Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2
|
|
- Laura Lisowska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów, cz. 2 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
2 Twierdzenie o czterech barwach, rekapitualcja : Francis Guthrie wspomina o tym zagadnieniu Augustusowi De Morganowi. De Morgan pisze list do Williama Hamiltona : dwa dowody (A.B. Kempe, P. Tait) : Heawood znajduje błąd w dowodzie Kempego i pisze pracę o kolorowaniu map. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
3 1890, Percy John Heawood Sześciostronicowa praca w Quarterly Journal of Mathematics: kontrprzykład do dowodu Kempego, dowód faktu, że dowolną mapę można pomalować co najwyżej pięcioma barwami, twierdzenie o mapach na powierzchniach innych od sfery. Twierdzenie (Heawood, 1890). Dla g 1 dowolną mapę położoną na powierzchni rodzaju g można pomalować używając co najwyżej h(g) barw, gdzie [ ] g h(g) =, oraz [m] = część całkowita m. 2 Np. dla g = 1 (torus) jest h(g) = 7. I to jest optymalne! P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
4 Dowód Heawooda 1 Lemat: Jeśli M jest powierzchnią rodzaju g, a liczba państw na mapie położonej na M jest większa od liczby Heawooda h(g), to istnieje wśród nich państwo graniczące z co najwyżej h(g) 1 innymi. 2 Spostrzeżenie, że twierdzenie o kolorowaniu map wynika z lematu łatwo, przez indukcję. 3 Dowód Lematu, z wykorzystaniem wzoru Eulera (dla grafów na powierzchni M). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
5 Twierdzenie Heawooda wynika z Lematu Dowód: Indukcja względem liczby państw, S. 1 Dla S h(g) twierdzenie oczywiście zachodzi. Barw jest nie mniej, niż państw. 2 Krok indukcyjny: mapa z S + 1 państwami. Wybieramy państwo P 0, które ma h(g) 1 sąsiadów. 3 Jednoczymy je z jednym z sąsiadów, kolorujemy nową, mniejszą mapę za pomocą h(g) barw. (Można to zrobić na mocy założenia indukcyjnego). 4 Z powrotem wyodrębniamy państwo P 0 i dobrze je kolorujemy. Uwaga. To samo rozumowanie można przeprowadzić nie posługując się indukcją, tylko kontrprzykładem z minimalną liczbą państw. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
6 Dowód Lematu: skąd się bierze liczba h(g)? Wzór Eulera na powierzchni rodzaju g: jeśli wykonamy wielościenny model powierzchni M rodzaju g i wszystkie ściany tego wielościanu będą wielokątami wypukłymi, to liczby wierzchołków W, krawędzi K i ścian S spełniają zależność W K + S = E = 2 2g. (1) Liczba E to charakterystyka Eulera powierzchni M. Dowód: indukcja względem g. Gdy powierzchnię rodzaju g łączymy z torusem graniastościenną rurką (o przekroju n-kątnym), to Liczba wierzchołków nie ulega zmianie; Liczba ścian wzrasta o n 2, a liczba krawędzi wzrasta o n; Zatem, W K + S maleje o 2. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
7 Dowód lematu o liczbie sąsiadów, cd. Ustalmy mapę (= wielościenny model powierzchni rodzaju g). Niech α oznacza średnią liczbę sąsiadów państwa na tej mapie. W K + S = E, więc S E = K W, a stąd tzn. 6(S E) 2K. 6(S E) = 6K 6W = 2K + 2 (2K 3W), }{{} ta liczba jest 0 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
8 Dowód lematu o liczbie sąsiadów, cd. Ustalmy mapę (= wielościenny model powierzchni rodzaju g). Niech α oznacza średnią liczbę sąsiadów państwa na tej mapie. W K + S = E, więc S E = K W, a stąd 6(S E) = 6K 6W = 2K + 2 (2K 3W), }{{} ta liczba jest 0 tzn. 6(S E) 2K. Z drugiej strony, wprost z definicji średniej, αs = 2K (zliczamy krawędzie wokół każdej ściany). Zatem ( αs 6(S E) tzn. α 6 1 E ). (2) S P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
