Modele sieciowe fizyki statystycznej i symulacje Monte Carlo. Katarzyna Sznajd-Weron

Transkrypt

1 Modele sieciowe fizyki statystycznej i symulacje Monte Carlo Katarzyna Sznajd-Weron

2 Perkolacja 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

3 Model erkolacji Model erkolacji : Każdy węzeł (wiązanie) sieci jest zajęty niezależnie z rawdoodobieństwem Jak duże musi być to rawdoodobieństwo aby owstał klaster łączący brzegi sieci (rzeływ)?

4 Perkolacja: Pożary lasów

5 Prawdoodobieństwo rzejścia Symulacja komuterowa modelu erkolacji 101x x x1003 gęstość zadrzewienia Dla jakiego ożar dotrze do drugiej strony lasu?

6 Idea metody Monte Carlo (MC) Jaka jest szansa ułożenia asjansa? Ciężko to oliczyć analitycznie bo wygrana zależy od wielu ruchów A gdyby tak arę razy sróbować ułożyć asjansa i zobaczyć ile razy się to uda? Przegrana Przegrana Wygrana Przegrana Szansa ułożenia to ¼!

7 7 Losowość i rawdoodobieństwo Zjawisko jest losowe jeśli oszczególne wyniki są wcześniej nieznane Definicja Lalace a: Prawdoodobieństwo A zajścia zdarzenia A jest równe stosunkowi liczby rzyadków srzyjających wystąieniu zdarzenia A do liczby N wszystkich możliwych rzyadków: A P A = N A N

8 8 Przestrzeń zdarzeń i zdarzenia losowe Przestrzeń zdarzeń elementarnych Zbiór wszystkich możliwych wyników, n. 52 karty, które mogą być losowo wybrane z talii Zdarzenie Zbiór zdarzeń elementarnych, n. wybór 5 z 52 kart Zdarzenie elementarne Możliwy wynik, n. jedna z 52 kart, która może być losowo wybrana z talii

9 9 Przykład: Rzut kostką Zdarzenie elementarne Liczba oczek wyrzuconych na kostce Przestrzeń zdarzeń elementarnych S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Liczność Ω = #{1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 Zdarzenia: A: Liczba oczek jest arzysta B: Liczba oczek jest mniejsza od 3

10 (c) Rafał Weron Rozkład zmiennej losowej dyskretnej 6/36 5/36 4/36 3/36 P(suma=7) = 6/36 P(suma=3) = 2/36 2/36 1/36

11 (c) Rafał Weron rawdoodobieństwo Wartość oczekiwana zmiennej losowej Zmienna losowa dyskretna E( X ) xi ( xi ) x i Przykład: Zmienna losowa: liczba orłów w 2 rzutach monetą Jaka jest wartość oczekiwana tej zmiennej? Zmienna losowa ciągła E ( X ) x f ( x) dx 0,50 0,25 Rozkład E X = x i x i = = # orłów

12 Podstawy teoretyczne metody MC Niech a oznacza oszukiwana wielkość i jest wartością oczekiwaną a = EX ewnej zmiennej losowej X Jeżeli jesteśmy w stanie generować niezależne wartości S 1, S 2,, S n z rozkładu zmiennej losowej X to z mocnego rawa wielkich liczb wynika, że: 1 lim n n S S n = a MC olega wiec na szacowaniu wielkości a rzez średnia z ewnej odowiednio dobranej n elementowej róby.

13 Generatory liczb seudolosowych (PRNG) PRNG generuje deterministycznie ciąg bitów, który od ewnymi względami jest nieodróżnialny od ciągu uzyskanego z rawdziwie losowego źródła. Algorytm liniowy (liczby o rozkładzie jednostajnym): x ax b mod c n1 n a,b,c liczby magiczne, n: a 7 5, b 0, c

14 Cechy dobrego generatora do MC Długi okres owtarzalności Losowość brak korelacji, równomierność (secjalne testy) Szybki

15 Generator Mersenne Twister (htt:// Makoto Matsumoto i Takuji Nishimura,1997 Nadaje się do Symulacji Monte Carlo, ale nie do krytografii Zalety MT19937 Mersenne Twistera: Okres (udowodnione) Wysoki stoień równomiernego rozmieszczenia Sełnia większość testów losowości Szybki

16 Temeratura Curie ciągłe rzejście fazowe magnes ferromagnetyk Przejście fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć?

17 Model Isinga (Lenza-Isinga?) 1925 rozrawa doktorska Ernsta Isinga Brak rzejścia fazowego w 1D Jedyna raca Isinga Przejście fazowe w 2D (lata czterdzieste) Skala mikro tłumaczy zachowania makro L H = J L S i S j 1D H = J i=1 S i S i+1 <i,j>

18 Skąd taki Hamiltonian? Każdy układ dąży do minimalizacji energii LÓD WODA LÓD WODA LÓD WODA Lód i woda w równowadze Przechłodzona woda

19 Skąd taki Hamiltonian? L H = J S i S i+1 i=1 L H = J S i S i+1 = J ( 1) i=1 Każdy układ dąży do minimalizacji energii L H = J i=1 L S i S i+1 = J i=1 1 = JL

20 Oddziaływania omiędzy cząstkami Ferromagnetyk (konformizm) Antyferromagnetyk (antykonformizm) Wływ (siła oddziaływania) wzrasta wraz Ze zgodnością gruy Z rozmiarem gruy Wysoka temeratura nerwowo Piotr Nyczka

