Algebraiczne własności grup klas odwzorowań

Transkrypt

1 Algebraiczne własności grup klas odwzorowań Michał Stukow Uniwersytet Gdański Forum Matematyków Polskich 7 września 2006

2 1 Definicje i przykłady 2 Zastosowania 3 Skręcenia Dehna

3 1 Definicje i przykłady 2 Zastosowania 3 Skręcenia Dehna

4 Grupa klas odwzorowań S zwarta, spójna powierzchnia (ew. z brzegiem i nakłuciami). Definicja Grupa klas odwzorowań S: M(S) = {homeomorfizmy S}/izotopia Przy czym zachowywane sa: orientacja (jeżeli istnieje) brzeg S (punktowo) zbiór nakłuć (jako zbiór)

5 Grupa klas odwzorowań S zwarta, spójna powierzchnia (ew. z brzegiem i nakłuciami). Definicja Grupa klas odwzorowań S: M(S) = {homeomorfizmy S}/izotopia Przy czym zachowywane sa: orientacja (jeżeli istnieje) brzeg S (punktowo) zbiór nakłuć (jako zbiór)

6 Grupa klas odwzorowań S zwarta, spójna powierzchnia (ew. z brzegiem i nakłuciami). Definicja Grupa klas odwzorowań S: M(S) = {homeomorfizmy S}/izotopia Przy czym zachowywane sa: orientacja (jeżeli istnieje) brzeg S (punktowo) zbiór nakłuć (jako zbiór)

7 Definicja Skręcenie Dehna t c względem krzywej zamkniętej c:

8 Przykład Powierzchnie zamknięte: M(sfera) = 1, M(torus) = SL(2, Z), M(płaszczyzna rzutowa) = 1, M(butelka Kleina) = Z 2 Z 2. Powierzchnie z brzegiem: M(dysk) = 1, M(walec) = Z, M(para spodni) = Z 3, M(wstęga Möbiusa) = 1. Powierzchnie z brzegiem i nakłuciami: M(dysk z nakłuciami) = grupa warkoczy, M(wstęga Möbiusa z nakłuciem) = Z.

9 Przykład Powierzchnie zamknięte: M(sfera) = 1, M(torus) = SL(2, Z), M(płaszczyzna rzutowa) = 1, M(butelka Kleina) = Z 2 Z 2. Powierzchnie z brzegiem: M(dysk) = 1, M(walec) = Z, M(para spodni) = Z 3, M(wstęga Möbiusa) = 1. Powierzchnie z brzegiem i nakłuciami: M(dysk z nakłuciami) = grupa warkoczy, M(wstęga Möbiusa z nakłuciem) = Z.

10 Przykład Powierzchnie zamknięte: M(sfera) = 1, M(torus) = SL(2, Z), M(płaszczyzna rzutowa) = 1, M(butelka Kleina) = Z 2 Z 2. Powierzchnie z brzegiem: M(dysk) = 1, M(walec) = Z, M(para spodni) = Z 3, M(wstęga Möbiusa) = 1. Powierzchnie z brzegiem i nakłuciami: M(dysk z nakłuciami) = grupa warkoczy, M(wstęga Möbiusa z nakłuciem) = Z.

11 1 Definicje i przykłady 2 Zastosowania 3 Skręcenia Dehna

12 3-rozmaitości Definicja Rozkład Heegaarda 3-rozmaitości M: para X, Y handlebodies takich, że X Y = M, X Y = X = Y. Twierdzenie Każda zamknięta, spójna i orientowalna 3-rozmaitość M posiada rozkład Heegaarda. Przykład 3-rozmaitości rodzaju Heegaarda 0 i 1.

13 3-rozmaitości Definicja Rozkład Heegaarda 3-rozmaitości M: para X, Y handlebodies takich, że X Y = M, X Y = X = Y. Twierdzenie Każda zamknięta, spójna i orientowalna 3-rozmaitość M posiada rozkład Heegaarda. Przykład 3-rozmaitości rodzaju Heegaarda 0 i 1.

14 3-rozmaitości Definicja Rozkład Heegaarda 3-rozmaitości M: para X, Y handlebodies takich, że X Y = M, X Y = X = Y. Twierdzenie Każda zamknięta, spójna i orientowalna 3-rozmaitość M posiada rozkład Heegaarda. Przykład 3-rozmaitości rodzaju Heegaarda 0 i 1.

15 Twierdzenie (Lickorish 1962, 1964) S orientowalna zamknięta powierzchnia rodzaju g. Wtedy M(S) jest generowana przez skręcenia t a1,..., t a2g+1, t b2,..., t bg 1

16 3-rozmaitości Wniosek (Lickorish 1964) 1 M może być otrzymana przez chirurgię Dehna (a nawet 1-chirurgię) na pewnym splocie w S 3. 2 M jest brzegiem zwartej 4-rozmaitości.

