1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne"

Transkrypt

1 1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra w palanta wynika to, że Paweł nie jeździ na rowerze. ii W czworokącie ABCD odpowiednie boki są parami równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy przekątne przecinają się pod kątem prostym. iii Warunkiem koniecznym na to, by n 2 dzieliło m 2 jest to, że n dzieli m. iv Warunkiem dostatecznym na to, by n 2 dzieliło m 2 jest to, że n dzieli m. v Warunkiem koniecznym i wystarczającym na to, by x+y xy jest x, y 2. Czy powyższe formuły są prawami rachunku zdań? 1.2 Jedna z wersji Twierdzenia Talesa to implikacja: Jeśli ramiona kąta przetniemy prostymi równoległymi, to stosunki odpowiednich odcinków są równe. Wypowiedz implikację a odwrotną, b przeciwną, c przeciwstawną. Które z nich są prawdziwe?

2 1.3 Pokaż, że dla dowolnych zmiennych zdaniowych p, q, r poniższe formuły są tautologiami a p p p b q q q c p p p p d p q r p q p r e p q r p q p r f p q p q q p 1.4 Sprawdź, które z poniższych formuł są prawami rachunku zdań a p q p q b p q p r q c p q p q r d p p q e p q r q p r f p q r p q r p q r 1.5 Wśród poniższych formuł wskaż wszystkie pary formuł równoważnych a p q r b p q r

3 c p q r d q p r e q r p r f p q p r 1.6 Znajdź formułę zależną wyłącznie od trzech zmiennych zdaniowych p, q i r, która jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy i dokładnie dwie spośród zmiennych p, q i r są prawdziwe; ii dokładnie jedna spośród zmiennych p, q i r jest prawdziwa; iii wszystkie zmienne lub zaprzeczenia wszystkich zmiennych p, q i r są prawdziwe. 1.7 Funktor zdefiniowany jako p q p q nazywamy strzałką Peirce a. Zapisz przy pomocy strzałki Peirce a negację, alternatywę, koniunkcję, równoważność, implikację. 1.8 Funktor zdefiniowany jako p q p q nazywamy dysjunkcją Sheffera. Zapisz przy pomocy dysjunkcji negację, alternatywę, koniunkcję, równoważność, implikację, strzałkę Pierce a. 1.9 Zapisz przy pomocy implikacji i funktora F jednoargumentowy funktor Fałsz wszystkie funktory jednoargumentowe oraz alternatywę, koniunkcję,

4 strzałkę Pierce a i dysjunkcję Sheffera. Jak zapisać implikację? 1.10 Pokaż, że przy pomocy alternatywy i koniunkcji nie jest możliwe zdefiniowanie wszystkich funktorów dwuargumentowych Niech ϕ i ψ będą takimi formułami zdaniowymi, że wyrażenie ϕ ψ jest prawem rachunku zdań. Znajdź takie wyrażenie ϑ zależne wyłącznie od zmiennych zdaniowych ϕ i ψ, że formuły ϕ ϑ i ϑ ψ są tautologiami 1.12 Pokaż, że jeśli wyrażenie Ψ jest tautologią, to dla dowolnych formuł Φ 1,..., Φ n tautologiami są również wyrażenia Φ 1 Φ 2... Φ n Ψ... oraz Ψ Φ 1... Φ n 1 Φ n Funkcje zdaniowe 2.1 W poniższych wyrażeniach wskaż zmienne wolne oraz zmienne związane wraz z kwantyfikatorami je wiążącymi: a x ϕx, y y ψy b x ϕx, y y ψx, y c y ψ ϕy, x x ψ y, ϕx

5 2.2 Niech funkcje zdaniowe πx, ϱy, σz, εx, y oznaczają odpowiednio x jest punktem, y prostą, z płaszczyzną w pewnej trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej, x przechodzi przez y. Zapisać poniższe formuły: i Przez każde dwa punkty przechodzi prosta; jeśli punkty są różne od siebie, to prosta taka jest jedyna. ii Przez punkt leżący poza płaszczyzną p można poprowadzić dokładnie jedną płaszczyznę do niej równoległą tj. niemającą z nią punktów wspólnych. iii Proste k i l są równoległe. 2.3 W języku arytmetyki liczb naturalnych {0, 1, 2,..., +,, <, } zapisać następujące formuły i m jest podzielne przez n bez użycia znaku podzielności. ii k jest najmniejszą wspólną wielokrotnością m i n. iii Każde dwie liczby mają najmniejszą wspólną wielokrotność. iv p jest liczbą pierwszą. v Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele.

6 2.4 W języku arytmetyki liczb rzeczywistych {0, 1, 2,..., N, <, } zapisać następujące formuły x Liczba a jest ograniczeniem górnym zbioru A R; xi Liczba a jest kresem górnym zbioru tych liczb wymiernych, których kwadrat jest mniejszy od 2; xii Pomiędzy dowolnymi dwiema liczbami rzeczywistymi istnieje zawsze liczba wymierna; 2.5 Pokaż, że jeśli w ψ zmienna x nie jest wolna, to poniższe formuły są prawami rachunku predykatów: a x ϕx ψ x ϕx ψ b x ϕx ϑx x ϕx ϑx c x ϕx x ϑx x ϕx ϑx d x ϕx ψ x ϕx ψ Pozostałe prawa rachunku predykatów: e x ϕx ψ x ϕx ψ f x ϕx ψ x ϕx ψ g x ϕx ψ x ϕx ψ h x ϕx ϑx x ϕx ϑx i x ϕx x ϑx x ϕx ϑx

7 j ψ x ϑx x ψ ϑx k ψ x ϑx x ψ ϑx l x ϕx ψ x ϕx ψ 2.6 Niech zakresem zmienności zmiennych zdaniowych będzie zbiór liczb naturalnych N. Pokaż, że przy użyciu wyłącznie symboli 0, 1, +, można zdefiniować funkcję zdaniową ϕx, y, z = x y = z. Wskazówka: Zapisać predykat x = y, a następnie predykat y x=y 2 ; przydać się mogą również wzory x + y 2 = x 2 + xy + xy + y 2, nwdx, x + 1 = 1, nwwx, x + 1 = x 2 + x. 3 Zbiory 3.1 Wyznaczyć A B, A B, A \ B, B \ A i A B dla poniższych zbiorów: a A = { {a, b}, c }, B = { c, d } ; b A = { {a, {a} } }, B = { a, {a} } ; c A = { a, {a}, {b} }, B = { {a}, {b} } ; d A = { x N : x < 3 }, B = { x N : x 3 } ; e A = { x N : x < 0 }, B = { x N : x = 3 } ;

8 f A = { x R : x < 3 }, B = { x N : x < 3 } ; 3.2 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi: a A B \ B = A wdy A B = ; b A \ B B = A wdy A B ; c A \ B = B \ A wdy A = B. 3.3 Sprawdź, czy dla dowolnych zbiorów A, B, C prawdziwe są równości: a A B \ B = A \ A B b A \ B A C = A \ B \ C c A \ B B = A B d A B C = A B A C e A \ B C = A\B A\C f A B C = A B A C Jeśli tak, to udowodnij to, w przeciwnym przypadku wskaż kontrprzykład. 3.4 Sprawdź, jakie relacje inkluzji zachodzą między zbiorami A, B i C, jeśli spełnione są poniższe formuły: a A B C B = B b A B C B = B c A B\C = A\C B

9 d A B C \A = A B\C e A B B C = A C f A B B C C A 3.5 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi gdzie oznacza różnicę symetryczną zbiorów, tj. x A B df x A x / B x / A x B : a A B = A B\A B b A B C = A B C c A = A d A A = e A B C = A C B C f A = B wdy A B = 3.6 Udowodnij, że przekrój A B jest największym zbiorem zawartym jednocześnie w A i w B. 3.7 Udowodnij, że suma A B jest najmniejszym zbiorem zawierającym jednocześnie A i B. 3.8 Wyznaczyć PA dla poniższych zbiorów A: a A = { a, b, c } ; b A = ; c A = { } ;

10 { d A = x, {x}, { {x} }} ; e A = P{ } ; 3.9 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi A B PA PB Udowodnij, że dla dowolnej rodziny zbiorów A zachodzi A P A Co można powiedzieć o zbiorze A, jeśli wiadomo, że A PA? 3.12 Ile elementów dla ustalonego n N ma najmniejsza rodzina zbiorów A spełniająca 1 A 1,..., A n są różne, 2 1 i n A i A oraz 3 x,y x A y A x y A? 4 Operacje nieskończone & relacje cz.i 4.1 operacje nieskończone 4.1 Znajdź sumę A n i przekrój A n, jeśli zbiory A n są równe: n N n N

11 { } a x N : n 1 x n+1 } b {x Z : n 2 x 2 n+1 2 } c {x R : n 1n x n { } d x, y N N : x n y } e {x, y R R : x 2 +y 2 n 2 } f {x, y R R : x 2 n 2 y Znajdź sumę A t i przekrój A t, jeśli zbiory A t t R + t R + są równe: { } a x R : t 1 x t+1 } b {x R : 1t x t } c {x, y R R : x 2 t 2 y Niech A n,m = i A n,m n N m N A n,m n N m N A n,m n N m N ii iii { } x N : n x < m. Wyznacz:

12 4.6 Jeśli R Q X 2, to Q nazywamy rozszerzeniem R. Czy każdą relację na X można rozszerzyć do relacji: iv A n,m m N n N 4.4 Udowodnij, że: i A t B t A t t T t T B t t T ii A t B t A t B t t T t T t T iii A t B t A s B t = A s t T s,t T s T B t t T iv A s B t = A s B t A t B t s T t T s,t T t T Czy w powyższych formułach znak inkluzji można zastąpić znakiem równości? 4.2 relacje cz.i 4.5 Sprawdzić, czy a suma i b przekrój dwóch relacji na zbiorze X i spójnych jest relacją spójną ii symetrycznych jest relacją symetryczną iii przechodnich jest relacją przechodnią iv antysymetrycznych jest relacją antysymetryczną

13 a zwrotnej; b przeciwzwrotnej; c symetrycznej; d przeciwsymetrycznej; e przechodniej; f spójnej. 4.7 Pokaż, że aby relacja R X 2 była: a zwrotna, potrzeba i wystarcza, aby 1l X R; b symetryczna, potrzeba i wystarcza, aby R R 1 ; c spójna, potrzeba i wystarcza, aby R R 1 1l X = X 2 ; d przechodnia, potrzeba i wystarcza, aby R R R; 4.8 Sprawdzić, które z poniższych równości są prawdziwe dla dowolnych relacji R, Q X 2 : a R Q 1 = R 1 Q 1 ; b R Q 1 = R 1 Q 1 ; c R Q 1 = R 1 Q 1 ; d R \ Q 1 = R 1 \ Q 1 ; e 1l X 1 = 1l X ; f X 2 1 = X 2.

14 5 Iloczyn kartezjański i funkcje 5.1 Sprawdź, czy dany zbiór jest funkcją. Jeśli tak, to określ jego dziedzinę i przeciwdziedzinę, jeśli natomiast nie, to podaj przykład dwóch par o tym samym poprzedniku i różnych następnikach. a { x, y R R : x 2 = y 2} ; b { x, y N N : x 2 = y 2} ; c { x, y PN PN : x y = N } ; d { x, y N[t] N : y = x2 } ; e { x, y N[t] N : 2 = xy } ; f { x, y N[t] N[t] : yt = x2t } ; g { x, y R[t] R[t] : y = x x } ; h { x, y R[t] R[t] : y = x x } ; UWAGA: X[t] oznacza zbiór wielomianów zmiennej t o współczynnikach ze zbioru X. 5.2 Które z funkcji z poprzedniego zadania są surjekcjami, które injekcjami, a które bijekcjami? 5.3 W odpowiednich przykładach z zadania 5.1 wskaż obraz i przeciwobraz podanych zbiorów: [ [ ] b b {x N : 2 x} ], b 1 {x N : 2 x} ;

15 [ [ ] d d {p N[t] : 2 p2} ], d 1 {1, 2, 4, 8} ; [ [ f f {p N[t] : 2 p2} ], f 1 {p N[t] : t ] 2 pt} ; [ [ g g {p R[t] : 2 p2} ], g 1 {p R[t] : t ] 2 pt} ; [ ] h h {p R[t] : t 2 pt}, ] h [{p R[t] 1 : α,β R pt = α t + β} ; 5.4 Wyznacz złożenia odpowiednich funkcji z zadania 5.1: a d f b f n =f f }{{} n razy c d f n d d g e d h f g h g h g h d g h n

16 5.5 Podaj przykład takiej funkcji ] ϕ : N N, że dla każdego n N zbiór ϕ [{n} 1 ma: a dokładnie dwa elementy; b dokładnie trzy elementy; c dokładnie k elementów, dla pewnego ustalonego k; d dokładnie n elementów. 5.6 Podaj przykład takiej funkcji ] ψ : R R, że dla każdego r R zbiór ψ [{r} 1 ma: a dokładnie dwa elementy; b dokładnie trzy elementy; 5.7 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A X, B Y i funkcji f : X Y zachodzi: [ ] a f A \ f 1 [B] = f[a] \ B; ] b A \ f 1 [B] f [f[a] 1 \ B. Podaj przykłady, kiedy inkluzja w punkcie b jest właściwa. { } 5.8 Niech a b, X = a, b, {a, b}, Y = { a, b} i niech f : X Y, fa = fb = a, f {a, b} [ ] = b. Wyznacz f {a, b}.

