Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12
Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych
Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych
Na poczatek łamigłówka, 1917
Jak rysować grafy? Definicja Krzywa na płaszczyźnie nazywamy obraz ciagłego odwzorowaniaφ: [0, 1] R 2. Punkty φ(0) i φ(1) nazywamy końcami krzywej. Krzywa nazywamy zwykła (ang. simple), gdy φ (0,1] oraz φ [0,1) sa odwzorowaniami różnowartościowymi. Krzywa nazywamy zamknięta, gdy φ(0) = φ(1). Twierdzenie (o krzywej Jordana, 1887) Zwykła krzywa zamknięta dzieli płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest brzegiem każdego z nich.
Jak rysować grafy? Definicja Krzywa na płaszczyźnie nazywamy obraz ciagłego odwzorowaniaφ: [0, 1] R 2. Punkty φ(0) i φ(1) nazywamy końcami krzywej. Krzywa nazywamy zwykła (ang. simple), gdy φ (0,1] oraz φ [0,1) sa odwzorowaniami różnowartościowymi. Krzywa nazywamy zamknięta, gdy φ(0) = φ(1). Twierdzenie (o krzywej Jordana, 1887) Zwykła krzywa zamknięta dzieli płaszczyznę na dwa odrębne obszary i jest brzegiem każdego z nich.
Jak rysować grafy? II Definicja Rysunkiem (ang. drawing) grafu G = (V, E,γ) na płaszczyźnie nazywamy funkcję f określona na V E, która przyporzadkowuje wierzchołkom grafu różne punkty w R 2, zaś każdej krawędzi e E pewna krzywa zwykła o końcach w f γ(e). Dla e, e E, e e punkt z f(e) f(e ) który nie jest wspólnym końcem obu krzywych jest przecięciem krawędzi. Uwaga Aby uniknać trudności od strony topologii zamiast krzywych używa się łamanych. W tym wykładzie będziemy się odwoływać tylko do intuicji topologicznej, więc pozostaniemy przy pojęciu krzywej.
Jak rysować grafy? II Definicja Rysunkiem (ang. drawing) grafu G = (V, E,γ) na płaszczyźnie nazywamy funkcję f określona na V E, która przyporzadkowuje wierzchołkom grafu różne punkty w R 2, zaś każdej krawędzi e E pewna krzywa zwykła o końcach w f γ(e). Dla e, e E, e e punkt z f(e) f(e ) który nie jest wspólnym końcem obu krzywych jest przecięciem krawędzi. Uwaga Aby uniknać trudności od strony topologii zamiast krzywych używa się łamanych. W tym wykładzie będziemy się odwoływać tylko do intuicji topologicznej, więc pozostaniemy przy pojęciu krzywej.
Jak rysować grafy? Intuicja Przesuwajac rysunek krawędzi odrobinkę możemy zapewnić, aby żadne trzy krawędzie nie miały wspólnego przecięcia, aby żadne dwie nie były styczne i aby krawędzie nie przechodziły przez wierzchołki których końcami nie sa. Jeśli dwie krawędzie przecinaja się więcej niż raz łatwo można je zmienić, by zmniejszyć ilość przecięć (rysunek), więc założymy, że każde dwie krawędzie przecinaja się co najwyżej raz. Rozważać będziemy wyłacznie rysunki grafów o takich własnościach.
Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych
Grafy planarne i grafy płaskie Definicja Graf G jest planarny (ang. planar) gdy istnieje jego rysunek na płaszczyźnie bez przecięć krawędzi. Grafem płaskim nazywamy taki rysunek grafu planarnego (dlaczego jest to graf?). Definicja Niech G będzie grafem płaskim. Ścianami/regionami (ang. face) nazywamy maksymalne zbiory otwarte i spójne, które nie zawieraja punktów należacych do V(G) e E. Skończony graf płaski ma jeden nieograniczony region (nazywany zewnętrznym)
Grafy planarne i grafy płaskie Definicja Graf G jest planarny (ang. planar) gdy istnieje jego rysunek na płaszczyźnie bez przecięć krawędzi. Grafem płaskim nazywamy taki rysunek grafu planarnego (dlaczego jest to graf?). Definicja Niech G będzie grafem płaskim. Ścianami/regionami (ang. face) nazywamy maksymalne zbiory otwarte i spójne, które nie zawieraja punktów należacych do V(G) e E. Skończony graf płaski ma jeden nieograniczony region (nazywany zewnętrznym)
Grafy dualne Definicja Grafem dualnym do grafu płaskiego G nazywamy taki graf G, którego zbiór wierzchołków tworza punkty po jednym z każdej ściany G. Krawędzie w G odpowiadają krawędziom w G jak następuje: jeśli krawędź e E(G) należy do brzegu obszarów X i Y, wówczas krawędź dualna e E(G ) łaczy wierzchołki x X i y Y, jeśli zaś krawędź e należy do brzegu jednego obszaru krawędź e jest pętla.
Grafy dualne Definicja Grafem dualnym do grafu płaskiego G nazywamy taki graf G, którego zbiór wierzchołków tworza punkty po jednym z każdej ściany G. Krawędzie w G odpowiadają krawędziom w G jak następuje: jeśli krawędź e E(G) należy do brzegu obszarów X i Y, wówczas krawędź dualna e E(G ) łaczy wierzchołki x X i y Y, jeśli zaś krawędź e należy do brzegu jednego obszaru krawędź e jest pętla.
Grafy dualne Obserwacja Graf dualny do grafu płaskiego jest planarny. Uwaga Przy bardziej formalnym podejściu w definicji grafu dualnego do sposobu rysowania jego krawędzi można uzyskać, że graf dualny do grafu płaskiego jest płaski. Można wówczas udowodnić, że dla każdego grafu płaskiego G zachodzi (G ) = G wtedy i tylko wtedy gdy G jest spójny. Uwaga Dwa grafy płaskie odpowiadające grafowi planarnemu G moga mieć nieizomorficzne grafy dualne.
Grafy dualne Obserwacja Graf dualny do grafu płaskiego jest planarny. Uwaga Przy bardziej formalnym podejściu w definicji grafu dualnego do sposobu rysowania jego krawędzi można uzyskać, że graf dualny do grafu płaskiego jest płaski. Można wówczas udowodnić, że dla każdego grafu płaskiego G zachodzi (G ) = G wtedy i tylko wtedy gdy G jest spójny. Uwaga Dwa grafy płaskie odpowiadające grafowi planarnemu G moga mieć nieizomorficzne grafy dualne.
Grafy dualne Definicja Niech G będzie grafem płaskim. Obwodem ściany (ang. face length) f nazywamy sumę długości najkrótszych zamkniętych spacerów w G po brzegach ściany f. Obserwacja Jeśli przez l(f) oznaczymy obwód ściany f w grafie płaskim G to 2 E(G) = i l(f i). Twierdzenie Niech G będzie grafem płaskim. Wówczas G jest dwudzielny wtedy i tylko wtedy, gdy G jest eulerowski.
Wzór Eulera Twierdzenie (Euler, 1758) Jeśli G jest spójnym grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian, to: Wniosek n m+f = 2. Jeśli G jest grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian i k spójnych składowych to n m+f = k + 1.
Wzór Eulera Twierdzenie (Euler, 1758) Jeśli G jest spójnym grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian, to: Wniosek n m+f = 2. Jeśli G jest grafem płaskim i G ma n wierzchołków m krawędzi i f ścian i k spójnych składowych to n m+f = k + 1.
Wzór Eulera dalsze wnioski Twierdzenie Jeśli G jest prostym grafem planarnym o najmniej trzech wierzchołkach wówczas E(G) 3 V(G) 6. Co więcej, jeśli w G nie ma trójkatów to E(G) 2 V(G) 4. Wniosek Grafy K 5 i K 3,3 nie sa planarne. Wniosek Każdy prosty graf planarny ma wierzchołek o stopniu co najwyżej 5 (3, jeśli graf jest bez trójkatów).