17 Powierzchnie Riemanna Twierdzenie (Kerckhoff 1983) S orientowalna zamknięta powierzchnia rodzaju g. Wtedy każda skończona podgrupa M(S) może być zrealizowana jako grupa automorfizmów powierzchni Riemanna rodzaju g. Wniosek Maksymalny rzad podgrupy skończonej M(S): 84(g 1) Maksymalny rzad elementu grupy M(S): 4g + 2

18 Powierzchnie Riemanna Twierdzenie (Kerckhoff 1983) S orientowalna zamknięta powierzchnia rodzaju g. Wtedy każda skończona podgrupa M(S) może być zrealizowana jako grupa automorfizmów powierzchni Riemanna rodzaju g. Wniosek Maksymalny rzad podgrupy skończonej M(S): 84(g 1) Maksymalny rzad elementu grupy M(S): 4g + 2

19 Powierzchnie Riemanna Twierdzenie (Armstrong 1968) Niech X jednospójna i lokalnie zwarta. Jeżeli G działa nieciagle (z punktami stałymi) na X to π 1 (X/G) = G/T, gdzie T-podgrupa normalna generowana przez elementy posiadajace punkty stałe. Twierdzenie (Maclachlan 1971) S orientowalna zamknięta powierzchnia rodzaju g. Wtedy M(S) jest skończenie generowana przez elementy skończonego rzędu. Wniosek (Maclachlan 1971) Przestrzeń moduli struktur powierzchni Riemanna na S jest jednospójna.

20 Powierzchnie Riemanna Twierdzenie (Armstrong 1968) Niech X jednospójna i lokalnie zwarta. Jeżeli G działa nieciagle (z punktami stałymi) na X to π 1 (X/G) = G/T, gdzie T-podgrupa normalna generowana przez elementy posiadajace punkty stałe. Twierdzenie (Maclachlan 1971) S orientowalna zamknięta powierzchnia rodzaju g. Wtedy M(S) jest skończenie generowana przez elementy skończonego rzędu. Wniosek (Maclachlan 1971) Przestrzeń moduli struktur powierzchni Riemanna na S jest jednospójna.

21 Powierzchnie Riemanna Twierdzenie (Armstrong 1968) Niech X jednospójna i lokalnie zwarta. Jeżeli G działa nieciagle (z punktami stałymi) na X to π 1 (X/G) = G/T, gdzie T-podgrupa normalna generowana przez elementy posiadajace punkty stałe. Twierdzenie (Maclachlan 1971) S orientowalna zamknięta powierzchnia rodzaju g. Wtedy M(S) jest skończenie generowana przez elementy skończonego rzędu. Wniosek (Maclachlan 1971) Przestrzeń moduli struktur powierzchni Riemanna na S jest jednospójna.

22 Inne zbiory generatorów S orientowalna zamknięta powierzchnia rodzaju g. Twierdzenie (Korkmaz 2003) M(S) jest generowana przez dwa elementy skończonego rzędu. Twierdzenie (S. 2004) M ± (S) jest generowana przez trzy symetrie.

23 Inne zbiory generatorów S orientowalna zamknięta powierzchnia rodzaju g. Twierdzenie (Korkmaz 2003) M(S) jest generowana przez dwa elementy skończonego rzędu. Twierdzenie (S. 2004) M ± (S) jest generowana przez trzy symetrie.

24 Inne aspekty Podgrupa Torelli i sfery homologiczne. Rozwłóknienia Lefschetza. Out(F n ) Grupy warkoczy. Klasyfikacja Thurstona elementów M(S).

25 Inne aspekty Podgrupa Torelli i sfery homologiczne. Rozwłóknienia Lefschetza. Out(F n ) Grupy warkoczy. Klasyfikacja Thurstona elementów M(S).

26 Inne aspekty Podgrupa Torelli i sfery homologiczne. Rozwłóknienia Lefschetza. Out(F n ) Grupy warkoczy. Klasyfikacja Thurstona elementów M(S).

27 Inne aspekty Podgrupa Torelli i sfery homologiczne. Rozwłóknienia Lefschetza. Out(F n ) Grupy warkoczy. Klasyfikacja Thurstona elementów M(S).

28 Inne aspekty Podgrupa Torelli i sfery homologiczne. Rozwłóknienia Lefschetza. Out(F n ) Grupy warkoczy. Klasyfikacja Thurstona elementów M(S).

29 1 Definicje i przykłady 2 Zastosowania 3 Skręcenia Dehna

30 Geometryczny indeks przecięcia Stwierdzenie a, b okręgi na powierzchni orientowalnej. Wtedy I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2 gdzie I(a, b) jest geometrycznym indeksem przecięcia.

