Fale elektromagnetyczne. Gradient pola. Gradient pola... Gradient pola... Notatki. Notatki. Notatki. Notatki. dr inż. Ireneusz Owczarek 2013/14

Transkrypt

1 dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ /14 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Gradient pola Gradient funkcji pola skalarnego ϕ przypisuje każdemu punktowi tego pola określony wektor: grad ϕ ϕ i + ϕ y j + ϕ z k Wyznacza pole wektorowe, przyporzadkowane danemu polu skalarnemu. Wektor grad ϕ: jest prostopadły do powierzchni ekwiskalarnej, ma zwrot skierowany od powierzchni ekwiskalarnej o mniejszej wartości do powierzchni o większej wartości. 2 dr inż. Ireneusz Owczarek Gradient pola... Funkcje pola grad ϕ zapisuje się grad ϕ ϕ gdzie Operator nabla i + y j + z k, w operacjach matematycznych traktowany jest jak symboliczny wektor. Pozwala zapisać operacje różniczkowe na funkcjach w prostej i zwartej formie działań wektorów. 3 dr inż. Ireneusz Owczarek Gradient pola... Iloczyn skalarny dwóch operatorów nabla: 2 i + j y + k z ) y z 2. Operator Laplace a laplasjan) jest to operator różniczkowy drugiego rzędu y z 2. Laplasjan jest operatorem skalarnym działajacym na pole skalarne. Operator traktowany jest formalnie jako wektor, można więc utworzyć iloczyn skalarny i wektorowy wektora z dowolnym innym wektorem. Np. pewna funkcja pola wektorowego V x, y, z) i V xx, y, z) + j V yx, y, z) + k V zx, y, z). 4 dr inż. Ireneusz Owczarek

2 Definicje Dywergencja i rotacja Dywergencja rozbieżność, źródłowość) pola wektorowego V x, y, z) to operator różniczkowy przyporzadkowuj acy trójwymiarowemu polu wektorowemu pole skalarne będace formalnym iloczynem skalarnym operatora nabla z polem: V i + j y + k ) i V x + j V y + z k V z) Vx + Vy y + Vz z div V. Pole nazywa siębezźródłowym gdy div V 0. 5 dr inż. Ireneusz Owczarek Definicje... Dywergencja i rotacja Rotacja wirowość) pola wektorowego V x, y, z) to operator różniczkowy działajacy na pole wektorowe V x, y, z), tworzy pole wektorowe wskazujace wirowanie gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego V i + j y + k ) i V x + j V y + z k V z) ) ) ) Vz i y Vy Vx + j z z Vz + Vy k Vx y i j k y z V x V y V z rot V. Pole nazywa siębezwirowym lub zachowawczym gdy rot V 0. 6 dr inż. Ireneusz Owczarek Wstęp stanowia fundamentalna podstawę teorii zjawisk elektromagnetycznych, podobnie jak zasady dynamiki Newtona sa podstawa mechaniki. Można znaleźć pola E i B w dowolnym punkcie przestrzeni i w dowolnej chwili czasu, jeżeli znane sa współrzędne i prędkości ładunków wytwarzajacych pola. sa niesymetryczne względem pól elektrycznego i magnetycznego istnieja ładunki elektryczne, a brak jest ładunków magnetycznych). Prawa te sa słuszne zarówno w przypadku statycznym pola niezależne od czasu) jak i w przypadku pól zależnych od czasu. Ważna konsekwencja równań Maxwella jest istnienie fali elektromagnetycznej. 7 dr inż. Ireneusz Owczarek Prawa Maxwella 1 Prawo Gaussa dla elektryczności. Ładunki sa źródłem pola elektrycznego E ρ ε 0. 2 Prawo Gaussa dla magnetyzmu. Pole magnetyczne jest bezźródłowe B 0. 3 Prawo Faraday a. Zmienne w czasie pole magnetyczne wytwarza pole elektryczne E B 4 Prawo Ampére a. Przepływajacy prad oraz zmienne pole elektryczne wytwarzaja pole magnetyczne B µ 0J E + ε0µ 0 8 dr inż. Ireneusz Owczarek

3 Prawa Maxwella... W sposób niejawny równania Maxwella zawieraja równanie ciagłości J + ρ t 0. Dla fal rozchodzacych się w próżni Prawo Gaussa dla elektryczności Prawo Gaussa dla magnetyzmu E 0. B 0. 9 dr inż. Ireneusz Owczarek Prawa Maxwella... Prawo Faraday a E B Prawo Ampére a B ε 0µ 0 E 10 dr inż. Ireneusz Owczarek Co to jet światło? Modele w optyce Fala elektromagnetyczna jest fala rozchodzac a się w próżni lub ośrodku materialnym wywołana zmianami rozkładu przestrzennego ładunków elektrycznych. Istotna cecha wszystkich fal elektromagnetycznych jest ta sama wartość prędkości rozchodzenia się fali, tj. c 2, m/s. 11 dr inż. Ireneusz Owczarek Co to jet światło?... Światło Modele w optyce to promieniowanie elektromagnetyczne o długościach fali, zawierajacych się w zakresie czułości oka ludzkiego, tj. od 380nm do 760nm. Jest to tzw. zakres widzialny. Największa czułość wypada dla fal o długości ok. 550nm. Porównanie systemów sensorycznych człowieka. 12 dr inż. Ireneusz Owczarek

4 Fala elektromagnetyczna płaska Ważne cechy pól: elektrycznego i magnetycznego które występuja zawsze, niezależnie od tego jak wytwarzana jest fala: 1 Wektory E i B sa zawsze prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fal, zatem fala elektromagnetyczna jest fala poprzeczna. 2 Wektor natężenia pola elektrycznego jest zawsze prostopadły do wektora natężenia pola magnetycznego. 3 Iloczyn wektorowy E B zawsze wyznacza kierunek rozchodzenia się fali. 4 Natężenie pola elektrycznego i indukcja pola magnetycznego zmieniaja się zawsze sinusoidalnie. Ponadto wektory pól zmieniaja się z taka sama częstościa, a ich oscylacje sa zgodne w fazie. 13 dr inż. Ireneusz Owczarek Jaki jest kierunek indukcji magnetycznej? Jeżeli E ma składowa w kierunku osi y, a B w kierunku z, to płaska, poprzeczna fala elektromagnetyczna ma postać: { Eyx, y, z, t) E m sinkx ωt), B zx, y, z, t) B m sinkx ωt), i rozchodzi się wzdłuż osi x to E x E z 0 i E y E yx, y, z, t), oraz E i j k y z E x E y E z ) ) ) E i z y E y E + j x z z E z + Ey k E x y k Ey. 14 dr inż. Ireneusz Owczarek Jaki jest kierunek indukcji magnetycznej?... Korzystajac z prawa Faraday a otrzymuje się lub B t k Ey, E y Bz 1) Oznacza to, że istnieje tylko jedna składowa wektora B z, czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego). Korzystaja z równań dla płaskiej fali elektromagnetycznej oraz z tego, że E y E i B z B otrzymuje się E y kem coskx ωt), B z ωb m coskx ωt). t 15 dr inż. Ireneusz Owczarek Prędkość fal elektromagnetycznych Wobec tego równanie 1) sprowadza się do postaci ke m coskx ωt) ωb m coskx ωt). Prędkość fali biegnacej zatem iloraz amplitud c ω k, 2) E m B m c. 3) Podobnie można pokazać dla B z B zx, t)), że B j Bz, i korzystajac z prawa Ampére a otrzymuje się B z ε0µ0 E y 4) 16 dr inż. Ireneusz Owczarek

5 Prędkość fal elektromagnetycznych... Podstawiajac do równania 4) można zapisać w postaci kb m coskx ωt) ε 0µ 0ωE m coskx ωt), z której otrzymuje się E m 1 ω 1 B m µ 0ε 0 µ c, k 0ε 0c Prędkości fal elektromagnetycznych w próżni Wszystkie fale elektromagnetyczne, w tym również światło widzialne, rozchodza się w próżni z ta sama prędkościa która wynosi ok. 2, m s. c 1 µ0ε 0, 5) 17 dr inż. Ireneusz Owczarek Równanie falowe dla fali elektromagnetycznej Postać równania falowego można uzyskać jeżeli policzy się pochodna czastkow a względem x wyrażenia 1) 2 E 2 B 2 t, oraz pochodna czastkow a względem t wyrażenia 4) 2 B t ε0µ0 2 E t 2. Przyrównanie do siebie tych równań daje równanie które ma postać równania falowego 2 E t 1 2 E 2 ε 0µ 0, 6) 2 2 ξ t 2 ξ 2 v2, 2 lub w bardziej zwartej postaci równania różniczkowego ruchu falowego 2 ξ 1 c 2 2 ξ t 2. 7) 18 dr inż. Ireneusz Owczarek Własności fali elektromagnetycznej Źródłem fali elektromagnetycznej jest przyspieszajacy ładunek. W punkcie, do którego dociera fala, natężenie pola elektrycznego zmienia się zgodnie z relacja E yx, y, z, t) E m sinkx ωt). Drgajacy ładunek nie promieniuje we wszystkich kierunkach jednakowo. W kierunku, w którym drga ładunek, fala elektromagnetyczna nie rozchodzi się. Fala elektromagnetyczna jest to rozchodzenie się w próżni lub w ośrodku materialnym wzajemnie indukujacych się zmiennych pól E i B. Z tego powodu nie wymaga istnienia ośrodka do swego przemieszczania się. Fala elektromagnetyczna jest fala poprzeczna: wektory E i B sa wzajemnie do siebie prostopadłe i sa też prostopadłe do kierunku rozchodzenia się fali. Prędkość fal elektromagnetycznych zależna jest od własności elektrycznych i magnetycznych ośrodka, w którym się ona rozchodzi c 1 2, m ε0µ 0 s, 19 dr inż. Ireneusz Owczarek Literatura Halliday D., Resnick R, Walker J. Podstawy Fizyki t PWN, Praca zbiorowa pod red. A. Justa Wstęp do analizy matematycznej i wybranych zagadnień z fizyki. Wydawnictwo PŁ, Łódź Jaworski B., Dietłaf A. Kurs Fizyki t PWN, Strona internetowa prowadzona przez CMF PŁ e-fizyka. Podstawy fizyki. Kakol Z. Żukrowski J. kakol/wyklady_pl.htm Wykłady z fizyki. 20 dr inż. Ireneusz Owczarek