METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU

Transkrypt

1 METODYKA WYKONYWANIA POMIARÓW ORAZ OCENA NIEPEWNOŚCI I BŁĘDÓW POMIARU Celem każdego ćwiczeia w laboratorium studeckim jest zmierzeie pewych wielkości, a astępie obliczeie a podstawie tych wyików pomiarów wartości wielkości badaej. Rezultatem końcowym badań jest ie tylko otrzymay wyik liczbowy. Nie miej waże jest dokoaie ocey dokładości pomiaru oraz opracowaie wiosków końcowych. Warto zadać sobie pytaie: czy to, co zostało zmierzoe, ma ses i co z tego wyika? Aby wioski były wiarygode, ależy przeprowadzić aalizę iepewości i błędów pomiaru. Wielkość iepewości pomiaru pozwala a oceę rezultatu aszych badań. Niepewość względa pomiaru mieszcząca się w graicach od 0,1% do 10% jest typowa dla doświadczeń w laboratoriach studeckich. Niepewość rzędu kilkudziesięciu procet zmusza do zastaowieia, czy moża te pomiar wykoać dokładiej (ie przyrządy?, ia metoda?, może warto odrzucić któryś z pomiarów, jeśli wyraźie odbiega od pozostałych?). Wartość iepewości miejsza iż 0,1% też jest iepokojąca, poieważ taki i lepszy poziom dokładości moża uzyskać w ajlepszych laboratoriach aukowych. Dlatego jeśli wartość iepewości względej pomiaru jest miejsza iż 0,1%, warto zweryfikować prawidłowość obliczeń. Wśród wielu podejść do ocey iepewości pomiaru ajbardziej wskazae jest wyzaczaie iepewości stadardowej opartej a pojęciu zwaym odchyleiem stadardowym pomiaru (ozaczae zwykle jako S). Starszym i bardziej ostrożym podejściem do cey dokładości pomiaru jest ocea za pomocą iepewości maksymalej (ozaczae zwykle jako Δ). Metoda ta szczególie adaje się do szybkiego oszacowaia iepewości pomiaru. W iiejszym opracowaiu podae zostaą sposoby obliczeń iepewości stadardowej i maksymalej. Więcej iformacji o podstawach ocey dokładości pomiarów moża zaleźć w książce pt. Pracowia fizycza wspomagaa komputerowo, H.Szydłowski PWN (01).

2 I. Uwagi ogóle, które ależy stosować przy każdym pomiarze: Dokładość przeprowadzoego pomiaru zależy od wielu czyików, które moża podzielić a tzw. błędy i iepewości pomiarowe. Ia: Błędy pomiarowe dzielimy a trzy grupy: 1. błąd przybliżeia,. błąd przeoczeia (systematycze), 3. pomyłki. Błędy przybliżeia wyikają z uproszczeia waruków pomiaru lub ze stosowaia przybliżoych wzorów (p. przybliżeie siα=α dla małych kątów). Błędy przeoczeia (systematycze) wyikają z iedokładości użytych przyrządów, błędej metody pomiaru lub działaia trudo zauważalych czyików zewętrzych. Źle wykoaa liijka, źle wykalibroway mierik spowodują, że wyik będzie systematyczie miejszy lub większy od rzeczywistej wartości. Wykrycie źródła błędów systematyczych jest trude i wymaga porówaia użytych przyrządów ze wzorcem oraz dogłębej aalizy metody pomiaru. Przy wykoywaych w laboratorium studeckim ćwiczeiach zwykle zakładamy, że przyrządy są wole od błędów systematyczych. Pomyłki (błędy grube) powstają wskutek fałszywego odczytaia wskazań, błędego zapisaia wyiku itp. Pomyłki dają się łatwo zauważyć i wyelimiować, poieważ otrzymay wyik zaczie różi się od iych wyików pomiarów tej samej wielkości. Wyik uzyskay obarczoy błędem grubym w dalszej aalizie ależy pomiąć. Ib. Zbadaie przyczy iepewości pomiarowych pozwala a podzieleie wszystkich iepewości a: 1. iepewość wzorcowaia,. iepewość eksperymetatora, 3. iepewość przypadkową. 1. Niepewość wzorcowaia wyika ze stosowaia wzorców-przyrządów pomiarowych, które są zawsze obarczoe pewą iepewością pomiarową. W załączaej lub zalezioej w iterecie istrukcji przyrządu moża i trzeba odczytać wartość dokładości pomiaru a daym zakresie. Obecie produceci przyrządów pomiarowych powii gwaratować taką dokładość przyrządu, aby wyik pomiaru wykoaego za jego pomocą ie różił się od rzeczywistej wartości wielkości mierzoej więcej iż o jedą działkę elemetarą. Działka elemetara to ajmiejsza działka podziałki zazaczoej a skali przyrządu aalogowego i jedostka dekady wskazującej ajmiejszą wartość w przyrządach cyfrowych. Przykład 1 Działka elemetara. Ocea dokładości za pomocą istrukcji przyrządu: 1a.Mikroamperomierz wskazówkowy, który mierzy a zakresie 00μA ze skalą podzieloą a 100 działek ma działkę elemetarą Δ d I=μA, atomiast cyfrowy mikroamperomierz wskazujący, a przykład, wartość 197,3μA ma działkę elemetarą Δ d I=0,01μA. Typowa liijka lub miarka zwijaa ma działkę elemetarą Δ d I=1mm. 1b. Bardzo często w istrukcji przyrządu pomiarowego moża odczytać, jaka jest dokładość pomiaru (P% rdg + dgd). Ozacza to, że iepewość wzorcowaia Δ d X= P%*odczytaa wartość + działek elemetarych. Przykładowo, mierikiem o dokładości (1,5% rdg+3 dgd) zmierzoo apięcie U=1,3V. Poieważ działka elemetara wyosi 0,01V iepewość

