Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2

Transkrypt

1 Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno- Przyrodniczy im. Jana Długosza w Częstochowie

2 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa jest jednym z najważniejszych działów matematyki. Mało tego, ma on ogromne znaczenie w wielu innych naukach m.in. fizyce, ekonomii czy medycynie. Dzieje się tak dlatego, że wiele zjawisk z jakimi spotykamy się w codziennym życiu ma charakter niedeterministyczny czyli losowy. Teoria prawdopodobieństwa daje matematyczne narzędzia do opisu takich zjawisk i opisywania szans ich zajścia, czyli właśnie obliczania ich prawdopodobieństw. Początkowo traktowany był intuicyjnie i służył ludziom m.in. do określania szans wygranej w grach losowych. Potem okazało się, że, szczególnie w sytuacji nieskończonych(nieprzeliczalnych) przestrzeni zdarzeń, intuicja nie wystarczy. Trzeba było wprowadzić ogólne zasady teoretyczne. Za ojca nowoczesnego rachunku prawdopodobieństwa można uznać A.KOŁMOGOROWA, jednak podwaliny pod nowo powstającą teorię dali m.in. bracia BERNOULI. Należy zaznaczyć także, że dzięki problemom związanym z obliczaniem prawdopodobieństwa rozwinęła się KOMBINATORYKA- czyli dział matematyki zajmujący się zliczaniem.

3 PODSTAWOWE POJĘCIA PROBABILISTYCZNE W życiu codziennym mamy do czynienia z dwoma rodzajami sytuacji: - sytuacje deterministyczne, czyli takie, których wynik można z góry przewidzieć - sytuacje losowe, czyli takie, których wyniku nie możemy z góry ustalić, ich wynik może być różny np. rzut kostką, rzut monetą, losowanie zbioru kul Doświadczenie losowe to doświadczenie, które możemy powtarzać w niezmienionych warunkach i którego wyniki mogą być za każdem razem różne. Przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω to zbiór wszystkich wykluczających się(pojedynczych) wyników danego doświadczenia losowego. Jest to tzw. pojęcie pierwotne rachunku prawdopodobieństwa, czyli pojęcie, którego nie definiujemy. Oto kilka przykładów: 1.Jednokrotnyrzutmonetą: Ω ={o,r} 2.Dwukrotnyrzutmonetą: Ω ={(o,o),(o,r),(r,o),(r,r)} 3.Jednokrotnyrzutsześciennąkostką: Ω ={1,2,3,4,5,6} 4. Dwukrotny rzut sześcienną kostką: Ω ={(1,1),(1,2),(1,3),...,(6,6)}

4 PODSTAWOWE POJĘCIA PROBABILISTYCZNE Zbiór Ω może być dowolnym zbiorem: skończonym, przeliczalnym lub nawet nieprzeliczalnym. W dalszej części tego wykładu będziemy jednak zakładać, że zbiór ten jest przeliczalny, a w zastosowaniach praktycznych często będziemy ograniczać się do zbiorów skończonych. Wprowadzimy teraz podstawowe pojęcie rachunku prawdopodobieństwa, mianowicie pojęcie zdarzenia. DEFINICJA Zdarzeniem(w przypadku co najwyżej przeliczalnego zbioru Ω) nazywamykażdypodzbiór A Ω. Na przykład rozważmy jednokrotny rzut kostką sześcienną, a zdarzenie A określmy jako zdarzenie polegające na wyrzuceniu parzystej liczby oczek, wtedy oczywiście A ={2, 4, 6}. Jeśli natomiast rozważymy na przykład dwukrotny rzut monetą, a zdarzenie B określimy jako wyrzucenie tych samstronmonet,towtedymamy: B ={(o,o),(r,r)}.

