METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU"

Transkrypt

1 METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU Celem każdego ćwiczeia w laboratorium studeckim jest zmierzeie pewych wielkości, a astępie obliczeie a podstawie tych wyików pomiarów wartości wielkości badaej. Rezultatem końcowym badań jest ie tylko otrzymay wyik liczbowy. Nie miej waże jest dokoaie ocey dokładości pomiaru oraz opracowaie wiosków końcowych. Warto zadać sobie pytaie: czy to, co zostało zmierzoe, ma ses i co z tego wyika? Aby wioski były wiarygode, ależy przeprowadzić aalizę iepewości i błędów pomiaru. Wielkość iepewości pomiaru pozwala a oceę rezultatu aszych badań. Niepewość względa pomiaru mieszcząca się w graicach od 0,1% do 10% jest typowa dla doświadczeń w laboratoriach studeckich. Niepewość rzędu kilkudziesięciu procet zmusza do zastaowieia, czy moża te pomiar wykoać dokładiej (ie przyrządy?, ia metoda?, może warto odrzucić któryś z pomiarów, jeśli wyraźie odbiega od pozostałych?). Wartość iepewości miejsza iż 0,1% też jest iepokojąca, poieważ taki i lepszy poziom dokładości moża uzyskać w ajlepszych laboratoriach aukowych. Dlatego jeśli wartość iepewości względej pomiaru jest miejsza iż 0,1%, warto zweryfikować prawidłowość obliczeń. Wśród wielu podejść do ocey iepewości pomiaru ajbardziej wskazae jest wyzaczaie iepewości stadardowej opartej a pojęciu zwaym odchyleiem stadardowym pomiaru (ozaczae zwykle jako S). Starszym i bardziej ostrożym podejściem do cey dokładości pomiaru jest ocea za pomocą iepewości maksymalej (ozaczae zwykle jako Δ). Metoda ta szczególie adaje się do szybkiego oszacowaia iepewości pomiaru. W iiejszym opracowaiu podae zostaą sposoby obliczeń iepewości stadardowej i maksymalej. Więcej iformacji o podstawach ocey dokładości pomiarów moża zaleźć w książce pt. Pracowia fizycza wspomagaa komputerowo, H.Szydłowski PWN (01).

2 I. Uwagi ogóle, które ależy stosować przy każdym pomiarze: Dokładość przeprowadzoego pomiaru zależy od wielu czyików, które moża podzielić a tzw. błędy i iepewości pomiarowe. Ia: Błędy pomiarowe dzielimy a trzy grupy: 1. błąd przybliżeia,. błąd przeoczeia (systematycze), 3. pomyłki. Błędy przybliżeia wyikają z uproszczeia waruków pomiaru lub ze stosowaia przybliżoych wzorów (p. przybliżeie siα=α dla małych kątów). Błędy przeoczeia (systematycze) wyikają z iedokładości użytych przyrządów, błędej metody pomiaru lub działaia trudo zauważalych czyików zewętrzych. Źle wykoaa liijka, źle wykalibroway mierik spowodują, że wyik będzie systematyczie miejszy lub większy od rzeczywistej wartości. Wykrycie źródła błędów systematyczych jest trude i wymaga porówaia użytych przyrządów ze wzorcem oraz dogłębej aalizy metody pomiaru. Przy wykoywaych w laboratorium studeckim ćwiczeiach zwykle zakładamy, że przyrządy są wole od błędów systematyczych. Pomyłki (błędy grube) powstają wskutek fałszywego odczytaia wskazań, błędego zapisaia wyiku itp. Pomyłki dają się łatwo zauważyć i wyelimiować, poieważ otrzymay wyik zaczie różi się od iych wyików pomiarów tej samej wielkości. Wyik uzyskay obarczoy błędem grubym w dalszej aalizie ależy pomiąć. Ib. Zbadaie przyczy iepewości pomiarowych pozwala a podzieleie wszystkich iepewości a: 1. iepewość wzorcowaia,. iepewość eksperymetatora, 3. iepewość przypadkową. 1. Niepewość wzorcowaia wyika ze stosowaia wzorców-przyrządów pomiarowych, które są zawsze obarczoe pewą iepewością pomiarową. W załączaej lub zalezioej w iterecie istrukcji przyrządu moża i trzeba odczytać wartość dokładości pomiaru a daym zakresie. Obecie produceci przyrządów pomiarowych powii gwaratować taką dokładość przyrządu, aby wyik pomiaru wykoaego za jego pomocą ie różił się od rzeczywistej wartości wielkości mierzoej więcej iż o jedą działkę elemetarą. Działka elemetara to ajmiejsza działka podziałki zazaczoej a skali przyrządu aalogowego i jedostka dekady wskazującej ajmiejszą wartość w przyrządach cyfrowych. Przykład 1 Działka elemetara. Ocea dokładości za pomocą istrukcji przyrządu: 1a.Mikroamperomierz wskazówkowy, który mierzy a zakresie 00μA ze skalą podzieloą a 100 działek ma działkę elemetarą Δ d I=μA, atomiast cyfrowy mikroamperomierz wskazujący, a przykład, wartość 197,3μA ma działkę elemetarą Δ d I=0,01μA. Typowa liijka lub miarka zwijaa ma działkę elemetarą Δ d I=1mm. 1b. Bardzo często w istrukcji przyrządu pomiarowego moża odczytać, jaka jest dokładość pomiaru (P% rdg + dgd). Ozacza to, że iepewość wzorcowaia Δ d X= P%*odczytaa wartość + działek elemetarych. Przykładowo, mierikiem o dokładości (1,5% rdg+3 dgd) zmierzoo apięcie U=1,3V. Poieważ działka elemetara wyosi 0,01V iepewość

