ANALIZA WPŁYWU ZASTOSOWANIA REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO NA POZIOM RYZYKA INWESTYCYJNEGO

Transkrypt

1 Stuia Eonomiczne. Zeszyty Nauowe Uniwersytetu Eonomicznego w Katowicach ISSN Nr Informatya i Eonometria 9 Katarzyna Zeug-Żebro Uniwersytet Eonomiczny w Katowicach Wyział Zarzązania Katera Statystyi, Eonometrii i Matematyi atarzyna.zeug-zebro@ue.atowice.pl ANALIZA WPŁYWU ZASTOSOWANIA REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO NA POZIOM RYZYKA INWESTYCYJNEGO Streszczenie: W pracy przeprowazono analizę wpływu zastosowania reuci szumu losowego na poziom ryzya inwestycynego mierzonego nielasyczną miarą ryzya, t. wymiarem fratalnym. Wymiar fratalny est eną z charaterysty ynamii chaotyczne i baa, w aim stopniu analizowany obiet (szereg) wypełnia przestrzeń, w tóre est zanurzony. W inwestycach miara ta oreśla zmienność stopy zwrotu i im więsza e wartość, tym więsze ryzyo związane z inwestowaniem w any instrument finansowy. W celu wyznaczenia wymiaru fratalnego zastosowano metoę segmentowo-wariacyną i analizę R/S. W baaniach po uwagę wzięto finansowe szeregi czasowe złożone z cen zamnięcia wybranych inesów giełowych oraz aci spółe notowanych na GPW w Warszawie. Słowa luczowe: reuca szumu losowego, ryzyo inwestycyne, wymiar fratalny, metoa segmentowo-wariacyna, analiza R/S. JEL Classification: G, C0. Wprowazenie Wieloletnie baania związane z analizą ryzya inwestycynego wyazały, że zastosowanie wymiaru fratalnego, bęącego eną z charaterysty ynamii chaotyczne, ao miary ryzya oraz ao wsparcie w oborze papierów wartościowych o portfela, est istotnym elementem baań otyczących analizy portfelowe [Misiewicz-Nawroca, Zeug-Żebro, 04]. Wynia to z interpretaci tego narzęzia, t. eśli ryzyo est zefiniowane ao zmienność ceny i eśli więsza zmienność oznacza więsze ryzyo, to wyższe wartości wymiaru fra-

2 78 Katarzyna Zeug-Żebro talnego (ao miary zmienności) oreślaą inwestyce barzie ryzyowne [Przeota, Waścińsi, 0]. Rzeczywiste szeregi czasowe, w tym finansowe, cechuą się obecnością szumu losowego. Fat ten może znacząco utrunić trafne ientyfiowanie analizowanych zależności, co uzasania stosowanie meto reuci szumu. Naczęście stosowaną proceurą filtraci est metoa nabliższych sąsiaów zaproponowana przez T. Schreibera [993]. Pierwotnie została ona stworzona w celu prognozowania, ena późniesze prace baawcze poazały, że est ona również obrym narzęziem umożliwiaącym reucę szumu w szeregach czasowych. Celem artyułu est ocena wpływu zastosowania reuci szumu losowego metoą nabliższych sąsiaów na poziom ryzya portfela inwestycynego. Baanie przeprowazono, opieraąc się o nielasyczną miarę ryzya, aą est wymiar fratalny. Do oszacowania tego wymiaru posłużono się metoą segmentowo- -wariacyną oraz analizą R/S. Baania empiryczne przeprowazono na postawie rzeczywistych anych natury eonomiczne finansowe szeregi czasowe utworzone z logarytmów ziennych stóp zwrotu cen zamnięcia WIG, WIG0, WIGBANKI wybranych spółe notowanych na GPW w Warszawie, wchozących w sła inesu giełowego WIG0. Dane obemuą ores o.0.03 r. o r. Obliczenia przeprowazono przy użyciu programów napisanych przez autorę w ęzyu programowania Delphi, paietu Microsoft Excel oraz TISEAN.. Reuca szumu metoą nabliższych sąsiaów Rzeczywiste szeregi czasowe x t to ułay ynamiczne, tóre można przestawić w postaci sumy części eterministyczne x t oraz stochastyczne ξ t (t. szumu losowego słaaącego się z szumu obserwacynego, systemowego lub ich ombinaci): xt = x t + ξ t () Główną przyczyną występowania szumu obserwacynego w szeregach czasowych są błęy pomiaru oraz błęy zaorągleń, natomiast szumu systemowego czynnii egzogeniczne wpływaące na ynamię ułau, tórych ientyfiaca est niemożliwa [Stawici, 993]. Reuca szumu losowego pozwala poznać własności szeregu x t, t. części eterministyczne rzeczywistego szeregu czasowego, na postawie analizy sze- Darmowy program autorstwa H. Kantza i T. Schreibera.

3 Analiza wpływu zastosowania reuci poziomu szumu 79 regu obserwaci x t. Jenym z narzęzi służącym taie filtraci, zasługuącym na wyróżnienie, est metoa nabliższych sąsiaów [Kantz, Schreiber, 997]. Postawą te proceury est reonstruca przestrzeni stanów metoą opóźnień [Taens, 98]. Reonstruca pozwala, na postawie enowymiarowego szeregu czasowego obserwaci, otworzyć przestrzeń stanów ułau ynamicznego. Elementami zreonstruowane przestrzeni stanów są wetory opóźnień, tzw. -historie postaci [Zawazi, 996]: xˆ x, x,..., x () gzie: x t obserwaca szeregu czasowego w momencie t, wymiar zanurzenia, τ opóźnienie czasowe, ( )τ + t N. Do szacowania wielości opóźnienia czasowego naczęście wyorzystue się algorytmy oparte na funci autoorelaci [Nowińsi, 007], natomiast w celu wyznaczenia wartości wymiaru zanurzenia powszechnie stosue się metoę nabliższego pozornego sąsiaa MNPS autorstwa Kennela, Browna, Abarbanela [99; Cao, 00]. Reuca szumu losowego metoą nabliższych sąsiaów, polegaąca na wyznaczaniu wartości x l, < l < N szeregu czasowego x t, przebiega weług następuącego algorytmu [Kantz, Schreiber, 997]: Kro. Dla oszacowanego wymiaru zanurzenia oraz opóźnienia czasowego τ = tworzy się wetor opóźnień ta, aby filtrowana obserwaca x l była eną ze śroowych współrzęnych wetora xˆt, np. wetor o postaci: xˆ la parzyste wartości wymiaru zanurzenia, l ˆ + l x la nieparzyste wartości. t ( ) = t t τ t ( ) τ xˆt Kro. Następnie ustala się K 3 nabliższych sąsiaów (w sensie oległości euliesowe) wetora xˆ : l xˆ v, xˆ v,..., xˆ v (3) 3 Wśró innych meto reonstruci wyróżnić można analizę czynniową wprowazoną przez D.S. Broomheaa i P. Kinga [Broomhea, King, 986] oraz metoę pochonych [Pacar i in., 980]. W literaturze często spotya się postulat, aby liczba nabliższych sąsiaów spełniała warune + K < N [Guégan, Leroux, 009]. ( ) ( )τ

