Praca dyplomowa inżynierska
|
|
- Kinga Kania
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Wydział Matematyki kierunek studiów: matematyka stosowana specjalność Praca dyplomowa inżynierska Dynamika opinii w sieciach bezskalowych Dominik Miażdżyk słowa kluczowe: dynamika opinii model q-wyborcy z antykonformizmem sieć Barabasiego-Alberta krótkie streszczenie: Praca dotyczy modelu q-wyborcy z antykonformizmem z wprowadzoną modyfikacją polegającą na losowaniu z powtórzeniami grupy wpływu. Nadrzędnym celem pracy było sprawdzenie czy istnieje zależność pomiędzy wartością parametru m 0 odpowiadającego za wielkość grafu pełnego w procesie tworzenia sieci Barabasiego- Alberta, a wartością średniej opinii. Zostało przeprowadzone porównanie pomiędzy wynikami symulacji modelu q-wyborcy z antykonformizmem na grafie zupełnym, a wynikami analitycznymi oraz sprawdzenie poprawności implementacji modelu sieci Barabasiego-Alberta. opiekun pracy dyplomowej prof. dr hab. Katarzyna Sznajd-Weron Tytuł/stopień naukowy/imię i nazwisko ocena podpis Do celów archiwalnych pracę dyplomową zakwalifikowano do:* a) kategorii A (akta wieczyste) b) kategorii BE 50 (po 50 latach podlegające ekspertyzie) * niepotrzebne skreślić pieczątka wydziałowa Wrocław, rok
2 Faculty of Pure and Applied Mathematics Field of study: Applied Mathematics Specialty: Engineering Diploma Thesis Opinion dynamics on free-scale networks Dominik Miażdżyk keywords: opinion dynamic q-voter model with anti-conformity Barabasi-Albert network short summary: The thesis is about q-voter model with anti-conformity with modification, which consists of replacing drawing without repetitions by drawing with repetitions. The main purpose of the paper was to check whether there is a relationship between the value of the parameter m 0 responsible for the size of the complete graph in the process of creating the Barabasi-Albert network, and the value of the average opinion. Comparisons between simulations results of q-voter model with anti-conformity on complete graph and analytical results were made. Also, validation of implementation Barabasi-Albert network model was made. Supervisor prof. dr hab. Katarzyna Sznajd-Weron Title/ degree/ name and surname grade signature For the purposes of archival thesis qualified to: * a) Category A (perpetual files) b) Category BE 50 (subject to expertise after 50 years) * Delete as appropriate Wrocław, 207 stamp of the faculty
3 Spis treści Wstęp - motywacja i cel pracy 3 2 Struktura układu - sieci złożone 5 2. Podstawowe pojęcia Rozkład stopni wierzchołków Współczynnik gronowania Średnia najkrótsza ścieżka Modele sieci Graf pełny Sieć Barabasiego-Alberta Procesy dynamiki na sieciach 0 3. Model q-wyborcy z antykonformizmem Wyniki na grafie zupełnym Trajektorie średniej opinii w czasie Średnia opinia w modelu q-wyborcy Wyniki na sieci Barabasiego-Alberta Wnioski 5 5 Literatura 6
4 Wstęp - motywacja i cel pracy W celu zrozumienia procesów zachodzących wokół nas próbuje się budować modele matematyczne lub fizyczne opisujące zjawiska społeczne, przyrodnicze, ekonomiczne. Jednym z pierwszych modeli dotyczących zjawisk społecznych był model segregacji rasowej Schellinga wprowadzony w roku 97 []. Opisywał on jak dla dwóch populacji o różnych rasach, przy założonych preferencjach rasowych powstają posegregowane grupy. Duże zainteresowanie analizą obliczeniową zjawisk społecznych przyczyniło się do powstania socjofizyki oraz socjologii obliczeniowej. Nauki te, bazując między innymi na symulacjach komputerowych, umożliwiają analizę wspomnianych wcześniej modeli [2]. Socjofizyka jest wykorzystywana między innymi do symulacji wyników wyborów oraz rozprzestrzeniania się innowacji [3]. Jednym z najpopularniejszych działań w ramach tej gałęzi nauki jest badanie dynamiki opinii, a więc badanie, jaki wpływ na ludzkie decyzje lub opinie ma nacisk odpowiedniej grupy. W tej pracy zostanie przedstawiony model q-wyborcy, który jest modelem agentowym (Agent Based Model) [4]. Oznacza to, że możemy zdefiniować zachowanie agentów poprzez określenie zasad podejmowania decyzji i określenie warunków w jakich funkcjonują oraz realizować dowolną liczbę iteracji w celu otrzymania wyników zachodzących procesów [5]. W rezultacie będziemy przypisywać każdemu elementowi modelu pewna wartość. W przypadku badania dynamiki opinii wartość ta nazywana jest opinią i oznacza zdanie agenta na dany temat, np. ocenę sytuacji w kraju lub preferencję przy wyborze pomiędzy systemami Windows i macos. Ponieważ w wielu przypadkach opinia polega na wyborze jednej z dwóch możliwych odpowiedzi w poniższej pracy będziemy zakładać, że opinia agenta jest binarna i przypiszemy jej wartości ze zbioru {, }. Model q-wyborcy zostanie dodatkowo uzupełniony o szum antykonformistyczny, tak jak zostało to zaproponowane w [6]. Aby przeanalizować wybrany model wybiera się odpowiednią strukturę połączeń (nazywaną siecią lub grafem) pomiędzy jego elementami. Jedną z takich struktur jest graf pełny, w którym każdy element jest połączony ze wszystkimi pozostałymi. Jest to sieć, która znajduje zastosowanie w przypadku opisu modeli o niewielkiej liczbie elementów, np. małych grup społecznych. W wypadku, gdy mamy do czynienia z dużą grupą społeczną (np. obywatele jednego państwa) graf pełny staje się bezużyteczny, ponieważ niemożliwym jest, aby każda osoba miała równoważną relację z pozostałymi członkami. Przeprowadzone przez A.-L.Barabasiego i innych badania nad siecią WWW na Uniwersytecie Notre Dame w Indianie doprowadziły do odkrycia, że sieć te charakteryzuje się potęgowym rozkładem połączeń [7]. Odkryli również, że rozkład ten występuje w wyniku działania dwóch mechanizmów, które zdefiniowali jako mechanizm wzrostu sieci oraz regułę preferencyjnego dołączania węzłów. Na podstawie tych informacji naukowcy utworzyli model sieci rzeczywistej (model Barabasiego-Alberta) o rozkładzie potęgowym [8]. W wyniku dalszych badań dowiedziono, że rozkład potęgowy występuje również w innych sieciach rzeczywistych, takich jak Internet, sieci społecznościowe, sieci cytowań. W poniższej pracy do rozważenia modelu q-wyborcy wybrano sieć Barabasiego-Alberta. Podstawowym celem pracy jest zbadanie jak wpływa wartość parametru, określającego rozmiar grafu pełnego będącego zarodkiem sieci w modelu Barabasiego-Alberta, na stacjonarną wartość średniej opinii w modelu q-wyborcy z antykonformizmem. Zostaną wykonane następujące zadania: implementacja algorytmu modelu q-wyborcy z antykonformizmem oraz sieci Barabasiego-Alberta, wprowadzenie modyfikacji do algorytmu modelu q-wyborcy w celu umożliwienia jego analizy przy pomocy sieci Barabasiego-Alberta, symulacje zmodyfikowanego modelu na grafie pełnym, porównanie wyników symulacji z wartościami teoretycznymi przy wykorzystaniu obliczeń zaprezentowanych w pracach [6, 9], symulacje zmodyfikowanego modelu na sieci Barabasiego-Alberta. Wyniki przeprowadzonych symulacji za pomocą języka 2
5 programowania Python, zostaną pokazane na wykresach stworzonych w programie MAT LAB. Przedstawione wyżej zagadnienia maja odzwierciedlenie w rzeczywistym świecie i właśnie dlatego są ciekawe w analizie. Każdy człowiek jest członkiem jakiejś społeczności, a także w konsekwencji różnych doświadczeń posiada własne zdanie na dany temat. Dlatego właśnie zająłem się przedstawionym tematem. 3
6 2 Struktura układu - sieci złożone W poniższym rozdziale zostanie wprowadzone pojęcie sieci oraz wielkości, które charakteryzują analizowany układ. Sieć jest to abstrakcyjna struktura, którą możemy przedstawić w sposób matematyczny jako graf, którego wierzchołki symbolizują elementy układu, a połączenia reprezentują relacje między nimi. W dalszej części pracy będziemy rozważać tylko grafy nieskierowane, co oznacza, że relacje pomiędzy elementami są obustronne. Jest to istotne ze względu na rozważane modele dynamiki opinii, w których będziemy modelować dwukierunkowe interakcje społeczne. Nauka o sieciach wykorzystywana jest w wielu dziedzinach i zapewnia prostą reprezentację złożonych układów z dużą liczbą elementów [8]. 2. Podstawowe pojęcia Będziemy rozważać graf G, który jest parą zbiorów G = (V,E). Zbiór V zawiera wszystkie wierzchołki występujące w grafie V =,2,...,N, natomiast zbiór E będzie złożony z par wierzchołków (i, j), pomiędzy którymi występuje połączenie np. E = {(, 2),(, 3)}. Liczność zbioru V jest równa N i oznacza ona również rozmiar układu. Jeżeli w zbiorze E występuje para i, j będziemy nazywać te dwa wierzchołki sąsiadami, a liczbę sąsiadów węzła i będziemy oznaczać jako stopnień wierzchołka k i P(k) /3 / / k Rys. 2.: Ilustracja po prawej stronie przedstawia przykładowy graf G = (V,E) o N = 6 wierzchołkach i 7 połączeniach. Zbiory przedstawiają się następująco: V = {, 2, 3, 4, 5, 6} i E = {(,2),(,4),(2,3),(2,4),(3,5),(4,5),(5,6)}. Po lewej stronie zaprezentowano rozkład stopni wierzchołków grafu G 2.. Rozkład stopni wierzchołków W większości rzeczywistych układów nie wszystkie wierzchołki sieci mają taką samą liczbę połączeń. Stąd też potrzebne jest wprowadzenie miary, która będzie nam mówiła o tym jak dużo połączeń posiada dany węzeł. Stopniem wierzchołka będziemy nazywać dyskretną zmienną losową, która określa nam ile połączeń k będzie miał losowo wybrany wierzchołek. Rozkład stopni wierzchołków P(k) zdefiniujemy przez funkcję opisującą prawdopodobieństwo wylosowania wierzchołka o stopni k. Średni stopień wierzchołka będzie to średnia ważona prawdopodobieństwem ze wszystkich możliwych wartości k: k = N i k i = kp(k). (2.) k 2..2 Współczynnik gronowania Powszechną prawdą jest, że człowiek jest istotą stadną, która dobiera się w grupy. Rozważając sieć stworzoną z wielu wierzchołków wprowadzimy wielkość, która będzie charakteryzowała 4
7 Rys. 2.2: Schemat przedstawia lokalny współczynnik gronowania dla wierzchołka i oznaczonego kolorem zielonym w trzech sytuacjach. Wierzchołek i ma stopień wierzchołka k i = 3. Linie ciągłe oznaczają istniejące połączenia, a linie przerywane to połączenie nie istniejące. (źródło [0]) naszą sieć pod kątem tworzenia się mniejszych grup. Definiując współczynnik gronowania C i będziemy porównywać liczbę rzeczywistych połączeń pomiędzy sąsiadami E i wierzchołka do wszystkich możliwych połączeń między nimi 2 k i(k i ): C i = 2E i k i (k i ). (2.2) Z równania (2.2) możemy wyciągnąć wniosek, że wartość współczynnika gronowania jest z przedziału [0, ]. Jak widać opisuje on prawdopodobieństwo, że najbliżsi sąsiedzi są również najbliższymi sąsiadami względem siebie. Ze względu na fakt, że współczynnik gronowania jest zdefiniowany względem pojedynczego węzła możemy powiedzieć, że ujawnia on strukturę lokalnego sąsiedztwa i nazwać go lokalnym współczynnikiem gronowania (ang. local clustering coefficient) [0]. Natomiast średni współczynnik gronowania sieci, który będzie uwzględniony w dalszej części pracy, jest równy średniej z poszczególnych współczynników gronowania: C = N i C i. (2.3) 2..3 Średnia najkrótsza ścieżka Następnie wprowadzimy miarę, która będzie nam charakteryzowała sieć pod kątem jej efektywnej wielkości. Niektóre sieci posiadają własność małego świata, co oznacza, że pomimo olbrzymiej liczby wierzchołków odległość między nimi jest stosunkowo niewielka. Zdefiniujmy ścieżkę D,N jako uporządkowanych zbiór różnych wierzchołków (,2,...,N) takich, że para i,i + dla i =,...,N należy do zbioru połączeń E. Długość ścieżki D,N jest to liczba połączeń pomiędzy węzłami oraz N i w tym przypadku jest równa N. Najkrótszą drogę pomiędzy wierzchołkami i oraz j będziemy oznaczać jako δ i, j. Średnia najkrótsza ścieżka jest to średnia najkrótszych dróg pomiędzy wszystkimi wierzchołkami: 2.2 Modele sieci δ = N(N ) δ i, j. (2.4) i, j W tej sekcji zajmiemy się przedstawieniem rodzajów sieci, które będą wykorzystywane w dalszej części pracy. Zaczniemy od najbardziej podstawowej struktury jaką jest graf pełny aby 5
