Grupa klas odwzorowań powierzchni

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Grupa klas odwzorowań powierzchni"

Transkrypt

1 Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

2 Grupa klas odwzorowań (mapping class group) to pewna grupa stowarzyszona z powierzchnią (lub ogólniej, z dowolną przestrzenią topologiczną). Odgrywa ona ważną rolę w następujących działach matematyki: topologia teoria grup geometria analiza zespolona Badanie grup klas odwzorowań zostało zapoczątkowane w latach 20-tych XX w. przez Maxa Dehna i Jakoba Nielsena. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

3 Rozmaitości topologiczne Definicja n-wymiarową rozmaitością nazywamy przestrzeń topologiczną Hausdorffa, której każdy punkt posiada otwarte otoczenie homeomorficzne z otwartą kulą jednostkową w R n : U n = {x R n : x < 1}. Przykłady: 1 dowolny otwarty podzbiór R n 2 S n = {x R n+1 : x = 1} 3 Jeżeli M jest m-wymiarową rozmaitością, a N jest n-wymiarową rozmaitością, to iloczyn kartezjański M N jest (m + n)-wymiarową rozmaitością. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

4 Powierzchnie Definicja Powierzchnią nazywamy 2-wymiarową rozmaitość. Będą nas interesować wyłącznie powierzchnie spójne i zwarte. Przykłady: 1 sfera S 2 = {x R 3 : x = 1} 2 torus T 2 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

5 4 różne definicje torusa 1 iloczyn kartezjański dwóch okręgów 2 powierzchnia obrotowa w R 3 powstająca przez obrót okręgu (x 2) 2 + y 2 = 1 na płaszczyźnie xy wokół osi y 3 przestrzeń powstająca przez sklejenie naprzeciwległych boków kwadratu. 4 przestrzeń orbit R 2 /Z 2 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

6 Torus jako przestrzeń orbit Grupa Z 2 działa na płaszczyźnie R 2 za pomocą przesunięć: dla (x, y) R 2 i (a, b) Z 2. (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) Przestrzenią orbit tego działania nazywamy przestrzeń ilorazową R 2 /Z 2, powstającą przez utożsamienie wszystkich punktów płaszczyzny różniących się o przesunięcie o wektor z Z 2. (x, y) (x, y ) (x x, y y) Z 2 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

7 Torus jako przestrzeń orbit Grupa Z 2 działa na płaszczyźnie R 2 za pomocą przesunięć: dla (x, y) R 2 i (a, b) Z 2. (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) Przestrzenią orbit tego działania nazywamy przestrzeń ilorazową R 2 /Z 2, powstającą przez utożsamienie wszystkich punktów płaszczyzny różniących się o przesunięcie o wektor z Z 2. (x, y) (x, y ) (x x, y y) Z 2 Uwaga. Powyższe 4 definicje torusa są topologicznie równoważne, tzn. definiują homeomorficzne przestrzenie. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

8 (0, 1) (1, 1) (0, 0) (1, 0) Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

9 Płaszczyzna rzutowa Płaszczyzna rzutowa RP 2 jest to powierzchnia powstająca przez utożsamienie antypodycznych punktów na sferze S 2. RP 2 = S 2 / gdzie x x Rozważmy pierścień otaczający równik sfery: {(x, y, z) S 2 : z 1/4} Po utożsamieniu antypodycznych punktów powstaje z niego wstęga Möbiusa. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

10 Płaszczyzna rzutowa Płaszczyzna rzutowa RP 2 jest to powierzchnia powstająca przez utożsamienie antypodycznych punktów na sferze S 2. RP 2 = S 2 / gdzie x x Rozważmy pierścień otaczający równik sfery: {(x, y, z) S 2 : z 1/4} Po utożsamieniu antypodycznych punktów powstaje z niego wstęga Möbiusa. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

