1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne
|
|
- Szymon Czyż
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1 Pokaż, że dla dowolnych zmiennych zdaniowych p, q, r poniższe formuły są tautologiami a p p p b q q q c p p p p d p q r p q p r e p q r p q p r f p q p q q p 1.2 Sprawdź, które z poniższych formuł są prawami rachunku zdań a p q p q b p q p r q c p q p q r d p p q e p q r q p r p f q r p q r p q r 1.3 Wśród poniższych formuł wskaż wszystkie pary formuł równoważnych a p q r b p q r c p q r d q p r e q r p r f p q p r 1.4 Znajdź formułę zależną wyłącznie od trzech zmiennych zdaniowych p, q i r, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy i dokładnie dwie spośród zmiennych p, q i r są prawdziwe; ii dokładnie jedna spośród zmiennych p, q i r jest prawdziwa; iii wszystkie zmienne lub zaprzeczenia wszystkich zmiennych p, q i r są prawdziwe. 1.5 Funktor zdefiniowany jako p q p q nazywamy strzałką Pierce a. Zapisz przy pomocy strzałki Pierce a negację, alternatywę, koniunkcję, równoważność, implikację. 1.6 Funktor zdefiniowany jako p q p q nazywamy dysjunkcją Sheffera. Zapisz przy pomocy dysjunkcji negację, alternatywę, koniunkcję, równoważność, implikację, strzałkę Pierce a. 1.7 Zapisz przy pomocy implikacji i funktora F jednoargumentowy funktor Fałsz wszystkie funktory jednoargumentowe oraz alternatywę, koniunkcję, strzałkę Pierce a i dysjunkcję Sheffera. Jak zapisać implikację? 1.8 Pokaż, że przy pomocy alternatywy i koniunkcji nie jest możliwe zdefiniowanie wszystkich funktorów dwuargumentowych. 1.9 Niech ϕ i ψ będą takimi formułami zdaniowymi, że wyrażenie ϕ ψ jest prawem rachunku zdań. Znajdź takie wyrażenie ϑ zależne wyłącznie od zmiennych zdaniowych ϕ i ψ, że formuły ϕ ϑ i ϑ ψ są tautologiami 1.10 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra w palanta wynika to, że Paweł nie jeździ na rowerze. ii W czworokącie ABCD odpowiednie boki są parami równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy przekątne przecinają się pod kątem prostym. iii Jeśli w czworokącie ABCD odpowiednie boki są parami równoległe, to przekątne przecinają się pod kątem prostym. iv W czworokącie ABCD odpowiednie boki są parami równoległe, jeśli przekątne przecinają się pod kątem prostym. v Warunkiem koniecznym na to, by n 2 dzieliło m 2 jest to, że n dzieli m. vi Warunkiem dostatecznym na to, by n 2 dzieliło m 2 jest to, że n dzieli m. vii Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by x+y xy jest x, y 2. Czy powyższe formuły są prawami rachunku zdań? 1.11 Pokaż, że jeśli wyrażenie Ψ jest tautologią, to dla dowolnych formuł Φ 1,..., Φ n tautologiami są również wyrażenia Φ 1 Φ 2... Φ n Ψ... oraz Ψ Φ 1... Φ n 1 Φ n.... 1
2 2 Funkcje zdaniowe 2.1 Jedna z wersji Twierdzenia Talesa to implikacja: Jeśli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to stosunki odpowiednich odcinków są równe. Wypowiedz implikację a odwrotną, b przeciwną, c przeciwstawną. Które z nich są prawdziwe? 2.2 Niech funkcje zdaniowe πx, ϱy, σz, εx, y oznaczają odpowiednio x jest punktem, y prostą, z płaszczyzną w pewnej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, x przechodzi przez y. Zapisać poniższe formuły: i Przez każde dwa punkty przechodzi prosta; jeśli punkty są różne od siebie, to prosta taka jest jedyna. ii Przez każde trzy niewspółliniowe punkty przechodzi dokładnie jedna płaszczyzna. iii Przez punkt leżący poza płaszczyzną p można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę do niej równoległą tj. niemającą z nią punktów wspólnych. iv Przez punkt poza prostą l można poprowadzić dokładnie jedną prostą równoległą do niej. v Proste k i l są równoległe. 2.3 W języku arytmetyki liczb naturalnych 0, 1, 2,..., +,,,,, =, <, zapisać następujące formuły i Równanie ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ma rozwiązanie w liczbach naturalnych. ii Równanie ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ma dokładnie dwa rozwiązania w liczbach naturalnych. iii Równanie ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ma przynajmniej dwa rozwiązania w liczbach naturalnych. iv m jest podzielne przez n. v k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością m i n. vi k jest największym wspólnym dzielnikiem m i n. vii Każde dwie liczby mają najmniejszą wspólną wielokrotność. viii p jest liczbą pierwszą. ix Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. 2.4 W języku arytmetyki liczb rzeczywistych 0, 1, 2,..., N, Z, Q, R, +,,,,, =, <, zapisać następujące formuły x Liczba a jest ograniczeniem górnym zbioru A R; xi Liczba a jest kresem górnym zbioru tych liczb wymiernych, których kwadrat jest mniejszy od 2; xii Pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi istnieje zawsze liczba wymierna; xiii Funkcja f : R R xiv Funkcja g : R R x fx jest malejąca. x gx osiąga w x 0 swoje maksimum. 2.5 W poniższych wyrażeniach wskaż zmienne wolne oraz zmienne związane wraz z kwantyfikatorami je wiążącymi: a x ϕx, y y ψy b x ϕx, y y ψx, y c y ψ ϕy, x x ψ y, ϕx 2.6 Pokaż, że jeśli w ψ zmienna x nie jest wolna, to poniższe formuły są prawami rachunku predykatów: a x ϕx ψ x ϕx ψ b x ϕx ψ x ϕx ψ c x ϕx ψ x ϕx ψ d x ϕx ϑx x ϕx ϑx e x ϕx ϑx x ϕx ϑx f x ϕx x ϑx x ϕx ϑx g x ϕx ψ x ϕx ψ h x ϕx x ϑx x ϕx ϑx i ψ x ϑx x ψ ϑx j ψ x ϑx x ψ ϑx k x ϕx ψ x ϕx ψ l x ϕx ψ x ϕx ψ 2.7 Niech zakresem zmienności zmiennych zdaniowych będzie zbiór liczb naturalnych N. Pokaż, że przy użyciu wyłącznie symboli 0, 1, +, można zdefiniować funkcję zdaniową ϕx, y, z = x y = z. Wskazówka: Zapisać predykat x = y, a następnie predykat y x = y 2 ; przydać się mogą również wzory x + y 2 = x 2 + xy + xy + y 2, nwdx, x + 1 = 1, nwwx, x + 1 = x 2 + x. 2
3 3 Zbiory 3.1 Niech A oznacza zbiór wszystkich trójkątów równoramiennych na płaszczyźnie, B trójkątów równobocznych, C trójkątów prostokątnych, D trójkątów rozwartokątnych. Z jakich elementów składają się zbiory: a A B C b A B \ C c A \ C B d C \ B \ A e B \ A C f A C D g A D \ C h A \ B D i D \ C \ B 3.2 Wyznaczyć A B, A B, A \ B, B \ A i A B dla poniższych zbiorów: a A = a, b, c, B = c, d ; b A = a, b, c, B = c, d ; c A = x, y, z, B = a, x, y ; d A = a, a, B = a, a ; e A = a, a, b, B = a, b ; a, f A = b, a, b, c, c, B = a, b, b, c ; g A = x N : x < 3, B = x N : x 3 ; h A = x N : x < 0, B = x N : x = 3 ; i A = x N : x < 3, B = x N : x = 3 ; j A = x R : x < 3, B = x N : x < 3 ; k A = x R : x < 3, B = x R : x < Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi: a A B\B = A wdy A B = ; b A \ B B = A wdy A B ; c A \ B = B \ A wdy A = B. 3.4 Sprawdź, czy dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwe są równości: a A B \ B = A \ A B b A \ B A C = A \ B \ C c A \ B B = A B d A B C = A B A C e A \ B C = A\B A\C f A B C = A B A C Jeśli tak, to udowodnij to, w przeciwnym przypadku wskaż kontrprzykład. 