7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

Transkrypt

1 OBWODY SYGNAŁY 7. EZONANS W OBWODAH EEKTYZNYH 7.. ZJAWSKO EZONANS Obwody elektryczne, w których występuje zjawisko rezonansu nazywane są obwodami rezonansowymi lub drgającymi. ozpatrując bezźródłowy obwód elektryczny, przedstawiony schematycznie na rys.7.. jako dwójnik. Z + jx ys. 7.. ozpatrywany dwójnik Y / Z G + jb Zjawisko rezonansu przedstawia taki stan pracy obwodu elektrycznego, przy którym reaktancja wypadkowa X lub susceptancja wypadkowa B obwodu jest równa zeru Warunkiem rezonansu jest lub ( ) 0 X m Z (7.) ( ) 0 B m Y (7.) zęstotliwość (pulsacja), przy której reaktancja wypadkowa lub susceptancja wypadkowa obwodu jest równa zeru nazywana jest częstotliwością (pulsacją) rezonansową. Obwód elektryczny osiąga stan rezonansu, jeśli częstotliwość doprowadzonego sygnału sinusoidalnego jest równa częstotliwości rezonansowej obwodu. mszulim@wat.edu.pl /7

2 OBWODY SYGNAŁY Ponieważ kąt ϕ przesunięcia fazowego między napięciem i prądem jest równy argumentowi impedancji Z, przy czym X ϕ arg( Z ) arctg (7.3) lub argumentowi admitancji Y wziętemu ze znakiem przeciwnym, przy czym B ϕ arg( Y ) arctg ; (7.4) G stąd Oznacza to, że ϕ 0 dla X 0 lub B 0 zjawiskiem rezonansu nazywamy taki stan pracy obwodu elektrycznego, przy którym prąd i napięcie na jego zaciskach są ze sobą w fazie (a argument impedancji lub admitancji obwodu jest równy zeru) mpedancja Z obwodu w stanie rezonansu równa się rezystancji obwodu ( Z ) a jego admitancja Y, jest równa konduktancji G Z e, (7.5) ( Y ) G Y e. (7.6) ezonans występujący w obwodzie, w którym elementy,, połączone są szeregowo, nazywamy rezonansem napięć lub rezonansem szeregowym. ezonans występujący w obwodzie, w którym połączone są równolegle gałęzie, oraz, lub gałęzie,, nazywamy rezonansem prądów lub rezonansem równoległym. mszulim@wat.edu.pl /7

3 OBWODY SYGNAŁY 7.. EZONANS NAPĘĆ PODSTAWOWE ZAEŻNOŚ ozważając obwód składający się z elementów, i połączonych szeregowo (rys.7.) - zakłada się, że przyłożone napięcie jest sinusoidalnie zmienne o symbolicznej wartości skutecznej i o pulsacji ω πf. Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności jx jx ys. 7. [ + j( X X )] ( + jx ) Z (7.7) + + (7.8) mpedancja obwodu wynosi Z + jx + j( X X ) + j ω. (7.9) ω Warunkiem rezonansu (7.) jest to, aby X0, czyli X X lub ω. (7.0) ω Pulsację rezonansową ω r obwodu szeregowego znajduje się z powyższego równania, otrzymując ω r, (7.) stąd częstotliwość rezonansowa f r wynosi f r. π (7.) mszulim@wat.edu.pl 3 /7