4 80 Katarzyna Zeug-Żebro Kro 3. Ostatecznie na postawie wyznaczonych nabliższych sąsiaów wyznacza się wartość eterministyczną x l : xl = xv (4) i K i= Jenym z narzęzi mierzącym efetywność filtraci szeregu est współczynni poziomu reuci szumu NRL [Orzeszo, 005]. Baa on zależność pomięzy siłą szumu oawanego o ułau a struturą geometryczną ego atratora. Zależność ta polega na pogrubianiu atratora i oalaniu się blisich sobie stanów w stopniu proporconalnym o siły szumu. Współczynni ten wyraża się wzorem: T mi T i= NRL ( ) = (5) T M i T i= gzie m i i M i oznaczaą oległości o i-tego stanu ( historii) o ego nabliższego i naalszego sąsiaa. Stosowanie powyższe miary pozwala na wybór szeregów o naniższym poziomie szumu losowego. W celu ustalenia optymalnego szeregu przeprowaza się reucę szumu losowego oryginalnego szeregu la różnych wymiarów zanurzenia oraz różne ilości nabliższych sąsiaów wetora. xˆt. Wymiar fratalny ao miara ryzya inwestyci Wymiar fratalny est uogólnieniem wymiaru euliesowego i służy o opisu sompliowanych struturalnie obietów geometrycznych, np. szeregów czasowych. Wymiar ten baa, w aim stopniu analizowany obiet (szereg) wypełnia przestrzeń, w tóre est zanurzony [Orzeszo, 00]. Jego cechą charaterystyczną est to, że może on przymować wartości niecałowite. W przypau szeregów szybozmiennych (antypersystentnych 4 ), im wyższy est wymiar fratalny, tym częście można obserwować owracanie się trenu. Z olei la szeregów wolnozmiennych (persystentnych), im niższa wartość tego wymiaru, tym zawiso wzmacniania trenu est silniesze. Z tego wzglęu wymiar fratalny został uznany za istotną charaterystyę szeregów czasowych 4 Dla szeregu antypersystentnego wymiar fratalny est więszy o,5, zaś la szeregu persystentnego D(N),5.

5 Analiza wpływu zastosowania reuci poziomu szumu 8 pochozących z rynu finansowego, pozwalaącą na ocenę ryzya inwestycynego [Bula, 0]. W celu wyznaczenia wymiaru fratalnego obietu geometrycznego A, szacue się minimalną liczbę omniętych hipersześcianów potrzebnych o ego porycia. Wymiar ten można obliczyć, orzystaąc ze wzoru: ln L ( ) ( A, ε ) D A = lim (6) ε ln( ) ε gzie L(A,ε) est minimalną liczbą hipersześcianów o bou ługości ε. W pierwszym rou szacowania wymiaru fratalnego szeregu czasowego {x t } wyznacza się na płaszczyźnie punty o współrzęnych (t, x t ). Następnie, łącząc e oleno ocinami, otrzymue się linię łamaną K. Wymiar fratalny ta sonstruowane łamane K est wymiarem szeregu czasowego... Metoa segmentowo-wariacyna Jeną z napopularnieszych meto szacowania wymiaru fratalnego est metoa wariacyna [Dubuc i in., 989]. Je rozszerzeniem est metoa segmentowo-wariacyna S-W zaproponowana przez M. Zwolanowsą [000]. Weług te metoy wymiar fratalny szeregu czasowego {x,x,,x N } można wyznaczyć, obliczaąc granicę: ln L ( ) ( K, ε ) D N = lim (7) ε 0 ln( ) ε gzie L(K,ε) est minimalną liczbą waratów o bou ługości ε porywaących linię łamaną K. Wzór (7) można przeształcić o prostsze, równoważne postaci, postawiaąc za L(K,ε) następuącą formułę: P ( ) ( K, ε ) L K, ε = (8) ε gzie P(K,ε) est polem porywaącym całą łamaną K. Doatowo można przyąć, że la ostatecznie małych wartości ε prawziwy est wzór: P( K, ε ) ln ε D( N ) (9) ln Algorytm metoy segmentowo-wariacyne powstał na postawie wzoru (9) i przebiega weług następuących roów: ( ) ε

6 8 Katarzyna Zeug-Żebro Kro. W pierwsze oleności, la aże obserwaci szeregu czasowego t {x,x,,x N } należy wyznaczyć punt o współrzęnych, x 5 t, la N t =,,,N, a następnie połączyć te punty ocinami, tworząc linię łamaną K. Kro. Następnie wyznaczona łamana K zostae poryta prostoątami rozpiętymi na n (n, n N), olenymi puntami (rys. ). Otrzymue się N n w ten sposób = 6 prostoątów, aży o postawie =. n N x t K Rys.. Konstruca porycia n puntów linii łamane K N Kro 3. Jeśli iloraz est liczbą całowitą, wtey olene wyznaczone n prostoąty zostaą oznaczone następuąco: P ( n) = [ a ; b ] [ a' ; b' ] (0) gzie: a = ( ), b = a ' = min{ K( x) ; x [ a ; b ]}, b ' = max{ K( x) ; x [ a ; b ]} W przeciwnym wypau, po przeprowazeniu proceury pozostae nieporytych N (n ) ostatnich puntów łamane K. Punty te porywa się N ( n ) oatowym prostoątem o postawie ' = : N 5 6 Pierwsze współrzęne naniesionych puntów są równo oalone o siebie. Symbol [.] oznacza część całowitą liczby.

7 gzie: a' min K Analiza wpływu zastosowania reuci poziomu szumu 83 ( n) = [ b ;] [ a'; b' ] P ' = { ( x) ; x [ b ;]} { ( x) ; x [ b ;]}, b' = max K Kro 4. Następnie należy obliczyć pole porycia linii łamane K zgonie ze wzorem: P K, = b' a' + ' b' a' () = Kro 5. Ostatecznie, przeształcaąc wzór (9) o postaci: ( b' a' ) + ' ( b' a' ) = D( N ) ln ln (3) wymiar fratalny szeregu czasowego zostae oszacowany ao współczynni re- b' a' + ' b' a' = gresi zmiennych ln i ln. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). ().. Analiza przesalowanego zaresu Koleną omawianą technią obliczania wymiaru fratalnego szeregu czasowego {x t } est metoa oparta na wyłaniu Hursta, zwana analizą przesalowanego zaresu lub w srócie analizą R/S. Analiza ta służy również o baania istnienia efetu ługie pamięci i z tego powou stosowana est m.in. o ientyfiaci chaosu w szeregach czasowych. Dla szeregu obserwaci {x,x,,x N } przebiega ona w następuących etapach [Chun, Kim, Kim, 00]: Kro. Szereg {x,x,,x N }zostae przeształcony w ciąg m = N logarytmicznych stóp zwrotu: x + y = log, =,,, N (4) x Kro. Niech T, q N i T q = m, wówczas istniee T poprzeziałów I, aży o ługości q, =,, T. Ponato niech aży słani poprzeziału I bęzie oznaczony przez y i, gzie i =,, q. Śrenia wartość la -tego pociągu wynosi:

8 84 Katarzyna Zeug-Żebro y (5) Kro 3. W olenym etapie aży pociąg zostae scentrowany poprzez oęcie śrenie arytmetyczne: zi = yi y (6) i zefiniowanie ciągu sum częściowych z i : i p i = z l, i =,,, q, =,,, T (7) l= Kro 4. Następnie należy obliczyć rozstępy sumulowanych szeregów czasowych weług wzoru: R = max( pi ) min( pi ) (8) Kro 5. Koleny etap algorytmu to wyznaczanie rozstępów przesalowanych la ażego sumulowanego szeregu czasowego, tzn. aży rozstęp zostae pozielony przez ochylenie stanarowe tego szeregu: α q = R / S (9) gzie: q S = z i. q i= Kro 6. Ostatecznie należy obliczyć: (0) Powyższą proceurę przeprowaza się la różnych ługości szeregu czasowego q, 0 q. W ten sposób otrzymuemy zależność wielości R/S o m ługości szeregu q. Aby wyznaczyć wyłani Hursta, należy zlogarytmować następuącą zależność: H ( R / S) q = cq () gzie: H est wyłaniiem Hursta, c est stałą, a t est wartością oczeiwaną przesalowanego zaresu: ln ( R / S) q ) = lnc + H ln q () Wyłani Hursta est współczynniiem ierunowym regresi liniowe. q i= = q y i ( R / S) = (/ T ) α q T = q