8 przejść do bardziej skomplikowanych układów. Wśród sieci złożonych możemy wyróżnić dwa rodzaje powszechne w rzeczywistym świecie: sieci małego świata oraz sieci bezskalowe. Do przykładów należałoby zaliczyć sieć internetową lub połączenia samolotowe między miastami Graf pełny Najprostszą strukturą używaną w badaniach jest graf pełny. Składa się on z N wierzchołków, które są parami połączone, czyli istnieją pary (i, j) E dla i, j,2,...,n i j. W rezultacie mamy 2 N(N ) połączeń. Graf pełny stanowi układ, w którym każdy węzeł ma taką samą liczbę sąsiadów, a więc średni stopień wierzchołka k = N, a rozkład stopni wierzchołków można przedstawić P(k) = l i=n. W takim wypadku każdy wierzchołek ma taki sam współczynnik gronowania C i =, a więc C =. Ponadto średnia najkrótsza ścieżka wynosi δ = ponieważ wszystkie wierzchołki są w pełni ze sobą połączone D i, j = dla i, j,2,...,n i j. Rys. 2.3: Graficzna ilustracja grafu zupełnego o N = 9 wierzchołkach (źródło [0]) oraz przykładowej sieci bezskalowej (źródło [8]). Ze względu na bardzo prostą budowę graf zupełny może być bardzo dobrym układem do testowania modeli opartych na interakcjach pomiędzy agentami. W przypadku tego układu należy pamiętać, że każdy wierzchołek jest połączony ze wszystkimi innymi. W rzeczywistym świecie trudno byłoby wyobrazić sobie dużą społeczność, w której każdy oddziałuje na każdego. Dlatego też, graf zupełny interpretuje się jako małą grupę społeczną, w której wszystkie osoby się znają Sieć Barabasiego-Alberta Dla wielu układów rzeczywistych rozkład stopni wierzchołków jest potęgowy, tzn. P(k) k α [8]. Korzystając z mechanizmów: wzrostu sieci i preferencyjnego dołączania węzłów, które podali A.L. Barabasi i R.Albert [2], mamy styczność z układem, w którym istnieje wiele wierzchołków, posiadających bardzo małą liczbę sąsiadów oraz kilka węzłów, które mają duży stopień wierzchołka k i. Proces tworzenia sieci rozpoczynamy od skonstruowania grafu pełnego o wielkości m 0. Następnie w każdym kolejnym kroku będziemy dodawać jeden wierzchołek łącząc go z m już obecnymi (m < m 0 ) na podstawie reguły o preferencyjnym dołączaniu węzłów co oznacza, że nowy węzeł będzie się łączył z i-tym istniejącym z prawdopodobieństwem Π zależnym od stopnia wierzchołka k i : Π(k i ) = k i. (2.5) i k i 6
9 Po wykonaniu t kroków otrzymujemy układ o wielkości N = m 0 +t. Rys. 2.4: Obrazy przedstawiają schemat tworzenia sieci Barabasiego-Alberta. Rozpoczynamy od grafu zupełnego o liczbie węzłów równej m 0 = 2. Następnie dodajemy po jednym wierzchołku, łącząc go z m = 2 już istniejącymi zgodnie z wyliczony prawdopodobieństwem (źródło [8]). Rozkład stopni wierzchołków dla sieci Barabasiego-Alberta ma postać P(k) = k α, a wykładnik jest równy α = 3. Średni stopnień wierzchołka możemy policzyć ze wzoru: k = 2m. (2.6) Korzystając ze wzorów analitycznych możemy wyliczyć średni współczynnik gronowania C ln2 N N oraz stwierdzić że średnia najkrótsza droga rośnie z wielkością układu (2.7) δ lnn lnlnn. (2.8) 7
10 0 2 siec BA prosta o wykladniku 3 log(p(k)) log(k) Rys. 2.5: Rozkład stopni wierzchołków w sieci Barabsiego-Alberta o wielkości N = 0 3 m 0 = 0 i m =. Wykres przedstawiony jest w skali podwójnie logarytmicznej. Wartości symulowanej sieci oznaczone są niebieskimi punktami. 8
11 3 Procesy dynamiki na sieciach 3. Model q-wyborcy z antykonformizmem Model q-wyborcy jest jednym z modeli socjofizycznych, w którym parametr q określa liczbę sąsiadów stanowiących grupę wpływu. Został wprowadzony przez Castellano i innych w 2009 roku [4]. Warto wspomnieć, że jest on uogólnieniem modelu wyborcy oraz modelu Sznajdów dla których q jest równe odpowiednio i 2. W niniejszym opracowaniu będziemy rozważać model q-wyborcy uzupełniony o szum antykonformistyczny, analogicznie jak w [6]. W poniższym rozdziale zostanie przedstawiony algorytm modelu, a także zostaną wprowadzone wielkości charakteryzujące dynamikę opinii. Rozważmy dowolną sieć o rozmiarze N. W każdym wierzchołku sieci umieścimy jednego agenta, który będzie przyjmował wartości S i = ± (w dalszej części pracy określane jako spin). Interpretacja takiej zmiennej dynamicznej S i może być bardzo różna w zależności od zagadnienia, które modelujemy (przykładowo, odpowiedzi "tak" lub "nie" na zadawane pytaniu lub kupno nowo wprowadzonego produktu na rynek). W każdym pojedynczym kroku algorytmu losowo wybrany agent może zmienić swoją opinię. Do losowo wybranego spinu, będziemy dobierać q jego sąsiadów. Wybraną grupę sąsiadów będziemy nazywać grupą wpływu lub lobby. Z prawdopodobieństwem p wybrany agent będzie zachowywał się w sposób antykonformistyczny, czyli przyjmował zdanie przeciwne do opinii narzucanej przez wpływającą na niego grupę. Natomiast z prawdopodobieństwem p wybrany spin będzie działał jako konformista i zmieniał opinię na zgodną z grupą wpływu. Jednakże, aby doszło do zmiany opinii grupa wpływu musi być zgodna między sobą. Rys. 3.: Schemat przedstawiający pojedynczy krok algorytmu modelu q-wyborcy z antykonformizmem. Wykonując symulacje modelu q-wyborcy na sieci Barabasiego-Alberta napotykamy na sytuację, w której liczba losowanych sąsiadów może być większa niż liczba sąsiadów q > k i. W celu wykluczenia takich wydarzeń, sąsiadów do grupy wpływu będziemy losować z powtórzeniami tak jak zaproponowano to oryginalnie w [4]. Jednak zanim przejdziemy do rozpoczęcia symulacji, korzystając z metody Monte Carlo, należy przyjąć jakieś warunki początkowe. Możemy przyjąć dowolne założenia dotyczące stanu początkowego układu. W dalszej części pracy będziemy zakładać te najczęściej spotykane: 9
12 . Warunki początkowe uporządkowane, czyli S i = dla i =,...N 2. Warunki początkowe losowe, czyli S i przyjmuje wartość lub - z równym prawdopodobieństwem P(S i = ) = P(S i = ) dla i =,...N Następną kwestią, którą należy ustalić jest jednostka czasu. Zdefiniujmy jeden krok Monte Carlo (MCS) jako wywołanie zawierające N pojedynczych symulacji opisanego algorytmu. Na podstawie takiego założenia, niezależnie od wielkości układu w czasie MCS istnieje możliwość, aby N agentów zmieniło swoją opinię. Przyjmując podaną konwencję należy zauważyć, że najmniejsza różnica czasu będzie wynosić t = N. Niezależnie od budowy sieci nasz N-elementowy zbiór agentów możemy opisać przez wektor stanów S = (S,S 2,...,S N ). Obserwowanie pojedynczych spinów nie daje informacji dotyczącej stanu w jakim znajduje się cały układ. Wprowadza się zatem wielkości agregujące wartości przyjmowane przez poszczególnych agentów. Jedną z takich wielkości jest średnia opinia (w ujęciu fizycznym możemy mówić o magnetyzacji): m = N N i= S i. (3.) Średnia opinia może przyjmować wartość z zakresu [, ]. Inną przydatną