11 Orientacja Definicja Powierzchnię nazywamy nieorientowalną jeżeli zawiera wstęgę Möbiusa, a orientowalną w przeciwnym wypadku. Na powierzchni orientowalnej możemy ustalić, dla każdego podzbioru U homeomorficznego z otwartym dyskiem na płaszczyźnie, którą z dwóch możliwych orientacji okręgu zawartego w U uznajemy za dodatnią, w taki sposób, że jeżeli okrąg (wraz z otoczeniem U) będzie się poruszał w sposób ciągły po powierzchni, to będzie on przez cały czas zorientowany dodatnio. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

12 Suma spójna Mając dane dwie powierzchnie A i B, ich sumą spójną nazywamy powierzchnię A#B powstającą w następujący sposób: Wycinamy z obu powierzchni mały dysk, a następnie sklejamy powierzchnie ze sobą wzdłuż brzegów wyciętych dysków. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

13 Własności sumy spójnej Z dokładnością do homeomorfizmu, A#B nie zależy od wyboru dysków użytych w konstrukcji, ani od wyboru sklejenia. Suma spójna ma następujące własności, gdzie L = P należy rozumieć jako L jest homeomorficzne z P : A#B = B#A (A#B)#C = A#(B#C) A#S 2 = A Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

14 Klasyfikacja zwartych powierzchni Twierdzenie Dowolna spójna i zwarta powierzchnia jest homeomorficzna z jedną z następujących: 1 sfera S 2 2 suma spójna g torusów dla pewnego g 1 3 suma spójna g płaszczyzn rzutowych dla pewnego g 1 Powierzchnie z punktów 1 i 2 są orientowalne, a powierzchnia z punktu 3 jest nieorientowalna. Liczbę naturalną g występującą w punktach 2 i 3 nazywamy rodzajem powierzchni (przyjmujemy, że sfera ma rodzaj 0). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

15 Orientowalne, zwarte powierzchnie Będziemy oznaczać przez S g dowolną powierzchnię homeomorficzną z sumą spójną g torusów. Na mocy poprzedniego twierdzenia, dowolna spójna, zwarta i orientowalna powierzchnia jest homeomorficzna z S g dla pewnego g 0 (przyjmujemy S 0 = S 2 ). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

16 Homeomorfizmy zachowujące orientację Definicja Ustalmy dowolną orientację powierzchni S g. Mówimy, że homeomorfizm f : S g S g zachowuje orientację, jeżeli dla każdego podzbioru U S g homeomorficznego z otwartym dyskiem na płaszczyźnie i okręgu c U zorientowanego dodatnio, f (c) również jest zorientowany dodatnio. Wszystkie homeomorfizmy f : S g S g zachowujące orientację tworzą grupę z działaniem składania. Grupę tą oznaczamy Homeo + (S g ). Elementem neutralnym w Homeo + (S g ) jest identyczność id(x) = x. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

17 Homotopia Definicja Dwa ciągłe odwzorowania f 0, f 1 : X Y są homotopijne, jeżeli istnieje takie ciągłe odwzorowanie H : [0, 1] X Y, że H(0, x) = f 0 (x), H(1, x) = f 1 (x) dla każdego x X. Powyższe odwzorowanie H nazywamy homotopią między f 0 i f 1. Przykład. Niech l będzie dowolną prostą w R 3 przechodzącą przez punkt (0, 0, 0). Dla dowolnego ϕ [0, 2π) niech f l,ϕ Homeo + (S 2 ) będzie obrotem S 2 wokół osi l o kąt ϕ. Definiujemy H : [0, 1] S 2 S 2 wzorem H(t, x) = f l,tϕ (x). Takie H jest homotopią między f l,ϕ i identycznością. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

18 Klasy homotopii odwzorowań Homotopijność jest relacją równoważności w zbiorze ciągłych odwzorowań X Y. Jej klasy abstrakcji nazywamy klasami homotopii. Przykład. Rozważmy okrąg S 1 = {z C: z = 1}. Dowolne ciągłe odwzorowanie f : S 1 S 1 jest hometopijne z odwzorowaniem postaci z z n dla pewnego (jedynego) n Z. Liczbę n nazywamy stopniem f i oznaczamy deg(f ). Pojęcie stopnia uogólnia się na odwzorowania S n S n dla n > 1. Mamy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość { } klasy homotopii odwzorowań S n S n {liczby całkowite} f : S n S n jest homeomorfizmem deg(f ) = ±1. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

