Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Transkrypt

1 Rachune prawopoobieństwa i statystya Kurs la ierunu Informatyi stosowanej Uniwersytet Jagiellońsi Kraów, 07/08 Dr hab. Roman Sibińsi UWAGA: Slajy nie zawierają całości materiału przestawianego na wyłaach; mają jeynie charater pomocniczy i posumowujący. RPiS 07/08 RPiS 07/08 Waruni zaliczenia () Ćwiczenia: ocena bęzie śrenią z trzech ocen cząstowych (w sali.0-5.0): wóch z olowiów z zaań i oceny z atywności na ćwiczeniach. Śrenia ta zostanie przeliczona na ocenę z ćwiczeń, wpisywaną o inesu, w następujący sposób: [ ] ocena ostateczna, ( ] ocena ostateczna plus, ( ] ocena obra, ( ] ocena obra plus, ( ] ocena barzo obra. Waruniem zaliczenia ćwiczeń jest zaliczenie obu olowiów co najmniej na ocenę ostateczną. Niezaliczone olowia bęzie można poprawiać na olowium zaliczeniowym, poprawa otyczy tylo niezaliczonej części materiału. W przypau poprawiania jenego olowium ocena z ćwiczeń bęzie liczona jao śrenia z czterech ocen ( olowia + atywność + olowium poprawowe) przeliczona ja wyżej. Analogicznie w przypau poprawiania obu olowiów śrenia bęzie liczona z pięciu ocen. RPiS 07/08 3 Waruni zaliczenia () Wyła: cztery artówi na ćwiczeniach, oceniane w sali 0-5 pt. Suma puntów prowazi o oceny: Prze artówami (niezapowiezianymi) [-3.5) ocena ostateczna, ostępne bęą zaganienia o przygotowania [ ) ocena ostateczna plus, W tracie semestru można poprawić jeną, najgorzej [ ) ocena obra, napisaną artówę + te z usprawieliwionymi [ ) ocena obra plus, nieobecnościami [ ] ocena barzo obra. Osoby, tóre nie uzysają puntów piszą olowium poprawowe z całości wyłau Ocena ońcowa (wpisywana o inesu, z wyłau): (/3*ocena z ćwiczeń + /3*ocena z wyłau)*0.9 Powyższy algorytm prowazi o oceny wpisywanej o inesu: o.70 ocena nieostateczna, [ ) ocena ostateczna, [ ) ocena ostateczna plus, [ ) ocena obra, [ ] ocena obra plus, Osoby, tóre rozwiążą zaania programistyczne bęą miały ocenę powyższoną o pół stopnia np. z obrej plus na barzo obrą. Zatem waruniem otrzymania oceny barzo obrej w inesie jest napisanie zaanych programów. RPiS 07/08 4 Literatura W.Krysici, J.Bartos i inni, Rachune prawopoobieństwa i statystya matematyczna w zaaniach tomy i, PWN 005 Literatura oatowa: J.Jaubowsi, R.Sztencel Rachune prawopoobieństwa la (prawie) ażego,script, W-wa 006. A.Plucińsa, E.Plucińsi Probabilistya, WNT 000. S.Brant Analiza anych, PWN (o 999) R.Nowa Statystya la fizyów PWN 00. V.Rohatgi, Statistical inference,j.wiley&sons, Inc, 984. RPiS 07/08 5 Definiujemy sztuę przewiywania, inaczej sztuę stochastyi, jao sztuę oceniania z najwięszą możliwą ołanością prawopoobieństwa zarzeń, ta żebyśmy w naszych osąach i ziałaniach zawsze mogli opierać się na tym, co oazało się najlepsze, najopowieniejsze, najpewniejsze, najsensowniejsze; jest to jeyny cel mąrości filozofa i roztropności męża stanu. J.Bernoulli Ars Conjectani ( Sztua przewiywania ) 73 Za I.Stewart Oswajanie niesończoności. matematyi RPiS 07/08 6