5 DZIAŁANIA NA ZDARZENIACH Ponieważ zdarzenia są podzbiorami tego samego zbioru Ω, a więc również zbiorami, możemy wykonywać na nich działania analogiczne do działań na zbiorach. DEFINICJA SUMY ZDARZEŃ Sumązdarzeń Aoraz Bnazywamyzdarzenie A B. DEFINICJA ILOCZYNU ZDARZEŃ Iloczynemzdarzeń Aoraz Bnazywamyzdarzenie A B. DEFINICJA RÓŻNICY ZDARZEŃ Różnicązdarzeń Aoraz Bnazywamyzdarzenie A\B.

6 JESZCZE KILKA WAŻNYCH OKREŚLEŃ DEFINICJA ZDARZENIA PEWNEGO Zdarzeniem pewnym nazywamy zdarzenie Ω. DEFINICJA ZDARZENIA NIEMOŻLIWEGO Zdarzeniem niemożliwym nazywamy zdarzenie. DEFINICJA ZDARZENIA PRZECIWNEGO DO ZDARZENIA A Zdarzeniemprzeciwnymdozdarzenia Anazywamyzdarzenie A = Ω\A. DEFINICJA ZDARZEŃ ROZŁĄCZNYCH Zdarzenia A oraz B nazywają się zdarzeniami rozłącznymi, jeśli A B =.

7 PRZYKŁAD DO WPROWADZONYCH DEFINICJI Rozważmy doświadczenie polegające na dwukrotnym rzucie kostką (Ω ={(1,1),...,(6,6)})iokreślmyponiższezdarzenia: A- zdarzenie polegające na wyrzuceniu sumy oczek większej niż dziewięć B- zdarzenie polegające na wyrzuceniu iloczynu oczek podzielnego przez dwanaście C- zdarzenie polegające na wylosowaniu sumy oczek mniejszej niż jedenaście D- zdarzenie polegające na wyrzuceniu sumy oczek mniejszej od trzynastu Zauważmy, że A ={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)} B ={(2,6),(3,4),(4,3),(6,2),(4,6),(6,4),(6,6)} C ={(5,6),(6,5),(6,6)} D = Ω D =

8 PRZYKŁAD DO WPROWADZONYCH DEFINICJI Wówczas mamy również: A B ={(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6),(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)} A B ={(4,6),(6,4),(6,6)} A\B ={(5,5),(5,6),(6,5)} B\A ={(2,6),(3,4),(4,3),(6,2)}

9 OKREŚLENIE PRAWDOPODOBIEŃSTWA Prawdopodobieństwo to ogólnie rzecz biorąc funkcja liczbowa P, która wszystkim zdarzeniom elementarnym ze zbioru Ω przyporządkowuje liczby nieujemne w taki sposób, że suma tych liczb jest równa jeden. Jeżeli przez ω oznaczymy dowolne zdarzenie elementarne należące do zbioru Ω możemytozapisaćwpostaci: ω ΩP(ω) =1.Zauważmy,żenadanie wartości liczbowych tej funkcji leży poza przedmiotem rachunku prawdopodobieńśtwa. Określaniem prawdopodobieństwa na podstawie wyników obserwacji zajmuje się statystyka matematyczna, jednak w sytuacjach praktycznych najczęściej stosujemy schemat klasyczny, o którym powiemy za chwilę. Jeżeli funkcja P jest już określona możemy określić prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A Ω. DEFINICJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZDARZENIA Prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy liczbę P(A) = ω AP(ω)

10 SCHEMAT KLASYCZNY W sytuacjach praktycznych najczęściej mamy do czynienia z sytuacją,gdywdanymdoświadczeniulosowymmamy n (n< ) zdarzeń elementarnych, które możemy uznać za jednakowo prawdopodobne. Wówczas, jeśli analizowane zdarzenie A składa się z k zdarzeń elementarnych, to prawdopodobieństwo zdarzenia A wyznaczamy ze wzoru: P(A) = k n W literaturze spotykany jest też zapis: P(A) = A Ω, gdzie A, Ω oznaczają liczbę elementów w zbiorze A(liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A) oraz Ω(liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych) odpowiednio.