19 Grupa klas odwzorowań Wszystkie homeomorfizmy S g S g homotopijne z identycznością tworzą podgrupę normalną grupy Homeo + (S g ), którą oznaczamy Homeo 0 (S g ). Grupa klas odwzorowań powierzchni S g to grupa ilorazowa Mod(S g ) = Homeo + (S g )/Homeo 0 (S g ) Jej elementami są klasy homotopii homeomorfizmów zachowujących orientację. Przykład Jeżeli f : S 2 S 2 jest homeomorfizmem zachowującym orientację, to deg(f ) = 1, zatem f jest homotopijne z identycznością. Stąd Homeo + (S 2 ) = Homeo 0 (S 2 ), czyli Mod(S 2 ) jest grupą trywialną. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

20 Przykład nietrywialnego elementu Mod(S g ) Niech g 1. Powierzchnię S g możemy otrzymać przez sklejenie naprzeciwległych boków (4g + 2)-kąta foremnego. Obracając ten (4g + 2)-kąt wokół środka ciężkości o kąt 2nπ/(4g + 2) dla n = 1, 2,..., 4g + 1 otrzymujemy nietrywialne elementy Mod(S g ). Przykład dla g = 2: Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

21 Grupa SL 2 (Z) Definiujemy {( ) a b SL 2 (Z) = c d : a, b, c, d Z; ad bc = 1 } Jest to grupa z działaniem mnożenia macierzy. Każdej macierzy A SL 2 (Z) odpowiada odwzorowanie liniowe L A : R 2 R 2 (takie, że A jest macierzą L A w bazie standardowej) L A (x, y) = (x, y ) A [ ] x = y [ ] x y Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

22 Mod(S 1 ) SL 2 (Z) Rozważmy torus S 1 jako przestrzeń ilorazową R 2 /, gdzie (x, y) (x, y ) (x x, y y) Z 2 Dla dowolnego A SL 2 (Z) i dowolnych (x, y) R 2, (a, b) Z 2 mamy L A (x + a, y + b) = L A (x, y) + L A (a, b) L A (x, y), ponieważ L A (a, b) Z 2. Skoro L A zachowuje klasy abstrakcji relacji, możemy zdefiniować odwzorowanie L A : R 2 / R 2 / wzorem L A [x] = [L A (x)], gdzie [x] oznacza klasę abstrakcji w R 2 / punktu x R 2. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

23 Mod(S 1 ) SL 2 (Z) Własności: L A Homeo + (S 1 ) przyporządkowanie A L A definiuje homomorfizm grup SL 2 (Z) Homeo + (S 1 ) to znaczy L AB = L A L B dla A, B SL 2 (Z). Każdy homeomorfizm f Homeo + (S 1 ) jest homotopijny z L A dla pewnego A SL 2 (Z) L A i L B są homotopijne A = B Wniosek Grupy Mod(S 1 ) i SL 2 (Z) są izomorficzne. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

24 Generatory Definicja Mówimy, że grupa G jest generowana przez zbiór X G, jeżeli każdy jej element daje się zapisać w postaci iloczynu x a 1 1 x a 2 2 x n an, gdzie x i X i a i Z. Jeśli zbiór X jest skończony, to mówimy, że G jest skończenie generowana. Przykład. Dla każdego n 2, grupa SL n (Z) macierzy n n o współczynnikach całkowitych i wyznaczniku 1, jest generowana przez {T ij : 1 i j n}, gdzie T ij jest macierzą, której współczynniki na głównej przekątnej i na pozycji (i, j) są równe 1, a pozostałe współczynniki są równe 0. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

25 Generatory Mod(S 1 ) Grupa SL 2 (Z) jest generowana przez dwie macierze: A = ( ) B = ( ) Stąd wynika, że Mod(S 1 ) jest generowana przez klasy homotopii homeomorfizmów L A i L B. Proste y = 0 i x = 0 są niezmiennicze odpowiednio względem przekształceń L A i L B. Obrazem prostej y = 0 (odp. x = 0) na torusie S 1 = R 2 / jest krzywa zamknięta α (odp. β), homeomorficzna z okręgiem S 1, niezmiennicza względem L A (odp. L B ). Można pokazać, że L A (odp. L B ) jest homotpijne z twistem Dehna względem krzywej α (odp. β). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

