaniem danego grau nazywamy legalne okolorowanie zawierające najmniejszą możliwą liczbę kolorów. Liczbą chromatyczną grau G nazywamy liczbę χ ( G) równą najmniejszej możliwej liczbie kolorów otrzebnych do legalnego okolorowania wierzchołków grau G. Sumą kartezjańską graów G i H oznaczamy G H, gdzie V V jest zbiorem wierzchołków a E (G H )= {(x, x ), (y, y): x y E (G ) lu b x y E (H ).

2 Będziemy zajmować się badaniem liczby chromatycznej oraz cyklicznej liczby chromatycznej. Udowodniono, że dla dowolnych graów G i H E = E E. Hiotezą jest χ ( G H ) m a x { χ ( H ) χ ( G ), χ ( G ) χ ( H ). Tyowym roblemem iloczynu graów jest znalezienie odowiedniego ograniczenia dla arametrów (kolorów). Dla wielu graów łatwo okazać, że χ ( G H ) χ ( G ) χ ( H ). Ograniczenie jest ostre dla χ ( ) K K = nm. Jednak dla wielu graów wartości n m χ ( G H ) są ściśle mniejsze niż χ ( G ) χ ( H ). hcemy znaleźć najlesze ograniczenie dla χ ( G H ). Istnieje naturalna relacja między χ ( G H ) i cykliczną liczbą chromatyczną graów G i H. Dla grau G cykliczna liczba chromatyczna jest zagęszczeniem liczby chromatycznej. Niech, oraz > 0, (, ) kolorowanie grau G będzie odwzorowaniem { takim, że dla krawędzi u v grau G ( ) ( ) c : V ( G ) 0,,..., gdzie x y m in { x y, n x y =. n c u c v, ykliczną liczbę chromatyczną deiniujemy jako ( G) in { : G osiada (, ) kolorowanie Wiadomo, że dla grau G zachodzi χ ( G ) χ ( G ) χ ( G ) Jest to równoważne χ ( G ) χ ( G ) c χ =. <. =. Zatem cykliczna liczba chromatyczna grau G daje nam więcej inormacji o jego konstrukcji niż liczba chromatyczna. Pytanie. Jakie jest najlesze ograniczenie dla χ ( G H ) w rzyadku χ ( G ) i χ ( H )? Pytanie. Jakie jest najlesze ograniczenie dla χ ( G H ) w rzyadku χ ( G ) i χ ( ) H? Ułamkowym kolorowaniem grau G nazywamy odwzorowanie c z niezależny zbiór G w rzedział [0,] R takie, że x I I(G) I(G), rzerowadzające c(i) dla każdego x V(G).

3 Ułamkowe liczby chromatyczne χ ( G) to ininium wartości x I I(G) c(i) dla ułamkowego kolorowania c grau G. Wiadomo, że dla dowolnych graów G χ ( G) χ ( G). Dla graów G = ( V, E ) i H = ( V, E ) rodukt leksykograiczny oznaczamy G[H], gdzie V V ((x,x ),(y,y )), jeżeli [xy] E lub [x=y, x y założenia χ ( G ) χ ( H ) χ ( G [ H ]) χ ( G ) χ ( H ). Jeżeli χ ( G) = χ ( G) to χ ( G[ H ]) = χ ( G ) χ ( H ). E ]. Prowadzi to do nastęującego Takie gray nazywamy star-extremal (gwieździście ekstremalne). Jest wiele takich graów. Od tej ory rzyjmujemy, że χ ( G[ H ]) = χ ( G ) χ ( H ). Z deinicji G[H] wiemy, że G jest graem sinającym (zawierającym wszystki wierzchołki) grau G H. Zatem G jest starextremal, kiedy χ (G H) χ (G)χ(H). Suma kartezjańska jest symetryczna G H = H G, zatem H jest star-extremal, kiedy χ ( G H ) m ax{ χ ( G ) χ ( H ), χ ( G ) χ ( H ). Twierdzenie. Dla graów G i H χ ( G H ) m ax{ χ ( G ) χ ( H ), χ ( G ) χ ( H ) Ograniczenie jest najlesze z możliwych jezeli G i H są star-extremal. Dla cyklicznej liczby chromatycznej G H otrzebujemy dodatkowych założeń. Twierdzenie. Niech,,, będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że = k + r i = k + r, gdzie 0 r < oraz 0 r <.Załóżmy, że.. oraz.wtedy χ ( G ) χ ( H ); ( + ( + r ) χ ( G H ) χ ( H ) χ ( G ); ( + ) ( + r ) Ograniczenie jest najlesze z możliwych jezeli G i H są star-extremal. Przyuśćmy, że χ ( G H ) m ax{ χ ( G ) χ ( H ), χ ( G ) χ ( H ). Odowiedź na ytanie mówi, kiedy ograniczenie to będzie ostre.

