Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest"

Transkrypt

1 38 Innym wnioskiem z twierdzenia 3.10 jest Wniosek 3.2. Jeœli funkcja f ma ci¹g³¹ pochodn¹ rzêdu n + 1 na odcinku [a, b] zawieraj¹cym wêz³y rzeczywiste x i (i = 0, 1,..., k) i punkt x, to istnieje wartoœæ [a, b], przy czym = (x), e (3.20) W dowodzie tego wniosku korzysta siê z przedstawienia ca³kowego uogólnionego ilorazu ró - nicowego, a nastêpnie stosuje siê twierdzenie o wartoœci œredniej dla ca³ek. Wzór (3.20) jest czêsto stosowany w praktyce, gdy w wielu przypadkach potrafimy z w³asnoœci rozwa anego zagadnienia oszacowaæ pochodn¹ nieznanej funkcji f. Jeœli dla x [a, b], to bezpoœrednio z wzoru (3.20) mamy 3.7. Interpolacja wymierna Definicja 3.9. Zadanie interpolacji wymiernej polega na znalezieniu dla danej funkcji f funkcji wymiernej W postaci mn w której stopieñ licznika jest równy co najwy ej m, a stopieñ mianownika co najwy ej n, spe³niaj¹cej dla danych wêz³ów x i i wartoœci funkcji w tych wêz³ach f(x ) (i = 0, 1,..., m + n) warunki i (3.20) Zauwa my, e funkcja W mn zawiera m + n + 2 wspó³czynniki, podczas gdy warunków postamn z dok³adnoœci¹ do wspól- ci (3.20) jest m + n + 1. Najczêœciej okreœla siê bowiem funkcjê W nego czynnika 0. Z zale noœci (3.20) mamy (3.21)

2 3.8. Interpolacja trygonometryczna 39 Jest to uk³ad równañ jednorodnych ze wzglêdu na niewiadome wspó³czynniki a ki b k. Okazuje siê jednak, e zast¹pienie zadania interpolacji wymiernej rozwianiem ww. uk³adu nie zawsze prowadzi do rozwi¹zania. Przyk³ad 3.7 Niech m = n = 1 oraz i Spróbujmy okreœliæ funkcjê wymiern¹ xi f(x) i spe³niaj¹c¹ warunki (3.20). Z zale noœci (3.21) mamy Rozwi¹zaniem tego uk³adu z dok³adnoœci¹ do wspólnego czynnika ró nego od 0 jest St¹d Dla x = 0 mamy wyra enie nieokreœlone. Jeœli dokonamy redukcji, to otrzymamy funkcjê ale i ta funkcja nie rozwi¹zuje zagadnienia interpolacji w punkcie x = 0, bo mamy # Wniosek 3.3. Zadanie interpolacji wymiernej nie zawsze jest rozwi¹zalne. Prawie ka de rozwi¹zanie uk³adu (3.20) jest rozwi¹zaniem uk³adu (3.21), ale nie na odwrót. W podrêczniku [2] s¹ podane zale noœci pomiêdzy rozwi¹zaniami uk³adów (3.20) i (3.21). W ksi¹ ce tej podano tak e algorytm interpolacji wymiernej, który odpowiada algorytmowi Neville a w interpolacji wielomianowej Interpolacja trygonometryczna Niech bêdzie dany przedzia³ [0, 2 ] oraz punkty wêz³owe i wartoœci funkcji w tych wêz³ach f(x ) (k = 0, 1,..., n 1), przy czym wartoœci f(x ) mog¹ byæ zespolone. k k

3 40 Definicja Zadanie interpolacji trygonometrycznej polega na znalezieniu dla danej funkcji okresowej f o okresie 2 wielomianu trygonometrycznego (3.22) exp( i) = cos + isin (wzór Eulera), i oznacza jednostkê urojon¹, takiego e (3.23) Funkcja f jest funkcj¹ zmiennej rzeczywistej o wartoœciach zespolonych. Wspó³czynniki k w ogólnoœci mog¹ byæ liczbami zespolonymi. Je eli dana jest funkcja g o okresie T, tj. g(y + T) = g(y), to dokonuj¹c zamiany zmiennej wed³ug zale noœci otrzymamy a wiêc funkcjê okresow¹ o okresie 2. Bez zmniejszania ogólnoœci mo emy zatem rozwa aæ tylko funkcje o okresie 2. Podobnie, jak w przypadku interpolacji wielomianowej, mo emy udowodniæ Twierdzenie 3.9. Dla dowolnych liczb zespolonych f(x k) i rzeczywistych wêz³ów (k = 0, 1,..., n 1), gdzie liczba n jest ustalona, istnieje dok³adnie jeden wielomian trygonometryczny (3.22) spe³niaj¹cy warunki (3.23). Dowód. Podstawiaj¹c w = exp(xi) z wzoru (3.22) otrzymujemy i zagadnienie interpolacji trygonometrycznej sprowadza siê do zagadnienia interpolacyjnego Lagrange a znalezienia wielomianu stopnia n 1, gdy # W kolejnym twierdzeniu podano wzory na wspó³czynniki k wielomianu (3.22). Twierdzenie Je eli dla wielomianu trygonometrycznego (3.22) zachodz¹ zale noœci (3.23), to (3.24) Dowód. Oznaczmy w = exp(x i). Poka emy najpierw, e a) dla liczb ca³kowitych j oraz k, k k b) gdzie 0 j, h n 1. Równoœæ a) jest oczywista, gdy wynika z definicji liczb w k. W celu udowodnienia zale noœci b) zauwa my, e dla k = 0, ±1, ±2,..., liczba w jest pierwiastkiem równania k