9 Średnia liczba sąsiadów nie może być zbyt duża Zauważmy: e = 2 2g 0 dla g 1. Dla g = 1 jest E = 0, więc w tym przypadku otrzymaliśmy nierówność ( α 6 1 E ) = 6. S To wystarczy, gdyż dla g = 1 liczba Heawooda [ ] [ g h(g) = h(1) = = 2 2 ] = 7, więc α 6 = h(1) 1, a na każdej mapie jest państwo, które ma co najwyżej [α] sąsiadów (ktoś musi zarabiać co najwyżej średnią krajową, żeby średnia była średnią). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
10 Średnia liczba sąsiadów: przypadek g > 1 Rozważmy trójmian kwadratowy T(x) = x 2 7x + 6E. Wyróżnik = 49 24E są 2 pierwiastki x 1, x 2 ; x 1 > 0 x 2, x 1 = E 2 = g 2 Liczba Heawooda h(g) = [x 1 ] i S > h(g), więc S x 1, tzn. 1 x 1 1 S. Mamy T(x 1 ) = x 2 1 7x 1 + 6E = 0 P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
11 Średnia liczba sąsiadów: przypadek g > 1 Rozważmy trójmian kwadratowy T(x) = x 2 7x + 6E. Wyróżnik = 49 24E są 2 pierwiastki x 1, x 2 ; x 1 > 0 x 2, x 1 = E 2 = g 2 Liczba Heawooda h(g) = [x 1 ] i S > h(g), więc S x 1, tzn. 1 x 1 1 S. Mamy T(x 1 ) = x 2 1 7x 1 + 6E = 0 x 2 1 x 1 = 6(x 1 E) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
12 Średnia liczba sąsiadów: przypadek g > 1 Rozważmy trójmian kwadratowy T(x) = x 2 7x + 6E. Wyróżnik = 49 24E są 2 pierwiastki x 1, x 2 ; x 1 > 0 x 2, x 1 = E 2 = g 2 1 Liczba Heawooda h(g) = [x 1 ] i S > h(g), więc S x 1, tzn. x 1 1. S Mamy T(x 1 ) = x 2 1 7x 1 + 6E = 0 x 2 1 x 1 = 6(x 1 E) x 1 1 = 6 ( 1 E x 1 ) bo E 0! 6 ( 1 E S ) (2) α. Stąd [x 1 ] 1 = h(g) 1 [α]. Ale jest oczywiście państwo, które ma co najwyżej [α] < h(g) sąsiadów! P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
13 Dwie uwagi na koniec dowodu 1 Dla charakterystyki Eulera E > 0 (tzn. dla map na sferze) ten dowód się załamuje. 2 Oszacowanie Heawooda jest optymalne: na każdej powierzchni rodzaju g 1 istnieje mapa, której można nie da się pomalować za pomocą h(g) 1 barw. Heawood wskazał przykład dla g = 1 i nie miał (chyba) świadomości, że to nie wystarczy dla innych wartości g. Dowód hipotezy Heawooda: Gerhard Ringel i J.W.T. Youngs, 1968, w oparciu o długi łańcuch wyników z teorii grafów. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
14 Twierdzenie o pięciu barwach na płaszczyźnie Udowodnimy przez indukcję nieco mocniejszy wynik. Mapa = graf. Dla każdego wierzchołka v dana jest lista kolorów, którą oznaczymy L(v). Zakładamy: 1 dwa sąsiednie wierzchołki x, y na obwodzie grafu są już pokolorowane dwiema ustalonymi barwami α, β. 2 Dla innych wierzchołków na obwodzie grafu L(v) 3 3 Dla pozostałych wierzchołków jest L(v) 5 Teza: taki graf można pokolorować wg. list kolorów. Uwaga: kolorowanie wg. listy jest trudniejsze, niż kolorowanie za pomocą z góry ustalonej piątki barw. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
15 Kolorowanie grafów płaskich wg. listy, dowód Dowód prowadzimy przez indukcję względem liczby W wszystkich wierzchołków grafu. W = 3 teza oczywista. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
16 Kolorowanie grafów płaskich wg. listy, dowód Dowód prowadzimy przez indukcję względem liczby W wszystkich wierzchołków grafu. W = 3 teza oczywista. Krok indukcyjny ma dwa przypadki: Przypadek 1: graf ma cięciwę P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
