AUTORKA: ELŻBIETA SZUMIŃSKA NAUCZYCIELKA ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTAŁCĄCYCH SCHOLASTICUS W ŁODZI ZNANE RÓWNANIA PROSTEJ NA PŁASZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

Transkrypt

1 UTORK: ELŻBIET SZUMIŃSK NUCZYCIELK ZESPOŁU SZKÓŁ OGÓLNOKSZTŁCĄCYCH SCHOLSTICUS W ŁODZI ZNNE RÓWNNI PROSTEJ N PŁSZCZYŹNIE I W PRZESTRZENI

2 SPIS TREŚCI: PROST N PŁSZCZYŻNIE Str 1. Równanie kierunkowe prostej 3 2. Równanie ogólne prostej Równanie odcinkowe prostej Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty na płaszczyźnie Przedstawienie parametryczne prostej na płaszczyźnie Postać normalna równania prostej. 11 PROST W PRZESTRZENI 7. Prosta określona przez jej rzuty Prosta jako część wspólna płaszczyzn, podanych w postaci ogólnej Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w przestrzeni Przedstawienie parametryczne prostej w przestrzeni. 16 2

3 PROST N PŁSZCZYŹNIE 1. Równanie kierunkowe prostej Niech będzie dany na płaszczyźnie układ prostokątny współrzędnych 0xy oraz dowolna prosta l. Opisując prostą można posłużyć się wzorem y=ax+b, który określa funkcję liniową, ale jednocześnie jest równaniem stopnia pierwszego o dwóch niewiadomych x i y. Równanie to spełniają współrzędne punktów (x, y) prostej l wyznaczonej przez punkty (0, b) oraz (1, a+b) i dlatego wzór y=ax+b nazywamy równaniem prostej l. Każdy wektor równoległy do prostej l to wektor kierunkowy tej prostej. Na przykład wektor B, gdzie (0, b) zaś B(1, a+b) jest wektorem równoległym do prostej. Ma on współrzędne B=[1, a]. Każdy z wektorów kierunkowych tej prostej jest postaci k [1, a], gdy k 0. Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej l, liczbę b nazywamy rzędną punktu przecięcia prostej l z osią 0y równanie y = ax + b (1.1.) RÓWNNIEM KIERUNKOWYM PROSTEJ. Równanie (1.1.). ma szerokie zastosowanie: proste dane równaniami: y=ax+b proste dane równaniami: y=ax+b y= a 1 x+b są równoległe wtedy i tylko wtedy gdy a = a 1 y= a 1 x+ b są prostopadłe wtedy i tylko wtedy gdy a = 1 a1 3

4 Interpretacja współczynnika kierunkowego Niech dowolna prosta l będzie nachylona do osi 0x pod kątem α, gdzie: π α 0 a = tgα α 0,5π α - kąt o jaki należy obrócić oś 0x w kierunku dodatnim, aby stała się równolegla do prostej l, nazywamy go kątem nachylenia prostej l do osi 0x, a - współczynnik kierunkowy (kątowy) prostej l. Wartości współczynnika kierunkowego a > 0 gdy kąt α jest ostry a = 0 gdy prosta jest równoległa do osi 0x (y=b) a < 0 gdy kąt α jest rozwarty a nie jest określony gdy α = 0,5 π Gdy mamy prostą równoległą do osi 0y - prosta ta nie jest wykresem funkcji, nie ma wektora kierunkowego postaci [1, a], ani nie jest określony współczynnik a. Jeśli prosta przecina oś odciętych w punkcie x o,jej równanie to: x= x o, gdzie x o jest dowolną liczbą rzeczywistą. 4

5 WNIOSEK Każdą prostą zawartą w płaszczyźnie układu współrzędnych można przedstawić -równaniem kierunkowym y=ax+b lub -równaniem x= x o (1.2.), gdzie x o jest dowolną liczbą rzeczywistą ZDNIE 1 Rozstrzygnij, czy punkty K(-1, -2), L(1, 3), M(2, 5) są współliniowe. Rozwiązanie: KL=[1-(-1); 3-(-2)]=[2; 5]=2[1; 2,5] LM=[2-1; 5-3]=[1, 2] współrzędne wektorów kierunkowych nie są proporcjonalne, zatem punkty K, L, M nie są współliniowe. ZDNIE 2 Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt P(2, -1) i równoległej do prostej B, gdzie (0, 1); B (1, 3). Rozwiązanie: B = [1, 2], zatem a = 2, prosta jest postaci y=2x+b -1=2x2+b b=-5 szukana prosta ma więc postać y = 2x Równanie ogólne prostej. Każdą prostą na płaszczyźnie można przedstawić równaniem postaci x+by+c=0, gdzie [, B] są współrzędnymi dowolnego niezerowego wektora prostopadłego do naszej prostej oraz 2 + B 2 > 0 ( i B nie są jednocześnie zerami). 5

