Prawa wzajemności Gaussa

Kamil Sikorski Prawa wzajemności Gaussa Pytanie 1. Dla jakich liczb ierwszych kongruencja x 2 a() ma rozwiązanie? 1. Theorema Aureum Celem tej części jest okazanie, że x 2 q() ma rozwiązanie ma je x 2 (q), gdzie i q są różnymi, niearzystymi liczbami ierwszymi. Fakt ten zaisuje się także za omocą tzw. symbolu Legendre a 1.1. Reszty kwadratowe ( ) ( ) q = ( 1) (( 1)/2))((q 1)/2) q Jeśli (a, m) = 1, to a jest zwane resztą kwadratową mod m jeśli kongruencja x 2 a(m) ma rozwiązanie. W rzeciwnym rzyadku a jest nieresztą kwadratową mod m. Na rzykład 2 jest resztą kwadratową mod 7, ale 3 już nie. Rzeczywiście 1 2, 2 2,, 3 2, 4 2, 5 2 i 6 2 rzystają odowiednio do 1, 4, 2, 2, 4 i 1. Stąd 1, 2 i 4 są resztami kwadratowymi, a 3, 5 i 6 nie. Deinicja 1.1.1. Symbol (a/) będzie mieć wartość 1 kiedy a jest resztą kwadratową mod, -1 kiedy a jest nieresztą kwadratową mod i 0 kiedy a. (a/) jest zwany symbolem Legendre a. Sośród własności symbolu Legendre a warto wymienić (a) (a/)() a ( 1)/2 (b) (ab/) = (a/)(b/) (c) Jeśli a b, to (a/) = (b/) (d) ( 1/) = ( 1) ( 1)/2 (e) (2/) = ( 1) (2 1)/8 () (/q)(q/) = ( 1) (( 1)/2))((q 1)/2) Każda liczba niearzysta jest ostaci 4k + 1 lub 4k + 3. Ciekawy jest zwłaszcza odunkt (d), który można rzeormułować nastęująco: x 2 1() ma rozwiązanie jest ostaci 4k + 1. Natomiast odunkt(), którego dowód jest na końcu rozdziału, daje odowiedź na oczątkowe ytanie. 1

Twierdzenie 1.1.1. Niech q będzie niearzystą liczbą ierwszą. (a) Jeśli q 1(4), to q jest resztą kwadratową mod r(q), gdzie r jest resztą kwadratową mod q. (b) Jeśli q 3(4), to q jest resztą kwadratową mod ±b 2 (4q), gdzie b jest niearzystą liczbą względnie ierwszą z q. Uogólnieniem symbolu Legendre a dla wszystkich liczb niearzystych jest symbol Jacobiego Deinicja 1.1.2. Niech b będzie niearzystą, dodatnią liczbą całkowitą i a dowolne całkowite. Niech b = 1 2... m, gdzie i są ierwsze, niekoniecznie różne. Symbol (a/b) zdeiniowany nastęująco jest zwany symbolem Jacobiego. ( ) ( ) ( ) ( ) a a a a =... b 1 Symbol Jacobiego ma bardzo zbliżone właściwości do symbolu Legendre a, jednakże należy zaznaczyć, że (a/b) może być równe 1 i jednocześnie a nie musi być resztą kwadratową mod b. Na rzykład (2/15) = (2/3)(2/5) = ( 1)( 1) = 1, ale 2 nie jest resztą kwadratową mod 15. Jest rawdą natomiast, że jeśli (a/b) = 1, to a jest nieresztą kwadratową mod b. 1.2. Dowód rawa wzajemności reszt kwadratowych Istnieją setki dowodów tego twierdzenia. My okażemy dowód autorstwa Eisensteina. Rozważmy unkcję (z) = e 2πiz e 2πiz = 2i sin 2πz. Sełnia ona warunek ( z) = (z). Stwierdzenie 1.2.1. Niech n będzie dodatnie, niearzyste i całkowite i (z) = e 2πiz e 2πiz, wtedy 2 1 (n 1)/2 ( (nz) (z) = z + k ) ( z k ) n n k=1 Stwierdzenie 1.2.2. Jeśli jest niearzysta i ierwsza, a Z i a, to ( 1)/2 ( ) la = ( ) a ( 1)/2 ( ) l Dowód rawa wzajemności reszt kwadratowych. Niech i q będą niearzyste i ierwsze. Wtedy z orzedniego stwierdzenia Ze Stwierdzenia 1.2.1 ( 1)/2 ( ) lq = (q 1)/2 (ql/) (l/) = m=1 ( ) q ( 1)/2 ( ) l ( l + m ) ( l q m ) q 2

Co razem daje ( ) q = (q 1)/2 m=1 W ten sam sosób znajdujemy ( ) = q (q 1)/2 m=1 ( 1)/2 ( 1)/2 ( l + m ) ( l q m ) q ( m q + l ) ( m q l ) A skoro (m/q l/) = (l/ m/q) widać więc, że ( ) ( ) q ( 1) (( 1)/2))((q 1)/2) = q Stąd dostajemy ( ) ( ) q = ( 1) (( 1)/2))((q 1)/2) q 2. Prawo wzajemności reszt sześciennych i dwukwadratowych Zanim rzejdziemy do omawiania reszt sześciennych wrowadzimy kilka ojęć otrzebnych óźniej. 2.1. Sumy Gaussa i Jacobiego Charakterem multilikatywnym na F = Z/Z nazywamy odwzorowanie χ z F do liczb zesolonych bez zera, które sełnia χ(ab) = χ(a)χ(b) dla każdego a, b F Symbol Legendre a jest rzykładem takiego charakteru, jeśli rozatrywać go jako unkcję warstwy a modulo. Innym rzykładem jest charakter trywialny ε(a) = 1 dla każdego a F. Charaktery multilikatywne tworzą gruę w sensie nastęującej deinicji. (1) Jeśli χ i λ są charakterami, to χλ jest odwzorowaniem, które rzekształca a F do χ(a)λ(a) (2) Jeżeli χ jest charakterem, to χ 1 jest odwzorowaniem, które rzekształca a F do χ(a) 1 Jedynką tej gruy jest oczywiście charakter trywialny ε. Stwierdzenie 2.1.1. Grua charakterów jest cykliczną gruą rzędu 1. Jeśli a F i a 1, to istnieje charakter χ taki, że χ(a) 1. Wniosek 2.1.1. Jeśli a F i a 1, to χ χ(a) = 0, gdzie sumujemy o wszystkich charakterach. 3

Deinicja 2.1.1. Niech χ będzie charakterem na F i a F. Niech g a (χ) = t χ(t)ζ at, gdzie sumujemy o wszystkich t w F i ζ = e 2πi/. g a (χ) jest tzw. sumą Gaussa na F charakteru χ. Oznaczamy g 1 (χ) jako g(χ). Stwierdzenie 2.1.2. Jeśli a 0 i χ ε, to g a (χ) = χ(a 1 )g 1 (χ). Jeśli a 0 i χ = ε, to g a (ε) = 0. Jeśli a = 0 i χ ε, to g 0 (χ) = 0. Jeśli a = 0 i χ = ε, to g 0 (ε) =. Rozważmy równanie x 2 +y 2 = 1, które nad ciałem F ma skończenie wiele rozwiązań. Ich liczbę oznaczmy jako N(x 2 + y 2 = 1) i zauważmy, że N(x 2 + y 2 = 1) = a+b=1 N(x 2 = a)n(y 2 = b), gdzie sumujemy o wszystkich arach a, b F sełniających warunek a + b = 1. Jako, że N(x 2 = a) = 1 + (a/), otrzymujemy rzez odstawienie, że N(x 2 + y 2 = 1) = + a ( ) a + b ( ) b + a+b=1 ( a ) ( ) b Pierwsze dwie sumy są równe zero, więc ozostaje obliczyć trzecią sumę, która jak się okazuje wynosi ( 1) ( 1)/2. Stąd N(x 2 + y 2 = 1) wynosi 1 jeśli 1 (4) i + 1 gdy 3 (4). Deinicja 2.1.2. Niech χ i λ będą charakterami w F i niech J(χ, λ) = a+b=1 χ(a)λ(b). J(χ, λ) jest zwane sumą Jacobiego. Stwierdzenie 2.1.3. Załóżmy, że 1 (n) i χ jest charakterem rzędu n > 2. Wtedy g(χ) n = χ( 1)J(χ, χ)j(χ, χ 2 )... J(χ, χ n 2 ) 2.2. Reszty sześcienne Celem tej części jest okazanie, że odobnie jak między kongruencjami kwadratowymi, tak i między kongruencjami sześciennymi istnieje zależność. Mianowicie x 3 q() ma rozwiązanie ma je x 3 (q) Na oczątek rozważmy równanie x 3 = 1. Jako, że x 3 1 = (x 1)(x 2 + x + 1), więc ierwiastkami tego równania są 1 i ( 1 ± 3)/2. Niech ω = ( 1+ 3)/2. Łatwo srawdzić, że ω 2 = ( 1 3)/2 i 1+ω+ω 2 = 0. Rozważmy zbiór Z[ω] = {a+bω a, b Z}. Tworzy on ierścień z dodawaniem i mnożeniem, który jest zamknięty ze względu na oerację srzężenia, oraz jest dziedziną z jednoznacznością rozkładu. Dla elementu α = a + bω Z[ω] deiniujemy normę α, Nα = αα = a 2 ab + b 2, gdzie α oznacza srzężenie α. Będziemy stosować notację λ(α) zamiast Nα oraz D = Z[ω]. Warto wymienić arę właściwości ierścienia D 4

(a) α D jest jednością Nα = 1. Jednościami w D są 1, 1, ω, ω, ω 2 i ω 2. (b) Jeśli π jest elementem ierwszym w D, to istnieje liczba ierwsza całkowita taka, że Nπ = lub 2. W ierwszym rzyadku π nie jest stowarzyszona z liczbą ierwszą całkowitą; w drugim jest stowarzyszona z. (c) Jeśli π D jest takie, że Nπ = jest liczbą ierwszą całkowitą, to π jest elementem ierwszym w D. (d) Załóżmy, że i q są liczbami ierwszymi całkowitymi. Jeśli q 2 (3), to q jest elementem ierwszym w D. Jeśli 1 (3), to = ππ, gdzie π jest ierwszy w D. Wtedy też 3 = ω 2 (1 ω) 2 i 1 ω jest ierwsze w D. W ierścieniu D możemy wrowadzić ojęcie kongruencji. Jeśli α, β, γ D i γ 0 nie jest jednością(jest nieodwracalna), to mówimy, że α β (γ) jeśli γ dzieli α β. Tak jak w Z i tu możemy stworzyć ierścień D/γD z klas reszt modulo γ, który dla γ D będących elementami ierwszymi tworzy skończone ciało z N γ elementami. W tym miejscu należy rzywołać wynik z teorii ciał skończonych. Stwierdzenie 2.2.1. Niech F będzie skończonym ciałem z q elementami, α F. Wtedy x n = α ma rozwiązanie α (q 1)/d = 1, gdzie d = (n, q 1). Jeśli istnieją rozwiązania, to jest ich dokładnie d. Teraz, odobnie jak w orzednim rozdziale, wrowadzamy symbol, którym będziemy osługiwać się rzy srawdzaniu czy dana liczba jest resztą sześcienną. Deinicja 2.2.1. Jeśli Nπ 3, to charakter reszty sześciennej liczby α modulo π jest dany nastęująco (a) (α/π) 3 = 0 gdy π