Geometria Różniczkowa II wykład piąty

Transkrypt

1 Geometria Różniczkowa II wykład piąty Wykład piąty poświęcony będzie pojęciu całkowalności dystrybucji oraz fundamentalnemu dal tego zagadnienia twierdzeniu Frobeniusa. Przy okazji postanowiłam sprawdzić kim był autor twierdzenia. Oto on: Ferdinand Georg Frobenius (ur. 26 października 849 w Berlinie Charlottenburgu, zm. 3 sierpnia 97 w Berlinie), matematyk niemiecki. Przypomnijmy podstawowe pojęcie Fig. : F.G. Frobenius Definicja Dystrybucją wymiaru k na rozmaitości M wymiaru n nazywamy podzbiór D wiązki stycznej TM taki, że dla każdego x M zbiór D x = T x M D jest k-wymiarową podprzestrzenią wektorową w T x M. Dystrybucja jest różniczkowalna, jeśli dla każdego punktu x istnieje otoczenie U i k pól wektorowych X,..., X k takich, że dla y U D y = X (y),..., X k (y). Szczególnym przypadkiem dystrybucji jest dystrybucja jednowymiarowa rozpięta przez jedno nieznikające pole wektorowe. W takim przypadku wiadomo, że w otoczeniu każdego punktu rozmaitość M utkana jest z jednowymiarowych podrozmaitości mających tę własność, że dystrybucja jest do nich styczna. Te podrozmaitości to obrazy krzywych całkowych pola. Przechodząc od pola wektorowego do dystrybucji gubimy po prostu informację o parametryzacji

2 krzywych całkowych. Interesowało nas będzie, czy dystrybucje wymiaru k > także związane są z rodziną podrozmaitości do których wektory z dystrybucji są styczne. Doprecyzujmy: Definicja 2 Podrozmaitością całkową dystrybucji D nazywamy taką podrozmaitość N M, że dla każdego x N przestrzeń styczna T x N jest podprzestrzenię w D x. Mówimy, że dystrybucja D jest zupełnie całkowalna, jeżeli przez każdy punkt x M przechodzi dokładnie jedna podrozmaitość całkowa wymiaru k równego wymiarowi dystrybucji. Zanim przejdziemy do sformułowania i udowodnienia twierdzenia przyrzyjmy się przykładowi, który pomoże lepiej zrozumieć kwestię całkowalności dystrybucji. Przykład Niech M = R 3. Rozważmy dwuwymiarową dystrybucję D rozpiętą przez X (x, y, z) = x + z z, X 2 (x, y, z) = y + z 2 z. Bez wątpliwości podrozmaitością całkową wymiaru 2 jest płaszczyzna {z = }. Gdyby dystrybucja ta była zupełnie całkowalna, powinniśmy być w stanie znaleźć dwuwymiarowe podrozmaitości całkowe przechodzące przez inne punkty. Sprawdźmy punkt a = (,, ). Oczywiście jeśli taka podrozmaitość istnieje, to należą do niej krzywe całkowe pól X i X 2 przechodzące przez punkt a. Nawet więcej - taką rozmaitość można znaleźć, przynajmniej w otoczeniu a, postępując według następującego planu: z punktu a wypuszczamy krzywą całkową t ϕ t (a) dla pola X, a następnie z każdego punktu γ wypuszczamy krzywe całkowe pola X 2, tzn. s ϕ 2 s(ϕ t (a)). W ten sposób odwzorowanie (s, t) ϕ 2 s(ϕ t (a)) M powinno być lokalną parametryzacją podrozmaitości całkowej naszej dystrybucji w otoczeniu a. Trzeba jeszcze tylko sprawdzić, czy rzeczywiście w punktach innych od a przestrzeń styczna do powstałej powierzchni jest równa dystrybucji. Plan niezły, pora na realizację. Krzywa całkowa pola X przechodząca przez a to t ϕ t (a) = (t,, e t ). Powstała ona jako rozwiązanie układu równań różniczkowych ẋ = ẏ = ż = z z warunkiem początkowym x() =, y() =, z() =. Drugie pole wektorowe jest równoważne układowi równań ẋ = ẏ = ż = z 2 Rozwiązanie zapiszemy w parametrze s z warunkiem początkowym dla s = równym ϕ t (a). Otrzymamy parametryzację dwuwymiarowej powierzchni (nazwijmy ją N): (s, t) (t, s, 2 e t s ).