3.5 Sprawdź, jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami A, B i C, jeśli spełnione są poniższe równości: a A B C B = B b A B C B = B c A\B C = A C d A B\C = A\C B e A B\B C = A C f A B C \A = A B\C 3.6 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi gdzie oznacza różnicę symetryczną zbiorów, tj. x A B df x A x / B x / A x B : a A B = A B\A B b A B C = A B C c A = A d A A = e A B C = A C B C f A = B wdy A B = 3.7 Udowodnij, że przekrój A B jest największym zbiorem zawartym jednocześnie w A i w B. 3.8 Udowodnij, że suma A B jest najmniejszym zbiorem zawierającym jednocześnie A i B. 3.9 Wyznaczyć PA dla poniższych zbiorów A: a A = a, b, c ; b A = ; c A = ; d A = x, x, x ; e A = P ; 3.10 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi A B PA PB Udowodnij, że dla dowolnej rodziny zbiorów A zachodzi A P A Co można powiedzieć o zbiorze A, jeśli wiadomo, że A PA? 3.13 Ile elementów dla ustalonego n N ma najmniejsza rodzina zbiorów A spełniająca 1 A 1,..., A n są różne, 2 1 i n A i A oraz 3 x,y x A y A x y A? 3
4 4 Operacje nieskończone & relacje cz.i 4.1 operacje nieskończone 4.1 Znajdź sumę A n i przekrój A n, jeśli zbiory A n są równe: n N n N a x N : n 1 x n+1 d x R : n 1n x n b x R : n 1 x n+1 e x N : n 2 x n+1 2 c x Z : n x n f x Z : n 2 x 2 n Znajdź sumę A t i przekrój A t, jeśli zbiory A t są równe: t R + t R + a x R : t 1 x t+1 d x R + : 4 t x t b x R + : t 2 x t+1 2 e x R : 1t x t c x R : t 2 x 2 t+1 2 t t+1 f x R : t+1 x t Niech = i ii n N m N n N m N x N : n x < m. Wyznacz: = = n,m N n,m N iii iv n N m N n N m N g x, y N N : x n y h x, y R R : x 2 +y 2 n 2 i x, y R R : x 2 n 2 y 2 g x, y R R : x 2 +y 2 >t 2 h x, y R R : x 2 +y 2 t 2 i x, y R R : x 2 t 2 y 2 v vi m N n N m N n N 4.4 Udowodnij, że: i A t B t A t B t ii A t B t A t B t iii A t B t A s B t = A s s, s T B t iv A s B t = A s B t A t B t s T s, Czy w powyższych formułach znak inkluzji można zastąpić znakiem równości? 4.2 relacje cz.i 4.5 Sprawdzić, czy a suma i b przekrój dwóch relacji na zbiorze X i spójnych jest relacją spójną ii symetrycznych jest relacją symetryczną iii przechodnich jest relacją przechodnią iv antysymetrycznych jest relacją antysymetryczną 4.6 Jeśli R Q X 2, to Q nazywamy rozszerzeniem R. Czy każdą relację na X można rozszerzyć do relacji: a zwrotnej; b przeciwzwrotnej; c symetrycznej; d przeciwsymetrycznej; e przechodniej; f spójnej. 4.7 Pokaż, że aby relacja R X 2 była: a zwrotna, potrzeba i wystarcza, aby 1l X R; b symetryczna, potrzeba i wystarcza, aby R R 1 ; c spójna, potrzeba i wystarcza, aby R R 1 1l X = X 2 ; d przechodnia, potrzeba i wystarcza, aby R R R; 4.8 Sprawdzić, które z poniższych równości są prawdziwe dla dowolnych relacji R, Q X 2 : a R Q 1 = R 1 Q 1 ; b R Q 1 = R 1 Q 1 ; c R Q 1 = R 1 Q 1 ; d R \ Q 1 = R 1 \ Q 1 ; e 1l X 1 = 1l X ; f X 2 1 = X 2. 4
5 5 Iloczyn kartezjański i funkcje 5.1 Sprawdź, czy dany zbiór jest funkcją. Jeśli tak, to określ jego dziedzinę i przeciwdziedzinę, jeśli natomiast nie, to podaj przykład dwóch par o tym samym poprzedniku i różnych następnikach. a x, y R R : x 2 = y 2 ; b x, y R R : x 3 = y 3 ; c x, y N N : x 2 = y 2 ; d x, y R PR : x > 0 z y z = x 2 ; e x, y R PR : x > 0 z y x = z 2 ; f x, y PN N : y x z x y z ; g x, y PN PN : x y = N ; h x, y Nt N : y = x2 ; i x, y Nt N : 2 = xy ; j x, y Nt Nt : yt = x2t ; k x, y Rt R : y = x1 ; l x, y Rt Rt : y = x x ; m x, y Rt Rt : y = x x ; UWAGA: Xt oznacza zbiór wielomianów zmiennej t o współczynnikach ze zbioru X. 5.2 Które z funkcji z poprzedniego zadania są surjekcjami, które injekcjami, a które bijekcjami? 