4 3.8. Interpolacja trygonometryczna 41 Zatem w k 1 dla wszystkich k 0, ±n, ±2n,.... Mamy a st¹d otrzymujemy zale noœæ b). )) okreœlimy ilon Je eli w przestrzeni C zawieraj¹cej wszystkie wektory f = (f(x ), f(x ),..., f(x czyn skalarny 0 1 n 1 gdzie oznacza sprzê enie liczby to w³asnoœci a) i b) oznaczaj¹, e przyporz¹dkowane funkcji exp(jxi) specjalne uk³ady n liczb n tworz¹ bazê ortonormaln¹ w przestrzeni C, tj. Poniewa T n(x k) = f(x k), wiêc z uwagi na zale noœæ (3.25) mamy (3.25) # Niech teraz wartoœci f(x k) bêd¹ rzeczywiste. Oznaczmy (3.26) gdzie j oznacza liczbê ca³kowit¹. Z wzoru (3.24) wynika, e (3.27)

5 42 Mo emy teraz udowodniæ twierdzenie o interpolacji rzeczywistymi wielomianami trygonometrycznymi. Twierdzenie Dla danych punktów wêz³owych i rzeczywistych wartoœci funkcji w tych wêz³ach f(x k) istnieje dok³adnie jeden wielomian trygonometryczny o w³asnoœci T (x ) = f(x ), przy czym dla n parzystego (n = 2m) n k k (3.28) a dla n nieparzystego (n = 2m + 1) (3.29) Dowód. Istnienie i jednoznacznoœæ wielomianów (3.28) i (3.29) wynika z twierdzenia 3.9. Dla n = 2m z wzorów (3.22), (3.24), (3.26) i (3.27) mamy (3.30) Z zale noœci (3.26) otrzymujemy bo i dlatego wzór (3.30) daje zale noœæ (3.28) dla x = x k. Gdy liczba n jest nieparzysta dowód przebiega podobnie. #

6 3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi Interpolacja funkcjami sklejanymi W dotychczas rozpatrywanych zagadnieniach interpolacji wielomianowej zak³adaliœmy, e dana funkcja jest przybli ana jednym wielomianem na ca³ym odcinku [a, b] = [x 0, x n]. Jedyn¹ mo liwoœci¹ uzyskania lepszego przybli enia by³o zwiêkszenie stopnia wielomianu. Wiadomo jednak, e nawet dla bardzo regularnych funkcji ci¹g wielomianów interpolacyjnych nie musi byæ zbie ny do interpolowanej funkcji. Dlatego do zagadnienia tego podchodzi siê w inny sposób. Dzielimy ca³y przedzia³ [a, b] na N czêœci i w ka dym z podprzedzia³ów przybli amy funkcjê wielomianem ustalonego (mo liwie niskiego) stopnia. Istotne jest przy tym, aby tak skonstruowane przybli enie by³o ci¹g³e wraz z pochodnymi odpowiednich rzêdów na ca³ym odcinku [a, b]. Funkcje o tej w³asnoœci nazywaj¹ siê funkcjami sklejanymi. Definicja Funkcjê rzeczywist¹ S nazywamy funkcj¹ sklejan¹ stopnia m z wêz³ami jeœli a) w ka dym przedziale (x i 1, x i) dla i = 0, 1,..., n + 1, przy czym przyjmujemy x 1 =, x n+1 = +, funkcja S jest wielomianem stopnia nie wy szego ni m, b) funkcja S i jej pochodne rzêdu 1, 2,..., m 1 s¹ ci¹g³e na ca³ej osi rzeczywistej. Zauwa my, e gdy m = 1, to funkcja sklejana jest ³aman¹. Wœród funkcji sklejanych specjaln¹ rolê (zob. dalej) spe³niaj¹ pewne ich klasy. Definicja Funkcjê sklejan¹ S stopnia 2m 1 z wêz³ami nazywamy naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹, gdy w przedzia³ach (, x 0) i (x n, + ) dana jest wielomianem stopnia m 1 (a nie 2m 1). Definicja Funkcjê sklejan¹ S stopnia m z wêz³ami nazywamy okresow¹ funkcj¹ sklejan¹ o okresie b a, gdy dla i = 0, 1,..., m 1. W dalszym ci¹gu przyjmiemy nastêpuj¹ce oznaczenia: S m( ) klasa funkcji sklejanych stopnia m z wêz³ami, P m( ) klasa okresowych funkcji sklejanych stopnia m z wêz³ami, N ( ) klasa naturalnych funkcji sklejanych stopnia 2m 1 z wêz³ami. 2m 1 Definicja Zadanie interpolacji funkcjami sklejanymi polega na znalezieniu dla danych punktów (x, f(x )), i = 0, 1,..., n, funkcji sklejanej S, takiej e i i (3.31) W ca³ej klasie S m( ) zadanie to nie ma jednoznacznego rozwi¹zania, natomiast w klasach P m( ) i N 2m 1( ) istnieje dok³adnie jedna funkcja sklejana S spe³niaj¹ca warunki (3.31) (dowód tego twierdzenia znajduje siê m. in. w [1]).

7 44 Poni ej podajemy algorytm wyznaczania naturalnej i okresowej funkcji sklejanej stopnia trzeciego. Tak¹ funkcjê najczêœciej stosuje siê w praktyce. Zak³adamy zatem, e gdzie t = x x i dla x [x i, x i+1), i = 0, 1,..., n 1, S N 3( ) lub S P 3( ) oraz S(x i) = f(x i) w wêz³ach. Z wzoru (3.32) wynika, e nale y wyznaczyæ 4n wspó³czynników (jeœli przedzia³ [a, b] jest podzielony na n podprzedzia³ów). Z warunków interpolacji (3.31) oraz z okreœlenia funkcji S wzorem (3.32) otrzymujemy gdy dla x = x i mamy t = 0. Nale y zatem jeszcze wyznaczyæ 3n wspó³czynników. 3n 3 równai (i = 1, nia na te wspó³czynniki otrzymamy z za³o enia ci¹g³oœci funkcji S, S i S w wêz³ach x 2,..., n 1), a pozosta³e równania z faktu, e funkcja S jest naturaln¹ lub okresow¹ funkcj¹ sklejan¹. Z okreœlenia (3.32) funkcji S mamy (3.32) (3.33) Z ci¹g³oœci funkcji S w wêz³ach x i (i = 1, 2,..., n 1), czyli z warunku otrzymujemy czyli Obliczaj¹c pochodn¹ funkcji S z wzoru (3.32) mamy (3.34) i z warunku ci¹g³oœci funkcji S w wêz³ach x i, tj. z warunku mamy a wiêc Postêpuj¹c dalej podobnie, z ci¹g³oœci funkcji S w wêz³ach x i otrzymamy równania (3.35) (3.36) Z zale noœci (3.34) wyznaczamy d i 1: (3.37)

8 3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi 45 gdzie przyjêto oznaczenie po czym podstawiamy te wartoœci do wzorów (3.35) i (3.36) uwzglêdniaj¹c warunki (3.33). Otrzymujemy czyli gdzie dla prostoty oznaczyliœmy f i = f(x i). Z drugiego z powy szych równañ mo emy obliczyæ b. Mamy i 1 (3.38) i po podstawieniu do pierwszego równania dostajemy (3.39) Równanie (3.38) mo emy tak e zapisaæ nastêpuj¹co: (3.40) Dla i = 1, 2,..., n 2 z równañ (3.39) i (3.40) otrzymujemy czyli Jest to uk³ad n 2 równañ z n niewiadomymi c 0, c 1,..., c n 1. Warunek (3.41) musi zachodziæ tak e w punkcie x = b, czyli w punkcie x, a st¹d (por. wzór (3.34)) i n Rozumuj¹c jak poprzednio dostaniemy (por. wzory (3.37) i (3.38)) (3.42)

9 46 a wiêc uk³ad (3.41) zachodzi dla i = 1, 2,..., n 1 (z n + 1 niewiadomymi c 0, c 1,..., c n). Po prostych przekszta³ceniach mo emy go zapisaæ w postaci (3.43) Je eli funkcja S jest naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹, to poza przedzia³em [a, b] jest ona wielomianem stopnia m 1, a w przedziale [a, b] stopnia 2m 1. W naszym przypadku 2m 1 = 3, a st¹d m = 2. Oznacza to, e w przedzia³ach (, a) i (b, + ) funkcja S jest wielomianem stopnia pierwszego, a st¹d S (x) = 0 dla x [a, b]. Z drugiej strony funkcja S musi byæ ci¹g³a w punktach x 0 = a i x n = b, czyli S (x 0) = S (x n) = 0. Zatem c 0 = 0, bo S (x) = 2c 0 + 6d 0(x x 0) dla x [x, x ) oraz c = 0 z warunku 2c = S (x 0). Uk³ad (3.43) przyjmuje wiêc postaæ 0 1 n n n gdzie Macierz tego uk³adu jest trójprzek¹tniowa. Sposób rozwi¹zania uk³adu równañ liniowych z tak¹ macierz¹ jest podany w p Jeœli funkcja S jest okresow¹ funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego, to musz¹ byæ spe³nione warunki a st¹d dla i = 0 otrzymujemy a wiêc warunek, jaki powinna spe³niaæ funkcja f w interpolacji funkcj¹ okresow¹. Dla i = 1 mamy czyli (3.44) Wreszcie, dla i = 2 otrzymujemy

10 3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi 47 Z zale noœci (3.44) po uwzglêdnieniu równañ (3.38) i (3.42) mamy St¹d, uwzglêdniaj¹c, e c 0 = c n, po prostych przekszta³ceniach otrzymujemy (3.45) Równania (3.43) i wzór (3.45) prowadz¹ do uk³adu n równañ liniowych z n niewiadomymi c 1, c,..., c postaci 2 n gdzie a pozosta³e wielkoœci w i, u i i v i (i = 1, 2,..., n 1) s¹ okreœlone jak poprzednio. Korzystaj¹c z obliczonych wspó³czynników c funkcjê S mo emy przedstawiæ w postaci i B³¹d interpolacji funkcjami sklejanymi jest okreœlony w poni szych twierdzeniach. Twierdzenie Jeœli funkcja f spe³nia warunek Höldera, tzn. istniej¹ sta³e L > 0 i (0, 1], takie e dla dowolnych x, y [a, b] mamy to (3.46)

11 48 Dowód tego twierdzenia znajduje siê w [1]. Zauwa my, e z wzoru (3.46) wynika, e jeœli chcemy, aby oszacowanie b³êdu by³o rzêdu to wielkoœæ powinna byæ w przybli eniu równa 1. Oznacza to, e wêz³y powinny byæ roz³o one w miarê równomiernie. Za³o enie to nie jest konieczne dla bardziej regularnej funkcji. Mamy bowiem (2) Twierdzenie Je eli f C [a, b], to gdzie Dowód tego twierdzenia te znajduje siê w [1]. Zadania 1. ZnaleŸæ wielomian interpolacyjny Lagrange a, który w punktach 2, 1, 2, 4 przyjmuje wartoœci odpowiednio 3, 1, 3, 8. Jaka jest wartoœæ tego wielomianu w punkcie x = 0? 2. ZnaleŸæ wielomian interpolacyjny Lagrange a, który w punktach 0, 1, 2 przyjmuje wartoœci odpowiednio 1, 1, 3. Obliczyæ wartoœæ tego wielomianu w punkcie x = 1/2. 3. Dla danych z zadania 2 znaleÿæ wartoœæ wielomianu interpolacyjnego w punkcie x = 1/2 stosuj¹c algorytm Neville a. 4. Dla danych z zadania 2 znaleÿæ wielomian interpolacyjny stosuj¹c wzór interpolacyjny Newtona. 5. Napisaæ wzór interpolacyjny Newtona dla funkcji f(x) i nastêpuj¹cych danych: f(0) = 1, f(2) = 3, f(3) = 2, f(4) = 5, f(6) = Udowodniæ, e je eli to Jaka jest wartoœæ tego ilorazu ró nicowego, gdy n = p. + 1? 7. Obliczyæ ró nice progresywne wielomianu przyjmuj¹c h = ZnaleŸæ ró nice wsteczne wielomianu W 4(x) z zadania Udowodniæ, e jeœli x i = x 0 + ih, i = 0, 1,..., k, to

12 3.9. Interpolacja funkcjami sklejanymi Pokazaæ, e 11. Udowodniæ, e 12. Korzystaj¹c z przedstawienia wielomianu interpolacyjnego za pomoc¹ ró nic progresywnych znaleÿæ ten wielomian, gdy f(0) = 1, f(1) = 3, f(2) = 2 i f(3) = Dla danych z zadania 12 znaleÿæ wielomian interpolacyjny korzystaj¹c jego przedstawienia za pomoc¹ ró nic wstecznych. 14. Dane s¹ punkty x i(i = 0, 1, 2) o krotnoœciach m ioraz wartoœciach funkcji f i jej pochodnych w tych punktach: i xi mi f(x) i f (x) i 2 1 f (x) i 2 Skonstruowaæ wielomian interpolacyjny Hermite a pos³uguj¹c siê wzorami (3.15) na wspó³czynniki. 15. Dla danych z zadania 14 wyznaczyæ wspó³czynniki wielomianu interpolacyjnego Hermite a korzystaj¹c z uogólnionych ilorazów ró nicowych. 16. Z jak¹ dok³adnoœci¹ mo na obliczyæ ln(100,5) przy u yciu wzoru interpolacyjnego Lagrange a, je eli dane s¹ wartoœci ln(100), ln(101), ln(102) i ln(103). 17. Udowodniæ, e jeœli funkcja g interpoluje funkcjê f w wêz³ach x 0, x 1,..., x n 1, a funkcja h interpoluje funkcjê f w wêz³ach x, x,..., x, to funkcja 1 2 n interpoluje funkcjê f we wszystkich wêz³ach x 0, x 1,..., x n(funkcje g i h nie musz¹ byæ wielomianami). 18. Udowodniæ, e jeœli funkcja g (wielomian lub nie) interpoluje funkcjê f w wêz³ach x 0, x 1,..., x n 1, a funkcja h jest funkcj¹ tak¹, e h(x i) = in (0 i n), to istnieje sta³a c, dla której funkcja g + ch interpoluje funkcjê f w punktach x, x,..., x. 0 1 n

13 Wielomian interpoluje cztery pocz¹tkowe punkty z tablicy x f(x) Dodaj¹c do wielomianu p jeden sk³adnik, wyznaczyæ wielomian interpoluj¹cy wszystkie dane. 20. Dla jakich wartoœci a, b i c funkcja mo e byæ w przedziale [0, 3) naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego? 21. Dla jakich wartoœci parametrów a, b, c i d funkcja jest funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego? 22. Dla jakich wartoœci parametrów a i b funkcja jest funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego? 23. Dla jakich wartoœci parametrów a, b, c i d funkcja mo e byæ w przedziale [ 1, 1) naturaln¹ funkcj¹ sklejan¹ stopnia trzeciego?

III. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj.

III. INTERPOLACJA Ogólne zadanie interpolacji. Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj. III. INTERPOLACJA 3.1. Ogólne zadanie interpolacji Niech oznacza funkcjê zmiennej x zale n¹ od n + 1 parametrów tj. Definicja 3.1. Zadanie interpolacji polega na okreœleniu parametrów tak, eby dla n +

Bardziej szczegółowo

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10)

gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) 5.5. Wyznaczanie zer wielomianów 79 gdy wielomian p(x) jest podzielny bez reszty przez trójmian kwadratowy x rx q. W takim przypadku (5.10) gdzie stopieñ wielomianu p 1(x) jest mniejszy lub równy n, przy

Bardziej szczegółowo

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi

Rys Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi 5.3. Regula falsi i metoda siecznych 73 Rys. 5.1. Mo liwe postacie funkcji w metodzie regula falsi Rys. 5.2. Przypadek f (x), f (x) > w metodzie regula falsi 74 V. Równania nieliniowe i uk³ady równañ liniowych

Bardziej szczegółowo

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci

(wymiar macierzy trójk¹tnej jest równy liczbie elementów na g³ównej przek¹tnej). Z twierdzen 1 > 0. Zatem dla zale noœci 56 Za³ó my, e twierdzenie jest prawdziwe dla macierzy dodatnio okreœlonej stopnia n 1. Macierz A dodatnio okreœlon¹ stopnia n mo na zapisaæ w postaci n 1 gdzie A n 1 oznacza macierz dodatnio okreœlon¹

Bardziej szczegółowo

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA

PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA PRZYBLI ONE METODY ROZWI ZYWANIA RÓWNA Metody kolejnych przybli e Twierdzenie. (Bolzano Cauchy ego) Metody kolejnych przybli e Je eli funkcja F(x) jest ci g a w przedziale domkni tym [a,b] i F(a) F(b)

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc PRAWA ZACHOWANIA Podstawowe terminy Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc a) si wewn trznych - si dzia aj cych na dane cia o ze strony innych