3 Powierzchnię tę można też opisać równaniem z = e x y. Ze względu na to, że pole X 2 jest niezupełne, dziedzina jest ograniczona ze względu na y, jednak możemy podstawić np x = /2, y = /2 i otrzymamy z = / =. Oznaczmy e /2 α punkt (/2, /2, /α) przez b. Sprawdźmy, czy przestrzeń styczna do powierzchni N w punkcie b i podprzestrzeń D b jest jednakowa. W punkcie b mamy D b = /α zaś przestrzeń styczna do naszej powierzchni to T b N =, (/α 2 )e /2 /α 2, /α 2 Łatwo stwierdzić, że T b N + D b = R 3, zatem T b N D b. Powierzchnia N nie jest podrozmaitością całkową D. Dlaczego tak nam wyszło? Plan był przecież dobry! Podążając za planem posłużyliśmy się najpierw polem X do wyprodukowania krzywej całkowej, a potem polem X 2. A co by było, gdyby użyć tych pól odwrotnie? Gdyby dystrybucja była całkowalna powinniśmy dostać tę samą podrozmaitość całkową. A co wychodzi naprawdę? Startując z X 2 a potem podążając wzdłuż X otrzymujemy powierzchnię M daną równiem x = ex y. Na obrazku (Fig.2) widać, że jakkolwiek obie powierzchnie zawierają a (wspólny punkt po lewej), to jednak są nieco inne. W szczególności punkty po prawej stonie obrazka odpowiadają współrzędnym x = /2 i y = /2. Punkt położony na powierzchni czerwonej to b. Zamiana rolami pól wektorowych w powyższym przykładzie doprowadziła do wyprodukowania innych kandydatów na powierzchnie całkowe. Rozważania zawierające wędrowanie po krzywych całkowych pól wektorowych w rozmaitej kolejności pojawiają się zazwyczaj w kontekście komutatora pól wektorowych. W tej sytuacji nikogo nie zdziwi, że twierdzenie dotyczące całkowalności dystrybucji również się do tego komutatora odwołuje: Twierdzenie (F.G. Frobenius) Dystrybucja D na rozmaitości M jest zupełnie całkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu x M istnieje otoczenie U i układ pól wektorowych X,..., X k rozpinający tę dysytubucję taki, że dla dowolnego y U gdzie α m ij są gładkimi funkcjami na U. [X i, X j ](y) = α m ij (y)x m, 3.

4 Fig. 2: Powierzchnie N (czerwona) i M (niebieska) Własność zamknięcia ze względu na nawias Liego nazywana jest inwolutywnością dystrybucji. Twierdzenie Frobeniusa można więc krótko sformułować mówiąc, że dystrybucja jest zupełnie całkowalna wtedy i tylko wtedy gdy jest inwolutywna. Pozostaje przyjrzeć się dowodowi twierdzenia. Prezentuję go w postaci zaczerpniętej z publikacji Alberta T Lundell a A Short Proof of the Frobenius Theorem Proc. Amer. Math. Soc. vol. 6, No 4 (992). Dowód: Dowodzić będziemy jedynie, że z inwolutywności wynika całkowalność. Twierdzenie odwrotne jest oczywiste. Weźmy więc dowolny układ pól Y,... Y k rozpinający D i zapiszmy go w układzie współrzędnych (y i ) n i=. Dysponujemy zatem układem funkcji gładkich a i j określonych na zbiorze U takich, że Y j = a i j y i. Pola Y j rozpinają D w każdym punkcie U, w szczególności są więc liniowo niezależne. Macierz o wyrazach a i j jest więc maksymalnego rzędu (k) w każdym punkcie U. Przestawiając ewentualnie kolejność współrzędnych zadbamy, aby nieznikającym minorem tej macierzy był ten zaznaczony na czerwono: a a 2... a k a k+ a n a 2 a a k 2 a k+ 2 a n a k a 2 k... a k k a k+ k a n k Czerwoną podmacierz oznaczmy A. Ma ona nieosobliwy wyznacznik, więc A istnieje. Zdefiniujmy pola wektorowe X i wzorem X i = (A ) j i Y j. Pola te rozpinają D oraz są postaci X i = y i + b j i y j, i =... k, j = k +... n. Układ pól (X i ) jest lepszy niż (Y i ), bo pola te nie tylko stanowią inwolutywny układ ale wręcz 4

5 [X i, X j ] =. Sprawdźmy: [X i, X j ] = [ i + b p i y p, y j + b r j y r] = [ y i, y j] + [b p i y p, y j] + [ y i, b r j y r] + [b p i y p, b r j y r] = y j(b p i ) y p + y i(b r j) y r + b p i y p(b r j) y r b r j y r(b p i ) y p Ponieważ p i r przebiegają wartości k +... n to [X i, X j ] y k+,..., y n. Z drugiej strony [X i, X j ] X,..., X k, a przecięcie obu tych przestrzeni jest trywialne. W dalszym ciągu pokażemy, że w takim przypadku istnieje, być może na nieco mniejszym zbiorze, układ współrzędnych (x i ) taki, że X i = x i. Dowód przeprowadzamy używając indukcji względem k. Dla k = fakt, iż istnieje układ współrzędnych w którym pole X jest współrzędnościowe jest treścią poniższego lematu: Lemat Niech Q będzie rozmaitością różniczkową a X polem wektorowym na Q takim, że w ustalonym punkcie p Q X(p). Istnieje wówczas układ współrzędnych (q i ) w pewnym otoczeniu p taki, że X = q. Dowód lematu: Niech dim Q = n Wybierzmy najpierw jakikolwiek układ współrzędnych (u i ) w otoczeniu O punktu p taki, że u i (p) = oraz w punkcie p X(p) = q. Mapę związaną z tym układem współrzędnych oznaczymy przez U, tzn U : O R n, U(x) = (u (x),..., u n (x)). Taki układ współrzędnych zawsze można znaleźć, na przykład dokonując liniowej zamiany zmiennych w dowolnym początkowym układzie współrzędnych. Z polem wektorowym X związana jest jednoparametrowa grupa dyfeomorfizmów ϕ t. Dla pewnego ε oraz pewnego otoczenia W punktu w R n odwzorowanie σ :] ε, ε[ W określone wzorem σ(t, q 2,..., q n ) = ϕ t (U (, q 2,..., q n )) jest dobrze określone i gładkie. Pochodna tego odwzorowania w punkcie R n jest odwzorowaniem liniowym niezdegenerowanym, gdyż Tσ( q ) = X(q) = u, ponadto Tσ( q i) = u i. Wiadomo także, że poza punktem zachodzi Tσ( q ) = X(q). Z twierdzenia o lokalnej odwracalności wynika, że istnieje w pewnym otoczeniu S O punktu p odwzorowanie odwrotne σ : S R n, które może zostać użyte jako mapa szukanego układu współrzędnych. Istotnie bowiem T(σ )(X) = q w całym otoczeniu S. Powracamy do dowodu indukcyjnego Załóżmy teraz, że twierdzenie o istnieniu odpowiedniego układu współrzędnych zachodzi dla k pól wektorowych i sprawdźmy co dzieje się dla wymiaru k. Weźmy więc k pól komutujących X,..., X k i taki układ współrzędnych (v i ) dla których X i = v i dla i =... k. Zapiszmy pole X k w tych współrzędnych: X k = a i v i. Nadal obowiązuje [X i, X j ] =. Zatem dla dowolnego i < k mamy = [X i, X k ] = [ v i, a j v j] = ( v ia j ) v j 5

6 Współczynniki v ia j znikają, co oznacza, że funkcje a j nie zależą od pierwszych k współrzednych. Niech V będzie polem k n V = X k a i v i = a i v i. i= i=k Pole V zależy jedynie od wspołrzędnych v k, v k+,..., v n. Możemy więc dokonać zamiany współrzędnych (v k, v k+,..., v n ) na (x k,..., x n ) w taki sposób, aby V = x k nie zmieniając jednocześnie pierwszych k współrzędnych. Ostatecznie więc biorąc nowe x i dla i > k oraz dla i < k x i = v i otrzymujemy układ współrzędnych dobry dla dystrybucji rozpiętej przez X,... X k, V, która jest oczywiście równa dystrybucji rozpiętej przez X,... X k, X k. To, że i stnieją i jak wyglądają podrozmaitości całkowe dystrybucji D jest teraz oczywiste. 6