5.3 W odpowiednich przykładach z zadania 5.1 wskaż obraz i przeciwobraz podanych zbiorów: b b 1; +1, b 1 1; +1 ; j j p Nt : 2 p2, j 1 p Nt : t 2 pt ; c c x N : 2 x, c 1 x N : 2 x ; k k p Rt : t ξ pt gdzie ξ R +, k N 1 ; Am g g = n N : m n 2m m N, l l p Rt : 2 p2, l 1 p Rt : t 2 pt ; At g 1 = n N : n m 2 n ; m N m m p Rt : t 2 pt, h h p Nt : 2 p2, h 1 1, 2, 4, 8 ; m p Rt 1 : α,β R pt = α t + β ; 5.4 Wyznacz złożenia odpowiednich funkcji z zadania 5.1: a h j b j n =j j n razy c h j n d k m e k l f l m g m l h k l m 5.5 Podaj przykład takiej funkcji ϕ : N N, że dla każdego n N zbiór ϕ n 1 ma: a dokładnie dwa elementy; b dokładnie trzy elementy; c dokładnie k elementów, dla pewnego ustalonego k; d dokładnie n elementów. 5.6 Podaj przykład takiej funkcji ψ : R R, że dla każdego r R zbiór ψ r 1 ma: a dokładnie dwa elementy; b dokładnie trzy elementy; 5.7 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A X, B Y i funkcji f : X Y zachodzi: a f A \ f 1 B = fa \ B; b A \ f 1 B f 1 fa \ B. Podaj przykłady, kiedy inkluzja jest właściwa. 5.8 Niech a b, X = a, b, a, b, Y = a, b i niech f : X Y, fa=fb= a, f a, b =b. Wyznacz f a, b. 5.9 Dla funkcji f X Y definiujemy dwie funkcje: F : PX PY, F A df = fa oraz F : PY PX, F A df = f 1 A. Pokaż, że i F jest różnowartościowa wdy f jest surjekcją; ii F jest różnowartościowa wdy f jest iniekcją oraz Df = X. Kiedy funkcje F i F są surjekcjami? 5
6 6 Teoria mocy 6.1 Pokaż, że poniższe zbiory są równoliczne i skonstruuj odpowiednią bijekcję: a N Z; b N N N = N 2 ; c N Q; d N N n ; n N e N NX; f N f N N : f jest okresowa ; g N f N N : f jest nierosnąca ; h a; b 0; 1 dla a, b R; i R 0, 1; j 0; 1 0; 1 2; 3; k 0; 1 2n; 2n+1; n N l 0; 1 0; 1; m R R R; n R PN; o R C0; 1, tj. zbiór f-cji ciągłych na przedziale 0; 1; p c c 0, gdzie c to zbiór ciągów zbieżnych, a c 0 ciągów zbieżnych do Określ moc poniższych zbiorów tj. porównaj z N, R, PR, itp.: a zbiory liczb: naturalnych N, całkowitych Z, wymiernych Q, niewymiernych, algebraicznych A, przestępnych, rzeczywistych R, zespolonych C; b przestrzeń euklidesowa wymiaru d E d ; c zbiory wielomianów: o współczynnikach całkowitych ZX, współczynnikach rzeczywistych RX, współczynnikach zespolonych CX; d zbiór szeregów zbieżnych bezwzględnie, szeregów zbieżnych, szeregów formalnych Laurenta; e zbiór ciągów zbieżnych c, ciągów zbieżnych do 0 c 0, ciągów od pewnego miejsca równych 0 c 0,0, ciągów ograniczonych l, ciągów sumowalnych bezwzględnie l 1. f zbiór trójkątów na płaszczyźnie euklidesowej E, zbiór wielokątów, zbiór punktów dowolnego trójkąta; g zbiór translacji przestrzeni euklidesowej, zbiór izometrii przestrzeni euklidesowej wymiaru d IsoE d. 6.3 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą równości: a C A B C = A C B, A B przy czym A B = ; b C = A C B C. 6.4 Które nierówności zachodzą dla dowolnej funkcji f i zbiorów A Df, B Rf podaj kontrprzykład lub udowodnij nierówność: a A fa ; b A fa ; c B f 1 B ; d B f 1 B. Kiedy zachodzą równości? 6.5.a Skonstruuj taką funkcję f : N N, że dla każdego n N zbiór f 1 n jest przeliczalny. Pokaż następnie, że zbiór liczb naturalnych można podzielić na nieskończenie wiele parami rozłącznych zbiorów przeliczalnych. 6.5.b Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego n N zbiór f 1 n jest mocy continuum. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na przeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów mocy continuum. 