D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 1"

Transkrypt

1 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata, którą zgodnie z regułami gry przegrany płaci wygranemu. Przy czym rozważamy tylko gry w których bierze udział dwóch graczy i przegrana jednego jest wygraną drugiego. Ponadto dysponujemy tzw macierzą wypłat, która pozwala nam na określenie gry. Teorię gier stosuje się w praktyce gospodarczej głównie w zagadnieniach konkurencji i kooperacji. Powstaje coraz więcej prac teoretycznych łączących zarządzanie łańcuchami dostaw, z teorią gier. W większości wykorzystywane są niekooperacyjne gry statyczne, czasami stochastyczne. Inne modele opisuje się rzadziej. merykańscy naukowcy dostrzegają potrzebę i duży potencjał we wcieleniu do teorii SCM (Supply Chain Management Zarządzania Łańcuchami Dostaw) kolejnych typów gier. Do wykorzystania pozostają wciąż gry kooperacyjne, czy też powtarzalne. 978 rok - Herbert Simon otrzymał nagrodę Nobla za wkład w rozwój ewolucyjnej teorii gier, w szczególności za koncepcję ograniczonej racjonalności. Komitet nagrody określił te rezultaty jako przełomowe badania nad procesem podejmowania decyzji wewnątrz organizacji gospodarczych oraz teorię ich podejmowania. W 994 roku tę nagrodę otrzymali John Nash, Reinhard Selten i John Harsanyi za rozwój teorii gier i jej zastosowania w ekonomii. 996 rok - William Vickrey i James Mirrlees dostali nagrodę Nobla za stworzenie modeli przetargów i badanie konfliktów z niesymetryczną informacją uczestników. W 005 Thomas C. Schelling i Robert J. umann otrzymali Nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii za zastosowanie teorii gier w naukach społecznych i mikroekonomii (dot. zachowania jednostek i rozwiązywania konfliktów). W roku 007 nagrodę Nobla z ekonomii za kolejne zastosowania teorii gier w tej dziedzinie dostali Leonid Hurwicz, Eric S. Maskin, Roger B. Myerson.

2 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe GRY KONFLIKTOWE GRY -OSOBOWE O SUMIE WYPŁT ZERO I. DEFINICJE i TWIERDZENI Konfliktowe gry dwuosobowe opisuje macierz wypłat mxn a ij,b ij gdzie: aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II Jeżeli suma wypłat jest równa zero, tj. aij + bij = 0 to grę nazywamy dwuosobową grą macierzową o sumie wypłat zero. Macierz wypłat takiej gry jest więc następująca mxn a ij, a ij W tej sytuacji macierz wypłat może opisywać tylko wygrane jednego z graczy. Przyjęto iż będzie to gracz I; zatem wygrane gracza II będą automatycznie liczbami przeciwnymi do wygranych gracza I. Def. Macierz wypłat gry dwuosobowej o sumie wypłat zero ma postać mxn a ij

3 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 3 Elementy macierzy są wygranymi gracza I i jednocześnie przegranymi gracza II. Def. Strategia mieszana Wektor wierszowy opisujący częstość stosowania poszczególnych strategii przez gracza I. X xm x x... x m gdzie: x i 0 dla i=,,...,m oraz m i x i Wektor kolumnowy opisujący częstość stosowania poszczególnych strategii przez gracza II Y nx y y... y n gdzie: y j 0 dla j=,,...,n oraz n j y j Def. Strategia czysta Jeżeli X lub Y są wersorami to nazywamy je strategiami czystymi. Def. Funkcją wypłaty nazywamy oczekiwaną wygraną gracza I (nadzieję matematycznę wygranej gracza I) E X, Y XY m i n j x a y i ij j

4 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 4 Def. Rozwiązaniem gry nazywamy wektory X x x x i m m Y n y y y n oraz liczbę rzeczywistą takie, że spełnione są warunki E X j, dla strategii czystych gracza II j=,,...,n E i,y dla strategii czystych gracza I i=,,...,m Strategie X oraz Y nazywamy strategiami optymalnymi, a liczbę wartością gry. Wartość gry jest oczekiwaną wygraną (nadzieją matematyczną wygranej) gracza I jeżeli obaj gracze stosują swoje optymalne strategie mieszane X oraz Y, tj. E X, Y

5 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 5 Tw. (H.Kuhn'a o punkcie siodłowym w teorii gier) Oczekiwana wygrana (nadzieja matematyczna) gracza I stosującego dowolną strategię mieszaną X podczas gdy gracz II stosuje optymalną strategię Y nie przekracza wartości gry. I odwrotnie, oczekiwana wygrana gracza I stosującego optymalną strategię X podczas gdy gracz II stosuje dowolną strategię mieszaną Y jest nie mniejsza niż wartość gry X, Y X, Y X, Y E E E Tw. (twierdzenie minimaksowe on Neumana i Morgensterna - twierdzenie zasadnicze gier macierzowych) Dla każdej gry macierzowej istnieją i są sobie równe wielkości max min E X, Y oraz min max E X, Y, które odpowiadają wartości X Y gry, tj. Y X X Y X Y max min E, min max E, X Y Y X Każda gra -osobowa o sumie wypłat zero ma zawsze rozwiązanie. Tw. (twierdzenie o liczbie stosowanych strategii) Niech m ( n ) oznacza liczbę strategii jaką używać będzie postępujący optymalnie gracz I (gracz II). Każdy z graczy postępując optymalnie używać będzie nie więcej strategii niż wynosi mniejsza z liczb m (liczba strategii gracza I) lub n (liczba strategii gracza II), tj. m min m, n oraz n min m, n

6 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 6 Def. Dolna wartość gry (minimalna wygrana gracza I) Liczba rzeczywista taka, że Dla dolnej wartości gry zachodzi i max a i gdzie ai min aij j max min a i j ij Def. Górna wartość gry (maksymalna przegrana gracza II) Liczba rzeczywista taka, że min j a j Dla górnej wartości gry zachodzi gdzie a j max aij minmax a j i Sposób określania dolnej ( ) i górnej ( ) wartości gry nosi nazwę zasady minimaksu, tj. zasady odzwierciedlającej ostrożne postępowanie obu graczy. 3 5 aij ij 0 i 3 3

7 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 7 Def. Gra z punktem siodłowym jest to gra, w której dolna ( ) i górna ( ) wartości gry są sobie równe, tj. Def. Punkt siodłowy jest to ten z elementów macierzy wypłat a ij, który wyznacza dolną ( ) i górną ( ) wartość gry w grze z punktem siodłowym. Tw. (twierdzenie o rozwiązaniu gry z punktem siodłowym) Rozwiązaniem gry z punktem siodłowym jest para strategii czystych (wersorów) X i Y oraz wartość gry X Y 3 5 = Def. Gra symetryczna. Grę nazywamy grą symetryczną jeżeli macierz wypłat tej gry jest macierzą skośno-symetryczną, tj. a a m ij ji Tw. (twierdzenie o rozwiązaniu gry symetrycznej) W grze symetrycznej optymalne strategie obu graczy są identyczne, a wartość gry wynosi zero, tj. X Y oraz =0

8 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe aij = / 0 3 / 0 5 / 0 X Y / 0 3 / 0 5 / 0 Tw. (twierdzenie o dodaniu stałej do macierzy wypłat) Dla dwóch gier macierzowych i B o macierzach wypłat mxn a ij oraz B mxn b ij a ij c gdzie cr \ {0} i wartościach gry odpowiednio oraz B zachodzą następujące związki:. optymalne strategie mieszane sa identyczne, tj. X X oraz Y Y B B. wartości gry różnią się o stałą c, tj. c B 0 X = Y B 0 X Y B 6 B = 0 B B B B B B

9 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 9 II. ROZWIĄZYWNIE GIER MCIERZOWYCH II.. Redukcja macierzy wypłat Redukcja macierzy polega na zastąpieniu wyjściowej macierzy mxn ekwiwalentną macierzą kxr gdzie zachodzi przynajmniej jeden z przypadków km lub rn. Rozwiązania gry wyjściowej i ekwiwalentnej są identyczne. Def. Wiersz dominujący, zdominowany (strategia gracza I dominująca lub zdominowana) Mówimy, że wiersz t jest zdominowany przez wiersz s jeżeli a tj asj dla wszystkich j Wiersz s-ty nazywamy dominującym, a wiersz t-ty zdominowanym. Def. Kolumna dominująca, zdominowana (strategia gracza II dominująca lub zdominowana) Mówimy, że kolumna p jest zdominowana przez kolumnę r jeżeli a ip air dla wszystkich i Kolumnę r-tą nazywamy dominującą, a kolumnę p-tą zdominowaną. Z wyjściowej macierzy mxn usuwamy wszystkie wiersze i kolumny zdominowane. Odpowiadające im strategie nie będą używane przez optymalnie postępujących graczy, tj. odpowiednie częstości oraz y j będą równe zero. x i

10 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 0 PRZYKŁD 4 x z z z y 3 5 z z 0 y 0 x 3 x x II.. Graficzne rozwiązywanie gier macierzowych Jeżeli przed lub po redukcji wymiarów macierz wypłat ma dwa wiersze lub dwie kolumny (jest macierzą xn lub mx ), to odpowiadającą jej grę można rozwiązać graficznie. Dla gry o macierzy wypłat x 3 postępowanie wygląda następująco. 3 5 x

11 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Wektory strategii mieszanych obu graczy mają postać X x x i Y y y y 3 Z założenia x x. Przyjmując x x mamy x x X x x. Stąd Wyznaczamy oczekiwane wygrane gracza I, jeżeli gracz II stosuje swoje strategie czyste, tj. E j Nanosimy otrzymane proste na układ xoy. X,. Oznaczać je będziemy krótko E j. Oś Ox ograniczymy do odcinka [0,] rozciągając go nieproporcjonalnie w stosunku do jednostek na osi Oy. Wystawiamy pomocniczą prostą o równaniu x=. Oś Oy powiążemy z wygraną, tj. z funkcją wypłaty E[X,Y]. E E X, x x x E E X, x x x 5 E3 E X, 3 x x x 0 5

12 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Zgodnie z zasadą minimaksu określamy dla każdej wartości x[0,] minimalną (gwarantowaną) wygraną. Będą to wartości wynikające z dolnej obwiedni E, E, E3. Największa z minimalnych (gwarantowanych) wygranych występuje przy przecięciu E z E E E x 4 x x 3 / 4 Optymalna strategia mieszana dla gracza I ma więc postać X 3 / 4 / 4 Wartość wygranej przy x=3/4 jest równa wartości gry 5 / E E E 3 / 4 / 4, 3 / / E 3 / 4 / 4, 3 / 4 5 /

13 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 3 Gracz II nie powinien stosować żadnej swojej strategii, przy której wygrana optymalnie postępującego gracza I byłaby większa od wartości gry =5/. Musi wyeliminować wszystkie strategie, dla których EX j Warunek taki spełnia strategia 3 ponieważ, 5 /. E X, 3 5 / 4 5 /. Zatem w optymalnej strategii mieszanej gracza II y 3 0. by określić pozostałe składowe wektora Y należy rozwiązać pomocniczy układ równań z def. y y y 3 E, Y y 3y 5y 5 / 3 E, Y 4y y 0y 5 / 3 Ponieważ y 3 0, to powyższy układ równań można zastąpić y E, Y y 3y 5 / E, Y 4y y 5 / y Wykorzystując dwa dowolnie wybrane równania powyższego układu otrzymamy y / oraz y /

14 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 4 Rozwiązanie omawianej gry o macierzy wypłat x 3 jest następujące X 3 / 4 / 4 i Y / / 0 oraz 5 / Dla gier o macierzy wypłat mx postępować będziemy podobnie. Rysunek dotyczył będzie gracza II, o którym należy pamiętać, że jest zainteresowany w minimalizacji warości gry. Optymalne częstości w wektorze Y wyznaczymy tutaj analizując górną obwiednię E, E,..., E m, poszukując na niej minimalnej wartości gry (minimalnej przegranej gracza II). Dla gry o macierzy wypłat 3x postępowanie wygląda następująco. 3 x [ 4] 4 4 Wektory strategii mieszanych obu graczy mają tutaj postać X x x x 3 i Y y y Z założenia y y. Przyjmując y y mamy y y. Stąd Y y y

15 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 5 Wyznaczamy oczekiwane wygrane gracza II, jeżeli gracz I stosuje swoje strategie czyste, tj. Ei,Y. Oznaczać je będziemy krótko E i. y y y E E,Y y 4 5y 4 y E E,Y y y y E E,Y E E3 5y 4 5y y / 5

16 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 6 Optymalna strategia mieszana dla gracza II ma więc postać Y / 5 3 / 5 Wartość wygranej przy y=/5 jest równa wartości gry = E E 3 E E / 5, 5 / 5 4 3/ 5 / 5 3, 5 / 5 3/ 5 Gracz I nie powinien stosować żadnej swojej strategii, przy której przegrana optymalnie postępującego gracza II byłaby mniejsza od wartości gry = (wygrana gracza I byłaby mniejsza od wartości gry!!!). Musi wyeliminować wszystkie strategie, dla których Ei,Y. Warunek taki spełnia strategia ponieważ E, Y 8 / 5. Zatem w optymalnej strategii mieszanej gracza I x 0. by określić pozostałe składowe wektora X należy rozwiązać pomocniczy układ równań z def. x x x 3 E X, x x 5x 3 E X, x 4x 0x 3

17 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 7 Ponieważ x 0, to powyższy układ równań można zastąpić x E X, x 5x E X, 4x 0x x Wykorzystując dwa dowolnie wybrane równania powyższego układu otrzymamy x / oraz x 3 / Rozwiązanie omawianej gry jest następujące X 0 / / i Y / 5 3 / 5 oraz

18 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 8 II.3. Gry macierzowe a programowanie liniowe Każdej grze macierzowej o sumie wypłat zero jest równoważna symetryczna para dualnych względem siebie zadań programowania liniowego. Weźmy pod uwagę grę o macierzy wypłat mxn. Załóżmy, że wartość gry jest liczbą dodatnią, tj. 0 Na mocy odpowiednich twierdzeń i definicji prawdziwe są dwa następujące układy równań i nierówności j m n x y i i j j EX, j Ei, Y,,..., n które po rozpisaniu mają następującą postać i,,..., m x x... xm ax ax... am xm a nx anx... amnxm x 0 x 0... xm 0 y y... yn ay a y... a n yn am y am y... amn yn y 0 y 0... yn 0 Podzielmy obie strony powyższych równań i nierówności przez wartość gry (0!!!) i zdefiniujmy nowe zmienne x x / y y / i i j j i,,..., m j,,..., n Prawe strony obu pierwszych równań będą miały postać /.

19 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 9 Celem gry gracza I jest maksymalizacja wartości gry, tj. minimalizacja wielkości /. Celem gry gracza II jest minimalizacja wartości gry, tj. maksymalizacja wielkości /. Prowadzi to nas do niesprzecznej (gra ma zawsze rozwiązanie) pary symetrycznych zadań PL x x... xm min a x a x... am xm a n x an x amn xm... x 0 x 0... xm 0 y y... yn max a y a y... a n yn am y am y... amn yn y 0 y 0... yn 0 Niech X o x optymalnymi, a w o o i oraz Y o o j y będą rozwiązaniami optymalną wartością funkcji celu obu zadań PL. Rozwiązanie gry, tj. X x i oraz Y otrzymamy poprzez następującą retransformację y j oraz wartość gry o x xi / w y y / w i o i,,..., m j,,..., n j o j o / w o

20 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 0 Dla gry z macierzą wypłat 3 5 x < 3 odpowiednia symetryczna para dualnych zadań programowania liniowego jest następująca x x x x 4x 3x x 5x 0x 0 x 0 min y y y3 max y 3y 5y3 4y y 0y3 y 0 y 0 y3 0 Rozwiązania optymalne obu zadań są następujące o X 3/0 /0 i o Y / 5 / 5 0 oraz w o / 5 Natomiast rozwiązanie gry X 3 / 4 / 4 i Y / / 0 oraz 5 /

21 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Dla gry z macierzą wypłat x wartość gry może być ujemna. Należy więc dodać do macierzy wypłat stałą c, aby wartość gry była dodatnia ( 0 ). Stałą taką może być na przykład c 3. Prowadzi to do gry z macierzą wypłat B 4 B x B 0 < dla której wartość gry spełnia warunek B 0. B B Dla gry z macierzą wypłat B para dualnych zadań PL ma postać x x x x 3x x 0x 4x x 0 x 0 min y y y3 max y y 4y3 3y 0y y3 y 0 y 0 y3 0

22 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe Rozwiązania optymalne obu zadań są następujące XB o / / 6 i o YB / 3 / 3 0 oraz w o B / 3 Stąd rozwiązanie gry z macierzą wypłat B wynosi X B 3 / 4 / 4 i Y B / / 0 oraz B 3 / Zgodnie z twierdzeniem o dodaniu stałej do macierzy wypłat rozwiązanie gry z macierzą wypłat jest następujące X 3 / 4 / 4 i Y / / 0 oraz 3 3 / 3 3 / B

23 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 3 II.4. Iteracyjne rozwiązywanie gier macierzowych Jedną z metod przybliżonego rozwiązywania gier jest metoda symulacyjna oparta na analizie skumulowanych wygranych. Omówimy ją na przykładzie. 3 5 x Proces iteracyjny prowadzimy w tablicy do momentu, gdy wykonamy minimalną liczbę iteracji (np. 8). Po ich wykonaniu możemy zakończyć proces symulacji gry, gdy: otrzymamy błąd oszacowania wartości gry () nie większy od założonego poziomu (np. = 0.) osiągniemy maksymalną liczbę iteracji (np. 00) W kolumnie (k) odnotowuje się numer bieżącej iteracji, a w kolumnie () błąd oszacowania wartości gry. W kolumnach (gracz II) odnotowuje się skumulowane wypłaty gracza II, a w kolumnach (gracz I) skumulowane wygrane gracza I.. Symulację rozpoczynamy od dodania do kolumn (gracz II) pierwszego wiersza macierzy wypłat. W kolumnach (gracz II) wybieramy najmniejszą skumulowaną wypłatę; jest to wypłata odpowiadająca strategii gracza II. Do kolumn (gracz I) dodajemy zatem kolumnę macierzy wypłat. W kolumnach (gracz I) wybieramy największą skumulowaną wygraną; jest to wygrana 4 odpowiadająca strategii gracza I. Taki wybór powoduje, że w kolejnej (k=) iteracji do kolumn (gracz II) dodajemy wiersz macierzy wypłat.. W kolumnach (gracz II) wybieramy najmniejszą skumulowaną wypłatę; jest to wypłata 4 odpowiadająca strategii gracza II. Do kolumn (gracz I) dodajemy zatem kolumnę macierzy wypłat. W kolumnach (gracz I) wybieramy największą skumulowaną wygraną; jest to wygrana 5 odpowiadająca strategii gracza I (wybór był tutaj niejednoznaczny; wybrano strategię o niższym numerze). W wyniku tego w kolejnej (k=3) iteracji do kolumn (gracz II) dodajemy wiersz macierzy wypłat.

24 D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne, gry konfliktowe 4 W ten sposób przebiegają kolejne iteracje. Po 8 iteracjach wolno nam zakończyć proces obliczeniowy jeżeli błąd oszacowania wartości gry nie przekracza 0% (). Taka sytuacja ma miejsce dopiero po 0 iteracjach. Rozwiązanie gry uzyskujemy zliczając w kolumnach (gracz I) i (gracz II) krotność użycia każdej strategii. Dzieląc te krotności przez liczbę wykonanych iteracji otrzymamy oszacowania składowych wektorów X i Y. Przybliżone rozwiązanie gry uzyskane w wyniku symulacji jest następujące X 7 / 0 3 / 0 i Y / / x oraz 49 / 0 gracz II gracz I iteracja strategia strategia strategia 3 strategia strategia k a a a 3 a j / k a a ai / k / / 9/ / /3 /3 5/ / 0 0 5/ 0 5/ /5 4 4/5 /5 3/ / / /6 / / /7 /7 5/ / 0 0 5/ 0 5/ /9 4 4/9 /9 3/9 / / / /0 49/0 krotność użycia wartość gry częstość 5/0 5/0 0 7/0 3/0 49/0

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,

Bardziej szczegółowo

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak

Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych. Mikroekonomia. w zadaniach. Gry strategiczne. mgr Piotr Urbaniak Materiał dydaktyczny dla nauczycieli przedmiotów ekonomicznych Mikroekonomia w zadaniach Gry strategiczne mgr Piotr Urbaniak Teoria gier Dział matematyki zajmujący się badaniem optymalnego zachowania w

Bardziej szczegółowo

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony.

Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. GRY (część 1) Zastosowanie: Modelowanie sytuacji konfliktowych, w których występują dwie antagonistyczne strony. Najbardziej znane modele: - wybór strategii marketingowych przez konkurujące ze sobą firmy

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne Wykład: Sobota/Niedziela Ćwiczenia: Sobota/Niedziela Dyżur: Czwartek 14.00-16.00

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Informacje Ogólne (dr Robert Kowalczyk) Wykład: Poniedziałek 16.15-.15.48 (sala A428) Ćwiczenia:

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. prof. UŚ dr hab. Mariusz Boryczka. Wykład 4 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 4 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 5: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE NIESTAŁEJ TEORI GIER W EKONOMII WYKŁD 5: GRY DWUOSOOWE KOOPERCYJNE O SUMIE NIESTŁEJ dr Robert Kowalczyk Katedra nalizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwumacierzowe Skończoną grę dwuosobową o

Bardziej szczegółowo

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Politechnika Poznańska Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania Joanna Józefowska POZNAŃ 2010/11 Spis treści Rozdział 1. Gry dwuosobowe i gry z naturą............... 5

Bardziej szczegółowo

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r.

Skowrońska-Szmer. Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością. 04.01.2012r. mgr inż. Anna Skowrońska-Szmer Instytut Organizacji i Zarządzania Politechniki Wrocławskiej Zakład Zarządzania Jakością 04.01.2012r. 1. Cel prezentacji 2. Biznesplan podstawowe pojęcia 3. Teoria gier w

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ. dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 2: GRY DWUOSOBOWE O SUMIE ZEROWEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Definicja gry o sumie zerowej Powiemy, że jest grą o

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego

Teoria gier. dr Przemysław Juszczuk. Wykład 2 - Gry o sumie zero. Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego Wykład 2 - Gry o sumie zero Gry o sumie zero Dwuosobowe gry o sumie zero (ogólniej: o sumie stałej) były pierwszym typem gier dla których podjęto próby ich rozwiązania.

Bardziej szczegółowo

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami

Teoria gier matematyki). optymalności decyzji 2 lub więcej Decyzja wpływa na wynik innych graczy strategiami Teoria gier Teoria gier jest częścią teorii decyzji (czyli gałęzią matematyki). Teoria decyzji - decyzje mogą być podejmowane w warunkach niepewności, ale nie zależą od strategicznych działań innych Teoria

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1

Teoria gier. wstęp. 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier wstęp 2011-12-07 Teoria gier Zdzisław Dzedzej 1 Teoria gier zajmuje się logiczną analizą sytuacji, gdzie występują konflikty interesów, a także istnieje możliwość kooperacji. Zakładamy zwykle,

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ

TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD 6: GRY DWUOSOBOWE KOOPERACYJNE O SUMIE DOWOLNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ Gry dwuosobowe z kooperacją Przedstawimy

Bardziej szczegółowo

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych

5. Rozwiązywanie układów równań liniowych 5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a

Bardziej szczegółowo

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe

Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Temat 1: Pojęcie gry, gry macierzowe: dominacje i punkty siodłowe Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu

Bardziej szczegółowo

Teoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz

Teoria gier. Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier Łukasz Balbus Anna Jaśkiewicz Teoria gier opisuje sytuacje w których zachodzi konflikt interesów. Znajduje zastosowanie w takich dziedzinach jak: Ekonomia Socjologia Politologia Psychologia

Bardziej szczegółowo

Elementy teorii gier. Badania operacyjne

Elementy teorii gier. Badania operacyjne 2016-06-12 1 Elementy teorii gier Badania operacyjne Plan Przykład Definicja gry dwuosobowej o sumie zerowej Macierz gry Strategie zdominowane Mieszane rozszerzenie gry Strategie mieszane Rozwiązywanie

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych. Ax = b (1)

Układy równań liniowych. Ax = b (1) Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

3. Macierze i Układy Równań Liniowych

3. Macierze i Układy Równań Liniowych 3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

Gry o sumie niezerowej

Gry o sumie niezerowej Gry o sumie niezerowej Równowagi Nasha 2011-12-06 Zdzisław Dzedzej 1 Pytanie Czy profile równowagi Nasha są dobrym rozwiązaniem gry o dowolnej sumie? Zaleta: zawsze istnieją (w grach dwumacierzowych, a

Bardziej szczegółowo

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane

11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane 11. Gry Macierzowe - Strategie Czyste i Mieszane W grze z doskonałą informacją, gracz nie powinien wybrać akcję w sposób losowy (o ile wypłaty z różnych decyzji nie są sobie równe). Z drugiej strony, gdy

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą

TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH. Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą TEORIA GIER W NAUKACH SPOŁECZNYCH Gry macierzowe, rybołówstwo na Jamajce, gry z Naturą Przypomnienie Gry w postaci macierzowej i ekstensywnej Gry o sumie zerowej i gry o sumie niezerowej Kryterium dominacji

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce.

Teoria Gier - wojna, rybołówstwo i sprawiedliwość w polityce. Liceum Ogólnokształcące nr XIV we Wrocławiu 5 maja 2009 1 2 Podobieństwa i różnice do gier o sumie zerowej Równowaga Nasha I co teraz zrobimy? 3 Idee 1 Grać będą dwie osoby. U nas nazywają się: pan Wiersz

Bardziej szczegółowo

10. Wstęp do Teorii Gier

10. Wstęp do Teorii Gier 10. Wstęp do Teorii Gier Definicja Gry Matematycznej Gra matematyczna spełnia następujące warunki: a) Jest co najmniej dwóch racjonalnych graczy. b) Zbiór możliwych dezycji każdego gracza zawiera co najmniej

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych

Rozwiązywanie układów równań liniowych Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN Szkoła Wyższa Psychologii Społecznej d.wojcik@nencki.gov.pl dwojcik@swps.edu.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

13 Układy równań liniowych

13 Układy równań liniowych 13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...

Bardziej szczegółowo

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb

Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Metoda simpleks. Gliwice

Metoda simpleks. Gliwice Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2

Bardziej szczegółowo

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można

Bardziej szczegółowo

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby

Zadania 1. Czas pracy przypadający na jednostkę wyrobu (w godz.) M 1. Wyroby Zadania 1 Przedsiębiorstwo wytwarza cztery rodzaje wyrobów: A, B, C, D, które są obrabiane na dwóch maszynach M 1 i M 2. Czas pracy maszyn przypadający na obróbkę jednostki poszczególnych wyrobów podany

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna - 1.2

Ekonomia matematyczna - 1.2 Ekonomia matematyczna - 1.2 6. Popyt Marshalla, a popyt Hicksa. Poruszać się będziemy w tzw. standardowym polu preferencji X,, gdzie X R n i jest relacją preferencji, która jest: a) rosnąca (tzn. x y x

Bardziej szczegółowo

Zaawansowane metody numeryczne

Zaawansowane metody numeryczne Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu

TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja

Bardziej szczegółowo

3. Wykład Układy równań liniowych.

3. Wykład Układy równań liniowych. 31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE

Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania

Bardziej szczegółowo

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak

Daria Sitkowska Katarzyna Urbaniak Teorię gier można określić jako teorię podejmowania decyzji w szczególnych warunkach. Zajmuje się ona logiczną analizą sytuacji konfliktu i kooperacji; bada jak gracze racjonalnie powinni rozgrywać grę.

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Wyznaczanie strategii w grach

Wyznaczanie strategii w grach Wyznaczanie strategii w grach Dariusz Banasiak Katedra Informatyki Technicznej W4/K9 Politechnika Wrocławska Definicja gry Teoria gier i konstruowane na jej podstawie programy stanowią jeden z głównych

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE

ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,

Bardziej szczegółowo

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE

PROGRAMOWANIE KWADRATOWE PROGRAMOWANIE KWADRATOWE Programowanie kwadratowe Zadanie programowania kwadratowego: Funkcja celu lub/i co najmniej jedno z ograniczeń jest funkcją kwadratową. 2 Programowanie kwadratowe Nie ma uniwersalnej

Bardziej szczegółowo

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.

doc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl

Bardziej szczegółowo

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA

ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA ZASTOSOWANIE ZASADY MAKSIMUM PONTRIAGINA DO ZAGADNIENIA DYNAMICZNYCH LOKAT KAPITAŁOWYCH Krzysztof Gąsior Uniwersytet Rzeszowski Streszczenie Celem referatu jest zaprezentowanie praktycznego zastosowania

Bardziej szczegółowo

aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II

aij - wygrana gracza I bij - wygrana gracza II M.Mszczsk KBO UŁ, Badana operacjne I (cz.) (wkład B 7) GRY KONFLIKTOWE GRY -OSOBOWE O SUMIE WYPŁT ZERO I. DEFINICJE TWIERDZENI Konflktowe gr dwuosobowe opsuje macerz wpłat ( a ) [ ] mxn j,b j gdze: aj

Bardziej szczegółowo

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych

Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.

Bardziej szczegółowo

Czym jest użyteczność?

Czym jest użyteczność? Czym jest użyteczność? W teorii gier: Ilość korzyści (czy też dobrobytu ), którą gracz osiąga dla danego wyniku gry. W ekonomii: Zdolność dobra do zaspokajania potrzeb. Określa subiektywną przyjemność,

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu zmiennych Wykresy i warstwice funkcji wielu zmiennych. Granice i ciagłość funkcji wielu zmiennych. Pochodne czastkowe funkcji wielu zmiennych. Gradient. Pochodna kierunkowa. Różniczka zupełna.

Bardziej szczegółowo

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1]

D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne [1] Co to są badania operacyjne? Termin "badanie operacji" (Operations' Research) powstał podczas II wojny światowej i przetrwał do dzisiaj. W terminologii

Bardziej szczegółowo

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?

Plan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA? /9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Teoria. a, jeśli a < 0.

Teoria. a, jeśli a < 0. Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017

Formy kwadratowe. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Formy kwadratowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 14. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2017 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2017 1 / 10 Definicja Funkcja

Bardziej szczegółowo

"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub

Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza. Gabriel Laub "Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2

Wykład 16. P 2 (x 2, y 2 ) P 1 (x 1, y 1 ) OX. Odległość tych punktów wyraża się wzorem: P 1 P 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 Wykład 16 Geometria analityczna Przegląd wiadomości z geometrii analitycznej na płaszczyźnie rtokartezjański układ współrzędnych powstaje przez ustalenie punktu początkowego zwanego początkiem układu współrzędnych

Bardziej szczegółowo

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4

= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4  5 3$ 7&=0 5$+7&=4 17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe

KADD Metoda najmniejszych kwadratów funkcje nieliniowe Metoda najmn. kwadr. - funkcje nieliniowe Metoda najmniejszych kwadratów Funkcje nieliniowe Procedura z redukcją kroku iteracji Przykłady zastosowań Dopasowanie funkcji wykładniczej Dopasowanie funkcji

Bardziej szczegółowo

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu

Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Teoria gier w ekonomii - opis przedmiotu Informacje ogólne Nazwa przedmiotu Teoria gier w ekonomii Kod przedmiotu 11.9-WZ-EkoP-TGE-S16 Wydział Kierunek Wydział Ekonomii i Zarządzania Ekonomia Profil ogólnoakademicki

Bardziej szczegółowo

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania

ZADANIE 1/GRY. Modele i narzędzia optymalizacji w systemach informatycznych zarządzania ZADANIE 1/GRY Zadanie: Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa),

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=

Bardziej szczegółowo

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych

Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Komputerowa Analiza Danych Doświadczalnych Prowadząca: dr inż. Hanna Zbroszczyk e-mail: gos@if.pw.edu.pl tel: +48 22 234 58 51 konsultacje: poniedziałek, 10-11; środa: 11-12 www: http://www.if.pw.edu.pl/~gos/students/kadd

Bardziej szczegółowo

Układy równań liniowych

Układy równań liniowych Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K

Bardziej szczegółowo

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:

Rozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący: Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1

Standardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1 Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci

Bardziej szczegółowo

W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.

W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. Nie wolno dzielić przez zero i należy sprawdzić, czy dzielna nie jest równa zeru. W dziedzinie liczb

Bardziej szczegółowo

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)

Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości

Bardziej szczegółowo

1 Układy równań liniowych

1 Układy równań liniowych II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH

POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH POD- I NADOKREŚLONE UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko

Bardziej szczegółowo

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra

Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele

Bardziej szczegółowo

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0 Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy

Bardziej szczegółowo

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu

1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu 1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie

Bardziej szczegółowo

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej

WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo