Praca dyplomowa inżynierska/licencjacka/magisterska*

Transkrypt

1 Wydział Matematyki kierunek studiów: matematyka stosowana secjalność: Praca dylomowa inżynierska/licencjacka/magisterska* MODEL q-wyborcy Z DYSKRETNYMI I CIĄGŁYMI OPINIAMI Joanna Śmieja słowa kluczowe: model q-wyborcy antykonformizm model ciągły krótkie streszczenie: Celem racy jest srawdzenie, w jaki sosób zastąienie oinii binarnych oiniami ciągłymi na rzedziale włynie na rzemianę fazową orządek-nieorządek w modelu q-wyborcy. Odtworzono wyniki modelu q-wyborcy z antykonformizmem w oryginalnej, dyskretnej wersji. Omówiono roblemy wystęujące rzy definiowaniu modelu ciągłego, a nastęnie zaroonowano model na ciągłej rzestrzeni oinii. Pokazano, że w nowym modelu wystęuje zmiana rozkładu oinii, jednak określenie arametru orządku nie jest jednoznaczne. oiekun racy dylomowej rof. dr hab. Katarzyna Weron Tytuł/stoień naukowy/imię i nazwisko ocena odis Do celów archiwalnych racę dylomową zakwalifikowano do:* a) kategorii A (akta wieczyste) b) kategorii BE 5 (o 5 latach odlegające eksertyzie) * nieotrzebne skreślić ieczątka wydziałowa Wrocław, 27

2

3 Faculty of Pure and Alied Mathematics Field of study: Mathematics/Mathematics and Statistics/Alied Mathematics * Secialty: Financial and Actuarial Mathematics/Mathematics for Industry and Commerce/ Comutational Mathematics/Modelling, Simulation, Otimization/Mathematical Statistics/Theoretical Mathematics/Mathematics and Statistics/Mathematics* Master/Bachelor* Thesis The q-voter model with discrete and continuous oinions. Joanna Śmieja keywords: q-voter model anticonformity continuous model short summary: The aim of the aer is to check, how the change of the domain of oinions from binary set to a continuous interval will influence order-disorder hase transitions in the q-voter model with anticonformity. The results of the binary q-voter model where reroduced. Problems in defining the continuous model were discussed. In the roosed model changes of the distribution of oinions occur, however the order arameter isn t exlicit. Suervisor rof. dr hab. Katarzyna Weron Title/ degree/ name and surname grade signature For the uroses of archival thesis qualified to: * a) Category A (eretual files) b) Category BE 5 (subject to exertise after 5 years) * Delete as aroriate Wrocław, 27 stam of the faculty

4

5 Sis treści Wstę 6. Cel i zakres racy Oznaczenia i definicje Przejścia fazowe Binarny model q-wyborcy z antykonformizmem 8 2. Algorytm Przejście fazowe w binarnym modelu q-wyborcy z antykonformizmem Wyniki symulacji Modele z ciągłymi oiniami 4 Proozycja modelu ciągłego 4 4. Algorytm Wyniki symulacji Zmiana warunków oczątkowych Podsumowanie 2 6 Bibliografia 22 5

6 Rozdział Wstę W ciągu ostatnich kilkudziesięciu lat zostało zaroonowanych wiele tzw. modeli oinii sołecznej, które służą do obserwowania wływu zmian na oziomie mikroskoowym (oinii ojedynczych osób) na stan makroskoowy (oinii gruy ludzi) [, 3]. Analogiczne modele wykorzystywane są w fizyce statystycznej do oisywania n. zmian magnetyzacji [8]. Jednak w rzyadku modeli sołecznych brakuje wiedzy, jak to czynić w sosób ścisły, i jaki wływ na wyniki ma sam sosób budowy modelu [6]. W kontekście modeli binarnych częściowo odowiedź została zawarta w racy [6], która zawiera ois modelu zawierającego jako szczególne rzyadki inne modele dyskretne oraz wływ różnych form szumów (ostaw antykonformizmu i niezależności) na wyniki. Równolegle w literaturze znaleźć można różne modele analizujące oinie określone na ciągłej dziedzinie, n. model ograniczonego zaufania [4]. Nie wiadomo jednak, jaki wływ na końcowe wyniki ma wybór omiędzy dyskretnymi a ciągłymi oiniami. Ponieważ tak ostawione ytanie jest zbyt ogólne, by móc na nie jednoznacznie odowiedzieć, w racy analizowany będzie wływ zmiany rzestrzeni oinii z binarnej na ciągłą tylko w modelu q-wyborcy z antykonformizmem.. Cel i zakres racy Celem racy jest srawdzenie w jaki sosób zastąienie oinii binarnych ze zbioru {, } zmiennymi ciągłymi z rzedziału [, ] włynie na rzemianę fazową orządek-nieorządek w modelu q-wyborcy. W zakres racy wchodzić będzie odtworzenie wyników modelu q-wyborcy z binarnymi oiniami, modyfikacja modelu w taki sosób, aby model z ciągłymi oiniami odwzorowywał budowę modelu dyskretnego, rzerowadzenie symulacji Monte Carlo oraz orównanie wyników obydwu modeli..2 Oznaczenia i definicje Rozważać będziemy graf ełny o n wierzchołkach. Każdy wierzchołek (t), w czasie dyskretnym t =,, 2,..., będzie rzybierać wartość z rzestrzeni oinii i symbolizować może oinię jednej osoby na zadany temat w danej chwili. W binarnym modelu q-wyborcy jako dziedzinę rzyjmuje się zwykle zbiór {, } lub {, }. Możemy to interretować jako odowiedź tak lub nie na ewne ytanie w ankiecie, albo wybór ocji A albo B [6]. Ze względu na sosób budowy modelu wybór omiędzy tymi dwiema dziedzinami nie wływa na uzyskiwane wyniki bowiem, żeby rzejść z wynikami na drugą dziedzinę wystarczy zastosować 6

7 .3. Przejścia fazowe 7 odowiednie rzeskalowanie liniowe. Ponieważ w modelu ciągłym bardziej intuicyjne rzy analizowaniu wydaje się rzyjęcie rzestrzeni oinii jako zbioru domkniętego [, ], z interretacją stanów {, } jako oinii skrajnych, a jako stanu niezdecydowania, w rzyadku dyskretnym rzyjmiemy za dziedzinę zbiór {, }. W każdej chwili t będzie mogła się zmienić wartość jednego z wierzchołów (tzw. wyborcy), oznaczmy numer tego wierzchołka rzez v (v {, 2,..., n}). Będzie on za każdym razem losowany z rozkładu jednostajnego dyskretnego wśród wszystkich wierzchołków, innymi słowy w każdej chwili t będzie nową realizacją zmiennej losowej V takiej, że P (V = x) = n dla x {, 2,..., n}. Zmiana wartości oinii wyborcy S v (t) będzie zależna od wartości rzyjętych rzez losowych q innych wierzchołków (tzw. sąsiadów) numery tych wierzchołków oznaczmy rzez k i, i {, 2,..., q}. Sąsiedzi będą niezależnie losowani z rozkładu V (v): P (V (v) = x) =, dla x {, 2,..., v, v +,..., n} (tj. z rozkładu jednostajnego dyskretnego sośród wszystkich wierzchołków ołączonych w danej chwili krawędzią z wyborcą, n czyli niebędących w danej chwili wyborcą). Wrowadzamy dodatkowo zmienną rawdoodobieństwo zachowania antykonformistycznego wyborcy (rawdoodobieństwo zachowania konformistycznego definiując jako ). Jako oznaczenie rozkładu jednostajnego na odcinku [a, b] będzie używany zais: U(a, b)..3 Przejścia fazowe Rozważać będziemy rzejścia fazowe wystęujące w stanie stacjonarnym układu. Za [5, 8, 9] rzyjmujemy, że w układzie nastęuje rzejście fazowe, jeśli istnieje taka funkcja φ() (nazywana arametrem orządku) oraz taki unkt (tzw. unkt krytyczny), że < φ (), > φ () =. (.) Jeśli φ() jest nieciągła w unkcie, mówimy o tzw. nieciągłym rzejściu fazowym, w rzeciwnym rzyadku rzejście fazowe nazywamy ciągłym. Sośród cech charakterystycznych nieciągłych rzejść fazowych wymienić należy histerezę, czyli własność modelu olegającą na tym, że z różnych stanów oczątkowych układ może dojść do różnych stacjonarnych stanów końcowych. Gdy rzejście fazowe jest ciągłe histereza nie wystęuje. Ta własność jest szczególnie cenna, w rzyadku gdy rodzaj rzejścia fazowego chcemy określić na odstawie symulacji komuterowych.

8 Rozdział 2 Binarny model q-wyborcy z antykonformizmem 2. Algorytm W racy [2] dynamika binarnego modelu q-wyborcy, jak i w [6, 7] (wrowadzenie antykonformizmu), zamieszczona jest w sosób oisowy. Ze względu na czytelność racy oraz w celu ułatwienia orównywania modelu binarnego z modelami ciągłymi, modele będą oisywane za omocą seudokodu, oartego na algorytmie z [7]. Ponieważ w tym modelu rzejście fazowe jest ciągłe [7], zatem, ze względu na brak histerezy, stan oczątkowy nie wływa na wyniki, więc można go ustalić dowolnie (tak, żeby i {, 2, n} () {, }). W każdej chwili t + :. Generuj v V. (losowanie wyborcy) 2. Dla każdego i {, 2,..., n}: 3. Generuj k i V (v). (losowanie sąsiadów) 4. Jeśli S k (t) = S k2 (t) =... = S kq (t): (warunek zgodności sąsiadów) 5. Generuj u U(, ). 6. Jeśli u to S v (t + ) = S k (t). (antykonformizm) 7. W rzeciwnym razie S v (t + ) = S k (t). (konformizm) 8. W rzeciwnym razie S v (t + ) = S v (t). 2.2 Przejście fazowe w binarnym modelu q-wyborcy z antykonformizmem Ten odrozdział zawiera analityczne wyniki, które zostały zaczernięte z [7]. Rozważmy średnią wartość wierzchołków w układzie (magnetyzację): m(t) = n n (t). (2.) i= 8

9 2.3. Wyniki symulacji 9 Niech c(t) oznacza ułamek wierzchołków, które rzyjęły w chwili t wartość, czyli c(t) = #{i : (t) = }. (2.2) n Zauważmy, że m(t) = c(t)+ 2. Rozważając nieskończony układ (n ) w stanie stacjonarnym można uzyskać zależność: = c ( c) q c q ( c) ( c) q+ + c ( c) q, (2.3) c q ( c) cq+ dla c (gdzie c odowiada wartości arametru orządku m w stanie stacjonarnym), czyli 2 dla m. Dla m = otrzymujemy (, ]. Punkt rzejścia fazowego wynosi: (q) = q 2q. (2.4) Zatem m() sełnia warunek (.) i może być traktowana jako arametr orządku. Dla q > wystęuje ciągłe rzejście fazowe (ze względu na ciągłość (2.) względem ), dla q = nie wystęuje żadne rzejście fazowe. 2.3 Wyniki symulacji m(t) m(t) m(t) t[mcs] x 4 (a) t[mcs] x 4 (b) t[mcs] x 4 (c) Rys. 2.: Wykresy rzykładowych trajektorii m(t) dla n =, q = 3 oraz: (a) =, 5, (b) =, 2, (c) =, 9. Gdy < układ oscyluje wokół wartości m lub m, tzn. wartości stacjonarnych m(t). Dla = stan, do którego dochodzi układ to stan, w którym wszystkie wierzchołki rzyjmują tę samą wartość (i jest on stanem ochłaniającym, tj. żadna z wartości wierzchołków już się óźniej nie zmieni). Gdy jest bliskie, można zaobserwować dość częste rzejścia omiędzy wartościami m i m, wokół których układ oscyluje (rys. 2.). Dla > w grafie mniej więcej ołowa wierzchołków rzyjmuje wartość, a ołowa, rzy czym im większe jest, tym mniejsza jest wariancja (rys. 2.2a).

10 Rozdział 2. Binarny model q-wyborcy z antykonformizmem m().5.5 q= q=2 q=3 q=4 q=6 q= m().5.5 n= n=2 n=4 n= (a) (b) Rys. 2.2: Wykres wartości stacjonarnych magnetyzacji m dla: (a) rozmiaru układu n = i różnych wielkości gruy wływu q {, 2, 3, 4, 6, }, (b) q = 3 i różnych wielkości układu n {, 2, 4, 8}. Liniami oznaczono wynik analityczny, otrzymany orzez odwrócenie zależności 2.3, a symbolami wynik z symulacji na odstawie średnich z wartości bezwzględnych i liczb im rzeciwnych z iteracji modelu o uływie MCS. W celu weryfikacji imlementacji komuterowej modelu orównamy zależność średniej wartości magnetyzacji od arametru otrzymaną w ramach symulacji Monte Carlo z wynikami analitycznymi. Dla < wyniki symulacji okrywają się dość dobrze z wynikami analitycznymi, dla im większa jest liczba wierzchołków, tym wyniki symulacji bliższe są granicznemu rozwiązaniu analitycznemu dla nieskończonego n (rys. 2.2b). Dla > magnetyzacja m oscyluje wokoł zera, zatem, ze względu na liczenie średniej z wartości bezwzględnych m, możemy zaobserwować niezerowe wyniki symulacji. Dla < możemy zauważyć, że wartości m uzyskane z symulacji są bliższe zeru w orównaniu z wynikiem analitycznym, onieważ do liczenia średnich brane są wszystkie symulacje, również te, które akurat znajdują się w trakcie rzejścia omiędzy oscylowaniem wokół wartości m a oscylowaniem wokół wartości m, zaniżając średnią z wartości bezwzględnych.

11 Rozdział 3 Modele z ciągłymi oiniami Zaroonowanie modelu ciągłego, odowiadającego modelowi q-wyborcy z antykonformizmem wiąże się z koniecznością rzyjęcia dodatkowych założeń, wynikających z rzyjmowania rzez wierzchołki wartości na rzedziale [, ]. Założenia te wynikają z niejednoznaczności odowiedzi na nastęujące ytania na ciągłej dziedzinie oinii:. Co to znaczy, że sąsiedzi mają jednakowe oinie? 2. Co to znaczy, że wyborca rzyjmuje oinię sąsiadów? (Jaką wartość ma rzyjąć wyborca w rzyadku konformizmu, a jaką w rzyadku antykonformizmu?) W rzyadku binarnego modelu q-wyborcy z antykonformizmem jednakowa oinia oznacza, że wszyscy sąsiedzi mają dokładnie tę samą wartość. Każdy z wierzchołków rzyjmował jedną z wartości ze zbioru {, }. Zarówno liczba wierzchołków, jak i liczba stanów, były skończone. Poza nielicznymi rzyadkami (doboru ewnych n i q), rawdoodobieństwo wystąienia sytuacji, w której sąsiedzi mają jednakową oinię, jest niezerowe. Przy zmianie dziedziny oinii na rzedział [, ] rzechodzimy na oerowanie na rozkładach ciągłych lub mieszanych. Prawdoodobieństwo, że wśród n wartości znajdzie się q identycznych, często może okazać się zerowe. Żeby model ewoluował, otrzebne jest rozszerzenie ojęcia jednakowych oinii tak, aby rawdoodobieństwo zmiany było niezerowe. Można rozatrywać, że sąsiedzi mają jednakową oinię kiedy n.: a) wszyscy mają oinię większą od zera (odowiadają tak w ankiecie) lub wszyscy mają oinię mniejszą od zera (zaznaczają w ankiecie odowiedź nie ) ( i {,..., q} S ki (t) > ) ( i {,..., q} S ki (t) < ), (3.) b) wszyscy mają oinię większą od wyborcy (są bardziej rzekonani do rozwiązania niż wyborca) lub wszyscy mają oinię mniejszą od wyborcy (są mniej rzekonani lub bardziej negatywnie nastawieni do rozwiązania niż wyborca) ( i {,..., q} S ki (t) > S v (t)) ( i {,..., q} S ki (t) < S v (t)). (3.2) W dalszej części racy będziemy zakładać wersję b), onieważ lesze wydaje się odniesienie oinii sąsiadów do wartości oinii wyborcy. W owyższych roozycjach stan, w którym

12 2 Rozdział 3. Modele z ciągłymi oiniami wszystkie wierzchołki w grafie mają tę samą wartość, jest stanem ochłaniającym. W sytuacji, w której wartość oinii sąsiada jest identyczna z wartością oinii wyborcy, stan wyborcy się nie zmienia. To ograniczenie jest związane z roblemem w definiowaniu antykonformizmu w modelu na ciągłej dziedzinie oinii (Jak zdefiniować antykonformizm, gdy wszystkie wierzchołki będą miały tę samą wartość? Jaka będzie wartość oinii antykonformistycznej wobec oinii wynoszącej zero?). Co to znaczy, że wyborca rzyjmuje oinię sąsiadów? W binarnym modelu q-wyborcy sąsiedzi mają identyczne oinie, więc odowiedź jest rosta. W modelu ciągłym odowiedzi zależą od odowiedzi na ytanie. Można zaroonować, żeby o sełnieniu warunku (3.2) n.: A. wyborca rzyjmował średnią (lub wartość innej statystyki) z oinii sąsiadów bądź liczbę jej rzeciwną { q n i= S ki (t) z rawdoodobieństwem, S v (t + ) = q (3.3) i= S ki (t) z rawdoodobieństwem, n B. wyborca rzybliżał się o ewną stałą wartość s do oinii sąsiadów bądź od niej oddalał gdzie A = S v (t) = min{, max{, A}}, (3.4) { Sv (t) s sgn(s kq (t) S v (t)) z rawdoodobieństwem, S v (t) + s sgn(s kq (t) S v (t)) z rawdoodobieństwem. (3.5) Postać (3.4) zaewnia ozostanie oinii wyborcy w dziedzinie. Wzór (3.5) oznacza, że jeśli oinia wyborcy jest większa od oinii sąsiadów (skoro wyborca z założenia sełnia (3.2), to wystarczy srawdzić relację z jednym z sąsiadów), to w rzyadku konformistycznym maleje o s, a antykonformistycznym rośnie o s. Jeśli oinia sąsiadów jest mniejsza od oinii wyborcy, to w rzyadku konformistycznym oinia wyborcy rośnie o s, a antykonformistycznym maleje o s. Może się okazać, że o rzybraniu nowej oinii rzez wyborcę relacja mniejszości omiędzy nim, a oiniami sąsiadów, się odwróciła (n. jeśli wyborca miał oinię mniejszą od sąsiadów, ale nieznacznie, to w rzyadku konformistycznym w wyniku dodania s może mieć nową oinię od nich większą). C. wyborca rzyjmował oinię będącą realizacją zmiennej losowej (n. z rozkładu jednostajnego): gdy S kq (t) > S v (t) (z założenia (3.2) jest to równoważne sytuacji, w której oinia wyborcy jest mniejsza od oinii każdego z sąsiadów): { U(, Sv (t)) z rawdoodobieństwem, S v (t + ) (3.6) U(S v (t), ) z rawdoodobieństwem, gdy S kq (t) < S v (t): S v (t + ) { U(Sv (t), ) z rawdoodobieństwem, U(, S v (t)) z rawdoodobieństwem, (3.7)

13 W modelu A, gdy stan oczątkowy rzyjmiemy jako jednostajny na odcinku [, ], możemy zaobserować zbieganie wartości wszystkich wierzchołków do zera dla różnych wartości n i q. W związku z tym modelu nie wystęują rzejścia fazowe i model nie będzie dalej analizowany. W modelu B każdy z wierzchołków będzie miał oinię zawartą w zbiorze skończonym (t) { () + a s : a Z} [, ] (3.8) dla każdego t. Model również nie będzie dalej analizowany, onieważ rzestrzeń oinii nie jest ciągła. W kolejnej części racy zostanie omówiony model C. 3

14 Rozdział 4 Proozycja modelu ciągłego 4. Algorytm Stan oczątkowy: i {, 2,..., n} () U(, ). W każdej chwili t:. Generuj v V. (losowanie wyborcy) 2. Dla każdego i {, 2,..., n}: 3. Generuj m i V (v). (losowanie sąsiadów) 4. Jeśli ( i {,..., q} S ki (t) > S v (t)) to: (warunek zgodności sąsiadów) 5. Generuj u U(, ). 6. Jeśli u to generuj S v (t + ) U(, S v (t)). (antykonformizm) 7. W rzeciwnym razie generuj S v (t + ) U(S v (t), ). (konformizm) 8. W rzeciwnym razie jeśli ( i {,..., q} S ki (t) < S v (t)) to: (druga wersja warunku zgodności sąsiadów) 9. Jeśli u to generuj S v (t + ) U(S v (t), ). (antykonformizm). W rzeciwnym razie generuj S v (t + ) U(, S v (t)). (konformizm). W rzeciwnym razie S v (t + ) = S v (t). 4.2 Wyniki symulacji Można zauważyć, że dla każdej wartości [, ] rozkład wartości jest trochę inny (rys. 4.). W rzeciwieństwie do zachowania modelu binarnego, dla każdej wartości liczba stanów, w których się znajduje układ, wynosi zawsze jeden (nie ma rzeskoków). Układ nie zmienia się od stanu z dwiema wsółistniejącymi fazami dla małych do stanu równowagi między skrajnymi oiniami dla >, tylko od stanu ze znikomą ilością wierzchołków ze skrajnymi wartościami do stanu, w którym większość wierzchołków rzybiera skrajne wartości (rys. 4.5, 4.6). 4

15 Wyniki symulacji 2 3 F(x) (a) x x x (f) (e) F(x) (i) (h) F(x).5 (g) (l) (k) F(x).5 (j).5 5 (d) x 5 2 x (c) (b) F(x) (m).5.5 (n).5 (o) Rys. 4.: Rozkłady oinii o uływie M CS dla q = 3 i różnych : (a) (c): =, (d) (f): =, 25, (g) (i): =, 5, (j) (l): =, 75, (m) (o): =. Pierwszą kolumnę tworzą histogramy z jednej trajektorii dla n = 4. Drugą rzykładowe histogramy z jednej trajektorii dla n =. Trzecią emiryczne dystrybuanty trajektorii dla n =.

16 6 Rozdział 4. Proozycja modelu ciągłego = = = (c) (a) (d) (b) (e) Rys. 4.2: Średnie liczby wierzchołków rzyjmujących wartości,, z symulacji o uływie MCS dla n = oraz: (a) q =, (b) q = 2, (c) q = 3, (d) q = 4, (e) q = 6. Najwięcej wartości wierzchołków znajduje się w otoczeniu unktów {,, }. Dla małych wartości większość wierzchołków rzyjmuje wartości w obliżu zera (rys. 4.c, 4.f). Wraz ze wzrostem arametru maleje liczba wierzchołków rzyjmujących oinię bliską zeru, a wierzchołki zaczynają rzyjmować coraz bardziej skrajne oinie. Dla = można zaobserwować olaryzację znaczna liczba wartości wierzchołków wynosi dokładnie lub (rys. 4.2). Jest to o tyle ciekawe, że oczątkowo wartości wierzchołków ochodziły z rozkładu jednostajnego na całej dziedzinie oinii, a óźniej zmieniały się na wartości losowe z rozkładu ciągłego. Zmiana na wartości losowe zachodziła oza sytuacją, kiedy wierzchołek rzyjmował wartość lub, który to stan jest ochłaniający dla = (analizowany rozkład jest wtedy jednounktowy). Zjawisko olaryzacji można zrozumieć rzerowadzając nastęujące rozumowanie. Zauważmy, że dla = i dla ustalonego v mamy E (S v (t + )) = E (U (S v (t), )) P q ( (t) < S v (t)) + +E (U (, S v (t))) P q ( (t) > S v (t)), (4.)

17 4.2. Wyniki symulacji 7 Var(S) t[mcs] x 4 (a) Var(S) t[mcs] x 4 (b) Var(S) t[mcs] x 4 (c) Rys. 4.3: Trajektoria wariancji wartości wierzchołków w rzykładowej iteracji algorytmu dla n =, q = 3 oraz: (a) =, (b) =, 4, (c) =. gdzie U(a, b) U(a, b). Wartości oczekiwane sełniają oniższe zależności E (U (S v (t), )) = + S v(t) 2 E (U (, S v (t))) = S v(t) 2 S v (t) > S ki (t), S v (t) < S ki (t), (4.2) zatem wartości rzyjmowane rzez wierzchołki stają się coraz bardziej skrajne. Dodatkowo w rzyadku = układ bardzo długo nie dochodzi do stanu stacjonarnego (zwiększająca się wariancja wartości wierzchołków grafu na rys. 4.3c wskazuje na rzyjmowanie rzez wierzchołki coraz skrajniejszych oinii), zatem rys. 4.m, 4.n, 4.o, 4.5e, 4.6e, 4.2e nie rzedstawiają układu w stanie stacjonarnym. Dla n = można zaobserwować bardzo duży rozrzut wyników w stanie stacjonarnym omiędzy oszczególnymi owtórzeniami symulacji (rys. 4.c, 4.f, 4.i, 4.l). Im większa liczba wierzchołków n, tym układ ulega mniejszym fluktuacjom i rozkład wartości wierzchołków jest bardziej symetryczny względem zera (rys. 4.). Centralnym zagadnieniem badanym w ramach binarnego modelu q-wyborcy były rzejścia fazowe. Identyfikacja unktu rzejścia nastęowała dzięki wrowadzeniu odowiedniego arametru orządku, w tamtym rzyadku magnetyzacji. W rzyadku modelu ciągłego magnetyzacja układu, tj. średnia oinia, wynosi zero dla każdego. Mimo to na rys. 4. wyraźnie widzimy jakościową zmianę zachowania układu. Pojawia się ytanie jak zdefiniować unkt rzejścia. Jako unkt rzejścia można rzyjąć takie, dla którego średnia sinów w otoczeniu unktów,, są sobie równe. Wtedy dla n = i q = 3 ten unkt wynosiłby ok., 4 (rys. 4.6c), natomiast dla q = rzejście fazowe by nie zachodziło (rys. 4.6a). Gdyby jednak rzyjąć odmienną definicję, i jako traktować unkt, w którym liczba wierzchołków o wartościach skrajnych jest równa liczbie wierzchołków bliskich zeru, ( #{i : x 2, x ) } = #{i : [, + x) ( x, ]}, (4.3) 2

18 8 Rozdział 4. Proozycja modelu ciągłego >.95 <.95 (.25,.25) t[mcs] t[mcs] t[mcs] (a) (b) (c) Rys. 4.4: Liczba wierzchołków o wartościach w rzedziałach [ ;, 95), (, 25;, 25), (, 95; ] w rzykładowej iteracji algorytmu dla n =, q = 3 oraz: (a) =, (b) =, 4, (c) =. dla ewnego x > wyznaczającego długość rozatrywanych rzedziałów, to dla n =, q = 3 i x =, 5 ten unkt wynosiłby ok., 5 (rys. 4.6c), a dla q = rzejście fazowe by wystęowało (rys. 4.6a). Trudno jednoznacznie ustalić, czym w tym modelu jest orządek, a czym nieorządek ; co stanowi istotę orządku (i jaką cechę modelu rzyjąć za uorządkowanie). W związku z tym nie udało się wyznaczyć arametru orządku. Oczywiście możnaby rozatrywać arametry tyu φ = max{a, }, gdzie a jest ewną zmienną, n. a = #{i : ( x 2, x ) } #{i : [, + x) ( x, ]}, (4.4) 2 lub ewną roorcją liczebności jednej gruy wierzchołków do innej gruy, tylko w ten sosób każdy unkt dziedziny, w zależności od rzyjętej definicji, można traktować jako unkt rzejścia. Takie sztuczne odejście zdaje się zatracać istotę ojęcia rzejścia fazowego.

19 4.2. Wyniki symulacji 9 >.95 <.95 (.25,.25) (c) (a) (d) (b) (e) Rys. 4.5: Średnie liczby wierzchołków należących do rzedziałów [ ;, 95), (, 25;, 25), (, 95; ] z symulacji o uływie M CS dla n = oraz: (a) q =, (b) q = 2, (c) q = 3, (d) q = 4, (e) q = 6. >.95 <.95 (.5,.5) (c) (a) (d) (b) (e) Rys. 4.6: Średnie liczby wierzchołków należących do rzedziałów [ ;, 95), (, 5;, 5), (, 95; ] z symulacji o uływie M CS dla n = oraz: (a) q =, (b) q = 2, (c) q = 3, (d) q = 4, (e) q = 6.

20 2 Rozdział 4. Proozycja modelu ciągłego 4.3 Zmiana warunków oczątkowych W modelu binarnym zmiana warunków oczątkowych nie wływa na uzyskiwane wyniki [7, 6], dlatego, aby zobaczyć wływ wielkości arametru na wyniki, można w chwili t = ustawić wartości wszystkich wierzchołków na tę samą wartość. Ponieważ niezależność od stanu oczątkowego jest ewną rzesłanką, jakiego tyu rzejście fazowe nastęuje [9], dlatego warto srawdzić, jak na zmianę wartości oczątkowych wierzchołków reaguje model ciągły. Ze względu na to, że w modelu ciągłym sytuacja, w której wszystkie wierzchołki rzybierają tę samą wartość, jest stanem ochłaniającym, jako stany oczątkowe srawdzimy:. realizacje zmiennej z rozkładu jednostajnego na odcinku [, ], 2. realizacje zmiennej z rozkładu P ( () = ) = P ( () = ) = 2. W rzyadku. wyniki nie różnią się od tych rezentowanych wcześniej dla rozkładu jednostajnego na odcinku [, ]. W rzyadku 2. można zaobserwować wydłużenie czasu dochodzenia układu do stanu stacjonarnego, co jest szczególnie widoczne dla dużych q. Dla = stan oczątkowy jest zarazem stanem ochłaniającym.

21 Rozdział 5 Podsumowanie Na oczątku racy zostały odtworzone wyniki binarnego modelu q-wyborcy z antykonformizmem. Zostało srawdzone, że dla rosnącego n wyniki zbiegają do analitycznego wyniku z [7]. Budowa modelu na ciągłej rzestrzeni oinii wiąże się z koniecznością zdefiniowania ojęcia antykonformizmu i jednakowości oinii na rzestrzeni ciągłej. Zostało zaroonowanych kilka modeli. Wyniki modeli, jak i zachodzenie w nich rzejść fazowych, całkowicie zależą od sosobu rzełożenia dyskretnego modelu q-wyborcy na model ciągły. Dla modelu ciągłego z losowaniem oinii z rozkładów jednostajnych na odowiednich rzedziałach można zaobserwować zmianę rozkładu oinii w stanie stacjonarnym zachodzącą na całej dziedzinie. Zwiększanie rozmiaru układu n sowodowało zwiększenie symetryczności rozkładu wartości wierzchołków. Ponieważ nie można jednoznacznie zdefiniować arametru orządku bez rzyjęcia kolejnych założeń, co do definicji stanu uorządkowania układu, zarówno diagram fazowy, jak i rodzaj rzejścia fazowego, nie zostały rzealizowane. 2

22 Rozdział 6 Bibliografia [] Castellano C., Fortunato S., Loreto V., Statistical hysics of social dynamics, Rev. Mod. Phys. 8 (29) [2] Castellano C., Munoz M, Pastor-Sartorras R., Nonlinear q-voter model, Phys. Rev. E 8 (29) [3] Flache A., Mäs M., Feliciani T., Chattoe-Brown E., Deffuant G., Huet S., Lorenz J., Models of Social Influence: Towards the Next Frontiers, J. Artif. Soc. Soc. Simul. 2(4) 2 (27) [4] Hegselmann R., Krause U., Oinion Dynamics and Bounded Confidence Models, Analysis, and Simulation, J. Artif. Soc. Soc. Simul. 5 (22) [5] Landau L., Lifszyc J., Fizyka statystyczna, t., Warszawa, Wyd. Naukowe PWN, 2, s , , , [6] Nyczka P., Sznajd-Weron K., Anticonformity or Indeendence? Insights from Statistical Physics, J. Stat. Phys. 5 (23) [7] Nyczka P., Sznajd-Weron K., Cisło J. Phase transitions in the q-voter model with two tyes of stochastic driving, Phys. Rev. E 86 (22) [8] Stanley H., Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Oxford, Clarendon Press, 97, s. 2 [9] Yeomans J., Statistical mechanics of Phase Transitions, Nowy Jork, Oxford University Press Inc., 993, s. 3,