3 pomiarowa wyosi ΔU=(1,5%*1,3 + 3*0,01)V=0,04845V. Wyik końcowy pomiaru : U=(1,3+/-0,05)V. Uwaga: Niepewość pomiaru została zaokrągloa, a wyik końcowy zapisay zgodie z zasadami opisaymi w dalszej części opracowaia. 1c. W przypadku przyrządów aalogowych iepewość wzorcowaia jest obliczaa w pierwszej kolejości a podstawie tzw. klasy przyrządu. Klasa przyrządu wyraża stosuek procetowy iepewości maksymalej do pełego wychyleia mierika w daym zakresie. Ozacza to, że wartości odczytaa z mierika może się różić od wartości prawdziwej 0 maksymalie o. Niestety w większości przypadków pomiar mierikiem aalogowym ie jest dokłady w tym sesie, że wskazówka mierika ie pokrywa się działką, ale zajduje się a przykład w jej 1/3. W związku z tym przy wyzaczaiu iepewości wzorcowaia takiego mierika musimy uwzględić to, że w sposób subiektywy oceiamy położeie wskazówki. Eksperymetator musi w takim przypadku sam oceić, o ile mógł się pomylić w odczycie. Niepewość wzorcowaia (iepewość maksymala) przyrządu aalogowego jest sumą iepewości wyikającej z klasy przyrządu i z odczytu eksperymetatora, a iepewość maksymalą obliczamy ze wzoru:. Niepewością eksperymetatora Δ e azywamy ilościową oceę iepewości wyiku spowodowaą p. złą widoczością (p. wskazówki, skali), wywołaą szumami, szybkimi zmiaami wskazań itp. Eksperymetator musi sam oceić wartość Δ e. Dla wahań wartości mierzoej wywołaych szumami za Δ e moża przyjąć połowę szerokości drgań wyrażoą w odpowiedich jedostkach. Przykład. a. Liijką o iepewości wzorcowaia Δ d H=1mm jedokrotie zmierzoo wysokość i szerokość książki. Mierząc wysokość H przyłożoo liijkę do dobrze przyciętej okładki i odczytao: H=8 mm. Dokładość eksperymetatora oceioo a Δ e H=1mm (liijka wprawdzie dobrze przylegała do okładki, ale był problem z odczytem z powodu zaokrągleia krawędzi). Wiosek: iepewość maksymala pomiaru wysokości jest sumą obu iepewości ΔH= Δ d H + Δ e H= mm. Moża teraz powiedzieć, że wysokość książki wyosi H=(8±) mm. Pomiar szerokości książki dał astępujący wyik: L=165 mm. Ze względu a obły grzbiet książki, iepewość eksperymetatora pomiaru jej szerokości oceioo a Δ e H=mm. Dlatego wyik końcowy uwzględiający iepewość wzorcowaia i eksperymetatora to: L=(165±3) mm. b. Woltomierzem zmierzoo apięcie baterii. Mimo, iż mierik może mierzyć z dokładością Δ d U=0,00V to wskutek zakłóceń ostaia cyfra miga i wartość apięcia zmieia się w zakresie 1,54-1,58V. Odczytem w tej sytuacji jest wartość średia U=1,56V, atomiast za iepewość eksperymetatora ależy przyjąć połowę zakresu Δ e U=0,0 V. Niepewość maksymala tego pojedyczego pomiaru wyosi: ΔU=Δ d U+Δ e U=0,0 V. Wyik końcowy ma postać: U=(1,560±0,0) V (1,56±0,0) V. 3. Niepewość przypadkowa. W celu zwiększeia dokładości i wiarygodości pomiarów często wykouje sie kilka razy te sam pomiar. W wyiku takiego działaia otrzymamy szereg wyików, które a ogół

