Badania operacyjne egzamin

Transkrypt

1 Imię i nazwisko: Nr indeksu: Zadanie 1 Załóżmy, że Tablica 1 reprezentuje jeden z kroków algorytmu sympleks dla problemu (1)-(4). Tablica 1. zmaksymalizować 2x 1 + x 2 (1) przy ograniczeniach x 1 + x 2 4 (2) Baza X1 X2 S1 S2 S3 RHS X /11-5/11 20/11 X /11 1/11 29/11 S /11-4/11 5/11 c j z j /11 7/11 38/11 5x 1 + x 2 15 (3) x 1 + 2x 2 1 (4) 1. (4 punkty) znaleźć rozwiązanie optymalne problemu (1)-(4) przekształcając powyższą tablicę sympleks, 1

2 2. (2 punkty) odczytać z końcowej tablicy sympleks rozwiązanie optymalne problemu, 3. (2 punkty) sformułować w postaci standardowej zadanie dualne do zadania (1)-(4), 4. (2 punkty) odczytać z końcowej tablicy sympleks rozwiązanie zadania dualnego. 2

3 Imię i nazwisko: Nr indeksu: Zadanie 2 Dla następującego zadania nieliniowego: f(x 1, x 2 ) = 5x 2 1 8x 1 x 2 + 7x x 1 4x min (5) przy ograniczeniach: g 1 (x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 = 16 (6) 1. (6 punktów) Znajdź rozwiązanie minimalne metodą Lagrange a 2. (2 punkty) Podaj warunek konieczny istnienia w punkcie x ekstremum problemu programowanie nieliniowego bez ograniczeń. 3. (2 punkty) Sfromułuj warunki ortogonalności wg metody KKT dla problemu z funkcją celu (5) i ograniczeniem: g 1 (x 1, x 2 ) = x 1 + x 2 16 (7) 3

4 Zadanie 3 Dany jest projekt w postaci sieci czynności. (i, j) (1,2) (1,3) (1,4) (2,6) (3,4) (3,5) (4,6) (5,7) (6,7) t ij (4 punkty) Metodą ścieżki krytycznej wyznaczyć najkrótszy czas wykonania projektu. 2. (2 punkty) Jaka jest interpretacja czynności (2,6) o czasie trwania równym 0? 3. (2 punkty) Czy w sieci czynności może istnieć więcej niż jedna ścieżka krytyczna? Jeżeli tak, to jaką nazwę nosi najkrótsza z nich? 4. (2 punkty) Jakiej informacji o projekcie dostarcza metoda PERT (czasy wykonania czynności reprezentowane przez zmienne losowe o rozkładzie beta)? 4

5 Imię i nazwisko: Nr indeksu: Zadanie 4 Dwaj producenci pewnego wyrobu sprzedają swe wyroby na rynku, którego wielkość jest stała. Aby zwiększyć swój udział w rynku (przejąć część klientów konkurencyjnego przedsiębiorstwa), każdy z nich może w kolejnych tygodniach stosować jedną z trzech strategii marketingowych (można co tydzień zmieniać strategię). W Tablicy 2 podano wzrost udziału w rynku (w %) przedsiębiorstwa X (spadek udziału przedsiębiorstwa Y) w zależności od decyzji podjętych przez przedsiębiorstwa. Tablica 2 Y1 Y2 Y3 X X X (5 punktów) Znaleźć optymalne strategie marketingowe dla obu przedsiębiorstw. Odpowiedź uzasadnić. 2. (1 punkt) Czy każda dwuosobowa gra o sumie zerowej ma rozwiązanie? 3. (2 punkty) Czy w tej grze niewidzialna ręka rynku jest sprawiedliwa? 4. (2 punkty) Jaki jest oczekiwany udział w rynku 2 firmy po 10 tygodniach gry przy założeniu, że na początku pierwszego tygodnia obie firmy mają równy udział i będą stosowały swoje strategie optymalne? 5

6 Zadanie 5 Nieskończenie wymiarowe poissonowskie źródło zgłoszeń generuje zgłoszenia z częstotliwością 4 na minutę. W systemie są dwa stanowiska obsługi, każde o wydajności średnio 5 zgłoszeń na minutę. Czas obsługi ma rozkład wykładniczy. W poczekalni może się znajdować co najwyżej jedno zgłoszenie. 1. (2 punkty) Obliczyć prawdopodobieństwa stacjonarne systemu. p 0 = [ 1 + λ 0 + λ 0λ 1 + λ ] 1 0λ 1 λ 2 µ 1 µ 1 µ 2 µ 1 µ 2 µ 3 p n = p 0 ρ n, n = 1, (6 punktów) Obliczyć wartości charakteryzujące jakość obsługi w tym systemie. 3. (1 punkt) Przy jakich założeniach proces sygnałowy jest jednorodnym procesem Poissona? 4. (1 punkt) Co to jest stan równowagi statystycznej systemu masowej obsługi? Podać warunek osiągnięcia tego stanu. 6