Ekonometria. Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja. Jakub Mućk

Ekonometria Modelowanie szeregów czasowych. Stacjonarność. Testy pierwiastka jednostkowego. Modele ARDL. Kointegracja Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 1 / 56

Agenda Stacjonarność i Integracja 1 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF 2 Test Dickeya - Fullera Test KPSS 3 Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA 4 Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego 5 Regresja pozorna Kointegracja Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 2 / 56

Outline Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF 1 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF 2 Test Dickeya - Fullera Test KPSS 3 Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA 4 Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego 5 Regresja pozorna Kointegracja Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 3 / 56

Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Szereg czasowy Szereg czasowy y t, gdzie t = 1, 2, 3,... jest realizacją procesu stochastycznego {Y t}. Proces generujący dane - DGP Operatory szeregów czasowych L( ) operator opóźnień (ang. lag operator) L(y t) = y t 1 (1) ( ) operator różnicowania (ang. difference operator) (y t) = (1 L)y t = y t y t 1 (2) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 4 / 56

Definicja Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Stacjonarność -własność procesu stochastycznego {Y t}, polagająca na tym, że rozkład procesu stochastycznego {Y t} jest stały w czasie. Stacjonarność (w szerszym ujęciu) 1 Stała w czasie wartość oczekiwana yt: 2 Stała w czasie wariancja yt: 3 Stała w czasie kowariancja yt: E(y t) = µ. (3) Var(y t) = E(y t µ) 2 = σ <. (4) Cov(y t, y t+k ) = E(y t µ)(y t+k µ) = λ k. (5) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 5 / 56

Błądzenie losowe i biały szum Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Biały szum (white noise), czyli ε t N(0, σ 2 ) oraz cov(ε t, ε s) = 0 dla t s: jest procesem stacjonarnym. Błądzenie losowe(random walk) jest procesem niestacjonarnym. y t = ε t (6) y t = y t 1 + ε t (7) Proces błądzenie losowego może zostać zapisany przy pomocy rekursji: y 1 = y 0 + ε 1 2 y 2 = y 1 + ε 2 = y 0 + ε 1 + ε 2 = y 0 + ε k... t k=1 y t = y 0 + ε k k=1 t gdzie ε k jest trendem stochastycznym. k=1 Wtedy wartość oczekiwana jest stała: E(y t) = E(y 0 + ε 1 + ε 2 +... + ε t) = y 0 (8) Ale wariancja szeregu czasowego y t nie może być ograniczona w czasie: var(y t) = var(ε 1 + ε 2 +... + ε t) = tσ 2 (9) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 6 / 56

Integracja Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Operator różnicowania: pierwsze różnica: y t = y t y t 1, druga różnica: 2 y t = ( y t) = (y t y t 1) = y t 2y t 1 + y t 2, k-ta różnica: k y t = }. {{.. } y t. k Jeżeli szereg y t jest stacjonarny to jest zintegrowany stopnia zerowego y t I (0). (10) Jeżeli y t jest stacjonarny to wtedy szereg jest zintegrowany stopnia pierwszego, tj. y t I (1). Jeżeli k y t jest stacjonarny to wtedy szereg jest zintegrowany stopnia k-tego y t I (k) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 7 / 56

Przykład empiryczny Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Szeregi czasowe dla gospodarki USA. Stopa bezrobocia (U t ); Logarytm naturalny realnego PKB (ln GDP t ). Zakres próby: 1948Q1 2016Q4. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 8 / 56

Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Stopa bezrobocia U t 2 4 6 8 10 1950q1 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 2020q1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 9 / 56

Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Logarytm naturalny realnego PKB ln GDP t 7.5 8 8.5 9 9.5 10 1950q1 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 2020q1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 10 / 56

Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Pierwsza różnica logarytm naturalny realnego PKB ln GDP t -.04 -.02 0.02.04 1950q1 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 2020q1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 11 / 56

Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Przyrostostacjonarność - szereg jest niestacjonarny, ale przyrosty są stacjonarne y t I (k) (11) Trendostacjnarność - szereg jest sumą deterministycznego trendu oraz stacjonarnego procesu stochastycznego (np. białego szumu): y t = α + βt + ε t (12) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 12 / 56

Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Funkcja autokorelacji (ACF) mierzy zależności statystycznej zmiennej z jej opóźnieniem k -tego rzędu. ACF: T k ˆρ k i=1 = (yt ȳ)(y t+k ȳ) T i=1 (yt (13) ȳ)2 Funkcja cząstkowej autokorelacji (PACF) uwzględnia tylko opóźnienie dokładnie k-tego stopnia Statytyka Borce a -Pierce Q : weryfikacja statystycznej istotności współczynnika autokorelacji K Q = T ˆρ 2 k (14) rozkład χ 2 z K stopniami swobody k=1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 13 / 56

Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Stopa bezrobocia U t -0.50 0.00 0.50 1.00 ACF 0 5 10 15 20 25-1.00-0.50 0.00 0.50 1.00 PACF 0 5 10 15 20 25 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 14 / 56

Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF logarytm naturalny realnego PKB ln GDP t -1.00-0.50 0.00 0.50 1.00 ACF 0 5 10 15 20 25-0.50 0.00 0.50 1.00 PACF 0 5 10 15 20 25 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 15 / 56

Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF Pierwsza różnica logarytm naturalny realnego PKB ln GDP t -0.20 0.00 0.20 0.40 ACF 0 5 10 15 20 25-0.20 0.00 0.20 0.40 PACF 0 5 10 15 20 25 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 16 / 56

Outline Stacjonarność i Integracja Test Dickeya - Fullera Test KPSS 1 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF 2 Test Dickeya - Fullera Test KPSS 3 Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA 4 Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego 5 Regresja pozorna Kointegracja Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 17 / 56

Test Dickeya - Fullera Test KPSS (unit root tests) służą statystycznej weryfikacji stacjonarności. Proces autoregesyjny pierwszego rzędu: y t = αy t 1 + ε t (15) Najprościej sprawdzić czy α = 1 za pomocą testu t-studenta. Gdu α = 1 to szereg czasowy y t jest błądzeniem losowym Ale jeśli tak, to standardowy (MNK) estymator błędów standardowych α jest obciążony i nie ma rozkładu t-studenta To sprawdźmy czy δ < 0: Zestaw hipotez: y t = δy t 1 + ε t (16) H 0 : α = 1 H 0 : δ = 0 H 1 : α < 1 H 1 : δ < 0 (17) Hipoteza zerowa oznacza niestacjonarność! Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 18 / 56

Test ADF Stacjonarność i Integracja Test Dickeya - Fullera Test KPSS Wady testu ADF Ma słabą moc w przypadku autokorelacji składnika losowego Założenie o procesie generującym dane, tj. procesie AR(1) bez wyrazu wolnego. Test ADF (augmented Dickey-Fuller test) rozszerzony test Dickeya - Fullera Regresja testowa: y t = γy t 1 + P α s y t s + ε t (18) i=1 Możliwość uwzględnienia komponentów deterministycznych, tj. wyraz wolny, trend liniowy itp. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 19 / 56

Wartości krytyczne testu ADF Test Dickeya - Fullera Test KPSS Wartości krytyczne dla testu ADF różnią się od statystyki t-studenta. Wartości krytyczne dla testu ADF są wyznaczane numerycznie i mogą się różnić pomiędzy oprogramowaniem. Tablica: Wartości krytyczne testu ADF Regresja testowa 1% 5% 10% y t = γy t 1ε t -2.56-1.94-1.62 y t = α + γy t 1ε t -3.43-2.86-2.57 y t = α + δt + γy t 1ε t -3.96-3.41-3.13 statystyka t-studenta -2.33-1.65-1.28 Uwagi: powyższe wartości krytyczne pochodzą z pracy Davidson i MacKinnon (1993) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 20 / 56

Statystyka testu Dickey-Fullera Test Dickeya - Fullera Test KPSS Statytyka testu DF posiada nieznany rozkład, który jest przybliżany metodami numerycznymi. W hipotezie zerowej testu Dickeya-Fullera zakłada się występowanie pierwiastka jednostkowego (α = 1), a więc: gdzie ε t N (0, σ 2 ). Założenia: T = 1000; σ = 0.1; Liczba replikacji eksperymentu: 100000. y t = y t 1 + ε t (19) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 21 / 56

