Budowa i weryfikacja modelu ekonometrycznego dla okreœlenia liniowej zale noœci pomiêdzy kosztami pozyskania wêgla a wielkoœci¹ wydobycia

Transkrypt

1 GOSPODARKA SUROWCAMI MINERALNYMI Tom Zeszyt 1/1 LIDIA GAWLIK* Budowa i weryfikacja modelu ekoometryczego dla okreœleia liiowej zale oœci pomiêdzy kosztami pozyskaia wêgla a wielkoœci¹ wydobycia Wprowadzeie Poszukiwaie liiowej zale oœci miêdzy kosztami a wielkoœci¹ wydobycia s³u y miêdzy iymi okreœleiu jak zachowaj¹ siê te koszty przy zmiaie skali produkcji. Zalezieie modelu ekoometryczego opisuj¹cego tê zale oœæ pozwala wioskowaæ o podziale kosztów a koszty sta³e (iezale e od wielkoœci wydobycia) i koszty zmiee (zale e od wielkoœci wydobycia) (Badaia ). W artykule przedstawioo i opisao schemat budowy oraz weryfikacji takiego modelu, który zosta³ zastosoway do aalizy kosztów pozyskaia wêgla kamieego. Schemat opracowao w oparciu o literaturê tematu, uwzglêdiaj¹c jedoczeœie specyfikê wykorzystaych arzêdzi wspomagaj¹cych proces modelowaia Program Statistica v Zastosowaie tego programu wspomaga proces weryfikacji modelu, gdy program sam wyzacza szereg statystyk powalaj¹cych a omiiêcie procesu ich obliczaia. Przedstawioy schemat wsparto przyk³adem dotycz¹cym kosztów wyagrodzeñ w jedej z kopalñ wêgla kamieego. 1. Specyfikacja problemu Liiowe modele ekoometrycze sprowadzaj¹ siê do poszukiwaia a podstawie daych ex post zale oœci pomiêdzy wielkoœci¹ któr¹ chcemy objaœiæ a wielkoœciami które j¹ kszta³tuj¹ w postaci rówaia o ogólej postaci: * Dr i., Istytut Gospodarki Surowcami Mieralymi i Eergi¹ PAN, Kraków; lidia.gawlik@mi-pa.krakow.pl

2 8 ya0 a1x1 ax ax (1) gdzie: y zmiea objaœiaa, x 1, x,..., x zmiee objaœiaj¹ce, a 0, a 1, a,..., a poszukiwae parametry modelu, sk³adik losowy, N liczba zmieych objaœiaj¹cych. Skupiaj¹c siê a przypadku aalizy kosztów pooszoych w kopali mo a poszukiwaæ zale oœci daego rodzaju kosztu (materia³ów, wyagrodzeñ itp.) od wielkoœci wydobycia oraz iych wielkoœci, a przyk³ad czasu czy te parametrów techiczych. Model tym lepiej odzwierciedla rzeczywistoœæ, im wiêcej zmieych istotie wp³ywaj¹cych a wysokoœæ kosztu jest uwzglêdioych w rówaiu. Korzystaj¹c z daych ex post dotycz¹cych kosztów w okreœloym czasie oraz zestawu daych, które jak podejrzewamy mog¹ mieæ wp³yw a poziom tych kosztów mo a, pos³uguj¹c siê metodami ekoometryczymi, przybli aæ zale oœci miêdzy imi fukcj¹ okreœlo¹ rówaiem (1). Jed¹ z ajpopulariejszych metod powalaj¹cych a dopasowaie ajkorzystiejszej fukcji wi¹ ¹cej te wielkoœci jest metoda ajmiejszych kwadratów. Jeœli w aalizowaym modelu ograiczymy iloœæ zmieych objaœiaj¹cych do jedej, to w przypadku poszukiwaia zale oœci miêdzy kosztem a wielkoœci¹ produkcji (w kopali wielkoœci¹ wydobycia) mamy do czyieia z klasycz¹ fukcj¹ kosztów. Takie ograiczeie z jedej stroy powoduje, e jeœli ie wielkoœci i wydobycie maj¹ istoty wp³yw a wysokoœæ kosztu, to ie udaje siê dopasowaæ wystarczaj¹co dok³adej liii regresji, z drugiej stroy, jeœli ju taki model wystarczaj¹co dobrze przybli a badae wielkoœci, to zalezioa zale oœæ mo e pos³u yæ a przyk³ad do ustaleia udzia³u kosztów sta³ych i zmieych w badaym koszcie, co by³o jedym z celów tej pracy. Dla zbioru daych statystyczych sk³adaj¹cego siê z elemetów (W i,k i ), gdzie i jest umerem zbioru o liczeboœci, mo a dobraæ ajlepiej dopasowa¹ liiê regresji kszta³towaia siê kosztów K od wydobycia W w postaci rówaia: gdzie: K zmiea objaœiaa (koszt), W zmiea objaœiaj¹ca (wydobycie), a, b iezae parametry strukturale modelu, sk³adik losowy. K aw b () Przy za³o eiu, e sk³adik losowy jest bliski zeru, mo a wyzaczyæ liiow¹ zale oœæ kosztu od wielkoœci wydobycia, w którym parametry strukturale modelu a i b wyzacza siê z rówañ (Zaj¹c 1996):