9 Analiza wpływu zastosowania reuci poziomu szumu 85 Wymiar fratalny D(N) szeregu czasowego obliczony na postawie wyłania Hursta H szacue się za pomocą następuącego wzoru [Zwolanowsa, 000]: D(N) = H (3) 3. Wynii baań empirycznych Baaniu poano szeregi finansowe [www ] utworzone z cen zamnięcia inesów giełowych WIG, WIG0, WIG-BANKI oraz wybranych spółe notowanych na GPW w Warszawie wchozących w sła inesu WIG0 (tab. ). Dane obemuą ores o.0.04 r. o r. Analiza wymienionych wyże szeregów czasowych przebiegała w następuących etapach:. Reuca poziomu szumu losowego metoą nabliższych sąsiaów.. Szacowanie wymiaru fratalnego na postawie:.. Analizy R/S;.. Metoy segmentowo-wariacyne; la inesów i pozostałych finansowych szeregów czasowych. 3. Wyznaczenie ochylenia stanarowego stóp zwrotu σ. Zgonie z powyższym schematem, pierwszym etapem baań była reuca poziomu szumu losowego metoą nabliższych sąsiaów 7. Aby oonać filtraci, ustalono wartość czasu opóźnienia τ = oraz wartości wóch parametrów: wymiar zanurzenia =, 3, 5, 7, 0 oraz promień otoczenia ρ = 0,; 0,3; 0,5; ;,5;. W celu oceny reuci poziomu szumu metoą nabliższych sąsiaów wyorzystano miarę NRL (i) 8 la i =, 3,, 0. W tabeli zawarto naniższe wartości współczynnia NRL obliczonego la wybranych szeregów finansowych oraz opowiaaące im wartości wymiaru zanurzenia i promienia otoczenia. Przefiltrowane szeregi oznaczono symbolem NazwaSzeregu_re. 7 8 Reucę szumu przeprowazono przy wyorzystaniu armowego programu TISEAN autorstwa H. Kantza i T. Schreibera. W celu obliczenia współczynnia NRL posłużono się programem autora napisanym w ęzyu programowania Delphi.

10 86 Katarzyna Zeug-Żebro Tabela. Wartości miary NRL la szeregów przefiltrowanych Nazwa szeregu Parametry filtraci ρ NRL WIG_re 3 0,0053 WIG0_re.5 0,0046 WIGBANKI_re,5 0,0049 PKNORLEN_re 5,5 0,009 PKOBP_re 0,5 0,003 PZU_re 7,5 0,0030 KGHM_re 0,0035 ORANGE_re 0 0,007 W olenym rou baań oszacowano wymiar fratalny, wyorzystuąc analizę przesalowanego zaresu i metoę segmentowo-wariacyną. Otrzymane wartości przestawiono w tab. i 3 9, gzie oatowo przestawiono wartości ochylenia stanarowego stóp zwrotu baanych szeregów czasowych. Tabela. Wynii szacowania wymiaru fratalnego i ochylenia stanarowego la szeregów czasowych wybranych inesów giełowych Szereg Wymiar fratalny D* R/S S-W WIG,4360,4686 WIG_re,4360,4686 WIG0,45,5044 WIG0_re,459,5044 WIGBANKI,4534,4430 WIGBANKI_re,4534,4430 σ 0,0093 0,009 0,03 * R/S analiza przesalowanego zaresu. S-W metoa segmentowo-wariacyna. Rezultaty przestawione w tab. poazuą, że w wyniu zastosowania analizy R/S la szeregów czasowych wybranych inesów giełowych uzysano zbliżone wartości wymiaru fratalnego. Dla metoy S-W wartości te są barzie zróżnicowane. Należy również zwrócić uwagę na to, że reuca poziomu szumu losowego w tych szeregach nie wpłynęła na wyni szacowania wymiaru fratalnego. Naniższy poziom ryzya można obserwować w przypau inesu giełowego WIG (analiza R/S i ochylenie stanarowe stóp zwrotu) oraz la WIGBANKI (metoa S-W). 9 W celu oszacowania wymiaru fratalnego na postawie meto R/S i S-W posłużono się programami autora napisanymi w ęzyu programowania Delphi.

11 Analiza wpływu zastosowania reuci poziomu szumu 87 Tabela 3. Wynii szacowania wymiaru fratalnego i ochylenia stanarowego la szeregów czasowych wybranych spółe wchozących w sła inesu WIG0 Szereg Wymiar fratalny D* R/S S-W PKNORLEN,458,445 PKNORLEN_re,4095,4030 PKOBP,4899,4869 PKOBP_re,3587,3903 PZU,4986,48 PZU_re,450,3997 KGHM,498,4030 KGHM_re,496,3996 ORANGEPL,4450,466 ORANGEPL_re,347,983 σ 0,085 0,065 0,057 0,06 0,003 * R/S analiza przesalowanego zaresu. S-W metoa segmentowo-wariacyna. Oszacowane wartości wymiaru fratalnego la przefiltrowanych szeregów czasowych (tab. 3) są zecyowanie niższe. Jeyny wyąte stanowi spóła KGHM, la tóre wartość wymiaru fratalnego uległa zniome zmianie. Wymiar fratalny oszacowany na postawie inesu WIG0 oraz przeciętne wymiary fratalne la spółe tworzących ten ines różnią się o siebie. Nabarzie zbliżone wartości uzysano la szeregów PKNORLEN i ORANGEPL (analiza R/S), PKOBP i PZU (metoa S-W). Świaczy to o tym, że inwestowanie w ace est ta samo ryzyowne, a inwestowanie w portfel, tóry reprezentue ines WIG0. Dla pozostałych spółe otrzymano omienną onluzę, t. inwestowanie w te spółi est mnie lub barzie ryzyowne. Weług raningów przestawionych na rys. otyczących wartości wymiaru fratalnego, naniższym ryzyiem charateryzowały się spółi ORANGEPL i KGHM, nawyższym natomiast spółi PKOBP i PZU. Zasauące są wynii pomiaru ryzya ochyleniem stanarowym, gyż uzysano owrotne wynii niż w przypau szacowania ryzya wymiarem fratalnym, t. inwestyca w spółi PKOBP i PZU est namnie ryzyowna, natomiast nabarzie ryzyowna w spółi ORANGEPL i KGHM. W wyniu reuci poziomu szumu losowego w analizowanych szeregach sytuaca w raningu uległa zmianie. Nawyższe ryzyo można obserwować w przypau spółe KGHM, PKNORLEN i PZU, naniższe la PKOBP i ORANGEPL.

12 88 Katarzyna Zeug-Żebro Rys.. Raning spółe utworzony weług wartości wyznaczonych miar ryzya * Wynii uzysane la przefiltrowanych szer regów. Posumowanie W opracowaniu przeprowazono analizęę ryzya wybranych finansowych szeregów czasowych na postawie wymiaru fratalnego i oc chylenia stanar- owego. W celu osza acowania wymiaru fratalnego posłużono się analizą prze e- salowanego zaresu (R/S) oraz metoą segmentowo-wariacynąą (S-W). Na- stępnie baanie powtórzono, wyorzystuąc w analizie szeregi przefiltrowane metoąą nabliższych sąsiaów. Na postawie uzysanych rezultatów można

13 Analiza wpływu zastosowania reuci poziomu szumu 89 stwierzić, że reuca poziomu szumu losowego niestety nie ma istotnego wpływu na wartość ryzya inwestycynego mierzonego wymiarem fratalnym. W przypau szeregów czasowych wybranych inesów giełowych wartości te miary w ogóle nie uległy zmianie, natomiast w przypau spółe zaobserwowano nieznaczny ich spae. Jenaże ta niewiela zmiana wartości wymiaru fratalnego spowoowała zmianę miesc w raningu spółe, utworzonym weług wartości miar ryzya. Zgonie z analizą przesalowanego zaresu spóła o naniższym poziomie ryzya po filtraci zaęła ostatnie miesce, natomiast w przypau zastosowania metoy S-W obserwowano spae w raningu na miesce trzecie. Posumowuąc, analiza fratalna rynów apitałowych stanowi istotne uzupełnienie lasycznych meto analiz. Dzięi nie można ocenić ryzyo inwestowania w wybrane spółi giełowe, a taże prawopoobieństwo wystąpienia oszacowanych prognoz [Siemieniu, Siemieniu, 05]. Literatura Broomhea D.S., King P. (986), Extracting Qualitative Dynamics from Experimental Data, Physica D, Vol. 0, s Bula R. (0), Aspety metoyczne szacowania wymiaru fratalnego finansowych szeregów czasowych, Młozi Nauowcy la Polsie Naui, t., nr 9, s Cao L. (00), Metho of False Nearest Neighbors [w:] A.S. Soofi, L. Cao (es.), Moeling an Forecasting Financial Data, Kluwer, Boston. Chun S.H., Kim K.J., Kim S.H. (00), Chaotic Analysis of Preictability versus Knowlege Discovery Techniques: Case Stuy of Polish Stoc Maret, Expert Systems, Vol. 9(5), s Dubuc B., Quininou J.F., Roques-Carmes C., Tricot C., Zucer S.W. (989), Evaluating the Fractal Dimension of Profiles, Physical Review A, Vol. 39. Guégan D., Leroux J. (009), Forecasting Chaotic Systems: The Role of Local Lyapunov Exponents, Chaos, Solitons & Fractals, Vol. 4, s Kantz H., Schreiber T. (997), Nonlinear Time Series Analysis, Cambrige University Press, Cambrige. Kennel M.B., Brown R., Abarbanel H.D.I. (99), Determining Embeing Dimension for Phase Space Reconstruction Using a Geometrical Construction, Physical Review A, Vol. 45(6), s Miśiewicz-Nawroca M., Zeug-Żebro K. (04), The Effect of the NRL Inicator on the Accuracy of Financial Series Forecasts, Conference Proceeings. 3 n International Conference Mathematical Methos in Economics MME , Olomouc. Nowińsi M. (007), Nieliniowa ynamia szeregów czasowych, Wyawnictwo Aaemii Eonomiczne we Wrocławiu, Wrocław.

