Prawa wzajemności Gaussa
|
|
- Jacek Piasecki
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Kamil Sikorski Prawa wzajemności Gaussa Pytanie 1. Dla jakich liczb ierwszych kongruencja x 2 a() ma rozwiązanie? 1. Theorema Aureum Celem tej części jest okazanie, że x 2 q() ma rozwiązanie ma je x 2 (q), gdzie i q są różnymi, niearzystymi liczbami ierwszymi. Fakt ten zaisuje się także za omocą tzw. symbolu Legendre a 1.1. Reszty kwadratowe ( ) ( ) q = ( 1) (( 1)/2))((q 1)/2) q Jeśli (a, m) = 1, to a jest zwane resztą kwadratową mod m jeśli kongruencja x 2 a(m) ma rozwiązanie. W rzeciwnym rzyadku a jest nieresztą kwadratową mod m. Na rzykład 2 jest resztą kwadratową mod 7, ale 3 już nie. Rzeczywiście 1 2, 2 2,, 3 2, 4 2, 5 2 i 6 2 rzystają odowiednio do 1, 4, 2, 2, 4 i 1. Stąd 1, 2 i 4 są resztami kwadratowymi, a 3, 5 i 6 nie. Deinicja Symbol (a/) będzie mieć wartość 1 kiedy a jest resztą kwadratową mod, -1 kiedy a jest nieresztą kwadratową mod i 0 kiedy a. (a/) jest zwany symbolem Legendre a. Sośród własności symbolu Legendre a warto wymienić (a) (a/)() a ( 1)/2 (b) (ab/) = (a/)(b/) (c) Jeśli a b, to (a/) = (b/) (d) ( 1/) = ( 1) ( 1)/2 (e) (2/) = ( 1) (2 1)/8 () (/q)(q/) = ( 1) (( 1)/2))((q 1)/2) Każda liczba niearzysta jest ostaci 4k + 1 lub 4k + 3. Ciekawy jest zwłaszcza odunkt (d), który można rzeormułować nastęująco: x 2 1() ma rozwiązanie jest ostaci 4k + 1. Natomiast odunkt(), którego dowód jest na końcu rozdziału, daje odowiedź na oczątkowe ytanie. 1
2 Twierdzenie Niech q będzie niearzystą liczbą ierwszą. (a) Jeśli q 1(4), to q jest resztą kwadratową mod r(q), gdzie r jest resztą kwadratową mod q. (b) Jeśli q 3(4), to q jest resztą kwadratową mod ±b 2 (4q), gdzie b jest niearzystą liczbą względnie ierwszą z q. Uogólnieniem symbolu Legendre a dla wszystkich liczb niearzystych jest symbol Jacobiego Deinicja Niech b będzie niearzystą, dodatnią liczbą całkowitą i a dowolne całkowite. Niech b = m, gdzie i są ierwsze, niekoniecznie różne. Symbol (a/b) zdeiniowany nastęująco jest zwany symbolem Jacobiego. ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a =... b 1 Symbol Jacobiego ma bardzo zbliżone właściwości do symbolu Legendre a, jednakże należy zaznaczyć, że (a/b) może być równe 1 i jednocześnie a nie musi być resztą kwadratową mod b. Na rzykład (2/15) = (2/3)(2/5) = ( 1)( 1) = 1, ale 2 nie jest resztą kwadratową mod 15. Jest rawdą natomiast, że jeśli (a/b) = 1, to a jest nieresztą kwadratową mod b Dowód rawa wzajemności reszt kwadratowych Istnieją setki dowodów tego twierdzenia. My okażemy dowód autorstwa Eisensteina. Rozważmy unkcję (z) = e 2πiz e 2πiz = 2i sin 2πz. Sełnia ona warunek ( z) = (z). Stwierdzenie Niech n będzie dodatnie, niearzyste i całkowite i (z) = e 2πiz e 2πiz, wtedy 2 1 (n 1)/2 ( (nz) (z) = z + k ) ( z k ) n n k=1 Stwierdzenie Jeśli jest niearzysta i ierwsza, a Z i a, to ( 1)/2 ( ) la = ( ) a ( 1)/2 ( ) l Dowód rawa wzajemności reszt kwadratowych. Niech i q będą niearzyste i ierwsze. Wtedy z orzedniego stwierdzenia Ze Stwierdzenia ( 1)/2 ( ) lq = (q 1)/2 (ql/) (l/) = m=1 ( ) q ( 1)/2 ( ) l ( l + m ) ( l q m ) q 2
3 Co razem daje ( ) q = (q 1)/2 m=1 W ten sam sosób znajdujemy ( ) = q (q 1)/2 m=1 ( 1)/2 ( 1)/2 ( l + m ) ( l q m ) q ( m q + l ) ( m q l ) A skoro (m/q l/) = (l/ m/q) widać więc, że ( ) ( ) q ( 1) (( 1)/2))((q 1)/2) = q Stąd dostajemy ( ) ( ) q = ( 1) (( 1)/2))((q 1)/2) q 2. Prawo wzajemności reszt sześciennych i dwukwadratowych Zanim rzejdziemy do omawiania reszt sześciennych wrowadzimy kilka ojęć otrzebnych óźniej Sumy Gaussa i Jacobiego Charakterem multilikatywnym na F = Z/Z nazywamy odwzorowanie χ z F do liczb zesolonych bez zera, które sełnia χ(ab) = χ(a)χ(b) dla każdego a, b F Symbol Legendre a jest rzykładem takiego charakteru, jeśli rozatrywać go jako unkcję warstwy a modulo. Innym rzykładem jest charakter trywialny ε(a) = 1 dla każdego a F. Charaktery multilikatywne tworzą gruę w sensie nastęującej deinicji. (1) Jeśli χ i λ są charakterami, to χλ jest odwzorowaniem, które rzekształca a F do χ(a)λ(a) (2) Jeżeli χ jest charakterem, to χ 1 jest odwzorowaniem, które rzekształca a F do χ(a) 1 Jedynką tej gruy jest oczywiście charakter trywialny ε. Stwierdzenie Grua charakterów jest cykliczną gruą rzędu 1. Jeśli a F i a 1, to istnieje charakter χ taki, że χ(a) 1. Wniosek Jeśli a F i a 1, to χ χ(a) = 0, gdzie sumujemy o wszystkich charakterach. 3
4 Deinicja Niech χ będzie charakterem na F i a F. Niech g a (χ) = t χ(t)ζ at, gdzie sumujemy o wszystkich t w F i ζ = e 2πi/. g a (χ) jest tzw. sumą Gaussa na F charakteru χ. Oznaczamy g 1 (χ) jako g(χ). Stwierdzenie Jeśli a 0 i χ ε, to g a (χ) = χ(a 1 )g 1 (χ). Jeśli a 0 i χ = ε, to g a (ε) = 0. Jeśli a = 0 i χ ε, to g 0 (χ) = 0. Jeśli a = 0 i χ = ε, to g 0 (ε) =. Rozważmy równanie x 2 +y 2 = 1, które nad ciałem F ma skończenie wiele rozwiązań. Ich liczbę oznaczmy jako N(x 2 + y 2 = 1) i zauważmy, że N(x 2 + y 2 = 1) = a+b=1 N(x 2 = a)n(y 2 = b), gdzie sumujemy o wszystkich arach a, b F sełniających warunek a + b = 1. Jako, że N(x 2 = a) = 1 + (a/), otrzymujemy rzez odstawienie, że N(x 2 + y 2 = 1) = + a ( ) a + b ( ) b + a+b=1 ( a ) ( ) b Pierwsze dwie sumy są równe zero, więc ozostaje obliczyć trzecią sumę, która jak się okazuje wynosi ( 1) ( 1)/2. Stąd N(x 2 + y 2 = 1) wynosi 1 jeśli 1 (4) i + 1 gdy 3 (4). Deinicja Niech χ i λ będą charakterami w F i niech J(χ, λ) = a+b=1 χ(a)λ(b). J(χ, λ) jest zwane sumą Jacobiego. Stwierdzenie Załóżmy, że 1 (n) i χ jest charakterem rzędu n > 2. Wtedy g(χ) n = χ( 1)J(χ, χ)j(χ, χ 2 )... J(χ, χ n 2 ) 2.2. Reszty sześcienne Celem tej części jest okazanie, że odobnie jak między kongruencjami kwadratowymi, tak i między kongruencjami sześciennymi istnieje zależność. Mianowicie x 3 q() ma rozwiązanie ma je x 3 (q) Na oczątek rozważmy równanie x 3 = 1. Jako, że x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1), więc ierwiastkami tego równania są 1 i ( 1 ± 3)/2. Niech ω = ( 1+ 3)/2. Łatwo srawdzić, że ω 2 = ( 1 3)/2 i 1+ω+ω 2 = 0. Rozważmy zbiór Z[ω] = {a+bω a, b Z}. Tworzy on ierścień z dodawaniem i mnożeniem, który jest zamknięty ze względu na oerację srzężenia, oraz jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Dla elementu α = a + bω Z[ω] deiniujemy normę α, Nα = αα = a 2 ab + b 2, gdzie α oznacza srzężenie α. Będziemy stosować notację λ(α) zamiast Nα oraz D = Z[ω]. Warto wymienić arę właściwości ierścienia D 4
5 (a) α D jest jednością Nα = 1. Jednościami w D są 1, 1, ω, ω, ω 2 i ω 2. (b) Jeśli π jest elementem ierwszym w D, to istnieje liczba ierwsza całkowita taka, że Nπ = lub 2. W ierwszym rzyadku π nie jest stowarzyszona z liczbą ierwszą całkowitą; w drugim jest stowarzyszona z. (c) Jeśli π D jest takie, że Nπ = jest liczbą ierwszą całkowitą, to π jest elementem ierwszym w D. (d) Załóżmy, że i q są liczbami ierwszymi całkowitymi. Jeśli q 2 (3), to q jest elementem ierwszym w D. Jeśli 1 (3), to = ππ, gdzie π jest ierwszy w D. Wtedy też 3 = ω 2 (1 ω) 2 i 1 ω jest ierwsze w D. W ierścieniu D możemy wrowadzić ojęcie kongruencji. Jeśli α, β, γ D i γ 0 nie jest jednością(jest nieodwracalna), to mówimy, że α β (γ) jeśli γ dzieli α β. Tak jak w Z i tu możemy stworzyć ierścień D/γD z klas reszt modulo γ, który dla γ D będących elementami ierwszymi tworzy skończone ciało z N γ elementami. W tym miejscu należy rzywołać wynik z teorii ciał skończonych. Stwierdzenie Niech F będzie skończonym ciałem z q elementami, α F. Wtedy x n = α ma rozwiązanie α (q 1)/d = 1, gdzie d = (n, q 1). Jeśli istnieją rozwiązania, to jest ich dokładnie d. Teraz, odobnie jak w orzednim rozdziale, wrowadzamy symbol, którym będziemy osługiwać się rzy srawdzaniu czy dana liczba jest resztą sześcienną. Deinicja Jeśli Nπ 3, to charakter reszty sześciennej liczby α modulo π jest dany nastęująco (a) (α/π) 3 = 0 gdy π α (b) α (Nπ 1)/3 (α/π) 3 (π) i (α/π) 3 wynosi 1, ω lub ω 2. (α/π) 3 jest odowiednikiem symbolu Legendre a i osiada wiele analogicznych własności. Stwierdzenie (a) (α/π) 3 = 1 x 3 α (π) ma rozwiązanie, tzn. α jest resztą sześcienną (b) α (Nπ 1)/3 (α/π) 3 (c) (αβ/π) 3 = (α/π) 3 (β/π) 3 (d) Jeśli α β (π), to (α/π) 3 = (β/π) 3 Dowód. Część (a) jest szczególnym rzyadkiem Stwierdzenia Biorąc F = D/πD, q = Nπ i n = 3 dostajemy tezę. Część (b) wynika natychmiast z deinicji. Część (c): (αβ/π) 3 (αβ) (Nπ 1)/3 α (Nπ 1)/3 β (Nπ 1)/3 (α/π) 3 (β/π) 3 (π) 5
6 Z czego wynika teza. Część (d): Jeśli α β (π), to (α/π) 3 α (Nπ 1)/3 β (Nπ 1)/3 (β/π) 3 (π), więc (α/π) 3 = (β/π) 3. Od tej ory będziemy stosować notację χ π (α) = (α/π) 3 Warto rzyjrzeć się też właściwościom charakterów rzy oeracji srzężenia. Stwierdzenie (a) χ π (α) = χ π (α) 2 = χ π (α 2 ) (b) χ π (α) = χ π (α) (c) χ q (α) = χ q (α 2 ) i χ q (n) = 1 jeśli n jest liczbą ierwszą całkowitą względnie ierwszą z q. Z odunktu (c) wynika, że n jest resztą sześcienną modulo q. Stąd jeśli q 1 q 2 są dwiema liczbami ierwszymi rzystającymi do 2 modulo 3, wtedy trywialnie mamy χ q1 (q 2 ) = χ q2 (q 1 ). Jest to rzyadek szczególny rawa wzajemności reszt sześciennych. Aby sormułować ogólne rawo musimy wrowadzić ojęcie liczb ierwszych rymarnych. Deinicja Jeśli π jest ierwsze w D, to mówimy, że π jest rymarne jeśli π 2 (3). Jeśli π = q jest całkowite, to nie wrowadzamy nic nowego. Jeśli natomiast π = a + bω jest liczbą ierwszą zesoloną, to deinicja jest równoznaczna z a 2 (3) i b 0 (3). Pojęcie rymarności jest otrzebne, aby ozbyć się niejednoznaczności związanej z aktem, że każdy niezerowy element D ma sześć elementów stowarzyszonych. Stwierdzenie Załóżmy, że Nπ = 1 (3). Wśród elementów stowarzyszonych z π dokładnie jeden jest rymarny. Twierdzenie (Prawo wzajemności reszt sześciennych) Niech π 1 i π 2 będą rymarne, Nπ 1, Nπ 2 3, i Nπ 1 Nπ 2. Wtedy χ q1 (q 2 ) = χ q2 (q 1 ) (a) Należy rozatrzyć trzy rzyadki. Mianowicie obie liczby π 1 i π 2 są całkowite, π 1 jest całkowite i π 2 jest zesolone, oraz obie π 1 i π 2 są zesolone. Pierwszy rzyadek jest trywialny. (b) Charakter sześcienny jedności rozstrzyga się nastęująco. Z tego, że 1 = ( 1) 3 mamy χ π ( 1) = 1 dla wszystkich elementów ierwszych π. Jeśli N π 3, wtedy ze Stwierdzenia odunktu (b) wynika, że χ π (ω) = ω (Nπ 1)/3. Stąd χ π (ω) = 1, ω lub ω 2 w zależności, czy Nπ 1, 4 czy 7 modulo 9. 6