4 Homomorizm grau G w gra H zachowuje odwzorowanie krawędzi z V(G) do V(H). Jeżeli odwzorowanie takie istnieje mówimy, że G jest homomoriczny z H i oznaczamy G H. Łatwo zauważyć, że χ ( G) n G K n. Dwa gray G i H są homomoricznie równoważne jeżeli G H i H G (ozn. G H ). Oczywiste jest, że jeżeli G H to χ( G) = χ( H ) i χ ( G) = χ ( H ). Dla cykliczny klik K jest graem V( K )={0,,,3,,- gdzie uv E( K ) u v. Wiemy, że χ ( K ) = χ ( K ) = dla dowolnych graów G χ ( G) G K. hcemy udowodnić, że dla dowolnych i rawdą jest ( ) max {,, =, K K χ. Pomocniczym narzędziem w oszacowaniu liczby chromatycznej grau G=(V, E) jest odział zbioru krawędzi E = E E, wtedy określamy gray G = ( V, E ) i G = ( V, E ). Wniosek 3. Niech G = ( V, E ) oraz E = E E, G = ( V, E i ) dla i=,. Wtedy χ ( G ) = χ ( G G ) m ax{ χ ( G ) χ ( G ), χ ( G ) χ ( G )

5 The chromatic number Fig.. overing the torus grid with tiles. Określimy liczbę chromatyczną dla sum kartezjańskich. Jest to konsekwencja twierdzenia. Niech x i m +, oznaczone jako [ x ] m, istnieje x taki, że 0 x m i x x jest wielokrotnością m. Lemat 4. Niech,,, będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że = k + r i = k + r, gdzie r < oraz r <. Wtedy χ ( K K ) = m a x { ( + ), ( + ) k k. Dowód. Wniosek 5. Dla dowolnych graów G i H jeżeli χ ( G ) χ ( H ) χ ( G ) χ ( H ) oraz G jest star-extremal, to χ ( G H ) = χ ( G ) χ ( H ). Wniosek 6. Niech G będzie wierzchołkiem krytycznym grau χ ( G ) = k i obwód jest mniejszy niż k. Jeżeli H jest graem takim, że χ ( G ) χ ( H ) χ ( G ) χ ( H ) to k χ ( G H ) χ ( H ).

6 The circular chromatic number Twierdzenie dostarczyło inormacji o górnym ograniczeniu liczby chromatycznej sum kartezjańskich G H w rzyadku χ ( G ) i χ ( H ). Jednak inormacja o najleszym górnym ograniczeniu cyklicznej liczby chromatycznej graów χ ( H ) ozostaje nieznana. G H w rzyadku χ ( G ) i Hioteza. Dla dowolnych graów G i H χ ( G H ) max{ χ ( G ) χ ( H ), χ ( G ) χ ( H ). Lemat 7. Niech,,, będą dodatnimi liczbami całkowitymi takimi, że = k + r i = k + r, gdzie r < oraz r <. Wtedy χ ( K K ) ( k + ); ( + ( + r ) ( k + ); ( + ) ( + r ) Wniosek 8. Jeżeli χ ( G ) =, [ ] Dowód. to ( G H ) ( G ) ( H ) χ χ χ. = i χ ( G) χ ( H ) χ ( G) χ ( H ) Ponadto równość zachodzi gdy G jest star-extremal., Wniosek 9. Dla dowolnych graów G i H takich, że χ ( G ) = i χ ( H ) = jeżeli [ ] = i [ ] = to χ ( ) max{ ( ) ( ), ( ) ( ) G H χ G χ H χ G χ H. Ponadto równość zachodzi gdy G i H są star-extremal.