3 pomiarowa wyosi ΔU=(1,5%*1,3 + 3*0,01)V=0,04845V. Wyik końcowy pomiaru : U=(1,3+/-0,05)V. Uwaga: Niepewość pomiaru została zaokrągloa, a wyik końcowy zapisay zgodie z zasadami opisaymi w dalszej części opracowaia. 1c. W przypadku przyrządów aalogowych iepewość wzorcowaia jest obliczaa w pierwszej kolejości a podstawie tzw. klasy przyrządu. Klasa przyrządu wyraża stosuek procetowy iepewości maksymalej do pełego wychyleia mierika w daym zakresie. Ozacza to, że wartości odczytaa z mierika może się różić od wartości prawdziwej 0 maksymalie o. Niestety w większości przypadków pomiar mierikiem aalogowym ie jest dokłady w tym sesie, że wskazówka mierika ie pokrywa się działką, ale zajduje się a przykład w jej 1/3. W związku z tym przy wyzaczaiu iepewości wzorcowaia takiego mierika musimy uwzględić to, że w sposób subiektywy oceiamy położeie wskazówki. Eksperymetator musi w takim przypadku sam oceić, o ile mógł się pomylić w odczycie. Niepewość wzorcowaia (iepewość maksymala) przyrządu aalogowego jest sumą iepewości wyikającej z klasy przyrządu i z odczytu eksperymetatora, a iepewość maksymalą obliczamy ze wzoru:. Niepewością eksperymetatora Δ e azywamy ilościową oceę iepewości wyiku spowodowaą p. złą widoczością (p. wskazówki, skali), wywołaą szumami, szybkimi zmiaami wskazań itp. Eksperymetator musi sam oceić wartość Δ e. Dla wahań wartości mierzoej wywołaych szumami za Δ e moża przyjąć połowę szerokości drgań wyrażoą w odpowiedich jedostkach. Przykład. a. Liijką o iepewości wzorcowaia Δ d H=1mm jedokrotie zmierzoo wysokość i szerokość książki. Mierząc wysokość H przyłożoo liijkę do dobrze przyciętej okładki i odczytao: H=8 mm. Dokładość eksperymetatora oceioo a Δ e H=1mm (liijka wprawdzie dobrze przylegała do okładki, ale był problem z odczytem z powodu zaokrągleia krawędzi). Wiosek: iepewość maksymala pomiaru wysokości jest sumą obu iepewości ΔH= Δ d H + Δ e H= mm. Moża teraz powiedzieć, że wysokość książki wyosi H=(8±) mm. Pomiar szerokości książki dał astępujący wyik: L=165 mm. Ze względu a obły grzbiet książki, iepewość eksperymetatora pomiaru jej szerokości oceioo a Δ e H=mm. Dlatego wyik końcowy uwzględiający iepewość wzorcowaia i eksperymetatora to: L=(165±3) mm. b. Woltomierzem zmierzoo apięcie baterii. Mimo, iż mierik może mierzyć z dokładością Δ d U=0,00V to wskutek zakłóceń ostaia cyfra miga i wartość apięcia zmieia się w zakresie 1,54-1,58V. Odczytem w tej sytuacji jest wartość średia U=1,56V, atomiast za iepewość eksperymetatora ależy przyjąć połowę zakresu Δ e U=0,0 V. Niepewość maksymala tego pojedyczego pomiaru wyosi: ΔU=Δ d U+Δ e U=0,0 V. Wyik końcowy ma postać: U=(1,560±0,0) V (1,56±0,0) V. 3. Niepewość przypadkowa. W celu zwiększeia dokładości i wiarygodości pomiarów często wykouje sie kilka razy te sam pomiar. W wyiku takiego działaia otrzymamy szereg wyików, które a ogół

4 mają ieco ią wartość. Obserwoway rozrzut wyików moża oceić określając iepewość przypadkową pomiaru. Niepewość przypadkowa przy wielokrotym pomiarze wielkości X jest wywołaa ograiczoymi zdolościami rozpozawczymi aszych zmysłów (oka, ucha..), aturą zjawiska oraz iestałością waruków zewętrzych. Dlatego rozrzut wyików ma charakter statystyczy, a miarą takiego rozrzutu jest odchyleie stadardowe wartości średiej S. Uikięcie iepewości przypadkowych ie jest możliwe, jedakże teoria błędów podaje zasady, które pozwalają ustalić ich wartość. Z teorii wyika, że dla serii rówoważych sobie pomiarów wielkości X wyikiem końcowym takiej serii pomiarów jest średia arytmetycza zbioru wartości, tz czyli k. (0.1) Aalizując odchyleia pojedyczych pomiarów od wartości średiej, czyli różice ( k - ) dla k=1..., moża zauważyć, że ie wszystkie odchyleia są jedakowo prawdopodobe. Odchyleia duże są miej prawdopodobe od odchyleń małych. Zależość prawdopodobieństwa częstości występowaia odchyleń od ich wartości azywa się rozkładem prawdopodobieństwa. Dla dużej ilości pomiarów (>10) do ocey odchyleń stosujemy rozkład prawdopodobieństwa Gaussa (tzw. rozkład ormaly) atomiast dla małej ilości pomiarów stosujemy rozkład Studeta. Na rysuku 1 przedstawioe są wykresy gęstości prawdopodobieństwa φ() zmieej losowej - wyików pomiaru dla obu rozkładów. Fukcja gęstości prawdopodobieństwa φ() ma tą cechę, że całka z φ() po całym przedziale zmieości wyików pomiaru wyosi 1 (pole pod krzywą φ() jest rówe 1). Ozacza to oczywistą pewość (100% pewość) zalezieia dowolej wartości zmieej w całym jej przedziale zmieości. k1 a/ Rozkład Gaussa b/ Rozkład Studeta φ() φ() pukt przegięcia - S + S -S + S Rys.1. Fukcja rozkładu prawdopodobieństwa a/gaussa b/studeta. Zając wartość średią serii pomiarów oraz odchyleie stadardowe wartości średiej S moża określić przedział zmieości ( - S, +S ) (0.)

5 Moża wykazać, że prawdopodobieństwo zalezieia wartości rzeczywistej X w przedziale określoym wzorem 0. wyosi p=0,683. Mówimy, że z poziomem ufości rówym 0,683 (lub 68,3%) wartość rzeczywista X zajduje się w przedziale ( - S, +S ). Na wykresach z rysuku 1 zazaczoo pole pod wykresem fukcji w zakresie ϵ ( - S, +S ). W obu przypadkach pole wyosi 0,683. Odchyleie stadardowe wartości średiej w rozkładzie Gaussa moża obliczyć ze wzoru : k k 1 S (0.3) ( 1) Jak widać z rysuku 1 krzywa Studeta jest bardziej spłaszczoa w stosuku do krzywej Gaussa. Taka zależość jest wyrazem faktu, że miejsza ilość pomiarów daje wyik końcowy z większą iepewością, czyli z większym odchyleiem stadardowym. Dlatego odchyleie stadardowe w rozkładzie Studeta jest większe t razy od odchyleia stadardowego w rozkładzie ormalym (t >1). Wartość współczyika t (zwaego współczyikiem krytyczym rozkładu Studeta) zależy od ilości pomiarów i od poziomu ufości. W tabeli 1 przedstawioe są wartości t w zależości od liczby pomiarów dla poziomu ufości p=0,683.taki poziom ufości jest wystarczający przy opracowaiu pomiarów w laboratorium studeckim. Tab.1. Wartości współczyika krytyczego w rozkładzie t-studeta dla poziomu ufości p=0, t 1,84 1,3 1,0 1,14 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 W praktyce laboratoryjej przyjmuje się założeie, że gdy liczba pomiarów jest iewielka (<11) to do aalizy statystyczej otrzymaych rezultatów i ocey iepewości przypadkowej wartości średiej stosuje się rozkład Studeta. Wtedy odchyleie stadardowe S wartości średiej oblicza się ze wzoru: S t k1 k ( 1) (0.4) Jeśli liczba pomiarów jest stosukowo duża (>10) moża przyjąć, że mamy do czyieia z rozkładem ormalym (Gaussa), dla którego współczyik t jest rówy jede, czyli S k1 k ( 1) (0.5) Jeżeli chcemy mieć prawie pewość (poziom ufości p=0,997), że wartość rzeczywista zajduje się w przedziale określoym iepewością, to do ocey iepewości pomiaru ależy używać potrojoej wartości odchyleia stadardowego (tzw. reguła 3S ) czyli ( - 3S, +3S ). (0.6)