4 OBWODY SYGNAŁY Jeżeli częstotliwość źródła napięcia zasilającego jest równa częstotliwości rezonansowej obwodu (f f r ) to obwód jest w stanie rezonansu szeregowego i wówczas: impedancja obwodu jest równa rezystancji (impedancja osiąga wartość minimalną) Z ; (7.3) napięcie na rezystancji obwodu jest równe napięciu przyłożonemu do obwodu ; (7.4) suma geometryczna napięć na indukcyjności i pojemności obwodu jest równa zeru 0 ; (7.5) + napięcie na indukcyjności jest co do modułu równe napięciu na pojemności ; (7.6) wobec X0, prąd w obwodzie osiąga wartość maksymalną ; (7.7) kąt przesunięcia fazowego między przyłożonym napięciem a prądem jest równy zeru ϕ 0. (7.8) Wykres wskazowy prądu i napięć dla obwodu szeregowego w stanie rezonansu - rys.7.3. ys Ze względu na równość modułów napięć na elementach reaktancyjnych i fakt, że mogą być one wielokrotnie większe od modułu napięcia przyłożonego - rezonans w rozpatrywanym obwodzie nazywamy rezonansem napięć. mszulim@wat.edu.pl 4 /7

5 OBWODY SYGNAŁY Parametrem, który wskazuje ile razy napięcie na indukcyjności lub pojemności jest większe od napięcia na zaciskach obwodu w stanie rezonansu jest dobroć Q. W rozpatrywanym obwodzie szeregowym, w stanie rezonansu dobroć definiuje się jako stosunek modułu napięcia na elemencie reaktancyjnym (kondensatorze lub cewce) do modułu napięcia na rezystancji, czyli Q ω r. (7.9) ω r względniając wzór na pulsację rezonansową (7.), dobroć przedstawia się jako ρ Q, (7.0) gdzie ρ jest reaktancją charakterystyczną obwodu (reaktancją indukcyjną lub pojemnościową obwodu przy częstotliwości rezonansowej) ρ ω ω r r. (7.) Moduły napięć na elementach reaktancyjnych obwodu w stanie rezonansu można opisać następującą zależnością ρ ω r Q ω r, (7.) Z powyższego równania wynika, iż dobroć jest miarą przepięcia występującego w obwodzie w stanie rezonansu (napięcie na indukcyjności lub pojemności jest Q razy większe od napięcia na zaciskach obwodu). mszulim@wat.edu.pl 5 /7

6 OBWODY SYGNAŁY STOJENE SZEEGOWEGO OBWOD DO EZONANS Na podstawie równania (7.0) można stwierdzić, że rezonans w szeregowym obwodzie uzyskuje się przez: regulację pulsacji ω (częstotliwości) źródła napięcia zasilającego (generatora) regulację indukcyjności bądź pojemności. W pierwszym przypadku mówi się o strojeniu generatorem. Dotyczy on sytuacji, w której zmienia się wartość częstotliwości f napięcia zasilającego, tak aby zrównała się ona z daną częstotliwością rezonansową obwodu f r - określoną przez wartości parametrów obwodu ( oraz ) zgodnie z zależnością (7.). W przypadku drugim, nazywanym strojeniem obwodu, zmienia się wartość częstotliwości rezonansowej obwodu f r tak aby zrównała się z daną częstotliwością f napięcia zasilającego. Zmianę częstotliwości rezonansowej obwodu dokonuje się poprzez zmianę wartości indukcyjności, a stan rezonansu uzyskuje wówczas dla (7.3) 4π f lub pojemności - stan rezonansu uzyska się gdy. (7.4) 4π f mszulim@wat.edu.pl 6 /7

7 OBWODY SYGNAŁY HAAKTEYSTYK ZĘSTOTWOŚOWE KZYWE EZONANSOWE SZEEGOWEGO OBWOD harakterystyki częstotliwościowe określają zależność parametrów wtórnych obwodów (impedancji, reaktancji itd.) od częstotliwości (lub pulsacji). Wykresy zależności wartości skutecznych napięć i prądów obwodów rezonansowych od częstotliwości (lub pulsacji) noszą nazwę krzywych rezonansowych. Dla szeregowego obwodu rezonansowego można określić następujące charakterystyki częstotliwościowe: charakterystykę reaktancji indukcyjnej obwodu X ( ) ω ω ; (7.5) charakterystykę reaktancji pojemnościowej obwodu X ( ω ) ; (7.6) ω charakterystykę reaktancji wypadkowej obwodu X ( ω ) ω ; (7.7) ω charakterystykę impedancji (modułu impedancji) obwodu Z( ω ) + ω ; (7.8) ω charakterystykę kąta przesunięcia fazowego (argumentu impedancji) obwodu ω ω ϕ( ω ) arctg. (7.9) mszulim@wat.edu.pl 7 /7