26 Twist Dehna Niech α będzie krzywą zamkniętą (homeomorficznym obrazem okręgu) na zorientowanej powierzchni S g. Twistem Dehna (dodatnim) względem krzywej α nazywamy homeomorfizm T α : S g S g zdefiniowany następująco: 1 rozcinamy powierzchnię wzdłuż krzywej α, 2 skręcamy jeden z końców o 360 (w kierunku dodatnim względem ustalonej orientacji), 3 sklejamy z powrotem. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

27 Własności twistów Dehna Będziemy nazywać dodatnim twistem Dehna względem α i oznaczać T α dowolny homeomorfizm homotopijny z T α, jak również całą klasę homotopii (element Mod(S g )). Analogicznie definiuje się ujemny twist Dehna względem α. Jest to element odwrotny do T α w grupie Mod(S g ). Jeżeli α ogranicza dysk w S g, to twist T α jest homotopijny z identycznością, tzn. T α = 1 w Mod(S g ). W przeciwnym przypadku T α ma nieskończony rząd: n>0 T n α 1 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

28 Twisty Dehna jako generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Dehn) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez skończenie wiele twistów Dehna. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

29 Twisty Dehna jako generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Dehn) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez skończenie wiele twistów Dehna. Twierdzenie (Lickorish 1964) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 3g 1 twistów Dehna. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

30 Generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Humphries 1979) Dla g > 1 minimalna liczba twistów Dehna generujących Mod(S g ) jest równa 2g + 1. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

31 Generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Humphries 1979) Dla g > 1 minimalna liczba twistów Dehna generujących Mod(S g ) jest równa 2g + 1. Twierdzenie (Wajnryb 1996) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 2 elementy. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

32 Generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Humphries 1979) Dla g > 1 minimalna liczba twistów Dehna generujących Mod(S g ) jest równa 2g + 1. Twierdzenie (Wajnryb 1996) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 2 elementy. Twierdzenie (Korkmaz 2003) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 2 elementy skończonego rzędu. Rzędy tych elementów są równe 4 i 6 dla g = 1 6 i 10 dla g = 2 4g + 2 dla g 3 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

33 Geometria powierzchni Powierzchnie rodzaju 0 i 1 (sfera i torus) są bardzo wyjątkowe, z powodu geometrii. Twierdzenie (Uniformizacja powierzchni) Dla każdego g 0 istnieje zwarta orientowalna powierzchnia rodzaju g, wyposażona w metrykę riemannowską o stałej krzywiźnie K, przy czym K > 0 g = 0 K = 0 g = 1 K < 0 g 2 (metryka sferyczna) (metryka euklidesowa) (metryka hiperboliczna) Powyższa trychotomia znajduje swoje odzwierciedlenie we własnościach grupy klas odwzorowań. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

34 Skończone podgrupy Homeo + (S g ) i Mod(S g ). Dla dowolnego n N istnieje homeomorfizm S 1 S 1 rzędu n (np. obrót o kąt 2π/n). Natomiast jeżeli A SL 2 (Z) Mod(S 1 ) spełnia A n = I, to n {0, 1, 2, 3, 4, 6}. Twierdzenie Niech g 2 i załóżmy, że G < Homeo + (S g ) jest skończoną podgrupą. Wtedy obcięcie kanonicznego rzutowania Homeo + (S g ) Mod(S g ) do G jest różnowartościowe. Innymi słowy, każda skończona podgrupa Homeo + (S g ) jest izomorficzna z podgrupą Mod(S g ). Co z twierdzeniem odwrotnym? Czy każda skończona podgrupa Mod(S g ) jest izomorficzna z podgrupą Homeo + (S g )? Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