6 Regułę 3S moża zastosować przy oceie czy pukt pomiarowy z serii pomiarów "odstający" od iych rzeczywiście jest wyikiem błędu grubego. W tym celu liczy się średią arytmetyczą i odchyleie stadardowe serii pomiarów bez uwzględieia "podejrzaego " pomiaru. Następie sprawdza się, czy te pukt mieści się w graicach ( - 3S, +3S ). Jeśli ie mieści się w tym przedziale, moża go wykluczyć z aalizy jako błąd gruby. 4. Związek między iepewością maksymalą i stadardową -uwagi końcowe Podsumowując kwestię wielokrotego pomiaru moża powiedzieć, że wyikiem wielokrotego pomiaru tej samej wielkości fizyczej, w tych samych warukach, jest średia arytmetycza poszczególych rezultatów (wzór 0.1), atomiast jej iepewością przypadkową jest odchyleie stadardowe wartości średiej S obliczoe ze wzoru (0.4) lub (0.5). Trzeba pamiętać, że dokładość pomiarów wartości k może być zmiejszoa poprzez obecość iepewości wzorcowaia Δ d i eksperymetatora Δ e. Wtedy przyjmując dla obu typów iepewości prostokąty rozkład prawdopodobieństwa, ich odchyleie stadardowe wzorcowaia i eksperymetatora wyosi odpowiedio: S d d e oraz Se. (0.7) 3 3 W przypadku, gdy koieczym jest uwzględieie wszystkich rodzajów iepewości, czyli iepewość eksperymetatora Δ e, iepewość wzorcowaia Δ d i iepewość przypadkową określoą odchyleiem stadardowym wartości średiej S, stosujemy astępujący wzór 1 1 S Sd Se S d e S. (0.8) 3 3 Zastosowaie powyższego wzoru daje 68,3% pewości, że rzeczywista wartość mieści się w graicach ( - S, +S ). Wzór (0.8) upraszcza się zaczie, gdy jede lub dwa rodzaje iepewości ie występują lub są do zaiedbaia. W oceie iepewości maksymalej, gdy koieczym jest uwzględieie wszystkich rodzajów iepewości, czyli iepewość eksperymetatora Δ e, iepewość wzorcowaia Δ d i iepewość przypadkową określoą odchyleiem stadardowym wartości średiej S stosujemy astępujący wzór X 3S. (0.9) d e Zastosowaie powyższego wzoru daje 99,7% pewości, że rzeczywista wartość mieści się w graicach ( - ΔX, + ΔX,). Powyższy wzór upraszcza się zaczie, gdy jede lub dwa rodzaje iepewości ie występują lub są do zaiedbaia. Np. przy pojedyczym pomiarze odchyleie stadardowe wyosi 0. Przykład 3 3a. Seria pomiarów tej samej wielkości fizyczej.

7 Wykoao serię pomiarów czasu spalaia zapałek. Uzyskao osiem wyików: t 1 = 15s, t = 16s, t 3 = 13s, t 4 = 14s, t 5 = 7s, t 6 = 15s, t 7 = 17s, t 8 = 16s. Wśród tych ośmiu pomiarów wartość pomiaru t 5 wyraźie "odstaje" od iych. Wstępie moża te pomiar wyelimiować jako błąd gruby. Wyikiem siedmiu pomiarów jest obliczoa a podstawie wzoru (0.1) średia t =15,149 s. Z tabeli (1) wyika, że dla =7 współczyik krytyczy rozkładu Studeta wyosi t =1,09. Dlatego odchyleie stadardowe wartości średiej S ts jest rówe 0,554s (wzór 0.4). Po uwzględieiu iepewości wzorcowaia Δ d t=1s, moża obliczyć (wzór 0.8) i zapisać, że z prawdopodobieństwem 0,68 średi czas paleia się zapałek z tej próby wyosi: t =(15,14±0,80) s. Moża teraz potwierdzić zasadość wyrzuceia pomiaru t 5 jako błędu grubego stosując zasadę 3S (0.6). 3b Pojedyczy pomiar-ocea iepewości stadardowej i maksymalej. Wyik pomiaru wysokości krawężika wykoay za pomocą liijki jest astępujący L=156mm. Ze względu a zużycie liijki oraz obły kształt krawędzi krawężika oszacowao iepewość eksperymetatora a Δ e L=3mm. W powiązaiu z iepewością wzorcowaia Δ d L=1mm wyliczoa a podstawie wzoru (0.8), iepewość stadardowa pomiaru wyosi: S L =1,8574 mm. Wyik końcowy z iepewością stadardową: L=(156±)mm. Wyik końcowy z iepewością maksymalą (0.9): L=(156±4)mm. 3c. Pojedyczy pomiar-jedo źródło iepewości Zmierzoo suwmiarką średicę pręta stalowego. Otrzymao wyik Φ=1,1mm obarczoy iepewością wzorcowaia Δ d Φ=0,1 mm. Poieważ suwmiarka dobrze "przylegała" do powierzchi pręta iepewość eksperymetatora uzao za rówą zero. Wyik pomiaru z iepewością maksymalą Φ=(1,1±0,1)mm Wyik pomiaru z iepewością stadardową (wzór 0.7 i0.8) Φ=(1,10±0,06)mm. 5. Pomiar wielkości złożoej: Przedstawioe powyżej działaie pozwala a obliczeie iepewości pomiaru jedej wielkości fizyczej. Prawa i zasady fizyki pokazują zależości między wieloma wielkościami fizyczymi, Zając te zależości, moża dokoać pomiaru iych wielkości, aby a koiec obliczyć tę iteresującą. Na przykład, żeby obliczyć średią prędkość samochodu wystarczy zmierzyć czas ruchu i drogę, jaką przebędzie w tym czasie samochód. Podstawiając do wzoru (zależości) V=s/t osiągiemy wyik końcowy. Ogólie mówimy wtedy o wielkości złożoej lub wielkości wyzaczoej pośredio. Ogólie, jeśli wielkość y jest fukcją L zmieych, czyli y( 1, L ), to, aby wyzaczyć wartość y i iepewość pomiaru S Y ależy zmierzyć L wielkości zmieych 1, L, oraz określić ich iepewości stadardowe. Niepewość stadardową pomiaru wielkości złożoej y obliczamy ze wzoru L y S Y S X (0.10) l l1 l y gdzie: są pochodymi cząstkowymi. l Niepewość maksymalą pomiaru wielkości złożoej y, zając iepewości maksymale zmieych 1, L obliczamy ze wzoru