wielkością, która jest powiązana z wyżej przedstawioną, jest koncentracja spinów dodatnich. W prostych słowach jest to stosunek liczby spinów dodatnich N do liczby wszystkich agentów: c = N N = 2N N i= ( + S i ). (3.2) Koncentrację spinów dodatnich możemy interpretować jako prawdopodobieństwo znalezienia agenta, który przyjmuje stan S i =. Przekształcając wzór (3.2) do postaci wzoru (3.3) można zauważyć, że koncentracja jest w rzeczywistości przeskalowaną średnią opinią: c = (m + ). (3.3) 2 W analogiczny sposób możliwe jest zdefiniowanie koncentracji spinów ujemnych (S i = ) i w rezultacie możemy stwierdzić, że c + c =. W dalszej części pracy będziemy używać koncentracji spinów pozytywnych, więc dla uproszczenia notacji przyjmiemy oznaczenie c = c. 3.2 Wyniki na grafie zupełnym W pojedynczym kroku wykonywania algorytmu mogą wystąpić trzy zdarzenia. Możemy zaobserwować wzrost lub spadek o N 2 lub brak zmiany średniej opinii m(t). W przypadku nieskończonego układu możemy zdefiniować prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń: γ + = ( p)( c)c q + p( c) q+, γ = ( p)c( c)c q + pc q+, γ 0 = γ + γ. (3.4) 0
13 3.2. Trajektorie średniej opinii w czasie Analizując zachowanie układów dochodzimy do wniosku, że istnieje pewna wartość p = p, nazwana wartością krytyczną p, w którego okolicy p ± ε obserwujemy duże fluktuacje wartości średniej opinii. Wykorzystując przedstawione w pracy doktorskiej P. Nyczki [6] analityczne wyprowadzenia dla stanu stacjonarnego, to znaczy takiego, że prawdopodobieństwo wzrostu średniej opinii jest równe prawdopodobieństwu spadku γ + = γ, otrzymujemy wzór na wartość krytyczną prawdopodobieństwa antykonformizmu: p = q 2q. (3.5) 0.5 p<<p* 0.5 p<~p* m(t) 0 m(t) MCS MCS 0.5 p~>p* 0.5 p>>p* m(t) 0 m(t) MCS MCS Rys. 3.2: Trajektorie średniej opinii dla modelu q-wyborcy na grafie zupełnym o wielkości N = 0 3 przy grupie wpływu q = 3 oraz ustalonym prawdopodobieństwie antykonformizmu. Zaczynając od lewego górnego wykresu mamy p = 0., 0.33, 0.35, 0.5. Dla p < p obserwujemy stacjonarne zachowanie się układu wokół jednej wartości. W przypadku, kiedy przyjmiemy p < p widzimy częste przejścia pomiędzy dwoma stanami, a dla p > p mamy układ o dużych wahaniach wokół 0. Zakładając p > p widzimy trajektorię, która jest stacjonarna wokół Średnia opinia w modelu q-wyborcy W pracy P.Nyczki [6] została wyprowadzona zależność pomiędzy koncentracją, a prawdopodobieństwem antykonformizmu: c st ( c st ) q ( c st )c q st p = ( c st ) q+ + c st ( c st ) q ( c st )c q st c q+. (3.6) st Wzór (3.6) został wyprowadzony przy założeniu, że układ jest w stanie stacjonarnym. W takiej sytuacji koncentrację będziemy nazywać stacjonarną. Analogicznie możemy powiedzieć o stacjonarnej średniej opinii m st = 2c st. Przedstawione wyniki eksperymentu opierają się na symulacjach Monte Carlo. Obliczona została wartość średniej opinii po czasie z 900 punktów
14 trajektorii, po odrzuceniu pierwszych 00 MCS (założony czas dochodzenia do stanu stacjonarnego q=2 q=3 q=5 q=7 m(p) Rys. 3.3: Zależność średniej opinii m od prawdopodobieństwa antykonformizmu p w modelu q-wyborcy z antykonformizmem q = 3 dla uporządkowanych warunków początkowych na grafie zupełnym o wielkości N = 0 3. Linie ciągłe to wartości wyliczone analitycznie ze wzoru (3.6). Symbolami zaznaczono wyniki symulacji. p q=2 q=3 q=5 q= m(p) Rys. 3.4: Zależność średniej opinii m od prawdopodobieństwa antykonformizmu p w modelu q-wyborcy z antykonformizmem q = 3 dla losowych warunków początkowych na grafie zupełnym o wielkości N = 0 3. Linie ciągłe to wartości wyliczone analitycznie. Zaznaczone punkty to wyniki symulacji. p Niezależnie od przyjętych warunków początkowych obserwujemy bardzo podobne zachowanie się symulowanych układów. Najmniejsza wartość p, przy którym wartość średniej opinii zbiega do 0 jest wartością krytyczną prawdopodobieństwa antykonformizmu p. Na podstawie 2
15 przedstawionych wykresów możemy potwierdzić, że następuje ciągłe przejście fazowe zgodnie z wynikami teoretycznymi [6]. 3.3 Wyniki na sieci Barabasiego-Alberta Tworząc sieć Barabasiego-Alberta przyjmujemy dwa parametry m 0 i N. W przeprowadzonych symulacjach będziemy zakładać, że każdy dołączany wierzchołek będzie łączył się m = już istniejącymi. Zmieniając wartość parametru m 0 przeanalizujemy jaki ma on wpływ na wartość średniej opinii. Korzystając z przedstawionych w rozdziale zależności wiemy, że rozmiar grafu zupełnego od którego rozpoczynamy budowę sieci Barabasiego-Alberta nie wpływa na rozkład stopni wierzchołków. Możemy wyobrażać sobie, że zwiększając parametr m 0 mamy styczność z bardziej gęstą siecią. m(p) m0=0 m0=20 m0=40 m0=80 m0=60 m0=320 m0=640 m0= Rys. 3.5: Zależność średniej opinii m od prawdopodobieństwa antykonformizmu p w modelu q-wyborcy z antykonformizmem q = 3 dla uporządkowanych warunków początkowych na sieci Barabasiego-Alberta o wielkości N = 0 3. Zaznaczone punkty to wyniki symulacji dla różnego parametru początkowego m 0. p Zakładając stały rozmiar sieci Barabasiego-Alberta obserwujemy zależność pomiędzy p, a m 0. Na przedstawionym wykresie widzimy, że przy zwiększaniu wartości m 0 przejście fazowe następuje dla większego p. 3
16 4 Wnioski Naszym celem było zbadanie dynamiki opinii na sieciach bezskalowych. Zajęliśmy się modelem q-wyborcy, który jest jednym z najbardziej interesujących modeli socjofizycznych. Uzupełniliśmy go o szum antykonformistyczny oraz dzięki losowaniu grupy wpływu z powtórzeniami przeprowadziliśmy symulacje na sieci Barabasiego-Alberta. Symulacje Monte Carlo na grafie zupełnym pokazały, że modyfikacja modelu nie wpłynęła na dynamikę opinię w stosunku do algorytmu z losowaniem bez powtórzeń. Przeprowadziliśmy analizę zachowania się układu w czasie. Odwołując się do wykresów (3.2) pokazaliśmy, że dla wartości prawdopodobieństwa antykonformizmu p dużo mniejszego od prawdopodobieństwa krytycznego p układ jest stacjonarny dla określonej wartości średniej opinii m. W przypadku p mniejszego od p obserwujemy przejścia układu pomiędzy dwoma stanami stacjonarnymi. Dla wartości p większej od p wartość średniej opinii m stabilizuje się wokół 0. Następnie sprawdziliśmy zachowanie średniej opinii m w zależności od prawdopodobieństwa antykonformizmu p przy wybranym parametrze rozmiaru grupy wpływ q. Otrzymane wyniki pokrywają się z analitycznie wyprowadzonymi zależnościami niezależnie od wybranych przez nas warunków początkowych, co pokazaliśmy na wykresach (3.3) i (3.4). Można zaobserwować zależność, że przy zwiększaniu parametru q wartość p jest większa. Otrzymany rozkład stopni wierzchołków dla symulowanej sieci Barabasiego-Alberta jest zgodny z analitycznym rozkładem co potwierdza poprawność implementacji algorytmu. Po wykonaniu symulacji modelu q-wyborcy z antykonformizmem na sieci Barabasiego-Alberta można zaobserwować, że parametr m 0 odpowiadający za wielkość początkowego grafu zupełnego ma istotny wpływ na zachowanie średniej opinii (3.5). Otrzymane wyniki prowadzą do wniosku, że w momencie kiedy mamy styczność z gęstszą siecią, wartość krytyczna prawdopodobieństwa antykonformizmu jest większa. Powyższa praca jest tylko niewielkim wycinkiem zakresu badań dynamiki opinii. Istnieje kilka kierunków, które można obrać w celu kontynuacji pracy. Jednym z nich jest analogiczna analiza dynamiki opinii dla innych modeli sieci. Możliwym byłoby również przetestowanie zastosowanego w pracy modelu q-wyborcy z antykonformizmem i grupą wpływu losowaną z powtórzeniami na sieciach rzeczywistych. Ciekawym aspektem byłaby możliwość sprawdzenia czy zaobserwowana zależność wpływu parametru m 0 na wartość p na sieci Barabasiego- Alberta jest również prawdziwa dla modelu q-wyborcy z innymi rodzajami szumu. 4
17 5 Literatura [] T. Schelling, Dynamic Models of Segregation, Journal of Mathematical Sociology, p , (97) [2] C. Castellano, S. Fortunato, V. Loreto, Statistical physics of social dynamics, Rev. Mod. Phys. 8, 59, (2009) [3] S. Galam, Sociophysics: A Physicist s Modeling of Psycho-Political Phenomena (Understanding Complex Systems), Springer-Verlag, Berling, 202 [4] C. Castellano, M. A. Mu?oz, R. Pastor-Satorras Nonlinear q-voter model, Phys. Rev. E 80, 0429 (2009) [5] P. Dzieszko, K. Bartkowiak, K. Giełda-Pinas Agenci w modelowaniu agentowym (ABM), Roczniki Geomatyki 203, Tom XI, Zeszyt 4(6) [6] P. Nyczka, K. Sznajd-Weron, J. Cisło Phase transitions in the q-voter model with two types of stochastic driving Phys. Rev. E 86, 005 (202) [7] A.-L. Barabasi, R. Albert, H. Jeong, G. Bianconi, Power-law distribution of the world wide web, Science, (2000) [8] Albert Laszlo Barabasi Network Science, (205) [9] P. Nyczka, Przejścia Fazowe w uogólnionym modelu q-wyborcy na grafie zupełnym (204) [0] A. Jędrzejweski, K. Sznajd-Weron, The role of complex networks in agent-based computational economics, (206) [] R. Albert, H. Jeong, A.-L. Barabasi Error and attack tolerance of complex networks, Nature 406, , (2000) [2] A.-L. Barabasi and R. Albert, Emergence of scaling in random networks, Science, vol. 286, no. 5439, pp , 999 5
Przejścia fazowe w uogólnionym modelu modelu q-wyborcy na grafie zupełnym
Przejścia fazowe w uogólnionym modelu modelu q-wyborcy na grafie zupełnym Piotr Nyczka Institute of Theoretical Physics University of Wrocław Artykuły Opinion dynamics as a movement in a bistable potential
Bardziej szczegółowoTYTUŁ PRACY DYPLOMOWEJ
Wydział Matematyki Kierunek studiów: Matematyka Specjalność: Matematyka teoretyczna Praca dyplomowa magisterska TYTUŁ PRACY DYPLOMOWEJ Imię i nazwisko dyplomanta słowa kluczowe: tutaj podajemy najważniejsze
Bardziej szczegółowoJak z ABM zrobić model analityczny? (Metoda pola średniego) Katarzyna Sznajd-Weron Physics of Complex System
Jak z ABM zrobić model analityczny? (Metoda pola średniego) Katarzyna Sznajd-Weron Physics of Complex System Plan Model dynamiki populacyjnej Pytania Model mikroskopowy Przybliżenie MFA: równania (wady
Bardziej szczegółowoModelowanie sieci złożonych
Modelowanie sieci złożonych B. Wacław Instytut Fizyki UJ Czym są sieci złożone? wiele układów ma strukturę sieci: Internet, WWW, sieć cytowań, sieci komunikacyjne, społeczne itd. sieć = graf: węzły połączone
Bardziej szczegółowoGrafy Alberta-Barabasiego
Spis treści 2010-01-18 Spis treści 1 Spis treści 2 Wielkości charakterystyczne 3 Cechy 4 5 6 7 Wielkości charakterystyczne Wielkości charakterystyczne Rozkład stopnie wierzchołków P(deg(x) = k) Graf jest
Bardziej szczegółowoWarsztaty metod fizyki teoretycznej
Warsztaty metod fizyki teoretycznej Zestaw 6 Układy złożone- sieci w otaczającym nas świecie Marcin Zagórski, Jan Kaczmarczyk 17.04.2012 1 Wprowadzenie W otaczającym nas świecie odnajdujemy wiele struktur,
Bardziej szczegółowoPrzejście fazowe w sieciach złożonych w modelu Axelroda
Przejście fazowe w sieciach złożonych w modelu Axelroda Korzeń W., Maćkowski M., Rozwadowski P., Szczeblewska P., Sznajder W. 1 Opiekun: Tomasz Raducha 1 Uniwersytet Warszawski, Wydział Fizyki 3 Streszczenie
Bardziej szczegółowoObszary strukturalne i funkcyjne mózgu
Spis treści 2010-03-16 Spis treści 1 Spis treści 2 Jak charakteryzować grafy? 3 4 Wielkości charakterystyczne Jak charakteryzować grafy? Średni stopień wierzchołków Rozkład stopni wierzchołków Graf jest
Bardziej szczegółowoFormowanie opinii w układach społecznych na przykładzie wyborów parlamentarnych
Formowanie opinii w układach społecznych na przykładzie wyborów parlamentarnych Tomasz Gradowski Seminarium Dynamiki Układów Złożonych 5. 11. 2007 Motywacja Wybory są fundamentalnym procesem społecznym
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoW sieci małego świata od DNA po facebooka. Dr hab. Katarzyna Sznajd-Weron, prof. PWr.
W sieci małego świata od DNA po facebooka Dr hab. Katarzyna Sznajd-Weron, prof. PWr. Plan Co to jest sieć? Przykłady sieci złożonych Cechy rzeczywistych sieci Modele sieci Sieci złożone i układy złożone
Bardziej szczegółowoInstytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoVoter model on Sierpiński fractals Model głosujący na fraktalach Sierpińskiego
Voter model on Sierpiński fractals Model głosujący na fraktalach Sierpińskiego Krzysztof Suchecki Janusz A. Hołyst Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Plan Model głosujący : definicja i własności
Bardziej szczegółowoMatematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej. Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r.
