Model Isinga. Katarzyna Sznajd-Weron

Transkrypt

1 Model Isinga Katarzyna Sznajd-Weron

2 Temperatura Curie ciągłe przejście fazowe magnes ferromagnetyk Przejście fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć?

3 Model Isinga (Lenza-Isinga?) 1920 Lenz wymyślił prosty model 1925 rozprawa doktorska Ernsta Isinga Brak przejścia fazowego w 1D Konkluzja: brak przejścia w dowolnym wymiarze Jedyna praca Isinga L H = J <i,j> S i S j h i S i

4 Beitrag zur Theorie des Ferromagnetismus Ising, Ernst. Zeitschrift für Physik Volume: 31 Issue 1 (1924)

5 Artykuły nawiązujące do modelu

6 Model Isinga w 1D brak przejścia L L H = J 1D S i S j h S i H = J i=1 S i S i+1 h S i <i,j> i i Z = exp βh = exp βh S i =±1 S 1 =±1 S 2 =±1 S L =±1 f = F N = kt lim N 1 N lnz = ktlnz max m = f h T = 0 T > 0

7 Complexity and criticality, strony

8 Energia swobodna - ścisłe rozwiązanie modelu Isinga w 1D

9 Podatność - ścisłe rozwiązanie modelu Isinga w 1D

10 Energia wewnętrzna

11 Ciepło właściwe

12 Ising się mylił

13 Dalsze losy modelu Isinga Przejście fazowe w 2D bez pola Średnie pole: T c = qj k B = 4 J k B Peierls (1936): T c = J Onsager (1944): sinh 2J k B T k B = 1, T c = J k B Nie istnieje rozwiązanie w 2D+pole i 3D Symulacje Komputerowe 3D i 2D z polem

14 Rozwiązanie średniopolowe m = tanh βjzm + βh m 0 = tanh βjzm 0 = tanh T c T m 0 T c = Jz/k B

15 Rozwiązanie średniopolowe

16 Rozwiązanie średniopolowe

17 Wynik analityczny w 2D

18 Argument Landaua o braku porządku w 1D dla oddziaływań krótkozasięgowych L min E E 0 min E E 0 ε E 0 + ε ΔE = ε W stanie równowagi energia swobodna minimalna: F = E TS ΔF = ΔE TΔS = ε TΔS

19 Co ze zmianą entropii? L S = k B lnω Ω = L 1 L 1 ΔF = ΔE TΔS = ε TΔS = ε Tk B ln(l 1) Dla L mamy ΔF < 0 Energia maleje gdy pojawia się ściana domenowa!!!

20 Co jeśli oddziaływanie dalekozasięgowe? (Efekt Thoulessa)

21 Algorytm Metropolisa

22 Algorytm Metropolisa 1MCS = N losowań Wylosuj jeden spin S i Oblicz energię E = E(S i ) = S i J σ j nn S j Oblicz energię E = E( S i ) = S i J σ j nn S j Oblicz zmianę energii ΔE = E E Jeżeli ΔE 0 to S i S i Jeżeli ΔE > 0 to wylosuj r z przedziału [0,1] i akceptuj nową konfigurację jeżeli: r < p = exp ΔE k B T, k B = J = 1

23 Wylosuj spin S i Oblicz ΔE obrotu S i S i Obróć spin TAK NIE ΔE < 0? S i S i Wylosuj x U(0, 1) Obróć spin TAK x < exp( ΔE/ NIE S i S i T)? iter N? TAK Oblicz magnetyzację NIE

24 Trajektorie dla T=1.85, L=100 (symulacje Jakub Pawłowski)

25 Trajektorie dla T=2.26 (symulacje Jakub Pawłowski)

26 Przejście fazowe w modelu Isinga (symulacje Maciej Tabiszewski)

27 Symulacja Monte Carlo Modelu Isinga dla zadanej temperatury T Przygotuj stan początkowy układu Pozwól mu ewoluować jak? Poczekaj aż ustali się magnetyzacja Zanotuj wartość m Powtarzaj to dużo razy Policz średnią magnetyzację Jaka to średnia? N m =< S i > 1 N i=1 S i

28 Średnia po zespole Średnia po czasie i średnia po zespole Średnia po czasie Układ ergodyczny to średnia po zespole = średnia po czasie

29 Ewolucja układu w czasie (ferromagnetyk) niska temperatura Oddziaływanie porządkuje Temperatura losowe zmiany W niskich temperaturach porządek W wysokich temperaturach nieporządek m =< S i > = 1 N i=1 N S i

30 Dynamiki w modelu Isinga

31 Ewolucja gęstości prawdopodobieństwa dp r dt = s r dp r dt = s r W s r P s s r W r s P r W s r P s W r s P r = 0 W s r P s = W r s P r Warunek stacjonarności Warunek równowagi szczegółowej P r = Zexp βe r Rozkład w równowadze W s r W r s = P r P s = Zexp βe r Zexp βe S = exp( βδe)

32 Prawdopodobieństwo przejścia dynamika Metropolisa: W M = min[1, exp( βδe)] dynamika Glaubera lub heat-bath: W G = exp(βδe) W temperaturze T = 0: 0 jeśli ΔE > 0 W(ΔE) = W 0 jeśli ΔE = 0 1 jeśli ΔE < 0

33 Prawdopodobieństwo przejścia

34 Rozkład magnetyzacji w czasie dla T=1.85 (symulacje Jakub Pawłowski)

35 Rozkład magnetyzacji w czasie dla T=2.26 (symulacje Jakub Pawłowski)

36 Relaksacja w T=0 z aktualizacją sekwencyjną

37 Co jeśli aktualizacja synchroniczna?

38 Jaki jest typ przejścia fazowego? Przejścia nieciągłe: Skok parametru porządku β = 0 Histereza (czułość na warunki początkowe) Współistnienie faz Brak skalowania?

39 Jaki jest typ przejścia fazowego?

40 Dyskusja o typie przejścia Dla W absorpcyjny stan ferromagnetyczny Dla W 0 > 0.5 stan stacjonarny zależy od typu aktualizacji Dla aktualizacji synchronicznej nieciągłe przejście fazowe w W 0 = 0.5 T = 0 brak równowagi