Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje

Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E e-mail: maciej.grzesiak@put.poznan.pl http://www.put.poznan.pl/ maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, 8.45-9.30, środa 8.45-9.30, piątek 9.45-10.30, pokój 724E

Treść wykładu Elementy logiki.. Liczby rzeczywiste...

Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych.

Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1, fałszywość cyfrą 0.

Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1, fałszywość cyfrą 0. Przykłady Zdaniami są: Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 > 0,

Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1, fałszywość cyfrą 0. Przykłady Zdaniami są: Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 > 0, Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 + 1 > 0,

Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1, fałszywość cyfrą 0. Przykłady Zdaniami są: Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 > 0, Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 + 1 > 0, Ziemia obraca się wokół Księżyca,

Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1, fałszywość cyfrą 0. Przykłady Zdaniami są: Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 > 0, Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 + 1 > 0, Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe.

Zdanie Elementy logiki Zdaniami nie są wypowiedzi: Czy lubisz frytki?,

Zdanie Elementy logiki Zdaniami nie są wypowiedzi: Czy lubisz frytki?, Daj mi spokój,

Zdanie Elementy logiki Zdaniami nie są wypowiedzi: Czy lubisz frytki?, Daj mi spokój, x dzieli się przez 3, bo nie można przypisać im wartości logicznej.

Zdanie Elementy logiki Zdania oznaczamy literami: p, q,.... Z danych zdań można tworzyć zdania złożone za pomocą spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych): nie, i, lub, implikuje (jeżeli... to), jest równoważne,

Zdanie Elementy logiki Zdania oznaczamy literami: p, q,.... Z danych zdań można tworzyć zdania złożone za pomocą spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych): nie, i, lub, implikuje (jeżeli... to), jest równoważne, oznaczanych symbolami,,,,.

Zdanie Elementy logiki Zdania oznaczamy literami: p, q,.... Z danych zdań można tworzyć zdania złożone za pomocą spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych): nie, i, lub, implikuje (jeżeli... to), jest równoważne, oznaczanych symbolami Zdania złożone:,,,,. p, p q, p q, p q, p q, nazywamy odpowiednio negacją (zdania p),koniunkcją, alternatywą (zdań p, q), implikacją (o poprzedniku p i następniku q) i równoważnością (zdań p, q).

Zdanie Elementy logiki Wartości logiczne zdań złożonych zależą tylko od wartości logicznych zdań prostych. Wyjaśnia to tabela: p q p p q p q p q p q 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1

Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę.

Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę. Uznamy, że Staszek skłamał jedynie wtedy, gdy dzisiaj jest ładna pogoda, a on nie przyszedł (poprzednik prawdziwy, a następnik fałszywy). W pozostałych przypadkach mówił prawdę (również wtedy, gdy przyszedł mimo złej pogody!)

Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę. Uznamy, że Staszek skłamał jedynie wtedy, gdy dzisiaj jest ładna pogoda, a on nie przyszedł (poprzednik prawdziwy, a następnik fałszywy). W pozostałych przypadkach mówił prawdę (również wtedy, gdy przyszedł mimo złej pogody!) Implikacja ma związek z pojęciem warunku koniecznego i warunku dostatecznego (wystarczającego).

Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę. Uznamy, że Staszek skłamał jedynie wtedy, gdy dzisiaj jest ładna pogoda, a on nie przyszedł (poprzednik prawdziwy, a następnik fałszywy). W pozostałych przypadkach mówił prawdę (również wtedy, gdy przyszedł mimo złej pogody!) Implikacja ma związek z pojęciem warunku koniecznego i warunku dostatecznego (wystarczającego). Mianowicie, jeżeli p q, to q jest warunkiem koniecznym dla p (tzn. jeśli nie zachodzi q, to nie może zachodzić p).

Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę. Uznamy, że Staszek skłamał jedynie wtedy, gdy dzisiaj jest ładna pogoda, a on nie przyszedł (poprzednik prawdziwy, a następnik fałszywy). W pozostałych przypadkach mówił prawdę (również wtedy, gdy przyszedł mimo złej pogody!) Implikacja ma związek z pojęciem warunku koniecznego i warunku dostatecznego (wystarczającego). Mianowicie, jeżeli p q, to q jest warunkiem koniecznym dla p (tzn. jeśli nie zachodzi q, to nie może zachodzić p). Jednocześnie, p jest warunkiem dostatecznym dla q (gdy występuje p, to na pewno prawdziwe jest q).

Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę. Uznamy, że Staszek skłamał jedynie wtedy, gdy dzisiaj jest ładna pogoda, a on nie przyszedł (poprzednik prawdziwy, a następnik fałszywy). W pozostałych przypadkach mówił prawdę (również wtedy, gdy przyszedł mimo złej pogody!) Implikacja ma związek z pojęciem warunku koniecznego i warunku dostatecznego (wystarczającego). Mianowicie, jeżeli p q, to q jest warunkiem koniecznym dla p (tzn. jeśli nie zachodzi q, to nie może zachodzić p). Jednocześnie, p jest warunkiem dostatecznym dla q (gdy występuje p, to na pewno prawdziwe jest q). Np. zdanie ulica jest mokra jest warunkiem koniecznym dla zdania pada deszcz, ale nie jest warunkiem dostatecznym dla tego zdania.

Zadanie Elementy logiki Które z następujących zdań są prawdziwe: warunkiem koniecznym na to by trójkąt był równoboczny jest by był równoramienny warunkiem dostatecznym na to by trójkąt był równoboczny jest by był równoramienny warunkiem koniecznym na to by trójkąt był równoramienny jest by był równoboczny warunkiem dostatecznym na to by trójkąt był równoramienny jest by był równoboczny

Forma zdaniowa W przykładach wypowiedzi, które nie są zdaniami, było: x dzieli się przez 3. Nie można jej przypisać wartości logicznej, gdy nie wiemy, czym jest x. Gdy jednak w miejsce x podstawimy jakąś liczbę, to otrzymamy zdanie. Dlatego tego typu wypowiedź nazywamy formą zdaniową.