8 OBWODY SYGNAŁY Na rysunku 7.4 przedstawiono przykładowe przebiegi wymienionych wyżej charakterystyk. Wynika z niego, że a) Z( ω) X( ω) X( ω) ω r ω X( ω) b) π/ ϕ -π/ 0 ω r ω ys Dla pulsacji mniejszych od pulsacji rezonansowej, reaktancja wypadkowa i kąt przesunięcia fazowego obwodu są mniejsza od zera obwód ma charakter pojemnościowy. W miarę zbliżania się do pulsacji rezonansowej, moduł impedancji obwodu maleje do wartości minimalnej (do wartości rezystancji obwodu), natomiast argument impedancji (kąt przesunięcia fazowego) obwodu zbliża się do zera. Dla pulsacji większych od pulsacji rezonansowej, reaktancja wypadkowa i kąt przesunięcia fazowego obwodu są większe od zera obwód ma charakter indukcyjny. mszulim@wat.edu.pl 8 /7

9 OBWODY SYGNAŁY W przypadku obwodu szeregowego rozważa się na ogół następujące krzywe rezonansowe: krzywą rezonansową prądu ω ; (7.30) + ω ω ( ) krzywe rezonansowe napięć na elementach obwodu, jako: ω, (7.3) + ω ω ( ) ( ω) ω ω, (7.3) + ω ω ( ) ω ( ω) ω. (7.33) ω ω + ω ω ( ) ( ω) maxmax Q ( ω) ( ω) ( ω) ω max ω r ω max ω ys mszulim@wat.edu.pl 9 /7

10 OBWODY SYGNAŁY Wartość skuteczna napięcia na indukcyjności osiąga maksimum po rezonansie, zaś napięcie na pojemności osiąga maksimum przed rezonansem (rys.7.5). Napięcie na indukcyjności osiąga wartość maksymalną przy pulsacji ω max równej ω max ω r > ω r, (7.34) Q natomiast napięcie na pojemności dla pulsacji ω max wynoszącej ω max ω r < ω r. (7.35) Q Obie wartości maksymalne napięć są sobie równe Q max max > Q 4Q (7.36) i są większe od wartości Q w stanie rezonansu. PASMO PZEPSTOWE SZEEGOWEGO OBWOD EZONANSOWEGO W przypadku obwodów rezonansowych za pasmo przepustowe (pasmo przenoszenia) przyjmuje się z reguły tzw. trzydecybelowe (3-dB) pasmo przepustowe. Pasmem przepustowym 3-dB szeregowego obwodu rezonansowego nazywa się przedział pulsacji, dla których wartość skuteczna prądu w obwodzie (przy założonej stałej wartości skutecznej napięcia przyłożonego do obwodu) maleje nie więcej niż -krotnie w stosunku do wartości skutecznej r prądu w rezonansie, tzn. dla których spełniona jest nierówność mszulim@wat.edu.pl 0 /7

11 OBWODY SYGNAŁY ( ) ω r. (7.37) Dla pulsacji granicznych (dolnej ω d i górnej ω g ) spełniona jest równość r ( ω ) ( ω ) d r g. (7.38) Bardzo ważnym parametrem obwodu rezonansowego charakteryzującym jego właściwości selektywne jest szerokość pasma przepustowego, zdefiniowana jako S( 3dB) ωg ωd. (7.39) Parametr ten zależy od pulsacji rezonansowej i dobroci obwodu w następujący sposób ω r S( 3dB), (7.40) Q podobnie zależność pasma przepustowego wyrażonego w hercach f r S p ( 3dB). (7.4) Q Wpływ dobroci na kształt krzywej rezonansowej prądu ilustrują wykresy przedstawione na rysunku 7.6. Wykreślono je przyjmując, że dobroć obwodu jest zmieniana tylko przez dobór indukcyjności i pojemności przy zachowaniu stałej pulsacji rezonansowej ω r. r Q Q Q 3 ω r Q < Q < Q 3 ω Dobroć Q jest podstawowym parametrem obwodu rezonansowego decydującym o jego jakości jako obwodu selektywnego. ys mszulim@wat.edu.pl /7

12 OBWODY SYGNAŁY 7.3. EZONANS PĄDÓW PODSTAWOWE ZAEŻNOŚ ozważając obwód składający się z elementów, i połączonych równolegle (rys.7.7) - zakłada się, że przyłożone napięcie jest sinusoidalnie zmienne o symbolicznej wartości skutecznej i o pulsacji ω πf. Dla rozpatrywanego obwodu słuszne są zależności G jb jb ys. 7.7 [ G + j( B B )] ( G + jb) Y (7.4) + + (7.43) Admitancja obwodu wynosi Y G + jb G + j( B B ) G + j ω. (7.44) ω Warunkiem rezonansu (9.) jest to, aby B0, czyli B B lub ω. (7.45) ω Pulsację rezonansową ω r obwodu równoległego znajduje się z powyższego równania, otrzymując ω r, (7.46/7.) stąd częstotliwość rezonansowa f r wynosi f r. (7.47/7.) π mszulim@wat.edu.pl /7

13 OBWODY SYGNAŁY Jeżeli częstotliwość źródła napięcia zasilającego jest równa częstotliwości rezonansowej obwodu (f f r ) to obwód jest w stanie rezonansu równoległego i wówczas: admitancja obwodu jest równa konduktancji (admitancja osiąga wartość minimalną) Y G ; (7.48) prąd w gałęzi rezystancyjnej jest równy prądowi obwodu ; (7.49) suma geometryczna prądów w gałęzi indukcyjności i pojemnościowej obwodu jest równa zeru 0 ; (7.50) + prąd w gałęzi indukcyjnej jest co do modułu równy prądowi w gałęzi pojemnościowej ; (7.5) wobec B0, prąd w obwodzie osiąga wartość minimalną G ; (7.5) kąt przesunięcia fazowego między przyłożonym napięciem a prądem jest równy zeru ϕ 0. (7.53) Wykres wskazowy napięcia i prądów dla obwodu równoległego w stanie rezonansu - rys.7.8. ys Ze względu na równość modułów prądów w gałęziach reaktancyjnych i fakt, że mogą być one wielokrotnie większe od modułu prądu dopływającego do obwodu - rezonans w rozpatrywanym obwodzie nazywamy rezonansem prądów mszulim@wat.edu.pl 3 /7

14 OBWODY SYGNAŁY Parametrem, który wskazuje ile prąd w gałęzi z indukcyjnością lub pojemnością jest większy od prądu dopływającego do obwodu w stanie rezonansu jest dobroć Q. W rozpatrywanym obwodzie równoległym, w stanie rezonansu dobroć definiuje się jako stosunek modułów prądu w elemencie reaktancyjnym (kondensatorze lub cewce) do prądu w gałęzi z rezystorem, czyli Q ω G r ω r. (7.54) G względniając wzór na pulsację rezonansową (7.46), dobroć przedstawia się jako Q, ρ (7.55) gdzie ρ jest reaktancją charakterystyczną obwodu równoległego (reaktancją indukcyjną lub pojemnościową obwodu przy częstotliwości rezonansowej), zdefiniowaną identycznie jak dla obwodu szeregowego (7.). Moduły prądów w elementach reaktancyjnych w stanie rezonansu opisać następującą zależnością ω r ω r ρ Q, (7.56) Z powyższego równania wynika, iż dobroć jest miarą przetężenia występującego w obwodzie w stanie rezonansu (prąd w gałęzi indukcyjnej lub pojemnościowej jest Q razy większy od prądu dopływającego do obwodu). mszulim@wat.edu.pl 4 /7

15 OBWODY SYGNAŁY STOJENE OBWOD ÓWNOEGŁEGO DO EZONANS Na podstawie równania (7.46) - identycznie jak to miało miejsce w przypadku obwodu szeregowego - można stwierdzić, że w celu uzyskania rezonansu w obwodzie równoległym należy dokonać strojenia generatora (zmiana f) bądź strojenia obwodu (zmiana lub ). Przy strojeniu (zarówno obwodu szeregowego jak i równoległego) znamienne jest to, iż częstotliwość rezonansowa jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z indukcyjności lub pojemności: k f r (7.57) k lub f r (7.58) gdzie k i k są wielkościami stałymi. HAAKTEYSTYK ZĘSTOTWOŚOWE KZYWE EZONANSOWE ÓWNOEGŁEGO OBWOD harakterystyki częstotliwościowe: charakterystykę susceptancji indukcyjnej obwodu B ( ω ) ; (7.59) ω charakterystykę susceptancji pojemnościowej obwodu B ( ) ω ω ; (7.60) charakterystykę susceptancji wypadkowej obwodu B( ω ) ω ; (7.6) ω charakterystykę admitancji (modułu admitancji) obwodu Y ( ω ) G + ω ; (7.6) ω mszulim@wat.edu.pl 5 /7

16 OBWODY SYGNAŁY charakterystykę kąta przesunięcia fazowego (argumentu admitancji wziętego ze znakiem przeciwnym) obwodu ω ω ϕ( ω ) arctg. (9.63) G Na rysunku 7.0 przedstawiono przykładowe przebiegi wymienionych wyżej charakterystyk. Wynika z niego, że a) G B( ω) Y( ω) B( ω) ω r ω B( ω) b) π/ ϕ -π/ 0 ω r ω ys Dla pulsacji mniejszych od pulsacji rezonansowej: susceptancja wypadkowa jest mniejsza od zera a kąt przesunięcia fazowego obwodu jest większy od zera obwód ma charakter indukcyjny. w miarę zbliżania się do pulsacji rezonansowej, moduł admitancji obwodu maleje do wartości minimalnej (do wartości konduktancji G obwodu), natomiast kąt przesunięcia fazowego obwodu zbliża się do zera. Dla pulsacji większych od pulsacji rezonansowej, reaktancja wypadkowa jest większa od zera a kąt przesunięcia fazowego obwodu jest mniejszy od zera obwód ma charakter pojemnościowy. mszulim@wat.edu.pl 6 /7

17 OBWODY SYGNAŁY W przypadku obwodu równoległego, krzywe rezonansowe przedstawiają wartości skuteczne prądów występujących w obwodzie w funkcji pulsacji (lub częstotliwości). Jest to zatem zależność prądu obwodu od pulsacji ω G + ω ; (7.64) ω ( ) Y ( ω) zależność prądu w gałęzi indukcyjnej od pulsacji ( ω ), (7.65) ω zależność prądu w gałęzi pojemnościowej od pulsacji ( ) ω ω. (7.66) ( ω) Q QG G ( ω) ( ω) ω r ω ys. 7.. Przy rezonansie prąd dopływający do obwodu osiąga wartość minimalną (rys.7.), równą wartości prądu występującego w gałęzi rezystancyjnej ( G). Oznacza to, że w przypadku bardzo małej konduktancji jest prawie równy zeru. Natomiast prądy w gałęziach reaktancyjnych są sobie równe i Q-krotnie większe od prądu dopływającego do obwodu. mszulim@wat.edu.pl 7 /7