3 9 a i1 ( W W)( K K) i i1 i ( W W) i (3) b K W a (4) gdzie: liczeboœæ zbioru daych, i = 1,..., ozaczeie elemetu zbioru daych, W i wielkoœæ wydobycia w i-tym elemecie zbioru daych, K i koszt ca³kowity w i-tym elemecie zbioru daych, W i W 1 K i K 1 i i œredia wielkoœæ wydobycia dla elemetów zbioru daych, œredi koszt ca³kowity dla elemetów zbioru daych. Jeœli uzyskae rówaie w sposób wystarczaj¹co dobry opisuje baday zbiór daych to ozacza, e opisao zale oœæ kosztu od wielkoœci wydobycia za pomoc¹ fukcji liiowej, wktórej:a jest jedostkowym kosztem zmieym (k jz ), b zaœ jest ca³kowitym kosztem sta³ym (K s ) (Czopek 003): K k W K (5) jz s Ilustracjê tego rówaia przedstawioo a rysuku 1, gdzie: k jz tg K W (6) Po wyzaczeiu i weryfikacji modelu liiowego œredi procetowy udzia³ kosztów zmieych (K z [%])dla badaej serii daych kosztowych wyzacza siê jako: k jz W Kz(%) 100% k W K jz s (7)

4 30 Rys.1. Prostoliiowa fukcja kosztu Fig. 1. Liear fuctio of cost. Procedura wyzaczaia i weryfikacji modelu ekoometryczego Program Statistica jest arzêdziem wspomagaj¹cym proces budowy modelu ekoometryczego. Dla serii dwóch daych wyzacza regresjê liiow¹, której przyk³adowe wyiki przedstawioo a rysuku. W przedstawioym przyk³adzie program Statistica wyzacza astêpuj¹ce wielkoœci: liczba przypadków = 1, k liczba szacowaych parametrów modelu =, ( k) liczba stopi swobody = 10, R korelacja miêdzy aalizowaymi seriami daych = 0,77675, R kwadrat korelacji =0,60334, R skorygoway R = wspó³czyik determiacji = 0,563678, F wartoœæ statystyki F-Sedecora = 15,11, S ey stadardowy b³¹d estymacji = 1971,5, a parametr strukturaly modelu (wspó³czyik przy zmieej) = 43,318, b parametr strukturaly modelu (wyraz woly) = 6138,90, S ea stadardowa wartoœæ b³êdu dla wspó³czyika a = 11,107, Rys.. Wyik regresji kosztów wyagrodzeñ od wydobycia w aalizowaej kopali Fig.. Result of the regressio fuctio of salary costs ad coal productio i the aalysed coal mie

5 S eb stadardowa wartoœæ b³êdu dla wspó³czyika b = 03,873, t(10) a wartoœæ statystyki t-studeta dla wspó³czyika a = 3,900, t(10) b wartoœæ statystyki t-studeta dla wspó³czyika b = 3,019, Te wielkoœci pozwalaj¹ w zaczym stopiu wioskowaæ o poprawoœci wyzaczoego rówaia regresji. Aby jedak upewiæ siê, e wyzaczoe rówaie liowe poprawie odzwierciedla badae zjawisko ale y model wszechstroie zweryfikowaæ zarówo ze wzglêdu a wyzaczoe parametry strukturale, jak rówie ze wzglêdu a charakter reszt modelu. Wymaga tego bowiem zastosowaa metoda ajmiejszych kwadratów, której poprawoœæ warukuj¹ przyjête za³o eia (Brzychczy 007; Ekoometria ) dotycz¹ce: braku wspó³liiowoœci zmieych iezale ych, ielosowoœci zmieych objaœiaj¹cych, zerowoœci sumy sk³adików losowych, braku autokorelacji reszt miêdzy sob¹ oraz ze zmieymi objaœiaj¹cymi. Literatura dotycz¹ca modeli ekoometryczych (Ekoometria ; Ekoometria 003; Wefle 003; Wprowadzeie ; Zemke mat.iteretowe) omawia szereg testów s³u ¹cych weryfikacji modelu. Na tej podstawie opracoway zosta³ schemat budowy i weryfikacji modelu liiowego przedstawiaj¹cego zale oœæ kosztu od wielkoœci wydobycia w kopali wêgla kamieego. Schemat te przedstawioo w tabeli 1 i omówioo poi ej. W opisie pomiiêto wyzaczeie statystyk, które program Statistica oblicza automatyczie, skupiaj¹c siê tylko a procedurach iezbêdych do ocey poprawoœci modelu. Omówieie poszczególych kroków poparto aaliz¹ kosztów wyagrodzeñ w jedej z kopalñ wêgla kamieego w roku 006. W aalogiczy sposób budowae s¹ modele iych kosztów w oparciu o serie daych o ró ej liczeboœci. Kszta³towaie siê wielkoœci wydobycia w tej kopali w poszczególych miesi¹cach aalizowaego okresu oraz miesiêcze koszty wyagrodzeñ przedstawioo a rysuku Rys. 3. Kszta³towaie siê wydobycia i wielkoœci wyagrodzeñ w przyk³adowej kopali w poszczególych miesi¹cach 006 r. Fig. 3. Productio ad salary costs i particular moths of 006 i the aalysed coal mie