Wzór Eulera dalsze wnioski Twierdzenie Jeśli G jest prostym grafem planarnym o najmniej trzech wierzchołkach wówczas E(G) 3 V(G) 6. Co więcej, jeśli w G nie ma trójkatów to E(G) 2 V(G) 4. Wniosek Grafy K 5 i K 3,3 nie sa planarne. Wniosek Każdy prosty graf planarny ma wierzchołek o stopniu co najwyżej 5 (3, jeśli graf jest bez trójkatów).
Wzór Eulera dalsze wnioski Twierdzenie Jeśli G jest prostym grafem planarnym o najmniej trzech wierzchołkach wówczas E(G) 3 V(G) 6. Co więcej, jeśli w G nie ma trójkatów to E(G) 2 V(G) 4. Wniosek Grafy K 5 i K 3,3 nie sa planarne. Wniosek Każdy prosty graf planarny ma wierzchołek o stopniu co najwyżej 5 (3, jeśli graf jest bez trójkatów).
Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych
Minory topologiczne i minory Definicja Niech G = (V, E,γ) będzie grafem, zaś e E jego krawędzia o końcach u i v. Podziałem topologicznym (ang. subdivision) krawędzi e nazywamy graf Ge = (V {w}, E \{e} {e 1, e 2 },γ ) powstały przez zastapienie krawędzi e ścieżka (u, e 1, w, e 2, v). Podziałem topologicznym grafu G nazwiemy dowolny graf X powstały przez (być może wielokrotne) podziały topologiczne krawędzi. O grafie G powiemy wtedy, że jest minorem topologicznym dowolnego nadgrafu X. Definicja Niech G = (V, E,γ) będzie grafem, zaś e E jego krawędzia o końcach u i v. Ściagnięciem (ang. contraction) krawędzi e nazywamy graf G/e = (V \{u, v} {w}, E \{e},γ ), w którym krawędzie majace w grafie G końce w u lub v maja odpowiednie końce w w. Graf X jest minorem grafu G, gdy graf izomorficzny z X można uzyskać przez (być może powtarzane) operacje ściagania (ang. contraction) krawędzi pewnego podgrafu G.
Minory topologiczne i minory Obserwacja Każdy minor topologiczny grafu G jest także minorem. Obserwacja Dowolny podział topologiczny grafu nieplanarnego jest nieplanarny. Zatem minory topologiczne grafu planarnego sa planarne. Wniosek Dowolny podział topologiczny grafów K 5 i K 3,3 jest nieplanarny. Obserwacja Podobny fakt zachodzi dla (zwykłych) minorów. Zatem żaden graf planarny nie ma minora izomorficznego z K 5 ani K 3,3.
Minory topologiczne i minory Obserwacja Każdy minor topologiczny grafu G jest także minorem. Obserwacja Dowolny podział topologiczny grafu nieplanarnego jest nieplanarny. Zatem minory topologiczne grafu planarnego sa planarne. Wniosek Dowolny podział topologiczny grafów K 5 i K 3,3 jest nieplanarny. Obserwacja Podobny fakt zachodzi dla (zwykłych) minorów. Zatem żaden graf planarny nie ma minora izomorficznego z K 5 ani K 3,3.
Minory topologiczne i minory Obserwacja Każdy minor topologiczny grafu G jest także minorem. Obserwacja Dowolny podział topologiczny grafu nieplanarnego jest nieplanarny. Zatem minory topologiczne grafu planarnego sa planarne. Wniosek Dowolny podział topologiczny grafów K 5 i K 3,3 jest nieplanarny. Obserwacja Podobny fakt zachodzi dla (zwykłych) minorów. Zatem żaden graf planarny nie ma minora izomorficznego z K 5 ani K 3,3.
Twierdzenie Kuratowskiego Twierdzenie (Kuratowski, 1930) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podziału topologicznego grafów K 5 ani K 3,3. Ekwiwalentne twierdzenie można wyrazić w języku minorów. Twierdzenie (Wagner, 1937) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy ani K 5 ani K 3,3 nie sa minorami G.
Twierdzenie Kuratowskiego Twierdzenie (Kuratowski, 1930) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera podziału topologicznego grafów K 5 ani K 3,3. Ekwiwalentne twierdzenie można wyrazić w języku minorów. Twierdzenie (Wagner, 1937) Graf G jest planarny wtedy i tylko wtedy, gdy ani K 5 ani K 3,3 nie sa minorami G.
Hipoteza Wagnera Twierdzenie (Robertson, Seymour 1986 2004) Każdy nieskończony ciag skończonych grafów G 0, G 1, G 2,... zawiera takie dwa grafy G i, G j (gdzie i < j), że G i jest minorem G j. Dowód w 20 artykułach łacznie 500 stron. Z twierdzenia wynika, że dowolna własność grafów zamknięta na relację bycia minorem może zostać scharakteryzowana przez skończony zbiór zabronionych minorów. Np. grafy planarne przez K 5 i K 3,3. Dla grafów zanurzalnych na torusie ponad 800 znanych.
Hipoteza Wagnera Twierdzenie (Robertson, Seymour 1986 2004) Każdy nieskończony ciag skończonych grafów G 0, G 1, G 2,... zawiera takie dwa grafy G i, G j (gdzie i < j), że G i jest minorem G j. Dowód w 20 artykułach łacznie 500 stron. Z twierdzenia wynika, że dowolna własność grafów zamknięta na relację bycia minorem może zostać scharakteryzowana przez skończony zbiór zabronionych minorów. Np. grafy planarne przez K 5 i K 3,3. Dla grafów zanurzalnych na torusie ponad 800 znanych.
Hipoteza Wagnera Twierdzenie (Robertson, Seymour 1986 2004) Każdy nieskończony ciag skończonych grafów G 0, G 1, G 2,... zawiera takie dwa grafy G i, G j (gdzie i < j), że G i jest minorem G j. Dowód w 20 artykułach łacznie 500 stron. Z twierdzenia wynika, że dowolna własność grafów zamknięta na relację bycia minorem może zostać scharakteryzowana przez skończony zbiór zabronionych minorów. Np. grafy planarne przez K 5 i K 3,3. Dla grafów zanurzalnych na torusie ponad 800 znanych.
Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów planarnych
Kolorowanie mapy Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?
Kolorowanie mapy Hipoteza (1852 ) Wystarcza 4 kolory. Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?
Kolorowanie mapy Hipoteza (1852 ) Wystarcza 4 kolory. Twierdzenie (1977,1996 ) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?
Kolorowanie mapy Hipoteza (1852 ) Wystarcza 4 kolory. Twierdzenie (1977,1996 ) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ile kolorów wystarczy, żeby pokolorować każda (spójna) mapę?
Kolorowanie grafów planarnych Hipoteza (F. Guthrie, 1852) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ślad w liście de Morgana do Hamiltona. Twierdzenie (Kempe, 1879) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Bład w dowodzie (1890). Twierdzenie (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny.
Kolorowanie grafów planarnych Hipoteza (F. Guthrie, 1852) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ślad w liście de Morgana do Hamiltona. Twierdzenie (Kempe, 1879) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Bład w dowodzie (1890). Twierdzenie (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny.
Kolorowanie grafów planarnych Hipoteza (F. Guthrie, 1852) Każda spójna mapa jest 4-kolorowalna. Ślad w liście de Morgana do Hamiltona. Twierdzenie (Kempe, 1879) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Bład w dowodzie (1890). Twierdzenie (Heawood, 1890) Każdy graf planarny jest 5-kolorowalny.
Kolorowanie grafów planarnych Twierdzenie (Appel,Haken,Koch 1977) Każdy graf planarny jest 4-kolorowalny. Dowód opierał się na pomyśle Kempe a i późniejszych próbach poprawy jego dowodu. Wymagał użycia komputera. Nowy dowód Robertson, Sanders, Seymour, Thomas [1996]. Zmniejszenie ilości przypadków wymagajacych wsparcia komputera. Publikacja kodu w internecie.