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku

ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ ELEMENTY ANALIZY NUMERYCZNEJ. Egzamin pisemny zestaw 1 26 czerwca 2017 roku Egzamin pisemny zestaw czerwca 0 roku Imię i nazwisko:.... ( pkt.) Udowodnić, że jeśli funkcja g interpoluje funkcję f w węzłach x 0, x, K, x n, a funk- cja h interpoluje funkcję f w węzłach x, x, K, x

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZED MATUR MAJ 2012 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana

Bardziej szczegółowo

2.Prawo zachowania masy

2.Prawo zachowania masy 2.Prawo zachowania masy Zdefiniujmy najpierw pewne podstawowe pojęcia: Układ - obszar przestrzeni o określonych granicach Ośrodek ciągły - obszar przestrzeni którego rozmiary charakterystyczne są wystarczająco

Bardziej szczegółowo

PAKIET MathCad - Część III

PAKIET MathCad - Część III Opracowanie: Anna Kluźniak / Jadwiga Matla Ćw3.mcd 1/12 Katedra Informatyki Stosowanej - Studium Podstaw Informatyki PAKIET MathCad - Część III RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ 1. Równania z jedną niewiadomą MathCad

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZWI ZAÆ WSZYSTKIE UK ADY DWÓCH RÓWNAÑ LINIOWYCH?

CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZWI ZAÆ WSZYSTKIE UK ADY DWÓCH RÓWNAÑ LINIOWYCH? 47. CZY JEDNYM POSUNIÊCIEM DA SIÊ ROZI ZAÆ SZYSTKIE UK ADY DÓCH RÓNAÑ LINIOYCH? 1. Realizowane treœci podstawy programowej Przedmiot Matematyka Informatyka Realizowana treœæ podstawy programowej 7. Równania.

Bardziej szczegółowo

Regulator wydajnoœci (upustowy) typu KVC

Regulator wydajnoœci (upustowy) typu KVC Regulator wydajnoœci (upustowy) typu KVC Wprowadzenie Charakterystyka KVC jest regulatorem wydajnoœci u ywanym do dopasowania wydajnoœci sprê arki do faktycznego obci¹ enia parownika. KVC jest montowany

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna

Interpolacja. Marcin Orchel. Drugi przypadek szczególny to interpolacja trygonometryczna Interpolacja Marcin Orchel 1 Wstęp Mamy daną funkcję φ (x; a 0,..., a n ) zależną od n + 1 parametrów a 0,..., a n. Zadanie interpolacji funkcji φ polega na określeniu parametrów a i tak aby dla n + 1

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj¹cego 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 13 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie 23 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie 3 z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie 3. Rozwiąż równanie: sin 5x cos x + sin x = 0. W rozwiązaniach podobnych zadań często korzystamy ze wzorów trygonometrycznych

Bardziej szczegółowo

POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA.

POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA. POMIAR STRUMIENIA PRZEP YWU METOD ZWÊ KOW - KRYZA. Do pomiaru strumienia przep³ywu w rurach metod¹ zwê kow¹ u ywa siê trzech typów zwê ek pomiarowych. S¹ to kryzy, dysze oraz zwê ki Venturiego. (rysunek

Bardziej szczegółowo

Spis treœci WSTÊP...9

Spis treœci WSTÊP...9 Spis treœci 5 Spis treœci WSTÊP...9 1. WYBRANE ELEMENTY TEORII GRAFÓW...11 1.1 Wstêp...13 1.2 Grafy nieskierowane...15 1.3 Grafy skierowane...23 1.4 Sk³adowe dwuspójne...31 1.5 Zastosowanie teorii grafów

Bardziej szczegółowo

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016

CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016 WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Miejsce na naklejkê z kodem (Wpisuje zdaj¹cy przed rozpoczêciem pracy) KOD ZDAJ CEGO MIN-W1A1P-021 EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI Czas pracy 90 minut ARKUSZ I MAJ ROK 2002 Instrukcja dla zdaj¹cego 1.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu

Rozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

Ekstrema funkcji wielu zmiennych.

Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Ekstrema funkcji wielu zmiennych. Adam Kiersztyn Lublin 2013 Adam Kiersztyn () Ekstrema funkcji wielu zmiennych. kwiecień 2013 1 / 13 Niech dana b ¾edzie funkcja f (x, y) określona w pewnym otoczeniu punktu

Bardziej szczegółowo

Kilka zastosowań pochodnej funkcji w podstawowych pojęciach ekonomicznych

Kilka zastosowań pochodnej funkcji w podstawowych pojęciach ekonomicznych MARIA DĄBROWA ilka zastosowań pochodnej funkcji w podstawowych pojęciach ekonomicznych Wstęp Matematyka jest rozleg³¹ dziedzin¹ wiedzy obejmuj¹c¹ wiele dyscyplin naukowych o bardzo ró norodnej tematyce

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymaga egzaminacyjnych Zdaj cy posiada umiej tno ci w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste

Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I

Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wyk lad 14 Formy kwadratowe I Wielomian n-zmiennych x 1,, x n postaci n a ij x i x j, (1) gdzie a ij R oraz a ij = a ji dla wszystkich i, j = 1,, n nazywamy forma kwadratowa n-zmiennych Forme (1) można

Bardziej szczegółowo

Interpolacja funkcji

Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Interpolacja funkcji Wielomianowa Splajny Lagrange a Trygonometryczna Interpolacja Newtona (wzór I ) Czebyszewa Newtona (wzór II ) ( Wielomiany Czebyszewa ) Załóżmy,

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Konkurs matematyczny dla uczniów gimnazjum

Konkurs matematyczny dla uczniów gimnazjum Stanis³aw Zieleñ Konkurs matematyczny dla uczniów gimnazjum Zadania z Wojewódzkiego Konkursu Matematycznego dla uczniów gimnazjów województwa opolskiego z lat 2001 2011 OPOLE Wydawnictwo NOWIK Sp.j. 2012

Bardziej szczegółowo

Matematyka na szóstke

Matematyka na szóstke Stanislaw Kalisz Jan Kulbicki Henryk Rudzki Matematyka na szóstke Zadania dla klasy V Opole Wydawnictwo NOWIK Sp.j. 2012 Wstêp...5 1. Liczby naturalne...7 Rachunek pamiêciowy...7 1. Dodawanie i odejmowanie...7

Bardziej szczegółowo

1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy.

1 Granice funkcji. Definicja 1 (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f(x) w punkcie x = a, co zapisujemy. Granice funkcji Definicja (Granica w sensie Cauchy ego). Mówimy, że liczba g jest granicą funkcji f() w punkcie = a, co zapisujemy f() = g (.) a jeżeli dla każdego ε > 0 można wskazać taką liczbę (istnieje

Bardziej szczegółowo

1. Szacowanie rynkowej wartoœci nieruchomoœci jako przedmiotu prawa w³asnoœci ograniczonej u ytkowaniem wieczystym

1. Szacowanie rynkowej wartoœci nieruchomoœci jako przedmiotu prawa w³asnoœci ograniczonej u ytkowaniem wieczystym GEODEZJA TOM Zeszyt / 005 Jan Ruchel* SZACOANIE RYNKOEJ ARTOŒCI OGRANICZONYCH PRA DO NIERUCHOMOŒCI** Szacowanie rynkowej wartoœci nieruchomoœci jako przedmiotu prawa w³asnoœci ograniczonej u ytkowaniem

Bardziej szczegółowo

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne

Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Technologie informatyczne Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Technologie informatyczne Interpolacja metoda funkcji sklejanych Materiały pomocnicze do ćwiczeń laboratoryjnych

Bardziej szczegółowo

Automatyzacja pakowania

Automatyzacja pakowania Automatyzacja pakowania Maszyny pakuj¹ce do worków otwartych Pe³na oferta naszej firmy dostêpna jest na stronie internetowej www.wikpol.com.pl Maszyny pakuj¹ce do worków otwartych: EWN-SO do pakowania

Bardziej szczegółowo

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) =

y 1 y 2 = f 2 (t, y 1, y 2,..., y n )... y n = f n (t, y 1, y 2,..., y n ) f 1 (t, y 1, y 2,..., y n ) y = f(t, y),, f(t, y) = Uk lady równań różniczkowych Pojȩcia wsȩpne Uk ladem równań różniczkowych nazywamy uk lad posaci y = f (, y, y 2,, y n ) y 2 = f 2 (, y, y 2,, y n ) y n = f n (, y, y 2,, y n ) () funkcje f j, j =, 2,,

Bardziej szczegółowo

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie

Bardziej szczegółowo

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6

P 0max. P max. = P max = 0; 9 20 = 18 W. U 2 0max. U 0max = q P 0max = p 18 2 = 6 V. D = T = U 0 = D E ; = 6 XL OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody II stopnia Rozwi zania zada dla grupy elektryczno-elektronicznej Rozwi zanie zadania 1 Sprawno przekszta tnika jest r wna P 0ma a Maksymaln moc odbiornika mo na zatem

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.

Treści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne. Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne

Bardziej szczegółowo

KLAUZULE ARBITRAŻOWE

KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE ARBITRAŻOWE KLAUZULE arbitrażowe ICC Zalecane jest, aby strony chcące w swych kontraktach zawrzeć odniesienie do arbitrażu ICC, skorzystały ze standardowych klauzul, wskazanych poniżej. Standardowa

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia

Jan Olek. Uniwersytet Stefana Kardynała Wyszyńskiego. Procesy z Opóźnieniem. J. Olek. Równanie logistyczne. Założenia Procesy z Procesy z Jan Olek Uniwersytet Stefana ardynała Wyszyńskiego 2013 Wzór równania logistycznego: Ṅ(t)=rN(t)(1- N ), gdzie Ṅ(t) - przyrost populacji w czasie t r - rozrodczość netto, (r > 0) N -

Bardziej szczegółowo

Projektowanie bazy danych

Projektowanie bazy danych Projektowanie bazy danych Pierwszą fazą tworzenia projektu bazy danych jest postawienie definicji celu, założeo wstępnych i określenie podstawowych funkcji aplikacji. Każda baza danych jest projektowana

Bardziej szczegółowo

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych

Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Jesteś tu: Bossa.pl Kurs giełdowy - Część 10 Ogólna charakterystyka kontraktów terminowych Kontrakt terminowy jest umową pomiędzy dwiema stronami, z których jedna zobowiązuje się do nabycia a druga do

Bardziej szczegółowo

Projektowanie procesów logistycznych w systemach wytwarzania

Projektowanie procesów logistycznych w systemach wytwarzania GABRIELA MAZUR ZYGMUNT MAZUR MAREK DUDEK Projektowanie procesów logistycznych w systemach wytwarzania 1. Wprowadzenie Badania struktury kosztów logistycznych w wielu krajach wykaza³y, e podstawowym ich

Bardziej szczegółowo

Kratownice Wieża Eiffel a

Kratownice Wieża Eiffel a Kratownice Wieża Eiffel a Kratownica jest to konstrukcja nośna, składająca się z prętów połączonch ze sobą w węzłach. Kratownica może bć: 1) płaska, gd wszstkie pręt leżą w jednej płaszczźnie, 2) przestrzenna,

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkê z kodem szko³y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Przed matur¹ MAJ 2011 r. Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj¹cego 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe.

Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. Wyk ad II. Stacjonarne szeregi czasowe. W wi ekszości przypadków poszukiwanie modelu, który dok adnie by opisywa zachowanie sk adnika losowego " t, polega na analizie pewnej klasy losowych ciagów czasowych

Bardziej szczegółowo

Problemy optymalizacyjne - zastosowania

Problemy optymalizacyjne - zastosowania Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzialnoœæ buduje zaufanie ZNOR-2. Album projektów typowych rozdzielnic elektrycznego ogrzewania rozjazdów i oœwietleniowych

Odpowiedzialnoœæ buduje zaufanie ZNOR-2. Album projektów typowych rozdzielnic elektrycznego ogrzewania rozjazdów i oœwietleniowych Odpowiedzialnoœæ buduje zaufanie ZNOR-2 Album projektów typowych rozdzielnic elektrycznego ogrzewania rozjazdów i oœwietleniowych ZNOR-2 System obs³ugi urz¹dzeñ energetyki niskiego napiêcia Album przeznaczony

Bardziej szczegółowo

VRRK. Regulatory przep³ywu CAV

VRRK. Regulatory przep³ywu CAV Regulatory przep³ywu CAV VRRK SMAY Sp. z o.o. / ul. Ciep³ownicza 29 / 1-587 Kraków tel. +48 12 680 20 80 / fax. +48 12 680 20 89 / e-mail: info@smay.eu Przeznaczenie Regulator sta³ego przep³ywu powietrza

Bardziej szczegółowo

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2.

Od redakcji. Symbolem oznaczono zadania wykraczające poza zakres materiału omówionego w podręczniku Fizyka z plusem cz. 2. Od redakcji Niniejszy zbiór zadań powstał z myślą o tych wszystkich, dla których rozwiązanie zadania z fizyki nie polega wyłącznie na mechanicznym przekształceniu wzorów i podstawieniu do nich danych.

Bardziej szczegółowo

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala

Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj

Bardziej szczegółowo

LICZBY I ZBIORY. Wymagania podstawowe

LICZBY I ZBIORY. Wymagania podstawowe I LICZY I ZIORY LICZY I ZIORY Wymagania podstawowe Konieczne (na ocenê dopuszczaj¹c¹) Uczeñ: 1. wyznaczy czêœæ wspóln¹ i sumê dwóch zbiorów skoñczonych, 2. dokona przybli enia liczby rzeczywistej z zadan¹

Bardziej szczegółowo

Analiza CVP koszty wolumen - zysk

Analiza CVP koszty wolumen - zysk Analiza CVP koszty wolumen - zysk Na podstawie: W.F. Samuelson, S.G. Marks, Ekonomia Menedżerska, PWE, Warszawa 2009 1 Próg rentowności model w ujęciu księgowym 2 Analiza koszty wolumen zysk- CVP Cost

Bardziej szczegółowo

Witold Bednarek CIEKAWA MATEMATYKA. dla uczniów gimnazjum

Witold Bednarek CIEKAWA MATEMATYKA. dla uczniów gimnazjum Witold Bednarek CIEKAWA MATEMATYKA dla uczniów gimnazjum OPOLE Wydawnictwo NOWIK Sp.j. 2014 SK AD KOMPUTEROWY I RYSUNKI Barbara Kwaœnicka PROJEKT OK ADKI Tomasz Fronckiewicz ISBN: 978-83-62687-49-7 Wydanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-R1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 2008 Czas pracy 180 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07

Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07 Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowowytwórczej) 2015-12-17 16:02:07 2 Podatek przemysłowy (lokalny podatek od działalności usługowo-wytwórczej) Podatek przemysłowy (lokalny podatek

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F

Bardziej szczegółowo

Rekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych

Rekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych Rekompensowanie pracy w godzinach nadliczbowych PRACA W GODZINACH NADLICZBOWYCH ART. 151 1 K.P. Praca wykonywana ponad obowiązujące pracownika normy czasu pracy, a także praca wykonywana ponad przedłużony

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

L A K M A R. Rega³y DE LAKMAR

L A K M A R. Rega³y DE LAKMAR Rega³y DE LAKMAR Strona 2 I. KONSTRUKCJA REGA ÓW 7 1 2 8 3 4 1 5 6 Rys. 1. Rega³ przyœcienny: 1 noga, 2 ty³, 3 wspornik pó³ki, 4pó³ka, 5 stopka, 6 os³ona dolna, 7 zaœlepka, 8 os³ona górna 1 2 3 4 9 8 1

Bardziej szczegółowo

USTAWA. z dnia 26 czerwca 1974 r. Kodeks pracy. 1) (tekst jednolity)

USTAWA. z dnia 26 czerwca 1974 r. Kodeks pracy. 1) (tekst jednolity) Dz.U.98.21.94 1998.09.01 zm. Dz.U.98.113.717 art. 5 1999.01.01 zm. Dz.U.98.106.668 art. 31 2000.01.01 zm. Dz.U.99.99.1152 art. 1 2000.04.06 zm. Dz.U.00.19.239 art. 2 2001.01.01 zm. Dz.U.00.43.489 art.

Bardziej szczegółowo

Zalecenia dotyczące prawidłowego wypełniania weksla in blanco oraz deklaracji wekslowej

Zalecenia dotyczące prawidłowego wypełniania weksla in blanco oraz deklaracji wekslowej Zalecenia dotyczące prawidłowego wypełniania weksla in blanco oraz deklaracji wekslowej 1. Do wystawienia weksla in blanco umocowane są osoby, które w świetle ustawy, dokumentu założycielskiego i/lub odpisu

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych

Podstawowe pojęcia: Populacja. Populacja skończona zawiera skończoną liczbę jednostek statystycznych Podstawowe pojęcia: Badanie statystyczne - zespół czynności zmierzających do uzyskania za pomocą metod statystycznych informacji charakteryzujących interesującą nas zbiorowość (populację generalną) Populacja

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

ANALIZA DOK ADNOŒCI OKREŒLENIA JEDNOSTKOWEJ WARTOŒCI NIERUCHOMOŒCI METOD KORYGOWANIA CENY ŒREDNIEJ

ANALIZA DOK ADNOŒCI OKREŒLENIA JEDNOSTKOWEJ WARTOŒCI NIERUCHOMOŒCI METOD KORYGOWANIA CENY ŒREDNIEJ Analiza dok³adnoœci okreœlenia jednostkowej wartoœci nieruchomoœci... 63 Acta Sci. Pol., Administratio Locorum 5( 2) 2006, 63-7 ANALIZA DOK ADNOŒCI OKREŒLENIA JEDNOSTKOWEJ WARTOŒCI NIERUCHOMOŒCI METOD

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Całki nieoznaczone Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Całki nieoznaczone 1. Definicja całki nieoznaczonej Definicja 1. Funkcja F jest funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, jeżeli F (x) =

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

W z ó r u m o w y POSTANOWIENIA GENERALNE

W z ó r u m o w y POSTANOWIENIA GENERALNE W z ó r u m o w y UMOWA GENERALNA NR zawarta w Nowym S¹czu w dniu... 2011 r. pomiêdzy: Powiatowym Zarz¹dem Dróg w Nowym S¹czu z siedzib¹ przy ul. Wiœniowieckiego 136, 33-300 Nowy S¹cz, zwanym dalej Zamawiaj¹cym,

Bardziej szczegółowo

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010

Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 R. Rȩbowski 1 WPROWADZENIE Metoda Simplex bez użycia tabel simplex 29 kwietnia 2010 1 Wprowadzenie Powszechnie uważa siȩ, że metoda simplex, jako uniwersalny algorytm pozwalaj acyznaleźć rozwi azanie optymalne

Bardziej szczegółowo

Obliczenia naukowe Wykład nr 6

Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Obliczenia naukowe Wykład nr 6 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza

Bardziej szczegółowo

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI dysleksja MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla ucznia 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron. Ewentualny brak zg o przewodnicz

Bardziej szczegółowo

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia

Matematyka A, kolokwium, 15 maja 2013 rozwia. ciem rozwia Maemayka A kolokwium maja rozwia zania Należy przeczyać CA LE zadanie PRZED rozpocze ciem rozwia zywania go!. Niech M. p. Dowieść że dla każdej pary liczb ca lkowiych a b isnieje aka para liczb wymiernych

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów

Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów Ćwiczenie 63 Wyznaczanie współczynnika sprężystości sprężyn i ich układów 63.1. Zasada ćwiczenia W ćwiczeniu określa się współczynnik sprężystości pojedynczych sprężyn i ich układów, mierząc wydłużenie

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych 13 Zbiory w przestrzeni Definicja Przestrzeni a trójwymiarow a (przestrzeni a) nazywamy zbiór wszystkich trójek uporz adkowanych (x y z) gdzie x y z R. Przestrzeń tȩ oznaczamy symbolem

Bardziej szczegółowo

Wytyczne Województwa Wielkopolskiego

Wytyczne Województwa Wielkopolskiego 5. Wytyczne Województwa Wielkopolskiego Projekt wspó³finansowany przez Uniê Europejsk¹ z Europejskiego Funduszu Rozwoju Regionalnego oraz Bud etu Pañstwa w ramach Wielkopolskiego Regionalnego Programu

Bardziej szczegółowo

PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE Z OTWOREM OKRĄGŁYM TYPU ASR PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE NA SZYNÊ SERII ASK PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE Z UZWOJENIEM PIERWOTNYM TYPU WSK

PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE Z OTWOREM OKRĄGŁYM TYPU ASR PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE NA SZYNÊ SERII ASK PRZEKŁADNIKI PRĄDOWE Z UZWOJENIEM PIERWOTNYM TYPU WSK PRZEK DNIKI PR DOWE W SNOŒCI PRZEK DNIKÓW obudowa wykonana z wysokoudarowego, niepalnego, tworzywa, w³asnoœci samogasn¹ce obudowy przek³adników s¹ zgrzewane ultradÿwiêkowo, niklowane zaciski obwodu wtórnego

Bardziej szczegółowo

DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie

DRGANIA MECHANICZNE. materiały uzupełniające do ćwiczeń. Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie DRGANIA MECHANICZNE materiały uzupełniające do ćwiczeń Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych studia inżynierskie prowadzący: mgr inż. Sebastian Korczak część modelowanie, drgania swobodne Poniższe materiały

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum

Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Wymagania edukacyjne z matematyki klasa II technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: 1. JĘZYK MATEMATYKI I FUNKCJE LICZBOWE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2015/2016 Etap II rejonowy

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 2015/2016 Etap II rejonowy Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów rok szkolny 05/06 Etap II rejonowy W kluczu przedstawiono przykładowe rozwiązania oraz prawidłowe odpowiedzi. Za każdą inną poprawną metodę rozwiązania

Bardziej szczegółowo

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE

WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na

Bardziej szczegółowo

art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny (Dz. U. Nr 16, poz. 93 ze zm.),

art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny (Dz. U. Nr 16, poz. 93 ze zm.), Istota umów wzajemnych Podstawa prawna: Księga trzecia. Zobowiązania. Dział III Wykonanie i skutki niewykonania zobowiązań z umów wzajemnych. art. 488 i n. ustawy z dnia 23 kwietnia 1964 r. Kodeks cywilny

Bardziej szczegółowo

III. Funkcje rzeczywiste

III. Funkcje rzeczywiste . Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja

Bardziej szczegółowo