ROCZNIKI POLSKIEGO TOWARZYSTWA MATEMATYCZNEGO Seria II: WIADOMOŚCI MATEMATYCZNE XII (1971).A. SCHINZEL (Warszawa) Równania diofantyczne I. Równanie algebraiczne F (x 1,, xk) = O nazywa się diof antycznym (od greckiego matematyka Diofantesa z wieku III), jeżeli rozwiązań szukamy wśród liczb całkowitych lub wymiernych. Dla danego równania powstają cztery zasadnicze problemy: (i) rozstrzygnąć, czy rozwiązanie istnieje; (ii) rozstrzygnąć, czy istnieje nieskończenie wiele rozwiązań; (iii) jeśli liczba rozwiązań jest skończona, to zl,laleźć je wszystkie; (iv) jeśli liczba rozwiązań jest nieskończona, to podać wzory dające wszystkie roz~iązania. Wyraz wzory" występujący w (iv) nie jest jednoznaczny. Zwykle przez wzory rozumie się wielomiany lub funkcje wymierne skończonej liczby niezależnych parametrów, ale niekiedy dopuszcza się we wzorach funkcje wykładnicze lub eliptyczne. Istotne jest, czy dopuszcza się w tej, czy innej formie operację największego wspólnego dzielnika. Jeżeli tak, to problem (iv) dla równania jednorodnego F(x 11., xk) =O i całkowitych xi jest równoważny odpowiedniemu problemowi dla wymiernych mi (por. [7],.Art. 299), jeżeli nie, to pierwszy problem jest trudniejszy (por. [6], str. 171). Na przykład, podanie wzorów dla wszystkich rozwiązań całkowitych równania x~+x~+... +xl 1 -xi =O przy k = 4 lub 5 jest możliwe, ale trudne, natomiast podanie wzorów dla wszystkich rozwiązań wymiernych jest rzeczą banalną. Ograniczając tylko do tego przykładu informacje na temat trudniejszej wersji problemu (iv) dla równań jednorodnych, dokonamy dalszej redukcji równania jednorodnego F (x 1,, xk) = O dla xi wymiernych, (x 1,, xk) w przestrzeni afinicznej, do równania niejednorodnego F(x 11., xk-u 1) = O dla xi wymiernych, (x 11, xk_ 1 ) w przestrzeni rzutowej i rozważymy zagadnienia (i)-(iv) najpierw dla rozwiązań wymiernych i k = 1, 2, potem dla rozwiązań całkowitych i k = 1, 2, 3; w obu przypadkach tylko dla równań niejednorodnych. Liczbę, być może nieskończoną, rozwiązań F (x 1,, xk) = O oznaczamy przez N.
228 A. Scbinzel 2. Rozwiązania wymierne. k = 1. Wszystkie rozwiązania x -::/= O równania (1) 2 aixi = o' aman -=I= o n i=m znajdują się wśród skop.czenie wielu ułamków p/q, gdzie plam, qlan. k = 2. Badanie problemów (i)-(iv) zaczynamy od rozstrzygnięcia czy F(x, y) rozkłada się w ciele liczb wymiernych Q i ciele liczb zespolonych O. Można tego dokonać metodami odpowiednio Kroneckera i Emmy Noether (patrz [12], 39 i 56). Jeżeli F(x, y) rozkłada się w Q: F(x, y) = = F 1 (x, y) F 2 (x, y), to problemy (i)-(iv) sprowadzają się do odpowiednich problemów dla Fi(x, y) (i = 1, 2). Jeżeli F(x, y) rozkłada się w O, ale nie w Q, to rozwiązanie wymierne równania F(x, y) =O spełnia równanie DyF(x) =O, gdzie DyF jest wyróżnikiem F ze względu na y. Ponieważ DyF nie jest tożsamościowo zerem, powyższe równanie jest typu (1). Możemy więc zakładać, że wielomian F jest nierozkładalny w O. Gdy F(x, y) = ax+by+c (b -=I= O), istnieje nieskończenie wiele rozwiązań i wszystkie dane są wzorem y = -(ax+ c)/b. Gdy F(x, y) = ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f (a 2 +b 2 +c 2 >O) rozwiązania istnieją tylko wtedy, gdy forma kwadratowa <J>(x, y, z) = =z 2 F(xz- 1,yz- 1 ) jest nieokreślona i kongruencja <J>(x,y,z)==O (mod4 d np) ma rozwiązanie spełniające (x' y' z' 2d) = 1, gdzie d jest pld wyróżnikiem <!