7 2.3. Dowód rawa zależności dla reszt sześciennych Niech π będzie liczbą ierwszą zesoloną taką, że Nπ = 1 (3). Z tego, że D/πD jest skończonym ciałem charakterystyki wynika, że zawiera ono koię Z/Z. Oba ciała mają elementów, więc możemy je utożsamiać. Dzięki temu możemy rozważać χ π jako charakter sześcienny na Z/Z w sensie sum Gaussa i Jacobiego. Zachodzą wtedy tożsamości (a) g(χ) 3 = J(χ, χ) (b) Jeśli J(χ, χ) = a + bω, to a 1 (3) i b 0 (3) (c) (χ π, χ π ) = π (d) g(χ π ) 3 = π Dowód rawa wzajemności. Rozważmy najierw rzyadek π 1 = q 2 (3) i π 2 = π, gdzie Nπ =. Podnosząc obie strony równania g(χ π ) 3 = π do otęgi (g 2 1)/3otrzymujemy g(χ π ) q2 1 = (π) (q2 1)/3. Biorąc kongruencję modulo q widzimy, że χ q () = 1 co daje Przeanalizujemy teraz lewą stronę: g(χ π ) q2 1 χ q (π) (q). g(χ π ) q2 χ q (π)g(χ π ) (q). (1) g(χ π ) q2 = ( χπ (t)ζ t) q 2 χ π (t) q2 ζ q2t (q). A jako, że q 2 1 (3) i χ π (t) jest ierwiastkiem sześciennym z 1, mamy g(χ π ) q2 g q 2(χ π ) (q). (2) Ze stwierdzenia g q 2(χ π ) = χ π (q 2 )g(χ π ) = χ π (q)g(χ π ). Łącząc rówania (1) i (2) χ π (q)g(χ π ) χ q (π)g(χ π )(q). Mnożymy obie strony tej kongruencji rzez g(χ π ). Jako, że g(χ π )g(χ π ) =, albo dając χ π (q) χ q (π)(q) χ π (q) χ q (π)(q), χ π (q) = χ q (π). Pozostaje rozatrzyć rzyadek dwóch zesolonych liczb ierwszych π 1 i π 2, gdzie Nπ 1 = 1 1 (3) i Nπ 2 = 2 1 (3). Ten rzyadek rozwiązuje się raktycznie tym samym sosobem, z ewną różnicą. Niech γ 1 = π 1 i γ 2 = π 2. W tedy γ 1 i γ 2 są rymarne i 1 = π 1 γ 1 i 2 = π 2 γ 2. Zaczynając od równości g(χ γ1 ) 3 = 1 γ 1 i odnosząc ją do (Nπ 2 1)/3 = ( 2 1)/3 otęgi, oraz biorą kongruencję modulo π 2 otrzymujemy tą samą metodą jak owyżej równość χ γ1 ( 2 2) = χ π2 ( 1 γ 1 ). (3) 7
8 Podobnie zaczynając od g(χ π2 ) 3 = 2 π 2, odnosząc do ( 1 1)/3 otęgi i biorąc kongruencję modulo π 1 otrzymamy χ π2 ( 2 1) = χ π1 ( 2 π 2 ). (4) Potrzebujemy także równości χ γ1 ( 2 2) = χ π1 ( 2 ), która wynika ze Stwierdzenia 2.2.3, onieważ γ 1 = π 1 i 2 = 2. Możemy teraz obliczyć χ π1 (π 2 )χ π2 ( 1 γ 1 ) = χ π1 (π 2 )χ γ1 ( 2 2) = χ π1 (π 2 )χ π1 ( 2 ) = χ π1 ( 2 π 2 ) = χ π2 ( 2 1) = χ π2 ( 1 π 1 γ 1 ) z równania (3) z owyższej uwagi z równania (4) = χ π2 (π 1 )χ π2 ( 1 γ 1 ). Równając ze sobą ierwszy ostatni człon i skracając rzez χ π2 ( 1 γ 1 ) dostajemy oczekiwany rezultat: χ π1 (π 2 ) = χ π2 (π 1 ) Prawo wzajemności reszt dwukwadratowych W tej części D oznacza ierścień Z[i]. Jeśli α D, to (α) = αd jest dziedziną ideałów głownych generowaną rzez α. Jej jednościami są ±1, ±i. Deinicja Liczba nieodwracalna α D jest rymarna jeśli α 1(1 + i) 3. Zachodzą nastęujące twierdzenia (a) Niech π będzie nierozkładalne w D. Pierścień klas reszt D/πD jest skończonym ciałem z N(π) elementami. (b) Jeśli π α, to α Nπ 1 1(π). Stwierdzenie (a) Jeśli π α, to χ π (α) = 1 x 4 α(π) ma rozwiązanie w D. (b) χ π (αβ) = χ π (α) χ π (β) (c) χ π (α) = χ π (α) (d) Jeśli π jest nierozkładalny i rymarny, to χ π ( 1) = ( 1) (a 1)/2, gdzie π = a + bi. (e) Jeśli α β(π) to χ π (α) = χ π (β) () χ π (α) = χ λ (α) jeśli (π) = (λ) Twierdzenie Niech λ i π będą względnie ierwszymi rymarnymi elementami ierwszymi w D. Wtedy χ π (λ) = χ λ (π)( 1) ((N(λ) 1)/4)N(π) 1)/4 8