35 Realizacja Nielsena Złóżmy, że x Mod(S g ) ma skończony rząd k i niech f Homeo + (S g ) będzie dowolnym reprezentantem x. Wtedy f k jest homotpijne z identycznością. Czy można wybrać takie f, żeby f k było równe identyczności? Twierdzenie (Nielsen) Złóżmy, że g 2 i x Mod(S g ) ma skończony rząd k. Wtedy istnieje taki reprezentant f Homeo + (S g ), że f ma rząd k. Ponadto, można tak wybrać f, żeby było izometrią względem pewnej metryki hiperbolicznej na S g. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

36 Twierdzenie Kerckhoffa Steven Kerckhoff uogólnił w 1983 roku twierdzenie Nielsena dla dowolnej skończonej grupy. Twierdzenie (Kerckhoff) Złóżmy, że g 2 i G < Mod(S g ) jest skończoną podgrupą. Wtedy istnieje taka podgrupa G < Homeo + (S g ), że kanoniczne rzutowanie Homeo + (S g ) Mod(S g ) obcina się do izomorfizmu G G. Ponadto, można tak wybrać G, żeby była podgrupą izometrii względem pewnej metryki hiperbolicznej na S g. Innymi słowy, każda skończona podgrupa Mod(S g ) pochodzi od skończonej podgrupy Homeo + (S g ). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

37 Ograniczenia Hurwitza i Wimana Twierdzenie Kerckhoffa wraz z klasycznymi twierdzeniami Hurwitza (1893) i Wimana (1895) dotyczącymi izometrii powierzchni hiperbolicznych dają następujące górne ograniczenia na rząd dowolnej skończonej podgrupy Mod(S g ) i rząd skończonej podgrupy cyklicznej. Wniosek Złóżmy, że g 2 i G < Mod(S g ) jest skończoną podgrupą. Wtedy G 84(g 1), a jeżeli G jest cykliczna, to G 4g + 2. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

38 Grupy Hurwitza Twierdzenie Niech G będzie dowolną grupą skończoną. Wtedy G jest izomorficzna z podgrupą Mod(S g ) dla pewnego g 2. Wiadomo, że ograniczenie 84(g 1) jest osiągane dla nieskończenie wielu g oraz nie jest osiągane dla nieskończenie wielu g. Grupę skończoną G, która jest izomorficzna z podgrupą Mod(S g ) dla takiego g 2, że G = 84(g 1), nazywamy grupą Hurwitza Najmniejsza grupa Hurwitza ma rząd 168 (g = 3), a następna 504 (g = 7). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

39 Problem liniowości GL n (C) grupa macierzy nieosobliwych stopnia n o współczynnikach w C. Otwarty problem Niech g 3. Czy Mod(S g ) jest izomorficzna z podgrupą GL n (C) dla pewnego n? Mod(S 1 ) SL 2 (Z) < GL 2 (C) Mod(S 2 ) jest izomorficzna z podgrupą GL 64 (C) (Bigelow-Budney 2001). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

40 Problem liniowości GL n (C) grupa macierzy nieosobliwych stopnia n o współczynnikach w C. Otwarty problem Niech g 3. Czy Mod(S g ) jest izomorficzna z podgrupą GL n (C) dla pewnego n? Mod(S 1 ) SL 2 (Z) < GL 2 (C) Mod(S 2 ) jest izomorficzna z podgrupą GL 64 (C) (Bigelow-Budney 2001). Twierdzenie (Korkmaz 2011) Niech g 3 i n 3g 3. Wtedy Mod(S g ) nie jest izomorficzna z żadną podgrupą GL n (C). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

41 Koniec Dziękuję za uwagę! Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

42 Informacja o obrazkach wykorzystanych w tej prezentacji, które nie są mojego autorstwa i nie są w domenie publicznej: autorem obrazka na slajdzie 10 jest Oleg Alexandrov; autorem obrazka na slajdzie 26 jest Søren Fuglede Jørgensen; Oba obrazki na licencji Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem

Bardziej szczegółowo

Cała prawda o powierzchniach

Cała prawda o powierzchniach Topologia Właściwości geometryczne, niezmiennicze przy ciagłych deformacjach Można: rozciagać giać Nie można: rozcinać złamać Jednak można rozciać wzdłuż linii, a potem skleić wzdłuż tejże linii: rozwiazać