8 y L k1 y k k y 1 1 y... L L (0.11) y gdzie: są kolejymi pochodymi cząstkowymi. k W praktyce, gdy fukcja ma postać iloczyu: a b c y A , (0.1) względa maksymala iepewość pomiaru wielkości złożoej y( 1,, 3,..) jest wyrażoa wzorem: y a y 1 3 b c (0.13) Przykład 4 Celem obliczeia eergii kietyczej wagou, zmierzoo jego prędkość i masę uzyskując astępujące rezultaty: V=(31±) m/s i m=(15,0±0,5) t. mv Eergia kietycza wagou wyosi: E J. Na podstawie wzoru (0.10) mamy: S 4 E E V Sm Sm SV E Sm SV m V SV E = J= m V 4 m V S E = J. Wyikiem końcowym jest wartość eergii kietyczej wagou, czyli E=(71±97) 10 4 J. Moża też obliczyć iepewość maksymalą (wzór 0.13) wielkości złożoej. W tym przykładzie iepewość względa eergii wyosi: E m V 3,3% 1,9% 16,%, czyli E=(71±118) 10 4 J. E m V Jak widać, zgodie z oczekiwaiem iepewość maksymala tego pomiaru (118J) jest większa od iepewości stadardowej (97J). 6. Badaia zależości między wielkościami fizyczymi Osobym zagadieiem jest zbadaie lub potwierdzeie, że istieją określoe związki między wielkościami fizyczymi. W takim przypadku pomiary badaej wielkości Y wykoujemy przy wielu celowo wybraych wartościach iej wielkości X. W rezultacie uzyskujemy zbiór iezależych wyików ( i,y i ), gdzie i=1,,3. Jedym ze sposobów opracowaia takich daych jest aiesieie puktów pomiarowych a wykres. Charakterystyczy układ puktów może sugerować istieie zależości między wielkościami y i w postaci zaych fukcji, p. liiowej, kwadratowej, ekspoecjalej Do weryfikacji, czy daa fukcja prawidłowo opisuje położeie puktów pomiarowych, służy metoda ajmiejszych kwadratów. W tej metodzie szuka się takich parametrów fukcji y(), dla których suma kwadratów różic pomiędzy wartościami zmierzoymi y i, a policzoymi a podstawie tej fukcji y( i ), jest ajmiejsza. Metodą ajmiejszych kwadratów moża w stosukowo prosty sposób wyzaczyć współczyiki a i b fukcji liiowej typu y=a+b. Jeśli wiemy lub podejrzewamy, że wykresem reprezetującym asze pukty pomiarowe może być liia prosta, podstawiamy

9 odpowiedie wielkości jako y i jako, po czym wyliczamy a podstawie poiższych wzorów współczyiki a i b y y a, (0.14) gdzie b y a, (0.15) i yi iyi i i1 i1 i1 i1 y y. (0.16) Niepewości stadardowe (iepewości) współczyików a i b oblicza się z zależości gdzie S 1 y ay by a i S b Sa (0.17) y yi i1. (0.18) Wyzaczoa w te sposób fukcja y=a+b opisuje ajbardziej prawdopodobą liiową zależość dla puktów pomiarowych { i, y i }. Trzeba pamiętać, że zaufaie do końcowego wyiku zależy od liczby aalizowaych puktów pomiarowych. Im miej aalizowaych puktów pomiarowych, tym miejsze prawdopodobieństwo uzyskaia dobrego wyiku. O jakości dopasowaia fukcji mówi współczyik korelacji liiowej r, opisay wzorem r i1 i1 y y y y i i i i1 i r 1,1. (0.19) Im bliższa jedości jest wartość współczyika korelacji liiowej r, tym większe jest prawdopodobieństwo, że postać fukcji prawidłowo opisuje aalizowaą serię pomiarów. Powyższą procedurę, azywaą regresją liiową zwyczają (uzyskiwaie liii tredu), moża zastosować ie tylko do prostych zależości liiowych p. s(t)=vt, U(I)=RI, R(t)=R o (1+αt). Wiele iych zależości, po odpowiedich przekształceiach, moża doprowadzić do postaci liiowej. Przykład 5 Prawo pochłaiaia promieiowaia gamma jest opisae fukcją d N(d) d N(d) N0e czyli e. N0 Po zlogarytmowaiu obu stro rówaia moża otrzymać postać N(d) l d. N 0 Jeśli za l(n(d)/n 0 ) podstawimy y, za d zmieą to otrzymujemy typową fukcję liiową typu y=a, gdzie a=- η.

10 Przykład 6 Na rysuku przedstawioo wyiki pomiaru długości fali dźwiękowej (λ=y) w pewym metalu w fukcji częstotliwości tej fali (f=). Wykres wykoao w programie Origi. Rys..Wykres zależości długości fali dźwiękowej w pręcie metalowym od częstotliwości. Te same dae pomiarowe wykreśloe są rówież a Rys.3. Tym razem zmieą jest odwrotość częstotliwości fali, czyli 1/f. Poieważ z wykresu moża sądzić, że pukty układają się wzdłuż liii prostej, moża zastosować regresję (aproksymację) liiową. Taka procedura azywaa jest wyzaczaiem liii tredu (p. w programie Ecel). Uwaga: Współczyiki we wzorach (0.14) i (0.15) dotyczą rówaia typu y=a+b. W programach komputerowych, p. Origi, Ecel, przyjęto zapis wielomiau, jako y=a+b+c +

11 Rys.3.Wykres zależości długości fali dźwiękowej w pręcie metalowym od odwrotości częstotliwości. Z wyików regresji liiowej przedstawioych a rysuku 3 moża wyprowadzić astępujące wioski: 1. Zbliżoa do jedości wartość współczyika korelacji R=0,99979 pozwala sądzić, że długość fali jest związaa z jej częstotliwością zależością λ =A+B/f.. Współczyik proporcjoalości B mający wymiar [m/s] jest wartością prędkością fali dźwiękowej w badaym pręcie metalowym, czyli V=4897±4 [m/s]. 3. Współczyik A=(0,05±0,047) [m] co jest zgode z oczekiwaiem, że A=0 (dla częstotliwości f fali dążącej do ieskończoości, jej długość λ maleje do zera). 4. Zależość λ =V/f jest potwierdzoa przez powyższe dae doświadczale. 5. Prędkość fali dźwiękowej o częstotliwości w zakresie od 800Hz do7500hz jest stała (ie zależy od częstotliwości fali). Uwaga: Wszelkie obliczeia w w/w procedurze moża i warto wykoać posiłkując się dostępymi programami programach typu Origi, Ecel lub korzystając z kalkulatora.

12 7. Wykoywaie wykresów i graficza aaliza fukcji liiowej. Metoda ręcza opracowaia wykresów Bardzo zbliżoe wyiki przy aalizie współczyików a i b fukcji y=a+b moża uzyskać wykorzystując metodę graficzą. W tym przypadku ależy: 1. arysować i opisać układ współrzędych oraz zazaczyć pukty pomiarowe wraz z iepewościami pomiaru (przykład rys.4a),. jeśli pukty układają się wzdłuż liii prostej (kwestia ocey eksperymetatora a oko ) arysować liię prostą tak, aby w przybliżeiu po obu stroach liii pozostał ta sama liczba puktów (rys.4a), 3. określić pewie szeroki przedział wartości argumetu czyli Δ (Δt a rys.4a) i odpowiadający jemu przyrost fukcji Δy (Δs a rys.4a). Współczyik achyleia a arysowaej prostej będzie wyosił a=δy/δ. Współczyik b jest puktem przecięcia prostej z osią y, Uwaga: współczyik a praktyczie igdy ie jest tagesem kąta achyleia prostej (kąta, który moża odczytać z wykresu), 4. w celu wyzaczeia iepewości pomiaru współczyika a rysować dwie proste o skrajych achyleiach, obejmujące pukty pomiarowe wraz z iepewościami pomiaru (rys.4b), 5. wyzaczyć współczyiki achyleia obu prostych a 1 i a. Niepewość maksymala pomiaru współczyika a jest rówa różicy Δa= a- a 1 lub Δa= a- a, przy czym wybieramy wartość większą. [p. z rys.4b ΔV=4,5 m/s czyli V=(0,3±4,5)m/s] Rys. 4a. Wykres pomiarów zasięgu lotu trzmiela w fukcji czasu. Wyzaczeie prędkości lotu.

