ZASTOSOWANIE WYBRANYCH METOD SZACOWANIA WYMIARU FRAKTALNEGO DO OCENY POZIOMU RYZYKA FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH

Transkrypt

1 Studia Eonomiczne. Zeszyty Nauowe Uniwersytetu Eonomicznego w Katowicach ISSN Nr 7 05 Uniwersytet Eonomiczny w Katowicach Wydział Zarządzania Katedra Matematyi atarzyna.zeug-zebro@ue.atowice.pl ZASTOSOWANIE WYBRANYCH METOD SZACOWANIA WYMIARU FRAKTALNEGO DO OCENY POZIOMU RYZYKA FINANSOWYCH SZEREGÓW CZASOWYCH Streszczenie: W literaturze związane z teorią inwestyci finansowych można spotać wiele metod lasycznych i nielasycznych, pozwalaących na ocenę ryzya. W grupie miar lasycznych znaduą się m.in. odchylenie standardowe czy też współczynni zmienności. Miary te edna na ogół zaniżaą poziom ryzya. W pracy zaprezentowano bardzie rzetelną miarę należącą do metod nielasycznych, t. wymiar fratalny. Szacowanie tego wymiaru oparto na trzech procedurach: analizie R/S, metodzie segmentowo- -wariacyne oraz metodzie podziału pola. Badanie przeprowadzono dla finansowych szeregów czasowych złożonych z cen zamnięcia wybranych indesów giełdowych oraz aci spółe notowanych na GPW w Warszawie. Słowa luczowe: wymiar fratalny, analiza R/S, metoda segmentowo-wariacyna, metoda podziału pola, ryzyo. Wprowadzenie Ocena ryzya inwestyci est bardzo ważnym zagadnieniem wspomagaącym m.in. podęcie decyzi finansowych. Ze względu na sposób rozumienia tego poęcia oraz wyboru modelu ształtowania się cen instrumentów finansowych powstało wiele lasycznych i nielasycznych metod szacowania poziomu ryzya. W grupie miar lasycznych znaduą się m.in. odchylenie standardowe czy też współczynni zmienności. Wieloletnie badania wyazały edna, że miary te na ogół zaniżaą wartość ryzya inwestycynego. Opracowano więc metody, tó-

2 0 re bardzie rzetelnie odzwierciedlaą ryzyowność podemowanych inwestyci. Wśród nich można wyróżnić wymiar fratalny. Miara ta oreśla zmienność stopy zwrotu i im więsza e wartość, tym więsze ryzyo związane z inwestowaniem w dany instrument finansowy [Zwolanowsa, 999]. Celem artyułu była ocena ryzya wybranych finansowych szeregów czasowych. Badanie przeprowadzono na podstawie nielasyczne miary ryzya, aą est wymiar fratalny. Do oszacowania tego wymiaru posłużono się trzema różnymi procedurami, t. analizą przesalowanego zaresu, metodą segmentowo- -wariacyną i metodą podziału pola. W badaniach wyorzystano szeregi czasowe utworzone z cen zamnięcia indesów giełdowych WIG, WIG0, WIG-BANKI i WIG-ENERG oraz trzydziestu spółe notowanych na Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie wchodzących w sład indesu WIG30 lub ego listy rezerwowe. Dane obemowały ores od do Obliczenia przeprowadzono przy użyciu programów napisanych przez autorę w ęzyu programowania Delphi oraz paietu Microsoft Excel.. Wymiar fratalny Wymiar fratalny est uogólnieniem wymiaru eulidesowego i służy do opisu sompliowanych struturalnie obietów geometrycznych, w tym np. szeregów czasowych. Wymiar ten bada, w aim stopniu analizowany obiet czy też szereg wypełnia przestrzeń, w tóre est zanurzony [Orzeszo, 00]. Jego cechą charaterystyczną est fat, że może on przymować wartości niecałowite, np. rzywa na płaszczyźnie ma wymiar z przedziału [, ]. Wymiar fratalny (zwany również poemnościowym) danego obietu geometrycznego A można obliczyć, szacuąc minimalną liczbę domniętych hipersześcianów o bou długości ε, potrzebnych do ego porycia. Wymiar ten wyznacza się na podstawie następuącego wzoru: gdzie ( A,ε ) D ( A) ( A, ε ) ( ) ln L = lim, () ε 0 ln L est minimalną liczbą hipersześcianów o bou długości ε. W celu oszacowania wymiaru fratalnego szeregu czasowego { x t } wyznacza się na płaszczyźnie punty o współrzędnych ( ) x t ε t,. Następnie, łącząc e oleno odcinami, otrzymue się linię łamaną K. Wymiar fratalny ta sonstruowane łamane K est wymiarem szeregu czasowego. Portfel indesu WIG30 po orecie wartalne (według stanu na r.).

3 Zastosowanie wybranych metod szacowania wymiaru fratalnego.... Wybrane technii szacowania wymiaru fratalnego W literaturze związane z fratalami można spotać wiele różnych sposobów wyznaczania wymiaru fratalnego. Do mnie znanych metod należą: analiza przesalowanego zaresu, metoda segmentowo-wariacyna oraz podziału pola. W dalsze części pracy zostaną omówione właśnie te trzy technii szacowania wymiaru... Analiza przesalowanego zaresu Pierwszą omawianą technią obliczania wymiaru fratalnego szeregu cza- x est metoda oparta na wyładniu Hursta, zwana analizą przesa- sowego { } t lowanego zaresu lub w srócie analizą R/S. Analiza ta służy również do badania istnienia efetu długie pamięci i z tego powodu est stosowana m.in. do identyfiaci chaosu w szeregach czasowych. Dla szeregu obserwaci { x, x,..., x N } przebiega ona w następuących etapach [Chun, Kim, Kim, 00]: Kro. Szereg { x, x,..., x N } zostae przeształcony w ciąg m = N logarytmicznych stóp zwrotu: y x + = log, =,,, N. () x Kro. Niech T, N i T = m, wówczas istniee T podprzedziałów I, ażdy o długości, =,..., T. Ponadto niech ażdy sładni podprzedziału I będzie oznaczony przez y i, gdzie i =,...,. Średnia wartość dla -tego podciągu wynosi: y yi i= =. (3) Kro 3. W olenym etapie ażdy podciąg zostae scentrowany poprzez odęcie średnie arytmetyczne: i zdefiniowanie ciągu sum częściowych z i : z i = y y (4) i

4 i p i = z l, i =,,,, =,,, T. (5) l= Kro 4. Następnie należy obliczyć rozstępy sumulowanych szeregów czasowych według wzoru: R ( p ) min( p ) = max. (6) Kro 5. Koleny etap algorytmu to wyznaczanie rozstępów przesalowanych dla ażdego sumulowanego szeregu czasowego, tzn. ażdy rozstęp zostae podzielony przez odchylenie standardowe tego szeregu: gdzie: S = z i i= Kro 6. Ostatecznie należy obliczyć:. i i α = R / S, (7) T ( R / S) = (/ T ) α. (8) Powyższą procedurę przeprowadza się dla różnych długości szeregu czasowego, m 0. W ten sposób otrzymuemy zależność wielości R/S od długości szeregu. Aby wyznaczyć wyładni Hursta, należy zlogarytmować następuącą zależność: = H ( R S) = c /, (9) gdzie: H est wyładniiem Hursta, c est stałą, a t est wartością oczeiwaną przesalowanego zaresu: ( R / S) ) ln c H ln ln = +. (0) Wyładni Hursta est współczynniiem ierunowym regresi liniowe. Wymiar fratalny D(N) szeregu czasowego obliczony na podstawie wyładnia Hursta H szacue się za pomocą następuącego wzoru [Zwolanowsa, 000]: D ( N ) H =. ()

5 Zastosowanie wybranych metod szacowania wymiaru fratalnego Metoda segmentowo-wariacyna Jedną z napopularnieszych metod szacowania wymiaru fratalnego est metoda wariacyna [Dubuc i in., 989]. Je rozszerzeniem est metoda segmentowo-wariacyna S-W zaproponowana przez M. Zwolanowsą [000]. Według te metody wymiar fratalny szeregu czasowego { x, x,..., x N } można wyznaczyć, obliczaąc granicę: D ( N ) ( K, ε ) ( ) ln L = lim, () ε 0 ln gdzie L ( K,ε ) est minimalną liczbą wadratów o bou długości ε porywaących linię łamaną K. Wzór () można przeształcić do prostsze, równoważne L K,ε następuącą formułę: postaci, podstawiaąc za ( ) P ( ) ( K, ε ) L K, ε =, (3) ε gdzie P ( K,ε ) est polem porywaącym całą łamaną K. Dodatowo można przyąć, że dla dostatecznie małych wartości ε prawdziwy est wzór: ( N ) ( ) ε ε P( K, ε ) ln ε D. (4) ln Algorytm metody segmentowo-wariacyne powstał na podstawie wzoru (4) i przebiega według następuących roów: Kro. W pierwsze oleności, dla ażde obserwaci szeregu czasowego { x, x,..., x N } należy wyznaczyć punt o współrzędnych t, x t N, dla t =,,..., N, a następnie połączyć te punty odcinami, tworząc linię łamaną K. Kro. Następnie wyznaczona łamana K zostae poryta prostoątami rozpiętymi nad n ( n, n N ), olenymi puntami (rys. ). Otrzymue się w ten sposób N = 3 prostoątów, ażdy o podstawie n d =. n N 3 Pierwsze współrzędne naniesionych puntów są równo oddalone od siebie. Symbol [.] oznacza część całowitą liczby.

6 4 x t K d d Rys.. Konstruca porycia n puntów linii łamane K Kro 3. Jeśli iloraz N est liczbą całowitą, wtedy olene wyznaczone n prostoąty zostaą oznaczone następuąco: P ( n) = [ a ; b ] [ a' ; b' ] d b =, a ' min{ K( x) ; x [ a ; b ]} { K( x) ; x [ a b ]} gdzie a = ( ), d, (5) =, b ' = max ;. W przeciwnym przypadu, po przeprowadzeniu procedury pozostae nieporytych N ( n ) ostatnich puntów łamane K. Punty te porywa N ( n ) się dodatowym prostoątem o podstawie d ' = : N ( n) = [ b ;] [ a'; b' ] P ', (6) gdzie: a' = min{ K( x) ; x [ b ;]}, b' max{ K( x) ; x [ b ;]} =. Kro 4. Następnie należy obliczyć pole porycia linii łamane K zgodnie ze wzorem: P ( K, d ) d ( b' a' ) + d' ( b' a' ) = =. (7)

7 Zastosowanie wybranych metod szacowania wymiaru fratalnego... 5 Kro 5. Ostatecznie, przeształcaąc wzór (4) do postaci: ( b' a' ) + d' ( b' a' ) d = D( N ) ln ln, (8) d d wymiar fratalny szeregu czasowego zostae oszacowany ao współczynni regresi zmiennych ln d i ln = d ( b' a' ) + d' ( b' a' ) d..3. Metoda podziału pola Ostatnią omawianą procedurą szacowania wymiaru fratalnego est zaproponowana przez G. Przeotę [003] metoda podziału pola PP. Metoda ta ma wiele wspólnego z metodą segmentowo-wariacyną, gdyż podobnie a w te procedurze szereg czasowy zostae poryty prostoątami. Algorytm te procedury ma następuący przebieg: Kro. W pierwszym etapie należy obliczyć pole prostoąta porywaące- x t, t =,,..., N (rys. ): go cały szereg czasowy { } oznacza nawięszą wartość w sze- gdzie N est liczbą obserwaci szeregu, zaś regu, a xmin namnieszą. ( ) P = N x max x min, (9) xmax x t P Rys.. Porycie szeregu prostoątem o polu P t

8 6 Kro. Następnie należy podzielić prostoąt P na połowy i obliczyć sumę p pól otrzymanych połówe (rys. 3): N ( x x ) + ( x ) p =. (0) N max min max xmin x t Rys. 3. Podział porycia szeregu prostoątem na połówi t Kro 3. Powtarzaąc procedurę dzielenia olenych prostoątów na połówi razy, otrzymuemy następuące wzory: P = N i i ( x xmin ) i= max, () i i ( xmax xmin ) N p =, () i= gdzie P est polem porywaącym szereg po podziale na części, p est polem porywaącym szereg po podziale na części, zaś x max i i, x min oznaczaą nawięszą i namnieszą wartość w i-tym prostoącie. Kro 4. Ostatecznie wymiar fratalny szeregu czasowego D ( N ) wyznaczamy ze wzoru: p P = D( N ), (3) szacuąc współczynni regresi zmiennych p i P.

9 Zastosowanie wybranych metod szacowania wymiaru fratalnego Analiza poziomu ryzya finansowych szeregów czasowych Badaniu poddano szeregi finansowe 4 utworzone z cen zamnięcia wybranych indesów giełdowych WIG, WIG0, WIG-BANKI i WIG-ENERG oraz trzydziestu spółe notowanych na GPW w Warszawie wchodzących w sład indesu WIG30 lub ego listy rezerwowe (tab. ). Dane obemuą ores od do Analiza wymienionych wyże szeregów czasowych przebiegała w następuących etapach:. Wyznaczenie wyładnia Hursta i ego wartości oczeiwane.. Szacowanie wymiaru fratalnego na podstawie:.. Analizy R/S,.. Metody segmentowo-wariacyne,.3. Metody podziału pola, dla indesów i pozostałych finansowych szeregów czasowych. 3. Wyznaczenia odchylenia standardowego stóp zwrotu σ. Przeprowadzone badania empiryczne pozwoliły wyznaczyć wyładni Hursta oraz ego wartość oczeiwaną E (( R / S ) t )(tab. ) 5. E (( R / S ) t ) została obliczona na podstawie następuącego wzoru [Stawici, Jania, s. 38]: E ( R / S) ) = ( 0,8) π i= i i, (4) gdzie est długością podciągów analizowanych w procedurze R/S. Wyładni Hursta różny od oczeiwanego E ( H ) świadczy o istnieniu szeregu o długooresowe pamięci. Tab.. Wynii szacowania wyładnia Hursta i ego wartości oczeiwane dla finansowych szeregów czasowych Szereg Szacowany wyładni Hursta Oczeiwany wyładni Hursta Liczba obserwaci/liczba dzielniów 3 4 WIG 0,5364 0, /0 WIG0 0,509 0, /0 WIG-BANKI 0,557 0, /0 WIG-ENERG 0,5383 0, /0 4 5 Dane pochodzą z archiwum pliów programu Omega, dostępnych na stronie internetowe W celu oszacowania wyładnia Hursta i ego wartości oczeiwane, posłużono się programem autori napisanym w ęzyu programowania Delphi

10 8 cd. tab. 3 4 ASSECOPOL 0,480 0, /0 BOGDANKA 0,5505 0, /0 BORYSZEW 0,5640 0, /0 BZWBK 0,4887 0, /0 CCC 0,568 0, /0 CEZ 0,506 0, /0 CYFRPLSAT 0,456 0, /0 ENEA 0,505 0, /0 EUROCASH 0,5 0, /0 GRUPAAZOTY 0,5443 0, /0 GTC 0,560 0, /0 HANDLOWY 0,53 0, /0 INGBSK 0,4708 0, /0 KERNEL 0,4886 0, /0 KGHM 0,556 0, /0 LOTOS 0,5788 0, /0 LPP 0,4934 0, /0 MBANK 0,4969 0, /0 MILLENIUM 0,549 0, /0 NETIA 0,58 0, /0 ORANGEPL 0,558 0, /0 PEKAO 0,5045 0, /0 PGE 0,4970 0, /0 PGNIG 0,504 0, /0 PKNORLEN 0,53 0, /0 PKOBP 0,484 0, /0 PZU 0,506 0, /6 SYNTHOS 0,50 0, /0 TAURONPE 0,5309 0, /3 TVN 0,548 0, /0 Otrzymane rezultaty poazały, że w przypadu więszości finansowych szeregów czasowych wyładni Hursta wyraźnie różni się od wartości oczeiwane. Oznacza to, że te szeregi finansowe charateryzuą się pamięcią długooresową. Szeregi czasowe ich stóp zwrotu posiadaą pewną wewnętrzną struturę, mogą być chaotyczne. W olenym rou badań oszacowano wymiar fratalny, wyorzystuąc analizę przesalowanego zaresu, metodę segmentowo-wariacyną oraz metodę podziału pola. Otrzymane wartości przedstawiono w tab. i 3 6, gdzie dodatowo zaprezentowano wartości odchylenia standardowego stóp zwrotu badanych szeregów czasowych. 6 W celu oszacowania wymiaru fratalnego na podstawie metod R/S, S-W i PP, posłużono się programem autori napisanym w ęzyu programowania Delphi

11 Zastosowanie wybranych metod szacowania wymiaru fratalnego... 9 Tab.. Wynii szacowania wymiaru fratalnego i odchylenia standardowego wybranych indesów giełdowych Szereg Wymiar fratalny* R/S S-W PP σ WIG,4636,4678,4458 0,00 WIG0,479,55,4778 0,07 WIG-BANKI,4743,4906,4303 0,047 WIG-ENERG,467,599,4849 0,05 * R/S analiza przesalowanego zaresu; S-W metoda segmentowo-wariacyna; PP metoda podziału pola. Wynii przedstawione w tab. poazuą, że nawyższe wartości wymiaru fratalnego dla ażdego indesu uzysano poprzez zastosowanie metody segmentowo-wariacyne, naniższe zaś dla procedury podziału pola. Dodatowo, zbliżone wartości wymiaru fratalnego w przypadu szeregów czasowych WIG i WIG-BANKI otrzymano dla analizy R/S i metody S-W, zaś w przypadu indesów WIG0 i WIG-ENERG dla metod R/S i PP. Rys. 4 i 5 przedstawiaą wynii przedstawione w tab. i 3, uporządowane ze względu na wartość oszacowanego wymiaru fratalnego. Rys. 4. Raning indesów utworzony według wartości wyznaczonych miar ryzya Z uzysanych raningów wynia, że zbliżone uporządowanie wartości wymiaru fratalnego otrzymano stosuąc metody: segmentowo-wariacyną i podziału pola. W przypadu analizy przesalowanego zaresu uzysano całowi-

12 0 cie odmienne zestawienie niż w przypadu procedury S-W i PP. Raningi te różnią się również od rezultatów uzysanych w wyniu oceny ryzya na podstawie odchylenia standardowego. Naniższy poziom ryzya można zaobserwować w przypadu indesu giełdowego WIG (metoda S-W i σ), WIG-ENERG (analiza R/S) i WIG-Bani (metoda PP). Mimo tych różnic, można przyąć, że indes WIG charateryzue się naniższym ryzyiem, gdyż dla procedur S-W i σ zaął on pierwszą pozycę w raningu, natomiast dla metod R/S i PP uzysał drugie miesce. Tab. 3. Wynii szacowania wymiaru fratalnego i odchylenia standardowego dla szeregów czasowych spółe wchodzących w sład indesu WIG30 lub ego listy rezerwowe Szereg Wymiar fratalny* R/S S-W PP σ ASSECOPOL,580,568,4863 0,085 BOGDANKA,4495,448,3777 0,075 BORYSZEW,4360,3433,70 0,0457 BZWBK,53,445,790 0,046 CCC,438,3755,77 0,089 CEZ,4984,4877,344 0,064 CYFRPLSAT,5484,540,3644 0,090 ENEA,4895,480,399 0,074 EUROCASH,4879,4066,683 0,08 GRUPAAZOTY,4557,368,996 0,039 GTC,4390,470,449 0,050 HANDLOWY,4887,4630,4043 0,009 INGBSK,59,505,3649 0,073 KERNEL,54,5005,4639 0,044 KGHM,4439,4604,460 0,046 LOTOS,4,439,489 0,07 LPP,5066,349,0834 0,09 MBANK,503,4545,347 0,009 MILLENIUM,485,4666,3690 0,09 NETIA,487,5007,4597 0,08 ORANGEPL,448,457,339 0,00 PEKAO,546,557,590 0,09 PGE,5030,5405,463 0,07 PGNIG,4958,478,387 0,066 PKNORLEN,4688,4536,4667 0,004 PKOBP,558,5570,4906 0,076 PZU,4794,507,480 0,05 SYNTHOS,4799,476,3309 0,04 TAURONPE,469,586,3665 0,066 TVN,458,4555,40 0,035 * R/S analiza przesalowanego zaresu; S-W metoda segmentowo-wariacyna; PP metoda podziału pola. Pogrubioną czcioną zaznaczono spółi wchodzące w sład indesu giełdowego WIG0.

13 Zastosowanie wybranych metod szacowania wymiaru fratalnego... Rezultaty obliczania wymiaru fratalnego szeregów czasowych wybranych spółe (tab. 3) potwierdzaą zbieżność wyniów (zaobserwowaną podczas oceny ryzya indesów giełdowych) uzysanych w przypadu zastosowania metody segmentowo-wariacyne i podziału pola. Szacowanie ryzya na podstawie analizy przesalowanego zaresu oraz przy użyciu odchylenia standardowego uporządowało spółi w zupełnie inne oleności niż dla metod S-W i PP. Wymiar fratalny oszacowany na podstawie indesu WIG0 oraz przeciętne wymiary fratalne dla spółe tworzących ten indes w wielu przypadach różnią się od siebie. Nabardzie zbliżone wartości uzysano dla szeregów PKNORLEN, PZU, SYNTHOS i TAURONPE (analiza R/S), ASSECOPOL, KERNEL, PZU i TAURONPE (metoda S-W) oraz ASSECOPOL, KERNEL, KGHM, PGE, PKNORLEN, PZU (metoda PP). Świadczy to o tym, że inwestowanie w te ace est ta samo ryzyowne, a inwestowanie w portfel, tóry reprezentue indes WIG0. Dla pozostałych spółe otrzymuemy odmienną onluzę, t. inwestowanie w te spółi est mnie lub bardzie ryzyowne. Według raningów przedstawionych na rys. 5, dotyczących wartości wymiaru fratalnego, naniższym ryzyiem charateryzowały się spółi LPP, Lotos, Boryszew, Grupa Azoty, CCC i GTC. Zasauący est wyni pomiaru ryzya odchyleniem standardowym uzysany dla szeregu czasowego Boryszew, zgodnie z tórym inwestyca w tę spółę est nabardzie ryzyowna. Tymczasem a zaznaczono wcześnie, w przypadu zastosowania wymiaru fratalnego ao miary ryzya, spóła ta należy do grupy inwestyci namnie ryzyownych.

14 Rys. 5. Raning spółe utworzony według wartości wyznaczonych miar ryzya

15 Zastosowanie wybranych metod szacowania wymiaru fratalnego... 3 Podsumowanie W opracowaniu przeprowadzono analizę ryzya wybranych finansowych szeregów czasowych na podstawie wymiaru fratalnego i odchylenia standardowego. W badaniach posłużono się różnymi narzędziami szacowania wymiaru fratalnego, t. analizą przesalowanego zaresu, metodą segmentowo-wariacyną oraz metodą podziału pola. Z uzysanych podczas badania raningów finansowych szeregów czasowych utworzonych według wartości wyznaczonych miar ryzya wynia, że zbliżone uporządowanie wymiaru fratalnego otrzymano stosuąc metody: segmentowo- -wariacyną i podziału pola. W przypadu analizy przesalowanego zaresu uzysano całowicie odmienne zestawienie wartości tego wymiaru. Na podstawie tych wyniów, należy stwierdzić, że metoda wyznaczania wymiaru fratalnego na podstawie analizy przesalowanego zaresu prowadzi do oszacowań wysoce niestabilnych oraz niepewnych. Wszystie wniosi formułowane na podstawie rezultatów otrzymanych z e wyorzystaniem pozostaą wątpliwe. Z tego powodu lepszym rozwiązaniem w badaniach ryzyowności inwestyci wydae się zastosowanie metody segmentowo-wariacyne lub podziału pola. Należy edna nadmienić, że otrzymane niedoładności oszacowań wymiaru fratalnego nie wyniaą tylo z możliwych niedosonałości stosowanych metod, lecz są rezultatem zastosowania ich do szeregów o sończone długości. Można wyazać, że dla szeregów o bardzo duże liczbie obserwaci wartości wymiaru fratalnego będą zbliżały się do wartości teoretycznych [Purczyńsi 000]. Literatura Chun S.H., Kim K.J., Kim S.H. (00), Chaotic Analysis of Predictability versus Knowledge Discovery Techniues: Case Study of Polish Stoc Maret, Expert Systems, Vol. 9(5), s Dubuc B., Quininou J.F., Roues-Carmes C., Tricot C., Zucer S.W. (989), Evaluating the Fractal Dimension of Profiles, Physical Review A, Vol. 39. Orzeszo W. (00), Wymiar fratalny szeregów czasowych a ryzyo inwestowania, Acta Universitatis Nicolai Copernici. Eonomia XLI. Naui Humanistyczno- -Społeczne, z. 397, Toruń. Przeota G. (003), Szacowanie wymiaru fratalnego szeregów czasowych metodą podziału pola, Zeszyty Studiów Dotorancich, Poznań, z., s Purczyńsi J. (000), Chaos a analiza R/S [w:] W. Tarczyńsi, red., Ryne apitałowy. Suteczne inwestowanie, Wydawnictwo Uniwersytetu Szczecińsiego, Szczecin.

16 4 Stawici J., Jania E.A., Müller-Frącze I. (997), Różnicowanie fratalne szeregów czasowych wyładni Hursta i wymiar fratalny [w:] Dynamiczne modele eonometryczne: materiały na V Ogólnopolsie Seminarium Nauowe, 9- września 997, Towarzystwo Nauowe Organizaci i Kierownictwa Dom Organizatora, Toruń, s Zwolanowsa D. (999), Wyorzystanie wymiaru fratalnego w ocenie ryzya inwestyci giełdowych [w:] T. Trzasali, red., Modelowanie preferenci a ryzyo 99. Cz., Wydawnictwo AE, Katowice. Zwolanowsa D. (000), Metoda segmentowo-wariacyna. Nowa propozyca liczenia wymiaru fratalnego, Przegląd Statystyczny, R. 47, z. -. APPLICATION OF CHOSEN METHODS OF ESTIMATING FRACTAL DIMENSION TO THE ASSESSMENT RISK OF FINANCIAL TIME SERIES Summary: In the literature on the theory of financial investments can meet many classical and non-classical methods which allowing for ris assessment. In the group of the classical measures are the standard deviation or variation coefficient. However, these measures generally understate the level of ris. In the paper presents a more reliable measure of which belongs to the non-classical methods, ie. fractal dimension. This dimension was estimated based on the three procedures: R/S analysis, segment-variation method and field division method. The test will be conducted based on the financial time series which consist of closing prices of stoc maret indices and companies listed on the Warsaw Stoc Exchange. Keywords: fractal dimension, R/S analysis, segment-variation method, field division method, ris.