D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1

Transkrypt

1 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata, którą zgodnie z regułami gry przegrany płaci wygranemu. Przy czym rozważamy tylko gry w których bierze udział dwóch graczy i przegrana jednego jest wygraną drugiego. Ponadto dysponujemy tzw macierzą wypłat, która pozwala nam na określenie gry. Teorię gier stosuje się w praktyce gospodarczej głównie w zagadnieniach konkurencji i kooperacji. Powstaje coraz więcej prac teoretycznych łączących zarządzanie łańcuchami dostaw, z teorią gier. W większości wykorzystywane są niekooperacyjne gry statyczne, czasami stochastyczne. Inne modele opisuje się rzadziej. merykańscy naukowcy dostrzegają potrzebę i duży potencjał we wcieleniu do teorii SCM (Supply Chain Management Zarządzania Łańcuchami Dostaw) kolejnych typów gier. Do wykorzystania pozostają wciąż gry kooperacyjne, czy też powtarzalne. 978 rok - Herbert Simon otrzymał nagrodę Nobla za wkład w rozwój ewolucyjnej teorii gier, w szczególności za koncepcję ograniczonej racjonalności. Komitet nagrody określił te rezultaty jako przełomowe badania nad procesem podejmowania decyzji wewnątrz organizacji gospodarczych oraz teorię ich podejmowania. W 994 roku tę nagrodę otrzymali John Nash, Reinhard Selten i John Harsanyi za rozwój teorii gier i jej zastosowania w ekonomii. 996 rok - William Vickrey i James Mirrlees dostali nagrodę Nobla za stworzenie modeli przetargów i badanie konfliktów z niesymetryczną informacją uczestników. W 005 Thomas C. Schelling i Robert J. umann otrzymali Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii za zastosowanie teorii gier w naukach społecznych i mikroekonomii (dot. zachowania jednostek i rozwiązywania konfliktów). W roku 007 nagrodę Nobla z ekonomii za kolejne zastosowania teorii gier w tej dziedzinie dostali Leonid Hurwicz, Eric S. Maskin, Roger B. Myerson.

2 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe GRY KONFLIKTOWE GRY -OSOBOWE O SUMIE WYPŁT ZERO I. DEFINICJE i TWIERDZENI Konfliktowe gry dwuosobowe opisuje macierz wypłat mxn a ij,b ij gdzie: aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II Jeżeli suma wypłat jest równa zero, tj. aij + bij = 0 to grę nazywamy dwuosobową grą macierzową o sumie wypłat zero. Macierz wypłat takiej gry jest więc następująca mxn a ij, a ij W tej sytuacji macierz wypłat może opisywać tylko wygrane jednego z graczy. Przyjęto iż będzie to gracz I; zatem wygrane gracza II będą automatycznie liczbami przeciwnymi do wygranych gracza I. Def. Macierz wypłat gry dwuosobowej o sumie wypłat zero ma postać mxn a ij

3 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 3 Elementy macierzy są wygranymi gracza I i jednocześnie przegranymi gracza II. Def. Strategia mieszana Wektor wierszowy opisujący częstość stosowania poszczególnych strategii przez gracza I. X xm x x... x m gdzie: x i 0 dla i=,,...,m oraz m i x i Wektor kolumnowy opisujący częstość stosowania poszczególnych strategii przez gracza II Y nx y y... y n gdzie: y j 0 dla j=,,...,n oraz n j y j Def. Strategia czysta Jeżeli X lub Y są wersorami to nazywamy je strategiami czystymi. Def. Funkcją wypłaty nazywamy oczekiwaną wygraną gracza I (nadzieję matematycznę wygranej gracza I) E X, Y XY m i n j x a y i ij j

4 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 4 Def. Rozwiązaniem gry nazywamy wektory X x x x i m m Y n y y y n oraz liczbę rzeczywistą takie, że spełnione są warunki E X j, dla strategii czystych gracza II j=,,...,n E i,y dla strategii czystych gracza I i=,,...,m Strategie X oraz Y nazywamy strategiami optymalnymi, a liczbę wartością gry. Wartość gry jest oczekiwaną wygraną (nadzieją matematyczną wygranej) gracza I jeżeli obaj gracze stosują swoje optymalne strategie mieszane X oraz Y, tj. E X, Y

