Æwiczenia laboratoryjne z fizyki Czêœæ I

Transkrypt

1 Ryszard Poprawski W³odzimierz Salejda Æwiczeia laboratoryje z fizyki Czêœæ I Zasady opracowaia wyików pomiarów Wydaie V Oficya Wydawicza Politechiki Wroc³awskiej Wroc³aw 005

2 Recezeci Ryszard CACH Ewa DÊBOWSKA Miros³aw DROZDOWSKI Redaktor serii Ludmi³a LEWOWSKA Sk³ad komputerowy Marek J. BATTEK Opracowaie redakcyje Maria IZBICKA Projekt ok³adki Ewa POPRAWSKA Copyright by Ryszard Poprawski & W³odzimierz Salejda, Wroc³aw 996 OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI WROC AWSKIEJ Wybrze e Wyspiañskiego 7, Wroc³aw ISBN Drukaria Oficyy Wydawiczej Politechiki Wroc³awskiej. Zam. r 4/005.

3 Spis treœci Spis wa iejszych ozaczeñ Przedmowa Wstêp Pomiary wielkoœci fizyczych Przyk³ady pomiarów prostych Przyk³ady pomiarów z³o oych Obliczaie iepewoœci pomiarów Pojêcia podstawowe Statystycza aaliza wyików i iepewoœæ pomiarów Œredia arytmetycza, wariacja i odchyleie stadardowe (z próby) Wspó³czyik korelacji (z próby) Histogramy Gêstoœæ rozk³adu prawdopodobieñstwa Wykres ormaly Wartoœæ œredia i wariacja Dystrybuata rozk³adu prawdopodobieñstwa Stadaryzoway rozk³ad ormaly Obliczaie prawdopodobieñstw P((µ kσ, µ + kσ)) dla rozk³adu ormalego Gêstoœæ dwuwymiarowego rozk³adu prawdopodobieñstwa Wspó³czyiki korelacji oraz macierz kowariacji i korelacji Cetrale twierdzeie graicze Rozk³ad dwumiaowy i rozk³ad Poissoa Przybli aie rozk³adu dwumiaowego i rozk³adu Poissoa rozk³adem ormalym Opracowaie wyików oraz iepewoœci pomiarów prostych Obliczaie iepewoœci w przypadku ma³ej liczby pomiarów za pomoc¹ d³ugoœci przedzia³ów ufoœci Okreœlaie iepewoœci a podstawie klasy przyrz¹dów Niepewoœci pomiarów mierików cyfrowych Zaokr¹glaie i zapis wyików pomiarów oraz ich iepewoœci Zaokr¹glaie wartoœci iepewoœci pomiaru Zaokr¹glaie wyików pomiarów Zapisywaie wyików pomiarów oraz ich iepewoœci Odrzucaie wyików pomiarów Obliczaie iepewoœci w przypadku pomiarów z³o oych Nieskorelowae wielkoœci wejœciowe

4 .6.. Skorelowae wielkoœci wejœciowe Obliczaie iepewoœci metod¹ ró iczki zupe³ej Graficze opracowaie wyików pomiarów Rysowaie wykresów Rysowaie wykresów we wspó³rzêdych bieguowych Odczytywaie wartoœci wielkoœci fizyczych z wykresów Wyzaczaie achyleia wykresu Liearyzacja zale oœci miêdzy wielkoœciami fizyczymi Metody regresji Regresja ieliiowa Komputerowe opracowaie wyików Zasady wykoywaia æwiczeñ i opracowywaia sprawozdañ Wskazówki praktycze dotycz¹ce wykoywaia æwiczeñ Sprawozdaie Dodatek Defiicje jedostek podstawowych uk³adu SI Przedrostki stosowae do ozaczaia wielokrotoœci jedostek Tabele Literatura uzupe³iaj¹ca

5 Spis wa iejszych ozaczeñ X, X i, Y wielkoœci fizycze, x, x i, y wartoœci wielkoœci fizyczych, x 0, y 0 jedostki wielkoœci fizyczych, µ rz wartoœæ dok³ada (prawdziwa, rzeczywista) wielkoœci fizyczej, s, s x odchyleie stadardowe, δ b³¹d pomiaru, x œredia arytmetycza, x œredia arytmetycza z du ej liczby pomiarów, δ p b³¹d przypadkowy, b³¹d systematyczy, liczba pomiarów, s x odchyleie stadardowe œrediej arytmetyczej, r xy wspó³czyik korelacji, f(x) gêstoœæ prawdopodobieñstwa, fukcja rozk³adu, P prawdopodobieñstwo, σ, λ parametry rozk³adu, Φ(x) gêstoœæ stadaryzowaego rozk³adu ormalego, F(x) dystrybuata, σ xy kowariacja, B(m, p) rozk³ad dwumiaowy, P(λ) rozk³ad Poissoa, t(, α) wspó³czyik Studeta, α poziom ufoœci, kl klasa mierika, Z zakres mierika, kl d klasa mierika cyfrowego, rozdz rozdzielczoœæ mierika cyfrowego, u y z³o oa iepewoœæ stadardowa, β i wspó³czyik regresji, δ p iepewoœæ przypadkowa, iepewoœæ wzglêda, δ w δ % iepewoœæ wzglêda wyra oa w procetach. 5

6 PRZEDMOWA Oddajemy do r¹k czytelików koleje wydaie podrêczika do æwiczeñ laboratoryjych z fizyki. Podrêczik jest adresoway do studetów pierwszych dwóch lat studiów wy szych uczeli techiczych i sk³ada siê z czterech czêœci osz¹cych astêpuj¹ce tytu³y:. Podstawy opracowaia wyików pomiarów.. Mechaika i termodyamika. 3. Elektryczoœæ i magetyzm. 4. Optyka. W czêœci pierwszej przedstawiamy podstawowe zasady aalizy iepewoœci pomiarów, metody opracowaia i prezetacji wyików pomiarów oraz tablice wartoœci wielkoœci fizyczych. Pragiemy podkreœliæ, e metody aalizy wyików pomiarów s¹ zgode z aktualymi zaleceiami ISO (Iteratioal Orgaizatio for Stadarizatio) oraz G³ówego Urzêdu Miar. Wspó³autorem rozdzia³ów.,.6 i 4 jest profesor dr hab. Witold Kloecki, by³y pracowik aukowo-dydaktyczy Istytutu Matematyki PWr. W pozosta³ych czêœciach podrêczika zamieszczoo opisy wraz z obszerymi wprowadzeiami do wszystkich æwiczeñ wykoywaych w Laboratorium Podstaw Fizyki PWr. Opis ka dego æwiczeia rozpoczya siê zwiêz³ym sformu³owaiem ajistotiejszych zagadieñ (w formie s³ów kluczowych), których zajomoœæ jest warukiem koieczym przyst¹pieia do wykoywaia daego æwiczeia laboratoryjego. Mamy adziejê, e podrêczik te u³atwi studetom przygotowaie siê do æwiczeñ laboratoryjych z fizyki oraz opracowaia wyików pomiarów bez koieczoœci siêgaia do wielu iych ksi¹ ek. W iteretowej witryie dydaktyczej Istytutu Fizyki PWr. pod adresem: jest dostêpe bezp³atie poprzedie wydaie podrêczika. Autorzy dziêkuj¹ prof. dr. hab. Witoldowi Kloeckiemu za cee uwagi i dyskusje oraz pai Alicji Szczygie³ za wykoaie rysuków do wszystkich czêœci podrêczika. Autorzy i redaktorzy podrêczika 6