Matematyka Stosowana na Politechnice Wrocławskiej Komitet Matematyki PAN, luty 2017 r. Historia kierunku Matematyka Stosowana utworzona w 2012 r. na WPPT (zespół z Centrum im. Hugona Steinhausa) studia
Bardziej szczegółowoPorównanie różnych podejść typu ODE do modelowania sieci regu
Porównanie różnych podejść typu ODE do modelowania sieci regulacji genów 8 stycznia 2010 Plan prezentacji 1 Praca źródłowa Sieci regulacji genów 2 Założenia Funkcja Hill a Modele dyskretne 3 Przykład Modele
Bardziej szczegółowoDynamiki rynków oligopolistycznych oczami fizyka
KNF Migacz, Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Wrocławski 7-10 listopada 2008 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 Wprowadzenie reklamy 1 2 3 4 Wprowadzenie reklamy 5 1 2 3 4 Wprowadzenie reklamy 5 6 1 2 3 4 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation)
Algorytmy mrówkowe (optymalizacja kolonii mrówek, Ant Colony optimisation) Jest to technika probabilistyczna rozwiązywania problemów obliczeniowych, które mogą zostać sprowadzone do problemu znalezienie
Bardziej szczegółowoKlasyfikatory: k-nn oraz naiwny Bayesa. Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład IV
Klasyfikatory: k-nn oraz naiwny Bayesa Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład IV Naiwny klasyfikator Bayesa Naiwny klasyfikator bayesowski jest prostym probabilistycznym klasyfikatorem. Zakłada się wzajemną
Bardziej szczegółowoSieci złożone. Modelarnia 2014/2015 Katarzyna Sznajd-Weron
Sieci złożone Modelarnia 2014/2015 Katarzyna Sznajd-Weron Sieć = network Węzły Węzły jednego typu lub wielu Połączenia Połączenia kierunkowe lub nie Czy fizycy zawsze muszą mieć inne zdanie? Fizycy sieć
Bardziej szczegółowoAgnieszka Nowak Brzezińska Wykład III
Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III Naiwny klasyfikator bayesowski jest prostym probabilistycznym klasyfikatorem. Zakłada się wzajemną niezależność zmiennych niezależnych (tu naiwność) Bardziej opisowe
Bardziej szczegółowoAnaliza Algorytmów 2018/2019 (zadania na laboratorium)
Analiza Algorytmów 2018/2019 (zadania na laboratorium) Wybór lidera (do 9 III) Zadanie 1 W dowolnym języku programowania zaimplementuj symulator umożliwiający przetestowanie algorytmu wyboru lidera ELECT
Bardziej szczegółowoAgnieszka Nowak Brzezińska Wykład III
Agnieszka Nowak Brzezińska Wykład III Naiwny klasyfikator bayesowski jest prostym probabilistycznym klasyfikatorem. Zakłada się wzajemną niezależność zmiennych niezależnych (tu naiwność) Bardziej opisowe
Bardziej szczegółowo1 Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek
Grupa SU(3) i klasyfikacja cząstek. Grupa SU(N) Unitarne (zespolone) macierze N N można sparametryzować pzez N rzeczywistych parametrów. Ale detu =, unitarność: U U = narzucają dodatkowe warunki. Rozważmy
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoSymulacyjne modele formowania opinii w sieciach społecznych
Symulacja w Badaniach i Rozwoju Vol. 2, No. 3/2011 Wojskowa Akademia Techniczna, ul. Kaliskiego 2, 00-908 Warszawa E-mail: ddzida@wat.edu.pl Symulacyjne modele formowania opinii w sieciach społecznych
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 3 notatki
Zajęcia nr. 3 notatki 22 kwietnia 2005 1 Funkcje liczbowe wprowadzenie Istnieje nieskończenie wiele funkcji w matematyce. W dodaktu nie wszystkie są liczbowe. Rozpatruje się funkcje które pobierają argumenty
Bardziej szczegółowoCMAES. Zapis algorytmu. Generacja populacji oraz selekcja Populacja q i (t) w kroku t generowana jest w następujący sposób:
CMAES Covariance Matrix Adaptation Evolution Strategy Opracowanie: Lidia Wojciechowska W algorytmie CMAES, podobnie jak w algorytmie EDA, adaptowany jest rozkład prawdopodobieństwa generacji punktów, opisany
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowo13. Równania różniczkowe - portrety fazowe
13. Równania różniczkowe - portrety fazowe Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 13. wrównania Krakowie) różniczkowe - portrety fazowe 1 /
Bardziej szczegółowoALHE. prof. Jarosław Arabas semestr 15Z
ALHE prof. Jarosław Arabas semestr 15Z Wykład 5 Błądzenie przypadkowe, Algorytm wspinaczkowy, Przeszukiwanie ze zmiennym sąsiedztwem, Tabu, Symulowane wyżarzanie 1. Błądzenie przypadkowe: Pierwszym krokiem
Bardziej szczegółowoOptymalizacja ciągła
Optymalizacja ciągła 5. Metoda stochastycznego spadku wzdłuż gradientu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 04.04.2019 1 / 20 Wprowadzenie Minimalizacja różniczkowalnej
Bardziej szczegółowoZmienne zależne i niezależne
Analiza kanoniczna Motywacja (1) 2 Często w badaniach spotykamy problemy badawcze, w których szukamy zakresu i kierunku zależności pomiędzy zbiorami zmiennych: { X i Jak oceniać takie 1, X 2,..., X p }
Bardziej szczegółowoSTATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH
Część. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH.. STATYKA Z UWZGLĘDNIENIEM DUŻYCH SIŁ OSIOWYCH Rozwiązując układy niewyznaczalne dowolnie obciążone, bardzo często pomijaliśmy wpływ sił normalnych i
Bardziej szczegółowoKatarzyna Jesionek Zastosowanie symulacji dynamiki cieczy oraz ośrodków sprężystych w symulatorach operacji chirurgicznych.
Katarzyna Jesionek Zastosowanie symulacji dynamiki cieczy oraz ośrodków sprężystych w symulatorach operacji chirurgicznych. Jedną z metod symulacji dynamiki cieczy jest zastosowanie metody siatkowej Boltzmanna.
Bardziej szczegółowoOptymalizacja systemów
Optymalizacja systemów Laboratorium - problem detekcji twarzy autorzy: A. Gonczarek, J.M. Tomczak, S. Zaręba, P. Klukowski Cel zadania Celem zadania jest zapoznanie się z gradientowymi algorytmami optymalizacji
Bardziej szczegółowoPriorytetyzacja przypadków testowych za pomocą macierzy
Priorytetyzacja przypadków testowych za pomocą macierzy W niniejszym artykule przedstawiony został problem przyporządkowania priorytetów do przypadków testowych przed rozpoczęciem testów oprogramowania.
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 03 (uzupełnienie Wykładu 02) Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 31/03/2016 1 / 17 1 2 / 17 Dynamika populacji Równania Lotki-Voltery opisują model drapieżnik-ofiara.
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle
Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X.
STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4 WERYFIKACJA HIPOTEZ PARAMETRYCZNYCH X - cecha populacji, θ parametr rozkładu cechy X. Wysuwamy hipotezy: zerową (podstawową H ( θ = θ i alternatywną H, która ma jedną z
Bardziej szczegółowoKrytyczność, przejścia fazowe i symulacje Monte Carlo. Katarzyna Sznajd-Weron Physics of Complex System
Krytyczność, przejścia fazowe i symulacje Monte Carlo Katarzyna Sznajd-Weron Physics of Complex System Przejścia fazowe wokół nas woda faza ciekła PUNKT KRYTYCZNY Lód faza stała para faza gazowa ciągłe
Bardziej szczegółowoAnaliza korespondencji
Analiza korespondencji Kiedy stosujemy? 2 W wielu badaniach mamy do czynienia ze zmiennymi jakościowymi (nominalne i porządkowe) typu np.: płeć, wykształcenie, status palenia. Punktem wyjścia do analizy
Bardziej szczegółowoWykładnicze grafy przypadkowe: teoria i przykłady zastosowań do analizy rzeczywistych sieci złożonych
Gdańsk, Warsztaty pt. Układy Złożone (8 10 maja 2014) Agata Fronczak Zakład Fizyki Układów Złożonych Wydział Fizyki Politechniki Warszawskiej Wykładnicze grafy przypadkowe: teoria i przykłady zastosowań
Bardziej szczegółowoKompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10,
1 Kwantyzacja wektorowa Kompresja danych Streszczenie Studia Dzienne Wykład 10, 28.04.2006 Kwantyzacja wektorowa: dane dzielone na bloki (wektory), każdy blok kwantyzowany jako jeden element danych. Ogólny
Bardziej szczegółowoSystem transakcyjny oparty na średnich ruchomych. ś h = + + + + gdzie, C cena danego okresu, n liczba okresów uwzględnianych przy kalkulacji.
Średnie ruchome Do jednych z najbardziej znanych oraz powszechnie wykorzystywanych wskaźników analizy technicznej, umożliwiających analizę trendu zaliczyć należy średnie ruchome (ang. moving averages).
Bardziej szczegółowoALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH
1 ALGORYTMICZNA I STATYSTYCZNA ANALIZA DANYCH WFAiS UJ, Informatyka Stosowana II stopień studiów 2 Wnioskowanie statystyczne dla zmiennych numerycznych Porównywanie dwóch średnich Boot-strapping Analiza
Bardziej szczegółowoDziałanie algorytmu oparte jest na minimalizacji funkcji celu jako suma funkcji kosztu ( ) oraz funkcji heurystycznej ( ).
Algorytm A* Opracowanie: Joanna Raczyńska 1.Wstęp Algorytm A* jest heurystycznym algorytmem służącym do znajdowania najkrótszej ścieżki w grafie. Jest to algorytm zupełny i optymalny, co oznacza, że zawsze
Bardziej szczegółowoUkład (fizyczny) Fizyka Systemów Złożonych (Physics of Complex Systems) Wyk 1: Wstęp
Układ (fizyczny) Fizyka Systemów Złożonych (Physics of Complex Systems) Wyk 1: Wstęp Katarzyna Sznajd Weron Wyodrębniony (realnie lub myślowo) fragment rzeczywistości Jednostka, którą będziemy się zajmować
Bardziej szczegółowoRozkład Gaussa i test χ2
Rozkład Gaussa jest scharakteryzowany dwoma parametramiwartością oczekiwaną rozkładu μ oraz dyspersją σ: METODA 2 (dokładna) polega na zmianie zmiennych i na obliczeniu pk jako różnicy całek ze standaryzowanego
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne
Testowanie hipotez statystycznych Wnioskowanie statystyczne Hipoteza statystyczna to dowolne przypuszczenie co do rozkładu populacji generalnej (jego postaci funkcyjnej lub wartości parametrów). Hipotezy
Bardziej szczegółowoAnaliza zależności liniowych
Narzędzie do ustalenia, które zmienne są ważne dla Inwestora Analiza zależności liniowych Identyfikuje siłę i kierunek powiązania pomiędzy zmiennymi Umożliwia wybór zmiennych wpływających na giełdę Ustala
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa projekt Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek oznaczonych
Rachunek prawdopodobieństwa projekt Ilustracja metody Monte Carlo obliczania całek oznaczonych Autorzy: Marta Rotkiel, Anna Konik, Bartłomiej Parowicz, Robert Rudak, Piotr Otręba Spis treści: Wstęp Cel
Bardziej szczegółowoSystemy uczące się Lab 4
Systemy uczące się Lab 4 dr Przemysław Juszczuk Katedra Inżynierii Wiedzy, Uniwersytet Ekonomiczny 26 X 2018 Projekt zaliczeniowy Podstawą zaliczenia ćwiczeń jest indywidualne wykonanie projektu uwzględniającego
Bardziej szczegółowoAlgorytm genetyczny (genetic algorithm)-
Optymalizacja W praktyce inżynierskiej często zachodzi potrzeba znalezienia parametrów, dla których system/urządzenie będzie działać w sposób optymalny. Klasyczne podejście do optymalizacji: sformułowanie
Bardziej szczegółowoAlgorytmy mrówkowe w dynamicznych problemach transportowych
y w dynamicznych problemach transportowych prof. dr hab Jacek Mandziuk MiNI, PW 3 czerwca 2013 Cel pracy Zbadanie zachowania algorytmu go zwykłego oraz z zaimplementowanymi optymalizacjami dla problemów
Bardziej szczegółowoSymulacje konkurencyjnych procesów kontaktowych na sieciach
Wydział Fizyki i Informatyki Stosowanej Praca doktorska Marcin Rybak Symulacje konkurencyjnych procesów kontaktowych na sieciach Promotor: prof. dr hab. Krzysztof Kułakowski dr hab. inż. Krzysztof Malarz
Bardziej szczegółowoWykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób
Wykład 9 Testy rangowe w problemie dwóch prób Wrocław, 18 kwietnia 2018 Test rangowy Testem rangowym nazywamy test, w którym statystyka testowa jest konstruowana w oparciu o rangi współrzędnych wektora
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji n-wymiarowych Forma kwadratowa w n wymiarach Procedury minimalizacji Minimalizacja wzdłuż prostej w n-wymiarowej przestrzeni Metody minimalizacji wzdłuż osi współrzędnych wzdłuż kierunków
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do analizy korelacji i regresji
Statystyka dla jakości produktów i usług Six sigma i inne strategie Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji StatSoft Polska Wybrane zagadnienia analizy korelacji Przy analizie zjawisk i procesów stanowiących
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do rachunku błędów pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją symbolami:
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoS O M SELF-ORGANIZING MAPS. Przemysław Szczepańczyk Łukasz Myszor
S O M SELF-ORGANIZING MAPS Przemysław Szczepańczyk Łukasz Myszor Podstawy teoretyczne Map Samoorganizujących się stworzył prof. Teuvo Kohonen (1982 r.). SOM wywodzi się ze sztucznych sieci neuronowych.
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoDrzewa decyzyjne i lasy losowe
Drzewa decyzyjne i lasy losowe Im dalej w las tym więcej drzew! ML Gdańsk http://www.mlgdansk.pl/ Marcin Zadroga https://www.linkedin.com/in/mzadroga/ 20 Czerwca 2017 WPROWADZENIE DO MACHINE LEARNING CZYM
Bardziej szczegółowoModelowanie jako sposób opisu rzeczywistości. Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka
Modelowanie jako sposób opisu rzeczywistości Katedra Mikroelektroniki i Technik Informatycznych Politechnika Łódzka 2015 Wprowadzenie: Modelowanie i symulacja PROBLEM: Podstawowy problem z opisem otaczającej
Bardziej szczegółowoGenerowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport
Generowanie ciągów pseudolosowych o zadanych rozkładach przykładowy raport Michał Krzemiński Streszczenie Projekt dotyczy metod generowania oraz badania własności statystycznych ciągów liczb pseudolosowych.
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoPODSTAWY MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH W JĘZYKACH SYMULACYJNYCH
PODSTAWY MODELOWANIA UKŁADÓW DYNAMICZNYCH W JĘZYKACH SYMULACYJNYCH ( Na przykładzie POWERSIM) M. Berndt-Schreiber 1 Plan Zasady modelowania Obiekty symbole graficzne Dyskretyzacja modelowania Predefiniowane
Bardziej szczegółowoWydział Matematyki. Testy zgodności. Wykład 03
Wydział Matematyki Testy zgodności Wykład 03 Testy zgodności W testach zgodności badamy postać rozkładu teoretycznego zmiennej losowej skokowej lub ciągłej. Weryfikują one stawiane przez badaczy hipotezy
Bardziej szczegółowo5 Błąd średniokwadratowy i obciążenie
5 Błąd średniokwadratowy i obciążenie Przeprowadziliśmy 200 powtórzeń przebiegu próbnika dla tego samego zestawu parametrów modelowych co w Rozdziale 1, to znaczy µ = 0, s = 10, v = 10, n i = 10 (i = 1,...,
Bardziej szczegółowoSymulacje geometrycznych sieci neuronowych w środowisku rozproszonym
Symulacje geometrycznych sieci neuronowych w środowisku rozproszonym Jarosław Piersa, Tomasz Schreiber {piersaj, tomeks}(at)mat.umk.pl 2010-07-21 1 2 Dany podzbiór V R 3. N neuronów należących do V N Poiss(c
Bardziej szczegółowoOSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) Algorytmy i Struktury Danych PIŁA
OSTASZEWSKI Paweł (55566) PAWLICKI Piotr (55567) 16.01.2003 Algorytmy i Struktury Danych PIŁA ALGORYTMY ZACHŁANNE czas [ms] Porównanie Algorytmów Rozwiązyjących problem TSP 100 000 000 000,000 10 000 000
Bardziej szczegółowoskłada się z m + 1 uporządkowanych niemalejąco liczb nieujemnych. Pomiędzy p, n i m zachodzi następująca zależność:
TEMATYKA: Krzywe typu Splajn (Krzywe B sklejane) Ćwiczenia nr 8 Krzywe Bezier a mają istotne ograniczenie. Aby uzyskać kształt zawierający wiele punktów przegięcia niezbędna jest krzywa wysokiego stopnia.
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoModelowanie wybranych pojęć matematycznych. semestr letni, 2016/2017 Wykład 10 Własności funkcji cd.
Modelowanie wybranych pojęć matematycznych semestr letni, 206/207 Wykład 0 Własności funkcji cd. Ciągłość funkcji zastosowania Przybliżone rozwiązywanie równań Znajdziemy przybliżone rozwiązanie równania
Bardziej szczegółowoAnaliza składowych głównych. Wprowadzenie
Wprowadzenie jest techniką redukcji wymiaru. Składowe główne zostały po raz pierwszy zaproponowane przez Pearsona(1901), a następnie rozwinięte przez Hotellinga (1933). jest zaliczana do systemów uczących
Bardziej szczegółowoModelowanie i obliczenia techniczne. dr inż. Paweł Pełczyński
Modelowanie i obliczenia techniczne dr inż. Paweł Pełczyński ppelczynski@swspiz.pl Literatura Z. Fortuna, B. Macukow, J. Wąsowski: Metody numeryczne, WNT Warszawa, 2005. J. Awrejcewicz: Matematyczne modelowanie
Bardziej szczegółowoAgnieszka Nowak Brzezińska
Agnieszka Nowak Brzezińska jeden z algorytmów regresji nieparametrycznej używanych w statystyce do prognozowania wartości pewnej zmiennej losowej. Może również byd używany do klasyfikacji. - Założenia
Bardziej szczegółowo(b) Oblicz zmianę zasobu kapitału, jeżeli na początku okresu zasób kapitału wynosi kolejno: 4, 9 oraz 25.
Zadanie 1 W pewnej gospodarce funkcja produkcji może być opisana jako Y = AK 1/2 N 1/2, przy czym A oznacza poziom produktywności, K zasób kapitału, a N liczbę zatrudnionych. Stopa oszczędności s wynosi
Bardziej szczegółowoPrzykładowe rozwiązania
Przykładowe rozwiązania Poniższy dokument zawiera przykładowe rozwiązania zadań z I etapu I edycji konkursu (2014 r.). Rozwiązania w formie takiej jak przedstawiona niżej uzyskałyby pełną liczbę punktów
Bardziej szczegółowoKwantowa implementacja paradoksu Parrondo
Kwantowa implementacja paradoksu Parrondo Jarosław Miszczak Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej PAN, Gliwice oraz Zakład Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Śląski, Katowice 7 Czerwca 2005 Plan
Bardziej szczegółowoAnaliza stanów gry na potrzeby UCT w DVRP
Analiza stanów gry na potrzeby UCT w DVRP Seminarium IO na MiNI 04.11.2014 Michał Okulewicz based on the decision DEC-2012/07/B/ST6/01527 Plan prezentacji Definicja problemu DVRP DVRP na potrzeby UCB Analiza
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI 16/01/2017 WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Repetytorium złożoność obliczeniowa 2 Złożoność obliczeniowa Notacja wielkie 0 Notacja Ω i Θ Rozwiązywanie
Bardziej szczegółowoZadania do wykonania. Rozwiązując poniższe zadania użyj pętlę for.
Zadania do wykonania Rozwiązując poniższe zadania użyj pętlę for. 1. apisz program, który przesuwa w prawo o dwie pozycje zawartość tablicy 10-cio elementowej liczb całkowitych tzn. element t[i] dla i=2,..,9
Bardziej szczegółowoModelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych
Modelowanie niezawodności prostych struktur sprzętowych W ćwiczeniu tym przedstawione zostaną proste struktury sprzętowe oraz sposób obliczania ich niezawodności przy założeniu, że funkcja niezawodności
Bardziej szczegółowoRuch jednostajnie zmienny prostoliniowy
Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i
Bardziej szczegółowoSCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO
SCHEMAT ROZWIĄZANIA ZADANIA OPTYMALIZACJI PRZY POMOCY ALGORYTMU GENETYCZNEGO. Rzeczywistość (istniejąca lub projektowana).. Model fizyczny. 3. Model matematyczny (optymalizacyjny): a. Zmienne projektowania
Bardziej szczegółowoJeśli powyższy opis nie jest zrozumiały należy powtórzyć zagadnienie standaryzacji zanim przejdzie się dalej!
CO POWINNIŚMY WIEDZIEĆ (I ROZUMIEĆ) ZABIERAJĄC SIĘ DO CZYTANIA 1. Jeśli mamy wynik (np. z kolokwium) podany w wartościach standaryzowanych (np.: z=0,8) to wiemy, że aby ustalić jaki był wynik przed standaryzacją
Bardziej szczegółowoSymulacyjne metody wyceny opcji amerykańskich
Metody wyceny Piotr Małecki promotor: dr hab. Rafał Weron Instytut Matematyki i Informatyki Politechniki Wrocławskiej Wrocław, 0 lipca 009 Metody wyceny Drzewko S 0 S t S t S 3 t S t St St 3 S t St St
Bardziej szczegółowoMikroekonometria 5. Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński
Mikroekonometria 5 Mikołaj Czajkowski Wiktor Budziński Zadanie 1. Wykorzystując dane me.medexp3.dta przygotuj model regresji kwantylowej 1. Przygotuj model regresji kwantylowej w którym logarytm wydatków
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji
Weryfikacja hipotez statystycznych, parametryczne testy istotności w populacji Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym
Wiesława MALSKA Politechnika Rzeszowska, Polska Anna KOZIOROWSKA Uniwersytet Rzeszowski, Polska Wykorzystanie testu t dla pojedynczej próby we wnioskowaniu statystycznym Wstęp Wnioskowanie statystyczne
Bardziej szczegółowoDrgania wymuszone - wahadło Pohla
Zagadnienia powiązane Częstość kołowa, częstotliwość charakterystyczna, częstotliwość rezonansowa, wahadło skrętne, drgania skrętne, moment siły, moment powrotny, drgania tłumione/nietłumione, drgania
Bardziej szczegółowoAlgorytmy genetyczne
Algorytmy genetyczne Motto: Zamiast pracowicie poszukiwać najlepszego rozwiązania problemu informatycznego lepiej pozwolić, żeby komputer sam sobie to rozwiązanie wyhodował! Algorytmy genetyczne służą
Bardziej szczegółowoDiagnozowanie sieci komputerowej metodą dialogu diagnostycznego
Diagnozowanie sieci komputerowej metodą dialogu diagnostycznego Metoda dialogu diagnostycznego między komputerami sieci komputerowej, zalicza się do, tak zwanych, rozproszonych metod samodiagnozowania
Bardziej szczegółowoPraca dyplomowa inżynierska
Wydział Matematyki kierunek studiów: Matematyka Stosowana specjalność: Praca dyplomowa inżynierska Modelowanie agentowe dynamiki opinii w kontekście badań społecznych Grzegorz Marcjasz słowa kluczowe:
Bardziej szczegółowoWykład z Technologii Informacyjnych. Piotr Mika
Wykład z Technologii Informacyjnych Piotr Mika Uniwersalna forma graficznego zapisu algorytmów Schemat blokowy zbiór bloków, powiązanych ze sobą liniami zorientowanymi. Jest to rodzaj grafu, którego węzły
Bardziej szczegółowo