6.5.c Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego r R zbiór f 1 r jest przeliczalny. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na continuum parami rozłącznych zbiorów przeliczalnych. 6.5.d Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego r R zbiór f 1 r jest mocy continuum. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na continuum parami rozłącznych zbiorów mocy continuum. 6.6 Ustawmy elementy zbioru liczb wymiernych z odcinka 0, 1 w ciąg Q 0,1 = q 0, q 1, q 2,.... Wyznacz moc zbiorów a q k 1, q k + 1 n N k>n b qn 1 n+k, q n + 1 n+k n N k Z + c q n 1, q 2 n+k n n+k n N k Z + 6
7 7 Relacje równoważności 7.1 W każdym z poniższych przypadków pokaż, że jest relacją równoważności na zbiorze X. Wskaż zbiór ilorazowy oraz sprawdź jego moc i moc poszczególnych klas abstrakcji: a X zbiór prostych na płaszczyźnie euklidesowej E, l k jeśli proste l i k pokrywają się lub są równoległe; b X zbiór prostych w przestrzeni euklidesowej R d, d = 3, 4,..., a Q j.w.; c X zbiór wszystkich trójkątów na płaszczyźnie euklidesowej E, ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C są przystające; d X j.w., ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C są podobne; e X j.w., ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C mają równe pola; f X = f 0, 1 N : n N k>n fk=0 zbiór skończonych ciągów zerojedynkowych, f g jeśli ciągi f i g mają tyle samo jedynek; g X = 0, 1 N zbiór ciągów zerojedynkowych dowolnej długości, f g jeśli ciągi f i g mają tyle samo jedynek; h X = R, x y jeśli istnieje takie n Z, że x, y n, n+1; i X j.w., x y jeśli istnieje takie q Q +, że x y =q y x =q; j X dowolny zbiór, a f : X X dowolna iniekcja; x y jeśli istnieje takie n N, że f n x=y f n y=x uwaga: f n to n-krotne złożenie funkcji f; 7.2 Ile jest różnych z dokładnością do izomorfizmu relacji równoważności na zbiorze a trójelementowym, b czteroelementowym, c pięcioelementowym? d Ile jest różnych relacji równoważności na zbiorze n-elementowym? 7.3 Niech R będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności na N i niech ponadto i funkcja f : R PN będzie dana wzorem fϱ = 0 ϱ ; ii funkcja f : R PN N będzie dana wzorem fϱn = n ϱ. Wyznacz fϱ oraz fϱ. ϱ R ϱ R 7.4 a Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. Pokaż, że R S jest relacją równoważności. b Niech R τ X 2 będzi relacją równoważności dla każdego τ T. Pokaż, że R τ jest relacją równoważności. Opisz klasy abstrakcji przekroju. 7.5 Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. a Pokaż, że R S jest relacją równoważności wdy R S = R S. b Pokaż, że R S jest relacją równoważności wdy R S = S R. τ T Dla dowolnych zbiorów X, Y i dowolnych relacji R X 2, S Y 2 produktem prostym relacji R i S nazywamy relację R S X Y 2 zdefiniowaną wzorem x 1, y 1 R S x 2, y 2 x 1 Rx 2 y 1 Sy Pokaż, że produkt prosty relacji równoważności jest relacją równoważności. Opisz zbiór ilorazowy X Y/ R S. 7.7 Niech partycja B będzie rozdrobnieniem partycji A, tzn. taką, że B B A A B A. Jaki jest związek między relacjami równoważności ϱ A i ϱ B odpowiadającym tym partycjom por. Zasada Abstrakcji? Odpowiedź uzasadnij. 7.8 Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. Pokaż, że zbiór ilorazowy X/ R S jest rozdrobnieniem zarówno partycji X/ R, jak i X/ S. 7