13 Rys.4b Wykres pomiarów zasięgu lotu trzmiela w fukcji czasu. Wyzaczeie iepewości pomiaru prędkości lotu. II. Waże uwagi końcowe : Rezultatem pomiaru wielkości X jest wartość oraz obliczoa iepewość pomiaru. Niepewość pomiaru moża wyrazić w postaci ułamka lub procetowo także jako względe odchyleie stadardowe S V. (0.1) Rezultat końcowy pomiaru wielkości X przedstawiamy w astępujący sposób X ( S )[jedostka] lub X [jedostka]. (0.13) V Uwaga: Prawidłowo zapisay wyik końcowy pomiaru z reguły wymaga zaokrągleia. Zasada zaokrąglaia jest astępująca: 1. Niepewość pomiaru (S lub Δ) pewej wielkości X zaokrąglamy do takiego miejsca, aby pozostały tylko maksymalie dwie cyfry zaczące.. Wartość iepewości zawsze zaokrąglamy w górę, poieważ w żadym przypadku ie wolo am zmiejszać iepewości. 3. Wyik pomiaru zaokrąglamy do tego samego miejsca dziesiętego, do którego została zaokrągloa iepewość pomiaru. Przy zaokrąglaiu wyiku pomiaru liczbę kończącą się cyframi 0-4 zaokrąglamy w dół, a 5-9 w górę.

14 4. Czasami się zdarza, że w przypadku pojedyczych pomiarów powiiśmy zaokrąglać iepewość pozostawiając tylko jedą cyfrę zaczącą. 5. Jeśli przyrząd pomiarowy jest w staie podać wyik tylko do określoego miejsca dziesiętego, to ie ma sesu podawać iepewości oraz wyiku z większą dokładością. Przykładowo, jeśli wykoujemy pomiar długości liijką i wyosi o 55 mm, to iepewość podajemy też w pełych milimetrach ( mm), awet jeśli z obliczeń (p. ze wzoru 0.8) otrzymamy iepewość bardziej dokładą (typu 1,9 mm). 5. Trzeba pamiętać, że zaokrąglamy wyik końcowy, a ie wyiki pośredie! Przykład 8 Po opracowaiu pomiarów średicy Φ drutu otrzymałem astępujące wyiki: Φ=0, m i S Φ =5, m. Cyfr zaczących w liczbie określającej Φ jest 6 i tylko 6. (ie 9, bo zera po lewej stroie liczby się ie liczą), atomiast w wartości iepewości cyfr zaczących jest 5. Po zaokrągleiu, wyik końcowy moża przedstawić w formie Φ =(3,46±0,55) 10-3 m, czyli Φ =(346±55) 10-5 m lub Φ =346(55) 10-5 m. Przykład 9 Wielu fizyków długo pracowało, aby uzyskać i zapisać prawidłowo bardzo dokłade stałe fizycze p.: Ładuek elektrou (ładuek elemetary) [] e =(1, ± 0, ) C Ładuek elektrou (ładuek elemetary) [1] e = 1, (40) C Stała Boltzmaa [1]: k = R/N A =(1, ± 0,000004) 10-3 J/K Stała Faradaya [1]: F = N A e =(96 485,3383 ± 0,0083) C/mol Stała grawitacyja [] G N =(6,674 ± 0,0010) m 3 /(kg s ) [1] G= 6,674 8(67) m 3 /(kg s ) itp. [1] [] wyik wcześiejszy od [1] III. Uwagi przydate przy wykoywaiu doświadczeń i opracowywaiu wyików. 1.W suwmiarkach, śrubach mikrometryczych, w iektórych skalach kątowych korzysta się podziałki zwaej oiuszem. Wartość mierzoą za pomocą tych przyrządów, z grubsza, odczytujemy z położeia kreski przy zerze 0, atomiast dziesiąte i sete części, z miejsca gdzie jeda z kresek a skali oiusza pokrywa się z kreską skali główej. Przykład odczytu

15 przedstawioo a rysuku 5. Wyik pomiaru szerokości akrętki M3, czyli S=(5,40±0,05)mm. Skala oiusza -odczyt dziesiątych i setych części mm Skala główa - odczyt w cm Rys.5: Zasada odczytu wyiku pomiaru szerokości a suwmiarce Obecie coraz częściej spotykae są przyrządy typu suwmiarki, kątomierze z elektroiczym odczytem. W tym przypadku ależy uwzględić dokładość podawaą przez produceta.. Na wykresach skalę dobierać tak, aby uzyskae krzywe zajmowały prawie cały dostępy obszar. Zaczyaie skali od zera ie jest koiecze!! 3. Każda oś a wykresie powia zawierać: podziałkę główą, podziałkę pomociczą, etykiety podziałek wraz z jedostkami oraz opisy osi. 4. Nie łączyć puktów pomiarowych odcikami tworząc w te sposób liię łamaą. Krzywa doświadczala zazwyczaj powia być przedstawioa jako liia gładka rysowaa tak, aby po obu jej stroach zajdowała się taka sama liczba puktów pomiarowych. W przypadku określeia badaej fukcji za pomocą regresji liiowej, ależy jej wykres zamieścić wraz z puktami doświadczalymi. 5. Przez pukty pomiarowe prowadzimy słupki iepewości (odciek o długości rówej podwojoej iepewości pomiarowej, ze środkiem w pukcie pomiarowym) lub otaczamy je prostokątami iepewości (środek w pukcie pomiarowym, a wymiary podwojoa iepewość pomiarowa). UWAGA: Przed przystąpieiem do wykoywaia zadaia laboratoryjego ależy zrozumieć badae zjawisko fizycze, metodę pomiaru oraz uświadomić sobie cel daego ćwiczeia. Dobre przygotowaie do działań jest podstawą do osiągięcia celu.

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH

PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy

Bardziej szczegółowo

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie

Metrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa. Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Laboratorium Fizyczne Inżynieria materiałowa Publikacja współfinansowana ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego błąd pomiaru = x i x 0 Błędy pomiaru dzielimy na: Błędy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH

STATYSTYKA I ANALIZA DANYCH TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica

Bardziej szczegółowo

A. Metody opracowania i analizy wyników pomiarów K.Kozłowski i R Zieliński I Laboratorium z Fizyki część 1 Wydawnictwo PG.