14 90 Katarzyna Zeug-Żebro Orzeszo W. (005), Ientyfiaca i prognozowanie chaosu eterministycznego w eonomicznych szeregach czasowych, PTE, Warszawa. Orzeszo W. (00), Wymiar fratalny szeregów czasowych a ryzyo inwestowania, Acta Universitatis Nicolai Copernici. Eonomia XLI. Naui Humanistyczno- -Społeczne, z. 397, s Pacar N., Crutchfiel J., Farmer D., Shaw R. (980), Geometry from a Time Series, Physical Review Letters, Vol. 45, s Przeota G., Waścińsi T. (0), Wybrane problemy oceny ryzya zmian ceny aci za pomocą miar lasycznych i nielasycznych, Zeszyty Nauowe Uniwersytetu Humanistyczno-Przyroniczego w Sielcach, seria: Aministraca i Zarzązanie, nr 95, s Schreiber T. (993), Extremely Simple Nonlinear Noise-Reuction Metho, Physical Review E, Vol. 47(4), s Siemieniu N., Siemieniu T. (05), Teoria chaosu eterministycznego a ecyze inwestorów giełowych, Zeszyty Nauowe Uniwersytetu Szczecińsiego, nr 855, Finanse, Ryni Finansowe, Ubezpieczenia, nr 74, t., s Stawici J. (993), Metoy filtraci w moelowaniu procesów eonomicznych, Wyawnictwo Uniwersytetu Miołaa Kopernia, Toruń. Taens F. (98), Detecting Strange Attractors in Turbulence [w:] D.A. Ran, L.S. Young (es.), Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin, s Zawazi H. (996), Chaotyczne systemy ynamiczne, Wyawnictwo Aaemii Eonomiczne w Katowicach, Katowice. Zwolanowsa D. (000), Metoa segmentowo-wariacyna. Nowa propozyca liczenia wymiaru fratalnego, Przeglą Statystyczny, r. 47, z. -, s [www ] (ostęp: ). AN ANALYSIS OF THE EFFECT OF NOISE REDUCTION ON THE LEVEL OF INVESTMENT RISK Summary: The paper analyzes the impact of the use of noise reuction on the level of investment ris, measure by a non-classical ris measure, i.e. the fractal imension. The fractal imension is one of the characteristics of chaotic ynamics an stuy the extent to which an obect (series) fills the space in which it is embee. In investments, this measure etermines the volatility of the rate of return an the greater its value, the greater the ris associate with investing in a given financial instrument. The segment- -variation metho an R/S analysis were use to etermine the fractal imension. The test will be conucte base on the financial time series which consist of closing prices of stoc maret inices an companies liste on the Warsaw Stoc Exchange. Keywors: noise reuction, investment ris, fractal imension, segment-variation metho, R/S analysis.