5 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 5 Tw. (H.Kuhn'a o punkcie siodłowym w teorii gier) Oczekiwana wygrana (nadzieja matematyczna) gracza I stosującego dowolną strategię mieszaną X podczas gdy gracz II stosuje optymalną strategię Y nie przekracza wartości gry. I odwrotnie, oczekiwana wygrana gracza I stosującego optymalną strategię X podczas gdy gracz II stosuje dowolną strategię mieszaną Y jest nie mniejsza niż wartość gry X, Y X, Y X, Y E E E Tw. (twierdzenie minimaksowe on Neumana i Morgensterna - twierdzenie zasadnicze gier macierzowych) Dla każdej gry macierzowej istnieją i są sobie równe wielkości max min E X, Y oraz min max E X, Y, które odpowiadają wartości X Y gry, tj. Y X X Y X Y max min E, min max E, X Y Y X Każda gra -osobowa o sumie wypłat zero ma zawsze rozwiązanie. Tw. (twierdzenie o liczbie stosowanych strategii) Niech m ( n ) oznacza liczbę strategii jaką używać będzie postępujący optymalnie gracz I (gracz II). Każdy z graczy postępując optymalnie używać będzie nie więcej strategii niż wynosi mniejsza z liczb m (liczba strategii gracza I) lub n (liczba strategii gracza II), tj. m min m, n oraz n min m, n

6 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 6 Def. Dolna wartość gry (minimalna wygrana gracza I) Liczba rzeczywista taka, że Dla dolnej wartości gry zachodzi i max a i gdzie ai min aij j max min a i j ij Def. Górna wartość gry (maksymalna przegrana gracza II) Liczba rzeczywista taka, że min j a j Dla górnej wartości gry zachodzi gdzie a j max aij minmax a j i Sposób określania dolnej ( ) i górnej ( ) wartości gry nosi nazwę zasady minimaksu, tj. zasady odzwierciedlającej ostrożne postępowanie obu graczy. 3 5 aij ij 0 i 3 3

7 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 7 Def. Gra z punktem siodłowym jest to gra, w której dolna ( ) i górna ( ) wartości gry są sobie równe, tj. Def. Punkt siodłowy jest to ten z elementów macierzy wypłat a ij, który wyznacza dolną ( ) i górną ( ) wartość gry w grze z punktem siodłowym. Tw. (twierdzenie o rozwiązaniu gry z punktem siodłowym) Rozwiązaniem gry z punktem siodłowym jest para strategii czystych (wersorów) X i Y oraz wartość gry X Y 3 5 = Def. Gra symetryczna. Grę nazywamy grą symetryczną jeżeli macierz wypłat tej gry jest macierzą skośno-symetryczną, tj. a a m ij ji Tw. (twierdzenie o rozwiązaniu gry symetrycznej) W grze symetrycznej optymalne strategie obu graczy są identyczne, a wartość gry wynosi zero, tj. X Y oraz =0

8 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe aij = / 0 3 / 0 5 / 0 X Y / 0 3 / 0 5 / 0 Tw. (twierdzenie o dodaniu stałej do macierzy wypłat) Dla dwóch gier macierzowych i B o macierzach wypłat mxn a ij oraz B mxn b ij a ij c gdzie cr \ {0} i wartościach gry odpowiednio oraz B zachodzą następujące związki:. optymalne strategie mieszane sa identyczne, tj. X X oraz Y Y B B. wartości gry różnią się o stałą c, tj. c B 0 X = Y B 0 X Y B 6 B = 0 B B B B B B

9 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 9 II. ROZWIĄZYWNIE GIER MCIERZOWYCH II.. Redukcja macierzy wypłat Redukcja macierzy polega na zastąpieniu wyjściowej macierzy mxn ekwiwalentną macierzą kxr gdzie zachodzi przynajmniej jeden z przypadków km lub rn. Rozwiązania gry wyjściowej i ekwiwalentnej są identyczne. Def. Wiersz dominujący, zdominowany (strategia gracza I dominująca lub zdominowana) Mówimy, że wiersz t jest zdominowany przez wiersz s jeżeli a tj asj dla wszystkich j Wiersz s-ty nazywamy dominującym, a wiersz t-ty zdominowanym. Def. Kolumna dominująca, zdominowana (strategia gracza II dominująca lub zdominowana) Mówimy, że kolumna p jest zdominowana przez kolumnę r jeżeli a ip air dla wszystkich i Kolumnę r-tą nazywamy dominującą, a kolumnę p-tą zdominowaną. Z wyjściowej macierzy mxn usuwamy wszystkie wiersze i kolumny zdominowane. Odpowiadające im strategie nie będą używane przez optymalnie postępujących graczy, tj. odpowiednie częstości oraz y j będą równe zero. x i

10 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 0 PRZYKŁD 4 x z z z y 3 5 z z 0 y 0 x 3 x x II.. Graficzne rozwiązywanie gier macierzowych Jeżeli przed lub po redukcji wymiarów macierz wypłat ma dwa wiersze lub dwie kolumny (jest macierzą xn lub mx ), to odpowiadającą jej grę można rozwiązać graficznie. Dla gry o macierzy wypłat x 3 postępowanie wygląda następująco. 3 5 x

11 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Wektory strategii mieszanych obu graczy mają postać X x x i Y y y y 3 Z założenia x x. Przyjmując x x mamy x x X x x. Stąd Wyznaczamy oczekiwane wygrane gracza I, jeżeli gracz II stosuje swoje strategie czyste, tj. E j Nanosimy otrzymane proste na układ xoy. X,. Oznaczać je będziemy krótko E j. Oś Ox ograniczymy do odcinka [0,] rozciągając go nieproporcjonalnie w stosunku do jednostek na osi Oy. Wystawiamy pomocniczą prostą o równaniu x=. Oś Oy powiążemy z wygraną, tj. z funkcją wypłaty E[X,Y]. E E X, x x x E E X, x x x 5 E3 E X, 3 x x x 0 5

12 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Zgodnie z zasadą minimaksu określamy dla każdej wartości x[0,] minimalną (gwarantowaną) wygraną. Będą to wartości wynikające z dolnej obwiedni E, E, E3. Największa z minimalnych (gwarantowanych) wygranych występuje przy przecięciu E z E E E x 4 x x 3 / 4 Optymalna strategia mieszana dla gracza I ma więc postać X 3 / 4 / 4 Wartość wygranej przy x=3/4 jest równa wartości gry 5 / E E E 3 / 4 / 4, 3 / / E 3 / 4 / 4, 3 / 4 5 /

13 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 3 Gracz II nie powinien stosować żadnej swojej strategii, przy której wygrana optymalnie postępującego gracza I byłaby większa od wartości gry =5/. Musi wyeliminować wszystkie strategie, dla których EX j Warunek taki spełnia strategia 3 ponieważ, 5 /. E X, 3 5 / 4 5 /. Zatem w optymalnej strategii mieszanej gracza II y 3 0. by określić pozostałe składowe wektora Y należy rozwiązać pomocniczy układ równań z def. y y y 3 E, Y y 3y 5y 5 / 3 E, Y 4y y 0y 5 / 3 Ponieważ y 3 0, to powyższy układ równań można zastąpić y E, Y y 3y 5 / E, Y 4y y 5 / y Wykorzystując dwa dowolnie wybrane równania powyższego układu otrzymamy y / oraz y /

14 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 4 Rozwiązanie omawianej gry o macierzy wypłat x 3 jest następujące X 3 / 4 / 4 i Y / / 0 oraz 5 / Dla gier o macierzy wypłat mx postępować będziemy podobnie. Rysunek dotyczył będzie gracza II, o którym należy pamiętać, że jest zainteresowany w minimalizacji warości gry. Optymalne częstości w wektorze Y wyznaczymy tutaj analizując górną obwiednię E, E,..., E m, poszukując na niej minimalnej wartości gry (minimalnej przegranej gracza II). Dla gry o macierzy wypłat 3x postępowanie wygląda następująco. 3 x [ 4] 4 4 Wektory strategii mieszanych obu graczy mają tutaj postać X x x x 3 i Y y y Z założenia y y. Przyjmując y y mamy y y. Stąd Y y y