8 8 Relacje porządkowe 8.1 Sprawdź, czy poniższe relacje w zbiorze A są relacją porządku. Jeśli tak, to narysuj czytelny diagram Hassego zbioru A, i wskaż elementy minimalne maksymalne, najmniejsze, największe. i ii iii A = 2, 3, 4, 6 2 oraz x, y a, b x a b y, A = 1, 2 3 oraz x, y, z a, b, c x a y b z c, A = 2, 3 3 oraz x, y, z a, b, c x a ab xy xyz abc. 8.2 Na zbiorze N N określona jest relacja n 1, m 1 n 2, m 2 wzorem a maxn 1, m 1 <maxn 2, m 2 lub maxn 1, m 1 =maxn 2, m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2, b minn 1, m 1 < minn 2, m 2 lub minn 1, m 1 = minn 2, m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2, c n 1 m 1 = n 2 m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2 lub n 1 m 1 < n 2 m 2, Wyznacz jeśli istnieją kres górny i kres dolny zbioru n, m : 2 n m 4. Wskaż elementy minimalne i maksymalne. 8.3 Wyznacz w zbiorze a trójelementowym, b czteroelementowym, wszystkie z dokładnością do izomorfizmu porządki częściowe. Ile jest wśród nich porządków liniowych, a ile dobrych? c Ile jest nieizomorficznych porządków częsciowych w zbiorze n-elementowym? Niech X będzie dowolnym zbiorem, a relacją porządkującą na X. Podzbiór A X 2 nazywamy antyłańcuchem, jeśli żadne dwa jego elementy nie są w relacji, tj. x,y A x y x y y x. Jeśli dodatkowo dla elementu x X istnieje element najmniejszy w zbiorze y X : y x x y, to nazywamy go następnikiem elementu x. Analogicznie, jeśli w zbiorze y X : y x y x istnieje element największy, to nazywamy go poprzednikiem elementu x. 8.4 Na zbiorze N N określona jest relacja f g, jeśli a n N fn gn, b n N 1 n fn 1 n gn, Wskaż w porządku N N, : c m N n m fn gn, d n N fn gn, e m N n m fn gn, i nieskończony łańcuch, ii łańcuch mocy continuum jeśli istnieje, iii nieskończony antyłańcuch, iv antyłańcuch mocy continuum jeśli istnieje, 8.5 Pokaż, że w dowolnym porządku X, prawdziwe są następujące stwiedzenia: I Zbiór wszystkich elementów maksymalnych jest antyłańcuchem. II Istnieje antyłańcuch maksymalny ze względu na inkluzję. III Każdy antyłańcuch jest podzbiorem pewnego łańcucha maksymalnego. W którym z podpunktów należy skorzystać z lematu Kuratowskiego Zorna? 8.6 Wskaż taki liniowy porządek w zbiorze N, aby każda liczba naturalna posiadała zarówno poprzednik, jak i następnik. Czy taki porządek może być dobry? Czy może być gęsty? 8.7 Wskaż taki liniowy porządek w zbiorze N, aby każda liczba naturalna nie posiadała ani poprzednika, ani następnika. Czy taki porządek musi być gęsty? 8.8 Czy porządek dobry może być gęsty? i vice-versa, czy porządek gęsty może być dobry? 8
9 THE END 9
1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne
1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje
Bardziej szczegółowoPytania i polecenia podstawowe
Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:
Bardziej szczegółowoWstęp do matematyki listy zadań
Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki
Bardziej szczegółowo1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
Bardziej szczegółowoW pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się
1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania
Bardziej szczegółowoWykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości
Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje
Bardziej szczegółowoFunkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016
Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla
Bardziej szczegółowoIMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I
IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:
Bardziej szczegółowoLOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Bardziej szczegółowo1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.
1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych
Bardziej szczegółowoEgzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Bardziej szczegółowo1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.
1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.
Bardziej szczegółowoELiTM 0 Indukcja Dany jest ciąg a 0 R, a n = a n 1. Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą.
ELiTM 0 Indukcja Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą. Zasada indukcji Jeżeli (1) istnieje n 0 N takie że T (n 0 ) jest prawdziwe; (2) z faktu, że T (n) jest
Bardziej szczegółowoI. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoMetalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM
Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie
Bardziej szczegółowoLogika Matematyczna 16 17
Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoPrzykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Bardziej szczegółowoWstęp do Logiki i Struktur Formalnych Lista zadań
Wstęp do Logiki i Struktur Formalnych Lista zadań Jacek Cichoń Politechnika Wrocławska, WPPT Wrocław 2018 G1: Rachunek Zdań Które z następujących zdania są tautologiami: 1. (p (q r)) ((p q) (p r) 2. ((p
Bardziej szczegółowoLista zadań - Relacje
MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,
Bardziej szczegółowoWstępdoLogikiiTeoriiMnogości 1 Instytut Matematyki i Informatyki 2010/2011
dr Przemysław Szczepaniak ZDANIA WstępdoLogikiiTeoriiMnogości 1 Instytut Matematyki i Informatyki 2010/2011 1. Udowodnij prawa rachunku zdań poznane na wykładzie. 2. Sprawdź, które z poniższych zdań są
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoXXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych. zestaw A klasa I
XXV Rozkosze Łamania Głowy konkurs matematyczny dla klas I i III szkół ponadgimnazjalnych zestaw A klasa I 1. Zbiór wszystkich środków okręgów (leżących na jednej płaszczyźnie) przechodzących przez: a)
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoXXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy
XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy klasy I i II szkół ponadgimnazjalnych 1. Liczba 2015 2017 + 2 2015 2016 + 2015 2015 jest podzielna przez: A. 2017 B. 2016 C. 2015 2. Układ równań 8 >
Bardziej szczegółowoRelacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011
Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla
Bardziej szczegółowo(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];
Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +
Bardziej szczegółowo1 Funktory i kwantyfikatory
Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi
Bardziej szczegółowoWykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.
Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej
Bardziej szczegółowoLogika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12
168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoJest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.
Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.
Bardziej szczegółowoLista 0 - Okolice rachunku zdań
Lista 0 - Okolice rachunku zdań 1. W używanym obecnie kalendarzu gregoriańskim rok jest przestępny, gdy dzieli się przez 4, lecz nie dzieli się przez 100, chyba, że dzieli się przez 400. Niech p oznacza
Bardziej szczegółowo1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14
Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10
Bardziej szczegółowoZadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.
Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoRoger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia
Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowoElementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Bardziej szczegółowoZagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc.
Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc. 3. Porządki liniowe. Porządki gęste, ciągłe i dobre. dradamkolany,mailto:ynalok64@wp.pl,http://kolany.pl,gg:1797933,tel.(+48)602804128...
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest
Bardziej szczegółowoLOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:
LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.
Bardziej szczegółowoRelacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji
Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):
Bardziej szczegółowoTopologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski
Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową
Bardziej szczegółowoRozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:
Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowo1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.
Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i
Bardziej szczegółowo3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowoElementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje
Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E Treść
Bardziej szczegółowoRELACJE I ODWZOROWANIA
RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny
ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoWielkopolskie Mecze Matematyczne
Wielkopolskie Mecze Matematyczne edycja druga 3 kwietnia 2015r. W okresie renesansu we Włoszech matematycy stworzyli ciekawą formę rywalizacji intelektualnej. Wymieniali się zadaniami, a po kilku tygodniach
Bardziej szczegółowoElementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.
Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowoRoger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze
Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym
Bardziej szczegółowoTest kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne
Test kwalifikacyjny na I Warsztaty Matematyczne Na pytania odpowiada się tak lub nie poprzez wpisanie odpowiednio T bądź N w pole obok pytania. W danym trzypytaniowym zestawie możliwa jest dowolna kombinacja
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Bardziej szczegółowoO D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H
O D P O W I E D Z I D O Z A D A Ń T E S T O W Y C H 1. Niech A = {(x, y) R R : 3 x +4 x = 5 y } będzie zbiorem rozwiązań równania 3 x +4 x = 5 y w liczbach rzeczywistych. Wówczas zbiór A i zbiór N N mają
Bardziej szczegółowoSprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568
Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568 barbara.przebieracz@us.edu.pl www.math.us.edu.pl/bp 10 wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik
Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu
Bardziej szczegółowoZbiory liczbowe widziane oczami topologa
Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A B C)'
Bardziej szczegółowoStrona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec
Strona z 403 Przedmowa Do wydania pierwszego Podręcznik przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów w Szkole Głównej Handlowej. Składa się dziesięciu rozdziałów zawierających teorię (definicje,
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoZbiór zadań ze wstępu do matematyki
Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Jan Kraszewski Wrocław 2009 1 Spis treści 2 Przedmowa W zbiorach zadań ze wstępu do matematyki zadania zazwyczaj są tak pogrupowane, by dotyczyły pojęć z poszczególnych
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoPokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem
Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoKONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM. Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie
KONKURS ZOSTAŃ PITAGORASEM MUM ETAP I TEST II Podstawowe własności figur geometrycznych na płaszczyźnie 1. A. Stosunek pola koła wpisanego w kwadrat o boku długości 6 do pola koła opisanego na tym kwadracie
Bardziej szczegółowoBOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
Bardziej szczegółowoĆwiczenia z Geometrii I, czerwiec 2006 r.
Waldemar ompe echy przystawania trójkątów 1. unkt leży na przekątnej kwadratu (rys. 1). unkty i R są rzutami prostokątnymi punktu odpowiednio na proste i. Wykazać, że = R. R 2. any jest trójkąt ostrokątny,
Bardziej szczegółowoZestaw VI. Zadanie 1. (1 pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + 1) 2 > 18 B. (x 1) 2 < 5 C. (x + 4) 2 < 50 D.
Zestaw VI Zadanie. ( pkt) Wskaż nierówność, którą spełnia liczba π A. (x + ) 2 > 8 B. (x ) 2 < C. (x + 4) 2 < 0 D. (x 2 )2 8 Zadanie 2. ( pkt) Pierwsza rata, która stanowi 8% ceny roweru, jest równa 92
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności
Bardziej szczegółowo1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.
Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoZbiory, funkcje i ich własności. XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16
Zbiory, funkcje i ich własności XX LO (wrzesień 2016) Matematyka elementarna Temat #1 1 / 16 Zbiory Zbiory ograniczone, kresy Zbiory ograniczone, min, max, sup, inf Zbiory ograniczone 1 Zbiór X R jest
Bardziej szczegółowoRekurencyjna przeliczalność
Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne
Bardziej szczegółowoRachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Bardziej szczegółowoUwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.
Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność
Bardziej szczegółowoZadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)
Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem
Bardziej szczegółowoInternetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e
Internetowe Ko³o M a t e m a t yc z n e Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 2 szkice rozwiązań zadań 1. Dana jest taka liczba rzeczywista, której rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone
Bardziej szczegółowo