6 Weźmy punkt (x, y).ten punkt należy do prostej wtedy i tylko wtedy, gdy wektor o współrzędnych [x - x o, y - y o ] jest prostopadły do wektora [, B]. Wówczas mamy: (x - x o ) + B(y - y o ) = 0 x + By + (- x o - B y o ) = 0 podstawiając - x o - B y o = C otrzymujemy równanie, w którym 2 + B 2 > 0 x + By + C = 0 (2.1.) nazywane OGÓLNYM RÓWNNIEM PROSTEJ Przekształćmy równanie x+by+c=0 i tak: gdy B 0 By = - x - C / :B y = B x C B równanie ma postać równania y=ax+b (1.1.) gdy B = 0 x = - C C x = równanie ma postać równania x = x o (1.2.) co jest zgodne z wnioskiem z poprzedniego rozdziału. Weźmy równanie x + By + C = 0: gdy = B = C = 0 równanie (2.1.) jest spełnione przez współrzędne dowolnego punktu płaszczyzny. Zbiór określony tym równaniem stanowi całą płaszczyznę. gdy = B = 0 lecz C 0 równanie (2.1.) nie jest spełnione przez współrzędne żadnego punktu na płaszczyźnie. Równanie przedstawia więc zbiór pusty. C gdy = 0 równanie (2.1.) jest spełnione przez punkty prostej y = będącej B prostą równoległą do osi 0x, gdyż współczynnik kierunkowy równania a = = 0. B gdy B = 0 równanie (2.1.) jest spełnione przez punkty prostej x = - C będącej prostą równoległą do 0si 0y. gdy C = 0 równanie (2.1.) jest spełnione przez punkty prostej y = B x przechodzącej przez punkt (0, 0) 6

7 3. Równanie odcinkowe prostej Jeżeli wszystkie współczynniki, B, C równania (2.1.) są liczbami różnymi od zera to przekształcając je otrzymujemy kolejno: x + By = - C / :(-C) x By = C C 1 oznaczając a = - C oraz b = - C otrzymujemy równanie: B x y + =1 (3.1.) a b Równanie to nazywamy RÓWNNIEM ODCINKOWYM PROSTEJ Równanie (3.1.) ma praktyczne zastosowanie, gdyż przedstawia prostą przecinającą: -oś odciętych w punkcie x = a -oś rzędnych w punkcie y = b 4. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty na płaszczyźnie. Niech prosta y=ax+b przechodzi przez punkt (x 1, y 1 ). wówczas y 1 = a x 1 + b odejmując stronami otrzymujemy równanie y - y 1 = a (x - x 1 ) (4.1.) Równanie (4.1.) przedstawia dowolną prostą, która nie jest prostopadła do osi 0x i przechodzącą przez punkt (x 1, y 1 ). Zauważmy, że jest nieskończenie wiele prostych przechodzących przez punkt. 7

8 Niech prosta (4.1.) przechodząca przez punkt ( x 1, y 1 ), przechodzi przez drugi punkt B (x 2, y 2 ), gdzie x 2 x 1.Współrzędne x 2, y 2 spełniają wówczas równanie (4.1.): y 2 - y 1 = a (x 2 - x 1 ) skąd mamy a = y x y x co podstawiając do (4.1.) daje y y = 1 y x y x ( x x ) (4.2.) 1 Równanie (4.2.) przedstawia PROSTĄ PRZECHODZĄCĄ PRZEZ DW PUNKTY. Prosta ta przechodzi przez punkty (x 1, y 1 ) oraz B (x 2, y 2 ). Prosta B jest nieprostopadła do osi 0x, bo założyliśmy x 1 x 2. 8