> (patrz [18], str. 41 i 63). Jeśli warunek ten jest spełniony, to istnieje nieskończenie wiele rozwiązań i gdy (x 0, y 0 ) jest jednym z nich, wszystkie inne dane są wzorami: (t wymierne lub t = oo). (2ax 0 + by 0 + d)t+ (bx 0 + 2cy 0 + e) X =X -t ----------- o at 2 + bt+c ' (2ax 0 + by 0 + d)t+ (bx 0 +2cy 0 + e) y =Yo- at2+ bt+ c Krzywe F(x, y) =o, dla których istnieją takie funkcje wymierne <p (t), 1P (t) nad O, że F ('P (t), 1P (t)) = O tożsamościowo (<p, 1P nie obie stałe) nazywają się w geometrii algebraicznej krzywymi jednobieżnymi (unikursalnymi) lub rodzaju O. Hilbert, Hurwitz i Poincare wykazali, że dla takich krzywych problemy (i)-(iv) sprowadzają się do odpowiednich problemów dla równań liniowych i kwadratowych; można je więc rozwiązać w pełni (patrz [16], str. 70-73). Dla innych krzywych sytuacja jest wysoce niezadowalająca. Ostatnio wielu autorów badało krzywe
Równania diofantyczne 229 rodzaju l, tzw. eliptyczne, czyli takie krzywe niejednobieżne F (x, y) = O, że dla odpowiednich zespolonych A, Bi odpowiednich funkcji wymiernych <p (u, v), "P (u, v) nad O zachodzi równość F ( <p (u, v), "P (u, v)) = O dla v 2 = u 3 -.A.u-B (<p, "P nie obie stałe przy takich u, v). Nie znaleziono dot~d rozwiązania problemu (i), ale jeżeli N > O, to A, B i współczynniki <p, "P można dobrać wymierne ([16], str. 73-74). Dla danych wymiernych. A, B N agell podał rozwiązanie (iii) (tamże, str. 78), zaś Birch i Swinnerton-Dyer sformułowali pewne przypuszczenia, które, jeżeli okażą się prawdziwe, to pozwolą w pewnych przypadkach, np. gdy AB = O, rozwiązać (ii) ([4], str. 280). Jeśli idzie o problem (iv), to Mordell dowiódł, że w przypadku równania v 2 = u 3 -.A.u-B wszystkie rozwiązania dane są wzorami v = ł~'(m 1 c 1 +.+mkck), u= ~(m 1 c 1 +. +mkck), gdzie ~ jest funkcją eliptyczną Weierstrassa z niezmiennikami 4.A., 4B, parametry mi przyjmują wszystkie wartości całkowite, c 1,, ck zaś są pewnymi stałymi. Ponieważ nie jest znana ogólna metoda wyznaczania tych stałych przy danych A, B, ważne to twierdzenie dostarcza rozwiązania problemu (iv) tylko w pewnych przypadkach. Jeżeli krzywa F(x, y) =O jest rodzaju wyższego niż 1, czyli nie jest ani jednobieżna, ani eliptyczna, to według przypuszczenia Mordella N< ex> ([10], str. 155-156). Najsławniejszy dotąd nierozstrzygnięty przypadek tego przypuszczenia dotyczy równania F(x, y) = xl+yz+ +1 =O. Fermat utrzymywał, że równanie F(x, y) =O nie ma dla l > 2 rozwiązań z xy =F O (niedawne wyniki Selfridge'a i Pollocka potwierdzają to dla l::::;::: 25000); bliższe informacje można znaleźć w [8] i [10]. 3. Rozwiązania całkowite. k = 1. Wszystkie rozwiązania x =FO równania (1) znajdują się wśród skończenie wielu dzielników am. k = 2. Zakładamy, podobnie jak w rozdziale 2, że wielomian F jest absolutnie nierozkładalny. Jeżeli F(x, y) = ax+by+c (a 2 +b 2 > O), to N> O pod warunkiem, że (a, b) I c. Jeżeli warunek ten jest spełniony, to istnieje nieskończenie wiele rozwiązań i gdy (x 0, y 0 ) jest jednym z nich, wszystkie dane są wzorami x = x 0 + bt/(a, b), y = y 0 - at/(a, b) (t całkowite). Fakt ten był już znany Bachet de Meziriac ([7], str. 44). Jeżeli F(x, y) = ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f (a 2 +b 2 +c 2 >O), to N > O pod warunkiem, że istnieje rozwiązanie spełniające nierówność (2) max {lx!, IYI} < (3H) 300 H 3, H = max{lal, Ibi, lcl, ldl, lei, Iii}.
230 A. Schinzel Ten wynik nie występuje w literaturze explicite, ale można go otrzymać z klasycznych rezultatów Gaussa ([7],.Art. 216-221, patrz również [16], str. 42-47) i twierdzenia I. Schura dotyczącego tzw. równania Pella (3) u 2 -Dv 2 = 4. Jeżeli D ==O lub lmod4, D jest dodatnie i nie jest pełnym kwadratem, to według Schura [14] istnieje takie rozwiązanie u 0, v 0 równania (3), że 1< u 0 +VDv 0 vn 2 <D. Rozwiązanie problemu (ii) jest bardzo proste: jeżeli b 2-4ac < O lub b 2-4ac >O jest pełnym kwadratem, to N< ex>; w przeciwnym razie N> O pociąga za sobą N = <x:>. Wreszcie gdy N = ex:>, wszystkie rozwiązania F(x, y) =O dają się wyrazić za pomocą skończonej liczby rozwiązań spełniających (2) i nieskończenie wielu rozwiązań równania (3), gdzie D = 4(b 2-4ac) 3 Jeżeli u 0, v 0 jest rozwiązaniem równania (3) w najmniejszych liczbach naturalnych, to wszystkie rozwiązania tego równania dane są wzorem (n całkowite). Dla dowolnych krzywych jednobież.nych Maillet wskazał metodę redukcji problemów (i)-(iv) do odpowiednich problemów dla równania (4) f(at+b, ct+d) = m, gdzie f jest formą nieprzywiedlną o współczynnikach całkowitych i a, b, c, d, m liczbami całkowitymi, m > O ([17], str. 39-41). Gdy f jest stopnia 1 lub 2, (4) należy do jednego z typów rozpatrywanych wyżej. Gdy f jest stopnia ;;?: 3, wówczas na mocy twierdzenia Thuego liczba rozwiązań (4) jest skończona. Niedawno Baker [1] dokonał wielkiego postępu, dowodząc, że wszystkie rozwiązania równania f(x, y) = m spełniają nierówność max {lxl, IYI} < exp{nv 2 Hn 3 + (logmt }, gdzie H jest wysokością, czyli maksimum modułów współczynników f, x jest dowolną liczbą > n+l oraz 32nx 2 V=---- x-n-1 Wynik ten pozwala na pełne rozwiązanie problemów (i)-(iv) dla krzywych jednobieżnych. Ostatnio Baker i Coates rozwiązali zagadnienia
Równania diofantyczne 231 (i)-(iv) dla krzywych eliptycznych wykazując, że wszystkie punkty całkowite na takich krzywych JJ'(x, y) = O spełniają nierówność nlo max {lxl, IYI} < expexpexp(2h) 10., gdzie n i H są odpowiednio stopniem i ' wysokością 1J' (patrz [2]). Dla krzywych rodzajów wyższych, tylko problem (ii) jest rozwiążany całkowicie przez twierdzenie Siegela: N< (X) ([15], str. 102-104; [9], rozdział VII). Niestety, dowód Siegela nie dostarcza żadnej metody znalezienia wszystkich rozwiązań. Jeden z przypadków, w których jest to możliwe, stanowi równanie (4), inny przypadek został jeszcze w XIX wieku wskazany przez Rungego. Runge dowiódł, że jeżeli N = (X)' to 1 najwyższe potęgi x i y występują w 1J' osobno jako axm, byn; 2 każdy wyraz exe ya w 1J' spełnia ne +ma :S;: mn, suma. wszystkich wyrazów z ne+ma = mn ma postać bh(xmfd, ynfd)\ gdzie d = (m, n) i h jest formą nieprzywiedlną. Jeżeli jeden z wymienionych warunków nie jest spełniony, można wyznaczyć wszystkie rozwiązania ([16], str. 89). Niedawno wzmocniłem twierdzenie Rungego wykazując, że jeżeli N = (X)' to h jest formą liniową lub kwadratową nieokreśloną, ale dowód nie dostarcza metody znalezienia wszystkich rozwiązań, jeżeli ten mocniejszy warunek nie jest spełniony (patrz [13]). k = 3. Pełne rozwiązanie problemów (i)-(iv) znane jest tylko dla równań liniowych i jest wówczas podobne do podanego wyżej przy k = 2. Dla równań kwadratowych problemy (i)-(iii) są rozwiązane, trudności stwarza (iv), np. gdy