15 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 5 Wyznaczamy oczekiwane wygrane gracza II, jeżeli gracz I stosuje swoje strategie czyste, tj. Ei,Y. Oznaczać je będziemy krótko E i. y y y E E,Y y 4 5y 4 y E E,Y y y y E E,Y E E3 5y 4 5y y / 5

16 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 6 Optymalna strategia mieszana dla gracza II ma więc postać Y / 5 3 / 5 Wartość wygranej przy y=/5 jest równa wartości gry = E E 3 E E / 5, 5 / 5 4 3/ 5 / 5 3, 5 / 5 3/ 5 Gracz I nie powinien stosować żadnej swojej strategii, przy której przegrana optymalnie postępującego gracza II byłaby mniejsza od wartości gry = (wygrana gracza I byłaby mniejsza od wartości gry!!!). Musi wyeliminować wszystkie strategie, dla których Ei,Y. Warunek taki spełnia strategia ponieważ E, Y 8 / 5. Zatem w optymalnej strategii mieszanej gracza I x 0. by określić pozostałe składowe wektora X należy rozwiązać pomocniczy układ równań z def. x x x 3 E X, x x 5x 3 E X, x 4x 0x 3

17 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 7 Ponieważ x 0, to powyższy układ równań można zastąpić x E X, x 5x E X, 4x 0x x Wykorzystując dwa dowolnie wybrane równania powyższego układu otrzymamy x / oraz x 3 / Rozwiązanie omawianej gry jest następujące X 0 / / i Y / 5 3 / 5 oraz

18 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 8 II.3. Gry macierzowe a programowanie liniowe Każdej grze macierzowej o sumie wypłat zero jest równoważna symetryczna para dualnych względem siebie zadań programowania liniowego. Weźmy pod uwagę grę o macierzy wypłat mxn. Załóżmy, że wartość gry jest liczbą dodatnią, tj. 0 Na mocy odpowiednich twierdzeń i definicji prawdziwe są dwa następujące układy równań i nierówności j m n x y i i j j EX, j Ei, Y,,..., n które po rozpisaniu mają następującą postać i,,..., m x x... xm ax ax... am xm a nx anx... amnxm x 0 x 0... xm 0 y y... yn ay a y... a n yn am y am y... amn yn y 0 y 0... yn 0 Podzielmy obie strony powyższych równań i nierówności przez wartość gry (0!!!) i zdefiniujmy nowe zmienne x x / y y / i i j j i,,..., m j,,..., n Prawe strony obu pierwszych równań będą miały postać /.

19 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 9 Celem gry gracza I jest maksymalizacja wartości gry, tj. minimalizacja wielkości /. Celem gry gracza II jest minimalizacja wartości gry, tj. maksymalizacja wielkości /. Prowadzi to nas do niesprzecznej (gra ma zawsze rozwiązanie) pary symetrycznych zadań PL x x... xm min a x a x... am xm a n x an x amn xm... x 0 x 0... xm 0 y y... yn max a y a y... a n yn am y am y... amn yn y 0 y 0... yn 0 Niech X o x optymalnymi, a w o o i oraz Y o o j y będą rozwiązaniami optymalną wartością funkcji celu obu zadań PL. Rozwiązanie gry, tj. X x i oraz Y otrzymamy poprzez następującą retransformację y j oraz wartość gry o x xi / w y y / w i o i,,..., m j,,..., n j o j o / w o

20 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 0 Dla gry z macierzą wypłat 3 5 x < 3 odpowiednia symetryczna para dualnych zadań programowania liniowego jest następująca x x x x 4x 3x x 5x 0x 0 x 0 min y y y3 max y 3y 5y3 4y y 0y3 y 0 y 0 y3 0 Rozwiązania optymalne obu zadań są następujące o X 3/0 /0 i o Y / 5 / 5 0 oraz w o / 5 Natomiast rozwiązanie gry X 3 / 4 / 4 i Y / / 0 oraz 5 /

21 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Dla gry z macierzą wypłat x wartość gry może być ujemna. Należy więc dodać do macierzy wypłat stałą c, aby wartość gry była dodatnia ( 0 ). Stałą taką może być na przykład c 3. Prowadzi to do gry z macierzą wypłat B 4 B x B 0 < dla której wartość gry spełnia warunek B 0. B B Dla gry z macierzą wypłat B para dualnych zadań PL ma postać x x x x 3x x 0x 4x x 0 x 0 min y y y3 max y y 4y3 3y 0y y3 y 0 y 0 y3 0

22 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Rozwiązania optymalne obu zadań są następujące XB o / / 6 i o YB / 3 / 3 0 oraz w o B / 3 Stąd rozwiązanie gry z macierzą wypłat B wynosi X B 3 / 4 / 4 i Y B / / 0 oraz B 3 / Zgodnie z twierdzeniem o dodaniu stałej do macierzy wypłat rozwiązanie gry z macierzą wypłat jest następujące X 3 / 4 / 4 i Y / / 0 oraz 3 3 / 3 3 / B

23 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 3 II.4. Iteracyjne rozwiązywanie gier macierzowych Jedną z metod przybliżonego rozwiązywania gier jest metoda symulacyjna oparta na analizie skumulowanych wygranych. Omówimy ją na przykładzie. 3 5 x Proces iteracyjny prowadzimy w tablicy do momentu, gdy wykonamy minimalną liczbę iteracji (np. 8). Po ich wykonaniu możemy zakończyć proces symulacji gry, gdy: otrzymamy błąd oszacowania wartości gry () nie większy od założonego poziomu (np. = 0.) osiągniemy maksymalną liczbę iteracji (np. 00) W kolumnie (k) odnotowuje się numer bieżącej iteracji, a w kolumnie () błąd oszacowania wartości gry. W kolumnach (gracz II) odnotowuje się skumulowane wypłaty gracza II, a w kolumnach (gracz I) skumulowane wygrane gracza I.. Symulację rozpoczynamy od dodania do kolumn (gracz II) pierwszego wiersza macierzy wypłat. W kolumnach (gracz II) wybieramy najmniejszą skumulowaną wypłatę; jest to wypłata odpowiadająca strategii gracza II. Do kolumn (gracz I) dodajemy zatem kolumnę macierzy wypłat. W kolumnach (gracz I) wybieramy największą skumulowaną wygraną; jest to wygrana 4 odpowiadająca strategii gracza I. Taki wybór powoduje, że w kolejnej (k=) iteracji do kolumn (gracz II) dodajemy wiersz macierzy wypłat.. W kolumnach (gracz II) wybieramy najmniejszą skumulowaną wypłatę; jest to wypłata 4 odpowiadająca strategii gracza II. Do kolumn (gracz I) dodajemy zatem kolumnę macierzy wypłat. W kolumnach (gracz I) wybieramy największą skumulowaną wygraną; jest to wygrana 5 odpowiadająca strategii gracza I (wybór był tutaj niejednoznaczny; wybrano strategię o niższym numerze). W wyniku tego w kolejnej (k=3) iteracji do kolumn (gracz II) dodajemy wiersz macierzy wypłat.

24 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 4 W ten sposób przebiegają kolejne iteracje. Po 8 iteracjach wolno nam zakończyć proces obliczeniowy jeżeli błąd oszacowania wartości gry nie przekracza 0% (). Taka sytuacja ma miejsce dopiero po 0 iteracjach. Rozwiązanie gry uzyskujemy zliczając w kolumnach (gracz I) i (gracz II) krotność użycia każdej strategii. Dzieląc te krotności przez liczbę wykonanych iteracji otrzymamy oszacowania składowych wektorów X i Y. Przybliżone rozwiązanie gry uzyskane w wyniku symulacji jest następujące X 7 / 0 3 / 0 i Y / / x oraz 49 / 0 gracz II gracz I iteracja strategia strategia strategia 3 strategia strategia k a a a 3 a j / k a a ai / k / / 9/ / /3 /3 5/ / 0 0 5/ 0 5/ /5 4 4/5 /5 3/ / / /6 / / /7 /7 5/ / 0 0 5/ 0 5/ /9 4 4/9 /9 3/9 / / / /0 49/0 krotność użycia wartość gry częstość 5/0 5/0 0 7/0 3/0 49/0