Nr zadania Σ Punkty:

Transkrypt

1 Kolokwim z krs Modele saysyczne niezawodności sysemów ROZWIĄZANIA Do wykonania jes 5 zadań. W smie, można zyskać 5 pnków. Na napisanie kolokwim mają Pańswo 7 min. Proszę wykonywać każde zadanie na osobnej karce. Karki należy ponmerować i podpisać (imię, nazwisko i nr indeks). Nr zadania Σ Pnky: Zadanie (5 pk.) Czas zdaności pewnego rządzenia ma rozkład Fréchea o gęsości danej wzorem f() = α ( ) α+ { ( ) α exp, gdzie i α, >.. Podaj definicję fnkcji przeżycia. Wyznacz fnkcję przeżycia zmiennej losowej z rozkła Fréchea.. Wyznacz związek rozkła Fréchea z rozkładem Weiblla o dysrybancie F (x) = exp { (λ) α,. Wsk.: Spójrz dokładnie na wzory dysryban ob rozkładów. Jakie widzisz podobieńswa? 3. Zaproponj meodę symlacji zm. losowej z rozkła Fréchea. Napisz psedokod. Rozwiązanie zad.. Fnkcja przeżycia lb inaczej fnkcja niezawodności o R() = P (T > ), gdzie T jes zmienną losową opisjącą czas bezawaryjnej pracy rządzenia. Dla rozkładów ciągłych o gęsości f mamy zależność R() = Liczymy fnkcję niezawodności dla rokła Fréchea: R() = = α ( ) α+ { exp ( ) α e s ds = ( ) α f(). ( ) α = e s ds = e ( ) α ( ) α = s, α. Niech W oznacza zmienną losową o rozkł. Weiblla zaś F z rozkła Fréchea. Sąd F = W ( ) α+ = ds P (F > ) = e ( ) α = e ( ) α = P (W < ) = P ( W > ) wg rozkła. Należy dodać, że = λ. 3. Symlacja meodą odwróconej dysrybany. Skoro y = e ( ) α o =. ( ln(y)) α PSUDOKOD (a) saw i α (b) U=rand(); (c) T = /( log(u)) (/α) Zadanie (5 pk.) Inensywność awarii pewnego rządzenia dana jes wzorem λ() = ( + ) α,. (). Narysj wykres inensywności awarii yp Bahbe i objaśnij go w szczegółach.. Zbadaj monooniczność inensywności awarii danej wzorem ().

2 Rozwiązanie zad.. Inensywność yp Bahbe jes najczęściej spoykanym wykresem w rzeczywisości. Można ją podzielić na rzy charakerysyczne części. Część pierwsza o okres malejącej inensywności awarii. Nazywamy o czasem docierania się elemenów. Eliminowane są elemeny o małej niezawodności. W drgim przedziale inensywność awarii jes w przybliżeni sała i en okres nazywamy okresem normalnej eksploaacji elemenów. W rzecim okresie inensywność awarii rośnie i jes o okres sarzenia się elemenów. UWAGA: Wykres w argmencie msi przyjmować warość skończoną. Rysowanie wykres, kóry nie doyka osi pionowej jes błędem.. Policzmy pochodną inensywności λ ( λ () = ln()( + ) α + α( + ) α = ( + ) α ln() + α ) + Oznaczmy φ() = ln() + α +. Wysarczy zbadać znak ej fnkcji. φ() > ln() + α + > + > α ln() > α ln() = α ln() Sprawdzamy dla jakich α pnk należy do dziedziny fnkcji, czyli kiedy >. Jes o spełnione dla α < ln(). Zaem: dla α < ln() mamy inensywność yp Bahbe dla α > ln() mamy IFR Zadanie 3 (6 pk.) Załóżmy, że oczekiwany pozosały czas życia odpowiadający rozkładowi pewnej zmiennej losowej wyrażony jes za pomocą fnkcji E().. Jaki warnek msi spełniać fnkcja E(), aby była oczekiwanym pozosałym czasem życia pewnej zmiennej losowej?. Kóre z fnkcji E () =, E () = e, E 3 () = + oraz E 4() = e mogą być oczekiwanym czasem życia pewnej zmiennej losowej? Odpowiedź zasadnij. Rozwiązanie zad. 3. Oczekiwany pozosały czas życia o fnkcja kóra mówi, ile czas możemy spodziewać się, że płynie od obecnej chwili do pewnego zdarzenia pod warnkiem, że zdarzenia doąd nie odnoowano. E() = E[T T > ] co dla fnkcji mających gęsość jes dane za pomocą wzor R(x)dx E() = R()

3 Oznaczmy: Wedy K() = E() = R(x)dx K() K () Gdzie zaważmy, że K () = R(). Dosajemy równanie różniczkowe: K () K() = E() z warnkiem począkowym K() = R(x)dx = ET = E(). Całkjąc mamy: Oraz dosajemy, że ln(k()) ln(k()) = { K() = E() exp E() E() R() = K () = K() E() = { E() exp E() E() f() = R () = K () = K ()E() K()E () E () = K()E () + K() E () Zaważmy, że E() > bo gdyby E() = o dosalibyśmy rozkład skpiony w zerze. Oczywiście R() =. Sprawdzamy granicę w nieskończoności: lim lim R() = E() exp { = E() co można przekszałcić (nakładając logarym naralny) do posaci: Ponieważ gęsość msi być niejemna dosajemy, że lim ln(e()) + E() = K()(E () + ) E () = K()(E () + ) E () Sąd warnki: E () + E () E() > lim ln(e()) + E () E() = UWAGA: Warnków nie rzeba było wyprowadzać. Od momen jak zosała wprowadzona fnkcja E() na zajęciach prowadzący sgerował, aby przeliczyć o samem w ramach zadania domowego. Wysarczyło zaem je podać.. Fnkcja E () nie spełnia warnk pierwszego (E() = ). Fnkcja E 4 () nie spełnia warnk rzeciego (pochodna nie dla każdego jes większa bądź równa -). Sprawdzamy E () E () = > lim + e = lim + e = (e ) = e > 3

4 Sprawdzamy E 3 () E 3 () = > lim ln( + ) + + = lim ln( + ) + + lim = ( + ) = (+) Zaem fnkcje E () oraz E 3 () mogą być oczekiwanym pozosałym czasem życia. Zadanie 4 (5 pk.) W serwisie samochodowym przy wymianie amoryzaorów noowano jak dłgo pracował bezawaryjnie każdy z nich. Wiadomo, że amoryzaory pochodziły z jednej parii prokcyjnej. Zanoowano nasępjące warości (w miesiącach): 5,38,7,3,,3,4,9. Do modelowania niezawodności sysemowej żyj rozkła Rayleigha: F () = e λ,. Można w ym zadani wykorzysać kalklaor nakowy lb program Malab. Zaproponj meodę esymacji paramer λ oraz wyznacz warość esymaora.. Po jakim czasie psła się połowa amoryzaorów? 3. Procen dzielił na prok gwarancji 4 la licząc przy ym, że nie będzie miał więcej niż % zwroów. Czy słsznie zrobił? Rozwiązanie zad. 4. Esymaor wzynaczymy meodą momenów. ) ET = e λx dx = π λ π λ e ( x λ dx = π = π λ λ Czyli osaecznie orzymjem esymaor: gdzie T = jes średnią z próby. λ = π 4T λ =.545 = Liczymy medianę.5 R(.5 ) =.5 gdzie czas jes w miesiącach. 3. Liczymy kwanyl: e λ.5 =.5 λ.5 = ln() ln().5 = λ.73 R(. ) =.9 e λ. =.9 λ. = ln() ln(9) ln() ln(9). = 44 λ gdzie czas jes w miesiącach. Zaem każdy okres gwarancji krószy niż 44 miesiące (3 laa i 8 miesięcy) jes korzysny dla procena. 4 leni okres gwarancji (48 miesięcy) nie spełnia założeń, zaem decyzja procena jes zła. 4

5 Zadanie 5 (4 pk.) Zbadano częsość pękania niów na łączeni blachy. Okazało się, że inensywność pęknięć w ciąg kilk dni była różna każdego dnia i niereglarna. W poszczególnych dniach zyskano nasępjące wyniki: 6,, 9,, 7, 4, 3, 8, 6, 4, 9. Oszacj fnkcję niezawodności ych niów. Rozwiązania zad. 5 Ponieważ inensywność pęknięć jes niereglarna, więc nie można jej lepiej oszacować niż przez minimalną i maksymalną warość. λ() Sąd: Co należało pokazać. e R() = exp{ λ() e Powodzenia, Marek Skarpski. 5