2 Zares wyłau Rachune prawopoobieństwa ja liczyć prawopoobieństwa zarzeń i ja je globalnie opisywać. Statystya matematyczna ja wniosować w sytuacjach, gy mamy niepełną informację (wniose o całej grupie na postawie informacji zebranej na części grupy, np. sonaże przewyborcze), ja oceniać wiarygoność taiego wniosowania (hipotezy statystyczne) Dlaczego? Ma wpływ na nasze życie (gry hazarowe, ubezpieczenia, hanel, ryminalistya, meycyna, politya) Zastosowania w informatyce: - symulacje omputerowe - metoy obliczeniowe - moelowanie rzeczywistości (grafia) - probabilistyczna (statystyczna) analiza algorytmów - algorytmy probabilistyczne - systemy olejowe - esploracja anych RPiS 07/08 7 RPiS 07/08 8 Rozgrzewa Sprawzamy równość wielomianów o stopniu w liczbach całowitych G( a a x a x... a x F( G( F( ( x x )( x x )( x x )...( x x ) 0 F(, G( i F(-G( ma co najwyżej pierwiastów. Załaamy, że współczynnii x i i a i są taie, że wielomiany przecinają się tylo w całowitych x. 3? Rozgrzewa Weźmy liczbę losową r całowitą z przeziału [0,00) i sprawzamy czy F( r) G( r) Nie: wielomiany na pewno są różne (obra opowieź) Ta: przyjmujemy, że wielomiany są równe w rzeczywistości albo są równe ( i wtey mamy obrą opowieź), albo trafiliśmy na pierwiaste F(r)-G(r) (i wtey mamy złą opowieź). Masymalnie taich liczb jest ; Szansa, że trafiliśmy w tai jest /(00*)=0.0=% Czyli w 99% ostaniemy poprawną opowieź. RPiS 07/08 9 RPiS 07/08 0 Rozgrzewa Rozgrzewa Można to poprawić: więszy zares [0,000) (ale możemy mieć problem z użymi liczbami) Można też powtarzać całe sprawzanie ila razy Ta można sprawzać mnożenie macierzy A=BC w =Ar w =B(Cr) w =w Liczba operacji: n 3 +n 3n +n RPiS 07/08 RPiS 07/08

3 Rozgrzewa. Stosune ługości słupów: :3.7, stosune poparcia w procentach :.. Lie-factor: ~3.. Słupi nie oają nawet różnic pomięzy prezentowanymi liczbami. Trzypunowa oległość pomięzy 4% a 45% jest z 5x mniejsza niż 4 puntowa oległość pomięzy 47% a 5%. 3. Różna jasność słupów może wpływać na obieraną wielość prezentowanych liczb. Rozgrzewa 3 RPiS 07/08 3 RPiS 07/08 4 Rozgrzewa 3 Rozgrzewa 3,,Najprostsze porównywalne ane uazują niezmiennie wysoą w hierarchii ważności pozycję roziny uane życie rozinne jest poreślane jao sprawa barzo ważna zarówno przez awne, ja i przez nowe młoe poolenie (przez nowe nawet barziej)... Drugie poobieństwo otyczy relatywnie nisiego wartościowania spoojnego życia. W innych westiach charaterystyi awnej i nowej młozieży wyraźnie się rozchozą. A teraz wniose z prezentacji,,wioczna jest mentalna orębność zisiejszego młoego poolenia RPiS 07/08 5 Poprawne wniosi: Hierarchia ważności jest w przybliżeniu zachowana Najwięsza zmiana otyczy Spoojnego życia RPiS 07/08 6 Starożytność, Śreniowiecze gry losowe XVI w G.Carano (50-576), Księga o grach losowych postawy prawopoobieństwa (gry w ości i w arty, oatowo rozział o sutecznym oszuiwaniu) A.Gombau (Chevalier e Méré, ) oresponencja pomięzy B.Pascalem (63-66; 654,655 trójąt Pascala) a P.e Fermat (60-665), problem poziału puli przy przerwaniu gry ( problem of points ) Rozwiązanie biorące po uwagę tylo otychczasowe wynii jest błęne, należy uwzglęnić możliwe zarzenia o zaplanowanego ońca gry. w różnych omianach istnieje paraos e Méré, np. laczego częściej wypaa 6 w 4-ech rzutach jeną ostą niż wie 6 w 4-ech rzutach woma ostami. Rzut jeną ostą: 4*/6=4/6 Rzut woma ostami: 4*/6*/6=4/36=4/6 Ale naprawę interesuje nas prawopoobieństwo otrzymania przynajmniej raz szósti w 4-ech rzutach = -prawopoobieństwo nie otrzymania żanej szósti=-(5/6)^4=67/96=0.577 i prawopoobieństwo otrzymania przynajmniej raz wóch szóste w 4-ech rzutach woma ostami = -prawopoobieństwo nie otrzymania wóch szóste ani razu)=-(35/36)^4=0.494 Poazuje to, że: ) trzeba precyzyjnie efiniować czego prawopoobieństwo liczymy ) e Méré użo czasu spęzał grając w ości RPiS 07/08 7 RPiS 07/08 8 3

4 Ch.Huygens(69-695), J.Bernoulli ( ; 73 Sztua przewiywania, białe i czarne amyi w urnie), problemy typu rzut uczciwą monetą. Ale co to znaczy uczciwa moneta? T.Bayes (70-76): analiza bayesowsa P.Laplace(749-87), K.Gauss( ) teoria miary A.Quetelet ( ); 835 statystya społeczeństwa F.Galton (8-9); 865 zieziczenie, regresja XX w: A.N.Kołomogorow ( ): nowoczesna tzw. asjomatyczna teoria prawopoobieństwa Wyorzystanie omputerów nowe możliwości i nowe zaania Esperyment eterministyczny waruni wyznaczają wyni (np. tylo białe ule w urnie) Esperyment przypaowy (zarzenie losowe) to tai esperyment, tórego wyniu nie potrafimy przewizieć, mimo, że powtarzamy go w taich samych warunach. (np. białe i czarne ule w urnie) Jeyne co możemy zrobić to zebrać możliwe wynii i oreślić ich prawopoobieństwo. RPiS 07/08 9 RPiS 07/08 0 Definicja częstościowa Powtarzamy esperyment n razy N (n) liczba wystąpienia wyniu w n esperymentach N ( n) f (n) wzglęna częstość wyniu f ( n) n spełnia z ef. 0 f ( n) f ( n) Częstościowa efinicja prawopoobieństwa: P( ) lim f ( n) n -trune w pratyce (niesończona liczba esperymentów, powtarzalność oświaczeń, efinicja esperymentu (prawopoobieństwo urozenia ziewczyni/chłopca), -wynia z asjomatycznej teorii prawopoobieństwa, -przyła: aplet Fałszywa osta RPiS 07/08 Przestrzeń próbe esperymentu przypaowego to zbiór W wszystich możliwych wyniów tego esperymentu. Zarzenie elementarne aży możliwy wyni esperymentu przypaowego. Powtarzając esperyment przypaowy jao wyni otrzymujemy jeno i tylo jeno zarzenie elementarne; zarzenia elementarne wyluczają się wzajemnie Zarzenie to pozbiór przestrzeni próbe. RPiS 07/08 Przestrzeń próbe esperymentu przypaowego może być -sończona (liczba ocze w rzucie ostą), -niesończona w sposób przeliczany (ilość rzutów aż wypanie 6 ), -niesończona w sposób nieprzeliczalny (oległość na jaą rzucimy ostę) inny poział: ysretna i ciągła mogą istnieć typy mieszane Szczególne zarzenia: - zarzenie niemożliwe pusty pozbiór przestrzeni W - zarzenie pewne cała przestrzeń W RPiS 07/08 3 Działania na zbiorach (przypomnienie) Operacje na zbiorach ( = pozbiorach przestrzeni próbe = zarzeniach) Suma Iloczyn Dopełnienie B : B : A: x x B x A x B A A W Rozłączność B Zawartość Równość Własności ziałań na zarzeniach: A B : A B : x A x B A B B A Przemienność Łączność B B A ( ( C B B A ( ( C Dystrybutywność (rozłączność sumy i iloczynu) Prawa e Morgana ( ( ( C) ( ( ( C) B A B B A B RPiS 07/08 4 4

5 Asjomatyczna efinicja prawopoobieństwa Każemu zarzeniu A w przestrzeni próbe W przyporząowujemy liczbę rzeczywistą P( zwaną prawopoobieństwem, ta by miała ona następujące własności: I: A W P( 0 II: P(W)= III: Jeżeli A,A, jest ciągiem rozłącznych zarzeń to P ( A ) A ) Wniosi z asjomatów. P( P(. P( 3. P( ) 0 4. A B 5. Dla wóch zarzeń rozłącznych: P( 6. Dla wóch owolnych zarzeń: P( RPiS 07/08 5 RPiS 07/08 6 5