Test Dickeya - Fullera Test KPSS Wyniki symulacji histogram rozkładu statystyki DF 0.1.2.3.4.5-4 -2 0 2 4 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 22 / 56

Test Dickeya - Fullera Test KPSS Wyniki symulacji histogram rozkładu statystyki DF 0.1.2.3.4.5-4 -2 0 2 4 kwantyl 0.001 0.01 0.5 0.1 0.5 wartość statystyki -3.304-2.569-1.938-1.614-0.500 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 22 / 56

Test Dickeya - Fullera Test KPSS Altenatywnymi testami są testy: Kwiatkowskiego - Phillipsa - Schmidta - Shina, Phillipsa-Perrona. Test KPSS zakłada dekompozycja szeregu na część deterministyczną oraz stochastyczną Hipotezy testu są odwrotne niż w teście ADF: H 0 : y t stacjonarny H 1 : y t niestacjonarny (20) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 23 / 56

Test Dickeya - Fullera Test KPSS uwagi praktyczne Dobór komponentu deterministycznego w regresji powinien korenspondować obserwacjom empirycznym, tj.: i) Jeżeli zmienna y t oscyluje wokół zera = test ADF bez komponentu deterministycznego. ii) Jeżeli zmienna y t fluktuuje wokół stałej = test ADF z wyrazem wolnym. iii) Jeżeli zmienna y t wykazuje wyraźny deterministyczny trend = test ADF z wyrazem wolnym i trendem liniowym. ALE uwzględnienie trendu liniowego zmienia interpretację wyników testu. W procedurze badania stopnia integracji należy zachować rozsądek. Test ADF może wskazywać na niestacjonarność szeregu czasowego, ale powodem takich wyników może nie być faktyczna niestacjonarność, a np.: i) słaba moc testu ADF oraz (lub) wysoka persytencja szeregu czasowego ii) obecność zmian strukturalnych. iii) skomplikowany proces generujący dane. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 24 / 56

Test Dickeya - Fullera Test KPSS Przykład empiryczny: stopa bezrobocia U t Regresja pomocnicza dla testu DF: U t = 0.087 0.0311 U t 1, (21) (0.185) (0.0144) Statystyka testowa: 0.031/0.014 2.16 Wartość krytyczna (10% poziom istotności): -2.570 = brak podstaw do odrzucenia H 0 [Uwaga:] autokorelacja reszt! ACF pierwszego rzędu 0.65 Regresja pomocnicza dla testu ADF: U t = 0.2854 0.049 U t 1 + 0.662 U t 1, (0.066) (0.011) (0.045) (22) Statystyka testowa: 0.049/0.011 4.47 Wartość krytyczna (1% poziom istotności): -3.458 = są podstawy do odrzucenia H 0 (o występowaniu pierwiastka jednostkowego/ niestacjonarności) przy 1% poziomie istotności. 2 4 6 8 10 1950q1 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 2020q1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 25 / 56

Test Dickeya - Fullera Test KPSS Przykład empiryczny: logarytm naturalny PKB ln GDP t ln GDP t statystyka ADF p ln GDP t -2.07 1 ln GDP t -11.19 0 gdzie p to liczba opóźnień wybrana wg kryterium BIC przy równoczesnym braku autokorelacji skłądnika losowego. 7.5 8 8.5 9 9.5 10 1950q1 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 2020q1 Wartości krytyczne 1% 5% 10% -3.458-2.879-2.570 Jaki jest stopień integracji GDP t? Czy GDP t jest przyrostostacjonarne? -.04 -.02 0.02.04 ln GDP t 1950q1 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 2020q1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 26 / 56

Test Dickeya - Fullera Test KPSS Przykład empiryczny: logarytm naturalny PKB ln GDP t a trendostacjonarność Czy ln GDP t jest trendostacjonarne? 7.5 8 8.5 9 9.5 10 1950q1 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 2020q1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 27 / 56