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu widzenia algebraika

Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu widzenia algebraika Instytut Matematyczny PAN Konwersatorium dla doktorantów Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu widzenia algebraika Joanna Jaszuńska IM PAN Warszawa, 10 listopada 2006 Twierdzenie Banacha-Tarskiego z punktu

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 12: Krzywe eliptyczne Gniewomir Sarbicki Rozważać będziemy przestrzeń K n Definicja: x y λ K x = λy. Relację nazywamy różnieniem się o skalar Przykład: [4, 10, 6, 14] [6, 15,

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;

dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory; Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Grupa izometrii płaszczyzny hiperbolicznej

Grupa izometrii płaszczyzny hiperbolicznej Grupa izometrii płaszczyzny hiperbolicznej Arkadiusz Męcel O różnych geometriach 21 października 2008r. UWAGA: Notatki te były pisane szybko i niechlujnie(choć starałem się). Czytelników przepraszam. InwersjewC

Bardziej szczegółowo

Podstawowe struktury algebraiczne

Podstawowe struktury algebraiczne Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2 Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.

Bardziej szczegółowo

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup 1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3 є G - (g 1

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2

Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2 1 Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2 WSTĘP 2 Teoria węzłów to dziedzina matematyki, która wchodzi w skład topologii. Topologia to część matematyki, która zajmuje się badaniem kształtów. Obiektami zainteresowania

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Topologia i geometria różniczkowa

Topologia i geometria różniczkowa Topologia i geometria różniczkowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Marzec 1995 Spis treści

Bardziej szczegółowo

Paradoksalny rozkład kuli

Paradoksalny rozkład kuli Wydział Fizyki UW Katedra Metod Matematycznych Fizyki Paradoksalny rozkład kuli Joanna Jaszuńska Centrum Studiów Zaawansowanych Politechniki Warszawskiej Warszawa, 9 grudnia 2010 Paradoksalny rozkład kuli

Bardziej szczegółowo

Projekt matematyczny

Projekt matematyczny Projekt matematyczny Tomasz Kochanek Uniwersytet Śląski Instytut Matematyki Katowice VI Święto Liczby π 15 marca 2012 r. Tomasz Kochanek (Uniwersytet Śląski) Projekt matematyczny 1 / 32 Wielkie twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0}

Wykład 5. Ker(f) = {v V ; f(v) = 0} Wykład 5 Niech f : V W będzie przekształceniem liniowym przestrzeni wektorowych Wtedy jądrem przekształcenia nazywamy zbiór tych elementów z V, których obrazem jest wektor zerowy w przestrzeni W Jądro

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same

macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same 1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Algebra 1 Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu Definicje i podstawowe własności Definicja 1. Niech X będzie niepustym zbiorem. Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie (funkcję) działające

Bardziej szczegółowo

O centralizatorach skończonych podgrup

O centralizatorach skończonych podgrup O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5

cx cx 1,cx 2,cx 3,...,cx n. Przykład 4, 5 Matematyka ZLic - 07 Wektory i macierze Wektorem rzeczywistym n-wymiarowym x x 1, x 2,,x n nazwiemy ciąg n liczb rzeczywistych (tzn odwzorowanie 1, 2,,n R) Zbiór wszystkich rzeczywistych n-wymiarowych

Bardziej szczegółowo

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:

. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami: 9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań

Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Algebra Liniowa 2 (INF, TIN), MAP1152 Lista zadań Przekształcenia liniowe, diagonalizacja macierzy 1. Podano współrzędne wektora v w bazie B. Znaleźć współrzędne tego wektora w bazie B, gdy: a) v = (1,

Bardziej szczegółowo

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.

3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,. 1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta

Bardziej szczegółowo

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =.