6 3 TABELA 1 Schemat budowy i weryfikacji modelu zale oœci liiowej miêdzy kosztem a wielkoœci¹ wydobycia TABLE 1 Diagram of the costructio ad verificatio a model of liear depedece of cost as a fuctio of productio Nr kolejy kroku KROK 1 KROK KROK 3 KROK 4 KROK 5 KROK 6 KROK 7 KROK 8 KROK 9 KROK 10 KROK 11 KROK 1 KROK 13 Procedura opis Wyzaczeie korelacji pomiêdzy wielkoœci¹ objaœia¹ a wielkoœci¹ objaœiaj¹c¹ Czy R > R kr? KROK STOP Nie ma mo liwoœci wyzaczeia modelu dla badaej serii daych Estymacja parametrów strukturalych modelu a i b Badaie istotoœci wyzaczoych parametrów strukturalych Czy a i b istote? KROK 4 KROK 13 Badaie mo liwoœci fizyczej iterpretacji modelu Czy a > 0 i b 0? KROK 5 KROK 13 Badaie dopuszczaloœci relacji modelu ze wzglêdu a wspó³czyik determiacji Czy R 0,6? KROK 6 KROK 13 Badaie dopuszczaloœci relacji modelu ze wzglêdu a wspó³czyik zmieoœci V Czy V 0,1? KROK 7 KROK 13 Badaie istotoœci uk³adu wspó³czyików (w oparciu o statystykê F-Sedecora) Czy F > F kr? KROK 8 KROK 13 Badaie autokorelacji sk³adika losowego (w oparciu o statystykê Durbia-Watsoa) Czy DW > d U? KROK 9 KROK 13 Badaie symetrii sk³adika losowego (dla ma³ej próby liczba przypadków <30 rozk³ad t-studeta; dla du ej próby rozk³ad ormaly) Czy t t kr? KROK 10 KROK 13 Badaie losowoœci sk³adika losowego (test serii) Czy K > K kr? KROK 11 KROK 13 Badaie stacjoaroœci sk³adika losowego (statystyka t-studeta) Czy t t kr? KROK 1 KROK 13 Badaie ormaloœci reszt Czy W > K kr? [lub] Czy p >? STOP Model jest poprawy KROK 13 Elimiacja daych odstaj¹cych Czy liczba wyelimiowaych przypadków przekracza 0% pierwotej liczby? STOP Nie ma mo liwoœci wyzaczeia modelu dla badaej serii daych KROK 1

7 W ci¹gu 1 miesiêcy kopalia zaotowa³a zacz¹ce wahaia wielkoœci miesiêczego wydobycia. Zmieia³o siê oo w przedziale od 59 tys. Mg (maksymale miesiêcze wydobycie osi¹giête w listopadzie) do 66,4 tys. Mg (miimale wydobycie osi¹giête we wrzeœiu). Wahaia miesiêczych kosztów wyagrodzeñ w ci¹gu aalizowaych 1 miesiêcy by³y rówie zacze w przedziale od prawie 1,3 ml z³ w grudiu do 8,8 ml z³ we wrzeœiu. Wyik aalizy regresji wykoaej programem Statisitca jest przedstawioy a rysuku 1. Poi ej omówioo poszczególe kroki budowy weryfikacji modelu. Przyjêto poziom istotoœci dla przyk³adowego modelu = 0, Okreœleie korelacji pomiêdzy zmie¹ objaœiaj¹c¹ a wielkoœci¹ objaœia¹ (krok 1) Krytyczy wspó³czyik korelacji wyzacza siê z rówaia: t R kr t (8) gdzie: t wartoœæ statystyki odczytaa z tablic testu t-studeta, przy zadaym poziomie istotoœci, liczba przypadków. W przyk³adowej aalizie mamy 1 przypadków (1 daych miesiêczych). Dla za- ³o oego poziomu istotoœci = 0,05 zajdujemy w tablicach t =,8, co ozacza, e R kr = 0,576. Tymczasem wyzaczoy programem Statistica wspó³czyik korelacji pomiêdzy wielkoœci¹ wyagrodzeñ a wielkoœci¹ wydobycia wyosi 0,7767 i jest wy szy od krytyczego. Ozacza to, e mo a poszukiwaæ rówaia regresji miêdzy tymi wielkoœciami... Estymacja parametrów strukturalych modelu a i b (krok ) Wyzaczoy model ma postaæ: K = 43,318 W ,90 Model te w dalszej kolejoœci podlegaæ bêdzie weryfikacji.

