Grupa klas odwzorowań powierzchni

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Grupa klas odwzorowań powierzchni"

Transkrypt

1 Grupa klas odwzorowań powierzchni Błażej Szepietowski Uniwersytet Gdański Horyzonty matematyki 2014 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

2 Grupa klas odwzorowań (mapping class group) to pewna grupa stowarzyszona z powierzchnią (lub ogólniej, z dowolną przestrzenią topologiczną). Odgrywa ona ważną rolę w następujących działach matematyki: topologia teoria grup geometria analiza zespolona Badanie grup klas odwzorowań zostało zapoczątkowane w latach 20-tych XX w. przez Maxa Dehna i Jakoba Nielsena. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

3 Rozmaitości topologiczne Definicja n-wymiarową rozmaitością nazywamy przestrzeń topologiczną Hausdorffa, której każdy punkt posiada otwarte otoczenie homeomorficzne z otwartą kulą jednostkową w R n : U n = {x R n : x < 1}. Przykłady: 1 dowolny otwarty podzbiór R n 2 S n = {x R n+1 : x = 1} 3 Jeżeli M jest m-wymiarową rozmaitością, a N jest n-wymiarową rozmaitością, to iloczyn kartezjański M N jest (m + n)-wymiarową rozmaitością. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

4 Powierzchnie Definicja Powierzchnią nazywamy 2-wymiarową rozmaitość. Będą nas interesować wyłącznie powierzchnie spójne i zwarte. Przykłady: 1 sfera S 2 = {x R 3 : x = 1} 2 torus T 2 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

5 4 różne definicje torusa 1 iloczyn kartezjański dwóch okręgów 2 powierzchnia obrotowa w R 3 powstająca przez obrót okręgu (x 2) 2 + y 2 = 1 na płaszczyźnie xy wokół osi y 3 przestrzeń powstająca przez sklejenie naprzeciwległych boków kwadratu. 4 przestrzeń orbit R 2 /Z 2 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

6 Torus jako przestrzeń orbit Grupa Z 2 działa na płaszczyźnie R 2 za pomocą przesunięć: dla (x, y) R 2 i (a, b) Z 2. (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) Przestrzenią orbit tego działania nazywamy przestrzeń ilorazową R 2 /Z 2, powstającą przez utożsamienie wszystkich punktów płaszczyzny różniących się o przesunięcie o wektor z Z 2. (x, y) (x, y ) (x x, y y) Z 2 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

7 Torus jako przestrzeń orbit Grupa Z 2 działa na płaszczyźnie R 2 za pomocą przesunięć: dla (x, y) R 2 i (a, b) Z 2. (x, y) + (a, b) = (x + a, y + b) Przestrzenią orbit tego działania nazywamy przestrzeń ilorazową R 2 /Z 2, powstającą przez utożsamienie wszystkich punktów płaszczyzny różniących się o przesunięcie o wektor z Z 2. (x, y) (x, y ) (x x, y y) Z 2 Uwaga. Powyższe 4 definicje torusa są topologicznie równoważne, tzn. definiują homeomorficzne przestrzenie. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

8 (0, 1) (1, 1) (0, 0) (1, 0) Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

9 Płaszczyzna rzutowa Płaszczyzna rzutowa RP 2 jest to powierzchnia powstająca przez utożsamienie antypodycznych punktów na sferze S 2. RP 2 = S 2 / gdzie x x Rozważmy pierścień otaczający równik sfery: {(x, y, z) S 2 : z 1/4} Po utożsamieniu antypodycznych punktów powstaje z niego wstęga Möbiusa. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

10 Płaszczyzna rzutowa Płaszczyzna rzutowa RP 2 jest to powierzchnia powstająca przez utożsamienie antypodycznych punktów na sferze S 2. RP 2 = S 2 / gdzie x x Rozważmy pierścień otaczający równik sfery: {(x, y, z) S 2 : z 1/4} Po utożsamieniu antypodycznych punktów powstaje z niego wstęga Möbiusa. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

11 Orientacja Definicja Powierzchnię nazywamy nieorientowalną jeżeli zawiera wstęgę Möbiusa, a orientowalną w przeciwnym wypadku. Na powierzchni orientowalnej możemy ustalić, dla każdego podzbioru U homeomorficznego z otwartym dyskiem na płaszczyźnie, którą z dwóch możliwych orientacji okręgu zawartego w U uznajemy za dodatnią, w taki sposób, że jeżeli okrąg (wraz z otoczeniem U) będzie się poruszał w sposób ciągły po powierzchni, to będzie on przez cały czas zorientowany dodatnio. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

12 Suma spójna Mając dane dwie powierzchnie A i B, ich sumą spójną nazywamy powierzchnię A#B powstającą w następujący sposób: Wycinamy z obu powierzchni mały dysk, a następnie sklejamy powierzchnie ze sobą wzdłuż brzegów wyciętych dysków. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

13 Własności sumy spójnej Z dokładnością do homeomorfizmu, A#B nie zależy od wyboru dysków użytych w konstrukcji, ani od wyboru sklejenia. Suma spójna ma następujące własności, gdzie L = P należy rozumieć jako L jest homeomorficzne z P : A#B = B#A (A#B)#C = A#(B#C) A#S 2 = A Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

14 Klasyfikacja zwartych powierzchni Twierdzenie Dowolna spójna i zwarta powierzchnia jest homeomorficzna z jedną z następujących: 1 sfera S 2 2 suma spójna g torusów dla pewnego g 1 3 suma spójna g płaszczyzn rzutowych dla pewnego g 1 Powierzchnie z punktów 1 i 2 są orientowalne, a powierzchnia z punktu 3 jest nieorientowalna. Liczbę naturalną g występującą w punktach 2 i 3 nazywamy rodzajem powierzchni (przyjmujemy, że sfera ma rodzaj 0). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

15 Orientowalne, zwarte powierzchnie Będziemy oznaczać przez S g dowolną powierzchnię homeomorficzną z sumą spójną g torusów. Na mocy poprzedniego twierdzenia, dowolna spójna, zwarta i orientowalna powierzchnia jest homeomorficzna z S g dla pewnego g 0 (przyjmujemy S 0 = S 2 ). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

16 Homeomorfizmy zachowujące orientację Definicja Ustalmy dowolną orientację powierzchni S g. Mówimy, że homeomorfizm f : S g S g zachowuje orientację, jeżeli dla każdego podzbioru U S g homeomorficznego z otwartym dyskiem na płaszczyźnie i okręgu c U zorientowanego dodatnio, f (c) również jest zorientowany dodatnio. Wszystkie homeomorfizmy f : S g S g zachowujące orientację tworzą grupę z działaniem składania. Grupę tą oznaczamy Homeo + (S g ). Elementem neutralnym w Homeo + (S g ) jest identyczność id(x) = x. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

17 Homotopia Definicja Dwa ciągłe odwzorowania f 0, f 1 : X Y są homotopijne, jeżeli istnieje takie ciągłe odwzorowanie H : [0, 1] X Y, że H(0, x) = f 0 (x), H(1, x) = f 1 (x) dla każdego x X. Powyższe odwzorowanie H nazywamy homotopią między f 0 i f 1. Przykład. Niech l będzie dowolną prostą w R 3 przechodzącą przez punkt (0, 0, 0). Dla dowolnego ϕ [0, 2π) niech f l,ϕ Homeo + (S 2 ) będzie obrotem S 2 wokół osi l o kąt ϕ. Definiujemy H : [0, 1] S 2 S 2 wzorem H(t, x) = f l,tϕ (x). Takie H jest homotopią między f l,ϕ i identycznością. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

18 Klasy homotopii odwzorowań Homotopijność jest relacją równoważności w zbiorze ciągłych odwzorowań X Y. Jej klasy abstrakcji nazywamy klasami homotopii. Przykład. Rozważmy okrąg S 1 = {z C: z = 1}. Dowolne ciągłe odwzorowanie f : S 1 S 1 jest hometopijne z odwzorowaniem postaci z z n dla pewnego (jedynego) n Z. Liczbę n nazywamy stopniem f i oznaczamy deg(f ). Pojęcie stopnia uogólnia się na odwzorowania S n S n dla n > 1. Mamy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość { } klasy homotopii odwzorowań S n S n {liczby całkowite} f : S n S n jest homeomorfizmem deg(f ) = ±1. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

19 Grupa klas odwzorowań Wszystkie homeomorfizmy S g S g homotopijne z identycznością tworzą podgrupę normalną grupy Homeo + (S g ), którą oznaczamy Homeo 0 (S g ). Grupa klas odwzorowań powierzchni S g to grupa ilorazowa Mod(S g ) = Homeo + (S g )/Homeo 0 (S g ) Jej elementami są klasy homotopii homeomorfizmów zachowujących orientację. Przykład Jeżeli f : S 2 S 2 jest homeomorfizmem zachowującym orientację, to deg(f ) = 1, zatem f jest homotopijne z identycznością. Stąd Homeo + (S 2 ) = Homeo 0 (S 2 ), czyli Mod(S 2 ) jest grupą trywialną. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

20 Przykład nietrywialnego elementu Mod(S g ) Niech g 1. Powierzchnię S g możemy otrzymać przez sklejenie naprzeciwległych boków (4g + 2)-kąta foremnego. Obracając ten (4g + 2)-kąt wokół środka ciężkości o kąt 2nπ/(4g + 2) dla n = 1, 2,..., 4g + 1 otrzymujemy nietrywialne elementy Mod(S g ). Przykład dla g = 2: Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

21 Grupa SL 2 (Z) Definiujemy {( ) a b SL 2 (Z) = c d : a, b, c, d Z; ad bc = 1 } Jest to grupa z działaniem mnożenia macierzy. Każdej macierzy A SL 2 (Z) odpowiada odwzorowanie liniowe L A : R 2 R 2 (takie, że A jest macierzą L A w bazie standardowej) L A (x, y) = (x, y ) A [ ] x = y [ ] x y Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

22 Mod(S 1 ) SL 2 (Z) Rozważmy torus S 1 jako przestrzeń ilorazową R 2 /, gdzie (x, y) (x, y ) (x x, y y) Z 2 Dla dowolnego A SL 2 (Z) i dowolnych (x, y) R 2, (a, b) Z 2 mamy L A (x + a, y + b) = L A (x, y) + L A (a, b) L A (x, y), ponieważ L A (a, b) Z 2. Skoro L A zachowuje klasy abstrakcji relacji, możemy zdefiniować odwzorowanie L A : R 2 / R 2 / wzorem L A [x] = [L A (x)], gdzie [x] oznacza klasę abstrakcji w R 2 / punktu x R 2. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

23 Mod(S 1 ) SL 2 (Z) Własności: L A Homeo + (S 1 ) przyporządkowanie A L A definiuje homomorfizm grup SL 2 (Z) Homeo + (S 1 ) to znaczy L AB = L A L B dla A, B SL 2 (Z). Każdy homeomorfizm f Homeo + (S 1 ) jest homotopijny z L A dla pewnego A SL 2 (Z) L A i L B są homotopijne A = B Wniosek Grupy Mod(S 1 ) i SL 2 (Z) są izomorficzne. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

24 Generatory Definicja Mówimy, że grupa G jest generowana przez zbiór X G, jeżeli każdy jej element daje się zapisać w postaci iloczynu x a 1 1 x a 2 2 x n an, gdzie x i X i a i Z. Jeśli zbiór X jest skończony, to mówimy, że G jest skończenie generowana. Przykład. Dla każdego n 2, grupa SL n (Z) macierzy n n o współczynnikach całkowitych i wyznaczniku 1, jest generowana przez {T ij : 1 i j n}, gdzie T ij jest macierzą, której współczynniki na głównej przekątnej i na pozycji (i, j) są równe 1, a pozostałe współczynniki są równe 0. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

25 Generatory Mod(S 1 ) Grupa SL 2 (Z) jest generowana przez dwie macierze: A = ( ) B = ( ) Stąd wynika, że Mod(S 1 ) jest generowana przez klasy homotopii homeomorfizmów L A i L B. Proste y = 0 i x = 0 są niezmiennicze odpowiednio względem przekształceń L A i L B. Obrazem prostej y = 0 (odp. x = 0) na torusie S 1 = R 2 / jest krzywa zamknięta α (odp. β), homeomorficzna z okręgiem S 1, niezmiennicza względem L A (odp. L B ). Można pokazać, że L A (odp. L B ) jest homotpijne z twistem Dehna względem krzywej α (odp. β). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

26 Twist Dehna Niech α będzie krzywą zamkniętą (homeomorficznym obrazem okręgu) na zorientowanej powierzchni S g. Twistem Dehna (dodatnim) względem krzywej α nazywamy homeomorfizm T α : S g S g zdefiniowany następująco: 1 rozcinamy powierzchnię wzdłuż krzywej α, 2 skręcamy jeden z końców o 360 (w kierunku dodatnim względem ustalonej orientacji), 3 sklejamy z powrotem. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

27 Własności twistów Dehna Będziemy nazywać dodatnim twistem Dehna względem α i oznaczać T α dowolny homeomorfizm homotopijny z T α, jak również całą klasę homotopii (element Mod(S g )). Analogicznie definiuje się ujemny twist Dehna względem α. Jest to element odwrotny do T α w grupie Mod(S g ). Jeżeli α ogranicza dysk w S g, to twist T α jest homotopijny z identycznością, tzn. T α = 1 w Mod(S g ). W przeciwnym przypadku T α ma nieskończony rząd: n>0 T n α 1 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

28 Twisty Dehna jako generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Dehn) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez skończenie wiele twistów Dehna. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

29 Twisty Dehna jako generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Dehn) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez skończenie wiele twistów Dehna. Twierdzenie (Lickorish 1964) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 3g 1 twistów Dehna. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

30 Generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Humphries 1979) Dla g > 1 minimalna liczba twistów Dehna generujących Mod(S g ) jest równa 2g + 1. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

31 Generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Humphries 1979) Dla g > 1 minimalna liczba twistów Dehna generujących Mod(S g ) jest równa 2g + 1. Twierdzenie (Wajnryb 1996) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 2 elementy. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

32 Generatory Mod(S g ) Twierdzenie (Humphries 1979) Dla g > 1 minimalna liczba twistów Dehna generujących Mod(S g ) jest równa 2g + 1. Twierdzenie (Wajnryb 1996) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 2 elementy. Twierdzenie (Korkmaz 2003) Dla g 1 grupa Mod(S g ) jest generowana przez 2 elementy skończonego rzędu. Rzędy tych elementów są równe 4 i 6 dla g = 1 6 i 10 dla g = 2 4g + 2 dla g 3 Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

33 Geometria powierzchni Powierzchnie rodzaju 0 i 1 (sfera i torus) są bardzo wyjątkowe, z powodu geometrii. Twierdzenie (Uniformizacja powierzchni) Dla każdego g 0 istnieje zwarta orientowalna powierzchnia rodzaju g, wyposażona w metrykę riemannowską o stałej krzywiźnie K, przy czym K > 0 g = 0 K = 0 g = 1 K < 0 g 2 (metryka sferyczna) (metryka euklidesowa) (metryka hiperboliczna) Powyższa trychotomia znajduje swoje odzwierciedlenie we własnościach grupy klas odwzorowań. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

34 Skończone podgrupy Homeo + (S g ) i Mod(S g ). Dla dowolnego n N istnieje homeomorfizm S 1 S 1 rzędu n (np. obrót o kąt 2π/n). Natomiast jeżeli A SL 2 (Z) Mod(S 1 ) spełnia A n = I, to n {0, 1, 2, 3, 4, 6}. Twierdzenie Niech g 2 i załóżmy, że G < Homeo + (S g ) jest skończoną podgrupą. Wtedy obcięcie kanonicznego rzutowania Homeo + (S g ) Mod(S g ) do G jest różnowartościowe. Innymi słowy, każda skończona podgrupa Homeo + (S g ) jest izomorficzna z podgrupą Mod(S g ). Co z twierdzeniem odwrotnym? Czy każda skończona podgrupa Mod(S g ) jest izomorficzna z podgrupą Homeo + (S g )? Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

35 Realizacja Nielsena Złóżmy, że x Mod(S g ) ma skończony rząd k i niech f Homeo + (S g ) będzie dowolnym reprezentantem x. Wtedy f k jest homotpijne z identycznością. Czy można wybrać takie f, żeby f k było równe identyczności? Twierdzenie (Nielsen) Złóżmy, że g 2 i x Mod(S g ) ma skończony rząd k. Wtedy istnieje taki reprezentant f Homeo + (S g ), że f ma rząd k. Ponadto, można tak wybrać f, żeby było izometrią względem pewnej metryki hiperbolicznej na S g. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

36 Twierdzenie Kerckhoffa Steven Kerckhoff uogólnił w 1983 roku twierdzenie Nielsena dla dowolnej skończonej grupy. Twierdzenie (Kerckhoff) Złóżmy, że g 2 i G < Mod(S g ) jest skończoną podgrupą. Wtedy istnieje taka podgrupa G < Homeo + (S g ), że kanoniczne rzutowanie Homeo + (S g ) Mod(S g ) obcina się do izomorfizmu G G. Ponadto, można tak wybrać G, żeby była podgrupą izometrii względem pewnej metryki hiperbolicznej na S g. Innymi słowy, każda skończona podgrupa Mod(S g ) pochodzi od skończonej podgrupy Homeo + (S g ). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

37 Ograniczenia Hurwitza i Wimana Twierdzenie Kerckhoffa wraz z klasycznymi twierdzeniami Hurwitza (1893) i Wimana (1895) dotyczącymi izometrii powierzchni hiperbolicznych dają następujące górne ograniczenia na rząd dowolnej skończonej podgrupy Mod(S g ) i rząd skończonej podgrupy cyklicznej. Wniosek Złóżmy, że g 2 i G < Mod(S g ) jest skończoną podgrupą. Wtedy G 84(g 1), a jeżeli G jest cykliczna, to G 4g + 2. Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

38 Grupy Hurwitza Twierdzenie Niech G będzie dowolną grupą skończoną. Wtedy G jest izomorficzna z podgrupą Mod(S g ) dla pewnego g 2. Wiadomo, że ograniczenie 84(g 1) jest osiągane dla nieskończenie wielu g oraz nie jest osiągane dla nieskończenie wielu g. Grupę skończoną G, która jest izomorficzna z podgrupą Mod(S g ) dla takiego g 2, że G = 84(g 1), nazywamy grupą Hurwitza Najmniejsza grupa Hurwitza ma rząd 168 (g = 3), a następna 504 (g = 7). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

39 Problem liniowości GL n (C) grupa macierzy nieosobliwych stopnia n o współczynnikach w C. Otwarty problem Niech g 3. Czy Mod(S g ) jest izomorficzna z podgrupą GL n (C) dla pewnego n? Mod(S 1 ) SL 2 (Z) < GL 2 (C) Mod(S 2 ) jest izomorficzna z podgrupą GL 64 (C) (Bigelow-Budney 2001). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

40 Problem liniowości GL n (C) grupa macierzy nieosobliwych stopnia n o współczynnikach w C. Otwarty problem Niech g 3. Czy Mod(S g ) jest izomorficzna z podgrupą GL n (C) dla pewnego n? Mod(S 1 ) SL 2 (Z) < GL 2 (C) Mod(S 2 ) jest izomorficzna z podgrupą GL 64 (C) (Bigelow-Budney 2001). Twierdzenie (Korkmaz 2011) Niech g 3 i n 3g 3. Wtedy Mod(S g ) nie jest izomorficzna z żadną podgrupą GL n (C). Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

41 Koniec Dziękuję za uwagę! Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

42 Informacja o obrazkach wykorzystanych w tej prezentacji, które nie są mojego autorstwa i nie są w domenie publicznej: autorem obrazka na slajdzie 10 jest Oleg Alexandrov; autorem obrazka na slajdzie 26 jest Søren Fuglede Jørgensen; Oba obrazki na licencji Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported Błażej Szepietowski (UG) Grupa klas odwzorowań Horyzonty matematyki / 36

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne

Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Topologia Algebraiczna 2 Zadania egzaminacyjne Agnieszka Bojanowska, Stefan Jackowski 9 czerwca 2013 1 Kompleksy łańcuchowe Zad. 1. Niech I będzie odcinkiem w kategorii kompleksów łańcuchowych, czyli kompleksem

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2

Teoria węzłów matematycznych - warkocze. Karolina Krzysztoń 10B2 Teoria węzłów matematycznych - warkocze Karolina Krzysztoń 10B2 Pojęcie węzła W matematyce węzły to zamknięte pętle umieszczone w przestrzeni trójwymiarowej, czyli zaplątane sznurki z połączonymi końcami.

Bardziej szczegółowo

Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2

Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2 1 Teoria węzłów MAGDA BILUT 10B2 WSTĘP 2 Teoria węzłów to dziedzina matematyki, która wchodzi w skład topologii. Topologia to część matematyki, która zajmuje się badaniem kształtów. Obiektami zainteresowania

Bardziej szczegółowo

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii

Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Topologia Algebraiczna - Pomocnik studenta. 1. Język teorii kategorii Agnieszka Bojanowska Stefan Jackowski 24 listopada 2010 1 Podstawowe pojęcia Bedziemy uzywać następujących pojęć i przykładów dotyczących

Bardziej szczegółowo

Teoria ciała stałego Cz. I

Teoria ciała stałego Cz. I Teoria ciała stałego Cz. I 1. Elementy teorii grup Grupy symetrii def. Grupy Zbiór (skończony lub nieskończony) elementów {g} tworzy grupę gdy: - zdefiniowana operacja mnożenia (złożenia) g 1 g 2 = g 3

Bardziej szczegółowo

Topologia i geometria różniczkowa

Topologia i geometria różniczkowa Topologia i geometria różniczkowa Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Marzec 1995 Spis treści

Bardziej szczegółowo

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5

spis treści 1 Zbiory i zdania... 5 wstęp 1 i wiadomości wstępne 5 1 Zbiory i zdania............................ 5 Pojęcia pierwotne i podstawowe zasady 5. Zbiory i zdania 6. Operacje logiczne 7. Definicje i twierdzenia 9. Algebra zbiorów

Bardziej szczegółowo

O centralizatorach skończonych podgrup

O centralizatorach skończonych podgrup O centralizatorach skończonych podgrup GL(n, Z) Rafał Lutowski Instytut Matematyki Uniwersytetu Gdańskiego III Północne Spotkania Geometryczne Olsztyn, 22-23 czerwca 2009 1 Wprowadzenie Grupy podstawowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 9: Grupy skończone Gniewomir Sarbicki Grupy cykliczne Definicja: Jeżeli każdy element grupy G jest postaci a n dla pewnego a G, to mówimy, że grupa G jest grupą cykliczną o

Bardziej szczegółowo

Kombinacje liniowe wektorów.

Kombinacje liniowe wektorów. Kombinacje liniowe wektorów Definicja: Niech V będzie przestrzenią liniową nad ciałem F, niech A V Zbiór wektorów A nazywamy liniowo niezależnym, jeżeli m N v,, v m A a,, a m F [a v + + a m v m = θ a =

Bardziej szczegółowo

1 Określenie pierścienia

1 Określenie pierścienia 1 Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny) Rozdział 1 Pierścienie i ideały Definicja 1.1 Pierścieniem nazywamy trójkę (R, +, ), w której R jest zbiorem niepustym, działania + : R R R i : R R R są dwuargumentowe i spełniają następujące warunki dla

Bardziej szczegółowo

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego

Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Krzywa uniwersalna Sierpińskiego Małgorzata Blaszke Karol Grzyb Streszczenie W niniejszej pracy omówimy krzywą uniwersalną Sierpińskiego, zwaną również dywanem Sierpińskiego. Pokażemy klasyczną metodę

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego

Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Uniwersytet Warmińsko Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki Kierunek: Matematyka Anna Michałek Spektrum pierścienia i topologia Zariskiego Praca magisterska wykonana w zakładzie Algebry

Bardziej szczegółowo

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4)

A,B M! v V ; A + v = B, (1.3) AB = v. (1.4) Rozdział 1 Prosta i płaszczyzna 1.1 Przestrzeń afiniczna Przestrzeń afiniczna to matematyczny model przestrzeni jednorodnej, bez wyróżnionego punktu. Można w niej przesuwać punkty równolegle do zadanego

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x))

Weronika Siwek, Metryki i topologie 1. (ρ(x, y) = 0 x = y) (ρ(x, y) = ρ(y, x)) Weronika Siwek, Metryki i topologie 1 Definicja 1. Załóżmy, że X, ρ: X X [0, ). Funkcja ρ spełnia następujące warunki: 1. x,y X (ρ(x, y) = 0 x = y) 2. 3. (ρ(x, y) = ρ(y, x)) x,y X (ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z,

Bardziej szczegółowo

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne

Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Topologia kombinatoryczna zadania kwalifikacyjne Piotr Suwara 9 czerwca 2013 Nie ma wyznaczonego progu na kwalifikację na zajęcia. Gorąco zachęcam do wysyłania rozwiązań dużo przed terminem wtedy będzie

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie geometryzacyjne

Twierdzenie geometryzacyjne Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym na XLV Szkole Matematyki Poglądowej, Co mi się podoba, Jachranka, sierpień 2010. Twierdzenie geometryzacyjne Zdzisław POGODA, Kraków Pod koniec lat siedemdziesiątych

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH

ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH ZADANIA PRZYGOTOWAWCZE DO EGZAMINU Z UKŁADÓW DYNAMICZNYCH Punkty okresowe, zbiory graniczne, sprzężenia Zadanie 1. Pokazać, że trajektoria (w przód) punktu x w przestrzeni metrycznej X pod działaniem ciągłego

Bardziej szczegółowo

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010

Schemat sprawdzianu. 25 maja 2010 Schemat sprawdzianu 25 maja 2010 5 definicji i twierdzeń z listy 12(po 10 punktów) np. 1. Proszę sformułować twierdzenie Brouwera o punkcie stałym. 2. Niech X będzie przestrzenią topologiczną. Proszę określić,

Bardziej szczegółowo

Wybrane zagadnienia teorii continuów

Wybrane zagadnienia teorii continuów Wybrane zagadnienia teorii continuów Mirosława Reńska, Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW Prezentacja wykładu Warszawa, maj 2011, (prezentacja dostępna na stronie http://www.mimuw.edu.pl/

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 OD RÓWNAŃ DO ODWZOROWAŃ LINIOWYCH Piotr M Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 8, 27112013 Typeset by Jakub Szczepanik Motywacja 2/10 Przechodzimy od rozwiązywania jednego równania

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna

Geometria analityczna Geometria analityczna Paweł Mleczko Teoria Informacja (o prostej). postać ogólna prostej: Ax + By + C = 0, A + B 0, postać kanoniczna (kierunkowa) prostej: y = ax + b. Współczynnik a nazywamy współczynnikiem

Bardziej szczegółowo

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13

Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 Sylabus do programu kształcenia obowiązującego od roku akademickiego 2012/13 (1) Nazwa Algebra liniowa z geometrią (2) Nazwa jednostki prowadzącej Instytut Matematyki przedmiot (3) Kod () Studia Kierunek

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

Przestrzenie liniowe

Przestrzenie liniowe Rozdział 4 Przestrzenie liniowe 4.1. Działania zewnętrzne Niech X oraz F będą dwoma zbiorami niepustymi. Dowolną funkcję D : F X X nazywamy działaniem zewnętrznym w zbiorze X nad zbiorem F. Przykład 4.1.

Bardziej szczegółowo

Jednokładność i podobieństwo

Jednokładność i podobieństwo Jednokładność i podobieństwo Adrian Łydka Bernadeta Tomasz Teoria Definicja 1. Iloczynem niezerowego wektora u przez liczbę rzeczywistą s 0 nazywamy wektor v spełniający następujące dwa warunki: 1) v =

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA)

GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) GEOMETRIA PRZESTRZENNA (STEREOMETRIA) WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. Na początek omówimy

Bardziej szczegółowo

Grupy generowane przez mep-pary

Grupy generowane przez mep-pary Grupy generowane przez mep-pary Witold Tomaszewski (przy współudziale Zbigniewa Szaszkowskiego i Marka Żabki) Zakład Algebry Instytut Matematyki Politechnika Śląska e-mail: Witold.Tomaszewski@polsl.pl

Bardziej szczegółowo

1. Określenie pierścienia

1. Określenie pierścienia 1. Określenie pierścienia Definicja 1. Niech P będzie zbiorem, w którym określone są działania +, (dodawanie i mnożenie). Mówimy, że struktura (P, +, ) jest pierścieniem, jeżeli spełnione są następujące

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm

Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy

Bardziej szczegółowo

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna

Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 5: Krzywe i ich krzywizna P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Maria Donten. Nr albumu: 209516. Rozmaitości Kummera

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki. Maria Donten. Nr albumu: 209516. Rozmaitości Kummera Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Maria Donten Nr albumu: 209516 Rozmaitości Kummera Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA w zakresie MATEMATYKI OGÓLNEJ Praca wykonana

Bardziej szczegółowo

9 Przekształcenia liniowe

9 Przekształcenia liniowe 9 Przekształcenia liniowe Definicja 9.1. Niech V oraz W będą przestrzeniami liniowymi nad tym samym ciałem F. Przekształceniem liniowym nazywamy funkcję ϕ : V W spełniającą warunek (LM) v1,v 2 V a1,a 2

Bardziej szczegółowo

TEORIA WĘZŁÓW. Natalia Grzechnik 10B2

TEORIA WĘZŁÓW. Natalia Grzechnik 10B2 TEORIA WĘZŁÓW Natalia Grzechnik 10B2 Słowem wstępu zastosowanie teorii węzłów Biologiczna rola węzłów w białkach Wyznaczanie topologii białek Kryptografia Biofizyka Opis struktur DNA, RNA, białek DNA a

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy

Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową

Bardziej szczegółowo

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009

Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 Zadania z Algebry liniowej 3 semestr zimowy 2008/2009 1. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K i niech 0 K oraz θ V będą elementem zerowym ciała K i wektorem zerowym przestrzeni V. Posługując

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ Lista zadań dla kursów mających ćwiczenia co dwa tygodnie. Zadania po symbolu potrójne karo omawiane są na ćwiczeniach rzadko, ale warto też poświęcić im nieco uwagi. Przy

Bardziej szczegółowo

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k 1. ... [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1 4. Wykład 4: Grupy rozwiązalne i nilpotentne. Definicja 4.1. Niech (G, ) będzie grupą. Wówczas (1) ciąg podgrup grupy G zdefiniowany indukcyjnie wzorami G (0) = G, G (i) =[G (i 1),G (i 1) ], dla i N nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zastosowania wyznaczników

Zastosowania wyznaczników Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17

Bardziej szczegółowo

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny

Uniwersytet w Białymstoku. Wykład monograficzny Uniwersytet w Białymstoku Wydział Matematyczno-Fizyczny Instytut Matematyki dr hab. Ryszard Andruszkiewicz Wykład monograficzny Wykład monograficzny prowadzony dla studentów V roku matematyki przez dr

Bardziej szczegółowo

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} },

R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, nazywa- Definicja 1. Przestrzenią liniową R n my zbiór wektorów R n = {(x 1, x 2,..., x n ): x i R, i {1,2,...,n} }, z określonymi działaniami dodawania wektorów i mnożenia wektorów przez liczby rzeczywiste.

Bardziej szczegółowo

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.

Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego. . Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21

Bardziej szczegółowo

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora.

W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. 1. Podstawy matematyki 1.1. Geometria analityczna W naukach technicznych większość rozpatrywanych wielkości możemy zapisać w jednej z trzech postaci: skalara, wektora oraz tensora. Skalarem w fizyce nazywamy

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ.

B jest liniowo niezależny V = lin (B) 1. Układ pusty jest bazą przestrzeni trywialnej {θ}. a i v i = i I. b i v i, (a i b i ) v i = θ. 8 Baza i wymiar Definicja 8.1. Bazą przestrzeni liniowej nazywamy liniowo niezależny układ jej wektorów, który generuję tę przestrzeń. Innymi słowy, układ B = (v i ) i I wektorów z przestrzeni V jest bazą

Bardziej szczegółowo

Grupy, pierścienie i ciała

Grupy, pierścienie i ciała Grupy, pierścienie i ciała Definicja: Niech A będzie niepustym zbiorem. Działaniem wewnętrznym (lub, krótko, działaniem) w zbiorze A nazywamy funkcję : A A A. Niech ponadto B będzie niepustym zbiorem.

Bardziej szczegółowo

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ

O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria

Zajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć

Bardziej szczegółowo

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel.

GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne. dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. GRAFIKA KOMPUTEROWA podstawy matematyczne dr inż. Hojny Marcin pokój 406, pawilon B5 E-mail: mhojny@metal.agh.edu.pl Tel. (12) 617 46 37 Plan wykładu 1/4 ZACZNIEMY OD PRZYKŁADOWYCH PROCEDUR i PRZYKŁADÓW

Bardziej szczegółowo

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady

1 Pierścienie i ich homomorfizmy. Ideał, pierścień ilorazowy. Ideały pierwsze i maksymalne, dziedziny i ciała - definicje i przykłady Tekst ten jest dostępny na stronie http://www-usersmatumkpl/ cstefan/ W razie potrzeby tam będą znajdowały się ewentualne poprawki i uzupełnienia 1 Pierścienie i ich homomorfizmy Ideał, pierścień ilorazowy

Bardziej szczegółowo

Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. dr Michał Lorens

Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne. dr Michał Lorens Młodzieżowe Uniwersytety Matematyczne Projekt współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego ODLEGŁOŚĆ NA POWIERZCHNI WIELOŚCIANU dr Michał Lorens 28.04.2012 Projekt

Bardziej szczegółowo

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi. Grupy. Permutacje 1 1 Definicja grupy Niech G będzie zbiorem. Działaniem na zbiorze G nazywamy odwzorowanie (oznaczane, jak mnożenie, przez ) przyporządkowujące każdej parze uporządkowanej (a, b) G G element

Bardziej szczegółowo

Katarzyna Kukuła gr. 10 B2

Katarzyna Kukuła gr. 10 B2 Katarzyna Kukuła gr. 10 B2 Rys. 1 Węzeł. Węzeł to dowolna konformacja liny, której końce zostały złączone. Możemy go otrzymać splatając ze sobą dwa końce dowolnego sznurka. Rys. 2 Tworzenie węzła matematycznego.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ

MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)

Bardziej szczegółowo

Działanie grupy na zbiorze

Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy na zbiorze Definicja 0.1 Niech (G, ) będzie dowolną grupą oraz X niepustym zbiorem, to odwzorowanie : G X X nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X jeślinastępujące warunki są spełnione:

Bardziej szczegółowo

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów

wszystkich kombinacji liniowych wektorów układu, nazywa się powłoką liniową uk ładu wektorów KOINACJA LINIOWA UKŁADU WEKTORÓW Definicja 1 Niech będzie przestrzenią liniową (wektorową) nad,,,, układem wektorów z przestrzeni, a,, współczynnikami ze zbioru (skalarami). Wektor, nazywamy kombinacją

Bardziej szczegółowo

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady

Definicja odwzorowania ciągłego i niektóre przykłady Odwzorowania Pojęcie odwzorowania pomiędzy dwoma zbiorami było już definiowane, ale dawno, więc nie od rzeczy będzie przypomnieć, że odwzorowaniem nazywamy sposób przyporządkowania (niekoniecznie każdemu)

Bardziej szczegółowo

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna

Bardziej szczegółowo

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =

Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A = Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2

Bardziej szczegółowo

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0.

0 + 0 = 0, = 1, = 1, = 0. 5 Kody liniowe Jak już wiemy, w celu przesłania zakodowanego tekstu dzielimy go na bloki i do każdego z bloków dodajemy tak zwane bity sprawdzające. Bity te są w ścisłej zależności z bitami informacyjnymi,

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 DEFINICJE PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 3 Czworokąt to wielokąt o 4 bokach i 4 kątach. Przekątną czworokąta nazywamy odcinek łączący przeciwległe wierzchołki. Wysokością czworokąta nazywamy

Bardziej szczegółowo

3. Model Kosmosu A. Einsteina

3. Model Kosmosu A. Einsteina 19 3. Model Kosmosu A. Einsteina Pierwszym rozwiązaniem równań pola grawitacyjnego w 1917 r. było równanie hiperpowierzchni kuli czterowymiarowej, przy założeniu, że materia kosmiczna tzw. substrat jest

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 LINIOWA NIEZALEŻNOŚĆ, ROZPINANIE I BAZY Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 10, 11.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Geometryczne intuicje Dla pierścienia R = R mamy

Bardziej szczegółowo

Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej.

Liczby Rzeczywiste. Ciągi. Szeregi. Rachunek Różniczkowy i Całkowy Funkcji Jednej Zmiennej. Pytania na egzaminie magisterskim dotyczą głównie zagadnień związanych z tematem pracy magisterskiej. Należy być przygotowanym również na pytania sprawdzające podstawową wiedzę ze wszystkich zaliczonych

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW

ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Łukasz Janus 10B2 ELEMENTY TEORII WĘZŁÓW Elementarne deformacje węzła Równoważność węzłów Węzły trywialne Ruchy Reidemeistera Twierdzenie o równoważności węzłów Grafy Powtórzmy Diagram węzła Węzły reprezentuje

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2

Zmiana baz. Jacek Jędrzejewski 2014. 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 Zmiana baz Jacek Jędrzejewski 2014 Spis treści 1 Macierz przejścia od bazy do bazy 2 2 Wektory a zmiana baz 2 21 Współrzędne wektora względem różnych baz 2 22 Wektory o tych samych współrzędnych względem

Bardziej szczegółowo

Baza w jądrze i baza obrazu ( )

Baza w jądrze i baza obrazu ( ) Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem

Bardziej szczegółowo

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe

Algebry skończonego typu i formy kwadratowe Algebry skończonego typu i formy kwadratowe na podstawie referatu Justyny Kosakowskiej 26 kwietnia oraz 10 i 17 maja 2001 Referat został opracowany w oparciu o prace Klausa Bongartza Criterion for finite

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI

Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie

Bardziej szczegółowo

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA

22. CAŁKA KRZYWOLINIOWA SKIEROWANA CAŁA RZYWOLINIOWA SIEROWANA Niech łuk o równaniach parametrycznych: x x(t), y y(t), a < t < b, będzie łukiem regularnym skierowanym, tzn łukiem w którym przyjęto punkt A(x(a), y(a)) za początek łuku, zaś

Bardziej szczegółowo

Kodowanie węzłów Warkocze Twierdzenie Aleksandra. Dominika Stelmach gr. 10B2

Kodowanie węzłów Warkocze Twierdzenie Aleksandra. Dominika Stelmach gr. 10B2 Kodowanie węzłów Warkocze Twierdzenie Aleksandra Dominika Stelmach gr. 10B2 Teoria węzłów jest rzadkim przykładem dziedziny matematycznej, która współcześnie jest bardzo modna i intensywnie rozwijana.

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra

Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Algebra Wymagania egzaminacyjne z matematyki na studia w Akademii Świętokrzyskiej im. J. Kochanowskiego w Kielcach (wszystkie kierunki) Egzamin wstępny z matematyki na kierunek Matematyka będzie przeprowadzony

Bardziej szczegółowo

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/

Paweł Gładki. Algebra. http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Paweł Gładki Algebra http://www.math.us.edu.pl/ pgladki/ Konsultacje: Środa, 14:00-15:00 Jeżeli chcesz spotkać się z prowadzącym podczas konsultacji, postaraj się powiadomić go o tym przed lub po zajęciach,

Bardziej szczegółowo

Treści zadań Obozu Naukowego OMG

Treści zadań Obozu Naukowego OMG STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że

4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze. ϕ : K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η), taka że 4. O funkcji uwikłanej 4.1. Twierdzenie. Niech będzie dana funkcja f klasy C 1 na otwartym podzbiorze taka że K(x 0, δ) (y 0 η, y 0 + η) R n R, f(x 0, y 0 ) = 0, y f(x 0, y 0 ) 0. Wówczas dla odpowiednio

Bardziej szczegółowo

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L,

Klasyfikator. ˆp(k x) = 1 K. I(ρ(x,x i ) ρ(x,x (K) ))I(y i =k),k =1,...,L, Klasyfikator Jedną z najistotniejszych nieparametrycznych metod klasyfikacji jest metoda K-najbliższych sąsiadów, oznaczana przez K-NN. W metodzie tej zaliczamy rozpoznawany obiekt do tej klasy, do której

Bardziej szczegółowo

Geometria różniczkowa 2 Wersja wstępna. Paweł Grzegorz Walczak

Geometria różniczkowa 2 Wersja wstępna. Paweł Grzegorz Walczak Geometria różniczkowa 2 Wersja wstępna Paweł Grzegorz Walczak 2 Spis treści 1 Scena 5 1.1 Przegląd pojęć topologicznych...................... 5 1.1.1 Pojęcia podstawowe........................ 5 1.1.2

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

1. PODSTAWY TEORETYCZNE

1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych

Bardziej szczegółowo

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO:

KRZYŻÓWKA 2. 11. Może być np. równoboczny lub rozwartokątny. Jego pole to a b HASŁO: KRZYŻÓWKA.Wyznaczają ją dwa punkty.. Jego pole to π r² 3. Jego pole to a a 4.Figura przestrzenna, której podstawą jest dowolny wielokąt, a ściany boczne są trójkątami o wspólnym wierzchołku. 5.Prosta mająca

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

Czworościany ortocentryczne zadania

Czworościany ortocentryczne zadania Czworościany ortocentryczne zadania 1. Wykazać, że nastepujące warunki są równoważne: a) istnieje przecięcie wysokości czworościanu, b) przeciwległe krawędzie są prostopadłe, c) sumy kwadratów długości

Bardziej szczegółowo