4 mają ieco ią wartość. Obserwoway rozrzut wyików moża oceić określając iepewość przypadkową pomiaru. Niepewość przypadkowa przy wielokrotym pomiarze wielkości X jest wywołaa ograiczoymi zdolościami rozpozawczymi aszych zmysłów (oka, ucha..), aturą zjawiska oraz iestałością waruków zewętrzych. Dlatego rozrzut wyików ma charakter statystyczy, a miarą takiego rozrzutu jest odchyleie stadardowe wartości średiej S. Uikięcie iepewości przypadkowych ie jest możliwe, jedakże teoria błędów podaje zasady, które pozwalają ustalić ich wartość. Z teorii wyika, że dla serii rówoważych sobie pomiarów wielkości X wyikiem końcowym takiej serii pomiarów jest średia arytmetycza zbioru wartości, tz czyli k. (0.1) Aalizując odchyleia pojedyczych pomiarów od wartości średiej, czyli różice ( k - ) dla k=1..., moża zauważyć, że ie wszystkie odchyleia są jedakowo prawdopodobe. Odchyleia duże są miej prawdopodobe od odchyleń małych. Zależość prawdopodobieństwa częstości występowaia odchyleń od ich wartości azywa się rozkładem prawdopodobieństwa. Dla dużej ilości pomiarów (>10) do ocey odchyleń stosujemy rozkład prawdopodobieństwa Gaussa (tzw. rozkład ormaly) atomiast dla małej ilości pomiarów stosujemy rozkład Studeta. Na rysuku 1 przedstawioe są wykresy gęstości prawdopodobieństwa φ() zmieej losowej - wyików pomiaru dla obu rozkładów. Fukcja gęstości prawdopodobieństwa φ() ma tą cechę, że całka z φ() po całym przedziale zmieości wyików pomiaru wyosi 1 (pole pod krzywą φ() jest rówe 1). Ozacza to oczywistą pewość (100% pewość) zalezieia dowolej wartości zmieej w całym jej przedziale zmieości. k1 a/ Rozkład Gaussa b/ Rozkład Studeta φ() φ() pukt przegięcia - S + S -S + S Rys.1. Fukcja rozkładu prawdopodobieństwa a/gaussa b/studeta. Zając wartość średią serii pomiarów oraz odchyleie stadardowe wartości średiej S moża określić przedział zmieości ( - S, +S ) (0.)

5 Moża wykazać, że prawdopodobieństwo zalezieia wartości rzeczywistej X w przedziale określoym wzorem 0. wyosi p=0,683. Mówimy, że z poziomem ufości rówym 0,683 (lub 68,3%) wartość rzeczywista X zajduje się w przedziale ( - S, +S ). Na wykresach z rysuku 1 zazaczoo pole pod wykresem fukcji w zakresie ϵ ( - S, +S ). W obu przypadkach pole wyosi 0,683. Odchyleie stadardowe wartości średiej w rozkładzie Gaussa moża obliczyć ze wzoru : k k 1 S (0.3) ( 1) Jak widać z rysuku 1 krzywa Studeta jest bardziej spłaszczoa w stosuku do krzywej Gaussa. Taka zależość jest wyrazem faktu, że miejsza ilość pomiarów daje wyik końcowy z większą iepewością, czyli z większym odchyleiem stadardowym. Dlatego odchyleie stadardowe w rozkładzie Studeta jest większe t razy od odchyleia stadardowego w rozkładzie ormalym (t >1). Wartość współczyika t (zwaego współczyikiem krytyczym rozkładu Studeta) zależy od ilości pomiarów i od poziomu ufości. W tabeli 1 przedstawioe są wartości t w zależości od liczby pomiarów dla poziomu ufości p=0,683.taki poziom ufości jest wystarczający przy opracowaiu pomiarów w laboratorium studeckim. Tab.1. Wartości współczyika krytyczego w rozkładzie t-studeta dla poziomu ufości p=0, t 1,84 1,3 1,0 1,14 1,11 1,09 1,08 1,07 1,06 1,05 W praktyce laboratoryjej przyjmuje się założeie, że gdy liczba pomiarów jest iewielka (<11) to do aalizy statystyczej otrzymaych rezultatów i ocey iepewości przypadkowej wartości średiej stosuje się rozkład Studeta. Wtedy odchyleie stadardowe S wartości średiej oblicza się ze wzoru: S t k1 k ( 1) (0.4) Jeśli liczba pomiarów jest stosukowo duża (>10) moża przyjąć, że mamy do czyieia z rozkładem ormalym (Gaussa), dla którego współczyik t jest rówy jede, czyli S k1 k ( 1) (0.5) Jeżeli chcemy mieć prawie pewość (poziom ufości p=0,997), że wartość rzeczywista zajduje się w przedziale określoym iepewością, to do ocey iepewości pomiaru ależy używać potrojoej wartości odchyleia stadardowego (tzw. reguła 3S ) czyli ( - 3S, +3S ). (0.6)

6 Regułę 3S moża zastosować przy oceie czy pukt pomiarowy z serii pomiarów "odstający" od iych rzeczywiście jest wyikiem błędu grubego. W tym celu liczy się średią arytmetyczą i odchyleie stadardowe serii pomiarów bez uwzględieia "podejrzaego " pomiaru. Następie sprawdza się, czy te pukt mieści się w graicach ( - 3S, +3S ). Jeśli ie mieści się w tym przedziale, moża go wykluczyć z aalizy jako błąd gruby. 4. Związek między iepewością maksymalą i stadardową -uwagi końcowe Podsumowując kwestię wielokrotego pomiaru moża powiedzieć, że wyikiem wielokrotego pomiaru tej samej wielkości fizyczej, w tych samych warukach, jest średia arytmetycza poszczególych rezultatów (wzór 0.1), atomiast jej iepewością przypadkową jest odchyleie stadardowe wartości średiej S obliczoe ze wzoru (0.4) lub (0.5). Trzeba pamiętać, że dokładość pomiarów wartości k może być zmiejszoa poprzez obecość iepewości wzorcowaia Δ d i eksperymetatora Δ e. Wtedy przyjmując dla obu typów iepewości prostokąty rozkład prawdopodobieństwa, ich odchyleie stadardowe wzorcowaia i eksperymetatora wyosi odpowiedio: S d d e oraz Se. (0.7) 3 3 W przypadku, gdy koieczym jest uwzględieie wszystkich rodzajów iepewości, czyli iepewość eksperymetatora Δ e, iepewość wzorcowaia Δ d i iepewość przypadkową określoą odchyleiem stadardowym wartości średiej S, stosujemy astępujący wzór 1 1 S Sd Se S d e S. (0.8) 3 3 Zastosowaie powyższego wzoru daje 68,3% pewości, że rzeczywista wartość mieści się w graicach ( - S, +S ). Wzór (0.8) upraszcza się zaczie, gdy jede lub dwa rodzaje iepewości ie występują lub są do zaiedbaia. W oceie iepewości maksymalej, gdy koieczym jest uwzględieie wszystkich rodzajów iepewości, czyli iepewość eksperymetatora Δ e, iepewość wzorcowaia Δ d i iepewość przypadkową określoą odchyleiem stadardowym wartości średiej S stosujemy astępujący wzór X 3S. (0.9) d e Zastosowaie powyższego wzoru daje 99,7% pewości, że rzeczywista wartość mieści się w graicach ( - ΔX, + ΔX,). Powyższy wzór upraszcza się zaczie, gdy jede lub dwa rodzaje iepewości ie występują lub są do zaiedbaia. Np. przy pojedyczym pomiarze odchyleie stadardowe wyosi 0. Przykład 3 3a. Seria pomiarów tej samej wielkości fizyczej.