7 WSTÊP Pozaie przez studetów podstawowych techik doœwiadczalych, zdobycie umiejêtoœci przeprowadzaia eksperymetów i opracowywaia wyików pomiarów oraz szacowaia iepewoœci pomiarów to ajwa iejsze cele æwiczeñ laboratoryjych z fizyki. Opaowaie tych zagadieñ wymaga pewego czasu oraz doœwiadczeia, które zdobywa siê podczas wykoywaia i opracowywaia kolejych æwiczeñ. Zajêcia laboratoryje z fizyki rozpoczyaj¹ siê zebraiem orgaizacyjym, a którym studeci po zapozaiu siê z regulamiem pracowi fizyczej, sprawami orgaizacyjymi i porz¹dkowymi, otrzymuj¹ harmoogram æwiczeñ a ca³y semestr. W ci¹gu tygodia dziel¹cego zebraie orgaizacyje od pierwszych zajêæ studet powiie zapozaæ siê z tematyk¹ pierwszego wyzaczoego æwiczeia, a tak e z podstawowymi metodami szacowaia iepewoœci pomiarów. Oto lista zagadieñ, z którymi ale y siê zapozaæ przed przyst¹pieiem do pierwszego æwiczeia, iezale ie od jego tematu: pomiary wielkoœci fizyczych (rozdzia³ ), podstawy obliczaia iepewoœci pomiarów (rozdzia³ ), zasady wykoywaia æwiczeñ i opracowywaia sprawozdañ (rozdzia³ 6). W opisach æwiczeñ zasugerowao sposoby opracowaia wyików pomiarów oraz metodê obliczaia ich iepewoœci. Podstawowe pojêcia oraz ich defiicje zosta³y w tekœcie wyró ioe pogrubio¹ czciok¹, w celu wyraÿego oddzieleia ich od przyk³adów i kometarzy. Przed przyst¹pieiem do kolejego æwiczeia ale y zapozaæ siê z metod¹ obliczaia iepewoœci oraz sposobem opracowaia wyików przydatym w daym æwiczeiu. Taki sposób postêpowaia zapewia zgromadzeie podczas pomiarów daych iezbêdych do obliczeñ oraz pozwala stopiowo (przy wykoywaiu i opracowywaiu rezultatów kolejych æwiczeñ) zapozawaæ siê z metodyk¹ opracowywaia i prezetacji wyików pomiarów. Omówimy krótko zawartoœæ podrêczika. W rozdziale pierwszym wprowadzoo podstawowe pojêcia dotycz¹ce wielkoœci fizyczych oraz ich pomiarów. Obszere przedstawieie zarówo przedmiotu jak i podstawowych zasad aalizy iepewoœci pomiarów zamieszczoe jest w rozdziale. Sposoby graficzego opracowywaia wyików pomiarów oraz metody regresji liiowej oraz ieliiowej zawieraj¹ odpowiedio rozdzia³y 3 i 4. Oprogramowaie u ytkowe pozwalaj¹ce a szybkie i sprawe przeprowadzeie aalizy iepewoœci pomiarów i sporz¹dzeie wykresów przedstawioo w rozdziale 5. Zasady wykoywaia pomiarów w Laboratorium Pod- 7

8 staw Fizyki oraz sporz¹dzaia sprawozdañ omówioo w rozdziale 6. Dodatek zawiera defiicje jedostek wielkoœci podstawowych w uk³adzie SI, wartoœci sta³ych fudametalych, tablice sta³ych iezbêdych podczas opracowywaia wyików pomiarów oraz tablice, w których podao w³asoœci fizycze materia³ów staowi¹cych przedmiot badañ. Tablice mog¹ byæ przydate do porówaia uzyskaych wyików pomiarów z daymi wyzaczoymi w laboratoriach aukowych i przemys³owych. Przytoczoe w tekœcie przyk³ady staowi¹ ilustracjê omawiaych zagadieñ, ie s¹ jedak wyikami kokretych pomiarów i w adym wypadku ie ale y powo- ³ywaæ siê a wystêpuj¹ce w ich wartoœci liczbowe. 8

9 . POMIARY WIELKOŒCI FIZYCZNYCH Przedmiotem fizyki doœwiadczalej s¹ pomiary wielkoœci fizyczych oraz poszukiwaie i opis zwi¹zków (praw fizyczych) miêdzy tymi wielkoœciami. Wielkoœci¹ fizycz¹ azywamy tak¹ w³aœciwoœæ obiektu, substacji lub zjawiska, któr¹ mo a porówaæ iloœciowo z podobymi w³aœciwoœciami lub cechami iego obiektu, substacji lub zjawiska. Wielkoœci fizycze s¹ wiêc w³aœciwoœciami lub cechami obiektów, substacji lub zjawisk, które mo a zmierzyæ. Proces porówywaia wielkoœci fizyczej z wielkoœci¹ przyjêt¹ za jedostkê azywamy pomiarem. Przyk³adami wielkoœci fizyczych, za pomoc¹ których opisujemy w³aœciwoœci obiektów, s¹: masa, gêstoœæ, temperatura, wymiary geometrycze, atomiast wielkoœciami charakteryzuj¹cymi zjawiska s¹: prêdkoœæ, przyspieszeie, si³a, szybkoœæ zmia temperatury lub efekty cieple, p. ciep³o parowaia, ciep³o w³aœciwe itp. Aby móc dokoaæ pomiaru daej wielkoœci fizyczej, ale y okreœliæ jedostkê tej wielkoœci. Jedostki defiiowae s¹ za pomoc¹ wzorca lub przez sprecyzowaie sposobu ich pomiaru. W celu uikiêcia dowoloœci w wyborze jedostek, a wiêc umo liwieia porówywaia wyików pomiarów, defiicje jedostek fizyczych zosta³y okreœloe w umowach miêdzyarodowych. W wiêkszoœci krajów, w tym rówie w Polsce, obowi¹zuj¹ jedostki uk³adu miêdzyarodowego SI (System Iteratioal). Defiicje jedostek uk³adu SI, zatwierdzoe przez miêdzyarodow¹ koferecjê w 99 roku, s¹ zawarte w dodatku zajduj¹cym siê w koñcowej czêœci podrêczika. Istieje okreœloa liczba wielkoœci fizyczych, których jedostki s¹ zdefiiowae. Wielkoœci takie azywamy podstawowymi (w uk³adzie SI jest ich siedem). Pozosta³e wielkoœci mo a wyraziæ za pomoc¹ zwi¹zków (zazwyczaj praw fizyczych) miêdzy wielkoœciami podstawowymi. Wielkoœci fizycze, które mo a wyraziæ za pomoc¹ wielkoœci podstawowych azywamy wielkoœciami pochodymi. Jedostki podstawowe mo a wybieraæ i defiiowaæ w ró y sposób. Za jedostki podstawowe przyjmuje siê jedostki takich wielkoœci fizyczych, które dziêki odpowiedim przyrz¹dom i techice pomiarowej mo a mo liwie precyzyjie zmierzyæ, a ich wzorce mo liwie prosto i dok³adie odtworzyæ. Nale y zwróciæ uwagê, e ada wielkoœæ fizycza ie mo e byæ zmierzoa z dok³adoœci¹ wiêksz¹ od dok³adoœci z jak¹ zdefiioway jest aktualy wzorzec. W miarê rozwoju techiki pomiarowej roœie rówie precyzja pomiarów. Wtedy, gdy jesteœmy w staie mierzyæ jak¹œ wielkoœæ z precyzj¹ wiêksz¹ od dok³adoœci z jak¹ okreœloy jest 9

10 wzorzec, zachodzi potrzeba zmiay wzorca (przyk³adem jest wprowadzoa iedawo zmiaa defiicji metra). Wyik dowolego pomiaru x jest wartoœci¹ miaowa¹, któr¹ podajemy w astêpuj¹cej postaci: x = r X J X, (.) gdzie: J X jedostka wielkoœci fizyczej X (zazwyczaj jej symbol), a r X liczba rzeczywista okreœlaj¹ca liczbê jedostek. Jak widzimy z postaci zapisu (.), podaie wartoœci wielkoœci fizyczej w postaci tylko liczby ie ma sesu (o ile ie jest to wielkoœæ bezwymiarowa); p. stwierdzeie, e odleg³oœæ miêdzy dwoma puktami wyosi,54 ic ie zaczy. W przypadku podawaia wartoœci wielkoœci obarczoej iepewoœci¹ δ X wyik pomiaru zapisujemy w postaci x = (r X ±δ X ) J X. (.) Niepewoœæ pomiaru δ X jest miar¹ rozrzutu wyików pomiarów wielkoœci fizyczej X. Wyzaczaie wartoœci wielkoœci fizyczej mo e sk³adaæ siê z kilku etapów, z których ajwa iejszymi s¹ pomiary proste, obliczaie ocey wartoœci wielkoœci wyzaczaych a podstawie wyików pomiarów prostych oraz aaliza dok³adoœci uzyskaej ocey. Pomiary wielkoœci fizyczych, których wartoœci wyzaczamy bezpoœredio za pomoc¹ odpowiedich przyrz¹dów bêdziemy azywali pomiarami prostymi (bezpoœredimi), a wielkoœci tak wyzaczoe wielkoœciami prostymi. Do takich wielkoœci zaliczae s¹ wielkoœci podstawowe (patrz podrozdzia³ 7. zamieszczoy w dodatku), których pomiar polega a porówaiu z wartoœci¹ przyjêt¹ za jedostkê, p. czas, odleg³oœæ, k¹t, atê eie pr¹du lub masa. Istiej¹ wielkoœci, których wartoœci odczytujemy bezpoœredio ze skali przyrz¹du mierz¹cego i¹ wielkoœæ fizycz¹. Dziêki prostej zale oœci fukcyjej przyrz¹d mo e byæ wyskaloway w jedostkach iej wielkoœci fizyczej i wielkoœæ mierzoa bezpoœredio. Wielkoœci takie bêdziemy rówie azywali wielkoœciami prostymi, mimo e sam pomiar jest pomiarem poœredim. W przypadku pomiarów prostych ie ma potrzeby obliczaia wartoœci mierzoych, gdy odczytujemy je bezpoœredio ze skali przyrz¹du pomiarowego. Przyk³ady pomiarów prostych. Pomiar apiêcia elektryczego za pomoc¹ woltomierza polega a pomiarze atê eia pr¹du p³y¹cego przez za¹ rezystacjê. Korzystaj¹c z prawa Ohma mo emy amperomierz wyskalowaæ w jedostkach apiêcia i przyrz¹d azwaæ woltomierzem. 0

11 . Termometr cieczowy jest urz¹dzeiem wykorzystuj¹cym liiowy zwi¹zek miêdzy przyrostem objêtoœci cieczy a przyrostem temperatury. Wielkoœci¹ mierzo¹ jest przyrost objêtoœci cieczy, aiesioa zaœ a im skala jest skal¹ temperatur. 3. Pomiar atê eia oœwietleia za pomoc¹ luksomierza polega a pomiarze atê eia pr¹du geerowaego przez fotoogiwo, amperomierz mierz¹cy te pr¹d jest wyskaloway w luksach. Pomiar z³o oy polega a wykoaiu (ajczêœciej rówoczesym) kilku pomiarów prostych. Korzystaj¹c z zale oœci miêdzy wielkoœciami wyzaczoymi bezpoœredio obliczamy wartoœæ wielkoœci fizyczej, któr¹ bêdziemy azywali z³o o¹, a taki sposób wyzaczaia wielkoœci fizyczej pomiarem z³o oym. Przyk³ady pomiarów z³o oych. Pomiar oporu elektryczego polega zwykle a pomiarze atê eia pr¹du oraz apiêcia a badaej rezystacji. Wartoœæ oporu obliczamy korzystaj¹c z prawa Ohma. Zwróæmy uwagê a to, e je eli opór zmierzymy za pomoc¹ omomierza, to bêdzie o traktoway jako pomiar prosty. Gdy wartoœæ oporu wyzaczamy a podstawie pomiarów apiêcia i atê eia pr¹du, bêdzie to pomiar z³o oy.. W celu wyzaczeia ciep³a w³aœciwego cia³a ale y wyzaczyæ jego masê oraz okreœliæ przyrost temperatury spowodoway dostarczeiem okreœloej iloœci ciep³a. W tym celu ale y zwa yæ badae cia³o, zmierzyæ jego temperaturê pocz¹tkow¹ i koñcow¹ oraz okreœliæ dostarczoe ciep³o. Je eli eergia jest dostarczaa za pomoc¹ grzejika elektryczego, to ale y zmierzyæ apiêcie, atê eie pr¹du oraz czas przep³ywu pr¹du przez grzejik, a poadto ale y zaæ (lub wyzaczyæ) pojemoœæ ciepl¹ grzejika, czyli iloœæ ciep³a potrzeb¹ do ogrzaia grzejika o jede stopieñ. Z przytoczoych przyk³adów wyika, e pomiary z³o oe mog¹ byæ bardzo skomplikowae i wymagaæ wielu pomiarów prostych i czêsto dodatkowo zajomoœci sta- ³ych materia³owych lub sta³ych fizyczych. Wartoœci x wielkoœci fizyczej X s¹ wyzaczae doœwiadczalie (mówimy s¹ mierzoe). Wartoœæ dok³ada (rzeczywista, prawdziwa), któr¹ ozaczymy przez µ rz ie jest zaa. Rodzi siê pytaie, jak obliczyæ wartoœæ wielkoœci zmierzoej, która bêdzie dobrym oszacowaiem wartoœci dok³adej µ rz oraz jak oszacowaæ dok³adoœæ pomiarów a podstawie skoñczoej serii pomiarów azywaej tak e prób¹? Zagadieia te staowi¹ przedmiot aalizy iepewoœci pomiarów azywaej do iedawa rachukiem b³êdów. Aaliza iepewoœci pomiarów wymaga stosowaia odpowiedich pojêæ, które zosta¹ przedstawioe w rozdziale. Pojêcia te wprowadzimy zgodie z zaleceiami orgaizacji miêdzyarodowych sformu³owaymi w przewodiku Guide to the Expressio of Ucertaity i Measuremet [] oraz wytyczymi G³ówego Urzêdu Miar [] (patrz rówie opracowaia i podrêcziki [3 7, 9]).

12 . OBLICZANIE NIEPEWNOŒCI POMIARÓW Wyik awet ajstaraiej wykoaego pomiaru lub obserwacji obarczoy jest iepewoœci¹ odzwierciedlaj¹c¹ iedok³adoœæ wartoœci wielkoœci zmierzoej. Aaliza iepewoœci pomiarów jest bardzo istotym etapem ka dego eksperymetu zarówo w fazie jego projektowaia, wykoywaia jak i opracowywaia uzyskaych wyików. W tym rozdziale przedstawimy podstawowe pojêcia zwi¹zae z aaliz¹ iepewoœci pomiarów oraz przedstawimy ajczêœciej stosowae metody okreœlaia tych iepewoœci... Pojêcia podstawowe W roku 995 uzgodioo owe miêdzyarodowe ormy [ 4, 6, 7] dotycz¹ce termiologii i zasad wyzaczaia iepewoœci pomiarowych, których statut prawy jest taki sam, jak uregulowañ dotycz¹cych SI. Wyikiem pomiaru azywamy wartoœæ x przypisa¹ wielkoœci fizyczej X uzyska¹ drog¹ pomiaru. Niepewoœæ pomiaru jest miar¹ (zwi¹za¹ z wyikiem pomiaru) charakteryzuj¹c¹ rozrzut wyików pomiarów. Pod tym pojêciem rozumiemy miarê iedok³adoœci, z jak¹ zmierzoo da¹ wielkoœæ fizycz¹. Iymi s³owy, iepewoœæ pomiaru ozacza iloœciow¹ miarê aszej iepewoœci lub w¹tpliwoœci co do wartoœci wyiku pomiaru daej wielkoœci fizyczej. Niepewoœæ pomiaru ma wiele przyczy. Do ajwa iejszych zaliczamy [6, 7]: a) Niepe³¹ defiicjê wielkoœci mierzoej (okreœleie daej wielkoœci fizyczej jest tymczasowe w tym sesie, e mo e ulec zmiaie wraz z rozwojem auki). b) Niedok³ad¹ realizacjê tej defiicji (przyrz¹d, mierik, wzorzec ie jest ideal¹ realizacj¹ defiicji wielkoœci fizyczej, p. temperaturê okreœlamy jako czêœæ temperatury puktu potrójego wody, ale ie istieje idealie czysta woda, pozbawioa jakichkolwiek domieszek; podobie wzorzec czasu jest œciœle zwi¹zay z prêdkoœci¹ œwiat³a, wiêc udok³adieie pomiaru prêdkoœci œwiat³a wp³yie zapewe a wzorzec czasu). c) Niereprezetatywoœæ serii wyików pomiarów (p. zbyt ma³a liczba pomiarów). d) Niedok³ad¹ zajomoœæ czyików zewêtrzych (p. wp³ywu otoczeia a przebieg pomiarów) lub ich iedok³ady pomiar.

13 e) B³êdy pope³iae przez obserwatora podczas odczytów wskazañ przyrz¹dów aalogowych. f) Skoñczo¹ zdoloœæ rozdzielcz¹ stosowaych w pomiarach przyrz¹dów. g) Niedok³adoœæ stosowaych wzorców i materia³ów odiesieia. h) Niedok³ade wartoœci sta³ych lub parametrów pochodz¹cych z iych Ÿróde³. i) Przybli eia i za³o eia upraszczaj¹ce przyjête w pomiarach lub procedurze pomiarowej. j) Zmiay kolejych wyików pomiarów wielkoœci mierzoej w pozorie idetyczych warukach. Miar¹ iepewoœci mo e byæ p. odchyleie stadardowe (patrz rozdzia³.), po³owa przedzia³u ufoœci odpowiadaj¹cego okreœloemu poziomowi ufoœci (patrz rozdzia³.3.) lub iepewoœæ wyikaj¹ca z klasy przyrz¹du pomiarowego (patrz rozdzia³.3.). Niepewoœæ pomiarów zawiera a ogó³ wiele sk³adików. Niektóre z ich wyzaczamy a podstawie statystyczej aalizy wyików serii pomiarów (patrz rozdzia³.), ie obliczamy korzystaj¹c z dodatkowych iformacji oraz doœwiadczeia abytego przez osobê wykouj¹c¹ eksperymety. Zak³adamy, e wyik pomiaru staowi ajlepsze w daych warukach eksperymetalych oszacowaie wartoœci wielkoœci mierzoej, a wszystkie sk³adiki iepewoœci pomiaru wosz¹ swój udzia³ do rozrzutu uzyskaych wyików pomiarów. Niepewoœci¹ stadardow¹ azywamy iepewoœæ wyra o¹ poprzez odchyleie stadardowe s (patrz rozdz..). B³êdem pomiaru azywamy ró icê δ miêdzy wyikiem pomiaru x a wartoœci¹ rzeczywist¹ µ rz wielkoœci mierzoej: δ = x µ rz. (.) Z uwagi a to, e wartoœæ rzeczywista µ rz ie jest zaa dok³adie zamiast iej stosuje siê jej oceê uzyska¹ a podstawie wyików pomiarów. Zak³adamy przy tym [8], e wartoœæ prawdziwa µ rz istieje i pozostaje sta³a podczas pomiarów, a wyik pomiaru staowi jedyie oszacowaie mierzoej wartoœci, której prawdziwa wartoœæ pozostaje iezaa. W przypadku skoñczoej serii pomiarów prostych za oceê wartoœci rzeczywistej przyjmuje siê œredi¹ arytmetycz¹ x (patrz rozdz..). B³êdem przypadkowym δ p azywamy ró icê miêdzy wyikiem pomiaru x a wartoœci¹ œredi¹ z du ej liczby pomiarów ozaczo¹ symbolem x δ p = x x Niepewoœci¹ przypadkow¹ azywamy ró icê miêdzy wyikiem pomiaru x a wartoœci¹ œredi¹ x z serii pomiarów (próby) δ = x x p 3

14 Powtarzaj¹c wielokrotie pomiar wielkoœci fizyczej uzyskujemy ró e wyiki. Je eli wyiki pomiarów obarczoe s¹ tylko b³êdami przypadkowymi, to rozk³adaj¹ siê oe wokó³ wartoœci rzeczywistej µ rz, a ich rozrzut charakteryzuje dok³adoœæ pomiaru. Niepewoœci przypadkowe mog¹ wyikaæ z w³asoœci badaego obiektu. Przypuœæmy, e mierzymy wielokrotie œredicê drutu. Œredica ta mo e byæ ró a w ró ych miejscach, a poadto przekrój drutu mo e ie byæ ko³owy. Niepewoœci przypadkowe mog¹ byæ cech¹ przyrz¹du pomiarowego, byæ wyikiem wp³ywu losowo zmieiaj¹cych siê czyików zewêtrzych a dzia³aie przyrz¹du pomiarowego lub zachowaie siê obiektu mierzoego. Niepewoœci przypadkowe mog¹ byæ rówie powodowae przez eksperymetatora, p. przez ró ice w docisku œruby mikrometryczej, ustawieie œruby pod pewym k¹tem do osi drutu w przyk³adzie omawiaym wczeœiej. Niepewoœci przypadkowe odgrywaj¹ bardzo istot¹ rolê w pomiarach subiektywych, to jest w pomiarach, podczas których czujikiem jest eksperymetator. Przyk³adami takich pomiarów s¹ pomiary czasu za pomoc¹ stopera, w których wyik jest uzale ioy od czasu reakcji eksperymetatora, pomiary optycze, w których ale y stwierdziæ jedakowe oœwietleie dwóch s¹siaduj¹cych ze sob¹ obszarów (pomiary efektu Faradaya, pomiary sacharymetrem lub fotometrem), ostroœæ obrazu (pomiary ogiskowych soczewek oraz pomiary mikroskopowe), ostroœci plamki a ekraie oscyloskopu (pomiar stosuku e/m elektrou), jedakow¹ barwê, zaik pr¹du w metodach mostkowych i kompesacyjych. Niepewoœci przypadkowych ie mo a uik¹æ, mo a je jedak oszacowaæ wykorzystuj¹c metody statystyki matematyczej. B³êdem systematyczym azywamy ró icê miêdzy œredi¹ x z ieskoñczoej serii pomiarów wykoaych w warukach powtarzaloœci a wartoœci¹ rzeczywist¹ µ rz wielkoœci mierzoej = x µ rz. (.4) B³êdy systematycze wyikaj¹ ze z³ej jakoœci lub rozregulowaia przyrz¹dów pomiarowych, iew³aœciwej metody pomiaru lub wp³ywu czyików zewêtrzych a wyiki pomiarów. Przyk³adem mo e byæ pomiar d³ugoœci za pomoc¹ metalowej liijki lub taœmy miericzej, a któr¹ aiesioo skalê w temperaturze zaczie odbiegaj¹cej od temperatury, w której odbywa siê pomiar (liijka zmieia swoj¹ d³ugoœæ pod wp³ywem zmia temperatury). Iym przyk³adem b³êdu systematyczego jest zaiedbaie si³y wyporu dzia³aj¹cej a cia³o w powietrzu podczas wa eia. B³êdy systematycze, spowodowae okreœlo¹ przyczy¹, maj¹ te sam zak. Elimiacja b³êdów systematyczych jest bardzo truda i wymaga staraej aalizy waruków pomiaru oraz doboru odpowiedich przyrz¹dów pomiarowych. B³êdy systematycze mo emy zmiejszyæ wprowadzaj¹c (je eli jest to mo - liwe) odpowiedie poprawki. 4

15 Przyk³adem iech bêdzie pomiar czasu zawodików bieg¹cych a 00 m. Niech precyzyjy stoper elektroiczy bêdzie uruchamiay za pomoc¹ czujika akustyczego umieszczoego a liii mety. Czujik reaguje a wystrza³ startera, który stoi obok liii startu. Zatrzymaie stopera odbywa siê za pomoc¹ fotokomórki. Czas potrzeby a to aby dÿwiêk dotar³ do mety wyosi oko³o 0,3 s. Czas zmierzoy przez taki uk³ad pomiarowy bêdzie wiêc zai oy. W poprawie zaprojektowaym uk³adzie pomiarowym czujik akustyczy powiie byæ umieszczoy obok liii startu. Czas przejœcia impulsu elektryczego (rozchodz¹cego siê z prêdkoœci¹ œwiat³a) od liii startu do mety jest do zaiedbaia. Gdybyœmy jedak mierzyli prêdkoœæ cz¹stki poruszaj¹cej siê z prêdkoœci¹ zbli o¹ do prêdkoœci œwiat³a, to zaiedbaie czasu przejœcia syga³u elektryczego by³oby b³êdem dyskwalifikuj¹cym uzyskay wyik. B³êdy pomiaru δ, b³êdy przypadkowe δ p oraz b³êdy systematycze spe³iaj¹ astêpuj¹c¹ relacjê: δ = x µ rz = x x + x µ rz = δ p + (.5) Z relacji x = µ rz + + δ p wyika, e rezultaty pomiarów obarczoych b³êdem systematyczym rozk³adaj¹ siê wokó³ wartoœci przesuiêtej o wzglêdem wartoœci rzeczywistej. Krzywa a a rys.. przedstawia gêstoœæ prawdopodobieñstwa (patrz rozdzia³y..3 i..4) wyików pomiarów obarczoych tylko b³êdami (iepewoœciami) przypadkowymi. Fukcja ta osi¹ga maksimum dla wartoœci x = µ rz. Krzywa b przedstawia fukcjê rozk³adu wyików obarczoych b³êdem systematyczym oraz iepewoœciami przypadkowymi. W praktyce laboratoryjej spotykamy czasami b³êdy grube, które powstaj¹ zazwyczaj wskutek pomy³ki eksperymetatora. Poi ej omówimy kilka przyk³adów b³êdów grubych. Rys... Krzywe rozk³adu wyików pomiarów: a obarczoych tylko iepewoœciami przypadkowymi, b iepewoœciami przypadkowymi oraz b³êdem systematyczym, µ rz rzeczywista wartoœæ wielkoœci mierzoej Przyk³ady Mierz¹c œredicê drutu œrub¹ mikrometrycz¹ uzyskao wyik,34 mm, a zaotowao,34 m; podczas pomiaru wielkoœci z³o oej korzystao z kilku mierików i zamiast wskazañ amperomierza zaotowao odczyt ze stopera (takie pomy³ki te siê zdarzaj¹). B³êdy grube mog¹ byæ spowodowae rówie zastosowaiem ieodpowiediej metody pomiarowej. Wyobra- Ÿmy sobie pomiar œredicy itki wykoa- 5

16 ej z we³y za pomoc¹ œruby mikrometryczej. Przyrz¹d pomiarowy, którym dyspoujemy, jest bardzo dok³ady, odczyt jest prawid³owy, a uzyskae wyiki s¹ bezwartoœciowe! Zabaw¹ ilustracj¹ b³êdu grubego jest Ballada o pó³ocy pióra Adrzeja Waligórskiego, któr¹ zamieszczamy dziêki yczliwoœci i za zgod¹ oy autora. Ballada o pó³ocy Adrzej Waligórski Pradawym czasom ho³d i czeœæ, Tyle w ich krzepkiej mocy! Mia³ porwaæ dziewkê Dreptak keÿ W godziê po pó³ocy. Wiêc ubra³ siê w elazy z³om I siad³ w kozackie czó³o I a zegarek spojrza³ o, A te wskazywa³ pó³oc! Zepchêli ³ódŸ a rw¹cy pr¹d Keziowi dwa wasale I oto keÿ opuœci³ l¹d I puœci³ siê a fale. I dzielie z urtem walczy³ chwat, A dem o piasek szur¹³, i spojrza³ zów a cyferblat, A tam zów by³a pó³oc... Lecz oto zar a³ w krzakach koñ Ukryty tam przemyœlie KeŸ skoczy³, chwyci³ cugle w d³oñ I cwa³em jak ie pryœie! I pêdzi³ tak przez d³u szy czas, Bo drogê mia³ okól¹, A kiedy wreszcie z koia zlaz³ Zegar wskazywa³ pó³oc... Gdy zaœ u zamku sta¹³ bram, By porwaæ sw¹ dzierlatkê, Nie zasta³ wcale pay tam, Tylko iedu ¹ kartkê: Przemarz³am i chce mi siê jeœæ, ZajdŸ sobie i¹ dur¹ Paie spóÿialski! BuŸka, czeœæ! KeŸ spojrza³ zowu pó³oc. Zarycza³ Dreptak iczym lew Lub jak armati wystrza³ I pomk¹³ tam, gdzie widia³ sklep Starego zegarmistrza. I wszed³ i sta¹³ chrobry m¹ I poœród ³ez wyj¹ka³: Dlaczego u mie pó³oc wci¹? Bo to rzek³ mistrz jest kompas... Jeœli przytrafi siê pope³iæ b³êdy grube, zazwyczaj ³atwo jest je zauwa yæ. Uwzglêdieie wyiku pomiaru obarczoego b³êdem grubym prowadzi do absurdalych, a przez to ³atwo zauwa alych wyików. Rezultaty pomiarów obarczoych b³êdami grubymi ale y odrzuciæ, a pomiary powtórzyæ. Jak ju wspomiao, g³ówymi celami aalizy iepewoœci pomiarów s¹: okreœleie ajlepszej w daych warukach eksperymetalych ocey wartoœci rzeczywistej oraz obliczeie iepewoœci pomiarów. Zadaia te realizujemy: Za pomoc¹ statystyczej aalizy serii wyików pomiarów; te sposób osi w literaturze Ÿród³owej [ 4, 6, 7, 9 4] azwê ocey iepewoœci metod¹ A. 6

17 Wykorzystuj¹c dodatkowe iestatystycze iformacje p. wielkoœæ dzia³ki elemetarej przyrz¹du lub klasê przyrz¹du; te sposób osi w literaturze przedmiotu [ 4, 6 9]) azwê ocey iepewoœci metod¹ B. Statystycze szacowaie iepewoœci pomiarów oparte jest a metodach rachuku prawdopodobieñstwa oraz statystyki matematyczej [5]. Te sposób szacowaia jest powszechie wykorzystyway w laboratorium studeckim dlatego zostaie omówioy w dalszej czêœci podrêczika. W drugiej metodzie wykorzystuje siê wszelkie dostêpe iformacje o czyikach wp³ywaj¹cych a iepewoœci pomiarów p. dae z poprzedich pomiarów, posiadae doœwiadczeie, zajomoœæ zjawisk towarzysz¹cych pomiarowi, w³asoœci przyrz¹dów pomiarowych i badaych materia³ów lub obiektów, iformacje podae przez produceta itd. Te sposób szacowaia iepewoœci jest trudiejszy i wymaga zaczego doœwiadczeia, z tego wzglêdu ie jest stosoway w laboratorium studeckim. Zaiteresowaym iestatystyczymi metodami szacowaia iepewoœci pomiarów polecamy pozycje [ 8]) podae w spisie literatury... Statystycza aaliza wyików i iepewoœæ pomiarów Obecie udzielimy odpowiedzi a postawioe wczeœiej pytaia: Jak wyzaczyæ wartoœæ wielkoœci zmierzoej, która jest dobrym oszacowaiem wartoœci dok³adej µ rz? Jak oszacowaæ dok³adoœæ pomiarów a podstawie skoñczoej serii pomiarów? W statystyczej metodzie ocey iepewoœci pomiarowych zak³ada siê, e mierzoa wielkoœæ X jest zmie¹ losow¹, a wyiki {x,..., x } jej -krotego pomiaru traktuje siê jako -elemetow¹, skoñczo¹ próbê (skoñczo¹ seriê) z ieskoñczoej serii pomiarów, któr¹ tworz¹ wszystkie mo liwe do otrzymaia wyiki pomiarów. Do tak zdefiiowaej skoñczoej próby stosuje siê metody rachuku prawdopodobieñstwa i statystyki matematyczej [ 5]. Przyjêcie takiego za³o eia ozacza, e wielkoœæ fizycza X przyjmuje ka d¹ ze zmierzoych wartoœci {x,..., x } z prawdopodobieñstwami odpowiedio p,..., p. Przypadek, gdy wielkoœæ fizycza X ma ci¹g³y zbiór wartoœci jest ieco trudiejszy i bêdzie omówioy w rozdzia³ach Œredia arytmetycza, wariacja i odchyleie stadardowe z próby Przypuœæmy, e -krotie powtórzyliœmy pewie pomiar (w jedakowych stabilych warukach) i otrzymaliœmy seriê rezultatówów, które ozaczymy symbolami x,..., x i azwiemy prób¹. Bêdziemy zajmowaæ siê tylko takimi pomiarami, których wyiki ie s¹ idetycze. Ich ieidetyczoœæ mo e mieæ wielorakie przyczyy iedoskoa³oœæ przyrz¹du pomiarowego, losowo zmieiaj¹ce siê czyiki zewêtrze 7

18 dzia³aj¹ce a przyrz¹d, iestabiloœæ uk³adu (ie przyczyy s¹ wymieioe w poprzedim rozdziale). Podczas pomiarów, w których czujikiem jest eksperymetator, jed¹ z przyczy otrzymaia ró ych wyików mo e byæ zmiey czas reakcji lub subiektywe odczucie eksperymetatora. Podae tutaj przyczyy uzasadiaj¹ przyjêcie przez as za³o eia o tym, e mierzoa wielkoœæ fizycza jest zmie¹ losow¹. Wielkoœæ rozrzutu wyików pomiarów wokó³ rzeczywistej wartoœci mierzoej zale y od sposobu ich wykoaia. Im dok³adiejszy jest przyrz¹d pomiarowy i im wiêcej czyików wp³ywaj¹cych a wyiki pomiaru bêdzie kotrolowaæ eksperymetator, tym miej bêd¹ siê oe ró iæ miêdzy sob¹. Do opisu zbioru wyików pomiarów u ywa siê astêpuj¹cych charakterystyk liczbowych (zwaych tak e wskaÿikami): œrediej arytmetyczej x x =... + x + + x = x i, i= wokó³ której le ¹ wyiki pojedyczych pomiarów, wariacji (dok³adiej wariacji z próby) (.6) s = [( x ] = x x) + ( x x) ( x x) ( xi x), i= (.7) która jest miar¹ (jed¹ z wielu) iepewoœci pomiaru (rozrzutu) pojedyczych pomiarów wokó³ œrediej arytmetyczej x, odchyleia stadardowego pojedyczego pomiaru (dok³adiej odchyleia stadardowego pojedyczego pomiaru z próby) s x = = ( x i x). (.8) Poza wymieioymi tutaj wskaÿikami u ywa siê jeszcze wiele iych, p. mediaê, kwartyle, skoœoœæ i kurtozê (zosta³y oe przedstawioe w podrêcziku [5]). Miarami iepewoœci œrediej arytmetyczej x s¹ astêpuj¹ce ilorazy: oraz s x s x = = ( ) i= ( x i x) (.9) s x = s x = ( ) i= ( x i x). (.0) 8

19 x Liczbê s azywamy wariacj¹ (z próby), a liczbê s x odchyleiem stadardowym (z próby) œrediej arytmetyczej x. Aby obliczyæ podae wskaÿiki charakteryzuj¹ce wyiki pomiarów, pos³ugujemy siê kalkulatorami lub komputerem. Prawie wszystkie kalkulatory obliczaj¹ sumy i x x i sumy kwadratów x i, a maj¹c te wielkoœci, mo emy obliczyæ wariacjê s w prosty sposób z astêpuj¹cego wzoru: s x = x i i= xi i=. (.) Przyk³ad Zmierzoo 0 razy œredicê drutu. Wyiki pomiarów zestawioe s¹ w drugiej kolumie tabeli.. Nale y obliczyæ œredi¹ arytmetycz¹ x, wariacjê s x, odchyleie stadardowe s x oraz odchyleie stadardowe s x œrediej arytmetyczej x. Jeœli dyspoujemy kalkulatorem obliczamy ajpierw sumê,78 +, ,78 = 7,99 oraz sumê kwadratów,78 +, ,78 = 3,3657 (patrz tabela.). Œredi¹ arytmetycz¹ obliczamy wed³ug wzoru (.6) 7,99 mm x = =,799 mm, 0 Tabela. i x i [mm] x i [mm ],78 3,684,8 3,34 3,80 3,400 4,8 3,76 5,79 3,04 6,79 3,04 7,8 3,76 8,80 3,400 9,8 3,76 0,78 3,684 7,99 3,3657 9

20 wariacjê wed³ug wzoru (.) = 3,3657 mm 9 (7,99 mm) 0 =, s mm x Odchyleie stadardowe (ozaczoe liczb¹ s x ) jest rówe pierwiastkowi kwadratowemu z wariacji:. s x =, mm a odchyleie stadardowe s x œrediej x jest rówe odchyleiu stadardowemu s x podzieloemu przez 0 sx,370 0 mm s x = = = 0,433 0 mm Wspó³czyik korelacji (z próby) Jeœli rówoczeœie mierzymy dwie wielkoœci fizycze X i Y, to wyiki pomiarów zapisujemy w postaci par (x, y ), (x, y ),..., (x, y ). Do opisu takiej próby u ywa siê, poza œredimi arytmetyczymi x i y, wariacjami s x i s y oraz odchyleiami stadardowymi s x i s y obu mierzoych wielkoœci z osoba, wskaÿika okreœloego wzorem r x, y = i= i= ( x i ( x i x) x)( y i i= y) ( y Jeœli wprowadzimy ozaczeie i y). (.) s x, y = ( xi x)( yi y ) i= to otrzymujemy bardziej zwart¹ postaæ tego wzoru x y, (.3) s x, y rx, y =. (.4) s s Aby obliczyæ wyra eie s x,y wystêpuj¹ce w licziku, ale y skorzystaæ ze wzoru 0

21 s x, y = xi y i= i xi i= i= yi. (.5) W celu obliczeia s x i s y ale y pos³u yæ siê wzorem (.). Wspó³czyik korelacji (lub korelacja z próby), charakteryzuje liiow¹ zale - oœæ pomiêdzy wyikami dwu rówoczeœie wykoaych pomiarów. Zauwa my, e r x,y = r y,x oraz e r x,x =. Mo a te udowodiæ, e wartoœci tego wspó³czyika zawarte s¹ w przedziale [,+]. Jeœli przyjmuje o wartoœæ, to wszystkie pukty (x i, y i ) le ¹ a prostej tworz¹cej k¹t ostry z osi¹ OX, a jeœli, to k¹t rozwarty. Ma³e wartoœci wskazuj¹ a to, e ie ma zwi¹zku pomiêdzy mierzoymi wielkoœciami. Jeœli wykoujemy rówoczeœie wiêcej i dwa pomiary, to mo emy obliczyæ wspó³czyiki korelacji dla ka dej pary. Przyk³ad W tabeli. podae s¹ wyiki piêciokrotych rówoczesych pomiarów apiêcia V [V] i atê eia pr¹du I [ma] oraz k¹ta ϕ [rad]. Tabela. i V I ϕ [V] [ma] [rad] 5,0,6,045 4,9,4, ,0,7, ,9,5,04 5 4,8,6,045 Mo emy obliczyæ 3 wspó³czyiki korelacji: r V,I, r V,φ oraz r I,φ. Zacze uproszczeie w rachukach uzyskujemy, gdy wyiki obliczeñ pomociczych zapiszemy w odpowiediej tabeli dla pierwszego jak w tabeli.3. Na podstawie wzorów (.8) i (.5) otrzymujemy s V = 4,6, = 0,0070 V s I = 4 7,8, 5 = 0,030 ma

22 Tabela.3 V I V I VI 5,0,6 5,00,56 8,00 4,9,4 4,0,96 6,80 5,0,7 5,00,89 8,50 4,9,5 4,0,5 7,35 4,8,6 3,04,56 7,68 4,6 7,8,06, 38,39 oraz 4,6 7,8 s V, I = 38,39 = 0,0035 V ma 4 5. Po podstawieiu obliczoych wielkoœci do wzoru (.4), zajdujemy sv, I 0,0035 V ma r V, I = = = 0,3669. s s 0,0837 V 0,40 ma V I Podobie obliczamy pozosta³e dwa wspó³czyiki korelacji r V,φ = 0,373 oraz r I,φ = 0,8540. Zapisae w postaci macierzy r r r V, V I, V φ, V r V, I r r I, I φ, I r V, φ r r I, φ φ, φ = 0,37 0,33 0,37 0,85 0,33 0,85 tworz¹ oe tzw. macierz korelacji (z próby). Wszystkie omówioe tutaj wielkoœci œredia arytmetycza, wariacja, odchyleie stadardowe i korelacja (z próby) maj¹ pew¹ wa ¹ w³asoœæ, miaowicie, stabilizuj¹ siê wokó³ pewych liczb, gdy liczba wykoaych pomiarów, a podstawie których je obliczoo, roœie. W tabeli.4 podao œredie arytmetycze, odchy- Tabela x 3,738 3,749 3,773 3,773 s x ( 0 5 ) 0,084 0,79 9,67 8,953 s x ( 0 5 ) 3,89,43 0,97 0,633 U yte tutaj stwierdzeie stabilizuj¹ siê ale y rozumieæ w sesie zmierzaj¹ do, d¹ ¹ do.

23 leia stadardowe oraz odchyleia stadardowe œrediej dla = 0, 0, 00 i 00 pomiarów tej samej wielkoœci fizyczej wykoaych w stabilych warukach. Zwiêkszeie liczby pomiarów powio tylko iezaczie zmieiæ wartoœæ œrediej arytmetyczej x i odchyleia stadarowego s x obliczoych a podstawie = 00 pomiarów. Natomiast odchyleie stadardowe œrediej s x bêdzie zbli aæ siê do zera wraz ze wzrostem wielkoœci próby...3. Histogramy Jeœli wyików pomiarów w próbie wielkoœci X jest wiele, wygodie jest je pogrupowaæ. W tym celu wyzaczamy ajpierw ajmiejsz¹ x mi oraz ajwiêksz¹ x max wartoœæ zmierzo¹, które okreœlaj¹ przedzia³ x mi, x max, w którym le ¹ wszystkie pozosta³e wyiki pomiarów. Nastêpie dzielimy przedzia³ x mi, x max a k > podprzedzia³ów (zazwyczaj o jedakowej d³ugoœci) i zajdujemy liczby pomiarów ale ¹cych do poszczególych podprzedzia³ów. Liczbê k dobiera siê tak, aby w ka - dym przedziale zawiera³o siê kilkaaœcie pomiarów. Uzyskae wyiki przyjêto przedstawiaæ w tabeli (patrz tabela.5). Przyk³ad 3 W jedakowych warukach zmierzoo 00 razy czas opadaia ciê arka, przy ustaloym momecie bezw³adoœci, krzy a Oberbecka. Uzyskae wyiki pomiarów (przedstawioe w ca³oœci w tabelach 0 i ) pogrupowae w k = klasach (podprzedzia³ach) przedstawioe s¹ w tabeli.5. Liczby zawarte w trzeciej kolumie, azywae zaobserwowaymi czêstoœciami tworz¹ tzw. szereg rozdzielczy, a w czwartej kolumie skumuloway szereg rozdzielczy. Tabela.5 Góre graice Czêstoœci Czêstoœci klas zaobserwowae skumulowae 3,695 3, , , , , , , , ,

24 Zazwyczaj czêstoœci te przedstawia siê graficzie w postaci histogramów (zwaych histogramami empiryczymi. Histogram czêstoœci zaobserwowaych skostruoway jest w te sposób, e ad ka dym przedzia³em wykreœlamy prostok¹t o wysokoœci rówej liczbie zawartych w im obserwacji. Histogram czêstoœci skumulowaych ró i siê od poprzediego tylko tym, e wysokoœci prostok¹tów s¹ rówe skumulowaym czêstoœciom. Rysuek. przedstawia histogram, a rys..3 skumuloway histogram daych z tabeli.5. graice klas Rys... Histogram daych zawartych w tabeli.5 graice klas Rys..3. Skumuloway histogram daych zawartych w tabeli.5 4

25 ..4. Gêstoœæ rozk³adu prawdopodobieñstwa Histogramy maj¹ podob¹ w³asoœæ jak œredie arytmetycze i wariacje z próby. Stabilizuj¹ siê, jeœli liczba pomiarów wzrasta. Poadto, jeœli liczba ró ych pod wzglêdem wartoœci pomiarów roœie, to mo emy zwiêkszaæ liczbê przedzia³ów, a które dzielimy przedzia³ zawieraj¹cy wszystkie obserwacje, a w kosekwecji otrzymywaæ coraz g³adszy histogram. Fukcjê, do której zbli a siê histogram zaobserwowaych czêstoœci (uormoway tak, aby suma pól wszystkich prostok¹tów by³a rówa ), azywamy gêstoœci¹ prawdopodobieñstwa. Gêstoœci¹ mo e byæ ka da fukcja f(x) okreœloa a zbiorze liczb rzeczywistych R, która spe³ia astêpuj¹ce dwa waruki:. f(x) 0 dla wszystkich x R. +. f ( x)dx =. (.6) Jeœli wyik pomiaru mierzoej wielkoœci podlega rozk³adowi o gêstoœci f(x), to prawdopodobieñstwo tego, e bêdzie o zawarty w przedziale (a,b) wyra a siê ca³k¹ b P(( a, b)) = f ( x) dx. (.7) a Geometryczie prawdopodobieñstwo P((a,b)) przedstawia pole obszaru ad przedzia³em (a,b) pod wykresem fukcji f(x). Jeœli x reprezetuje wyik pomiaru jaki uzyska eksperymetator, gdy wykoa pomiar, to zamiast symbolu P((a,b)), ozaczaj¹cego prawdopodobieñstwo, e zajdzie siê o w przedziale (a,b), bêdziemy pisaæ P(a < x < b). Wzór (.7) przyjmuje wówczas postaæ P( a < x < b) = f ( x )dx. b a (.8) Iterpretacja czêstoœciowa prawdopodobieñstwa P(a < x < b) jest astêpuj¹ca: Jeœli wyiki pomiaru mierzoej wielkoœci podlegaj¹ rozk³adowi o gêstoœci f(x) i jeœli wykoamy seriê iezale ych pomiarów, to oczekujemy, e w przybli eiu P(a < X < b) 00% wyików pomiarów wpadie do przedzia³u (a,b). Liczbê P(a < X < b) azywamy oczekiwa¹ liczb¹ obserwacji w przedziale (a,b) w próbie o liczeboœci. Poowie u yty zwrot stabilizuj¹ siê ozacza, e przy wzroœcie liczby pomiarów d¹ ¹ oe do graiczej fukcji zwaej gêstoœci¹ prawdopodobieñstwa. 5