A. Metody opracowania i analizy wyników pomiarów K.Kozłowski i R Zieliński I Laboratorium z Fizyki część 1 Wydawnictwo PG. A. Metody opracowania i analizy wyników pomiarów K.Kozłowski i R Zieliński I Laboratorium z Fizyki część 1 Wydawnictwo PG. B. Metodyka wykonywania pomiarów oraz szacowanie niepewności pomiaru. Celem każdego

Bardziej szczegółowo

POLITECHNIKA OPOLSKA

POLITECHNIKA OPOLSKA POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia

Bardziej szczegółowo

BEATA BOCHENTYN, BOGUSŁAW KUSZ 2014 POLITECHNIKA GDAŃSKA

BEATA BOCHENTYN, BOGUSŁAW KUSZ 2014 POLITECHNIKA GDAŃSKA * BEATA BOCHENTYN, BOGUSŁAW KUSZ 014 POLITECHNIKA GDAŃSKA Publikacja współfiasowaa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI

Bardziej szczegółowo

Estymacja przedziałowa

Estymacja przedziałowa Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA

Ćwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu. Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują

Bardziej szczegółowo

Niepewności pomiarowe

Niepewności pomiarowe Niepewości pomiarowe Obserwacja, doświadczeie, pomiar Obserwacja zjawisk fizyczych polega a badaiu ych zjawisk w warukach auralych oraz a aalizie czyików i waruków, od kórych zjawiska e zależą. Waruki

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ

INSTRUKCJA NR 06-2 POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ LABORATORIUM OCHRONY ŚRODOWISKA - SYSTEM ZARZĄDZANIA JAKOŚCIĄ - INSTRUKCJA NR 06- POMIARY TEMPA METABOLIZMU METODĄ TABELARYCZNĄ 1. Cel istrukcji Celem istrukcji jest określeie metodyki postępowaia w celu

Bardziej szczegółowo

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne

POMIARY WARSZTATOWE. D o u ż y t k u w e w n ę t r z n e g o. Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Ćwiczenia laboratoryjne D o u ż y t k u w e w ę t r z e g o Katedra Iżyierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego POMIARY WARSZTATOWE Ćwiczeia laboratoryje Opracowaie: Urszula Goik, Maciej Kabziński Kraków, 2015 1 SUWMIARKI Suwmiarka

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW.

STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW. Statytycza ocea wyików pomiaru STATYSTYCZNA OCENA WYNIKÓW POMIARÓW CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jet: uświadomieie tudetom, że każdy wyik pomiaru obarczoy jet błędem o ie zawze zaej przyczyie i wartości,

Bardziej szczegółowo

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1

Laboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1 1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych

Bardziej szczegółowo

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne?

Jak obliczać podstawowe wskaźniki statystyczne? Jak obliczać podstawowe wskaźiki statystycze? Przeprowadzoe egzamiy zewętrze dostarczają iformacji o tym, jak ucziowie w poszczególych latach opaowali umiejętości i wiadomości określoe w stadardach wymagań

Bardziej szczegółowo

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE. Strona 1

KURS STATYSTYKA. Lekcja 3 Parametryczne testy istotności ZADANIE DOMOWE.  Strona 1 KURS STATYSTYKA Lekcja 3 Parametrycze testy istotości ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Stroa Część : TEST Zazacz poprawą odpowiedź (tylko jeda jest prawdziwa). Pytaie Statystykę moża rozumieć jako: a) próbkę

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA

ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI

BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;

Bardziej szczegółowo

Zeszyty naukowe nr 9

Zeszyty naukowe nr 9 Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę

Bardziej szczegółowo

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW

INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW INSTYTUT MASZYN I URZĄDZEŃ ENERGETYCZNYCH Politechika Śląska w Gliwicach INSTRUKCJA DO ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Z WYTRZYMAŁOŚCI MATERIAŁÓW BADANIE ODKSZTAŁCEŃ SPRĘŻYNY ŚRUBOWEJ Opracował: Dr iż. Grzegorz

Bardziej szczegółowo

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika

Wpływ warunków eksploatacji pojazdu na charakterystyki zewnętrzne silnika POLITECHNIKA BIAŁOSTOCKA WYDZIAŁ MECHANICZNY Katedra Budowy i Eksploatacji Maszy Istrukcja do zajęć laboratoryjych z przedmiotu: EKSPLOATACJA MASZYN Wpływ waruków eksploatacji pojazdu a charakterystyki

Bardziej szczegółowo

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET

TRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora

Bardziej szczegółowo

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012

Materiał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012 Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0

Bardziej szczegółowo

I PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO

I PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO I PRACOWNIA FIZYCZNA, UMK TORUŃ Istrukcja do ćwiczeia r WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ WAHADŁA RÓŻNICOWEGO Istrukcję wykoał Mariusz Piwiński I. Cel ćwiczeia. pozaie ruchu harmoiczeo oraz

Bardziej szczegółowo

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN

SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI BITUMICZNYCH W SYSTEMIE OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN ZAŁĄCZNIK B GENERALNA DYREKCJA DRÓG PUBLICZNYCH Biuro Studiów Sieci Drogowej SYSTEM OCENY STANU NAWIERZCHNI SOSN WYTYCZNE STOSOWANIA - ZAŁĄCZNIK B ZASADY POMIARU I OCENY STANU RÓWNOŚCI PODŁUŻNEJ NAWIERZCHNI

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

L.Kowalski zadania ze statystyki matematycznej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 L.Kowalski zadaia ze statystyki matematyczej-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3 Zadaie 3. Cecha X populacji ma rozkład N m,. Z populacji tej pobrao próbę 7 elemetową i otrzymao wyiki x7 = 9, 3, s7 =, 5 a Na poziomie

Bardziej szczegółowo

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW

2. ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW . ANALIZA BŁĘDÓW I NIEPEWNOŚCI POMIARÓW Z powodu iedokładości przyrządów i metod pomiarowych, iedoskoałości zmysłów, iekotrolowaej zmieości waruków otoczeia (wielkości wpływających) i iych przyczy, wyik

Bardziej szczegółowo

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates)

Struktura czasowa stóp procentowych (term structure of interest rates) Struktura czasowa stóp procetowych (term structure of iterest rates) Wysokość rykowych stóp procetowych Na ryku istieje wiele różorodych stóp procetowych. Poziom rykowej stopy procetowej (lub omialej stopy,

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011

Egzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011 Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM METROLOGII

LABORATORIUM METROLOGII AKADEMIA MORSKA W SZCZECINIE Cetrum Iżyierii Ruchu Morskiego LABORATORIUM METROLOGII Ćwiczeie 5 Aaliza statystycza wyików pomiarów pozycji GNSS Szczeci, 010 Zespół wykoawczy: Dr iż. Paweł Zalewski Mgr

Bardziej szczegółowo

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3.

VII MIĘDZYNARODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretyczne T3. KOOF Szczeci: www.of.szc.pl VII MIĘDZYNAODOWA OLIMPIADA FIZYCZNA (1974). Zad. teoretycze T3. Źródło: Komitet Główy Olimpiady Fizyczej; Olimpiada Fizycza XXIII XXIV, WSiP Warszawa 1977 Autor: Waldemar Gorzkowski

Bardziej szczegółowo

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12

Korelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12 Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu

Bardziej szczegółowo

Elementy modelowania matematycznego

Elementy modelowania matematycznego Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD

OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI SWOBODNIE PODPARTEJ SWOBODNIE PODPARTEJ ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD OBLICZENIE SIŁ WEWNĘTRZNYCH DLA BELKI ALGORYTM DO PROGRAMU MATHCAD 1 PRAWA AUTORSKIE BUDOWNICTWOPOLSKIE.PL GRUDZIEŃ 2010 Rozpatrujemy belkę swobodie podpartą obciążoą siłą skupioą, obciążeiem rówomierie

Bardziej szczegółowo

14. RACHUNEK BŁĘDÓW *

14. RACHUNEK BŁĘDÓW * 4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,

Bardziej szczegółowo

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh -

Fundamentalna tabelka atomu. eureka! to odkryli. p R = nh - TEKST TRUDNY Postulat kwatowaia Bohra, czyli założoy ad hoc związek pomiędzy falą de Broglie a a geometryczymi własościami rozważaego problemu, pozwolił bez większych trudości teoretyczie przewidzieć rozmiary

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA

ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU

Bardziej szczegółowo

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY

SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY SIGMA KWADRAT LUBELSKI KONKURS STATYSTYCZNO- DEMOGRAFICZNY Weryfikacja hipotez statystyczych WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE Wioskowaie statystycze, to proces uogóliaia wyików uzyskaych a podstawie próby a całą

Bardziej szczegółowo

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.

Zadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek. FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x

Bardziej szczegółowo

LABORATORIUM Z FIZYKI

LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI LABORATORIUM Z FIZYKI I PRACOWNIA FIZYCZNA C w Gliwicach Gliwice, ul. Konarskiego 22, pokoje 52-54 Regulamin pracowni i organizacja zajęć Sprawozdanie (strona tytułowa, karta pomiarowa)

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ

WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ INSTYTUT ELEKTROENERGETYKI ZAKŁAD ELEKTROWNI I GOSPODARKI ELEKTROENERGETYCZNEJ LABORATORIUM RACHUNEK EKONOMICZNY W ELEKTROENERGETYCE INSTRUKCJA DO ĆWICZENIA

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info

Metody numeryczne Laboratorium 5 Info Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych

Bardziej szczegółowo

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n

Badanie efektu Halla w półprzewodniku typu n Badaie efektu alla w ółrzewodiku tyu 35.. Zasada ćwiczeia W ćwiczeiu baday jest oór elektryczy i aięcie alla w rostoadłościeej róbce kryształu germau w fukcji atężeia rądu, ola magetyczego i temeratury.

Bardziej szczegółowo

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.

40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40. Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje

Bardziej szczegółowo

INWESTYCJE MATERIALNE

INWESTYCJE MATERIALNE OCENA EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI INWESTCJE: proces wydatkowaia środków a aktywa, z których moża oczekiwać dochodów pieiężych w późiejszym okresie. Każde przedsiębiorstwo posiada pewą liczbę możliwych projektów

Bardziej szczegółowo

2. Schemat ideowy układu pomiarowego

2. Schemat ideowy układu pomiarowego 1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej

Bardziej szczegółowo

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B

OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B OBLICZANIE NIEPEWNOŚCI METODĄ TYPU B W przypadku gdy e występuje statystyczy rozrzut wyków (wszystke pomary dają te sam wyk epewość pomaru wyzaczamy w y sposób. Główą przyczyą epewośc pomaru jest epewość

Bardziej szczegółowo

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja

Wykład. Inwestycja. Inwestycje. Inwestowanie. Działalność inwestycyjna. Inwestycja Iwestycja Wykład Celowo wydatkowae środki firmy skierowae a powiększeie jej dochodów w przyszłości. Iwestycje w wyiku użycia środków fiasowych tworzą lub powiększają majątek rzeczowy, majątek fiasowy i

Bardziej szczegółowo

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień.

Metoda analizy hierarchii Saaty ego Ważnym problemem podejmowania decyzji optymalizowanej jest często występująca hierarchiczność zagadnień. Metoda aalizy hierarchii Saaty ego Ważym problemem podejmowaia decyzji optymalizowaej jest często występująca hierarchiczość zagadień. Istieje wiele heurystyczych podejść do rozwiązaia tego problemu, jedak

Bardziej szczegółowo

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa

WERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrówawcze z fizyki -Zestaw 5 -Teoria Optyka geometrycza i optyka falowa. Prawo odbicia i prawo załamaia światła, Bieg promiei świetlych w pryzmacie, soczewki i zwierciadła. Zjawisko dyfrakcji

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH

WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH WYBRANE METODY DOSTĘPU DO DANYCH. WSTĘP Coraz doskoalsze, szybsze i pojemiejsze pamięci komputerowe pozwalają gromadzić i przetwarzać coraz większe ilości iformacji. Systemy baz daych staowią więc jedo

Bardziej szczegółowo

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.

a n 7 a jest ciągiem arytmetycznym. ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg

Bardziej szczegółowo

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU

MINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów

Bardziej szczegółowo

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu

Optymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu

Bardziej szczegółowo

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna

Uwarunkowania rozwojowe województw w Polsce analiza statystyczno-ekonometryczna 3 MAŁGORZATA STEC Dr Małgorzata Stec Zakład Statystyki i Ekoometrii Uiwersytet Rzeszowski Uwarukowaia rozwojowe województw w Polsce aaliza statystyczo-ekoometrycza WPROWADZENIE Rozwój społeczo-gospodarczy

Bardziej szczegółowo

Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW

Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Michał Gruca ZASADY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW 1. Wstęp Pomiarem jest procesem pozawczm, któr umożliwia odwzorowaie właściwości fizczch obiektów w dziedziie liczb. Sam proces pomiarow jest ciągiem czości

Bardziej szczegółowo

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych

8. Optymalizacja decyzji inwestycyjnych 8. Optymalizacja decyzji iwestycyjych 8. Wprowadzeie W wielu różych sytuacjach, w tym rówież w czasie wyboru iwestycji do realizacji, podejmujemy decyzje. Sytuacje takie azywae są sytuacjami decyzyjymi.

Bardziej szczegółowo

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n

Matematyka ubezpieczeń majątkowych 9.10.2006 r. Zadanie 1. Rozważamy proces nadwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskretnym postaci: n Maemayka ubezpieczeń mająkowych 9.0.006 r. Zadaie. Rozważamy proces adwyżki ubezpieczyciela z czasem dyskreym posaci: U = u + c S = 0... S = W + W +... + W W W W gdzie zmiee... są iezależe i mają e sam

Bardziej szczegółowo

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK

0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.

Bardziej szczegółowo

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).

Moda (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej). Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA

Ćwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej

Bardziej szczegółowo

KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI

KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI KATEDRA ENERGOELEKTRONIKI I ELEKTROENERGETYKI Grupa: 1. 2. 3. 4. 5. LABORATORIUM ELEKTROENERGETYKI Data: Ocea: ĆWICZENIE 3 BADANIE WYŁĄCZNIKÓW RÓŻNICOWOPRĄDOWYCH 3.1. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest:

Bardziej szczegółowo

Rysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi

Rysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi Aaliza fal złożoych Autorzy: Zbigiew Kąkol, Bartek Wiedlocha Przyjrzyjmy się drgaiu poprzeczemu struy. Jeżeli strua zamocowaa a obu końcach zostaie ajpierw wygięta, a astępie puszczoa, to wzdłuż struy

Bardziej szczegółowo

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y

ma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:

Bardziej szczegółowo

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO

ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia

Bardziej szczegółowo

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera

Instrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki

Bardziej szczegółowo

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów.

Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Dopasowanie prostej do wyników pomiarów. Graficzna analiza zależności liniowej Założenie: każdy z pomiarów obarczony jest taką samą niepewnością pomiarową (takiej samej wielkości prostokąty niepewności).

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.

Zadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,. Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,

Bardziej szczegółowo

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG

TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A PROBLEM ZGODNOŚCI Z PRG Tomasz ŚWIĘTOŃ 1 TRANSFORMACJA DO UKŁADU 2000 A ROBLEM ZGODNOŚCI Z RG Na mocy rozporządzeia Rady Miistrów w sprawie aństwowego Systemu Odiesień rzestrzeych już 31 grudia 2009 roku upływa termi wykoaia

Bardziej szczegółowo

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15

Testowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15 Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay

Bardziej szczegółowo

Ć wiczenie 9 SILNIK TRÓJFAZOWY ZWARTY

Ć wiczenie 9 SILNIK TRÓJFAZOWY ZWARTY 145 Ć wiczeie 9 SILNIK TRÓJFAZOWY ZWARTY 1. Wiadomości ogóle 1.1. Ogóla budowa Siliki asychroicze trójfazowe, dzięki swoim zaletom ruchowym, prostocie kostrukcji, łatwej obsłudze są powszechie stosowae

Bardziej szczegółowo

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie

Przemysław Jaśko Wydział Ekonomii i Stosunków Międzynarodowych, Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie MODELE SCORINGU KREDYTOWEGO Z WYKORZYSTANIEM NARZĘDZI DATA MINING ANALIZA PORÓWNAWCZA Przemysław Jaśko Wydział Ekoomii i Stosuków Międzyarodowych, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 1 WROWADZENIE Modele aplikacyjego

Bardziej szczegółowo

Chemia Teoretyczna I (6).

Chemia Teoretyczna I (6). Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez

Bardziej szczegółowo

Politechnika Poznańska

Politechnika Poznańska Politechika Pozańska Temat: Laboratorium z termodyamiki Aaliza składu spali powstałych przy spalaiu paliw gazowych oraz pomiar ich prędkości przepływu za pomocą Dopplerowskiego Aemometru Laserowego (LDA)

Bardziej szczegółowo

Zestaw II Odpowiedź: Przeciętna masa ciała w grupie przebadanych szczurów wynosi 186,2 g.

Zestaw II Odpowiedź: Przeciętna masa ciała w grupie przebadanych szczurów wynosi 186,2 g. Zadaia przykładowe z rozwiązaiami Zadaie Dokoao pomiaru masy ciała 8 szczurów laboratoryjych. Uzyskao astępujące wyiki w gramach: 70, 80, 60, 90, 0, 00, 85, 95. Wyzaczyć przeciętą masę ciała wśród zbadaych

Bardziej szczegółowo

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = =

WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU. Wprowadzenie. = = WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA ŚWIATŁA METODĄ SZPILEK I ZA POMOCĄ MIKROSKOPU Wprowadzeie. Przy przejśiu światła z jedego ośrodka do drugiego występuje zjawisko załamaia zgodie z prawem Selliusa siα

Bardziej szczegółowo

Temat: PRAWO SNELLIUSA. WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA W SZKLE I PLEKSIGLASIE.

Temat: PRAWO SNELLIUSA. WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA W SZKLE I PLEKSIGLASIE. W S E i Z WYDZIAŁ. L A B O R A T O R I U M F I Z Y C Z N E Nr ćwicz. 9 Temat: PRAWO SNELLIUSA. WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA ZAŁAMANIA W SZKLE I PLEKSIGLASIE. Semestr Grupa Zespół Ocea Data / Podpis Warszawa,

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2.

(1) gdzie I sc jest prądem zwarciowym w warunkach normalnych, a mnożnik 1,25 bierze pod uwagę ryzyko 25% wzrostu promieniowania powyżej 1 kw/m 2. Katarzya JARZYŃSKA ABB Sp. z o.o. PRODUKTY NISKONAPIĘCIOWE W INSTALACJI PV Streszczeie: W ormalych warukach pracy każdy moduł geeruje prąd o wartości zbliżoej do prądu zwarciowego I sc, który powiększa

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A

Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Podstawy Metrologii i Technik Eksperymentu Laboratorium Rozkład normalny, niepewność standardowa typu A Instrukcja do ćwiczenia nr 1 Zakład Miernictwa i Ochrony Atmosfery Wrocław, listopad 2010 r. Podstawy

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA STATYSTYKA MATEMATYCZNA. Wykład wstępy. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 3. Zmiee losowe 4. Populacje i próby daych 5. Testowaie hipotez i estymacja parametrów 6. Test t 7. Test 8. Test

Bardziej szczegółowo

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI

Ć wiczenie 17 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z PRZEMIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Ć wiczeie 7 BADANIE SILNIKA TRÓJFAZOWEGO KLATKOWEGO ZASILANEGO Z RZEIENNIKA CZĘSTOTLIWOŚCI Wiadomości ogóle Rozwój apędów elektryczych jest ściśle związay z rozwojem eergoelektroiki Współcześie a ogół

Bardziej szczegółowo

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza

Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych. Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka Stankiewicza Podstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych Wykład tutora na bazie wykładu prof. Marka tankiewicza Po co zajęcia w I Pracowni Fizycznej? 1. Obserwacja zjawisk i efektów

Bardziej szczegółowo

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej

Artykuł techniczny CVM-NET4+ Zgodny z normami dotyczącymi efektywności energetycznej 1 Artykuł techiczy Joatha Azañó Dział ds. Zarządzaia Eergią i Jakości Sieci CVM-ET4+ Zgody z ormami dotyczącymi efektywości eergetyczej owy wielokaałowy aalizator sieci i poboru eergii Obeca sytuacja Obece

Bardziej szczegółowo

ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Analiza dokładności wskazań obiektów nawodnych. Accuracy Analysis of Sea Objects

ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE. Analiza dokładności wskazań obiektów nawodnych. Accuracy Analysis of Sea Objects ISSN 1733-8670 ZESZYTY NAUKOWE NR 11(83) AKADEMII MORSKIEJ W SZCZECINIE IV MIĘDZYNARODOWA KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA E X P L O - S H I P 2 0 0 6 Adrzej Burzyński Aaliza dokładości wskazań obiektów

Bardziej szczegółowo

Rentgenowska analiza fazowa jakościowa i ilościowa Wykład 9

Rentgenowska analiza fazowa jakościowa i ilościowa Wykład 9 Retgeowska aaliza fazowa jakościowa i ilościowa Wykład 9 1. Retgeowska aaliza fazowa jakościowa i ilościowa. 2. Metody aalizy fazowej ilościowej. 3. Dobór wzorca w aalizie ilościowej. 4. Przeprowadzeie

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych dr inż. Adam Kisiel kisiel@if.pw.edu.pl pokój 117b (12b) 1 Materiały do wykładu Transparencje do wykładów: http://www.if.pw.edu.pl/~kisiel/kadd/kadd.html Literatura

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki

Materiały do wykładu 4 ze Statystyki Materiały do wykładu 4 ze Statytyki CHARAKTERYSTYKI LICZBOWE STRUKTURY ZBIOROWOŚCI (dok.) 1. miary położeia - wykład 2 2. miary zmieości (dyperji, rozprozeia) - wykład 3 3. miary aymetrii (kośości) 4.

Bardziej szczegółowo

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.

Miary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i. Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla

Bardziej szczegółowo