21 Czego się sodziewacie? Czego się sodziewacie? Zajrzyjcie na htts://ccl.northwestern.edu/netlogo/ Models Library NetLogo (środowisko do ABM) Prof. Uri Wilensky Northwestern's Center for Connected Learning and Comuter-Based Modeling (CCL)

22 Ewolucja układu w czasie (ferromagnetyk) niska temeratura Oddziaływanie orządkuje Temeratura losowe zmiany W niskich temeraturach orządek W wysokich temeraturach nieorządek m =< S i > = 1 N i=1 N S i

23 Dalsze losy modelu Isinga Przejście fazowe w 2D bez ola Onsager, lata czterdzieste Symulacje Komuterowe model Isinga w 3D i 2D z olem Wykorzystanie oza fizyką

24 Symulacja Monte Carlo Modelu Isinga Przygotuj stan oczątkowy układu Pozwól mu ewoluować Poczekaj aż ustali się magnetyzacja Zanotuj wartość m Powtarzaj to dużo razy Policz średnią magnetyzację Jaka to średnia? N m =< S i > = 1 N i=1 S i

25 Średnia o zesole Średnia o czasie i średnia o zesole Średnia o czasie Układ ergodyczny to średnia o zesole = średnia o czasie

26 Algorytm Metroolisa 1MCS = N losowań Wylosuj jeden sin S i Oblicz energię E = E(S i ) = S i J j nn S j Oblicz energię E = E( S i ) = S i J j nn S j Oblicz zmianę energii ΔE = E E Jeżeli ΔE 0 to S i S i Jeżeli ΔE > 0 to wylosuj r z rzedziału [0,1] i akcetuj nową konfigurację jeżeli: r < = ex ΔE k B T, k B = J = 1

27 Przejście fazowe w modelu Isinga

28 Metody analityczne fizyki statystycznej Ścisłe bardzo rzadko to się udaje Przybliżone Metoda średniego ola Metoda gruy renormalizacyjnej Metoda szeregów wysokotemeraturowych Przykład: model erkolacji

29 Perkolacja site Rozważmy sieć dwuwymiarową L na L Każde miejsce sieci jest zajęte niezależnie z rawdoodobieństwem Klaster grua zajętych węzłów znajdujących się wzajemnie w najbliższym sąsiedztwie (rozmiar s)

30 Krytyczność w modelu erkolacji Próg erkolacji - najmniejsza koncentracja zaełnionych węzłów na sieci, rzy której owstaje nieskończony klaster. Parametr orządku Wyniki dla sieci 2D

31 Krytyczność w modelu erkolacji Próg erkolacji dla roblemu site to najmniejsza koncentracja zaełnionych węzłów na sieci, rzy której owstaje nieskończony klaster. Próg erkolacji dla roblemu bond to najmniejsza koncentracja zaełnionych ołączeń między węzłami sieci, rzy której owstaje nieskończony klaster.

32 Trzewo (sieć) Bethego (z=3) Klaster erkolujący rozciąga się w nieskończoność Rozważmy sacer o erkolującym nieskończonym klastrze Kontynuując sacer z węzła i-tego możemy ójść w z 1 kierunkach Tylko (z 1) jest wolnych Czyli musi być rzynajmniej jedna wolna z 1 1 c = 1 z 1

33 Perkolacja na sieci kwadratowej (bond): dualność sieci Sieć wyjściowa: mogę rzejść q=1- nie mogę rzejść Sieć dualna: nie mogę rzejść q=1- mogę rzejść

34 Samodualność sieci kwadratowej * q q * q q * * q* 1 *, q* * 0.5 *

35 Próg erkolacji nie jest uniwersalny! sieć site bond heksagonalna kwadratowa trójkątna diamond Prosta kubiczna BCC FCC

36 Metoda Średniego Pola (MFA) erkolacja wiązań (bond) Pytanie: Jaka jest krytyczna wartość koncentracji wiązań (mostów), rzy której owstanie nieskończony klaster? Oznaczenia: rawdoodobieństwo tego, że dwa dowolne węzły sieci są ołączone (tzn. że istnieje wiązanie): rawdoodobieństwo, że i-ty węzeł należy do nieskończonego klastra: P i

37 Kiedy należy do nieskończonego klastra? Żeby węzeł i należał do klastra to: musi on mieć rzy najmniej jednego sąsiada j, z którym jest ołączony mostem, j należy do nieskończonego klastra. Prawdoodobieństwo tego, że ma: P j Prawd., że nie należy do klastra

38 Mean field aroximation (MFA) z 1 P i = j=1 1 P j MFA: i P i = P (układ jednorodny) z 1 P = j=1 1 P = 1 P z 1 P = 1 P z Dla układu jednowymiarowego (1D): z = 2 1 P = 1 P 2

39 Układ jednowymiarowy, z = 2 1 P = 1 P 2 Pytanie: Czy istnieje takie, żeby P > 0? 1 P = 1 2P + 2 P 2 2 P P = 0 P( 2 P ) = 0 2 P = 0 P = P = > > 0 > 1 2

40 ) (1 4 ) (1 2 ' Grua renormalizacyjna (decymacja): Perkolacja na sieci kwadratowej =0 =0 =0 =1 =1 =1

41 ) (1 0 1 ) (1 0 ) 2 (1 2 ', 2 ' *= Szukamy unktów stałych transformacji

42 Grua renormalizacyjna (majority rule): Perkolacja na sieci trójkątnej rawdoodobieństwo rawdoodobieństwo = = = c = = 0 ( ) = = 0

43 Literatura D. W. Heermann, Podstawy symulacji komuterowych w fizyce, WNT 1997 D. P. Landau, K. Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge University Press 2005