26 W bardzo wielu sytuacjach, jako gêstoœæ prawdopodobieñstwa mo a przyj¹æ fukcjê Gaussa (zale ¹ od dwóch parametrów µ R i σ R + ) okreœlo¹ dla wszystkich liczb rzeczywistych x wzorem f ( x) = exp ( x µ ). (.9) σ π σ Mo a pokazaæ, e spe³ia oa waruki (.6) dla podaych wartoœci parametrów µ i σ. Maksimum, wyosz¹ce ( σ π ), osi¹ga w pukcie x = µ; jest symetrycza wzglêdem prostej x = µ, tz. f(µ x) = f(µ + x) (.0) dla wszystkich x > 0. Jeœli gêstoœæ prawdopodobieñstwa ma postaæ (.9), to mówimy o rozk³adzie ormalym. Ozacza siê go symbolem N(µ,σ ). Rysuek.4 przedstawia wykres gêstoœci prawdopodobieñstwa rozk³adu ormalego N(0,). Zakreœloe pole przedstawia prawdopodobieñstwo pojawieia siê wyiku obserwacji w przedziale (8,9). Czêsto odpowiedim rozk³adem prawdopodobieñstwa jest te rozk³ad o gêstoœci postaci λ exp( λx), gdy x > 0, f ( x) = (.) 0, gdy x 0, gdzie λ > 0 jest parametrem rozk³adu. Rozk³ad te azywamy rozk³adem wyk³adiczym i ozaczamy go symbolem E(λ). Rysuek.5 przedstawia wykres gêstoœci prawdopodobieñstwa rozk³adu wyk³adiczego E(). Zakreœloe pole przedstawia prawdopodobieñstwo pojawieia siê obserwacji w przedziale (0,5, ). 6 Rys..4. Gêstoœæ rozk³adu ormalego N(0,)

27 Rys..5. Gêstoœæ rozk³adu wyk³adiczego E()..5. Wykres ormaly Rozk³ad ormaly jest czêsto bardzo dogodym opisem wyików pomiarów. W zwi¹zku z tym opracowao wiele metod, które wskazuj¹, czy za³o eie o ormaloœci mo emy przyj¹æ. Jed¹ z ich jest metoda graficza, polegaj¹ca a skostruowaiu tzw. wykresu ormalego. Tworz¹ go pukty o wspó³rzêdych 3 ( ), Φ i x i, (.) 3 + gdzie jest wielkoœci¹ próby, a x (i) jest i-t¹ co do wielkoœci obserwacj¹ w próbie. Symbol Φ ozacza fukcjê odwrot¹ wzglêdem fukcji Φ( x) = π x exp t dt, x R. (.3) Jeœli aiesioe pukty ie uk³adaj¹ siê wzd³u prostej, to przyjêcie za³o eia o ormaloœci rozk³adu ie jest wskazae. Przyk³ad 4 Na rysuku.6 podao wykres ormaly puktów o wspó³rzêdych (.) dla 0 pierwszych wyików pomiarów czasu opadaia ciê arka krzy a Oberbecka zamieszczoych w tabelach 0 i. Wypisao je, po uporz¹dkowaiu wed³ug wielkoœci, w drugiej kolumie w tabeli.6. Poiewa otrzymae pukty uk³adaj¹ siê wzd³u prostej, za³o eie o ormaloœci ie powio budziæ w tym przypadku w¹tpliwoœci. 7

28 Rys..6. Wykres ormaly pomiarów x (i) zamieszczoych w tabeli.6 i x 3i (i) Φ 6 3,696,84 3,70,39 3 3,707, 4 3,709 0,94 5 3,709 0, ,7 0, ,74 0, ,74 0,33 9 3,77 0,86 0 3,77 0,06 3,79 0,06 3,79 0,86 3 3,79 0,33 4 3,7 0, ,7 0, ,73 0, ,73 0,94 8 3,75, 9 3,730,39 0 3,733,84 Tabela.6 8

29 Warto pamiêtaæ o tym, e rozk³ad ormaly staowi tylko przybli eie rozk³adów, jakim podlegaj¹ wyiki pomiarów. Trudo a przyk³ad wyobraziæ sobie, aby wyik pomiaru odleg³oœci by³ ujemy, gdy tymczasem kosekwecj¹ ka dego rozk³adu ormalego jest dodatie prawdopodobieñstwo pojawieia siê wyiku pomiaru z przedzia³u (,0). Prawdopodobieñstwo to jest jedak e zazwyczaj tak ma³e, e mo a je zigorowaæ...6. Wartoœæ œredia i wariacja Jeœli uormoway histogram pomiarów stabilizuje siê wokó³ gêstoœci prawdopodobieñstwa f(x), to: œredia arytmetycza x tych pomiarów stabilizuje siê wokó³ liczby okreœloej przez ca³kê + µ = x f ( x ) dx, (.4) zwa¹ wartoœci¹ œredi¹, wariacja (z próby) s stabilizuje siê wokó³ liczby okreœloej przez ca³kê σ + = ( x µ ) f ( x )dx, (.5) zwa¹ wariacj¹, odchyleie stadardowe (z próby) s stabilizuje siê wokó³ pierwiastka kwadratowego z wariacji σ, zwaego odchyleiem stadardowym. Zak³adamy, e obie ca³ki (.4) i (.5) istiej¹. Za oceê wartoœci œrediej µ mo emy wiêc przyj¹æ œredi¹ arytmetycz¹ x, za oceê wariacji σ, wariacjê (z próby) s, a za oceê odchyleia stadardowego σ, odchyleie stadardowe (z próby) s. Im wiêksza bêdzie liczba pomiarów, tym dok³adiejsze bêd¹ te ocey. Wyika to z podaych w³asoœci wartoœci œrediej i wariacji. Jeœli obliczymy ca³ki (.4) i (.5) dla gêstoœci rozk³adu ormalego N(µ,σ ), to oka e siê, e wartoœci¹ œredi¹ tego rozk³adu jest parametr µ, a wariacj¹ parametr σ (t³umaczy to u yte ozaczeia). Natomiast wartoœæ œredia i wariacja w rozk³adzie wyk³adiczym E(λ) s¹ odpowiedio rówe µ = /λ i σ = /λ...7. Dystrybuata rozk³adu prawdopodobieñstwa Jeœli za³o ymy, ze wyik pomiaru mierzoej wielkoœci podlega rozk³adowi ormalemu, mo emy obliczyæ wielkoœci przydate do charakteryzowaia iepewoœci otrzymaego wyiku pomiaru. Potrzebe bêd¹ do tego pewe owe pojêcia i wzory, z którymi siê teraz zapozamy. 9

30 Fukcjê rzeczywist¹ okreœlo¹ dla ka dego x R wzorem x F( x) = f ( t)dt, (.6) gdzie f(x) jest gêstoœci¹ prawdopodobieñstwa, azywamy dystrybuat¹. Z w³asoœci (.6) gêstoœci prawdopodobieñstwa wyika, e. 0 F(x).. F(x) jest fukcj¹ iemalej¹c¹. (.7) 3. F( ) = 0, F(+ ) =. Wartoœci¹ dystrybuaty F(x) w pukcie x R jest prawdopodobieñstwo otrzymaia wyiku pomiaru ale ¹cego do przedzia³u (, x). Prawdopodobieñstwo, e wyik pomiaru x zajdzie siê w przedziale (a, b), mo emy za pomoc¹ dystrybuaty zapisaæ w astêpuj¹cej postaci P(a < x < b) = F(b) F(a). (.8) Jeœli histogram zaobserwowaych czêstoœci stabilizuje siê po uormowaiu wokó³ gêstoœci prawdopodobieñstwa f(x), to histogram skumulowaych czêstoœci stabilizuje siê wokó³ dystrybuaty F(x) okreœloej wzorem (.6). Dystrybuata rozk³adu ormalego N(µ,σ ) wyra a siê wzorem x F( x) = exp ( t µ ) σ π σ a dystrybuata rozk³adu wyk³adiczego wzorem dt, (.9) 0, gdy x 0, F( x) = (.30) exp( λx), gdy x > 0. Wykres dystrybuaty rozk³adu ormalego N(0, ) przedstawioo a rys..7, a rozk³adu wyk³adiczego E() a rys Stadaryzoway rozk³ad ormaly Rozk³ad ormaly z parametrem µ = 0 oraz parametrem σ =, czyli rozk³ad N(0,), azywamy stadaryzowaym rozk³adem ormalym. Gêstoœæ stadaryzowaego rozk³adu ormalego (ozaczaa symbolem φ(x)) ma postaæ = φ( x) exp x π a dystrybuata (ozaczaa symbolem Φ(x)) postaæ (.3) 30

31 Rys..7. Dystrybuata rozk³adu ormalego N(0, ) Rys..8. Dystrybuata rozk³adu wyk³adiczego E() x Φ( x) = exp t dt π Z symetrii wyika, e Φ(x) + Φ( x) =, a st¹d (.3) Φ( x) = Φ(x). (.33) 3

32 Jeœli wyiki x pomiaru X podlegaj¹ rozk³adowi ormalemu N(µ,σ ), to uormowae wyiki pomiaru µ z = x (.34) σ podlegaj¹ rozk³adowi ormalemu N(0,). Jeœli F(x) jest dystrybuat¹ dowolego rozk³adu ormalego N(µ,σ ), to ³atwo pokazaæ, e µ F ( x) = Φ x. (.35) σ Jeœli dyspoujemy algorytmem obliczaj¹cym wartoœci dystrybuaty stadaryzowaego rozk³adu ormalego lub tablicami jej wartoœci, to korzystaj¹c ze wzoru (.35) mo emy w prosty sposób obliczyæ wartoœci dystrybuaty dowolego rozk³adu ormalego. Wartoœci dystrybuaty stadaryzowaego rozk³adu ormalego podae s¹ w tabeli dodatku. Przyk³ad 5 (cd. przyk³adu 3) W przyk³adzie 3 zosta³ skostruoway histogram i skumuloway histogram 00 wyików pomiarów pogrupowaych w klasach (tabela.5). Otrzymay histogram (rys..) sugeruje, e wyiki pomiarów mog¹ podlegaæ rozk³adowi ormalemu. Aby zaleÿæ ajlepiej dopasowa¹ do iego gêstoœæ rozk³adu ormalego, za oceê watoœci œrediej µ przyjmujemy œredi¹ arytmetycz¹ x = 3,77 (dok³adiejsza wartoœæ x = 3,77395), a za oceê odchyleia stadardowego σ odchyleie stadardowe (z próby) s = 0,009. Wykres gêstoœci ormalej z takimi parametrami zosta³ a³o oy a histogram, a wykres dystrybuaty, te z takimi parametrami, a skumuloway histogram (patrz rys..9 i rys..0). Aby przekoaæ siê, jak dobrze rozk³ad ormaly z wartoœci¹ œredi¹ x = 3,77 i odchyleiem stadardowym s = 0,009 pasuje do wyików pomiarów, powio siê te obliczyæ odpowiedie oczekiwae czêstoœci dla ka dej z dobraych klas. Oczekiwa¹ liczbê obserwacji w dowolym przedziale (a,b] obliczamy wed³ug wzoru b 3,77 a 3,77 00P(( a, b)) = 00 Φ Φ. 0,009 0,009 Na przyk³ad, jeœli a = 3,70 oraz b = 3,75, to 3 3,75 3,77 3,70 3,77 00 Φ Φ = 00 0,009 0,009 [ 0,63] = 00 0,86 = 37, 05 = 00 0,798 [ Φ( 0,835) Φ( 0,6) ]

33 jest oczekiwa¹ liczb¹ pomiarów w przedziale (3,70, 3,75]. Oczekiwae czêstoœci i oczekiwae skumulowae czêstoœci zapisao w dwóch ostatich kolumach w tabeli.7. Zarówo wykres ormaly przedstawioy a rys..6 jak i tabela.7 wskazuj¹ a to, e wyiki pomiarów czasu opadaia ciê arka krzy a Oberbecka podlegaj¹ rozk³adowi ormalemu. Tabela.7 Góra Czêstoœæ Czêstoœæ Czêstoœæ Czêstoœæ graica zaobser- skumulowaa oczekiwaa skumulowaa klasy wowaa zaobserwowaa oczekiwaa 3,695,40,40 3, ,3 5,6 3 3,705 9,75 7,37 4 3, ,33 4,70 5 3, ,57 79,7 6 3, ,4,5 7 3, , 59,6 8 3, ,74 83,35 9 3, ,3 94,67 0 3, ,0 98, ,3 00,00 liczba obserwacji góre graice klas Rys..9. Histogram daych z tabeli.5 wraz z gêstoœci¹ dopasowaia rozk³adu ormalego 33

34 liczba obserwacji góre graice klas Rys..0. Skumuloway histogram daych z tabeli.5 wraz z dystrybuat¹ dopasowaego rozk³adu ormalego..9. Obliczaie prawdopodobieñstw P(µ kσ, µ + kσ) dla rozk³adu ormalego Jeœli w eksperymecie wyiki pomiarów podlegaj¹ rozk³adowi ormalemu N(µ,σ ), to prawdopodobieñstwo tego, e pojedyczy wyik pomiaru X zajdzie siê w przedziale (µ kσ, µ + kσ), gdzie k > 0, obliczamy korzystaj¹c ze wzorów (.33) i (.35), w astêpuj¹cy sposób: P( µ kσ < X < µ + kσ ) = F( µ + kσ ) F( µ kσ ) µ + kσ µ µ kσ µ = Φ Φ = Φ ( k). (.36) σ σ Z (.36) i z tabeli przedstawioej w dodatku otrzymujemy, e P((µ σ, µ + σ)) = 0,687, P((µ σ, µ + σ)) = 0,9545, (.37) P((µ 3σ, µ + 3σ)) = 0,9973. Ze wzorów tych wyika, e w przypadku, gdy wyik pomiaru X podlega rozk³adowi ormalemu N(µ,σ ), to z prawdopodobieñstwem w przybli eiu rówym 0,68 zajdzie siê o w przedziale (µ σ, µ + σ), z prawdopodobieñstwem 0,95 w przedziale (µ σ, µ + σ) oraz z prawdopodobieñstwem 0,0997 w przedziale (µ 3σ, µ + 3σ). A zatem, jeœli -krotie powtórzamy pomiar, którego wyik podlega pewemu 34

35 rozk³adowi ormalemu, i jeœli jest du e, to mo emy oczekiwaæ, e w przybli eiu 68% pomiarów zajdzie siê w przedziale (x s x, x + s x ), 95 % w przedziale (x s x, x + s x ) oraz 99,7% w przedziale (x 3s x, x + 3s x ). Przyk³ad 6 Jeœli wyiki pomiarów czasu opadaia ciê arka, przy ustaloym momecie bezw³adoœci, krzy a Oberbecka podlegaj¹ rozk³adowi ormalemu, to procet pomiarów w przedzia³ach (x s, x + s) = (3,7083; 3,765), (x s, x + s) = (3,699; 3,7356) oraz (x 3s, x + 3s) = (3,690; 3,7447) powiie byæ w przybli eiu odpowiedio rówy wy ej podaym procetom (.37). Z tabeli odczytujemy, e wyosz¹ oe odpowiedio 66,5%, 95% oraz 00%. S¹ wiêc bardzo bliskie wielkoœciom oczekiwaym...0. Gêstoœæ dwuwymiarowego rozk³adu prawdopodobieñstwa Dla dwuwymiarowych wyików pomiarów (wprowadzoych w podrozdziale..; wtedy to dokoujemy jedoczesego pomiaru wielkoœci X i Y) ale y kostruowaæ dwuwymiarowy histogram. Jeœli liczba pomiarów w serii bêdzie wzrastaæ, to rówie taki dwuwymiarowy histogram bêdzie siê stabilizowaæ wokó³ pewej dwuwymiarowej fukcji. Fukcjê tê azywamy gêstoœci¹ prawdopodobieñstwa i ozaczymy symbolem f(x,y). Jest oa okreœloa dla wszystkich (x,y) R i ma astêpuj¹ce w³asoœci. f(x,y) f ( x, y)dydx =. (.38) Jeœli zachodzi relacja f(x,y) = g(x) h(y), gdzie g(x) jest gêstoœci¹ prawdopodobieñstwa wielkoœci X, a h(y) gêstoœci prawdopodobieñstwa wielkoœci Y, to mówimy, e wielkoœci X i Y s¹ iezale e.... Wspó³czyiki korelacji oraz macierz kowariacji i korelacji Wspó³czyik korelacji r x,y rówie stabilizuje siê wokó³ pewej liczby, zwaej korelacj¹. Jeœli dwuwymiarowy histogram stabilizuje siê wokó³ gêstoœci f(x,y), to wspó³czyik korelacji r x,y stabilizuje siê wokó³ liczby σ xy ρ x, y =, σ xσ (.39) y gdzie wyra eie w licziku, azywae kowariacj¹, okreœloe jest wzorem + + σ = ( x µ )( y µ ) f ( x, y)dydx, (.40) xy x y 35