11 KILKA PRZYKŁADÓW ZASTOSOWANIA SCHEMATU KLASYCZNEGO PRZYKŁAD 1. Rzucamy dwa razy kostką do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo, że suma wyrzuconych oczek jest mniejsza od czterech. Zauważmy, żewtymprzypadkumamy: Ω =6 6 =36.Natomiast A ={(1,1),(1,2),(2,1)},czyli A =3.Stąd: P(A) = 3 36 = 1 12

12 KILKA PRZYKŁADÓW ZASTOSOWANIA SCHEMATU KLASYCZNEGO Nie zawsze musimy wypisywać wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A, czasem warto je jakoś sprytnie policzyć. Służy temu kombinatoryka, a w prostych przypadkach zasada mnożenia(gdy wyniki są niezależne) i zasada dodawania(gdy rozważamy różne rozłączne możliwości). PRZYKŁAD 2. Rozważmy trzykrotny rzut kostką sześcienną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że na wszystkich kostkach wypadły liczby oczek większe od 4. Mamy: Stąd P(A) = = Ω ={(1,1,1),(1,1,2),...,(6,6,6)} Ω =216(6 6 6) A =2 2 2 =8

13 KILKA PRZYKŁADÓW ZASTOSOWANIA SCHEMATU KLASYCZNEGO PRZYKŁAD 3. W urnie znajdują się cztery kule białe i pięć czarnych. Wybieramy losowo cztery kule. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy dwie kule białe i dwie czarne? Zauważmy, że: () 9 Ω = = =126 A = Stąd P(A) = = () 4 2 () 5 =6 10 =60 2

14 Obliczanie prawdopodobieństwa w oparciu o drzewa probabilistyczne W trudniejszych zadaniach(m.in. przy doświadczeniach wieloetapowych) możemy skorzystać z DRZEW PROBABILISTYCZNYCH, które są ilustracją TWIERDZENIA O PRAWDOPODOBIEŃSTWIE CAŁKOWITYM(o którym powiemy później). Taka interpretacja jest dość łatwa i zrozumiała.

15 Obliczanie prawdopodobieństwa w oparciu o drzewa probabilistyczne PRZYKŁAD 4. Wurnieznajdujesię5kulbiałychi4czarne.Losujemydwiekule(bez zwracania). Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tych samych kolorów. Zadanie można opisać następującym drzewem: Stąd P(A) = = = 4 9.

16 Obliczanie prawdopodobieństwa w oparciu o drzewa probabilistyczne Jestjasne,żedrzewasąidealnedozadańzlosowaniakul,również ze zwracaniem(będzie nawet łatwiej), a także do innych zadań(np. loterie). Jednak liczba poziomów drzewa nie może być za duża. W takich sytuacjach stosujemy raczej wzory kombinatoryczne. Suma prawdopodobieństw wszystkich gałęzi wychodzących z jednego wierzchołka wynosi zawsze 1. Dodatkowo należy pamiętać, że raczej nie opłaca się tu skracać ułamków, ponieważ i tak musimy je potem sprowadzać do tego samego mianownika. WNIOSEK Stosujmy częściej drzewa, szczególnie w trudniejszych zadaniach dotyczących doświadczeń wieloetapowych.

17 Rozumienie pojęcia prawdopodobieństwa Należy zwrócić uwagę jeszcze na jedną rzecz. Często nie rozumiemy znaczenia liczby będącej prawdopodobieństwem danego zdarzenia. Jasne jest przecież, że jeśli rzucimy sześć razy kostką symetryczną, to nie uzyskamy jednej jedynki, jednej dwójki itd. Prawdopodobieństwo jest granicą częstości otrzymywanego wyniku. Wynika to z tzw. prawa wielkich liczb Chinczyna. To znaczy, gdybyśmy rzucili kostką wiele razy np , to około 1/6 wyników będą stanowiły jedynki, 1/6- dwójki itd. Częstość będzie coraz bardziej zbliżała się do prawdopodobieństwa danego zdarzenia, gdy n. Obliczając prawdopodobieństwa różnych zdarzeń należy mieć świadomość znaczenia liczby (prawdopodobieństwa), którą obliczamy.