α (b) α (Nπ 1)/3 (α/π) 3 (π) i (α/π) 3 wynosi 1, ω lub ω 2. (α/π) 3 jest odowiednikiem symbolu Legendre a i osiada wiele analogicznych własności. Stwierdzenie 2.2.2. (a) (α/π) 3 = 1 x 3 α (π) ma rozwiązanie, tzn. α jest resztą sześcienną (b) α (Nπ 1)/3 (α/π) 3 (c) (αβ/π) 3 = (α/π) 3 (β/π) 3 (d) Jeśli α β (π), to (α/π) 3 = (β/π) 3 Dowód. Część (a) jest szczególnym rzyadkiem Stwierdzenia 2.2.1. Biorąc F = D/πD, q = Nπ i n = 3 dostajemy tezę. Część (b) wynika natychmiast z deinicji. Część (c): (αβ/π) 3 (αβ) (Nπ 1)/3 α (Nπ 1)/3 β (Nπ 1)/3 (α/π) 3 (β/π) 3 (π) 5

Z czego wynika teza. Część (d): Jeśli α β (π), to (α/π) 3 α (Nπ 1)/3 β (Nπ 1)/3 (β/π) 3 (π), więc (α/π) 3 = (β/π) 3. Od tej ory będziemy stosować notację χ π (α) = (α/π) 3 Warto rzyjrzeć się też właściwościom charakterów rzy oeracji srzężenia. Stwierdzenie 2.2.3. (a) χ π (α) = χ π (α) 2 = χ π (α 2 ) (b) χ π (α) = χ π (α) (c) χ q (α) = χ q (α 2 ) i χ q (n) = 1 jeśli n jest liczbą ierwszą całkowitą względnie ierwszą z q. Z odunktu (c) wynika, że n jest resztą sześcienną modulo q. Stąd jeśli q 1 q 2 są dwiema liczbami ierwszymi rzystającymi do 2 modulo 3, wtedy trywialnie mamy χ q1 (q 2 ) = χ q2 (q 1 ). Jest to rzyadek szczególny rawa wzajemności reszt sześciennych. Aby sormułować ogólne rawo musimy wrowadzić ojęcie liczb ierwszych rymarnych. Deinicja 2.2.2. Jeśli π jest ierwsze w D, to mówimy, że π jest rymarne jeśli π 2 (3). Jeśli π = q jest całkowite, to nie wrowadzamy nic nowego. Jeśli natomiast π = a + bω jest liczbą ierwszą zesoloną, to deinicja jest równoznaczna z a 2 (3) i b 0 (3). Pojęcie rymarności jest otrzebne, aby ozbyć się niejednoznaczności związanej z aktem, że każdy niezerowy element D ma sześć elementów stowarzyszonych. Stwierdzenie 2.2.4. Załóżmy, że Nπ = 1 (3). Wśród elementów stowarzyszonych z π dokładnie jeden jest rymarny. Twierdzenie 2.2.1. (Prawo wzajemności reszt sześciennych) Niech π 1 i π 2 będą rymarne, Nπ 1, Nπ 2 3, i Nπ 1 Nπ 2. Wtedy χ q1 (q 2 ) = χ q2 (q 1 ) (a) Należy rozatrzyć trzy rzyadki. Mianowicie obie liczby π 1 i π 2 są całkowite, π 1 jest całkowite i π 2 jest zesolone, oraz obie π 1 i π 2 są zesolone. Pierwszy rzyadek jest trywialny. (b) Charakter sześcienny jedności rozstrzyga się nastęująco. Z tego, że 1 = ( 1) 3 mamy χ π ( 1) = 1 dla wszystkich elementów ierwszych π. Jeśli N π 3, wtedy ze Stwierdzenia 2.2.2 odunktu (b) wynika, że χ π (ω) = ω (Nπ 1)/3. Stąd χ π (ω) = 1, ω lub ω 2 w zależności, czy Nπ 1, 4 czy 7 modulo 9. 6

2.3. Dowód rawa zależności dla reszt sześciennych Niech π będzie liczbą ierwszą zesoloną taką, że Nπ = 1 (3). Z tego, że D/πD jest skończonym ciałem charakterystyki wynika, że zawiera ono koię Z/Z. Oba ciała mają elementów, więc możemy je utożsamiać. Dzięki temu możemy rozważać χ π jako charakter sześcienny na Z/Z w sensie sum Gaussa i Jacobiego. Zachodzą wtedy tożsamości (a) g(χ) 3 = J(χ, χ) (b) Jeśli J(χ, χ) = a + bω, to a 1 (3) i b 0 (3) (c) (χ π, χ π ) = π (d) g(χ π ) 3 = π Dowód rawa wzajemności. Rozważmy najierw rzyadek π 1 = q 2 (3) i π 2 = π, gdzie Nπ =. Podnosząc obie strony równania g(χ π ) 3 = π do otęgi (g 2 1)/3otrzymujemy g(χ π ) q2 1 = (π) (q2 1)/3. Biorąc kongruencję modulo q widzimy, że χ q () = 1 co daje Przeanalizujemy teraz lewą stronę: g(χ π ) q2 1 χ q (π) (q). g(χ π ) q2 χ q (π)g(χ π ) (q). (1) g(χ π ) q2 = ( χπ (t)ζ t) q 2 χ π (t) q2 ζ q2t (q). A jako, że q 2 1 (3) i χ π (t) jest ierwiastkiem sześciennym z 1, mamy g(χ π ) q2 g q 2(χ π ) (q). (2) Ze stwierdzenia 2.1.2. g q 2(χ π ) = χ π (q 2 )g(χ π ) = χ π (q)g(χ π ). Łącząc rówania (1) i (2) χ π (q)g(χ π ) χ q (π)g(χ π )(q). Mnożymy obie strony tej kongruencji rzez g(χ π ). Jako, że g(χ π )g(χ π ) =, albo dając χ π (q) χ q (π)(q) χ π (q) χ q (π)(q), χ π (q) = χ q (π). Pozostaje rozatrzyć rzyadek dwóch zesolonych liczb ierwszych π 1 i π 2, gdzie Nπ 1 = 1 1 (3) i Nπ 2 = 2 1 (3). Ten rzyadek rozwiązuje się raktycznie tym samym sosobem, z ewną różnicą. Niech γ 1 = π 1 i γ 2 = π 2. W tedy γ 1 i γ 2 są rymarne i 1 = π 1 γ 1 i 2 = π 2 γ 2. Zaczynając od równości g(χ γ1 ) 3 = 1 γ 1 i odnosząc ją do (Nπ 2 1)/3 = ( 2 1)/3 otęgi, oraz biorą kongruencję modulo π 2 otrzymujemy tą samą metodą jak owyżej równość χ γ1 ( 2 2) = χ π2 ( 1 γ 1 ). (3) 7

Podobnie zaczynając od g(χ π2 ) 3 = 2 π 2, odnosząc do ( 1 1)/3 otęgi i biorąc kongruencję modulo π 1 otrzymamy χ π2 ( 2 1) = χ π1 ( 2 π 2 ). (4) Potrzebujemy także równości χ γ1 ( 2 2) = χ π1 ( 2 ), która wynika ze Stwierdzenia 2.2.3, onieważ γ 1 = π 1 i 2 = 2. Możemy teraz obliczyć χ π1 (π 2 )χ π2 ( 1 γ 1 ) = χ π1 (π 2 )χ γ1 ( 2 2) = χ π1 (π 2 )χ π1 ( 2 ) = χ π1 ( 2 π 2 ) = χ π2 ( 2 1) = χ π2 ( 1 π 1 γ 1 ) z równania (3) z owyższej uwagi z równania (4) = χ π2 (π 1 )χ π2 ( 1 γ 1 ). Równając ze sobą ierwszy ostatni człon i skracając rzez χ π2 ( 1 γ 1 ) dostajemy oczekiwany rezultat: χ π1 (π 2 ) = χ π2 (π 1 ). 2.4. Prawo wzajemności reszt dwukwadratowych W tej części D oznacza ierścień Z[i]. Jeśli α D, to (α) = αd jest dziedziną ideałów głownych generowaną rzez α. Jej jednościami są ±1, ±i. Deinicja 2.4.1. Liczba nieodwracalna α D jest rymarna jeśli α 1(1 + i) 3. Zachodzą nastęujące twierdzenia (a) Niech π będzie nierozkładalne w D. Pierścień klas reszt D/πD jest skończonym ciałem z N(π) elementami. (b) Jeśli π α, to α Nπ 1 1(π). Stwierdzenie 2.4.1. (a) Jeśli π α, to χ π (α) = 1 x 4 α(π) ma rozwiązanie w D. (b) χ π (αβ) = χ π (α) χ π (β) (c) χ π (α) = χ π (α) (d) Jeśli π jest nierozkładalny i rymarny, to χ π ( 1) = ( 1) (a 1)/2, gdzie π = a + bi. (e) Jeśli α β(π) to χ π (α) = χ π (β) () χ π (α) = χ λ (α) jeśli (π) = (λ) Twierdzenie 2.4.1. Niech λ i π będą względnie ierwszymi rymarnymi elementami ierwszymi w D. Wtedy χ π (λ) = χ λ (π)( 1) ((N(λ) 1)/4)N(π) 1)/4 8

2.5. Konstruowalność wielokątów oremnych W Disquisitiones Arithmeticae Gauss udowodnił za omocą okresów cyklotomicznych, że jeśli jest liczbą ierwszą ostaci 2 n + 1, to wielokąt oremny o bokach jest konstruowalny za omocą cyrkla i linijki. W tym rozdziale okazany zostanie dowód tego aktu za omocą sum Gaussa i Jacobiego. W rozatrywanej sytuacji konstruwalne liczby zesolone to te liczby, które możemy uzyskać z Q orzez skończoną liczbę oeracji wymiernych i tworzenie ierwiastków kwadratowych. Deinicja 2.5.1. Liczba zesolona α C jest konstruowalna jeśli istnieją odciała ciała C, Q = K 0 K 1 K 2 K n takie, że α K n i K 1 = K i 1 ( α i 1 ) dla ewnego α i K i, i = 1,..., n. Widzimy, że α jest konstruowalna wtedy i tylko wtedy, gdy część rzeczywista i urojona liczby α są konstruowalne. Co więcej, jeśli α można skonstruować, to α też. Lemat 2.5.1. Niech ζ t = e 2πi/t. Wtedy ζ 2 n, gdzie n = 1, 2,... jest konstruowalne. Dowód. Z tego, że (ζ 2 n) 2 = ζ 2 n 1 i aktu, że ζ 2 jest konstruowalne orzez indukcję dostajemy lemat. Lemat 2.5.2. 1, jeśli t=0, χ(t) = 1, jeśli t=1, χ 0, jeśli t 0, 1, suma o wszystkich charakterach z F. Dowód. Jeśli χ = ε jest charakterem trywialnym, wtedy ε(0) = 1 i teza zachodzi dla t = 0. Teza jest też rawdziwa dla t = 1 na mocy Stwierdzenia 2.1.1, a ozostałe rzyadki rozstrzyga wniosek do tego stwierdzenia. Twierdzenie 2.5.1. Jeśli = 2 n + 1 jest liczbą ierwszą Fermata, wtedy ζ jest konstruowalne. Dowód. Niech g(χ) = 1 t=0 χ(t)ζ t jest sumą Gaussa związaną z χ, wtedy 1 ( ) g(χ) = χ(t) ζ t = 1 + ( 1)ζ. χ t=0 χ Stąd ζ = ( 1) 1 ( 1 + χ g(χ)) i wtedy ζ jest konstruowalne jeśli każda suma g(χ) też jest. Jednakże 1 = 2 n i skoro charaktery tworzą gruą rzędu 1 widzimy, że rząd χ jest 2 m dla ewnego m. Używając Stwierdzenia 2.1.3 mamy g(χ) 2m = χ( 1)J(χ, χ)j(χ, χ 2 )... J(χ, χ l ), gdzie l = 2 m 2. Jednakże J(χ, χ l ) Z[ζ 2 n], więc z Lematu 2.5.1 g(χ) 2m jest konstruowalne. Wynika z tego, że g(χ) też jest konstruowalne. 9

Literatura K. Ireland, M. Rosen A Classical Introduction to Modern Number Theory 10