9 2.5. Konstruowalność wielokątów oremnych W Disquisitiones Arithmeticae Gauss udowodnił za omocą okresów cyklotomicznych, że jeśli jest liczbą ierwszą ostaci 2 n + 1, to wielokąt oremny o bokach jest konstruowalny za omocą cyrkla i linijki. W tym rozdziale okazany zostanie dowód tego aktu za omocą sum Gaussa i Jacobiego. W rozatrywanej sytuacji konstruwalne liczby zesolone to te liczby, które możemy uzyskać z Q orzez skończoną liczbę oeracji wymiernych i tworzenie ierwiastków kwadratowych. Deinicja Liczba zesolona α C jest konstruowalna jeśli istnieją odciała ciała C, Q = K 0 K 1 K 2 K n takie, że α K n i K 1 = K i 1 ( α i 1 ) dla ewnego α i K i, i = 1,..., n. Widzimy, że α jest konstruowalna wtedy i tylko wtedy, gdy część rzeczywista i urojona liczby α są konstruowalne. Co więcej, jeśli α można skonstruować, to α też. Lemat Niech ζ t = e 2πi/t. Wtedy ζ 2 n, gdzie n = 1, 2,... jest konstruowalne. Dowód. Z tego, że (ζ 2 n) 2 = ζ 2 n 1 i aktu, że ζ 2 jest konstruowalne orzez indukcję dostajemy lemat. Lemat , jeśli t=0, χ(t) = 1, jeśli t=1, χ 0, jeśli t 0, 1, suma o wszystkich charakterach z F. Dowód. Jeśli χ = ε jest charakterem trywialnym, wtedy ε(0) = 1 i teza zachodzi dla t = 0. Teza jest też rawdziwa dla t = 1 na mocy Stwierdzenia 2.1.1, a ozostałe rzyadki rozstrzyga wniosek do tego stwierdzenia. Twierdzenie Jeśli = 2 n + 1 jest liczbą ierwszą Fermata, wtedy ζ jest konstruowalne. Dowód. Niech g(χ) = 1 t=0 χ(t)ζ t jest sumą Gaussa związaną z χ, wtedy 1 ( ) g(χ) = χ(t) ζ t = 1 + ( 1)ζ. χ t=0 χ Stąd ζ = ( 1) 1 ( 1 + χ g(χ)) i wtedy ζ jest konstruowalne jeśli każda suma g(χ) też jest. Jednakże 1 = 2 n i skoro charaktery tworzą gruą rzędu 1 widzimy, że rząd χ jest 2 m dla ewnego m. Używając Stwierdzenia mamy g(χ) 2m = χ( 1)J(χ, χ)j(χ, χ 2 )... J(χ, χ l ), gdzie l = 2 m 2. Jednakże J(χ, χ l ) Z[ζ 2 n], więc z Lematu g(χ) 2m jest konstruowalne. Wynika z tego, że g(χ) też jest konstruowalne. 9
10 Literatura K. Ireland, M. Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory 10
Przykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoFunkcje arytmetyczne
Funkcje arytmetyczne wersja robocza Jacek Cichoń Politechnika Wrocławska Wydział Podstawowych Problemów Techniki Liczbami naturalnymi nazywany tutaj zbiór N = {1, 2, 3...}. Zbiór liczb ierwszych oznaczamy
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże o Imerium Liczb Część 08. Liczby Mersenne a, Fermata i Inne Liczby Rozdział 5 5. Okresy rozwinięć liczb wymiernych Andrzej Nowicki 20 maja 2012, htt://www.mat.uni.torun.l/~anow Sis treści 5 Okresy
Bardziej szczegółowoNotatki z Algorytmicznej Teorii Liczb
Notatki z Algorytmicznej Teorii Liczb Jakub Pawlewicz 7 stycznia 00 Liczby ierwsze Podstawowy fakt udowodniony dawno temu rzez Euklidesa brzmi. Twierdzenie.. Liczb ierwszych jest nieskończenie wiele. Poniżej
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 01/01 Seria VII styczeń 01 rozwiązania zadań 1. Udowodnij, że dla dowolnej dodatniej liczby całkowitej n liczba n! jest odzielna rzez n!
Bardziej szczegółowoCiała skończone. 1. Ciała: podstawy
Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowo1 Określenie pierścienia
1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowoKongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac
Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowo( n) Łańcuchy Markowa X 0, X 1,...
Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to rocesy dyskretne w czasie i o dyskretnym zbiorze stanów, "bez amięci". Zwykle będziemy zakładać, że zbiór stanów to odzbiór zbioru liczb całkowitych Z lub zbioru {,,,...}
Bardziej szczegółowo1. Określenie pierścienia
1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące
Bardziej szczegółowo0.1 Pierścienie wielomianów
0.1 Pierścienie wielomianów Zadanie 1. Znaleźć w pierścieniu Z 5 [X] drugi wielomian określający tę samą funkcję, co wielomian X 2 X + 1. (Odp. np. X 5 + X 2 2X + 1). Zadanie 2. Znaleźć sumę i iloczyn
Bardziej szczegółowoKongruencje twierdzenie Wilsona
Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie
Bardziej szczegółowoDOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO, I DO SPRAWDZENIA)
DOWODY NIERÓWNOŚCI HÖLDERA I MINKOWSKIEGO (DO UŻYTKU WEWNȨTRZNEGO I DO SPRAWDZENIA) R R Tematem niniejszych notatek jest zbadanie warunków istnienia normy na ewnej rzestrzeni funkcji rzeczywistych określonych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 2 marca 2017 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod m)),
Bardziej szczegółowoKongruencje pierwsze kroki
Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod
Bardziej szczegółowoPierścień wielomianów jednej zmiennej
Rozdział 1 Pierścień wielomianów jednej zmiennej 1.1 Definicja pierścienia wielomianów jednej zmiennej Definicja 1.1 Niech P będzie dowolnym pierścieniem. Ciąg nieskończony (a 0, a 1,..., a n,...) elementów
Bardziej szczegółowoPozostała algebra w pigułce
Algebra Pozostała algebra w pigułce Aleksander Denisiuk denisjuk@pjwstk.edu.pl Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Wydział Informatyki w Gdańsku ul. Brzegi 55 80-045 Gdańsk Algebra p. 1
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowoWykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia
Bardziej szczegółowoColoring the Cartesian sum of graphs
oloring the artesian sum o grahs Dorota Dawczyk MS V, sem IX Klasyczne (wierzchołkowe) kolorowanie grau - rzyorządkowywanie wierzchołkom grau liczb naturalnych w taki sosób, aby końce żadnej krawędzi nie
Bardziej szczegółowoPierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne
Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowo2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X
Bardziej szczegółowoGAL 80 zadań z liczb zespolonych
GAL 80 zadań z liczb zespolonych Postać algebraiczna liczby zespolonej 1 Sprowadź wyrażenia do postaci algebraicznej: (a) ( + i)(3 i) + ( + 31)(3 + 41), (b) (4 + 3i)(5 i) ( 6i), (5 + i)(7 6i) (c), 3 +
Bardziej szczegółowo1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)
Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla
Bardziej szczegółowo= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i
15. Wykład 15: Rozszerzenia pierwiastnikowe. Elementy wyrażające się przez pierwiastniki. Rozwiązalność równań przez pierwiastniki. Równania o dowolnych współczynnikach. 15.1. Rozszerzenia pierwiastnikowe.