17 Kolorowanie grafów płaskich wg. listy, dowód Dowód prowadzimy przez indukcję względem liczby W wszystkich wierzchołków grafu. W = 3 teza oczywista. Krok indukcyjny ma dwa przypadki: Przypadek 1: graf ma cięciwę Przypadek 2: graf nie ma cięciwy (Można założyć, że krawędzie dzielą cały graf na trójkąty). P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
18 Przypadek 1: graf ma cięciwę Kolorujemy część grafu po jednej stronie cięciwy, a potem drugą część. Dwukrotnie korzystamy z założenia indukcyjnego. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
19 Przypadek 2: graf nie ma cięciwy Kolorujemy graf mniejszy o jeden wierzchołek. W usuniętym wierzchołku wybieramy jeden z 2 zarezerwowanych kolorów. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
20 Co było dalej? Kenneth Appel, Wolfgang Haken (1976): komputerowy dowód twierdzenia o czterech barwach (kilkaset str. tekstu, 400 mikrofilmów z rysunkami, 100 godzin pracy dużego komputera) Robertson, Sanders, Seymour i Thomas (1997): nowy dowód komputerowy (ok. 30 stron tekstu, ok. 3 godzin pracy stacji roboczej). Dla N państw algorytm [AH] działa w czasie N 4, algorytm [RSST] w czasie N 2. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
21 Najważniejsze pomysły Appela i Hakena Jeśli hipoteza 4 barw jest fałszywa, to istnieje minimalny kontrprzykład. Dowód, że taki kontrprzykład jednak nie może istnieć, korzysta z 2 pojęć: nieunikniony zbiór konfiguracji (na każdej mapie jest taki fragment); konfiguracja redukowalna: jeśli taka jest na minimalnej mapie pięciobarwnej, to można zmniejszyć liczbę państw (sprzeczność). Appel i Haken wskazali zbiór nieunikniony złożony z 1936 konfiguracji i udowodnili redukowalność każdej z nich. 2004: Georges Gonthier i Benjamin Werner podali dowód hipotezy 4 barw sformalizowany w języku Coq. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
22 Wątpliwości i pytania 1 Czy to jest dowód? 2 Czy brak dowodu klasycznego jest oznaką słabości człowieka? Współczesna odpowiedź matematyków na pytanie 1: dowód wspierany komputerow jest dowodem (wprawdzie nie najbardziej pożądanym i szczególnie eleganckim, ale jednak akceptowanym). Drugie pytanie nie należy do matematyki. Wydaje się, że można bronić zarówno odpowiedzi twierdzącej, jak i przeczącej. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
23 Wątpliwości i pytania 1 Czy to jest dowód? 2 Czy brak dowodu klasycznego jest oznaką słabości człowieka? Współczesna odpowiedź matematyków na pytanie 1: dowód wspierany komputerow jest dowodem (wprawdzie nie najbardziej pożądanym i szczególnie eleganckim, ale jednak akceptowanym). Drugie pytanie nie należy do matematyki. Wydaje się, że można bronić zarówno odpowiedzi twierdzącej, jak i przeczącej. Ogólne pytanie bez dobrej odpowiedzi: jak się wpada na dobre i proste pomysły? (Hadamard, Psychologia odkrycia matematycznego.) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
24 Jeszcze jedno twierdzenie z teorii grafów Oznaczmy przez K 3,3 graf z zadania o trzech studniach i trzech domkach, a przez K 5 graf z zadania o pięciu miastach. Twierdzenie (K. Kuratowski). Graf G jest spłaszczalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie zawiera żadnego podgrafu K 3,3 ani K 5. P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
25 Inne zastosowania teorii grafów 1 Chemia i fizyka 2 Biologia 3 Informatyka teoretyczna 4 Elektronika 5 Lingwistyka 6 Socjologia (analiza sieci społecznych, fenomen małego światka) P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl (IM) Rzut oka Cztery barwy i okolice, / 19
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 9-10: Zagadnienie czterech barw i teoria grafów P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoWprowadzenie Podstawy Fundamentalne twierdzenie Kolorowanie. Grafy planarne. Przemysław Gordinowicz. Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka
Grafy planarne Przemysław Gordinowicz Instytut Matematyki, Politechnika Łódzka Grafy i ich zastosowania Wykład 12 Plan prezentacji 1 Wprowadzenie 2 Podstawy 3 Fundamentalne twierdzenie 4 Kolorowanie grafów
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki iałostockiej Rozwiązania - klasy pierwsze 27 kwietnia 2013 r. 1. ane są cztery liczby dodatnie a b c d. Wykazać że przynajmniej jedna z liczb a + b + c d b + c + d a
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoKombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń
Kombinowanie o nieskończoności. 2. Wyspy, mosty, mapy i kredki materiały do ćwiczeń Projekt Matematyka dla ciekawych świata spisał: Michał Korch 15 marzec 2018 Szybkie przypomnienie z wykładu Prezentacja
Bardziej szczegółowoXI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
XI Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (24 września 2015 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Dane są takie dodatnie liczby a i b, że 30% liczby a
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, B/14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 1B/14 Drogi w grafach Marszruta (trasa) w grafie G z wierzchołka w do wierzchołka u to skończony ciąg krawędzi w postaci. W skrócie
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowoO TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...
O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 23.05.2016 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez
Bardziej szczegółowo9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie
9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).
Bardziej szczegółowoCzy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał Kieza Łatwo zauważyć, że kwadrat można podzielić na 2, 4, 6,..., a także na dowolną parzystą liczbę trójkątów o równych
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5
Dydaktyka matematyki (II etap edukacyjny) II rok matematyki Semestr letni 2018/2019 Ćwiczenia nr 5 Zadanie domowe Kolokwium: przeczytaj z [U] o błędach w stosowaniu zasady poglądowości w nauczaniu matematyki
Bardziej szczegółowoO TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO...
O TYM, JAK LEONHARD EULER SPACEROWAŁ PO MOSTACH W KRÓLEWCU I CO Z TEGO WYNIKŁO... Bogusław Uniwersytet Warmińsko Mazurski Olsztyn, 30.09.2015 Problem Czy można przejść wszystkie mosty przechodzac przez
Bardziej szczegółowoAproksymacja diofantyczna
Aproksymacja diofantyczna Szymon Draga Ustroń, 4 listopada 0 r Wprowadzenie Jak wiadomo, każdą liczbę niewymierną można (z dowolną dokładnością) aproksymować liczbami wymiernymi Powstaje pytanie, w jaki
Bardziej szczegółowoRozkład figury symetrycznej na dwie przystające
Rozkład figury symetrycznej na dwie przystające Tomasz Tkocz 10 X 2010 Streszczenie Tekst zawiera notatki do referatu z seminarium monograficznego Wybrane zagadnienia geometrii. Całość jest oparta na artykule
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu
Rzut oka na współczesną matematykę spotkanie 3: jak liczy kalkulator i o źródłach chaosu P. Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 P.
Bardziej szczegółowoIlustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 15 (20.02.2010) Zbiory wypukłe Definicja. Zbiór
Bardziej szczegółowoKolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów
Kolorowanie płaszczyzny, prostych i okręgów Jadwiga Czyżewska Pisane pod kierunkiem W.Guzickiego W 2013 roku na II etapie VIII edycji Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów pojawiło się zadanie o następującej
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DROGI i CYKLE w grafach Dla grafu (nieskierowanego) G = ( V, E ) drogą z wierzchołka v 0 V do v t V nazywamy ciąg (naprzemienny) wierzchołków i krawędzi grafu: ( v 0, e, v, e,..., v t, e t, v t ), spełniający
Bardziej szczegółowoLogika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
Bardziej szczegółowoMetoda objętości zadania
Metoda objętości zadania Płaszczyzny i dzielą graniastosłup trójkątny na cztery bryły Znaleźć stosunki objętości tych brył 2 any jest równoległościan o objętości V Wyznaczyć objętość części wspólnej czworościanów
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Próbna matura, grudzień 2014 r. poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Próbna matura, grudzień 01 r. poziom rozszerzony 1 Próbna matura rozszerzona (jesień 01 r.) Zadanie 18 kilka innych rozwiązań Wojciech Guzicki Zadanie 18. Okno na poddaszu ma mieć kształt trapezu
Bardziej szczegółowoTeoria grafów II. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Teoria grafów II Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Graf planarny Graf planarny Graf, który może być narysowany tak, by uniknąć przecinania się krawędzi, nazywamy grafem
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (8 września 017 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. W każdym z trzech lat 018, 019 i 00 pensja pana Antoniego będzie o 5% większa
Bardziej szczegółowoElementy teorii grafów Elementy teorii grafów
Spis tresci 1 Spis tresci 1 Często w zagadnieniach praktycznych rozważa się pewien zbiór obiektów wraz z zależnościami jakie łączą te obiekty. Dla przykładu można badać pewną grupę ludzi oraz strukturę
Bardziej szczegółowoWojciech Guzicki. Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r.
1 O KOLOROWANIU Wojciech Guzicki Konferencja SEM(Kolory matematyki) Sielpia, 26 października 2018 r. W. Guzicki: O kolorowaniu 2 KILKA ZADAŃ OLIMPIJSKICH NA DOBRY POCZĄTEK W. Guzicki: O kolorowaniu 3 Zadanie
Bardziej szczegółowoV Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej
V Konkurs Matematyczny Politechniki Białostockiej Rozwiązania - klasy drugie 1. Znaleźć wszystkie pary liczb całkowitych (x, y) spełniające nierówności x + 1 + y 4 x + y 4 5 x 4 + y 1 > 4. Ważne jest zauważenie,
Bardziej szczegółowoDrzewa. Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew
Drzewa Las - graf, który nie zawiera cykli Drzewo - las spójny Jeżeli graf G jest lasem, który ma n wierzchołków i k składowych, to G ma n k krawędzi. Własności drzew Niech T graf o n wierzchołkach będący
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoIX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
IX Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (3 października 2013 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba 3 9 3 27 jest a) niewymierna; b) równa 3 27;
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór
Bardziej szczegółowoInformatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki
Informatyk i matematyk: dwa spojrzenia na jedno zadanie (studium przypadku) Krzysztof Ciebiera, Krzysztof Diks, Paweł Strzelecki Zadanie (matura z informatyki, 2009) Dane: dodatnia liczba całkowita R.
Bardziej szczegółowoJeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Bardziej szczegółowoTEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI
1 TEORETYCZNE PODSTAWY INFORMATYKI WFAiS UJ, Informatyka Stosowana I rok studiów, I stopień Wykład 14c 2 Definicje indukcyjne Twierdzenia dowodzone przez indukcje Definicje indukcyjne Definicja drzewa
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Bardziej szczegółowoStereometria bryły. Wielościany. Wielościany foremne
Stereometria bryły Stereometria - geometria przestrzeni trójwymiarowej. Przedmiotem jej badań są własności brył oraz przekształcenia izometryczne i afiniczne przestrzeni. Przyjęte oznaczenia: - Pole powierzchni
Bardziej szczegółowoWykłady z Matematyki Dyskretnej
Wykłady z Matematyki Dyskretnej dla kierunku Informatyka dr Instytut Informatyki Politechnika Krakowska Wykłady na bazie materiałów: dra hab. Andrzeja Karafiata dr hab. Joanny Kołodziej, prof. PK Kolorowanie
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część testowa (29 września 2016 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. odatnia liczba a powiększona o 50% jest równa dodatniej liczbie b pomniejszonej
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoKolorowanie grafów planarnych, discharging
Wykład 6 (12.04.2013) Opracował: Krzysztof Węsek Kolorowanie grafów planarnych, discharging 1 Przykłady dischargingu Standardowo będziemy oznaczać dla grafu G i jego rysunku planarnego (graf i rysunek
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13
35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),
Bardziej szczegółowoSiedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych
Siedem cudów informatyki czyli o algorytmach zdumiewajacych Łukasz Kowalik kowalik@mimuw.edu.pl Instytut Informatyki Uniwersytet Warszawski Łukasz Kowalik, Siedem cudów informatyki p. 1/25 Problem 1: mnożenie
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.
Bardziej szczegółowoEtap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017
Etap finałowy konkursu MbG Senior - edycja 2016/2017 Zadanie 1. (7 punktów) Nieuporządkowane rzędy Niech n oznacza liczbę krzeseł w rzędzie. Sala konferencyjna ma 9n krzeseł. Podczas pierwszej konferencji
Bardziej szczegółowoRzut oka na współczesną matematykę (spotkanie nr 1)
Rzut oka na współczesną matematykę (spotkanie nr 1) Paweł Strzelecki pawelst@mimuw.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Warszawski MISH UW, semestr zimowy 2011-12 Skąd pomysł na takie zajęcia: cytat
Bardziej szczegółowoKongruencje twierdzenie Wilsona
Kongruencje Wykład 5 Twierdzenie Wilsona... pojawia się po raz pierwszy bez dowodu w Meditationes Algebraicae Edwarda Waringa (1770), profesora (Lucasian Professor) matematyki w Cambridge, znanego głównie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Matematyka. Poznać, zrozumieć Kształcenie w zakresie podstawowym. Klasa 3 Poniżej podajemy umiejętności, jakie powinien zdobyć uczeń z każdego
Bardziej szczegółowow jednym kwadrat ziemia powietrze równoboczny pięciobok
Wielościany Definicja 1: Wielościanem nazywamy zbiór skończonej ilości wielokątów płaskich spełniających następujące warunki: 1. każde dwa wielokąty mają bok lub wierzchołek wspólny albo nie mają żadnego
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 7 KWIETNIA 01 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) 1 Odwrotnościa liczby
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 3
Plan wynikowy klasa 3 Przedmiot: matematyka Klasa 3 liceum (technikum) Rok szkolny:........................ Nauczyciel:........................ zakres podstawowy: 28 tyg. 3 h = 84 h (78 h + 6 h do dyspozycji
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019
Wymagania edukacyjne z matematyki dla klasy III a,b liceum (poziom podstawowy) rok szkolny 2018/2019 Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające,
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoProblemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych
Problemy Decyzyjne dla Systemów Nieskończonych Ćwiczenia 1 17 lutego 2012 Na tych ćwiczeniach zajmiemy się pojęciem well quasi-ordering (WQO) bardzo przydatnym do analizy nieskończonych ciągów. Definicja
Bardziej szczegółowoVIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów
VIII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa www.omg.edu.pl (18 października 01 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Miary α, β, γ kątów pewnego trójkąta spełniają warunek
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna. Matematyka dyskretna
Indukcja matematyczna Matematyka dyskretna Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna będzie przez nas używana jako metoda dowodzenia twierdzeń. Zazwyczaj są to twierdzenia dotyczące liczb naturalnych,
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 23 lutego 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie. Wielomian P (x) ma współczynniki całkowite. Udowodnić, że jeżeli
Bardziej szczegółowoKRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego
KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego wojtow@uw.edu.pl 1 2 1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Czy są empiryczne aspekty dowodów matematycznych? Jeśli tak to jakie stanowisko filozoficzne
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoCzy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach?
Czy kwadrat da się podzielić na nieparzystą liczbę trójkątów o równych polach? Michał KIEZA, Warszawa Jest to tekst związany z odczytem wygłoszonym podczas wykładów otwartych Ars Mathematica organizowanych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowoWykład 9: Markov Chain Monte Carlo
RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoUbogi kartograf Kolorowanie grafu
Temat 13 Ubogi kartograf Kolorowanie grafu Streszczenie Wiele problemów optymalizacyjnych dotyczy sytuacji, gdy dwa zdarzenia nie mogą wystąpić w tym samym momencie lub gdy pewne obiekty nie mogą do siebie.
Bardziej szczegółowoZadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 (G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz
Zadania optymalizacyjne w szkole ponadgimnazjalnej. Materiały do przedmiotu Metodyka Nauczania Matematyki 2 G-PG). Prowadzący dr Andrzej Rychlewicz Przeanalizujmy następujące zadanie. Zadanie. próbna matura
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy klasa 3. Zakres podstawowy
Plan wynikowy klasa 3 Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające. RACHUNE PRAWDOPODOBIEŃSTWA
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 196324 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Rozwiazaniem
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Bardziej szczegółowoLista 4. Kamil Matuszewski 22 marca 2016
Lista 4 Kamil Matuszewski 22 marca 2016 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Zadanie 2 Ułóż algorytm który dla danego n-wierzchołkowego drzewa i liczby k pokoloruje jak najwięcej wierzchołków tak, by na każdej ścieżce
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej.
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie trzeciej Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające;
Bardziej szczegółowoSTEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH
STEREOMETRIA CZYLI GEOMETRIA W 3 WYMIARACH Stereometria jest działem geometrii, którego przedmiotem badań są bryły przestrzenne oraz ich właściwości. WZAJEMNE POŁOŻENIE PROSTYCH W PRZESTRZENI 2 proste
Bardziej szczegółowoZbiory wypukłe i stożki
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej 28 kwietnia 2016 Hiperpłaszczyzna i półprzestrzeń Definicja Niech a R n, a 0, b R. Zbiór H(a, b) = {x R n : (a x) = b} nazywamy hiperpłaszczyzną, zbiory {x R
Bardziej szczegółowoElementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Bardziej szczegółowoMatematyczne kolorowanki. Tomasz Szemberg. Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016
Wykład dla studentów IM UP Kraków, 18 maja 2016 Gra wstępna Dany jest prostokąt podzielony na 8 pól. Gracze zamalowują pola na zmianę. Jeden na kolor czerwony, a drugi na kolor niebieski. Gra wstępna Dany
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA
Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZMIN MTURLNY 00 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Klucz punktowania odpowiedzi MJ 00 Egzamin maturalny z matematyki Zadania zamknięte W zadaniach od. do 5. podane były
Bardziej szczegółowoCała prawda o powierzchniach
Topologia Właściwości geometryczne, niezmiennicze przy ciagłych deformacjach Można: rozciagać giać Nie można: rozcinać złamać Jednak można rozciać wzdłuż linii, a potem skleić wzdłuż tejże linii: rozwiazać
Bardziej szczegółowoW. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1
W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle
Badania operacyjne: Wykład Zastosowanie kolorowania grafów w planowaniu produkcji typu no-idle Paweł Szołtysek 12 czerwca 2008 Streszczenie Planowanie produkcji jest jednym z problemów optymalizacji dyskretnej,
Bardziej szczegółowoZastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA
Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA Grzegorz Bobiński Uniwersytet Mikołaja Kopernika Toruń, 22.05.2010 Kodowanie a szyfrowanie kodowanie sposoby przesyłania danych tak, aby
Bardziej szczegółowoAgnieszka Kamińska, Dorota Ponczek. MATeMAtyka 3. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Agnieszka amińska, Dorota Ponczek MATeMAtyka 3 Plan wynikowy Zakres podstawowy Oznaczenia: wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania
Bardziej szczegółowoTeoria grafów dla małolatów. Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska
Teoria grafów dla małolatów Andrzej Przemysław Urbański Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Wstęp Matematyka to wiele różnych dyscyplin Bowiem świat jest bardzo skomplikowany wymaga rozważenia
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoXIII Olimpiada Matematyczna Juniorów
XIII Olimpiada atematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2017 r. 16 października 2017 r.) 1. iczby a, b, c spełniają zależności Wykaż, że a 2 +b 2 = c 2. Szkice
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Matematyczne G i m n a z j a l i s t ó w Stowarzyszenie na rzecz Edukacji Matematycznej Zestaw 10 szkice rozwiazań zadań 1. Rozwiąż układ równań: (x+y)(x+y +z) = 72 (y +z)(x+y +z) = 120 (z +x)(x+y
Bardziej szczegółowoWielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria
Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych
Bardziej szczegółowoBukiety matematyczne dla gimnazjum
Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość
Bardziej szczegółowo