Opis ruchu postępowego prostoliniowego.

II. Opis ruchu postępowego prostoliniowego. a. Podstawowe pojęcia w kinematyce. Ruch jednostajny prostoliniowy. Składanie ruchów. 62. Chrabąszcz porusza się jednostajnie wzdłuż promienia obracającej się tarczy gramofonowej. Narysuj tor chrabąszcza względem Ziemi. 63. Wyobraź sobie, że obracasz się wokół pionowej osi (na przykład siedząc na krzesełku karuzeli): a) Po jakim torze porusza się względem ciebie piłka leżąca na Ziemi? b) Po jakim torze (narysuj) porusza się balonik wznoszący się jednostajnie do góry? 64. W windzie jadącej jednostajnie do góry waha się małe wahadełko. Narysuj tor wahadełka względem ścian budynku. 65. Do opony roweru jadącego po linii prostej przykleił się kawałek papierka. Narysuj tor papierka względem Ziemi i zaznacz na rysunku poziom jezdni. 66. Wektor położenia ciała (w metrach) wynosi początkowo: 56, a 10 s później 28, Wyznacz prędkość średnią ciała w ciągu tych 10 s. Podaj jej wartość. 67. Dwóch chłopców stało naprzeciw siebie punktach A i B odległych o 10 m. Chłopiec z punktu A pchnął piłkę w stronę punktu B. Po czasie Δt = 2 s piłka znalazła się w odległości 4 m od chłopca A. Oblicz przemieszczenie i prędkość średnią piłki w przypadkach gdy: a) początek układu odniesienia zwiążemy z punktem A, b) początek układu odniesienia zwiążemy z punktem B. 68. Oblicz przemieszczenie i prędkość średnią pociągu relacji Zakopane-Kraków na odcinku między Chabówką a Suchą. Pociąg ten o godzinie 12:20 znajdował się w Chabówce w odległości 105 km od Krakowa, a o godzinie 13:55 w suchej w odległości 50 km od Krakowa. Załóż, że trasa jest linią prostą. 69. Pływak płynący ze stałą szybkością 2 m/s przepływa basen tam i z powrotem w czasie 50 s. Ile wynosi długość basenu i średnia prędkość pływaka na całej trasie? 70. Roztargniony uczeń, który miał przebiec na zawodach 60 m, wyruszył z punktu znajdującego się 12 m przed linią startu. Załóżmy, że biegł on ruchem jednostajnym z prędkością v = 6 m/s. Ułóż równanie ruchu i oblicz, kiedy dotarł do mety. Narysuj wykres położenia ucznia od czasu. 71. Z pewnego punktu na łące zaczął uciekać zając z prędkością v 1 = 8 m/s. W odległości 20 m za zającem znajdował się pies, który gonił go z prędkością v 2 = 12 m/s. Zakładamy, że ich ruch odbywa się wzdłuż jednej prostej. Po ustaleniu układu odniesienia ułóż równania ruchu i oblicz, gdzie i kiedy pies dogoni zająca. Narysuj wykres położenia od czasu x(t). 72. Z miasta A wyruszył samochód osobowy; jechał z prędkością v A = 80 km/h w stronę miasta B odległego o d = 210 km. W tym samym czasie z miasta B w kierunku miasta A wyruszył motocyklista; jechał z prędkością v B = 60 km/h. Przyjmij układ odniesienia i ułóż równania ruchu. Gdzie i kiedy spotkają się oba pojazdy? Narysuj dla nich wykresy x(t). 73. Na podstawie rysunku 3.1 oblicz prędkości chwilowe ciał A, B i C. Podać równania ruchu dla tych ciał.

Rys. 3.1 74. Z miasta A oddalonego o 63 km od miasta B, o godzinie 12:00 wyruszył rowerzysta. Poruszał się on z prędkością v 1 = 18 km/h. Pół godziny później z garażu położonego w odległości 18 km od miasta A, ale po przeciwnej stronie niż miasto B, wyruszyła ciężarówka ze średnią prędkością v 2 = 72 km/h. Ciężarówka musiała przejechać przez miasto A, aby wjechać na odcinek drogi łączący A z B. Po pewnym czasie ciężarówka dogoniła rowerzystę. 10 minut trwało załadowanie roweru na ciężarówkę. Następnie ciężarówka wraz z rowerzystą ruszyła w kierunku miasta B, ale z mniejszą już prędkością bo v 3 = 54 km/h. Oblicz, kiedy dotarli do miasta B. 75. Dwa ciągi ruchomych schodów poruszają się ze stałą prędkością o wartości v = 0,75 m/s jeden do dołu, drugi do góry. a) Z jaką prędkością względem schodów należałoby schodzić w dół po schodach jadących do góry, aby nie przesuwać się względem pasażerów stojących na schodach jadących do dołu? b) Z jaką prędkością względem schodów należałoby schodzić po schodach jadących do góry, aby stale znajdować się na tej samej wysokości. 76. Pociąg towarowy jedzie z prędkością o wartości v 1 = 18 km/h, a po sąsiednim torze jedzie pociąg pośpieszny z prędkością o wartości v 2 = 102 km/h. Oblicz wartość prędkości względnej pociągu pośpiesznego względem towarowego, jeśli pociągi jadą a) w tę samą stronę, b) w przeciwne strony. 77. Samolot myśliwski poruszający się z prędkością o wartości v 1 = 200 m/s ostrzeliwuje od tyłu nieprzyjacielski bombowiec poruszający się w tę samą stronę z prędkością o wartości v 2 = 120 m/s. Wartość prędkości pocisków względem samolotu myśliwskiego wynosi v 3 = 800 m/s. Oblicz wartość prędkości, z jaką pociski trafiają w bombowiec. 78. Na pewnym odcinku droga biegnie równolegle do toru kolejowego. Po drodze tej jedzie samochód w tę samą stronę co pociąg długości l = 300 m. Jaką drogę przejedzie pociąg podczas wyprzedzania samochodu, jeśli samochód przejechał w tym czasie drogę s = 700 m? Który z pojazdów możemy potraktować jako punkt materialny i dlaczego? 79. Prędkość ciała v rozłożono na dwie składowe o jednakowych wartościach v 1 = v 2 = 6 m/s i tworzące kąt α = 120 o. Znajdź wartość i kierunek prędkości ciała. 80. Oblicz prędkość pionowego opadania kropli deszczu, jeżeli na oknie pociągu jadącego z prędkością 90 km/h zostawia ona ślad tworzący z pionem kąt α = 75 o.

81. Po rzece płynie łódka, która skierowana jest cały czas prostopadle do nurtu. Droga łódki względem brzegu po przepłynięciu rzeki wynosi l = 300 m, droga gałązki płynącej z nurtem w tym samym czasie wynosi s = 180 m. Ile wynosi szerokość rzeki? 82. Dźwig podnosi ciało z prędkością v 1 = 20 m/min i jednocześnie przesuwa się po szynach z prędkością v 2 = 10 m/min. Oblicz wartość prędkości ciała względem Ziemi i kąt, jaki ona tworzy z pionem. 83. Jaki kąt powinna tworzyć oś symetrii kajaka płynącego względem wody z prędkością v 1 = 3 m/s z linią brzegu rzeki płynącej z prędkością v 2 = 2,4 m/s, aby kajak płynął prostopadle do brzegu rzeki? Z jaką prędkością płynie kajak względem brzegu? 84. Samolot pasażerski leci dokładnie w kierunku północnym z prędkością v 1 = 432 km/h względem Ziemi. Podczas lotu wieje z zachodu wiatr z prędkością v 2 =35 m/s. a) Jaki kąt tworzy kadłub samolotu z kierunkiem północnym? b) Z jaką prędkością poruszałby się samolot przy bezwietrznej pogodzie? 85. Statek płynie po jeziorze z prędkością v = 25 km/h. Prostopadle do jego toru płynie motorówka tak, że jej tor przecina się z torem statku. Z jaką prędkością płynie motorówka, jeżeli ze statku wydaje się, że zbliża się ona do jego toru pod kątem α = 70 o? 86. Samolot porusza się w powietrzu przy bezwietrznej pogodzie z prędkością v1 = 800 km/h. Jeżeli ze wschodu na zachód wieje wiatr z prędkością v2 = 16 m/s, to jaki kąt z południkiem powinna tworzyć oś kadłuba samolotu, aby leciał on: a) na wschód, b) na południe, c) na północ oraz jaka byłaby wartość jego prędkości względem Ziemi w każdym z tych przypadków? 87. Łódka przepływa rzekę o szerokości d = 500 m z prędkością v = 7,2 km/h względem brzegu. Prąd wody zaniósł ją o s = 150 m w dół rzeki. Oś łódki była skierowana prostopadle do brzegu. a) Oblicz prędkość prądu rzeki. b) Oblicz czas, w ciągu którego łódka przepłynęła na drugi brzeg, 88. Krople deszczu pozostawiają na szybach stojącego tramwaju ślady zacieków nachylone pod kątem α = 30 o do pionu. W czasie jazdy tramwaju z prędkością v = 36 km/h zgodną z kierunkiem wiatru, deszcz pozostawia na szybach pionowe ślady zacieków. Znajdź wartość prędkości wiatru oraz prędkości kropel deszczu przy bezwietrznej pogodzie. 89. Na przeciwległych brzegach rzeki o prędkości prądu v 1 = 0,5 m/s znajdują się dwie przystanie. a) Jaki kąt powinna tworzyć z linią brzegu oś łódki płynącej prosto od jednej do drugiej przystani? b) Z jaką prędkością płynie łódka względem brzegu? Prędkość łódki względem wody wynosi v 2 = 0,8 m/s. 90. Przez rzekę o szerokości d przepływa łódka z przystani A do przystani B położonych na przeciwległych brzegach, przy czym przystań B leży w odległości s poniżej przystani A. Prędkość prądu rzeki wynosi v. Z jaką minimalną prędkością względem wody może płynąć łódka? 91. Na wykresie (rys. 3.2) przedstawiono zależność drogi od czasu dla pewnego ciała. Oblicz szybkość ciała w trzeciej i piątej sekundzie ruchu oraz szybkość średnią dla całego ruchu.

Rys. 3.2 Rys. 3.3 92. Na wykresie (rys. 3.3) pokazano zależności przemieszczenia dwu ciał od czasu. Narysuj wykresy prędkości tych ciał w funkcji czasu zachowując skalę czasu. Dla skali prędkości przyjmij 1 cm 0,5 m/s. Rys. 3.4 Rys. 3.5 93. Na wykresie (Rys. 3.4) przedstawiono zależność drogi od czasu dla pewnego ciała A. Narysuj na tym samym wykresie zależność drogi od czasu dla ciała B, które porusza się ruchem jednostajnym z prędkością równą średniej prędkości ciała A. 94. Na wykresie (rys. 3.5) przedstawiono zależność prędkości pewnego ciała od czasu. Narysuj wykres położenia ciała zachowując skalę czasu (x 0 =0) Przyjmij, że jednostka na osi drogi wynosi 1 m. 95. Na rysunku 3.6 przedstawiono wykres obrazujący ruch wody w rzece (II) oraz ruch statku w stojącej wodzie(i). Zachowując skalę narysuj wykresy obrazujące ruch statku względem brzegi a) gdy płynie z prądem, b) gdy płynie pod prąd. Rys. 3.6 96. Impuls światła z lasera wysłany w kierunku Księżyca odbił się od jego powierzchni i powrócił na Ziemię po czasie t = 2,533 s. Ile wynosi odległość Księżyca od Ziemi? Prędkość światła wynosi c = 3 10 8 m/s.

97. Pociąg towarowy jechał przez most długości l = 800 m ze stałą prędkością v = 18 km/h. Od chwili wjechania lokomotywy na most do chwili zjechania z mostu ostatniego wagonu upłynął czas t = 6 min 40 s. Oblicz długość pociągu. 98. Oblicz średnią szybkość wędrówki autostopowicza, który całą drogę przebył w trzech etapach: I 1/3 drogi samochodem osobowym z szybkością 60 km/h; 1/12 drogi pieszo z szybkością 5 km/h; III resztę drogi na przyczepie ciągnika z szybkością 21 km/h. 99. Samochód rajdowy przebył pierwszy odcinek trasy 180 km w czasie 2,5 h, a drugi odcinek o długości 120 km z szybkością 80 km/h. Oblicz średnią szybkość samochodu na całej trasie. 100. Traktor poruszał się w ciągu pierwszej minuty z szybkością 2,25 km/h, w ciągu drugiej minuty z szybkością 3,6 km/h, a wciągu trzeciej minuty z szybkością 5,18 km/h. Narysuj wykresy: a) drogi traktora w zależności od czasu, b) szybkości traktora w zależności od czasu. Na wykresie narysuj średnią szybkość traktora w ciągu trzech minut. 101. Samolot po starcie wznosił się w powietrze pod kątem 20 o do poziomu z prędkością o wartości 216 km/h. Jaką wysokość osiągnie ten samolot po czasie 10 s od chwili oderwania się od pasa startowego. 102. Ruchome schody poruszają się ze stałą prędkością 0,8 m/s. Wyznacz różnicę wysokości, jaką przebywa człowiek stojący na tych schodach w czasie 30 s, jeżeli kąt nachylenia schodów do poziomu wynosi 30 o. 103. Z każdego z dwóch samolotów wyskoczył jeden skoczek spadochronowy na różnych wysokościach, których stosunek wynosi h 1 :h 2 = 0,8; średnie szybkości opadania miały się do siebie jak v 1 :v 2 = 1,2. Oblicz, który skoczek dłużej przebywał w powietrzu i ile razy. 104. Obok stacji benzynowej przejechała ciężarówka. Po czasie t ze stacji wyjechał samochód osobowy, który zaczął gonić ciężarówkę jadąc ze średnią szybkością n razy większą od szybkości ciężarówki jadącej ruchem jednostajnym. Po jakim czasie samochód dogoni ciężarówkę? 105. Po rzece pod prąd płynie statek holujący łódkę. Prędkość prądu rzeki wynosi u, a statku względem wody v. W pewnej chwili łódka zrywa się z holu i zaczyna swobodnie spływać z prądem rzeki. Fakt zerwania się łódki stwierdzono na statku dopiero po czasie t. Wtedy natychmiast zawrócono statek i z tą samą prędkością względem wody zaczęto gonić łódkę. Po jakim czasie od momentu zauważenia braku łódki statek dogoni łódkę? 106. Samochodowa kolumna wojskowa o długości 2 km porusza się z prędkością 40 km/h. Z czoła kolumny wyruszył motocyklista na koniec kolumny i wrócił z meldunkiem z powrotem. Ile czasu upłynęło od wyjazdu do powrotu motocyklisty na czoło kolumny, jeśli jechał one ze średnią prędkością 60 km/h? Przekazanie meldunku zajęło motocykliście czas 36 s. 107. Elektrowozy dwóch pociągów elektrycznych jadących w przeciwne strony wjechały jednocześnie na skrzyżowanie z drogą. Ostatnie wagony tych pociągów również jednocześnie zjechały ze skrzyżowania. Czas mijania wynosił t = 15 s. Pierwszy pociąg jest n = 1,25 razy dłuższy niż drugi. Ile czasu pociąg pierwszy mijałby z tą samą prędkością nieruchomy pociąg drugi? 108. Przy wyprzedzaniu stojącego autobusu PKS samochód osobowy jadący z prędkością 72 km/h znajduje się na sąsiednim pasie ruchu przez czas 2,5 s. a) Ile czasu będzie się znajdował ten samochód na sąsiednim pasie ruchu podczas wyprzedzania autobusu jadącego z prędkością 60 km/h? b) Jaką drogę względem jezdni przebędzie w tym czasie w obu przypadkach?

109. Statek płynie z portu A do portu B z prądem rzeki w czasie 8 h, a czas rejsu powrotnego wynosi 16 h. Ile czasu płynęłaby tratwa z portu A do portu B? 110. Podczas zawodów motorowodnych na rzece ślizgacz przepłynął odległość między mostami, równą 6460 m w czasie 2 min 50 s z prądem rzeki, a pod prąd w czasie o 20 s dłuższym. Oblicz prędkość prądu rzeki prędkość ślizgacza względem wody. 111. Przez rzekę o szerokości 300 m przepływa pływak na przeciwległy brzeg i z powrotem w czasie 10 min dopływając do miejsca położonego o 800 m poniżej miejsca wypłynięcia. Znajdź wartość prędkości pływaka względem brzegu i kąt pod jakim płynął wiedząc, że kierunek jego prędkości względem wody był prostopadły do kierunku prędkości nurtu. 112. Samochód rajdowy przebył pierwszy odcinek trasy długości 180 km w czasie 3 h. W jakim czasie i z jaką prędkością średnią musi przejechać ten samochód drugi odcinek trasy długości 360 km, aby średnią prędkość na całej trasie wynosiła 90 km/h? 113. Dwa gołębie pocztowe, których prędkości lotu względem powietrza są jednakowe, wyruszyły jednocześnie z dwu miejscowości A i B odległych od siebie o 300 km i spotkały się po czasie 2,5 h. Podczas lotu wiał wiatr w kierunku od A do B z prędkością 5 m/s. a) Oblicz prędkość gołębi względem powietrza i względem Ziemi. b) W jakiej odległości od A nastąpiło spotkanie? c) Ile czasu leciał gołąb z B do A, a ile z A do B? 114. Samochód jadący z miejscowości A do B przejechał połowę drogi z prędkością 60 km, a drugą połowę z prędkością 90 km/h. Wracając, połowę czasu jechał z prędkością 90 km/h, a drugą połowę czasu z prędkością 60 km/h. Ile wynosiła średnia prędkość samochodu na drodze a) z A do B, b) z B do A, c) a ile na całej trasie? 115. Prędkość rzeki o szerokości 600 m wynosi 2 m/s. Pływak może płynąć z największą prędkością 6 km/h względem wody. a) Jaki największy kąt może tworzyć z linią brzegu wypadkowa prędkość pływaka? b) Po jakim czasie znajdzie się w tym wypadku na przeciwległym brzegu? 116. Człowiek pracujący w polu w punkcie A (rys.3.7) zobaczył idącego szosą sąsiada w punkcie B. Ruszył mu na spotkanie idąc do punktu C szosy z prędkością v 1 = 5 km/h. Z jaką prędkością szedł sąsiad, jeżeli obydwaj doszli do punktu C jednocześnie? Kąt α = 30 o, kąt β = 40 o. Rys. 3.7 Rys. 3.8 117. W pewnej chwili ciało A porusza się w kierunku ciała B ze stałą prędkością v 1 po linii prostej, natomiast ciało B porusza się w kierunku ciała C ze stałą prędkością v 2 (rys. 3.8). Odległość AB = l; prędkość ciała A względem ciała B wynosi v, z kierunkiem AB tworzy kąt β. W jakiej najmniejszej odległości od siebie znajdą się ciała i po jakim czasie to nastąpi licząc od chwili startu ciała A i B? 118. W chwili t = 0 ciało znajduje się w początku układu współrzędnych Oxy. Jego stała prędkość wynosi 3 ;4. W jakiej odległości od siebie znajdują się punkty, w których ciało znajdowało się po trzeciej i po siódmej sekundzie ruchu?

119. Punkt materialny porusza się jednostajnie z punktu A [3m; 1 m] do punktu B [7m; 9m] w prostokątnym układzie współrzędnych w czasie t = 4 s. Oblicz współrzędne wektora prędkości ciała oraz jego wartość. 120. Na rysunku 3.9 pokazano wektory prędkości dwu ciał: A i B. Oblicz współrzędne i wartość prędkości względnej ciała B względem ciała A. Rys. 3.9 121. Dwa samochody poruszają się w tym samym kierunku, z prędkościami o wartościach v 1 i v 2 po tym samym torze wzdłuż linii prostej. W pewnej chwili drugi samochód wyprzedza pierwszy o odległość x 0 > 0. Znaleźć: a) czas t s, po którym się spotkają, b) miejsce spotkania, c) Określić, jak zmienia się w czasie odległość między samochodami, d) Podać w którym z przypadków: v 1 >v 2, v 1 <v 2, v 1 =v 2 zadanie ma rozwiązanie. 122. Pociąg A ma długość s A, pociąg B długość s B. Gdy pociągi się mijają jadąc w tę samą stronę, to czas, który upływa od chwili gdy lokomotywa dogoni ostatni wagon pociągu B do chwili gdy ostatni wagon pociągu A minie lokomotywę B wynosi t 1. Gdy pociągi jadą w przeciwne strony, czas mijania wynosi t 2. Obliczyć wartości prędkości v A i v B obu pociągów. 123. Gdy dwa ciała A i B poruszają się ruchem jednostajnym zbliżając się do siebie po tej samej linii prostej, to odległość między nimi zmniejsza się o s 1 = 240 m w czasie każdych t 1 = 3 s. Jeżeli ciała z tymi samymi szybkościami będą się poruszać w tę samą stronę, to odległość między nimi będzie się zwiększać o s 2 = 80 m w ciągu każdych t 2 = 4 s. Obliczyć szybkości v A i v B obu ciał. 124. Dwaj uczniowie postanowili sprawdzić zasadę niezależności ruchów. Wypłynęli więc na jednakowych motorówkach na środek rzeki, rzucili na wodę koło ratunkowe i skierowali swe łodzie: jeden w górę rzeki, drugi w dół. Po upływie godziny każdy z nich zawrócił i popłynął w kierunku koła. Silniki obu łodzi były wyregulowane jednakowo, tak że względem wody płynęli oni z jednakowymi co do wartości prędkościami v. Zbadać, czy motorówki spotkają się przy kole ratunkowym równocześnie. Obliczyć wartość prędkości rzeki v 1, jeżeli koło do chwili spotkania motorówek przepłynęło 10 km względem brzegów. 125. Rybak zgubił koło ratunkowe na środku rzeki w momencie, gdy znajdował się naprzeciw przystani A. Następnie rybak skierował łódź tak, że jej oś była prostopadła do brzegu rzeki i po czasie t = 10 min dopłynął do brzegu. Natychmiast zawrócił, skierował łódź znów prostopadle do brzegu, dopłynął do koła i wyłowił je naprzeciw punktu B, odległego o s = 1,6 km od A w dół rzeki (licząc wzdłuż brzegu rzeki). Obliczyć wartość prędkości rzeki. 126. Z łodzi motorowej, płynącej w dół rzeki, wypadło koło ratunkowe. Po t 1 = 40 min łódź dopłynęła do punktu A znajdującego się w odległości s 0 = 1 km od punktu na brzegu, naprzeciw którego wypadło koło. W punkcie A łódź zawróciła i dopłynęła do koła ratunkowego. Następnie łódź znów zawróciła i po czasie t 2 = 24 min od chwili spotkania z

kołem znów znalazła się w punkcie A. Obliczyć prędkość wody w rzece. Jaka jest prędkość łodzi względem wody? 127. Z przystani A, znajdującej się nad rzeką płynącą z prędkością v 1, wypływa w dół rzeki łódź motorowa z prędkością v 2 względem wody. Z przystani B, znajdującej się w dole rzeki w odległości s0 od A, wypływa także łódź motorowa z prędkością v 3 w kierunku przystani A. Jak daleko od przystani A łodzie się spotkają? 128. Łódź płynie z prądem rzeki z przystani A do B w czasie t 1 = 3 h, a z B do A w czasie t 2 = 6 h. Ile czasu trzeba, aby łódź spłynęła z przystani A do B z wyłączonym silnikiem? 129. Z przystani A znajdującej się nad rzeką, która płynie z prędkością v 1, wyrusza z prędkością v 2 względem wody łódź motorowa skierowana prostopadle do brzegu. Obliczyć, w jakiej odległości l od przystani A wyląduje łódź, jeżeli wiadomo, że po przebyciu do przeciwległego brzegu zawróciła i znów została skierowana prostopadle do ruchu rzeki. Szerokość rzeki wynosi d. Obliczyć czas t trwania ruchu łodzi. 130. Na brzegu rzeki, która płynie z prędkością v 1, leży motorowa łódź ratownicza. W górze rzeki z mostu na środek rzeki spadło koło ratunkowe, które unosi się na wodzie. Jak trzeba skierować łódź, aby popłynęła ona w najkrótszym czasie do koła? 131. Łódź przepływa rzekę z punktu A do B leżącego naprzeciw A. Gdyby łódź w czasie przeprawy skierowana była prostopadle do brzegu, to trafiłaby do punktu C po upływie t 1. Punkt C leży w odległości l od B. Pod jakim kątem α względem linii łączącej AB była skierowana łódź, jeżeli przepłynęła z A do B po upływie czasu t 2? Obliczyć wartość prędkości v 2 łodzi względem wody i szerokość rzeki d. 132. Środkiem rzeki płynie statek z prędkością v 1 względem wody. Gdy statek przepływał naprzeciw przystani A z przystani tej wypłynęła motorówka, która rozwija prędkość v 2 względem wody. Pod jakim kątem do brzegu powinna być skierowana motorówka, aby dopłynęła ona do statku w najkrótszym czasie? Rozważ przypadki, gdy statek płynie w dół rzeki i w górę rzeki. 133. Prom kursuje między punktami A i B leżącymi na przeciwległych brzegach rzeki. Odległość między A i B wynosi l. Linią AB tworzy kąt α z brzegiem rzeki (rys. 3.10). Prędkość v 1 wody w rzece jest stała na całej szerokości rzeki. Jakie powinny być wartość i kierunek prędkości v 2 promu względem wody, aby przebył on drogę l w czasie t? Rys. 3.10 Rys. 3.11 134. Traktor przebył drogę o długości s 1 z prędkością v 1, a następnie skręcił i drogę o długości s 2 biegnącą pod kątem α do pierwszej przebył z prędkością v 2 (rys. 3.11). a) Obliczyć długość wektora prędkości średniej ś na całej trasie i kąt β, który tworzy ona z prędkością. b) Obliczyć średnią szybkość v s poruszania się traktora na całej trasie.

b. Ruch jednostajnie zmienny. 135. W badaniach samochodów często uwzględnia się czas rozpędzania do prędkości v = 100 km/h. Oblicz wartość przyspieszenia średniego dla fiata 126 p, dla poloneza i sportowego porsche, jeżeli czasy te wynoszą odpowiednio 47 s, 16 s, 6 s. 136. Ciało zostało wyrzucone pionowo do góry z prędkością początkową v 0 = 40 m/s. Po upływie t = 2 s miało jeszcze prędkość v = 20 m/s. Oblicz wartość (współrzędnej) przyspieszenia średniego w tym ruchu. 137. Rzucono piłkę pionowo do góry z prędkością v 0 = 20 m/s. Piłka spadła z powrotem na ziemię po upływie t = 4 s, mając taką samą prędkość jak na początku, ale przeciwnie zwróconą. Oblicz wartość przyspieszenia średniego w tym ruchu. 138. Narysuj wykres v(t) i x(t), gdy x(0) = 0 i v(0) = 0, wykorzystując rysunek 3.12: Rys. 3.12 Rys. 3.13 139. Na podstawie wykresu (rys. 3.13) narysuj wykres a(t) i x(t), gdy x(0) = 0. 140. Robotnik produkował śruby z wydajnością k wyrażoną w jednostkach sens fizyczny pola pod wykresem k(t) (rys. 3.14)?!" ś$! %. Jaki jest Rys. 3.14 141. Samochód wyjechał z bocznej ulicy z prędkością początkową v 0 = 10 m/s i poruszał się z przyspieszeniem a = 1 m/s 2. Po jakim czasie osiągnie on prędkość v = 20 m/s i w jakiej odległości będzie znajdował się wtedy od obserwatora, jeżeli wiemy, że obserwator był oddalony od skrzyżowania o x 0 = 100 m. 142. Na rysunku 3.15 przedstawiono wykresy zależności między prędkości a czasem ruchu ciał A, B, C, D. Na podstawie wykresów: a) wyznacz przyspieszenie każdego z tych ciał, a następnie b) narysuj wykresy zależności przyspieszenia od czasu dla każdego z nich. Zachowaj skalę czasu.

Rys. 3.15 Rys. 3.16 143. Na rysunku 3.16 pokazano zależność prędkości ciała od czasu. Oblicz przyspieszenie ciała w chwilach t 1 = 1 s, t 2 = 3 s, t 3 = 5 s. 144. Wykres zależności przesunięcia pewnego ciała od czasu pokazano na rysunku. W których chwilach prędkość ciała była równa zeru? Rys. 3.17 Rys. 3.18 145. Wykres zależności położenia pewnego ciała od czasu przedstawiono na rysunku 3.18. W których chwilach ruchu prędkość ciała była równa zeru? Kiedy była największa? 146. Narysuj wykresy prędkości w zależności od czasu dwóch ciał, dla których zależność przyspieszenia od czasu przedstawiono na rysunku 3.19. W obu przypadkach prędkość początkowa jest równa zeru. Rys. 3.19 Rys. 3.20 147. Narysuj wykres zależności przyspieszenia od czasu dla ciał, dla których wykresy zależności prędkości od czasu przedstawiono na rysunku 3.20. 148. Opisz charakter ruchu przedstawionego na rysunku 3.21. Narysuj wykres zależności prędkości od czasu; odcinki OA i BC są częściami paraboli. 149. Na rysunku 3.22 przedstawiono wykres zależności prędkości dwóch ciał od czasu. Udowodnij, że pole prostokąta ACDE jest równe polu trójkąta ABC. Co reprezentuje jedno i drugie?

Rys. 3.21 Rys. 3.22 Rys. 3.23 150. * Na rysunku 3.23 przedstawiono wykres zależności prędkości dwóch ciał od czasu. Na podstawie wykresu udowodnij, że ciało poruszające się z prędkością początkową v 3 przebyło mniejszą drogę w czasie t 0 niż drugie ciało w tym samym czasie (t 1 <0,5t 0 ). Rys. 3.24 Rys. 3.25 Rys. 3.26 151. Na rysunku 3.24 przedstawiono wykres zależności prędkości dwóch ciał od czasu. Ciało A przebyło w czasie t A = 5 s drogę równą polu zakreskowanego prostokąta. W jakim czasie ciało B przebędzie taką samą drogę? Narysuj na tym wykresie prostokąt, którego pole odpowiada drodze przebytej przez ciało B. Przyjmij, że obie proste są równoległe. 152. Na rysunku 3.25 przedstawiono wykres zależności przyspieszenia ciała od czasu. Jaka jest prędkość tego ciała w chwili końcowej ruchu, jeżeli S 1 = S 2 i prędkość początkowa v 0 = 0. Opisz ruch tego ciała. 153. Na rysunku 3.26 przedstawiono wykres zależności prędkości pewnego ciała od czasu. a) W jakiej odległości od punktu startu znalazło się ciało po czasie t 0, jeśli S 1 = S 2? b) Jaką drogę przebyło ciało? 154. Na rysunku 3.27 przedstawiono zależność prędkości od czasu dla suwnicy poruszającej się prostoliniowo wzdłuż osi x. Ruch zakończył się po siedmiu sekundach. a) Opisz ruch tej suwnicy. b) Oblicz, w jakiej odległości od punktu startu (x 0 = 0) znajdzie się suwnica w chwili t = 2 s. c) Oblicz przemieszczenie suwnicy, jakie nastąpiło w czasie dwóch pierwszych sekund ruchu. d) Oblicz całkowitą drogę przebytą przez suwnicę. e) Oblicz wartość wektora całkowitego przemieszczenia. f) Oblicz szybkość średnią suwnicy w tym ruchu. g) Oblicz wartość prędkości średniej suwnicy w tym ruchu. h) Ile wynosi średnie przyspieszenie suwnicy w tym ruchu? i) Narysuj wykres przyspieszenia chwilowego od czasu dla ruchu suwnicy.

Rys. 3.27 155. Prędkość pocisku karabinowego przy wylocie z lufy wynosi 800 m/s. Długość lufy jest równa 64 cm. Oblicz a) czas lotu pocisku w lufie oraz b) jego przyspieszenie, zakładając, że lot pocisku w lufie jest jednostajnie przyspieszony. 156. Rakieta startuje z Ziemi pionowo do góry ze stałym przyspieszeniem 32 m/s 2. a) Na jakiej wysokości nad Ziemią rakieta będzie miała prędkość równą prędkości kuli karabinowej (800 m/s)? b) Po jakim czasie osiągnie tę prędkość? 157. W chwili gdy autobus jadący ruchem jednostajnym z prędkością v 1 = 20 m/s przejeżdżał obok stojącego samochodu, samochód ruszył ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a = 2 m/s 2 w pogodni za autobusem. Kiedy, gdzie i z jaką prędkością samochód dogoni autobus? Zilustrować ruchy obu pojazdów na wykresach v(t) i x(t). 158. Gdy spóźniony pasażer wbiegł na peron, ostatni wagon pociągu znajdował się w odległości 100 m od niego. Pasażer zaczął biec w stronę pociągu ruchem jednostajnym z prędkością v 1 = 5 m/s. Po Δt = 10 s pociąg ruszył ruchem jednostajnie przyspieszonym. Pasażer dogonił ostatni wagon po t = 30 s (od początku swojego ruchu). Ułóż równania ruchu ciał i oblicz przyspieszenie pociągu. Przedstaw ruch obu ciał na jednym wykresie x(t). 159. Piłkę tenisową rzucono pionowo do góry, nadając jej prędkość początkową v 0. Napisz równania ruchu v(t) i y(t). Przyjmując v 0 = 30 m/s i g = 10 m/s 2, oblicz gdzie znajdowała się i z jaką prędkością poruszała się piłka a) po dwóch sekundach ruchu, b) po czterech sekundach ruchu. c) Kiedy i z jaką prędkością piłka spadła na ziemię? 160. Z balkonu znajdującego się na wysokości h = 20 m rzucono pionowo do góry piłkę, nadając jej prędkość v 0 = 20 m/s. Ułóż równania ruchu. Oblicz, jaką prędkość będzie miała piłka i gdzie będzie znajdować się po czasie t = 3 s. Pamiętaj o dobraniu odpowiedniego układu odniesienia. 161. Wagon popchnięty przez lokomotywę przejechał drogę 37,5 m. Zakładając, że ruch wagonu był jednostajnie opóźniony, oblicz: a) jego prędkość początkową i b) opóźnienie. Czas ruchu wagonu wynosi 10 s. 162. Po jakim czasie można zatrzymać pojazd jadący z prędkością 72 km/h, jeśli największe opóźnienie przy hamowaniu wynosi 5 m/s 2? Ile wyniesie droga hamowania?

163. Pocisk poruszający się z prędkością 500 m/s wbija się w deskę na głębokość 5 cm. Zakładając, że ruch ciała w desce jest jednostajnie opóźniony, oblicz czas wbijania się pocisku w deskę oraz opóźnienie jego ruchu. 164. Krążek hokejowy o prędkości początkowej 15 m/s przebył po lodzie drogę 60 m i uderzył w bandę po czasie 6 s. Z jaką prędkością krążek uderzył w bandę, jeśli jego ruch był jednostajnie opóźniony? 165. Pociąg poruszał się z prędkością v 0 = 108 km/h. Po zauważeniu czerwonego sygnału maszynista uruchomił hamulce i pociąg zaczął opóźniać swój bieg z a = 0,2 m/s 2. Ułóż równania ruchu, narysuj wykresy v(t) i x(t). Kiedy i gdzie zatrzyma się pociąg? Zaznacz zatrzymanie się pociągu na obu wykresach. 166. Z balkonu znajdującego się na wysokości h = 20 m puszczono swobodnie piłkę. Równocześnie z powierzchni ziemi rzucono do góry drugą piłkę, nadając jej prędkość v 0 = 20 m/s. Gdzie i kiedy piłki spotkają się? Przyjmując dodatni zwrot osi Oy do góry, narysuj wykres y(t). 167. Samochód, który poruszał się początkowo z prędkością v 0 = 10 m/s zwiększył swą prędkość do wartości v = 20 m/s. Przebył w tym czasie drogę s = 300 m. Oblicz czas ruchu i przyspieszenie. 168. Ciało ruszyło z miejsca i ruchem jednostajnie przyspieszonym przebyło drogę s = 200 m osiągając prędkość końcową v =10 m/s. Oblicz czas i przyspieszenie ruchu tego ciała. 169. Samochód jadący z prędkością v 0 = 30 m/s zahamował w czasie t = 15 s. Oblicz drogę hamowania. 170. Toczący się walec zwolnił na odcinku s = 2 m do prędkości trzykrotnie mniejszej niż początkowa. Wartość opóźnienia walca wynosiła a = 0,02 m/s 2. Oblicz czas jego ruchu. 171. Ciało poruszając się ruchem jednostajnie przyspieszonym w ciągu t = 20 s, osiągnęło prędkość v = 20 m/s. Jaką drogę przebyło w ciągu pierwszych 10 s swego ruchu, a jaką w ciągu następnych 10 s? 172. Samochód sportowy w ciągu t = 10 s może uzyskać prędkość v = 100 km/h. Przyjmując, że przyspieszenie jest stałe, oblicz, na jakiej drodze samochód osiągnie prędkość 90 km/h po wyjeździe z obszaru zabudowanego, gdzie poruszał się z dozwoloną tam prędkością 60 km/h. 173. Ruch pewnego ciała pokazano na poniższym wykresie (rys. 3.28). Oblicz, ile czasu trwał ruch tego ciała. Rys. 3.28 174. Wyrzucony pionowo do góry kamień osiągnął największą swoją wysokość po upływie t = 3 s. Oblicz, jaka to była wysokość. 175. W hali sportowej o wysokości h = 10 m podrzucono pionowo do góry piłeczkę tenisową. Po upływie t = 1s piłka uderzyła z pewną prędkością w sufit. Oblicz tę prędkość. Na jaką wysokość dotarłaby piłeczka, gdyby hala była nieskończenie wysoka. 176. W odległości 140 m przed mostem motocyklista jadący z prędkością 60 km/h zobaczył znak ograniczający prędkość na moście do 10 km/h. Motocyklista zaczął hamować poruszając się

dalej ruchem jednostajnie opóźnionym, z opóźnieniem 2 m/s 2. Jaką drogę przebędzie ruchem jednostajnie zmiennym do chwili, gdy osiągnie prędkość 10 km/h? 177. Punkt A poruszając się ruchem jednostajnie opóźnionym z opóźnieniem a stracił połowę swojej prędkości początkowej v 0. Znajdź czas, w jakim to nastąpiło, a także przebytą w tym czasie drogę. 178. Dźwig zaczyna unosić do góry ciężką skrzynię; przez t 1 = 2 s skrzynia porusza się z przyspieszeniem a 1 = 0,5 m/s 2, a następnie przez t 2 = 11 s ruchem jednostajnym, a przez następne t 3 = 2 s z opóźnieniem 0,5 m/s 2. a) Na jaką wysokość podniesiono skrzynię? b) Jaką prędkość ma skrzynia po czasie Δt = 15 s licząc od chwili początkowej? 179. Dwa samochody: osobowy i ciężarowy wyruszają jednocześnie z tego samego miejsca, w tym samym kierunku z prędkością początkową równą zeru; pierwszy z przyspieszeniem 1,4 m/s 2, drugi z przyspieszeniem 0,5 m/s 2. Ile będzie wynosiła różnica prędkości i jaka będzie odległość między samochodami po czasie 10 s? 180. Dwaj rowerzyści jadą naprzeciw siebie drogą biegnącą po stoku góry. Zjeżdżający ma prędkość początkową 1,5 m/s i przyspieszenie 0,2 m/s 2. Podjeżdżający pod górę ma prędkość 12,5 m/s i opóźnienie 0,15 m/s 2. W jakiej odległości byli od siebie na początku, jeżeli spotkali się po czasie 30 s? Jak daleko może podjechać drugi kolarz? 181. Dwa ciała poruszają się ruchem jednostajnie zmiennym w kierunkach wzajemnie prostopadłych, pierwsze z przyspieszeniem 3 m/s 2, drugie z opóźnieniem 4 m/s 2. Prędkości początkowe wynoszą odpowiednio dla pierwszego i drugiego ciała: 5 m/s i 12 m/s. Oblicz: a) względne przyspieszenie ciała II względem ciała I, b) * czas, po którym względna prędkość ciał wyniesie 23 m/s. 182. Pojazd rusza z miejsca ruchem jednostajnie przyspieszonym. W końcu czwartej sekundy ruchu jego prędkość wynosiła 8 m/s. Jaką drogę przebył pojazd w ciągu czwartej sekundy ruchu? 183. W czwartej sekundzie ruchu jednostajnie zmiennego bez prędkości początkowej ciało przebyło drogę 2 m. Jaką prędkość osiągnie to ciało pod koniec siódmej sekundy ruchu? 184. Ciało poruszając się ruchem jednostajnie przyspieszonym przebyło w szóstej sekundzie ruchu drogę 22 m. Jaką drogę przebyło w pierwszych sześciu sekundach ruchu, a jaką w następnych sześciu? Prędkość początkowa wynosiła zero. 185. * Współrzędne dwóch ciał A i B wynoszą w chwili początkowej (t = 0) x A = 0 m, x B = 25 m, ich prędkości v A = 1 m/s, v B = 5 m/s i przyspieszenia a A = 1,16 m/s 2, a B = 0,2 m/s 2. Po jakim czasie ciało A dogoni B. Oblicz współrzędną punktu spotkania. 186. Od pociągu towarowego jadącego z prędkością 36 km/h odczepił się ostatni wagon, który poruszał się dalej ruchem jednostajnie opóźnionym. Oblicz opóźnienie wagonu i drogę, jaką przejechał, jeżeli pociąg od chwili odczepienia wagonu do chwili jego zatrzymania przejechał odległość 1200 m. 187. Dwa ciała znajdujące się w pewnej chwili w tym samym punkcie poruszają się po jednej linii prostej. Prędkości początkowe i przyspieszenia obu ciał wynoszą odpowiednio v 1 = 1 m/s, a 1 = 4 m/s 2 i v 2 = 3m/s, a 2 = -2 m/s 2. Po jakim czasie ciała ponownie się spotkają? W jakiej odległości od poprzedniego punktu spotkania? 188. Punkt A poruszając się ruchem jednostajnie opóźnionym przebył w ciągu czasu t 1 = 2 s odległość s 1 = 24 m, a w ciągu następnego czasu t 2 = 4s odległość s 2 = 24 m. Znajdź prędkość początkową punktu A oraz jego opóźnienie.

189. Udowodnij, że w ruchu jednostajnie przyspieszonym bez prędkości początkowej droga przebyta przez ciało w trzynastej sekundzie jest równa drodze przebytej przez to ciało w ciągu pierwszych pięciu sekund niezależnie od wartości przyspieszenia. 190. * Dwaj rowerzyści wyruszyli jednocześnie z jednego miejsca. Pierwszy z nich jechał ruchem jednostajnym z prędkością 500 m/min, a drugi ze stałą prędkością 300 m/min. Po 5 minutach drugi rowerzysta zatrzymał się, a następnie zaczął jechać ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem 0,2 km/min 2. a) Po jakim czasie od chwili zatrzymania dogonił on pierwszego rowerzystę? b) Jaką prędkość miał każdy z nich w tym momencie? 191. Ciało będące w ruchu jednostajnym zaczęło poruszać się ruchem jednostajnie przyspieszonym i po czasie t przebyło drogę s. Znajdź przyspieszenie ciała, jeżeli jego prędkość wzrosła n razy. 192. Zależność położenia od czasu pewnego ciała można przedstawić równaniem x(t) = A + Bt + Ct 2, gdzie A = 3 m, B = 2 m/s, C = 1m/ 2. Oblicz średnią prędkość i przyspieszenie ciała w pierwszej, drugiej i trzeciej sekundzie ruchu. 193. Punkt materialny porusza się z przyspieszeniem & 3 ';1 ', a jego prędkość początkowa wynosi ) 0 ;2 oraz wektor położenia początkowego ) +1,;0,-. Oblicz prędkość i położenie punktu po czasie t = 8 s. 194. Zależność położenia punktu materialnego od czasu określone jest równaniem:./0 +0,;0,-1 ;2 /0,5 ';0 '/. Podaj równanie wyrażające zależność prędkości od czasu./0. 195. Zależność wektora położenia ciała od czasu dana jest wzorem./0 +/;2// - (w jednostkach układu SI). Oblicz wartości bezwzględne prędkości początkowej i przyspieszenia. Podpowiedź: przedstaw wektor./0 jako różnicę dwóch wektorów. 196. Dwa pręty znajdują się w chwili początkowej na osi układu współrzędnych jak na rysunku 3.29. Pręty zaczynają poruszać się z przyspieszeniami a 1 = 5 m/s 2 i a 2 = 3 m/s 2. Jak długo będzie trwało mijanie się prętów? Rys. 3.29 197. * Dwa samochody wyjechały równocześnie ze stacji O i po czasie t = 2 h przybyły do stacji A. Pierwszy samochód przebył połowę drogi ze stałą prędkością v 1 = 30 km/h, a drugą połowę drogi z prędkością v 2 = 45 km/h. Drugi samochód wyruszył ze stacji z prędkością początkową równą zeru i cały czas jechał ruchem jednostajnie przyspieszonym. Obliczyć odległość OA, przyspieszenie a drugiego samochodu i jego prędkość końcową v k. W której chwili prędkości samochodów będą jednakowe? Sporządzić wykres prędkości w funkcji czasu dla obu samochodów. 198. W jakim czasie ciało swobodnie spadające przebędzie n-ty metr swej drogi? 199. Rozwiąż zadanie Galileusza: z punktu A leżącego na obwodzie koła o średnicy d w płaszczyźnie pionowej poprowadzono cięciwy (rys. 3.30). Traktując każdą z nich jako równię, oblicz, ile czasu będzie się zsuwać z punktu A bez tarcia ciało zanim osiągnie ono obwód koła?

Rys. 3.30 200. Ciało wyrzucone pionowo w górę dwukrotnie mija punkt A znajdujący się na wysokości y A. Czas między przejściami przez punkt A wynosi Δt. Znaleźć prędkość początkowa ciała oraz czas t, po którym ciało wróci do miejsca wyrzucenia. 201. Od rakiety, która wznosi się pionowo do góry, w chwili gdy ma ona prędkość v0 oderwał się na wysokości h jeden z niepotrzebnych już zbiorników paliwa. Znaleźć czas t, po którym zbiornik ten opadnie na ziemię, oraz prędkość v k, z jaką zbiornik spadnie na ziemię. Opory powietrza pominąć. 202. Obserwator stojący na peronie zauważył, że pierwszy wagon ruszającego przed nim pociągu minął go w czasie t 1 = 3. Obliczyć czas t n, w którym cały pociąg składający się z n = 9 wagonów minie obserwatora oraz czas Δt mijania ostatniego wagonu. Ruch pociągu jest jednostajnie przyspieszony. 203. Ciało spadające swobodnie ma w punkcie A prędkość v A = 40 cm/s, a w B prędkość v B = 250 cm/s. Określić odległość AB. 204. Ciało, które rzucono pionowo w dół z pewnej wysokości, po upływie czasu t 1 znalazło się na wysokości h 1, a po upływie czasu t 2 na wysokości h 2. Z jakiej wysokości h rzucono ciało? 205. Dwa ciała wrzucono w górę z tego samego miejsca z jednakowymi prędkościami v 0 w odstępie czasu t 0. Znaleźć czas i miejsce spotkania ciał. Zbadać, jak zależy odległość między ciałami od czasu oraz jaka jest prędkość drugiego ciała względem pierwszego. 206. Spadające swobodnie ciało przeszło w ostatnich Δt sekundach swego ruchu 2/3 całej swojej drogi. Znajdź drogę s, którą przebyło ciało od początku ruchu. 207. Dwa ciała poruszają się w kierunku pionowym. Jedno z nich wyrzucone zostało z prędkością v 0y w górę, drugie zaś w tej samej chwili puszczone zostało swobodnie z wysokości H. Zbadać, jak zależy odległość między ciałami w funkcji czasu. Sporządzić przybliżony wykres y(t) dla każdego ciała oraz podać interpretację wyniku na wykresie. Znaleźć miejsce spotkania ciał oraz czas, po którym się spotkają. 208. Z dachu co Δt = 0,1 s spadają krople wody. W jakiej odległości od siebie znajdować się będą dwie kolejne krople wody: druga i trzecia po czasie t = 1 s, licząc od początku ruchu pierwszej kropli? 209. Klin o kącie nachylenia α przemieszcza się w płaszczyźnie poziomej z przyspieszeniem a x (rys. 3.31). Obliczyć, jakie jest przyspieszenie a y pręta, który opiera się o klin i może swobodnie się przemieszczać jedynie w kierunku pionowym. 210. Klin o kącie nachylenia α przemieszcza się w płaszczyźnie poziomej z przyspieszeniem a x. Znaleźć przyspieszenie, z jakim porusza się pręt, którego koniec opiera się o nachyloną płaszczyznę klina, jak na rysunku 3.32.

Rys. 3.31 Rys. 3.32 211. Równia pochyła o kącie nachylenia α może przemieszczać się w kierunku poziomym. Z jakim przyspieszeniem powinna poruszać się równia, aby swobodnie spadające na nią z góry ciało znajdowało się stale w tej samej odległości od nachylonej płaszczyzny równi? Zakładamy, że ruch ciała i równi rozpoczyna się w tej samej chwili.