17 5.9 Dla funkcji f X Y definiujemy dwie funkcje: F : PX PY, F A = df f[a] oraz F : PY PX, F A = df f 1 [A]. Pokaż, że i F jest różnowartościowa wdy f jest surjekcją; ii F jest różnowartościowa wdy f jest iniekcją oraz Df = X. Kiedy funkcje F i F są surjekcjami? 6 Teoria mocy 6.1 Pokaż, że poniższe zbiory są równoliczne i skonstruuj odpowiednie bijekcje: a N Z Q; b N N n N[X]; n N c N { f N N : f jest okresowa } ; d N { f N N : f jest nierosnąca } ; e R 0, 1 a; b dla a, b R; f 0; 1] 0; 1] [2; 3 2n; 2n+1]; g 0; 1 [0; 1]; n N

18 h R R R; i R PN; j R C0; 1, tj. zbiór f-cji ciągłych na przedziale 0; 1; k c c 0, gdzie c to zbiór ciągów zbieżnych, a c 0 ciągów zbieżnych do Określ moc poniższych zbiorów tj. porównaj z N, R, P itp.: a zbiory liczb: naturalnych N, całkowitych Z, wymiernych Q, niewymiernych, algebraicznych A, przestępnych, rzeczywistych R, zespolonych C; b przestrzeń euklidesowa wymiaru d E d ; c zbiory wielomianów: o współczynnikach całkowitych Z[X], współczynnikach rzeczywistych R[X], współczynnikach zespolonych C[X]; d zbiór szeregów zbieżnych bezwzględnie, szeregów zbieżnych, szeregów formalnych Laurenta; e zbiór ciągów zbieżnych c, ciągów zbieżnych do 0 c 0, ciągów od pewnego miejsca równych 0 c 0,0, ciągów ograniczonych l, ciągów sumowalnych bezwzględnie l 1.

19 f zbiór trójkątów na płaszczyźnie euklidesowej E, zbiór wielokątów, zbiór punktów dowolnego trójkąta; g zbiór translacji przestrzeni euklidesowej, zbiór izometrii przestrzeni euklidesowej wymiaru d IsoE d. 6.3 Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzą równości: a C A B C = A C B, przy czym A B = ; b A B C A = C B C. 6.4 Które nierówności zachodzą dla dowolnej funkcji f i zbiorów A Df, B Rf podaj kontrprzykład lub udowodnij nierówność: a A f[a] ; b A f[a] ; c B f 1 [B] ; d B f 1 [B]. Kiedy zachodzą równości?.5.a Skonstruuj taką funkcję f : N N, że dla każdego n N zbiór f 1[ {n} ] jest przeliczalny. Pokaż następnie, że zbiór liczb naturalnych można podzielić

20 na nieskończenie wiele parami rozłącznych zbiorów przeliczalnych..5.b Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego n N zbiór f 1[ {n} ] jest mocy continuum. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na przeliczalnie wiele parami rozłącznych zbiorów mocy continuum. 6.5.c Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego r R zbiór f 1[ {r} ] jest przeliczalny. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na continuum parami rozłącznych zbiorów przeliczalnych..5.d Skonstruuj taką funkcję f : R R, że dla każdego r R zbiór f 1[ {r} ] jest mocy continuum. Pokaż następnie, że zbiór liczb rzeczywistych można podzielić na continuum parami rozłącznych zbiorów mocy continuum. 6.6 Ustawmy elementy zbioru liczb wymiernych z odcinka [0, 1] w ciąg Q [0,1] = {q 0, q 1, q 2,...}. Wyznacz moc zbiorów a q k 1, q k + 1 b n N k>n n N qn 1 n+k, q n + 1 n+k k Z +

21 c n N k Z + q n 1, q 2 n+k n n+k 7 Relacje równoważności 7.1 W każdym z poniższych przypadków pokaż, że jest relacją równoważności na zbiorze X. Wskaż zbiór ilorazowy oraz sprawdź jego moc i moc poszczególnych klas abstrakcji: a X zbiór prostych na płaszczyźnie euklidesowej E, l k jeśli proste l i k pokrywają się lub są równoległe; b X zbiór prostych w przestrzeni euklidesowej R d, d = 3, 4,..., a Q j.w.; c X zbiór wszystkich trójkątów na płaszczyźnie euklidesowej E, ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C są przystające; d X j.w., ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C są podobne; e X j.w., ABC A B C jeśli trójkąty ABC i A B C mają równe pola; f X = { f {0, 1} N : n N k>n fk = 0 } zbiór skończonych ciągów zerojedynkowych, f g jeśli ciągi f i g mają tyle samo jedynek;

22 g X = {0, 1} N zbiór ciągów zerojedynkowych dowolnej długości, f g jeśli ciągi f i g mają tyle samo jedynek; h X = R, x y jeśli istnieje takie n Z, że x, y n, n+1; i X j.w., x y jeśli istnieje takie q Q +, że x y = q y x =q; j X dowolny zbiór, a f : X X dowolna iniekcja; x y jeśli istnieje takie n N, że f n x = y f n y = x uwaga: f n to n-krotne złożenie funkcji f; 7.2 Ile jest różnych z dokładnością do izomorfizmu relacji równoważności na zbiorze a trójelementowym, b czteroelementowym, c pięcioelementowym? d Ile jest różnych relacji równoważności na zbiorze n-elementowym? 7.3 Niech R będzie zbiorem wszystkich relacji równoważności na N i niech ponadto i funkcja f : R PN będzie dana wzorem fϱ = [0] ϱ ; ii funkcja f : R PN N będzie dana wzorem fϱn = [n] ϱ. Wyznacz fϱ oraz fϱ. ϱ R ϱ R

23 7.4 a Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. Pokaż, że R S jest relacją równoważności. b Niech R τ X 2 będzi relacją równoważności dla każdego τ T. Pokaż, że jest relacją równoważności. Opisz klasy abstrakcji przekroju. R τ τ T 7.5 Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. a Pokaż, że R S jest relacją równoważności wdy R S = R S. b Pokaż, że R S jest relacją równoważności wdy R S = S R. Dla dowolnych zbiorów X, Y i dowolnych relacji R X 2, S Y 2 produktem prostym relacji R i S nazywamy relację R S X Y 2 zdefiniowaną wzorem x 1, y 1 R S x 2, y 2 x 1 Rx 2 y 1 Sy Pokaż, że produkt prosty relacji równoważności jest relacją równoważności. Opisz zbiór ilorazowy X Y/ R S.

24 7.7 Niech partycja B będzie rozdrobnieniem partycji A, tzn. taką, że B B A A B A. Jaki jest związek między relacjami równoważności ϱ A i ϱ B odpowiadającym tym partycjom por. Zasada Abstrakcji? Odpowiedź uzasadnij. 7.8 Niech R, S X 2 będą relacjami równoważności. Pokaż, że zbiór ilorazowy X/ R S jest rozdrobnieniem zarówno partycji X/ R, jak i X/ S. 8 Relacje porządkowe 8.1 Sprawdź, czy poniższe relacje w zbiorze A są relacją porządku. Jeśli tak, to narysuj czytelny diagram Hassego zbioru A, i wskaż elementy minimalne maksymalne, najmniejsze, największe. i ii iii A = {2, 3, 4, 6} 2 oraz x, y a, b x a b y, A = {1, 2} 3 oraz x, y, z a, b, c x a y b z c, A = {2, 3} 3 oraz x, y, z a, b, c x a ab xy xyz abc. 8.2 Na zbiorze N N określona jest relacja n 1, m 1 n 2, m 2 wzorem

25 a maxn 1, m 1 < maxn 2, m 2 lub maxn 1, m 1 = maxn 2, m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2, b minn 1, m 1 < minn 2, m 2 lub minn 1, m 1 = minn 2, m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2, c n 1 m 1 = n 2 m 2 n 1, m 1 < leks n 2, m 2 lub n 1 m 1 < n 2 m 2, Wyznacz jeśli istnieją kres górny i kres dolny zbioru { n, m : 2 n m 4 }. Wskaż elementy minimalne i maksymalne. 8.3 Wyznacz w zbiorze a trójelementowym, b czteroelementowym, wszystkie z dokładnością do izomorfizmu porządki częściowe. Ile jest wśród nich porządków liniowych, a ile dobrych? c Ile jest nieizomorficznych porządków częsciowych w zbiorze n-elementowym? Niech X będzie dowolnym zbiorem, a relacją porządkującą na X. Podzbiór A X 2 nazywamy antyłańcuchem, jeśli żadne dwa jego elementy nie są w relacji, tj. x,y A x y x y y x. Jeśli dodatkowo dla elementu x X istnieje element najmniejszy w zbiorze { y X : y x x y },

26 to nazywamy go następnikiem elementu x. Analogicznie, jeśli w zbiorze { y X : y x y x } istnieje element największy, to nazywamy go poprzednikiem elementu x. 8.4 Na zbiorze N N określona jest relacja f g, jeśli a n N fn gn, b n N 1 n fn 1 n gn, c m N n m fn gn, d n N fn gn, e m N n m fn gn, Wskaż w porządku N N, : i nieskończony łańcuch, ii łańcuch mocy continuum jeśli istnieje, iii nieskończony antyłańcuch, iv antyłańcuch mocy continuum jeśli istnieje, 8.5 Pokaż, że w dowolnym porządku X, prawdziwe są następujące stwiedzenia: I Zbiór wszystkich elementów maksymalnych jest antyłańcuchem. II Istnieje antyłańcuch maksymalny ze względu na inkluzję.

27 III Każdy antyłańcuch jest podzbiorem pewnego antyłańcucha maksymalnego. W którym z podpunktów należy skorzystać z lematu Kuratowskiego Zorna? 8.6 Wskaż taki liniowy porządek w zbiorze N, aby każda liczba naturalna posiadała zarówno poprzednik, jak i następnik. Czy taki porządek może być dobry? Czy może być gęsty? 8.7 Wskaż taki liniowy porządek w zbiorze N, aby każda liczba naturalna nie posiadała ani poprzednika, ani następnika. Czy taki porządek musi być gęsty? 8.8 Czy porządek dobry może być gęsty? I vice-versa, czy porządek gęsty może być dobry?

28 THE END

1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne

1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1 Pokaż, że dla dowolnych zmiennych zdaniowych p, q, r poniższe formuły są tautologiami a p p p b q q q c p p p p d p q r p q p r e p q r p q p r f p q p

Bardziej szczegółowo

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3. Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.

Bardziej szczegółowo

Pytania i polecenia podstawowe

Pytania i polecenia podstawowe Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:

Bardziej szczegółowo

Wstęp do matematyki listy zadań

Wstęp do matematyki listy zadań Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się 1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania

Bardziej szczegółowo

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I

IMIĘ NAZWISKO... grupa C... sala Egzamin ELiTM I IMIĘ NAZWISKO............................ grupa C... sala 10... Egzamin ELiTM I 02.02.15 1. 2. 3. 4.. 1. (8 pkt.) Niech X a,b = {(x, y) R 2 : (x b) 2 + (y 1 b )2 a 2 } dla a, b R, a > 0, b 0. Wyznaczyć:

Bardziej szczegółowo

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Funkcje Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Oznaczenia i pojęcia wstępne Niech f X Y będzie relacją. Relację f nazywamy funkcją, o ile dla dowolnego x X istnieje y Y taki, że (x, y) f oraz dla

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

ELiTM 0 Indukcja Dany jest ciąg a 0 R, a n = a n 1. Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą.

ELiTM 0 Indukcja Dany jest ciąg a 0 R, a n = a n 1. Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą. ELiTM 0 Indukcja Zasada minimum Każdy niepusty podzbiór liczb naturalnych zawiera liczbę najmniejszą. Zasada indukcji Jeżeli (1) istnieje n 0 N takie że T (n 0 ) jest prawdziwe; (2) z faktu, że T (n) jest

Bardziej szczegółowo

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM Metalogika (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Uniwersytet Opolski Jerzy Pogonowski (MEG) Metalogika (1) Uniwersytet Opolski 1 / 21 Wstęp Cel: wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji.

1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. 1. Funkcje monotoniczne, wahanie funkcji. Zbiór X będziemy nazywali uporządkowanym, jeśli określona jest relacja zawarta w produkcie kartezjańskim X X, która jest spójna, antysymetryczna i przechodnia.

Bardziej szczegółowo

Logika Matematyczna 16 17

Logika Matematyczna 16 17 Logika Matematyczna 16 17 Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Semantyka KRP (3) Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna 16 17 Semantyka KRP (3) 1 / 24

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Logiki i Struktur Formalnych Lista zadań

Wstęp do Logiki i Struktur Formalnych Lista zadań Wstęp do Logiki i Struktur Formalnych Lista zadań Jacek Cichoń Politechnika Wrocławska, WPPT Wrocław 2018 G1: Rachunek Zdań Które z następujących zdania są tautologiami: 1. (p (q r)) ((p q) (p r) 2. ((p

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 1. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 1 Jacek M. Jędrzejewski Wstęp W naszym konspekcie będziemy stosowali następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych dodatnich, N 0 zbiór liczb naturalnych (z zerem),

Bardziej szczegółowo

LX Olimpiada Matematyczna

LX Olimpiada Matematyczna LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1

Bardziej szczegółowo

1 Funktory i kwantyfikatory

1 Funktory i kwantyfikatory Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi

Bardziej szczegółowo

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)]; Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +

Bardziej szczegółowo

WstępdoLogikiiTeoriiMnogości 1 Instytut Matematyki i Informatyki 2010/2011

WstępdoLogikiiTeoriiMnogości 1 Instytut Matematyki i Informatyki 2010/2011 dr Przemysław Szczepaniak ZDANIA WstępdoLogikiiTeoriiMnogości 1 Instytut Matematyki i Informatyki 2010/2011 1. Udowodnij prawa rachunku zdań poznane na wykładzie. 2. Sprawdź, które z poniższych zdań są

Bardziej szczegółowo

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń

Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Kombinowanie o nieskończoności. 3. Jak policzyć nieskończone materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 22 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14 Wstęp do matematyki Matematyka, I rok. Tomasz Połacik Spis treści 1 Logika................................. 1 2 Zbiory................................. 7 3 Pewnik wyboru............................ 10

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc.

Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc. Zagadnienia: 1. Definicje porządku słabego i silnego. 2. Elementy minimalne, maksymalne, kresy, etc. 3. Porządki liniowe. Porządki gęste, ciągłe i dobre. dradamkolany,mailto:ynalok64@wp.pl,http://kolany.pl,gg:1797933,tel.(+48)602804128...

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Lista 0 - Okolice rachunku zdań

Lista 0 - Okolice rachunku zdań Lista 0 - Okolice rachunku zdań 1. W używanym obecnie kalendarzu gregoriańskim rok jest przestępny, gdy dzieli się przez 4, lecz nie dzieli się przez 100, chyba, że dzieli się przez 400. Niech p oznacza

Bardziej szczegółowo

Lista zadań - Relacje

Lista zadań - Relacje MATEMATYKA DYSKRETNA Lista zadań - Relacje Zadania obliczeniowe Zad. 1. Która z poniższych relacji jest funkcją? a) Relacja składająca się ze wszystkich par uporządkowanych, których poprzednikami są studenci,

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny ROZDZIAŁ 1 Rachunek funkcyjny Niech X 1,..., X n będą dowolnymi zbiorami. Wyrażenie (formułę) ϕ(x 1,..., x n ), w którym występuje n zmiennych x 1,..., x n i które zamienia się w zdanie logiczne, gdy zamiast

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji

Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje

Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E Treść

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2B/14 Relacje Pojęcia: relacja czyli relacja dwuargumentowa relacja w zbiorze A relacja n-argumentowa Relacja E = {(x, x): x S} jest

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik

Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik Podstawy logiki i teorii mnogości Informatyka, I rok. Semestr letni 2013/14. Tomasz Połacik 9 Relacje 9.1 Podstawowe pojęcia 9.1 Definicja (Relacja). Relacją (binarną) nazywamy dowolny podzbiór produktu

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im.

Elementy teorii mnogości. Część II. Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Elementy teorii mnogości. II 1 Elementy teorii mnogości Część II Wojciech Buszkowski Zakład Teorii Obliczeń Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Elementy teorii mnogości.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe: LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.

Bardziej szczegółowo

RELACJE I ODWZOROWANIA

RELACJE I ODWZOROWANIA RELACJE I ODWZOROWANIA Definicja. Dwuargumentową relacją określoną w iloczynie kartezjańskim X Y, X Y nazywamy uporządkowaną trójkę R = ( X, grr, Y ), gdzie grr X Y. Zbiór X nazywamy naddziedziną relacji.

Bardziej szczegółowo

1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.

1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2011/12 168. Uporządkować podane liczby w kolejności niemalejącej. sin50, cos80, sin170, cos200, sin250, cos280. 169. Naszkicować wykres funkcji f zdefiniowanej wzorem a) f(x) = sin2x b) f(x) = cos3x c) f(x) =

Bardziej szczegółowo

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji

Teoria automatów i języków formalnych. Określenie relacji Relacje Teoria automatów i języków formalnych Dr inŝ. Janusz ajewski Katedra Informatyki Określenie relacji: Określenie relacji Relacja R jest zbiorem par uporządkowanych, czyli podzbiorem iloczynu kartezjańskiego

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów.

Uwaga 1. Zbiory skończone są równoliczne wtedy i tylko wtedy, gdy mają tyle samo elementów. Logika i teoria mnogości Wykład 11 i 12 1 Moce zbiorów Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y są równoliczne (X ~ Y), jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy, że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2017 Zadania 1 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2017 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A B C)'

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski

Topologia - Zadanie do opracowania. Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski Topologia - Zadanie do opracowania Wioletta Osuch, Magdalena Żelazna, Piotr Kopyrski 5 grudnia 2013 Zadanie 1. (Topologie na płaszczyźnie) Na płaszczyźnie R 2 rozważmy następujące topologie: a) Euklidesową

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1

Analiza matematyczna 1 Analiza matematyczna 1 Marcin Styborski Katedra Analizy Nieliniowej pok. 610E (gmach B) marcins@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/marcins () 28 września 2010 1 / 10 Literatura podstawowa R. Rudnicki,

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Równoliczność zbiorów

Równoliczność zbiorów Logika i Teoria Mnogości Wykład 11 12 Teoria mocy 1 Równoliczność zbiorów Def. 1. Zbiory X i Y nazywamy równolicznymi, jeśli istnieje bijekcja f : X Y. O funkcji f mówimy wtedy,że ustala równoliczność

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat)

Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) Uniwersytet Śląski w Katowicach str. 1 Kierunek i poziom studiów: Matematyka, studia I stopnia, rok 1 Sylabus modułu: Wstęp do matematyki (Kod modułu: 03-MO1N-12-WMat) 1. Informacje ogólne koordynator

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH

1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Rekurencyjna przeliczalność

Rekurencyjna przeliczalność Rekurencyjna przeliczalność Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Funkcje rekurencyjne Jerzy Pogonowski (MEG) Rekurencyjna przeliczalność Funkcje rekurencyjne

Bardziej szczegółowo

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S.

- Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. 1 Zbiór potęgowy - Dla danego zbioru S zbiór wszystkich jego podzbiorów oznaczany symbolem 2 S. - Dowolny podzbiór R zbioru 2 S nazywa się rodziną zbiorów względem S. - Jeśli S jest n-elementowym zbiorem,

Bardziej szczegółowo

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa

Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Aleksander Błaszczyk Instytut Matematyki Uniwersytetu Ślaskiego Brenna, 25 wrzesień 2018 Aleksander Błaszczyk (UŚ) Zbiory liczbowe widziane oczami topologa Brenna,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (3)

Wstęp do Matematyki (3) Wstęp do Matematyki (3) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Ważne typy relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (3) Ważne typy relacji 1 / 54 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy

XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy XXXVIII Regionalny Konkurs Rozkosze łamania Głowy klasy I i II szkół ponadgimnazjalnych 1. Liczba 2015 2017 + 2 2015 2016 + 2015 2015 jest podzielna przez: A. 2017 B. 2016 C. 2015 2. Układ równań 8 >

Bardziej szczegółowo

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki

Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Zbiór zadań ze wstępu do matematyki Jan Kraszewski Wrocław 2009 1 Spis treści 2 Przedmowa W zbiorach zadań ze wstępu do matematyki zadania zazwyczaj są tak pogrupowane, by dotyczyły pojęć z poszczególnych

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d) Matemaryka dyskretna - zadania Zadanie 1. Opisać zbiór wszystkich elementów rangi k zbioru uporządkowanego X dla każdej liczby naturalnej k, gdy X jest rodziną podzbiorów zbioru skończonego Y. Elementem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1

Teoria miary. Matematyka, rok II. Wykład 1 Teoria miary Matematyka, rok II Wykład 1 NAJBLIŻSZY CEL: Nauczyć się mierzyć wielkość zbiorów. Pierwsze przymiarki: - liczność (moc) zbioru - słabo działa dla zbiorów nieskończonych: czy [0, 1] powinien

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej

Zasada indukcji matematycznej Zasada indukcji matematycznej Twierdzenie 1 (Zasada indukcji matematycznej). Niech ϕ(n) będzie formą zdaniową zmiennej n N 0. Załóżmy, że istnieje n 0 N 0 takie, że 1. ϕ(n 0 ) jest zdaniem prawdziwym,.

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania

Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania 1. W używanym obecnie kalendarzu gregoriańskim rok jest przestępny, gdy dzieli się przez 4, lecz nie dzieli się przez 100, chyba, że dzieli się przez 400.

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017

SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA realizacja w roku akademickim 2016/2017 Załącznik nr 4 do Uchwały Senatu nr 430/01/2015 SYLABUS DOTYCZY CYKLU KSZTAŁCENIA 2016-2020 realizacja w roku akademickim 2016/2017 1.1. PODSTAWOWE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE/MODULE Nazwa przedmiotu/ modułu

Bardziej szczegółowo

3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.

3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość. 1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają

Bardziej szczegółowo

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2

Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Wykład z Analizy Matematycznej 1 i 2 Stanisław Spodzieja Łódź 2004/2005 http://www.math.uni.lodz.pl/ kfairr/analiza/ Wstęp Książka ta jest nieznacznie zmodyfikowaną wersją wykładu z analizy matematycznej

Bardziej szczegółowo

0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań Zadania... 4

0 Alfabet grecki 2. 1 Rachunek zdań Podstawowe definicje Wybrane tautologie rachunku zdań Zadania... 4 DB Wstęp do matematyki semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria w niniejszym skrypcie została opracowana na podstawie książki: R. Murawski, K. Świrydowicz, Wstęp do teorii mnogości, Wyd. Naukowe UAM, Poznań

Bardziej szczegółowo

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem

Pokazać, że wyżej zdefiniowana struktura algebraiczna jest przestrzenią wektorową nad ciałem Zestaw zadań 9: Przestrzenie wektorowe. Podprzestrzenie () Wykazać, że V = C ze zwykłym dodawaniem jako dodawaniem wektorów i operacją mnożenia przez skalar : C C C, (z, v) z v := z v jest przestrzenią

Bardziej szczegółowo

1 Elementy logiki i teorii mnogości

1 Elementy logiki i teorii mnogości 1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania

Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania Lista 1 - Rachunek zdań i reguły wnioskowania 1. Każda karta z jednej strony jest czerwona albo niebieska, z drugiej zaś ma narysowane kółko albo trójkąt. Na stole widzimy cztery takie karty, widoczna

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

Wykładowcy. Podstawy matematyki dla informatyków. Różne książki dla dociekliwych. Materiały. Books in English. Zaliczenie. Klasówka.

Wykładowcy. Podstawy matematyki dla informatyków. Różne książki dla dociekliwych. Materiały. Books in English. Zaliczenie. Klasówka. Wykładowcy Podstawy matematyki dla informatyków Semestr zimowy 2017-18 Jacek Chrząszcz, chrzaszcz@mimuw.edu.pl, pokój 5710. Paweł Urzyczyn, urzy@mimuw.edu.pl, pokój 5700. Materiały Różne książki dla dociekliwych

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem. Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy

Bardziej szczegółowo