7 Wykoao serię pomiarów czasu spalaia zapałek. Uzyskao osiem wyików: t 1 = 15s, t = 16s, t 3 = 13s, t 4 = 14s, t 5 = 7s, t 6 = 15s, t 7 = 17s, t 8 = 16s. Wśród tych ośmiu pomiarów wartość pomiaru t 5 wyraźie "odstaje" od iych. Wstępie moża te pomiar wyelimiować jako błąd gruby. Wyikiem siedmiu pomiarów jest obliczoa a podstawie wzoru (0.1) średia t =15,149 s. Z tabeli (1) wyika, że dla =7 współczyik krytyczy rozkładu Studeta wyosi t =1,09. Dlatego odchyleie stadardowe wartości średiej S ts jest rówe 0,554s (wzór 0.4). Po uwzględieiu iepewości wzorcowaia Δ d t=1s, moża obliczyć (wzór 0.8) i zapisać, że z prawdopodobieństwem 0,68 średi czas paleia się zapałek z tej próby wyosi: t =(15,14±0,80) s. Moża teraz potwierdzić zasadość wyrzuceia pomiaru t 5 jako błędu grubego stosując zasadę 3S (0.6). 3b Pojedyczy pomiar-ocea iepewości stadardowej i maksymalej. Wyik pomiaru wysokości krawężika wykoay za pomocą liijki jest astępujący L=156mm. Ze względu a zużycie liijki oraz obły kształt krawędzi krawężika oszacowao iepewość eksperymetatora a Δ e L=3mm. W powiązaiu z iepewością wzorcowaia Δ d L=1mm wyliczoa a podstawie wzoru (0.8), iepewość stadardowa pomiaru wyosi: S L =1,8574 mm. Wyik końcowy z iepewością stadardową: L=(156±)mm. Wyik końcowy z iepewością maksymalą (0.9): L=(156±4)mm. 3c. Pojedyczy pomiar-jedo źródło iepewości Zmierzoo suwmiarką średicę pręta stalowego. Otrzymao wyik Φ=1,1mm obarczoy iepewością wzorcowaia Δ d Φ=0,1 mm. Poieważ suwmiarka dobrze "przylegała" do powierzchi pręta iepewość eksperymetatora uzao za rówą zero. Wyik pomiaru z iepewością maksymalą Φ=(1,1±0,1)mm Wyik pomiaru z iepewością stadardową (wzór 0.7 i0.8) Φ=(1,10±0,06)mm. 5. Pomiar wielkości złożoej: Przedstawioe powyżej działaie pozwala a obliczeie iepewości pomiaru jedej wielkości fizyczej. Prawa i zasady fizyki pokazują zależości między wieloma wielkościami fizyczymi, Zając te zależości, moża dokoać pomiaru iych wielkości, aby a koiec obliczyć tę iteresującą. Na przykład, żeby obliczyć średią prędkość samochodu wystarczy zmierzyć czas ruchu i drogę, jaką przebędzie w tym czasie samochód. Podstawiając do wzoru (zależości) V=s/t osiągiemy wyik końcowy. Ogólie mówimy wtedy o wielkości złożoej lub wielkości wyzaczoej pośredio. Ogólie, jeśli wielkość y jest fukcją L zmieych, czyli y( 1, L ), to, aby wyzaczyć wartość y i iepewość pomiaru S Y ależy zmierzyć L wielkości zmieych 1, L, oraz określić ich iepewości stadardowe. Niepewość stadardową pomiaru wielkości złożoej y obliczamy ze wzoru L y S Y S X (0.10) l l1 l y gdzie: są pochodymi cząstkowymi. l Niepewość maksymalą pomiaru wielkości złożoej y, zając iepewości maksymale zmieych 1, L obliczamy ze wzoru