JJ'(x, y) = x 2 -yz-1. Nie są znane żadne wzory zależne od skończenie wielu niezależnych parametrów, które dawałyby wszystkie rozwiązania równania 1J' = O i nie zawierały w jakiejś formie operacji największego wspólnego dzielnika. O ile dopuści się tę operację, wystarcza przyjąć x = t 11 y = (t 2, ti-1), z = (ti-1)/(t 2, ti-1)~ Dla równań sześciennych trudności stwarzają już problemy (i)-(ii). Nie wiadomo czy równanie x 3 +y 3 +z 3 = 30 jest rozwiązalne w liczbach całkowitych; równanie x 3 +y 3 +z 3 = 3 ma 4 rozwiązania (x, y, z) = = (1, 1, 1), (4, 5, -5), (4, -5, 4), (-5, 4, 4), ale nie wiadomo czy jest ich więcej lub czy liczba ich jest skończona. Jeżeli kongruencja JJ'(x, y, z)== Omodm jest nierozwiązalna przy pewnym m lub jeżeli powierzchnia JJ'(x, y, z) =O jest ograniczona, to N < (X), Pierwsza ogólna metoda dowodu ostatniej nierówności dla równań innych typów została wskazana przez Skolema ([16], str. 144-180), jego wyniki zostały ostatnio uogólnione przez Schmidta ([10], str. 211). Dokładniejsze dane o teorii równań diofantycznych znajdzie czytelnik w książkach [3], [9], [10], [11], [15], [16] i [17].
232 A. Schinzel Doda.ne w korekcie. Już po wygłoszeniu przez autora powyższego odczytu na IX Zje~dzie PTM, Matijasiewicz dowiódł, że p;rzy pewnym k problem (i) rozpatrywany dla liczb całkowitych jest nierozwiązalny, tzn. nie istnieje algorytm pozwalający rozstrzygnąć p;rzy dowolnych wartościach współczynników równania czy ma ono rozwiązania całkowite. Patrz Yu. V. Matiyasevic, Diofantovost' perećislimych mnozestv, Dokl. Akad. Nauk SSSR 191 (1970), st;r. 279-282. Według nieopublikowanych informacji k ~ 200. Literatura [l) A. Baker, Contribution to the theory of diophantine equations, Phil. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 263 (1968), str. 173-208. [2] - and J. Coates, lnteger points on curves of genus 1, Proc. Cambridge Phil. Soc. 67 (1970), str. 595-602. [3] R. D. Carmichael, Diophantine.Analysis, New York 1913, reprint by Dover 1959. [4] J. W. S. Cassels, Diophantine equations with special reference to elliptic curves, J. London Math. Soc. 41 (1966), str. 193-291. Corrigenda, ibidem 42 (1967), str. 183. [5] L. E. Dickson, Bistory of the theory of numbers, vol. 2, Diophantine.Analysis, Washington 1920, reprint by Chelsea 1952. [6] - Modern elementary theory of numbers, Chicago 1939. [7) C. F. Gauss, Disquisitiones arithmeticae, Werke I, Gottingen 1863. [8] E. Landau, Vorlesungen uber Zahlentheorie Ili, Leipzig 1927, reprint by Chelsea 194 7. [9] S. Lang, Diophantine geometry, New York 1962. [IO] L. J. Mordell, Diophantine equations, New York and London 1969. [Il] T. N agell, L'analyse indeterminee de degre superieur, Paris 1929. [12] O. Perron,.Algebra I, Berlin 1951. [13] A. Schinzel, An improvement of Runge's theorem on diophantine equations, Commentarii Pontif. Acad. Sci. 2 (1969), No 20. [14] I. Schur, Einige Bemerkungen zu der vorstehenden.arbeit des Herrn G. Pólya U eber die V erteilung der quadratischen Reste und N ichtreste, Gottingen N achrichten 1918, str. 30-36. [15] B. S egre,.arithmetical questions on algebraic varieties, London 1951. [16] T. Skolem, Diophantische Gleichungen, Berlin 1938. [17) Studies in number theory, Englewood Cliffa, N. J. 1969. [18] G. L. Watson, lntegral quadratic forms, Cambridge 1960.