9 Przekształcając równanie (4.2.) można przedstawić je w postaci x x 1 x x kiedy prosta B jest nierównoległa do osi układu współrzędnych. = y y1 y y (4.3.) Jeśli x 1 = x 2, ale y 1 y 2 prosta B jest prostopadła do osi 0x i przecina oś odciętych w punkcie x = x 1, a jej równanie ma wówczas postać równania (1.2.) x = x o. Jeśli y 1 = y 2, ale x 1 x 2 prosta B jest równoległa do osi 0x i przecina oś rzędnych w punkcie y = y 1, a jej równanie ma wówczas postać y = b (współczynnik kierunkowy równania (1.1.) a=0) ZDNIE 3. Podaj równanie prostej przechodzącej przez punkty P(1, 4) i R(-1, 0) Rozwiązanie: podstawiając współrzędne punktów P i R do równania (4.2.) otrzymujemy y y = 1 y x y x ( x x ) 1 y 4 = 0 4 ( x 1) 1 1 y-4 = 2 (x-1) y = 2x równanie prostej: y=2x+2. 9

10 5. Przedstawienie parametryczne prostej na płaszczyźnie. Na to by punkt P (x, y) leżał na prostej p przechodzącej przez punkt P o (x o, y o ) i równoległej do niezerowego wektora [m, n] ( punkty P i P o mają różną co najmniej jedną współrzędną) potrzeba i wystarcza, żeby jego współrzędne dały się napisać w postaci równań: x= x o +ms y= y o +ns (5.1.) gdzie m i n są współczynnikami kierunkowymi prostej p, są także współrzędnymi dowolnego wektora równoległego do prostej p, co zapisujemy [ mn, ] p, s R. ([m, n]=[ x 2 - x 1, y 2 - y 1 ]), liczby m i n nie są jednocześnie zerami. s jest parametrem, czyli liczbą różną od zera, której istnienie umożliwia warunki (5.1.) jeżeli s = 0 otrzymujemy punkt P o (x o, y o ) Układ równań (5.1.) stanowi PRMETRYCZNE RÓWNNI PROSTEJ. Równania te spełnione są przez wszystkie punkty prostej p i tylko przez jej punkty. Za pomocą tej postaci dadzą się przedstawić wszystkie proste płaszczyzny, podobnie jak za pomocą równania ogólnego prostej (2.1.) Równania parametryczne prostej p można przedstawić w postaci x= x o +( x 2 - x 1 ) s y= y o +( y 2 - y 1 ) s (5.2.) Prosta p spełniająca warunki (5.2.) przechodzi przez dwa punkty o współrzędnych (x 1, y 1 ) oraz (x 2, y 2 ). Gdy m 0 oraz n 0 rugując s z równań (5.1.) otrzymujemy równanie x x o y yo = (5.3.) m n wówczas prosta p nie jest równoległa ani do osi 0x ani do osi 0y. 10

11 6. Postać normalna równania prostej Niech prosta q leży w płaszczyźnie prostokątnego układu współrzędnych. Wykreślmy do niej, z początku układu współrzędnych, oś normalną (prostopadłą) n. Oznaczmy: p - odległość prostej q od początku układu współrzędnych α - kąt jaki tworzy dodatni kierunek osi 0x z osią n (0 α < 2π ) Przekształćmy równanie (2.1.) x + By + C = 0 ( 2 + B 2 > 0) dzieląc je przez ± + B Wówczas otrzymujemy x + By + C + B = 0 lub - x + By + C + B = 0, czyli B x B B y C B B C = 0 lub x + y + = 0 + B + B + B przyjmujemy: cosα = ± 2 + B (*) sinα = ± 2 B + B (**) p = 2 C + B Uwaga: znak przy + B w (*) i (**) należy przyjąć przeciwny niż znak wyrazu C. otrzymujemy równanie xcosα + ysinα - p = 0 (6.1.) Równanie (6.1.) nosi nazwę RÓWNNI NORMLNEGO PROSTEJ Każdą prostą na płaszczyźnie można przedstawić za pomocą równania (6.1.) Rozpatrzmy kilka skrajnych przypadków: 11

12 i ) gdy prosta q jest równoległa do osi 0x: α = π / 2 sinπ / 2=1 p>0 cosπ / 2=0 x cosπ / 2 + y sinπ / 2 - p=0 x 0 + y 1 - p = 0 y = p ( ii ) gdy prosta q pokrywa się z osią 0x (szczególny przypadek równoległości do 0x) p =0 y =0 ( iii ) gdy prosta q jest prostopadła do osi 0x: α = 0 sin0 = 0 p>0 cos 0 = 1 x cos 0 +y sin 0 - p = 0 x 1 + y 0 - p = 0 x = p ( iiii ) gdy prosta q pokrywa się z osią 0y (szczególny przypadek prostopadłości do 0x) p = 0 x = 0 12

13 ZDNIE 4. Zapisz równanie kierunkowe prostej y=x w postaci normalnej. Przedstaw pomocniczy rysunek. Rozwiązanie: zapiszmy równanie y=x w postaci ogólnej x+by+c=0 -x+y=0 = -1, B = 1, C = 0 + B = cosα = = sinα = 1 2 = zatem α = 0, 75π p = 0 x cos 0, 75 π + y sin 0, 75 π = 0 13

14 PROST W PRZESTRZENI Prostą w przestrzeni określa się jako linię przecięcia dwóch płaszczyzn i wyznacza się ją analitycznie za pomocą układu równań liniowych. Zakładamy tu nierównoległość tych płaszczyzn. Jest oczywiste, że każda prosta da się przedstawić nieskończenie wieloma sposobami, ponieważ istnieje nieskończenie wiele par płaszczyzn przechodzących przez naszą prostą. 7. Prosta określona przez jej rzuty. Przedstawienie prostej w przestrzeni może nastąpić przez określenie jej rzutów równoległych do osi układu współrzędnych, przy czym wybieramy dwie spośród płaszczyzn tego układu np. 0xy i 0xz. Jeśli rzuty prostej (nazwijmy ją p) na płaszczyzny 0xy i 0xz mają w tych płaszczyznach równania: to równania te wyznaczają jednoznacznie prostą p. y = ax + b z = cx + d (7.1.) Równania (7.1.) traktujemy jako równania dwóch płaszczyzn przechodzących przez prostą p, z których pierwsza płaszczyzna jest równoległa do osi 0z, zaś druga jest równoległa do osi 0y. 14

15 8. Prosta jako część wspólna płaszczyzn, podanych w postaci ogólnej. Jeżeli dwie nierównoległe płaszczyzny przestrzeni zapiszemy w postaci ogólnej: 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 (8.1.) to układ równań (8.1.) będzie spełniony przez punkty dokładnie jednej prostej. Na to, by punkt leżał na tej prostej, potrzeba i wystarcza, żeby jego współrzędne spełniały jednocześnie obydwa równania (8.1.) Układ równań (8.1.) wyznacza krawędź przecięcia dwóch płaszczyzn, przy czym: 1, B 1, C 1 nie są jednocześnie zerami podobnie 2, B 2, C 2 nie są jednocześnie zerami oraz wektory [ 1, B 1, C 1 ] i [ 2, B 2, C 2 ] nie są równoległe 9. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty w przestrzeni., Niech prosta przechodzi przez punkty (x 1, y 1, z 1 ) i B (x 2, y 2, z 2 ). nalogicznie do równania (4.3.) zapiszemy równania prostej przechodzącej przez dwa różne punkty przestrzeni: x x1 x x = y y1 y y z z1 = z z (9.1.) Równania (9.1.) są w rzeczywistości układem trzech równań, które zostaną spełnione przez takie punkty i B, że prosta B nie jest równoległa do żadnej z płaszczyzn prostokątnego układu współrzędnych. 15

16 10. Przedstawienie parametryczne prostej w przestrzeni. Prosta w przestrzeni może być przedstawiona również w postaci parametrycznej. nalogicznie jak na płaszczyźnie weźmy dowolny niezerowy wektor równoległy do prostej p. Niech współrzędne tego wektora będą oznaczone [m, n, l ]. Weźmy dwa różne punkty prostej: P o ( x o, y o, z o ) i P (x, y, z). Wówczas, jeśli prosta p nie jest równoległa do żadnej z płaszczyzn układu współrzędnych ( m 0, n 0, l 0 ), można ją przedstawić następująco: x x m y y z z = = (10.1.) n l o o o zaś ogólnie, analogicznie jak dla prostej na płaszczyźnie (równanie (5.1.) ), równanie prostej przechodzącej przez dwa różne punkty P i P o daje się przedstawić układem równań: x = x o + ms y = y o + ns z = z o + ls (10.2.) Z układu równań (10.1.) wynika, że gdy parametr s = 0, punkt P pokrywa się z punktem P o. 16

17 LITERTUR 1. Stanisław Zieleń - Matematyka dla klasy I szkoły średniej 2. Stanisław Zieleń - Matematyka dla klasy III szkoły średniej 3. Franciszek Leja - Geometria analityczna 4. Marceli Stark - Geometria analityczna 5. Jerzy Królikowski, Celestyn Steckiewicz - Matematyka - geometria analityczna 17