31 Geometryczny indeks przecięcia Stwierdzenie a, b okręgi na powierzchni orientowalnej. Wtedy I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2 gdzie I(a, b) jest geometrycznym indeksem przecięcia. Przykład

32 Geometryczny indeks przecięcia Stwierdzenie a, b okręgi na powierzchni orientowalnej. Wtedy I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2 gdzie I(a, b) jest geometrycznym indeksem przecięcia. Przykład

33 Geometryczny indeks przecięcia Stwierdzenie a, b okręgi na powierzchni orientowalnej. Wtedy I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2 gdzie I(a, b) jest geometrycznym indeksem przecięcia. Przykład

34 Własności skręceń Stwierdzenie a nietrywialny" okrag na powierzchni orientowalnej. Wtedy t a ma nieskończony rzad.

35 Własności skręceń Stwierdzenie a nietrywialny" okrag na powierzchni orientowalnej. Wtedy t a ma nieskończony rzad. Dowód. Na mocy wzoru I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2, wystarczy skonstruować okrag b taki, że I(a, b) > 0.

36 Własności skręceń Stwierdzenie a nietrywialny" okrag na powierzchni orientowalnej. Wtedy t a ma nieskończony rzad. Dowód. Na mocy wzoru I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2, wystarczy skonstruować okrag b taki, że I(a, b) > 0. a rozdzielajaca:

37 Własności skręceń Stwierdzenie a nietrywialny" okrag na powierzchni orientowalnej. Wtedy t a ma nieskończony rzad. Dowód. Na mocy wzoru I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2, wystarczy skonstruować okrag b taki, że I(a, b) > 0. a rozdzielajaca: a nierozdzielajaca:

38 Własności skręceń Stwierdzenie j, k niezerowe liczby całkowite, a, b nietrywialne" okręgi. Jeżeli t j a = t k b to a b±1 oraz j = k. Dowód. Jeżeli I(a, b) 0 to I(t j a(b), b) = j I(a, b) 2 > 0 I(t k b(b), b) = I(b, b) = 0 Zatem I(a, b) = 0. Gdyby a b ±1, to można skonstruować okrag c taki, że: I(a, c) > 0 oraz I(b, c) = 0. Wtedy: I(t j a(c), c) = j I(a, c) 2 > 0 I(t k b(c), c) = I(b, c) = 0

39 Własności skręceń Stwierdzenie j, k niezerowe liczby całkowite, a, b nietrywialne" okręgi. Jeżeli t j a = t k b to a b±1 oraz j = k. Dowód. Jeżeli I(a, b) 0 to I(t j a(b), b) = j I(a, b) 2 > 0 I(t k b(b), b) = I(b, b) = 0 Zatem I(a, b) = 0. Gdyby a b ±1, to można skonstruować okrag c taki, że: I(a, c) > 0 oraz I(b, c) = 0. Wtedy: I(t j a(c), c) = j I(a, c) 2 > 0 I(t k b(c), c) = I(b, c) = 0

40 Własności skręceń Stwierdzenie j, k niezerowe liczby całkowite, a, b nietrywialne" okręgi. Jeżeli t j a = t k b to a b±1 oraz j = k. Dowód. Jeżeli I(a, b) 0 to I(t j a(b), b) = j I(a, b) 2 > 0 I(t k b(b), b) = I(b, b) = 0 Zatem I(a, b) = 0. Gdyby a b ±1, to można skonstruować okrag c taki, że: I(a, c) > 0 oraz I(b, c) = 0. Wtedy: I(t j a(c), c) = j I(a, c) 2 > 0 I(t k b(c), c) = I(b, c) = 0

41 Własności skręceń Stwierdzenie j, k niezerowe liczby całkowite, a, b nietrywialne" okręgi. Jeżeli t j a = t k b to a b±1 oraz j = k. Dowód. Jeżeli I(a, b) 0 to I(t j a(b), b) = j I(a, b) 2 > 0 I(t k b(b), b) = I(b, b) = 0 Zatem I(a, b) = 0. Gdyby a b ±1, to można skonstruować okrag c taki, że: I(a, c) > 0 oraz I(b, c) = 0. Wtedy: I(t j a(c), c) = j I(a, c) 2 > 0 I(t k b(c), c) = I(b, c) = 0

42 Własności skręceń Stwierdzenie j, k niezerowe liczby całkowite, a, b nietrywialne" okręgi. Jeżeli t j a = t k b to a b±1 oraz j = k. Dowód. Jeżeli I(a, b) 0 to I(t j a(b), b) = j I(a, b) 2 > 0 I(t k b(b), b) = I(b, b) = 0 Zatem I(a, b) = 0. Gdyby a b ±1, to można skonstruować okrag c taki, że: I(a, c) > 0 oraz I(b, c) = 0. Wtedy: I(t j a(c), c) = j I(a, c) 2 > 0 I(t k b(c), c) = I(b, c) = 0

43 Powierzchnie nieorientowalne Przykład I(a, b) = 2 Zatem wzór I(t n a(b), b) = n I(a, b) 2 nie jest prawdziwy na powierzchniach nieorientowalnych.

44 Powierzchnie nieorientowalne Przykład I(a, b) = 2 I(t a (b), b) = Zatem wzór I(t n a(b), b) = n I(a, b) 2 nie jest prawdziwy na powierzchniach nieorientowalnych.

45 Powierzchnie nieorientowalne Przykład I(a, b) = 2 I(t a (b), b) = 2 Zatem wzór I(t n a(b), b) = n I(a, b) 2 nie jest prawdziwy na powierzchniach nieorientowalnych.

46 Powierzchnie nieorientowalne Przykład I(a, b) = 2 I(t a (b), b) = 2 Zatem wzór I(t n a(b), b) = n I(a, b) 2 nie jest prawdziwy na powierzchniach nieorientowalnych.

47 Graf Γ(a, b) a, b dwustronne, nietrywialne" okręgi takie, że I(a, b) = a b.

48 Graf Γ(a, b) a, b dwustronne, nietrywialne" okręgi takie, że I(a, b) = a b. Wierzchołki Γ(a, b): jednostronne odcinki" b względem a.

49 Graf Γ(a, b) a, b dwustronne, nietrywialne" okręgi takie, że I(a, b) = a b. Wierzchołki Γ(a, b): jednostronne odcinki" b względem a. Krawędzie Γ(a, b): p i q sa połaczone krawędzia jeżeli sa sasiednie".

50 Twierdzenie (S. 2006) k 1,..., k u liczby wierzchołków w składowych spójności grafu Γ(a, b), n 0. Wtedy u I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2 i=1 k i 2

51 Twierdzenie (S. 2006) k 1,..., k u liczby wierzchołków w składowych spójności grafu Γ(a, b), n 0. Wtedy u I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2 Przykład i=1 k i 2 I(a, b) = 2 Γ(a, b) = dwa izolowane wierzchołki k 1 = 1, k 2 = 1 I(t a (b), b) = I(a, b) 2 2 = 2.

52 Twierdzenie (S. 2006) k 1,..., k u liczby wierzchołków w składowych spójności grafu Γ(a, b), n 0. Wtedy u I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2 Przykład i=1 k i 2 I(a, b) = 2 Γ(a, b) = dwa izolowane wierzchołki k 1 = 1, k 2 = 1 I(t a (b), b) = I(a, b) 2 2 = 2.

53 Twierdzenie (S. 2006) k 1,..., k u liczby wierzchołków w składowych spójności grafu Γ(a, b), n 0. Wtedy u I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2 Przykład i=1 k i 2 I(a, b) = 2 Γ(a, b) = dwa izolowane wierzchołki k 1 = 1, k 2 = 1 I(t a (b), b) = I(a, b) 2 2 = 2.

54 Twierdzenie (S. 2006) k 1,..., k u liczby wierzchołków w składowych spójności grafu Γ(a, b), n 0. Wtedy u I(ta(b), n b) = n I(a, b) 2 Przykład i=1 k i 2 I(a, b) = 2 Γ(a, b) = dwa izolowane wierzchołki k 1 = 1, k 2 = 1 I(t a (b), b) = I(a, b) 2 2 = 2.

55 Zastosowania Dzięki Twierdzeniu udało się Wykazać, różne własności skręceń. Wyliczyć centrum grupy M(S). Wyznaczyć generatory grupy M(S) w przypadku powierzchni z brzegiem i nakłuciami. Wyliczyć abelianizację grupy M(S).

56 Zastosowania Dzięki Twierdzeniu udało się Wykazać, różne własności skręceń. Wyliczyć centrum grupy M(S). Wyznaczyć generatory grupy M(S) w przypadku powierzchni z brzegiem i nakłuciami. Wyliczyć abelianizację grupy M(S).

57 Zastosowania Dzięki Twierdzeniu udało się Wykazać, różne własności skręceń. Wyliczyć centrum grupy M(S). Wyznaczyć generatory grupy M(S) w przypadku powierzchni z brzegiem i nakłuciami. Wyliczyć abelianizację grupy M(S).

58 Zastosowania Dzięki Twierdzeniu udało się Wykazać, różne własności skręceń. Wyliczyć centrum grupy M(S). Wyznaczyć generatory grupy M(S) w przypadku powierzchni z brzegiem i nakłuciami. Wyliczyć abelianizację grupy M(S).

59 Dziękuję za uwagę.