Bardziej szczegółowo1 Działania na zbiorach
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod
Bardziej szczegółowoGrupy, pierścienie i ciała
Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.
Bardziej szczegółowoDr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki
liczbowe Dr Maciej Grzesiak, Instytut Matematyki liczbowe Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.maciej.grzesiak.pracownik.put.poznan.pl podręcznik: i algebra liniowa
Bardziej szczegółowoZestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.
Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera
Kongruencje wykład 6 ... Euler, 1760, Sankt Petersburg Dla każdego a m zachodzi kongruencja a φ(m) 1 (mod m). Przypomnijmy: φ(m) to liczba reszt modulo m względnie pierwszych z m; φ(m) = m(1 1/p 1 )...
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoA i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.
M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A
Bardziej szczegółowoG. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28
G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoSumy kolejnych bikwadratów
Sumy kolejnych bikwadratów Znane są następujące dwie równości Andrzej Nowicki 18 maja 2015, wersja bi-12 3 2 + 4 2 = 5 2 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3. Czy istnieją podobnego typu równości dla czwartych potęg?
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoAnaliza kongruencji. Kongruencje Wykład 3. Analiza kongruencji
Kongruencje Wykład 3 Kongruencje algebraiczne Kongruencje jak już podkreślaliśmy mają własności analogiczne do równań algebraicznych. Zajmijmy się więc problemem znajdowania pierwiastka równania algebraicznego
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego
Sumy kwadratów TWIERDZENIE LAGRANGE A Każda liczba naturalna da się przedstawić w postaci sumy czterech kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera Każda liczba pierwsza postaci 4k + 1 daje się przedstawić w
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu
Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające
Bardziej szczegółowoChcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.
DEF. DZIAŁANIE DWUARGUMENTOWE Działaniem dwuargumentowym w niepsutym zbiorze nazywamy każde odwzorowanie iloczynu kartezjańskiego :. Inaczej mówiąc, w zbiorze jest określone działanie dwuargumentowe, jeśli:
Bardziej szczegółowoALGEBRA Z GEOMETRIĄ CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH
ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 CIAŁO FUNKCJI WYMIERNYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 7, 13.11.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Ułamki pierścienia całkowitego Cel: Wprowadzenie pojęcia funkcji
Bardziej szczegółowoDystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Bardziej szczegółowo(4) W zbiorze R R definiujemy działania i wzorami. (a, b) (c, d) =(a + c, b + d),
Zestaw zadań 2: Ciało liczb zespolonych Układy równań liniowych () Ile działań można określić na zbiorze n-elementowym? Ile z nich to działania przemienne? (2) Zbadaj własności działania różnicy symetrycznej
Bardziej szczegółowoJeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowo2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16
DB Algebra dla informatyków 1 semestr letni 2018 1 Spis treści 1 Podzielność w Z, algorytm Euklidesa 2 2 Kongruencje 5 3 Twierdzenia: Fermata, Eulera i Wilsona 7 4 Grupy 9 5 Grupy permutacji 12 6 Homomorfizmy
Bardziej szczegółowon := {n} n. Istnienie liczb naturalnych gwarantują: Aksjomat zbioru pustego, Aksjomat pary nieuporządkowanej oraz Aksjomat sumy.
Konsekt wykładu ELiTM 6 Konstrukcje liczbowe Konstrukcja von Neumanna liczb naturalnych. Definicja 0 - liczba naturalna zero. Jeżeli n jest liczbą naturalną, to nastęną o niej jest liczba n {n} n. Istnienie
Bardziej szczegółowoRównania wielomianowe
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoSkończone rozszerzenia ciał
Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie
Bardziej szczegółowoZbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Bardziej szczegółowoALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1. Wykład 3. Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia optymalizacyjnego:
ALGORYTMY OPTYMALIZACJI wyklad 3.nb 1 Wykład 3 3. Otymalizacja z ograniczeniami Sformułujemy teraz warunki konieczne dla istnienia rozwiązań zagadnienia otymalizacyjnego: g i HxL 0, i = 1, 2,..., m (3.1)
Bardziej szczegółowoWzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich
Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski
Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +
Bardziej szczegółowoAnaliza funkcjonalna 1.
Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.
Bardziej szczegółowoKryptografia. z elementami kryptografii kwantowej. Ryszard Tanaś Wykład 6a
Kryptografia z elementami kryptografii kwantowej Ryszard Tanaś http://zon8.physd.amu.edu.pl/~tanas Wykład 6a Spis treści 10 Trochę matematyki (c.d.) 3 10.19 Reszty kwadratowe w Z p.............. 3 10.20
Bardziej szczegółowoRodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.
3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoTeoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,
Teoria liczb Magdalena Lemańska Literatura Matematyka Dyskretna Andrzej Szepietowski http://wazniak.mimuw.edu.pl/ Discrete Mathematics Seymour Lipschutz, Marc Lipson Wstęp Teoria liczb jest dziedziną matematyki,
Bardziej szczegółowoRozwiązaniem jest zbiór (, ] (5, )
FUNKCJE WYMIERNE Definicja Miech L() i M() będą niezerowymi wielomianami i niech D { R : M( ) 0 } Funkcję (*) D F : D R określoną wzorem F( ) L( ) M( ) nazywamy funkcją wymierną Funkcja wymierna, to iloraz
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoAlgorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),
Algorytm Euklidesa ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90), (d) NWD(120, 168, 280), (e) NWD(30, 42, 70, 105), (f) NWW[120, 195], (g)
Bardziej szczegółowoKONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.
KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:
Bardziej szczegółowoAlgebra abstrakcyjna
Algebra abstrakcyjna Przykłady 1. Sama liczba 0 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe dodawanie, również liczba 1 tworzy grupę (rzędu 1) ze względu na zwykłe mnożenie.. Liczby 1 i 1 stanowią grupą
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE 4 KRZ: A B A B A B A A METODA TABLIC ANALITYCZNYCH
ĆWICZENIE 4 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): metoda tablic analitycznych, system aksjomatyczny S (aksjomaty, reguła dowodzenia), dowód w systemie S z dodatkowym zbiorem założeń, tezy systemu S, wtórne reguły
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie liniowe
Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoCałka podwójna po prostokącie
Całka podwójna po prostokącie Rozważmy prostokąt = {(x, y) R : a x b, c y d}, gdzie a, b, c, d R, oraz funkcję dwóch zmiennych f : R ograniczoną w tym prostokącie. rostokąt dzielimy na n prostokątów i
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 4: Podzielność liczb całkowitych Gniewomir Sarbicki Dzielenie całkowitoliczbowe Twierdzenie: Dla każdej pary liczb całkowitych (a, b) istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią. wykład I
Algebra liniowa z geometrią wykład I 1 Oznaczenia N zbiór liczb naturalnych, tutaj zaczynających się od 1 Z zbiór liczb całkowitych Q zbiór liczb wymiernych R zbiór liczb rzeczywistych C zbiór liczb zespolonych
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Rozdział 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1.1. Działania wewnętrzne Niech X będzie zbiorem niepustym. Dowolną funkcję h : X X X nazywamy działaniem wewnętrznym w zbiorze X. Działanie wewnętrzne, jak
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoPraca domowa - seria 2
Praca domowa - seria 0 listopada 01 Zadanie 1. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających nierówność: A = {z C : i z < Im(z)}. Rozwiązanie 1 Niech z = a + ib, gdzie a, b R. Wtedy z =
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoRównania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0
Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto
Bardziej szczegółowoSzeregi liczbowe wste
3 grudnia 2007 orawi lem dowód twierdzenia o rzybliżeniach dziesie tnych Zajmiemy sie teraz cia gami nieskończonym, ale zaisywanymi w ostaci sum. Definicja 2. (szeregu) Niech (a n ) be dzie dowolnym cia
Bardziej szczegółowoPochodna i różniczka funkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych
Pochodna i różniczka unkcji oraz jej zastosowanie do obliczania niepewności pomiarowych Krzyszto Rębilas DEFINICJA POCHODNEJ Pochodna unkcji () w punkcie określona jest jako granica: lim 0 Oznaczamy ją
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowon=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :
4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoWarmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie
Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy oziom: szkoły ponadgimnazjalne, 0 punktów za każde zadanie Zadanie Znajdź dwa dzielniki pierwsze liczby - Można skorzystać z artykułu
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z matematyki na poziomie podstawowym wraz z rozwiązaniami
8 Liczba 9 jest równa A. B. C. D. 9 5 C Przykładowe zadania z matematyki na oziomie odstawowym wraz z rozwiązaniami Zadanie. (0-) Liczba log jest równa A. log + log 0 B. log 6 + log C. log 6 log D. log
Bardziej szczegółowoCO TO SĄ BAZY GRÖBNERA?
CO TO SĄ BAZY GRÖBNERA? Wykład habilitacyjny, Toruń UMK, 5 czerwca 1995 roku Andrzej Nowicki W. Gröbner, 1899-1980, Austria. B. Buchberger, Austria. H. Hironaka, Japonia (medal Fieldsa). Bazy, o których
Bardziej szczegółowoPaweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/
Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy
Wektor, prosta, płaszczyzna; liniowa niezależność, rząd macierzy Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 217/218
Bardziej szczegółowo