Forma zdaniowa W przykładach wypowiedzi, które nie są zdaniami, było: x dzieli się przez 3. Nie można jej przypisać wartości logicznej, gdy nie wiemy, czym jest x. Gdy jednak w miejsce x podstawimy jakąś liczbę, to otrzymamy zdanie. Dlatego tego typu wypowiedź nazywamy formą zdaniową. Definicja Formą zdaniową (lub funkcją zdaniową) nazywamy wypowiedź zawierająca pewną liczbę zmiennych p, q, r,..., przy czym jeśli w miejsce zmiennych podstawimy konkretny obiekt, to otrzymamy zdanie.

Forma zdaniowa W przykładach wypowiedzi, które nie są zdaniami, było: x dzieli się przez 3. Nie można jej przypisać wartości logicznej, gdy nie wiemy, czym jest x. Gdy jednak w miejsce x podstawimy jakąś liczbę, to otrzymamy zdanie. Dlatego tego typu wypowiedź nazywamy formą zdaniową. Definicja Formą zdaniową (lub funkcją zdaniową) nazywamy wypowiedź zawierająca pewną liczbę zmiennych p, q, r,..., przy czym jeśli w miejsce zmiennych podstawimy konkretny obiekt, to otrzymamy zdanie. Np. formą jest: x leży w Polsce. Podstawiając w miejsce x Kraków otrzymamy zdanie prawdziwe, a podstawiając Londyn zdanie fałszywe.

Forma zdaniowa Obiektem może być też inne zdanie. Jeżeli dane wyrażenie zawiera zmienne zdaniowe p, q, r,... połączone funktorami to nazywamy je formułą rachunku zdań.

Forma zdaniowa Obiektem może być też inne zdanie. Jeżeli dane wyrażenie zawiera zmienne zdaniowe p, q, r,... połączone funktorami to nazywamy je formułą rachunku zdań. Np. (p q) r jest formułą. Gdy podstawimy np. p: Kraków leży w Polsce, q: Polska leży w Europie. r: Kraków leży w Europie, to otrzymamy zdanie.

Forma zdaniowa Obiektem może być też inne zdanie. Jeżeli dane wyrażenie zawiera zmienne zdaniowe p, q, r,... połączone funktorami to nazywamy je formułą rachunku zdań. Np. (p q) r jest formułą. Gdy podstawimy np. p: Kraków leży w Polsce, q: Polska leży w Europie. r: Kraków leży w Europie, to otrzymamy zdanie. Wartość logiczna zdania otrzymanego z formy zdaniowej zależy na ogół od wartości logicznej zdań składowych. Np. formuła (p q) r ma wartość 1 dla p = 0, q = 0, r = 1, zaś wartość 0 dla p = 1, q = 1, r = 0.

Forma zdaniowa Definicja Formułę rachunku zdań, która przyjmuje wartość logiczną 1 przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne zdaniowe nazywamy tautologią (prawem rachunku zdań).

Forma zdaniowa Definicja Formułę rachunku zdań, która przyjmuje wartość logiczną 1 przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne zdaniowe nazywamy tautologią (prawem rachunku zdań). Ważniejsze tautologie. 1. Prawo wyłączonego środka (tertium non datur): p p.

Forma zdaniowa Definicja Formułę rachunku zdań, która przyjmuje wartość logiczną 1 przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne zdaniowe nazywamy tautologią (prawem rachunku zdań). Ważniejsze tautologie. 1. Prawo wyłączonego środka (tertium non datur): p p. 2. Prawo sprzeczności: (p p).

3. Prawa de Morgana: (p q) p q

3. Prawa de Morgana: (p q) p q (zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń),

3. Prawa de Morgana: (p q) p q (zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń), (p q) p q

3. Prawa de Morgana: (p q) p q (zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń), (p q) p q (zaprzeczenie alternatywy jest koniunkcją zaprzeczeń).

3. Prawa de Morgana: (p q) p q (zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń), (p q) p q (zaprzeczenie alternatywy jest koniunkcją zaprzeczeń). 4. Prawo transpozycji: (p q) [( q) ( p)].

5. Prawo odrywania (modus ponens): [(p q) p] q. Jest to jedna z podstawowych reguł wnioskowania. Jeżeli prawdziwa jest implikacja i jeżeli prawdziwy jest jej poprzednik, to prawdziwy musi być także jej następnik.

5. Prawo odrywania (modus ponens): [(p q) p] q. Jest to jedna z podstawowych reguł wnioskowania. Jeżeli prawdziwa jest implikacja i jeżeli prawdziwy jest jej poprzednik, to prawdziwy musi być także jej następnik. 6. Prawo sylogizmu: [(p q) (q r)] (p r).

5. Prawo odrywania (modus ponens): [(p q) p] q. Jest to jedna z podstawowych reguł wnioskowania. Jeżeli prawdziwa jest implikacja i jeżeli prawdziwy jest jej poprzednik, to prawdziwy musi być także jej następnik. 6. Prawo sylogizmu: [(p q) (q r)] (p r). To, czy dana forma zdaniowa jest tautologią, czy nie, można sprawdzić stosując tzw. metodę zero-jedynkową, tzn. podstawiając w miejsce zmiennych ich wszystkie możliwe wartości logiczne.

Sprawdzimy pierwsze prawo de Morgana. p q p q (p q) p q (p q) p q 1 1 1 0 0 1 0 0

Kwantyfikatory Wiemy, że funkcja zdaniowa staje się zdaniem, gdy za zmienne występujące w niej podstawimy zdania.

Kwantyfikatory Wiemy, że funkcja zdaniowa staje się zdaniem, gdy za zmienne występujące w niej podstawimy zdania. Innym sposobem uzyskania zdania z formy zdaniowej jest użycie kwantyfikatorów określających wzajemne związki między funkcją zdaniową a zakresem zmienności jej zmiennych zdaniowych.

Kwantyfikatory Wiemy, że funkcja zdaniowa staje się zdaniem, gdy za zmienne występujące w niej podstawimy zdania. Innym sposobem uzyskania zdania z formy zdaniowej jest użycie kwantyfikatorów określających wzajemne związki między funkcją zdaniową a zakresem zmienności jej zmiennych zdaniowych. Definicja Wyrażenie dla każdego nazywamy kwantyfikatorem ogólnym (dużym) i oznaczamy symbolem. Wyrażenie istnieje nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym (małym) i oznaczamy symbolem.

Np. symbol x > 0 czytamy dla każdego x > 0 lub dla dowolnego x > 0.

Np. symbol x > 0 czytamy dla każdego x > 0 lub dla dowolnego x > 0. Forma zdaniowa sin x > 0 poprzedzona tym kwantyfikatorem staje się zdaniem: x > 0 sin x > 0.

Np. symbol x > 0 czytamy dla każdego x > 0 lub dla dowolnego x > 0. Forma zdaniowa sin x > 0 poprzedzona tym kwantyfikatorem staje się zdaniem: x > 0 sin x > 0. Jest to oczywiście zdanie fałszywe. Natomiast zdanie: x > 0 sin x > 0 (istnieje takie x, że sin x > 0) jest zdaniem prawdziwym.

Kwantyfikatory Z określenia kwantyfikatorów wynika, że x X p(x) jest zdaniem prawdziwym wtedy, i tylko wtedy, gdy podstawiając do formuły p(x) dowolny obiekt ze zbioru X otrzymujemy zdanie prawdziwe.

Kwantyfikatory Z określenia kwantyfikatorów wynika, że x X p(x) jest zdaniem prawdziwym wtedy, i tylko wtedy, gdy podstawiając do formuły p(x) dowolny obiekt ze zbioru X otrzymujemy zdanie prawdziwe. Natomiast x X p(x) jest zdaniem prawdziwym wtedy, i tylko wtedy, gdy w zbiorze X istnieje obiekt taki, że podstawiając go do formuły p(x) otrzymujemy zdanie prawdziwe.

Elementy logiki Pojęcie zbioru w matematyce jest tzw. pojęciem pierwotnym, a więc zbioru nie definiuje się. oznaczamy dużymi literami A, B,..., X, Y..., a ich elementy małymi. Zapisy a A, a A czytamy: a należy do A (jest elementem zbioru A) i a nie należy do A (nie jest elementem zbioru A).

Elementy logiki Pojęcie zbioru w matematyce jest tzw. pojęciem pierwotnym, a więc zbioru nie definiuje się. oznaczamy dużymi literami A, B,..., X, Y..., a ich elementy małymi. Zapisy a A, a A czytamy: a należy do A (jest elementem zbioru A) i a nie należy do A (nie jest elementem zbioru A). Zbiór można określić wypisując jego elementy: A = {a 1, a 2,..., a n },

Elementy logiki Pojęcie zbioru w matematyce jest tzw. pojęciem pierwotnym, a więc zbioru nie definiuje się. oznaczamy dużymi literami A, B,..., X, Y..., a ich elementy małymi. Zapisy a A, a A czytamy: a należy do A (jest elementem zbioru A) i a nie należy do A (nie jest elementem zbioru A). Zbiór można określić wypisując jego elementy: A = {a 1, a 2,..., a n }, lub używając formy zdaniowej p(x): X = {x : p(x)}.

Elementy logiki Pojęcie zbioru w matematyce jest tzw. pojęciem pierwotnym, a więc zbioru nie definiuje się. oznaczamy dużymi literami A, B,..., X, Y..., a ich elementy małymi. Zapisy a A, a A czytamy: a należy do A (jest elementem zbioru A) i a nie należy do A (nie jest elementem zbioru A). Zbiór można określić wypisując jego elementy: A = {a 1, a 2,..., a n }, lub używając formy zdaniowej p(x): X = {x : p(x)}. W tym drugim przypadku X składa się z tych elementów x dla których forma p(x) staje się zdaniem prawdziwym. Np. jeśli p(x) jest formą: x jest liczbą podzielną przez 3, to X = {x : 3 x} = {0, ±3, ±6, ±9,...}.

Przypomnijmy oznaczenia: (zbiór pusty), A B (A jest podzbiorem B), A B (suma zbiorów A i B), A B (iloczyn lub przekrój zbiorów A i B), A \ B (różnica zbiorów A i B).

Przy działaniach na większej liczbie zbiorów stosuje się symbole: p A n = A 1 A 2 A p, n=1 p A n = A 1 A 2 A p. n=1

Przy działaniach na większej liczbie zbiorów stosuje się symbole: p A n = A 1 A 2 A p, n=1 p A n = A 1 A 2 A p. n=1 Symbole: A n, n=1 A n n=1 oznaczają odpowiednio sumę i iloczyn nieskończonej rodziny zbiorów.

Przykłady (0, 1 n ) = (0, 1), ale (0, 1 n ) = (0, 1 2 ) n=1 n=2

Przykłady (0, 1 n ) = (0, 1), ale (0, 1 n ) = (0, 1 2 ) n=1 n=2 (0, 1 n ) = n=1

Jeśli rozpatrujemy tylko zbiory zawarte w pewnym większym zbiorze E (który wtedy nazywamy zbiorem uniwersalnym lub uniwersum), to określamy dopełnienie zbioru A jako A = E \ A, czyli zbiór tych elementów x E, które nie należą do A.

Jeśli rozpatrujemy tylko zbiory zawarte w pewnym większym zbiorze E (który wtedy nazywamy zbiorem uniwersalnym lub uniwersum), to określamy dopełnienie zbioru A jako A = E \ A, czyli zbiór tych elementów x E, które nie należą do A. Np. jeśli E = R, to dopełnieniem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb niewymiernych.

Oprócz wymienionych wyżej działań na zbiorach często wykorzystuje się tzw. iloczyn kartezjański zbiorów: A B = {(a, b) : a A, b B}.

Oprócz wymienionych wyżej działań na zbiorach często wykorzystuje się tzw. iloczyn kartezjański zbiorów: A B = {(a, b) : a A, b B}. Jest to więc zbiór wszystkich par takich, że pierwszy element należy do A, a drugi do B.

Oprócz wymienionych wyżej działań na zbiorach często wykorzystuje się tzw. iloczyn kartezjański zbiorów: A B = {(a, b) : a A, b B}. Jest to więc zbiór wszystkich par takich, że pierwszy element należy do A, a drugi do B. Przykłady 1. Jeżeli A = [ 2, 1] i B = [1, 3], to A B = {(x, y) : 2 x 1, 1 y 3}.

Oprócz wymienionych wyżej działań na zbiorach często wykorzystuje się tzw. iloczyn kartezjański zbiorów: A B = {(a, b) : a A, b B}. Jest to więc zbiór wszystkich par takich, że pierwszy element należy do A, a drugi do B. Przykłady 1. Jeżeli A = [ 2, 1] i B = [1, 3], to A B = {(x, y) : 2 x 1, 1 y 3}. 2. Jeżeli A = R i B = (0, 3), to A B = {(x, y) : x R, 0 < y < 3}.

Nazwa pochodzi od francuskiego matematyka Rene Descartesa, czyli Kartezjusza. Również na jego cześć prostokątny układ współrzędnych nazywa się układem kartezjańskim. Koncepcję zastosowania algebry do geometrii przedstawił w wydanej w 1637 roku rozprawie O metodzie. René Descartes (1596-1650)

Zbiór liczb rzeczywistych Pojęcie liczby zmieniało się w czasie. Najpierw były liczby naturalne: 1, 2, 3,..., potem ułamki, czyli liczby wymierne. W czasach Pitagorasa pojawiły się liczby niewymierne takie jak np. 2, a znacznie później liczby ujemne i liczba 0 (dopiero w VIII wieku). Wszystkie te liczby obejmujemy wspólną nazwą liczb rzeczywistych.

Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych;

Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych;

Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych; Q zbiór liczb wymiernych;

Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych; Q zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych.

Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych; Q zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych. 0 nie jest liczbą naturalną. Liczba π wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy jest niewymierna.

Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych; Q zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych. 0 nie jest liczbą naturalną. Liczba π wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy jest niewymierna. Inną ważną liczbą niewymierną jest nazywana też liczbą Eulera. ( e = lim 1 + 1 ) n 2, 718.... n n

System matematyczny Definicja System matematyczny składa się 1 Zbioru, czyli tzw. uniwersum. 2 Definicji, czyli zdań, które określają znaczenie pojęć używanych w odniesieniu do uniwersum. Samego uniwersum nie definiuje się. 3 Aksjomatów, czyli stwierdzeń określających własności uniwersum i reguł tworzenia i dowodzenia następnych stwierdzeń. 4 Twierdzeń, czyli dodatkowych stwierdzeń wspomnianych wyżej.

Przykład W geometrii euklidesowej uniwersum składa się z punktów i prostych (tych pojęć nie definiuje się). Definiuje się np. odcinek, punkt przecięcia prostych, czy kąt między prostymi. Aksjomatami są: 1 Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. 2 Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą). 3 Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości. 4 Wszystkie kąty proste są przystające. 5 Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony.

W danym systemie matematycznym twierdzenie jest to zdanie prawdziwe wyprowadzone z aksjomatów tego systemu. Prawdziwość musi być potwierdzona dowodem, czyli skończonym ciągiem logicznie poprawnych kroków pokazujących, że z założeń wynikają tezy twierdzenia.

W danym systemie matematycznym twierdzenie jest to zdanie prawdziwe wyprowadzone z aksjomatów tego systemu. Prawdziwość musi być potwierdzona dowodem, czyli skończonym ciągiem logicznie poprawnych kroków pokazujących, że z założeń wynikają tezy twierdzenia. Wszystkie twierdzenia w matematyce mogą być wypowiedziane w postaci lub w postaci Jeśli ZAŁOŻENIE, to TEZA, TEZA 1 wtedy i tylko wtedy, gdy TEZA 2. Rzeczywiste sformułowania mogą brzmieć odmiennie, ale zawsze można sprowadzić je do powyższych postaci.

Rozważmy twierdzenia postaci Jeśli Z, to T. Są dwie podstawowe metody dowodzenia takich twierdzeń. a) Dowód wprost. Zakładamy, że Z jest prawdziwe, i wnioskujemy o prawdziwości T.

Rozważmy twierdzenia postaci Jeśli Z, to T. Są dwie podstawowe metody dowodzenia takich twierdzeń. a) Dowód wprost. Zakładamy, że Z jest prawdziwe, i wnioskujemy o prawdziwości T. b) Dowód nie wprost (przez sprowadzenie do sprzeczności). Zakładamy, że Z jest prawdziwe i T jest fałszywe, i wykazujemy, że to prowadzi do sprzeczności z założeniem lub innym twierdzeniem.

Rozważmy twierdzenia postaci Jeśli Z, to T. Są dwie podstawowe metody dowodzenia takich twierdzeń. a) Dowód wprost. Zakładamy, że Z jest prawdziwe, i wnioskujemy o prawdziwości T. b) Dowód nie wprost (przez sprowadzenie do sprzeczności). Zakładamy, że Z jest prawdziwe i T jest fałszywe, i wykazujemy, że to prowadzi do sprzeczności z założeniem lub innym twierdzeniem. Natomiast aby udowodnić twierdzenie postaci T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy T 2 wystarczy wykazać Jeśli T 1, to T 2 oraz Jeśli T 2, to T 1.

Przykład dowodu wprost Wykażemy twierdzenie: Suma dowolnych dwóch liczb nieparzystych jest parzysta. Na początek zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli j i k są liczbami nieparzystymi, to j + k jest liczbą parzystą.

Przykład dowodu wprost Wykażemy twierdzenie: Suma dowolnych dwóch liczb nieparzystych jest parzysta. Na początek zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli j i k są liczbami nieparzystymi, to j + k jest liczbą parzystą. D o w ó d. Jeśli j i k są nieparzyste, to istnieją liczby m, n takie, że j = 2m + 1 oraz k = 2n + 1. Zatem jest liczbą parzystą. j + k = 2m + 1 + 2n + 1 = 2(m + n + 1)

Przykład dowodu nie wprost Wykażemy twierdzenie: 2 jest liczbą niewymierną.

Przykład dowodu nie wprost Wykażemy twierdzenie: 2 jest liczbą niewymierną. Zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli x jest liczbą wymierną, to x 2 2.

Przykład dowodu nie wprost Wykażemy twierdzenie: 2 jest liczbą niewymierną. Zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli x jest liczbą wymierną, to x 2 2. D o w ó d nie wprost. Załóżmy, że x jest liczbą wymierną i x 2 = 2. Skoro x Q, to x = p q dla pewnych liczb całkowitych p, q niemających wspólnego czynnika. Stąd x 2 = p2 = 2, więc q 2 p 2 = 2q 2.

Przykład dowodu nie wprost Wykażemy twierdzenie: 2 jest liczbą niewymierną. Zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli x jest liczbą wymierną, to x 2 2. D o w ó d nie wprost. Załóżmy, że x jest liczbą wymierną i x 2 = 2. Skoro x Q, to x = p q dla pewnych liczb całkowitych p, q niemających wspólnego czynnika. Stąd x 2 = p2 = 2, więc q 2 p 2 = 2q 2. Zatem p 2 dzieli się przez 2, więc p musi być podzielne przez 2, tj, p = 2r dla pewnego całkowitego r. Stąd 4r 2 = p 2 = 2q 2, czyli q 2 = 2r 2.

Przykład dowodu nie wprost Wykażemy twierdzenie: 2 jest liczbą niewymierną. Zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli x jest liczbą wymierną, to x 2 2. D o w ó d nie wprost. Załóżmy, że x jest liczbą wymierną i x 2 = 2. Skoro x Q, to x = p q dla pewnych liczb całkowitych p, q niemających wspólnego czynnika. Stąd x 2 = p2 = 2, więc q 2 p 2 = 2q 2. Zatem p 2 dzieli się przez 2, więc p musi być podzielne przez 2, tj, p = 2r dla pewnego całkowitego r. Stąd 4r 2 = p 2 = 2q 2, czyli q 2 = 2r 2. Wnioskujemy, że q musi być liczbą parzystą. A więc obie liczby p, q są parzyste. Sprzeczność, bo zakładaliśmy, że p, q nie mają wspólnego czynnika.

Indukcja matematyczna Zasada indukcji matematycznej jest ścisłą formą popularnej zasady domina. Jeżeli klocki domina ustawimy jeden obok drugiego tak, by pojedynczy klocek przewracając się obalił następny, to przewrócenie pierwszego klocka spowoduje upadek wszystkich.

Indukcja matematyczna Zasada indukcji matematycznej jest ścisłą formą popularnej zasady domina. Jeżeli klocki domina ustawimy jeden obok drugiego tak, by pojedynczy klocek przewracając się obalił następny, to przewrócenie pierwszego klocka spowoduje upadek wszystkich. Twierdzenie (zasada indukcji matematycznej) Niech T (n) oznacza twierdzenie dotyczące liczb naturalnych. Jeżeli 1 jest ono prawdziwe dla pewnej liczby n 0, 2 dla każdej liczby k n 0 z prawdziwości twierdzenia dla k wynika jego prawdziwość dla liczby k + 1, to twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych większych bądź równych n 0.

D o w ó d. Dowód twierdzenia o indukcji wykorzystuje zasadę minimum: Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych zawiera element najmniejszy.

D o w ó d. Dowód twierdzenia o indukcji wykorzystuje zasadę minimum: Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych zawiera element najmniejszy. Załóżmy, że twierdzenie T (n) nie jest prawdziwe dla wszystkich n n 0. Niech A oznacza zbiór wszystkich n n 0 dla których T (n) nie jest prawdziwe, i niech a będzie najmniejszym elementem zbioru A. Liczba a musi być większa od n 0 (z warunku 1), więc a 1 n 0 oraz T (a 1) jest prawdziwe. Wtedy jednak z warunku 2 wnioskujemy, że T (a) jest prawdziwe, sprzeczność.

Przykład Korzystając z zasady indukcji udowodnimy następujące twierdzenie: Dla każdej liczby naturalnej n liczba 7 n 1 jest podzielna przez 6.

Przykład Korzystając z zasady indukcji udowodnimy następujące twierdzenie: Dla każdej liczby naturalnej n liczba 7 n 1 jest podzielna przez 6. D o w ó d. Sprawdzamy dwa kroki zasady indukcji: 1. Dla n = 1: 7 1 1 = 6 jest oczywiście podzielne przez 6.

Przykład Korzystając z zasady indukcji udowodnimy następujące twierdzenie: Dla każdej liczby naturalnej n liczba 7 n 1 jest podzielna przez 6. D o w ó d. Sprawdzamy dwa kroki zasady indukcji: 1. Dla n = 1: 7 1 1 = 6 jest oczywiście podzielne przez 6. 2. Zakładamy, że dla liczby naturalnej k liczba 7 k 1 jest podzielna przez 6. Wówczas liczba 7 k+1 1 = (6 + 1)7 k 1 = 6 7 k + 7 k 1 też jest podzielna przez 6, bo składnik 6 7 k ma czynnik 6, a składnik 7 k 1 dzieli się przez 6 na mocy założenia indukcyjnego.

Przykład Korzystając z zasady indukcji udowodnimy następujące twierdzenie: Dla każdej liczby naturalnej n liczba 7 n 1 jest podzielna przez 6. D o w ó d. Sprawdzamy dwa kroki zasady indukcji: 1. Dla n = 1: 7 1 1 = 6 jest oczywiście podzielne przez 6. 2. Zakładamy, że dla liczby naturalnej k liczba 7 k 1 jest podzielna przez 6. Wówczas liczba 7 k+1 1 = (6 + 1)7 k 1 = 6 7 k + 7 k 1 też jest podzielna przez 6, bo składnik 6 7 k ma czynnik 6, a składnik 7 k 1 dzieli się przez 6 na mocy założenia indukcyjnego. Czyli warunki 1 i 2 są spełnione. Zatem, na mocy zasady indukcji liczba 7 n 1 dzieli się przez 6 dla każdego n N.

W naukach empirycznych słowo indukcja może mieć mniej ścisłe znaczenie. Jako ilustracja dowcip z serii Matematyk i... ze strony: http://www.math.utah.edu/ cherk/mathjokes.html A mathematician, a physicist, and an engineer were traveling through Scotland when they saw a black sheep through the window of the train. Aha, says the engineer, I see that Scottish sheep are black. Hmm, says the physicist, You mean that some Scottish sheep are black. No, says the mathematician, All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!

Metodą indukcji udowodnić następujące twierdzenia. 1. 1 + 3 + + (2n 1) = n 2 2. 1 3 + 2 3 + + n 3 = (1 + 2 + + n) 2 3. Nierówność Bernoullego: (1 + x) n 1 + nx dla n N, x 1.

Wzór dwumianowy Newtona Definicja Wyrażenie ( ) n = k n! k!(n k)! nazywamy symbolem Newtona. Np. ( ) 5 = 5! 3 3!2! = 10.

Wzór dwumianowy Newtona Łatwo sprawdzić następujące równości ( ) ( ) n n = k n k ( ) ( ) n n = = 1 0 n ( ) ( ) n n = = n 1 n 1 oraz ( ) ( ) n n + = k k + 1 ( ) n + 1 k + 1

Wzór dwumianowy Newtona Korzystając z tych własności i zasady indukcji można udowodnić wzór dwumianowy Newtona ( ) n n (a + b) n = a k b n k, k k=0 gdzie a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a n jest liczbą naturalną.

Wzór dwumianowy Newtona Współczynniki kolejnych rozwinięć potęgi (a + b) n dla n = 1, 2, 3,... tworzą tzw. trójkąt Pascala: 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1...................................

Pojęcie relacji Niech dany będzie zbiór X. X 2 oznacza potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X = {(x 1, x 2 ) : x 1, x 2 X }.

Pojęcie relacji Niech dany będzie zbiór X. X 2 oznacza potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X = {(x 1, x 2 ) : x 1, x 2 X }. Definicja Relacją binarną w zbiorze X nazywamy podzbiór ρ zbioru X 2.

Pojęcie relacji Niech dany będzie zbiór X. X 2 oznacza potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X = {(x 1, x 2 ) : x 1, x 2 X }. Definicja Relacją binarną w zbiorze X nazywamy podzbiór ρ zbioru X 2. Elementy x 1, x 2, spełniają relację ρ, gdy (x 1, x 2 ) ρ. Często piszemy x 1 ρx 2 zamiast (x 1, x 2 ) ρ.

Przykłady Elementy logiki 1. W zbiorze X = {a, b, c, d, e} relacja jest relacją binarną. ρ = {(a, a), (a, b), (b, a)}

Przykłady Elementy logiki 1. W zbiorze X = {a, b, c, d, e} relacja ρ = {(a, a), (a, b), (b, a)} jest relacją binarną. 2. X = zbiór mieszkańców Poznania. Relacja (xρy) (x studiuje na tej samej uczelni co y) jest relacją binarną.

Przykłady Elementy logiki 3. X = Z. ((k, n) ρ) (k dzieli n).

Przykłady Elementy logiki 3. X = Z. ((k, n) ρ) (k dzieli n). 4. X = N ; xρy x y. 5. X = R; xρy x y jest liczbą wymierną.

Zadania Elementy logiki 1. W układzie Oxy zilustrować relacje w zbiorze R: a) {(x, y) : x = y y = x + 2} b) {(x, y) : 1 x 2 + y 2 4} c) {(x, y) : y = x 2 + x + 1} 2. Ile relacji można utworzyć w zbiorze n-elementowym?

Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji.

Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji. Definicja Mówimy, że relacja ρ jest: a) zwrotna, gdy x x ρ x;

Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji. Definicja Mówimy, że relacja ρ jest: a) zwrotna, gdy x x ρ x; b) symetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x);

Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji. Definicja Mówimy, że relacja ρ jest: a) zwrotna, gdy x x ρ x; b) symetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x); c) przechodnia, gdy x, y, z (x ρ y) ( yρ z) (x ρ z);

Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji. Definicja Mówimy, że relacja ρ jest: a) zwrotna, gdy x x ρ x; b) symetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x); c) przechodnia, gdy x, y, z (x ρ y) ( yρ z) (x ρ z); d) antysymetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x) (x = y) ;

Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji. Definicja Mówimy, że relacja ρ jest: a) zwrotna, gdy x x ρ x; b) symetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x); c) przechodnia, gdy x, y, z (x ρ y) ( yρ z) (x ρ z); d) antysymetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x) (x = y) ; e) spójna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x).

Zadania Elementy logiki 1. Zbadać własności relacji określonych w zbiorze A = {a, b, c, d}: a) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a)} b) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b)} c) {(a, a), (b, b)} 2. Niech ρ będzie relacją w zbiorze R. Jakiej własności geometrycznej obrazu tej relacji na płaszczyźnie odpowiadają następujące własności relacji ρ: a) zwrotność, b) symetria, c) spójność?

Rodzaje relacji Definicja Relację, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, nazywamy relacją równoważności.

Rodzaje relacji Definicja Relację, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, nazywamy relacją równoważności. Relację, która jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia, nazywamy relacją porządkującą.

Rodzaje relacji Można mówić również o relacjach między różnymi zbiorami: Definicja Podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y nazywamy dwuczłonową relacją między zbiorami X i Y.

Rodzaje relacji Można mówić również o relacjach między różnymi zbiorami: Definicja Podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y nazywamy dwuczłonową relacją między zbiorami X i Y. Zwróćmy uwagę, że wtedy pojęcie funkcji staje się szczególnym przypadkiem pojęcia relacji. Funkcja jest to relacja prawostronnie jednoznaczna.

Rodzaje relacji Można mówić również o relacjach między różnymi zbiorami: Definicja Podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y nazywamy dwuczłonową relacją między zbiorami X i Y. Zwróćmy uwagę, że wtedy pojęcie funkcji staje się szczególnym przypadkiem pojęcia relacji. Funkcja jest to relacja prawostronnie jednoznaczna. Relację między zbiorami skończonymi X i Y można zapisywać w postaci tablicy (lub macierzy). Wiersze tej tablicy odpowiadają elementom zbioru X, a kolumny elementom Y. Jeśli elementy x i y są w relacji, to w odpowiednim miejscu tablicy piszemy np. 1 (lub ).

Rodzaje relacji Można mówić również o relacjach między różnymi zbiorami: Definicja Podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y nazywamy dwuczłonową relacją między zbiorami X i Y. Zwróćmy uwagę, że wtedy pojęcie funkcji staje się szczególnym przypadkiem pojęcia relacji. Funkcja jest to relacja prawostronnie jednoznaczna. Relację między zbiorami skończonymi X i Y można zapisywać w postaci tablicy (lub macierzy). Wiersze tej tablicy odpowiadają elementom zbioru X, a kolumny elementom Y. Jeśli elementy x i y są w relacji, to w odpowiednim miejscu tablicy piszemy np. 1 (lub ). Relację można też ilustrować przy pomocy grafu; gdy aρb, to rysujemy strzałkę od a do b.

Zadanie Elementy logiki Sporządzić tabelki relacji określonych w zbiorze {1, 2, 3, 4, 5}: a) xρy x + y = 6 b) xρy x dzieli y c) xρy x < y

Zadanie Elementy logiki Sporządzić tabelki relacji określonych w zbiorze {1, 2, 3, 4, 5}: a) xρy x + y = 6 b) xρy x dzieli y c) xρy x < y a) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 b) 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5

równoważności równoważności klasyfikują elementy zbioru względem jakiejś danej własności, np. równości ułamków, równoległości prostych na płaszczyźnie, podobieństwa trójkątów, równości wieku, równości wzrostu.

równoważności równoważności klasyfikują elementy zbioru względem jakiejś danej własności, np. równości ułamków, równoległości prostych na płaszczyźnie, podobieństwa trójkątów, równości wieku, równości wzrostu. równoważności oznaczać będziemy. Tak więc aksjomaty mają postać: R1. x x,

równoważności równoważności klasyfikują elementy zbioru względem jakiejś danej własności, np. równości ułamków, równoległości prostych na płaszczyźnie, podobieństwa trójkątów, równości wieku, równości wzrostu. równoważności oznaczać będziemy. Tak więc aksjomaty mają postać: R1. x x, R2. x y y x,

równoważności równoważności klasyfikują elementy zbioru względem jakiejś danej własności, np. równości ułamków, równoległości prostych na płaszczyźnie, podobieństwa trójkątów, równości wieku, równości wzrostu. równoważności oznaczać będziemy. Tak więc aksjomaty mają postać: R1. x x, R2. x y y x, R3. x y y z x z.

Przykłady relacji równoważności: równość liczb, równość zbiorów równoległość prostych na płaszczyźnie przystawanie figur na płaszczyźnie podobieństwo figur na płaszczyźnie

Klasy równoważności Zbiór wszystkich elementów z X równoważnych z x nazywamy klasą równoważności elementu x i oznaczamy [x] : [x] = {y X : x y}.

Klasy równoważności Zbiór wszystkich elementów z X równoważnych z x nazywamy klasą równoważności elementu x i oznaczamy [x] : [x] = {y X : x y}. Element x nazywamy reprezentantem klasy [x].

Klasy równoważności Zbiór wszystkich elementów z X równoważnych z x nazywamy klasą równoważności elementu x i oznaczamy [x] : [x] = {y X : x y}. Element x nazywamy reprezentantem klasy [x]. Definicja Podziałem zbioru X na klasy nazywamy rodzinę niepustych, parami rozłącznych podzbiorów zbioru X, których suma wynosi X.

Twierdzenie (zasada abstrakcji) Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X. Wtedy dla dowolnych x, y X : 1) x [y] x y.

Twierdzenie (zasada abstrakcji) Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X. Wtedy dla dowolnych x, y X : 1) x [y] x y. 2) [x] = [y] x y.

Twierdzenie (zasada abstrakcji) Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X. Wtedy dla dowolnych x, y X : 1) x [y] x y. 2) [x] = [y] x y. 3) X = [x]. x X

Twierdzenie (zasada abstrakcji) Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X. Wtedy dla dowolnych x, y X : 1) x [y] x y. 2) [x] = [y] x y. 3) X = [x]. x X 4) [x] [y] [x] = [y].

Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji.

Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y.

Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y.

Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y. ( ) jeśli z [x], to z x, x y, więc z y, tj. z [y]. Zatem [x] [y]. Podobnie inkluzja odwrotna.

Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y. ( ) jeśli z [x], to z x, x y, więc z y, tj. z [y]. Zatem [x] [y]. Podobnie inkluzja odwrotna. 3) X = [x]. x X

Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y. ( ) jeśli z [x], to z x, x y, więc z y, tj. z [y]. Zatem [x] [y]. Podobnie inkluzja odwrotna. 3) X = [x]. x X Jeśli x X, to x [x] [x], więc X [x]. Inkluzja x X odwrotna jest oczywista, bo [x] X. x X

Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y. ( ) jeśli z [x], to z x, x y, więc z y, tj. z [y]. Zatem [x] [y]. Podobnie inkluzja odwrotna. 3) X = [x]. x X Jeśli x X, to x [x] [x], więc X [x]. Inkluzja x X odwrotna jest oczywista, bo [x] X. 4) [x] [y] [x] = [y]. x X

Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y. ( ) jeśli z [x], to z x, x y, więc z y, tj. z [y]. Zatem [x] [y]. Podobnie inkluzja odwrotna. 3) X = [x]. x X Jeśli x X, to x [x] [x], więc X [x]. Inkluzja x X x X odwrotna jest oczywista, bo [x] X. 4) [x] [y] [x] = [y]. Niech z [x] [y]. Wtedy z x, z y, więc x y, tj. [x] = [y].

Twierdzenie Pomiędzy relacjami równoważności w X a podziałami zbioru X na klasy istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie.

Twierdzenie Pomiędzy relacjami równoważności w X a podziałami zbioru X na klasy istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie. Przykład. Niech X = {1, 2, 3}. Rozpatrzmy podziały: K 1 = {{1}, {2}, {3}}, K 2 = {{1, 2}, {3}}, K 3 = {{1, 3}, {2}, }, K 4 = {{2, 3}, {1}}, K 5 = {{1, 2, 3}}. Każdy z tych podziałów wyznacza pewną relację równoważności.

Zbiór ilorazowy Definicja Zbiór wszystkich klas równoważności relacji równoważności w zbiorze X nazywamy zbiorem ilorazowym dla relacji i oznaczamy X /. X / := {[x] : x X }.

Zbiór ilorazowy Definicja Zbiór wszystkich klas równoważności relacji równoważności w zbiorze X nazywamy zbiorem ilorazowym dla relacji i oznaczamy X /. X / := {[x] : x X }. W naturalny sposób określone jest tzw. przekształcenie kanoniczne: π : X X /, π(x) = [x].

Przykłady Elementy logiki 1. Niech X zbiór prostych na płaszczyźnie, l k l k. Klasy równoważności tej relacji to kierunki na płaszczyźnie.

Przykłady Elementy logiki 1. Niech X zbiór prostych na płaszczyźnie, l k l k. Klasy równoważności tej relacji to kierunki na płaszczyźnie. 2. Niech X zbiór wektorów zaczepionych na płaszczyźnie, ( p q) ( p i q mają te same współrzędne). Klasy równoważności tej relacji to wektory swobodne.

Przykłady Elementy logiki 3. Relacja przystawania modulo m w zbiorze Z: x y mod m m x y.

Przykłady Elementy logiki 3. Relacja przystawania modulo m w zbiorze Z: x y mod m m x y. Klasami równoważności tej relacji są zbiory: {..., 2m, m, 0, m, 2m,...}, {..., 2m + 1, m + 1, 1, m + 1, 2m + 1,...},..

Przykłady Elementy logiki 3. Relacja przystawania modulo m w zbiorze Z: x y mod m m x y. Klasami równoważności tej relacji są zbiory: {..., 2m, m, 0, m, 2m,...}, {..., 2m + 1, m + 1, 1, m + 1, 2m + 1,...},.. Każda klasa jest więc zbiorem liczb o postaci n + km, k Z. Zbiór ten zawiera liczbę r m (n), będącą resztą z dzielenia n przez m. Te reszty to liczby 0, 1, 2,..., m 1. Tworzą one pełny zbiór reprezentantów klas równoważności {n + km}.

porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x;

porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x; P2. x y y x x = y;

porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x; P2. x y y x x = y; P3. x y y z x z;

porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x; P2. x y y x x = y; P3. x y y z x z; Parę (X, ) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym lub po prostu zbiorem uporządkowanym.

porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x; P2. x y y x x = y; P3. x y y z x z; Parę (X, ) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym lub po prostu zbiorem uporządkowanym. Jeśli dodatkowo zachodzi: P4. x y y x to relację nazywamy porządkiem liniowym, a parę (X, ) zbiorem uporządkowanym liniowo.

porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x; P2. x y y x x = y; P3. x y y z x z; Parę (X, ) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym lub po prostu zbiorem uporządkowanym. Jeśli dodatkowo zachodzi: P4. x y y x to relację nazywamy porządkiem liniowym, a parę (X, ) zbiorem uporządkowanym liniowo. Jeśli x y y x, to piszemy x < y. Zapis x y oznacza, że y x.

Przykłady Elementy logiki 1. Niech M będzie dowolnym zbiorem, X = P(M), gdzie P(M) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru M. Określamy: A B A B.

Przykłady Elementy logiki 1. Niech M będzie dowolnym zbiorem, X = P(M), gdzie P(M) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru M. Określamy: Jest to porządek, ale nie liniowy. A B A B.

Przykłady Elementy logiki 1. Niech M będzie dowolnym zbiorem, X = P(M), gdzie P(M) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru M. Określamy: Jest to porządek, ale nie liniowy. A B A B. 2. X = N; m n m jest mniejsze lub równe n.

Przykłady Elementy logiki 1. Niech M będzie dowolnym zbiorem, X = P(M), gdzie P(M) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru M. Określamy: Jest to porządek, ale nie liniowy. A B A B. 2. X = N; m n m jest mniejsze lub równe n. 3. X = N; m n m jest dzielnikiem n.

Diagram Hassego porządkujące w zbiorze skończonym można przedstawiać graficznie za pomocą diagramów Hassego. Elementy zbioru X oznacza się punktami i fakt zachodzenia relacji x y oznacza się na diagramie rysując y wyżej niż x i łącząc je ze sobą, o ile między nimi nie leży inny element zbioru.

Diagram Hassego porządkujące w zbiorze skończonym można przedstawiać graficznie za pomocą diagramów Hassego. Elementy zbioru X oznacza się punktami i fakt zachodzenia relacji x y oznacza się na diagramie rysując y wyżej niż x i łącząc je ze sobą, o ile między nimi nie leży inny element zbioru. 1. X = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, relacja podzielności. 12 4 6 2 3 1

2. X = P(M), gdzie M = {1, 2, 3}, relacja inkluzji. {1, 2, 3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1} {2} {3}