8 y L k1 y k k y 1 1 y... L L (0.11) y gdzie: są kolejymi pochodymi cząstkowymi. k W praktyce, gdy fukcja ma postać iloczyu: a b c y A , (0.1) względa maksymala iepewość pomiaru wielkości złożoej y( 1,, 3,..) jest wyrażoa wzorem: y a y 1 3 b c (0.13) Przykład 4 Celem obliczeia eergii kietyczej wagou, zmierzoo jego prędkość i masę uzyskując astępujące rezultaty: V=(31±) m/s i m=(15,0±0,5) t. mv Eergia kietycza wagou wyosi: E J. Na podstawie wzoru (0.10) mamy: S 4 E E V Sm Sm SV E Sm SV m V SV E = J= m V 4 m V S E = J. Wyikiem końcowym jest wartość eergii kietyczej wagou, czyli E=(71±97) 10 4 J. Moża też obliczyć iepewość maksymalą (wzór 0.13) wielkości złożoej. W tym przykładzie iepewość względa eergii wyosi: E m V 3,3% 1,9% 16,%, czyli E=(71±118) 10 4 J. E m V Jak widać, zgodie z oczekiwaiem iepewość maksymala tego pomiaru (118J) jest większa od iepewości stadardowej (97J). 6. Badaia zależości między wielkościami fizyczymi Osobym zagadieiem jest zbadaie lub potwierdzeie, że istieją określoe związki między wielkościami fizyczymi. W takim przypadku pomiary badaej wielkości Y wykoujemy przy wielu celowo wybraych wartościach iej wielkości X. W rezultacie uzyskujemy zbiór iezależych wyików ( i,y i ), gdzie i=1,,3. Jedym ze sposobów opracowaia takich daych jest aiesieie puktów pomiarowych a wykres. Charakterystyczy układ puktów może sugerować istieie zależości między wielkościami y i w postaci zaych fukcji, p. liiowej, kwadratowej, ekspoecjalej Do weryfikacji, czy daa fukcja prawidłowo opisuje położeie puktów pomiarowych, służy metoda ajmiejszych kwadratów. W tej metodzie szuka się takich parametrów fukcji y(), dla których suma kwadratów różic pomiędzy wartościami zmierzoymi y i, a policzoymi a podstawie tej fukcji y( i ), jest ajmiejsza. Metodą ajmiejszych kwadratów moża w stosukowo prosty sposób wyzaczyć współczyiki a i b fukcji liiowej typu y=a+b. Jeśli wiemy lub podejrzewamy, że wykresem reprezetującym asze pukty pomiarowe może być liia prosta, podstawiamy

9 odpowiedie wielkości jako y i jako, po czym wyliczamy a podstawie poiższych wzorów współczyiki a i b y y a, (0.14) gdzie b y a, (0.15) i yi iyi i i1 i1 i1 i1 y y. (0.16) Niepewości stadardowe (iepewości) współczyików a i b oblicza się z zależości gdzie S 1 y ay by a i S b Sa (0.17) y yi i1. (0.18) Wyzaczoa w te sposób fukcja y=a+b opisuje ajbardziej prawdopodobą liiową zależość dla puktów pomiarowych { i, y i }. Trzeba pamiętać, że zaufaie do końcowego wyiku zależy od liczby aalizowaych puktów pomiarowych. Im miej aalizowaych puktów pomiarowych, tym miejsze prawdopodobieństwo uzyskaia dobrego wyiku. O jakości dopasowaia fukcji mówi współczyik korelacji liiowej r, opisay wzorem r i1 i1 y y y y i i i i1 i r 1,1. (0.19) Im bliższa jedości jest wartość współczyika korelacji liiowej r, tym większe jest prawdopodobieństwo, że postać fukcji prawidłowo opisuje aalizowaą serię pomiarów. Powyższą procedurę, azywaą regresją liiową zwyczają (uzyskiwaie liii tredu), moża zastosować ie tylko do prostych zależości liiowych p. s(t)=vt, U(I)=RI, R(t)=R o (1+αt). Wiele iych zależości, po odpowiedich przekształceiach, moża doprowadzić do postaci liiowej. Przykład 5 Prawo pochłaiaia promieiowaia gamma jest opisae fukcją d N(d) d N(d) N0e czyli e. N0 Po zlogarytmowaiu obu stro rówaia moża otrzymać postać N(d) l d. N 0 Jeśli za l(n(d)/n 0 ) podstawimy y, za d zmieą to otrzymujemy typową fukcję liiową typu y=a, gdzie a=- η.

10 Przykład 6 Na rysuku przedstawioo wyiki pomiaru długości fali dźwiękowej (λ=y) w pewym metalu w fukcji częstotliwości tej fali (f=). Wykres wykoao w programie Origi. Rys..Wykres zależości długości fali dźwiękowej w pręcie metalowym od częstotliwości. Te same dae pomiarowe wykreśloe są rówież a Rys.3. Tym razem zmieą jest odwrotość częstotliwości fali, czyli 1/f. Poieważ z wykresu moża sądzić, że pukty układają się wzdłuż liii prostej, moża zastosować regresję (aproksymację) liiową. Taka procedura azywaa jest wyzaczaiem liii tredu (p. w programie Ecel). Uwaga: Współczyiki we wzorach (0.14) i (0.15) dotyczą rówaia typu y=a+b. W programach komputerowych, p. Origi, Ecel, przyjęto zapis wielomiau, jako y=a+b+c +

11 Rys.3.Wykres zależości długości fali dźwiękowej w pręcie metalowym od odwrotości częstotliwości. Z wyików regresji liiowej przedstawioych a rysuku 3 moża wyprowadzić astępujące wioski: 1. Zbliżoa do jedości wartość współczyika korelacji R=0,99979 pozwala sądzić, że długość fali jest związaa z jej częstotliwością zależością λ =A+B/f.. Współczyik proporcjoalości B mający wymiar [m/s] jest wartością prędkością fali dźwiękowej w badaym pręcie metalowym, czyli V=4897±4 [m/s]. 3. Współczyik A=(0,05±0,047) [m] co jest zgode z oczekiwaiem, że A=0 (dla częstotliwości f fali dążącej do ieskończoości, jej długość λ maleje do zera). 4. Zależość λ =V/f jest potwierdzoa przez powyższe dae doświadczale. 5. Prędkość fali dźwiękowej o częstotliwości w zakresie od 800Hz do7500hz jest stała (ie zależy od częstotliwości fali). Uwaga: Wszelkie obliczeia w w/w procedurze moża i warto wykoać posiłkując się dostępymi programami programach typu Origi, Ecel lub korzystając z kalkulatora.

12 7. Wykoywaie wykresów i graficza aaliza fukcji liiowej. Metoda ręcza opracowaia wykresów Bardzo zbliżoe wyiki przy aalizie współczyików a i b fukcji y=a+b moża uzyskać wykorzystując metodę graficzą. W tym przypadku ależy: 1. arysować i opisać układ współrzędych oraz zazaczyć pukty pomiarowe wraz z iepewościami pomiaru (przykład rys.4a),. jeśli pukty układają się wzdłuż liii prostej (kwestia ocey eksperymetatora a oko ) arysować liię prostą tak, aby w przybliżeiu po obu stroach liii pozostał ta sama liczba puktów (rys.4a), 3. określić pewie szeroki przedział wartości argumetu czyli Δ (Δt a rys.4a) i odpowiadający jemu przyrost fukcji Δy (Δs a rys.4a). Współczyik achyleia a arysowaej prostej będzie wyosił a=δy/δ. Współczyik b jest puktem przecięcia prostej z osią y, Uwaga: współczyik a praktyczie igdy ie jest tagesem kąta achyleia prostej (kąta, który moża odczytać z wykresu), 4. w celu wyzaczeia iepewości pomiaru współczyika a rysować dwie proste o skrajych achyleiach, obejmujące pukty pomiarowe wraz z iepewościami pomiaru (rys.4b), 5. wyzaczyć współczyiki achyleia obu prostych a 1 i a. Niepewość maksymala pomiaru współczyika a jest rówa różicy Δa= a- a 1 lub Δa= a- a, przy czym wybieramy wartość większą. [p. z rys.4b ΔV=4,5 m/s czyli V=(0,3±4,5)m/s] Rys. 4a. Wykres pomiarów zasięgu lotu trzmiela w fukcji czasu. Wyzaczeie prędkości lotu.

13 Rys.4b Wykres pomiarów zasięgu lotu trzmiela w fukcji czasu. Wyzaczeie iepewości pomiaru prędkości lotu. II. Waże uwagi końcowe : Rezultatem pomiaru wielkości X jest wartość oraz obliczoa iepewość pomiaru. Niepewość pomiaru moża wyrazić w postaci ułamka lub procetowo także jako względe odchyleie stadardowe S V. (0.1) Rezultat końcowy pomiaru wielkości X przedstawiamy w astępujący sposób X ( S )[jedostka] lub X [jedostka]. (0.13) V Uwaga: Prawidłowo zapisay wyik końcowy pomiaru z reguły wymaga zaokrągleia. Zasada zaokrąglaia jest astępująca: 1. Niepewość pomiaru (S lub Δ) pewej wielkości X zaokrąglamy do takiego miejsca, aby pozostały tylko maksymalie dwie cyfry zaczące.. Wartość iepewości zawsze zaokrąglamy w górę, poieważ w żadym przypadku ie wolo am zmiejszać iepewości. 3. Wyik pomiaru zaokrąglamy do tego samego miejsca dziesiętego, do którego została zaokrągloa iepewość pomiaru. Przy zaokrąglaiu wyiku pomiaru liczbę kończącą się cyframi 0-4 zaokrąglamy w dół, a 5-9 w górę.

14 4. Czasami się zdarza, że w przypadku pojedyczych pomiarów powiiśmy zaokrąglać iepewość pozostawiając tylko jedą cyfrę zaczącą. 5. Jeśli przyrząd pomiarowy jest w staie podać wyik tylko do określoego miejsca dziesiętego, to ie ma sesu podawać iepewości oraz wyiku z większą dokładością. Przykładowo, jeśli wykoujemy pomiar długości liijką i wyosi o 55 mm, to iepewość podajemy też w pełych milimetrach ( mm), awet jeśli z obliczeń (p. ze wzoru 0.8) otrzymamy iepewość bardziej dokładą (typu 1,9 mm). 5. Trzeba pamiętać, że zaokrąglamy wyik końcowy, a ie wyiki pośredie! Przykład 8 Po opracowaiu pomiarów średicy Φ drutu otrzymałem astępujące wyiki: Φ=0, m i S Φ =5, m. Cyfr zaczących w liczbie określającej Φ jest 6 i tylko 6. (ie 9, bo zera po lewej stroie liczby się ie liczą), atomiast w wartości iepewości cyfr zaczących jest 5. Po zaokrągleiu, wyik końcowy moża przedstawić w formie Φ =(3,46±0,55) 10-3 m, czyli Φ =(346±55) 10-5 m lub Φ =346(55) 10-5 m. Przykład 9 Wielu fizyków długo pracowało, aby uzyskać i zapisać prawidłowo bardzo dokłade stałe fizycze p.: Ładuek elektrou (ładuek elemetary) [] e =(1, ± 0, ) C Ładuek elektrou (ładuek elemetary) [1] e = 1, (40) C Stała Boltzmaa [1]: k = R/N A =(1, ± 0,000004) 10-3 J/K Stała Faradaya [1]: F = N A e =(96 485,3383 ± 0,0083) C/mol Stała grawitacyja [] G N =(6,674 ± 0,0010) m 3 /(kg s ) [1] G= 6,674 8(67) m 3 /(kg s ) itp. [1] [] wyik wcześiejszy od [1] III. Uwagi przydate przy wykoywaiu doświadczeń i opracowywaiu wyików. 1.W suwmiarkach, śrubach mikrometryczych, w iektórych skalach kątowych korzysta się podziałki zwaej oiuszem. Wartość mierzoą za pomocą tych przyrządów, z grubsza, odczytujemy z położeia kreski przy zerze 0, atomiast dziesiąte i sete części, z miejsca gdzie jeda z kresek a skali oiusza pokrywa się z kreską skali główej. Przykład odczytu

15 przedstawioo a rysuku 5. Wyik pomiaru szerokości akrętki M3, czyli S=(5,40±0,05)mm. Skala oiusza -odczyt dziesiątych i setych części mm Skala główa - odczyt w cm Rys.5: Zasada odczytu wyiku pomiaru szerokości a suwmiarce Obecie coraz częściej spotykae są przyrządy typu suwmiarki, kątomierze z elektroiczym odczytem. W tym przypadku ależy uwzględić dokładość podawaą przez produceta.. Na wykresach skalę dobierać tak, aby uzyskae krzywe zajmowały prawie cały dostępy obszar. Zaczyaie skali od zera ie jest koiecze!! 3. Każda oś a wykresie powia zawierać: podziałkę główą, podziałkę pomociczą, etykiety podziałek wraz z jedostkami oraz opisy osi. 4. Nie łączyć puktów pomiarowych odcikami tworząc w te sposób liię łamaą. Krzywa doświadczala zazwyczaj powia być przedstawioa jako liia gładka rysowaa tak, aby po obu jej stroach zajdowała się taka sama liczba puktów pomiarowych. W przypadku określeia badaej fukcji za pomocą regresji liiowej, ależy jej wykres zamieścić wraz z puktami doświadczalymi. 5. Przez pukty pomiarowe prowadzimy słupki iepewości (odciek o długości rówej podwojoej iepewości pomiarowej, ze środkiem w pukcie pomiarowym) lub otaczamy je prostokątami iepewości (środek w pukcie pomiarowym, a wymiary podwojoa iepewość pomiarowa). UWAGA: Przed przystąpieiem do wykoywaia zadaia laboratoryjego ależy zrozumieć badae zjawisko fizycze, metodę pomiaru oraz uświadomić sobie cel daego ćwiczeia. Dobre przygotowaie do działań jest podstawą do osiągięcia celu.