1 Zbiory. 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1 Zbiory 1.1 Kiedy {a} = {b, c}? (tzn. podać warunki na a, b i c) 1.2 Udowodnić, że A {A} A =. 1.3 Pokazać, że jeśli A, B oraz (A B) (B A) = C C, to A = B = C. 1.4 Niech {X t } będzie rodziną niepustych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne Definicja 1. Działaniem dwuargumentowym w niepustym zbiorze A nazywamy każdą funkcję : A A A, tzn. taką funkcję, że zachodzi a,b A (a, b) ((a,

Bardziej szczegółowo

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane

Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie

Bardziej szczegółowo

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0

1 Przestrzeń liniowa. α 1 x α k x k = 0 Z43: Algebra liniowa Zagadnienie: przekształcenie liniowe, macierze, wyznaczniki Zadanie: przekształcenie liniowe, jądro i obraz, interpretacja geometryczna. Przestrzeń liniowa Już w starożytności człowiek

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca. Zestaw 2 Definicja grupy Definicje i oznaczenia grupa zbiór z działaniem łącznym, posiadającym element neutralny, w którym każdy element posiada element odwrotny grupa abelowa (przemienna) grupa, w której

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy Ciała skończone 1. Ciała: podstawy Definicja 1. Każdy zbiór liczb, w którym są wykonalne wszystkie cztery działania z wyjątkiem dzielenia przez 0 i który zawiera więcej niż jedną liczbę, nazywamy ciałem

Bardziej szczegółowo

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:.

Zapisujemy:. Dla jednoczesnego podania funkcji (sposobu przyporządkowania) oraz zbiorów i piszemy:. Funkcja Funkcją (stosuje się też nazwę odwzorowanie) określoną na zbiorze o wartościach w zbiorze nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi dokładnie jednego elementu. nazywamy argumentem, zaś wartością

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii continuów

Wybrane zagadnienia teorii continuów Wybrane zagadnienia teorii continuów Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW Prezentacja wykładu Warszawa, maj 2011, (prezentacja dostępna na stronie http://www.mimuw.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie geometryzacyjne

Twierdzenie geometryzacyjne Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym na XLV Szkole Matematyki Poglądowej, Co mi się podoba, Jachranka, sierpień 2010. Twierdzenie geometryzacyjne Zdzisław POGODA, Kraków Pod koniec lat siedemdziesiątych

Bardziej szczegółowo

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Piotr Suwara 9 czerwca 2013 Nie ma wyznaczonego progu na kwalifikację na zajęcia. Gorąco zachęcam do wysyłania rozwiązań dużo przed terminem wtedy będzie

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Zadania o transferze

Zadania o transferze Maria Donten, 5.12.2007 Zadania o transferze 1. Oznaczenia, założenia i przypomnienia Przez M i M będziemy oznaczać rozmaitości gładkie, przy czym M nakrywa M. Przyjmujemy, że gładkie odwzorowanie p :

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do zgrubnej geometrii

Wprowadzenie do zgrubnej geometrii Wprowadzenie do zgrubnej geometrii Michał Skrzypczak 20 lutego 2008 Spis treści 1 Wstęp 2 2 Przestrzenie metryczne 2 3 Abstrakcyjne przestrzenie zgrubne 3 4 Grupy 5 5 Wymiar asymptotyczny 6 6 Dodatki 7

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu.

Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu. II Interdyscyplinarne Warsztaty Matematyczne p. 1/1 Liczba obrotu i twierdzenie Poincare go o klasyfikacji homeomorfizmów okręgu. Justyna Signerska jussig@wp.pl Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Przekształcenia liniowe

Przekształcenia liniowe Przekształcenia liniowe Zadania Które z następujących przekształceń są liniowe? (a) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (2x, x x 2 ), (b) T : R 2 R 2, T (x, x 2 ) = (x + 3x 2, x 2 ), (c) T : R 2 R, T (x, x 2 )

Bardziej szczegółowo

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego

Spis treści. Przedmowa do wydania piątego Zadania z matematyki wyższej. Cz. 1, [Logika, równania liniowe, wektory, proste i płaszczyzny, ciągi, szeregi, rachunek różniczkowy, funkcje uwikłane, krzywe i powierzchnie] / Roman Leitner, Wojciech Matuszewski,

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2

TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 Twierdzenie Poincaré Bendixsona 1 TwierdzeniePoincaré 1 Bendixsona 2 1 TwierdzeniePoincaré Bendixsona W bieżącym podrozdziale zakładamy, że U jest otwartym podzbiorem płaszczyzny R 2 if:u R 2 jestpolemwektorowymklasyc

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty

A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty A-1. Podaj aksjomaty przestrzeni topologicznej według W. Sierpińskiego: aksjomaty T 1 przestrzeni. Czym ta aksjomatyka różni się od aksjomatyki zbiorów otwartych? A-2. Wyprowadź z aksjomatów topologii

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel

Mechanika. Wykład 2. Paweł Staszel Mechanika Wykład 2 Paweł Staszel 1 Przejście graniczne 0 2 Podstawowe twierdzenia o pochodnych: pochodna funkcji mnożonej przez skalar pochodna sumy funkcji pochodna funkcji złożonej pochodna iloczynu

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści

Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd Warszawa, Spis treści Analiza matematyczna / Witold Kołodziej. wyd. 5. - Warszawa, 2010 Spis treści Wstęp 1. Podstawowe pojęcia mnogościowe 13 1. Zbiory 13 2. Działania na zbiorach 14 3. Produkty kartezjańskie 15 4. Relacje

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

1 Macierze i wyznaczniki

1 Macierze i wyznaczniki 1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)

Bardziej szczegółowo

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

13. Cia la. Rozszerzenia cia l. 59 13. Cia la. Rozszerzenia cia l. Z rozważań poprzedniego paragrafu wynika, że jeżeli wielomian f o wspó lczynnikach w ciele K jest nierozk ladalny, to pierścień ilorazowy K[X]/(f) jest cia lem zawieraja

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 7: Kody korygujące błędy Gniewomir Sarbicki Błędy transmisji i kodowanie nadmiarowe Zakładamy, że przy pewnym małym prawdopodobieństwie ɛ przy transmisji bit zmienia wartość.

Bardziej szczegółowo

Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.

Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał. Definicja Niech F będzie ciałem. Podzbiór L H zbioru F nazywamy podciałem ciała F (piszemy L ă F ), gdy pl, `æ LˆL, æ LˆL q jest ciałem. Jeżeli

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Jednokładność i podobieństwo

Jednokładność i podobieństwo Jednokładność i podobieństwo Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Iloczynem niezerowego wektora u przez liczbę rzeczywistą s 0 nazywamy wektor v spełniający następujące dwa warunki: 1) v =

Bardziej szczegółowo

Grupy generowane przez mep-pary

Grupy generowane przez mep-pary Grupy generowane przez mep-pary Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Szaszkowskiego i Marka Żabki) Zakład Algebry Instytut Matematyki Politechnika Śląska e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl

Bardziej szczegółowo

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.

Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści strona główna 1 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 Geometria analityczna w R 2 Liczby zespolone 4 4 Wielomiany

Bardziej szczegółowo

4 Przekształcenia liniowe

4 Przekształcenia liniowe MIMUW 4. Przekształcenia liniowe 16 4 Przekształcenia liniowe Obok przestrzeni liniowych, podstawowym obiektem algebry liniowej są przekształcenia liniowe. Rozpatrując przekształcenia liniowe między przestrzeniami

Bardziej szczegółowo

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...

a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ... Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Maria Donten. Nr albumu: 209516. Rozmaitości Kummera

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Maria Donten. Nr albumu: 209516. Rozmaitości Kummera Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Maria Donten Nr albumu: 209516 Rozmaitości Kummera Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA w zakresie MATEMATYKI OGÓLNEJ Praca wykonana

Bardziej szczegółowo

Wstęp do Matematyki (2)

Wstęp do Matematyki (2) Wstęp do Matematyki (2) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Własności relacji Jerzy Pogonowski (MEG) Wstęp do Matematyki (2) Własności relacji 1 / 24 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH

STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe 14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe. 14.1. Grupa Galois wielomianu. Definicja 14.1. Niech F będzie ciałem, niech

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów

Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie Spis treści I Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 II Geometria analityczna w R 2 4 III Liczby zespolone 5

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo