Ćwiczenie nr X ANALIZA DRGAŃ SAMOWZBUDNYCH TYPU TARCIOWEGO Celem ćwiczenia jest zbadanie zachowania układu oscylatora harmonicznego na taśmociągu w programie napisanym w środowisku Matlab, dla następujących parametrów: masa, współczynnik sprężystości sprężyny, współczynnik tłumienia wiskotycznego, prędkość taśmy oraz współczynnik tarcia. X.1. WPROWADZENIE TEORETYCZNE Układem samowzbudnym nazywamy taki układ, w którym podczas drgań występuje dopływ energii z zewnątrz powodujący ich narastanie lub tylko podtrzymujący drgania okresowe [4]. Przykładami takich drgań są: drgania kół podczas ostrego hamowania, "piszczenie" hamulców, drgania noża tokarskiego, drgania generatorów elektrycznych, galopowanie przewodów, flatter klasyczny, shimmy, itd. Mechanizm drgań samowzbudnych można przedstawić za pomocą schematu blokowego pokazanego na rys. 1.1. Układem drgającym może być np. odkształcalne skrzydło, oscylator harmoniczny lub układ elektryczny. Do układu drgającego dostarczana jest energia ze źródła nieoscylacyjnego np. ustalony opływ powietrza lub bateria akumulatorów. Dopływ energii do układu jest regulowany przez zawór. W przypadku flatteru zawór stanowi sprzężenie drgań giętnych oraz skrętnych, w przypadku drgań typu tarciowego zaworem jest nieliniowa charakterystyka tarcia. Zasadniczą cechą układów, w których 1
występują drgania samowzbudne jest sprzężenie zwrotne, które nie występuje w innych układach drgających. Rys. 1.1. Schemat blokowy drgań samowzbudnych. X.. OPIS STANOWISKA Układ oscylator na taśmociągu składa się klocka traktowanego jako masa punktowa, sprężyny, tłumika oraz z taśmy rozpiętej pomiędzy dwoma walcami, z których jeden napędzany jest za pomocą silnika (rys..1). Rys..1. Model oscylatora na taśmociągu.
Ruch masy jest zdefiniowany przez drugie prawo dynamiki Newtona M X KX CX w Mg (.1) gdzie: M masa, X przyśpieszenie, X prędkość, X położenie, K współczynnik sprężystości sprężyny, C współczynnik tłumienia wiskotycznego, g przyśpieszenie ziemskie, w współczynnik tarcia zależny od prędkości względnej w. Równanie ruchu można zapisać także w formie bezwymiarowej gdzie: M masa, C x x x x u 0 (.) KM x przyśpieszenie, x prędkość, x położenie, K współczynnik sprężystości sprężyny, C współczynnik tłumienia wiskotycznego, g przyśpieszenie ziemskie, x u współczynnik tarcia zależny od prędkości względnej x u. Dla potrzeb ćwiczenia napisano program symulacyjny w środowisku Matlab, w którym możliwe jest przeprowadzenie analizy zachowania tego układu. W programie zaimplementowano cztery charakterystyki tarcia: Panowki, Coulomba oraz dwie charakterystyki tarcia opisane funkcją kwadratową i liniową. Charakterystyka tarcia Panowki wyrażona jest za pomocą funkcji [5], [6]: w S sgn 3 1 S K 1 S K w w w k 3 k 1 3 (.3) 3
Przyjęto współczynniki tarcia: μ S =0.4, μ K =0.5 oraz bezwymiarową prędkość ν k =0.5. Charakterystyka tarcia Panowki może zostać przyjęta jako podstawa oceny dla pozostałych charakterystyk. Charakterystyka tarcia Coulomba zakłada, że współczynnik tarcia nie zależy od prędkości względnej, czyli S (.4) Charakterystyki tarcia opisane funkcją kwadratową oraz liniową zdefiniowane zostały odpowiednio równaniami w 0.4 sgn w 0.45 w 0.4 sgn w w (.5) w 0.4 sgn w 0. 5 w (.6) Opisane równaniami (.3),(.4),(.5),(.6) charakterystyki tarcia przedstawiono na rys..3. Rys..3. Charakterystyki tarcia. 4
X.3. PRZEBIEG ĆWICZENIA 1. Uruchomić program Matlab, wybrać i otworzyć plik gui_export.p w lokalizacji wskazanej przez prowadzącego (rys. 3.1). Rys. 3.1. Ikona uruchomienia pliku. Wprowadzić dane układu fizycznego w polu Dane wejściowe (rys. 3.): a. b. c. d. Prędkość taśmy:0.3 m/s Masa: 1 kg Współczynnik sprężystości: 5 N m -1 Współczynnik tłumienia: 0.5 N s m -1 5
Rys. 3.. Główne okno programu 3. Wybrać charakterystykę tarcia: Panovko (Rys. 3.). 4. Zaznaczyć pola pokazywania i zapisu wykresów parametrów fizycznych. Zaznaczyć pole Animacja (Rys. 3.). 5. Oblicz i pokaż wyniki. Przeanalizuj zachowanie układu także dla prędkości taśmy 0.8 i 0.9 m/s. 6. Dla prędkości taśmy pozwalającej zaobserwować drgania samowzbudne masy na sprężynie (0.8 m/s), należy zbadać wpływ warunków początkowych na zachowanie układu. Domniemane położenie równowagi jest położeniem, w którym przyśpieszenie i prędkość są równe zeru. Wtedy to położenie wynosi 6
( ) (3.1) gdzie ( ) wyrażone jest jako ( ) ( ) ( ) ( ) (3.) Współczynnik K 1 = 0,94, zaś K = 0,0794. Należy obliczyć analitycznie za pomocą wzoru (3.1) domniemane położenie równowagi x 0, a następnie należy zbadać zachowanie układu, gdy warunki początkowe będą znajdować się w punktach (rys. 3.3): 1 położenie początkowe w domniemanym punkcie równowagi. położenie początkowe mniejsze od amplitudy drgań dla cyklu granicznego. 3 położenie początkowe większe od amplitudy drgań dla cyklu granicznego. Rys. 3.3 Różne punkty początkowe 7
W zaproponowanych punktach, zbadać wpływ prędkości początkowej na zachowanie układu. X.4. TREŚĆ SPRAWOZDANIA W sprawozdaniu należy: 1) Podać schemat i krótki opis badanego układu, ) Opisać jak zmienia się zachowanie układu w zależności od zmiany prędkości taśmy (tylko dla charakterystyki Panowki). 3) Opisać jakościowo jak zmienia się zachowanie układu dla prędkości taśmy 0.8 m/s w zależności od charakterystyki tarcia. Charakterystykę Panowki traktować jako kryterium oceny pozostałych charakterystyk. 4) Zbadać wpływ warunków początkowych na zachowanie układu dla drgań samowzbudnych prędkość tasmy 0.8 m/s (wykorzystać tylko charakterystykę Panowki), LITERATURA [1] Arczewski, K., Pietrucha, J. Szuster, J. T., Drgania układów fizycznych. Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej 008. [] Bisplinghoff, R. L., Ashley, H, Halfman, R.L., Aeroelasticity. Addison Wesley Publishing Company, Cambridge 1955. [3] Fung Y.C., An Introduction to the Theory of Aeroelasticity, Dover Phoenix Editiones 00. [4] Kaliski S., Drgania i fale. Polskie Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1966. 8
[5] Panowko, G. J., Wprowadzenie do teorii drgań mechanicznych (ros.). Naukowa Dumka (ros.) 1971. [6] Panowko, G. J., Podstawy teorii drgań (ros.). Leningradzki Wydział Budowy Maszyn (ros.) 1976. [7] Tabuła, M., Analiza drgań samowzbudnych typu tarciowego na przykładzie układu: masa na sprężynie taśmociąg, Praca Dyplomowa Inżynierska, Politechnika Warszawska 016. [8] Thomsen, J. J., Dynamic Effects of Nonlinearity and Fast Vibrations: Stiffening, Biasing, Smoothening, Chaos. Technical university of Denmark 003. 9