8 34.3. Badaie istotoœci wyzaczoych parametrów strukturalych (krok 3) Do badaia istotoœci parametrów strukturalych modelu stosuje siê test t-studeta. Parametr jest istoty jeœli obliczoa programem wartoœæ statystyki t-studeta jest wy sza od wartoœci krytyczej. Wartoœæ krytycz¹ odczytujemy z tablic t-studeta dla zadaego poziomu istotoœci ( = 0,05) i liczbie stopi swobody ( k= 10): t kr =,8. Poiewa : t(10) a =3,019>t kr i t(10) b = 3,900 > t kr mo a stwierdziæ, e parametry aalizowaego modelu s¹ istote..4. Badaie mo liwoœci fizyczej iterpretacji modelu (krok 4) Poiewa aalizoway model reprezetuje zale oœæ kosztów od wielkoœci wydobycia, powiie zatem spe³iaæ astêpuj¹ce za³o eia: 1) wraz ze wzrostem wydobycia koszt powiie ros¹æ (wspó³czyik a >0) ) dla dowolej wielkoœci wydobycia koszt powiie byæ ieujemy (wspó³czyik b 0) Jeœli waruki te ie s¹ spe³ioe model ie odzwierciedla rzeczywistoœci i jest ieprzydaty (iepoprawy). W aalizowaym przyk³adzie oba wspó³czyiki (a i b) s¹ dodatie, pozwalaj¹ wiêc a popraw¹ iterpretacjê modelu..5. Badaie dopuszczaloœci relacji modelu ze wzglêdu a wspó³czyik determiacji R (krok 5) Wspó³czyik determiacji iformuje w jakim procecie zmieoœæ wielkoœci objaœiaej wyjaœiaa jest przez model. Wspó³czyik te przyjmuje wartoœci z przedzia³u (0,1) i im jest wy szy, tym model lepiej objaœia badae zjawisko. Zwykle przyjmuje siê w sposób arbitraly wartoœæ krytycz¹ tego wspó³czyika. W praktyce czêsto uzaje siê, e przy miimalej wartoœci R = 0,6 mo emy model uwa aæ za poprawy. Badaj¹c zale oœæ kosztów od wydobycia w kopaliach wêgla kamieego przyjêto tak¹ wartoœæ wspó³czyika determiacji za wartoœæ krytycz¹. W aalizowaym przyk³adzie wyzaczoa wartoœæ wspó³czyika determiacji wyosi 0,5637. Jest zatem zbyt iska, by model uzaæ za poprawy. W takim przypadku ale y przerwaæ dalsze testowaie modelu i uzaæ go za iepoprawy. Mo a poszukiwaæ iej zale oœci dla pe³ej serii daych lub spróbowaæ wyelimiowaæ iektóre dae miesiêcze, które zaburzaj¹ przebieg regresji liiowej.

9 W wykoywaej przyk³adowej aalizie wykoao krok 13 polegaj¹cy a elimiacji iektórych daych miesiêczych, w których wielkoœci zaksiêgowaych kosztów wyagrodzeñ zacz¹co ró i³a siê od miesiêcy s¹siedich. Po wyelimiowaiu 1 daej miesiêczej (wyagrodzeñ wyp³acoych w grudiu, które obci¹ oe by³y wyp³at¹ pesji barburkowej) otrzymao wyik regresji wykoaej programem Statistica przedstawioy a rysuku Rys. 4. Wyik regresji kosztów wyagrodzeñ od wydobycia w aalizowaej kopali po wyelimiowaiu jedego przypadku Fig. 4. Result of the regressio fuctio of salary costs ad coal productio i the aalysed coal mie after rejectio oe set of data Dla tej serii daych powtórzoo aalizê od pocz¹tku otrzymuj¹c astêpuj¹ce wyiki: Krok 1: Wspó³czyik korelacji R = 0,80 jest wy szy od krytyczego. Krok : Wyzaczoy model ma postaæ K = 9,940 W ,67. Krok 3: Wartoœæ krytycz¹ odczytujemy z tablic t-studeta dla zadaego poziomu istotoœci ( = 0,05) i 9 stopi swobody. Wyosi o t kr =,6. Poiewa : t(9) a = 4,0 > t kr i t(9) b = 6,105 > t kr mo a stwierdziæ, e parametry aalizowaego modelu s¹ istote. Krok 4: Oba wspó³czyiki (a i b) s¹ dodatie, pozwalaj¹ wiêc a popraw¹ iterpretacjê modelu. Krok 5: Wspó³czyik determiacji modelu wyosi 0,603 i jest wy szy od krytyczego. Model mo a zatem uzaæ za poprawy ze wzglêdu a wspó³czyik determiacji..6. Badaie dopuszczaloœci relacji modelu ze wzglêdu a wspó³czyik zmieoœci V (krok 6) Wspó³czyik zmieoœci wyzacza siê ze wzoru: V S ey 100% K (9)

10 36 gdzie: S ey stadardowy b³¹d estymacji = 1197,6, K œredia wartoœæ zmieej K: K i K 1 i (10) Wspó³czyik zmieoœci V powiie przyjmowaæ jak ajmiejsze wartoœci. W praktyce przyjmuje siê, e model jest poprawy ze wzglêdu a wspó³czyik zmieoœci, jeœli wspó³czyik te jest miejszy od wartoœci przyjêtej arbitralie, zwykle a poziomie 10%. W aalizowaym przyk³adzie œredia wartoœæ zmieej K dla =11 przypadków wyosi 13064, zatem V = 9,%. Wspó³czyik te jest i szy od wartoœci krytyczej, ale y wiêc uzaæ, e relacja modelu jest wyzaczoa poprawie ze wzglêdu a wspó³czyik zmieoœci..7. Badaie istotoœci uk³adu wspó³czyików w oparciu o statystykê F-Sedecora (krok 7) Testem F-Sedocora mo emy stwierdziæ, czy parametry stoj¹ce przy zmieych objaœiaj¹cych s¹ ieistote. A parametry te s¹ istote jeœli wyzaczoa wartoœæ F jest wy sza od wartoœci krytyczej: F>F kr. Wartoœæ krytycz¹ odczytuje siê z tablic rozk³adu F-Sedekora dla daego, (k 1) szacowaych parametrów modelu oraz ( k) stopi swobody. A aalizowaym przypadku F(1,9) = 16,179, zaœ wartoœæ krytycza statystyki (odczytaa z tablic) wyosi F kr = 3,36. Uk³ad wspó³czyików jest wiêc istoty. Krok 7 koñczy aalizê parametrów strukturalych modelu. Koleje kroki maj¹ za zadaie weryfikacjê reszt modelu..8. Badaie autokorelacji sk³adika losowego w oparciu o statystykê Durbia-Watsoa (krok 8) Autokorelacja sk³adika losowego mo e wyst¹piæ zw³aszcza w modelach stochastyczych (budowaych w oparciu o szeregi czasowe) a przyk³ad z powodu opóÿieia wystêpowaia zmieej objaœiaej (kosztów) w stosuku do zmieej objaœiaj¹cej (wydobycie). Empirycza wartoœæ statystyki Durbia-Watsoa wyra oa jest wzorem:

11 37 DW t ( e e ) t t1 e t 1 t (11) DW wyzaczaa jest przez program Statistica. Wartoœæ tej statystyki porówuje siê z wartoœciami krytyczymi statystyki Durbia- -Watsoa odczytywaymi z tablic dla zadaego, liczby aalizowaych przypadków oraz liczby zmieych iezale ych w rówaiu regresji (bez wyrazu wolego). Tablice te podaj¹ dwie wielkoœci d L oraz d U. Gdy DW < d L ale y przyj¹æ hipotezê o autokorelacji sk³adika losowego, co ozacza, e model jest iepoprawy. Gdy d L <DW<d U test ie daje odpowiedzi. Nie mo emy odrzuciæ hipotezy o autokorelacji sk³adika losowego, co w praktyce ozacza, e ale y modyfikowaæ model. Gdy DWd U brak autokorelacji sk³adika losowego model jest poprawy. W aalizowaym przyk³adzie wyzaczoa empiryczie wartoœæ statystyki Durbia- -Watsoa to 1,504. Z tablic wartoœci krytyczych rozk³adu Durbia-Watsoa odczytujemy dla = 0,05, =11ik = 1 wartoœci krytycze d L =0,93orazd U = 1,3. Poiewa DW > d U, brak zatem autokorelacji sk³adika losowego..9. Badaie symetrii sk³adika losowego dla ma³ej próby liczba przypadków < 30 rozk³ad t-studeta; dla du ej próby rozk³ad ormaly (krok 9) Podstaw¹ aalizy symetrii sk³adika losowego jest wartoœæ empirycza statystyki t o postaci: t (1) gdzie: liczba aalizowaych przypadków (reszt), 1 liczba reszt dodatich.

12 38 Reszty s¹ symetrycze, a wiêc model jest poprawy jeœli t<t kr. Wartoœæ krytycz¹ wyzacza siê dla ma³ej liczby przypadków ( = <30) z rozk³adu t-studeta, a dla > 30 z rozk³adu ormalego. W aalizowaym przyk³adzie reszty modelu zestawioo w tabeli. Po zliczeiu =11oraz1 = 6, a zatem t = 0,89. Odczytaa z tablic rozk³adu t-studeta wartoœæ krytycza wyosi,6, wiêc t<t kr, wobec czego ie ma podstaw do odrzuceia hipotezy, e reszty maj¹ rozk³ad symetryczy. Model jest zatem poprawy. TABELA Zestawieie reszt aalizowaego modelu dla sprawdzeia symetrii i losowoœci sk³adika losowego TABLE List of residual errors of the model for the purposes of checkig if they are symmetrical ad radom Nr przypadku Reszta Reszty dodatie Reszty ujeme Nr serii , , , , , , , , , , , Razem Badaie losowoœci sk³adika losowego test serii (krok 10) Test serii jest sprawdziaem losowoœci sk³adika losowego. Seriê dla zjawiska stochastyczego staowi¹ podci¹gi sk³adaj¹ce siê z reszt jedego zaku. Badaie polega a zliczeiu liczby serii K i porówaiu z odczyta¹ z tablic testu serii liczb¹ K kr dla parametrów rozk³adu (1,, ), gdzie 1 ozacza liczbê reszt jedego zaku (dodatich), liczbê reszt przeciwego zaku (ujemych) a przyjêty poziom istotoœci. Je eli K>K kr, to sk³adik losowy jest losowy i model jest poprawy.

13 W tabeli zliczoo liczbê serii dla reszt modelu w aalizowaym przyk³adzie. Liczba serii K = 8. Liczba reszt dodatich 1 = 6, zaœ liczba reszt ujemych =5. Odczytaa z tablic testu serii wartoœæ K kr =3. Poiewa K>K kr, mo a przyj¹æ hipotezê, e reszty modelu s¹ losowe. Model jest zatem poprawy Badaie stacjoaroœci sk³adika losowego statystyka t-studeta (krok 11) Sk³adik losowy jest stacjoary jeœli t t kr, gdzie: r t et, 1 r et, (13) a: r et, t1 t1 ( e e)( tt) t ( e e) ( tt) t t1 (14) Wartoœæ t kr odczytuje siê z tablic t-studeta o parametrach (, ). W aalizowaym przyk³adzie t kr,6. W tabeli 3 zestawioo wielkoœci s³u ¹ce wyzaczeiu r e,t wed³ug wzoru (14). Po wstawieiu wyliczoych wartoœci do wzoru (14) otrzymuje siê r e,t = 0,5578, a po zastosowaiu wzoru (13) wartoœæ obliczoej statystyki t =,016. Poiewa t<t kr, sk³adik losowy modelu jest zatem stacjoary..1. Badaie ormaloœci sk³adika losowego test Shapiro-Wilka (krok 1) Normaloœæ sk³adika losowego jest warukiem poprawoœci zastosowaia testów opartych a rozk³adzie ormalym, takich jak t-studeta i Fishera-Sedecora, które zosta³y u yte we wczeœiejszych krokach testowaia modelu. Program Statistica wykouje (miêdzy iymi) test Shapiro-Wilka. Test te polega a obliczeiu statystyki dla reszt ustawioych w kolejoœci iemalej¹cej:

14 40 TABELA 3 Tabela pomocicza do wyzaczeia r e,t dla zbadaia stacjoaroœci sk³adia losowego w aalizowaym przyk³adzie TABLE 3 Auxiliary table for estimatio r e,t for the purpose of checkig if the residual errors are statioary t e t et e t t ( et e)( t t) ( e t e) ( t t) , ,65 5, , ,374 5, , ,03 4, , ,474 16, ,91 635,91 3, , ,118 9, , ,35, , ,454 4, ,96 14,9 1,000 14,96 04,371 1, , ,61 0,000 0, ,966 0, , ,67 1, , ,079 1, , ,4, , ,813 4, , ,81 3, , ,670 9, ,40 335,40 4, , ,660 16, , ,77 5, , ,499 5,000 t =6,00 e = 0, ( et e)( t t) = t 1 = 1 017,69 ( et e) = t 1 = ,48 ( t t) = t 1 =110,00 W [ ] i1 ai, ( e( i 1) ei ) t1 ( e e) t (15) gdzie: [/] czêœæ ca³kowita liczby /, a,i wspó³czyiki Shapiro-Wilka, które odczytuje siê z tablic wspó³czyików Shapiro-Wilka. Wyzaczo¹ empiryczie wartoœæ W porówuje siê wartoœci¹ krytycz¹ K kr odczytywa¹ z tablicy testu Shapiro-Wilka dla zadaego poziomu istotoœci i iloœci aalizowaych reszt. Jeœli W>K kr, mo emy przyj¹æ, e rozk³ad reszt jest ormaly.

15 Program Statistica podaje rówie istotoœæ rozk³adu reszt p, który ale y porówaæ z zadaym poziomem istotoœci dla modelu. Reszty maj¹ rozk³ad ormaly jeœli istotoœæ rozk³adu tych reszt jest wy sza od zadaego poziom istotoœci. W aalizowaym przyk³adzie histogram reszt wygl¹da jak przedstawioo a rysuku Rys. 5. Histogram reszt modelu w aalizowaym przyk³adzie Fig. 5. Histogram of the residual error of the model i the aalysed example W aalizowaym przypadku odczytaa z tablic Shapiro-Wilka wartoœæ krytycza K kr = = 0,850 i jest i sza od statystyki wyzaczoej empiryczie. Rówoczeœie wyzaczoa programem Statistica istotoœæ rozk³adu p = 0,7466 jest zacz¹co wy sza od za³o oego poziomu istotoœci = 0,05. Ozacza to, e reszty maj¹ rozk³ad ormaly. Krok te koñczy weryfikacjê modelu ekoometryczego. Pozytywa odpowiedÿ a wszystkie postawioe pytaia pozwala a stwierdzeie, e model wyzaczoo poprawie. Negatywa odpowiedÿ a pytaie zadae w dowolym kroku sugeruje, e baday model jest skostruoway iepoprawie. Mo a wówczas odst¹piæ od poszukiwaia modelu lub dokoaæ aalizy i weryfikacji daych do modelu..13. Elimiacja daych odstaj¹cych (krok 13) Program Statistica posiada rozbudowae arzêdzie wyró iaia daych, które odbiegaj¹ od iych. Reszty przedstawiae s¹ a stadaryzowaych wykresach rozrzutu, pozwalaj¹c

16 4 a ³atwe wyszukaie przypadków zawieraj¹cych dae odstaj¹ce. Takie reszty sugeruj¹ wyst¹pieie zdarzeñ zaburzaj¹cych ormal¹ pracê kopali. Mog¹ to byæ gwa³towe spadki wydobycia spowodowae awari¹ albo adzwyczaje okoliczoœci powoduj¹ce wzrost kosztu poad zwyk³y poziom. Jeœli istieje podejrzeie wyst¹pieia takiego zjawiska, to z serii aalizowaych daych ale y wyelimiowaæ te pary daych, które s¹ jego efektem. Ka da decyzja o elimiacji kokretego przypadku powia byæ poprzedzoa merytorycz¹ oce¹ przyczy jego wyst¹pieia. Nale y rówie wprowadziæ limit liczby wyelimiowaych przypadków, aby ie budowaæ modelu a si³ê poprzez pozostawieie tylko takich daych, które wpasowuj¹ siê w za³o oy model. W przedstawioym schemacie budowy modelu ekoometryczego za³o oo, e maksymala liczba wyelimiowaych przypadków ie mo e przekraczaæ 0% pierwotej liczby aalizowaych serii daych. Podsumowaie Przedstawioa procedura budowy i weryfikacji modelu liiowego pomiêdzy wielkoœci¹ wydobycia a pooszoymi kosztami jest procedur¹ uiwersal¹ maj¹c¹ zastosowae do poszukiwaia zale oœci liiowych pomiêdzy dowolymi wielkoœciami. Procedura ta zawiera zarówo badaie uzyskaych parametrów strukturalych modelu, jak rówie badaie reszt modelu w celu wyelimiowaia wioskowaia a podstawie modeli uzyskaych przez przyjêcie ieprawid³owych za³o eñ. Dopiero pe³a weryfikacja modelu upowa ia a wioskowaia a jego podstawie. Dla prowadzoej w tej pracy aalizy kosztów wyagrodzeñ w fukcji wydobycia w jedej z kopalñ wêgla kamieego, po przeprowadzoej pozytywie weryfikacji, mo a stwierdziæ, e fukcj¹ liiow¹ opisuj¹c¹ tê zale oœæ jest fukcja: K = 9,940 W ,67 Ozacza to, e w roku 006 koszt sta³y w tej kopali wyosi³ (œredio miesiêczie) Ks = 7 998,67 tys. z³, a jedostkowy koszt zmiey k jz = 9,94 z³/mg. Po zastosowaiu rówaia (7) mo a stwierdziæ, e udzia³ kosztów zmieych w kosztach wyagrodzeñ w tej kopali wyiós³ 38,8%. Modele ekoometrycze, a w szczególoœci wioski jakie z ich mo a wyci¹g¹æ, maj¹ szerokie zastosowaie do zarz¹dzaia produkcj¹ (Gawlik 007a, b; ucki 1988; Przyby³a 004). Wa e jest jedak, by modele te by³y budowae poprawie. Wielu iedoœwiadczoych badaczy koñczy poszukiwaie fukcji regresji w momecie uzyskaia wystarczaj¹co wysokiego wspó³czyika R, ie do koñca zdaj¹c sobie sprawê, e pos³u eie siê metod¹ ajmiejszych kwadratów by³o ieuzasadioe z powodu iespe³ieia podstawowych za³o eñ tej metody.

17 Opracoway i przedstawioy schemat budowy i weryfikacji modelu liiowego staowiæ mo e pomoc w ustaleiu kolejoœci dzia³añ w dziele tworzeia modelu. Koleje kroki ustawioe s¹ bowiem w kolejoœci od ajmiej do ajbardziej pracoch³oych. Przedstawioy tutaj model liiowy z jed¹ zmie¹ objaœiaj¹c¹ jest modelem ajprostszym. Jego postaæ jest przydata do okreœleia udzia³u kosztów sta³ych i zmieych w aalizowaym koszcie. Nale y jedak zdawaæ sobie sprawê, e rzeczywiste zale oœci miêdzy badaymi wielkoœciami ie zawsze s¹ tak proste. Zale oœæ miêdzy kosztami i wydobyciem mo e przybieraæ i¹ i liiowa postaæ. Koszty mog¹ zale eæ od wiêcej i jedej zmieej objaœiaj¹cej. Postaæ aalitycza modelu powia zatem byæ dostosowaa do celu jakiemu badaia modelowe maj¹ s³u yæ. 43 LITERATURA Badaia kosztów pozyskaia wêgla kamieego i bruatego w celu okreœleia optymalej struktury paliwowej produkcji eergii elektryczej. Red. L. Gawlik, Wyd. IGSMiE PAN, Kraków 006. B r z y c h c z y E., 007 Budowa modeli ekoometryczych wybraych parametrów techiczo-ekoomiczych kopali wêgla kamieego. Wiadomoœci Góricze r 11, s B r z y c h c z y E., 008 Weryfikacja modeli ekoometryczych opracowaych dla potrzeb aalizy charakterystyk techiczo ekoomiczych kopalñ wêgla kamieego. Wiadomoœci Góricze r 3, s C z o p e k K., 003 Koszty sta³e i zmiee. Teoria Praktyka. Cz. 1 Fukcja prostoliiowa. Wyd. Art-Tekst, Kraków. Ekoometria. Metody i aaliza problemów ekoomiczych. Red. K. Jajuga. Wyd. Akademii Ekoomiczej we Wroc³awiu Ekoometria. Metody, przyk³ady, zadaia. Red. J. Dziechciarz. Wyd. Akademii Ekoomiczej we Wroc³awiu 003. G a w l i k L., 007a Koszty sta³e i zmiee pozyskaia wêgla kamieego jako elemet zarz¹dzaia produkcj¹, Polityka Eergetycza t. 10, z. spec., s G a w l i k L., 007b Zastosowaie kosztów sta³ych i zmieych pozyskaia wêgla do ocey efektywoœci kopali, [W:] Szko³a ekoomiki i zarz¹dzaia w górictwie 007, s u c k i Z, 1988 Modele ekoometrycze do zarz¹dzaia w górictwie aftowym. ZN AGH, Zagadieia techiczo-ekoomicze r 1. P r z y b y ³ a H., 004 Wykorzystaie modeli statystyczych w oceie i progozowaiu wyików produkcyjych i ekoomiczych górictwa wêgla kamieego, [W:] Szko³a ekoomiki i zarz¹dzaia w górictwie 004, s W e l f e A., 003 Ekoometria. PWE, Warszawa. Wprowadzeie do ekoometrii w przyk³adach i zadaiach. Red. K. Kuku³a. PWN, Warszawa Z a j ¹ c K., 1976 Zarys metod statystyczych. PWE Warszawa. Z e m k e J. Weryfikacja modelu ekoometryczego. Materia³y iteretowe. BUDOWA I WERYFIKACJA MODELU EKONOMETRYCZNEGO DLA OKREŒLENIA LINIOWEJ ZALE NOŒCI POMIÊDZY KOSZTAMI POZYSKANIA WÊGLA A WIELKOŒCI WYDOBYCIA S³owa kluczowe Modele ekoometrycze, model liiowy, koszty pozyskaia wêgla

18 44 Streszczeie W pracy przedstawioo i opisao koleje kroki iezbêde do budowy modelu ekoometryczego maj¹cego za zadaie opisaie zale oœci pomiêdzy kosztami a wielkoœci¹ produkcji w kopali wêgla kamieego. Zadaie sprowadza siê do poszukiwaia modelu liiowego z jed¹ zmie¹ objaœiaj¹c¹. Przedstawioo matematyczy zapis problemu oraz mo liwoœæ zastosowaia modelu do wyzaczeia udzia³u kosztów zmieych w aalizowaym koszcie produkcji. Opracowao schemat budowy i weryfikacji takiego modelu w oparciu o literaturê tematu, uwzglêdiaj¹c jedoczeœie specyfikê wykorzystaych arzêdzi wspomagaj¹cych proces modelowaia Program Statistica v Zastosowaie tego programu wspomaga proces weryfikacji modelu, gdy program sam wyzacza szereg statystyk powalaj¹cych a omiiêcie procesu ich obliczaia. Do szacowaia modelu zastosowao metodê ajmiejszych kwadratów. Dlatego szczegól¹ uwagê zwrócoo a problem weryfikacji modelu, tak by spe³ia³ o za³o eia le ¹ce u podstaw stosowaia tej metody. Zapropoowao weryfikacjê parametrów strukturalych modelu oraz wszechstro¹ weryfikacjê reszt. Schemat pe³ej weryfikacji modelu sk³ada siê z 13 kroków. W ka dym z kroków opisao procedurê iezbêd¹ dla zweryfikowaia badaej cechy modelu oraz podao waruek jaki musi byæ spe³ioy, by mo a by³o przejœæ do kroku astêpego. W przypadku braku pozytywej weryfikacji w dowolym z kroków ale y albo zmodyfikowaæ seriê daych wejœciowych, albo zrezygowaæ z modelu. Podao waruki elimiacji iektórych daych wejœciowych. Przedstawioy schemat zilustrowao buduj¹c model zale oœci kosztów wyagrodzeñ od wydobycia dla jedej z kopalñ wêgla kamieego. Model te zosta³ zweryfikoway pozytywie i zosta³ u yty do okreœleia udzia³u kosztów zmieych w kosztach wyagrodzeñ w tej kopali. CONSTRUCTION AND VALIDATION OF ECONOMETRIC MODEL OF LINEAR DEPENDENCE BETWEEN COSTS AND COAL PRODUCTION LEVEL Key words Ecoometric models, liear model, cost of coal productio Abstract The paper presets the sequece of steps that are ecessary to costruct a ecoometric model aimed to describe the depedecy betwee cost ad productio i coal mie. The task is delimited to liear model with oe explaatory variable. The mathematic equatio of the problem is give ad the possibility of model applicatio for evaluatio the share of variable costs i aalysed costs is show. The diagram of the process of costructio ad validatio of the model was worked out basig o a wide bibliography ad it takes ito accout the usage of Statistica v. 6.0 program. The program facilitates the process of model verificatio as it estimates a rage of statistics. The least square method is applied for the model estimatio. That is why the special attetio is paid to the validatio of the model to assure that the assumptios eeded for applicatio of the method are fulfilled. Verificatio of the structural parameters of the model is advised as well as multidimesioal check out of residual errors. The scheme of full verificatio of the model cosists of 13 steps. I each step the procedure of validatio the particular feature of the model compoets is described ad the criteria of positive verificatio are give. Oly the positive result of validatio etitles for goig to the ext step of the process. I case of egative verificatio at ay step it is ecessary to modify the set of iput data or reformulate the model. The coditios of rejectio of some iput data are give. The procedure is illustrated with the process of costructio ad validatio of the model where the costs of salaries are depedet from coal productio level i oe of coal mies. The model was fully verified ad fially is used for evaluatio the share of variable costs i salary costs i the coal mie.