Test Dickeya - Fullera Test KPSS Przykład empiryczny: logarytm naturalny PKB ln GDP t a trendostacjonarność Czy ln GDP t jest trendostacjonarne? 7.5 8 8.5 9 9.5 10 1950q1 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 2020q1 Statystyka testu ADF -1.232: Wartość krytyczna (10% poziom istotności): -3.130. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 27 / 56

Test Dickeya - Fullera Test KPSS Przykład empiryczny: logarytm naturalny PKB ln GDP t a trendostacjonarność Czy ln GDP t jest trendostacjonarne? 7.5 8 8.5 9 9.5 10 1950q1 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 2020q1 Statystyka testu ADF -1.232: Wartość krytyczna (10% poziom istotności): -3.130. Reszty z regresji ln GDP t względem trendu liniowego -.15 -.1 -.05 0.05.1 1950q1 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 2020q1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 27 / 56

Outline Stacjonarność i Integracja Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA 1 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF 2 Test Dickeya - Fullera Test KPSS 3 Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA 4 Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego 5 Regresja pozorna Kointegracja Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 28 / 56

Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Proces autoregresyjny pierwszego stopnia AR(1) y t = µ + ρy t 1 + ε t (23) gdzie ε t N (0, σ) Wybrane własności procesu AR(1) E(y t) = Var(y t) = µ 1 ρ (24) σ 2 1 ρ 2 (25) Proces autoregresyjny p-tego stopnia AR(p) y t = µ + φ 1y t 1 + φ 2y t 2 +... + φ py t p + ε t (26) Oszacowania modeli autoregresyjnych można uzyskać przy pomocy MNK. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 29 / 56

Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Proces MA(1): gdzie ε t N (0, σ) Proces MA(q): y t = µ + ε t + φ 1 ε t 1 (27) y t = µ + ε t + φ 1 ε t 1 + φ 2 ε t 2 +... + φ qε t q (28) Prametry modelu MA nie mogą być szacowane MNK (dlaczego?) Najczęsciej stosuje się warunkową sumę kwadratów reszt CSS Każdy stacjonarny proces autoregresyjny moża zapisać za pomocą modelu MA( )!. Przykład dla AR(1) bez wyrazu wolnego Załóżmy, że ε 0 = 1 i dla t > 1, ε t = 0. Wtedy: Łatwo zauważyć, że y t = ρy t 1 + ε t (29) y 0 = 0 ρ + 1 = 1 (30) y 1 = y 0 ρ + 0 = 1 = ρ (31) y 2 = y 1 ρ + 0 = ρρ = ρ 2 (32)... (33) y t = ρ i y t i + ε t (34) i=1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 30 / 56

Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Proces ARMA(1,1): Lub ogólniej ARMA(p,q) y t = µ + α 1y t 1 + ε t + φ 1ε t 1 (35) y t = µ + α 1y t 1 +... + α py t p + ε t + φ 1ε t 1 +... + φ qε t q (36) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 31 / 56

Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Przykład empiryczny: stopa bezrobocia U t Regresja pomocnicza dla testu DF: U t = 0.087 0.0311 U t 1, (37) (0.185) (0.0144) Statystyka testowa: 0.031/0.014 2.16 Wartość krytyczna (10% poziom istotności): -2.570 = brak podstaw do odrzucenia H 0 [Uwaga:] autokorelacja reszt! ACF pierwszego rzędu 0.65 Regresja pomocnicza dla testu ADF: U t = 0.2854 0.049 U t 1 + 0.662 U t 1, (0.066) (0.011) (0.045) (38) Statystyka testowa: 0.049/0.011 4.47 Wartość krytyczna (1% poziom istotności): -3.458 = są podstawy do odrzucenia H 0 (o występowaniu pierwiastka jednostkowego/ niestacjonarności) przy 1% poziomie istotności. 2 4 6 8 10 1950q1 1960q1 1970q1 1980q1 1990q1 2000q1 2010q1 2020q1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 32 / 56

Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Przykład empiryczny: stopa bezrobocia U t Model AR(1) dla stopy bezrobocia: Û t = 0.184 (0.087) + 0.969U t 1 (39) (0.014) bardzo wysoka persystencja. Ale: autokorelacja reszt (autokorelacja reszt pierwszego rzędu 0.66). Model AR(2) dla stopy bezrobocia: Û t = 0.285 (0.066) + 1.613 (0.045) Jaka jest reakcja stopy bezrobocia? U t 1 0.661U t 1 (40) (0.045) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 33 / 56

Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Przykład empiryczny: stopa bezrobocia U t Model AR(1) : U t = 0.184 (0.087) + 0.969U t 1 (41) (0.014) 1 Funkcje reakcji na impuls (postać MA( )).5 0 0 10 20 30 40 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 34 / 56

Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA Przykład empiryczny: stopa bezrobocia U t Funkcje reakcji na impuls (postać MA( )) 1 Model AR(1) : U t = 0.184 (0.087) + 0.969U t 1 (41) (0.014).5 0 0 10 20 30 40 Model AR(2): U t = 0.285 (0.066) + 1.613 (0.045) U t 1 0.661 U t 1 (0.045) (42) 3 2 1 0 0 10 20 30 40 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 34 / 56

Outline Stacjonarność i Integracja Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego 1 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF 2 Test Dickeya - Fullera Test KPSS 3 Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA 4 Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego 5 Regresja pozorna Kointegracja Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 35 / 56

Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Model z rozkładem opóźnień DL (distributed lags model): K y t = α 0 + β ix t i + ε t (43) i=0 Mnożnik krótkookresowy (jednoczesny, β SR ): β SR = β 0 (44) Mnożnik długookresowy (β LR ): β LR = β 0 + β 1 +... + β K (45) Parametry strukturalne modelu (43) można szacować przy pomocy MNK. Należy pamiętać o weryfikacji założeń związanych ze składnikiem losowym. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 36 / 56

Model Koycka I Stacjonarność i Integracja Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Model Koycka to model z nieskończonym rozkładem opóźnień DL: y t = α 0 + β i x t i + ε t. (46) Kluczowe założenie: Kluczowe uproszczenie: i=0 lim β i = 0. (47) i β i = β 0 λ i, (48) gdzie λ < 1. Pozwala to uprościć (46) do następującej postaci: ( ) u t = α 0 + β 0 λ i x t i + ε t. (49) i=0 Mnożnik długookresowy w modelu Koycka: ( ) β LR = β 0 λ i i=0 = β 0 1 λ. (50) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 37 / 56

Model Koycka II Stacjonarność i Integracja Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Aby oszacować parametry modelu Koycka wykorzystuje się następujące przekształcenie. Po pierwsze, wykorzystuje się rówanie dla opóźnionej zmiennej objaśnianej (y t 1 ) pomnożone przez λ: ( ) λy t 1 = λα 0 + β 0 λ i x t i + λε t 1. (51) i=1 Po drugie, powyższe wyrażenie wykorzystuje się w (49), co prowadzi do następującej postaci: y t = γ + λy t 1 + β 0 x t + η t, (52) gdzie γ = α(1 λ) oraz η = ε t λε t 1. [Problem endogeniczności] powyższe przekształcenia implikują, że składnik losowy jest skorelowany ze zmienną objaśniającą (y t 1 ) = oszacowania MNK nie są zgodne. Przykładowym rozwiązaniem jest metoda zmiennych instrumentalnych IV (instumental variables). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 38 / 56

Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Przykład empiryczny: wydatki konsumpcyjne w Niemczech Dane: szeregi czasowe od 1993Q1 do 2016Q. Zmienna objaśniana: c t - logarytm naturalny wydatków konsumpcyjnych gospodarstw domowych (w cenach stałych z 2010 r.). Zmienna objaśniająca: y t - logarytm naturalny PKB (w cenach stałych z 2010 r.). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 39 / 56

Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Przykład empiryczny: wydatki konsumpcyjne w Niemczech stacjonarność c t Test ADF ADF c t -1.112 1 c t -11.775 1 p 12.6 12.65 12.7 12.75 12.8 12.85 -.02 -.01 0.01.02 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 2015q1 c t 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 2015q1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 40 / 56

Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Przykład empiryczny: wydatki konsumpcyjne w Niemczech stacjonarność y t Test ADF ADF c t -1.112 1 c t -11.775 1 y t -0.596 1 y t -7.416 0 c t oraz y t są zintegrowane w stopniu pierwszym. p 13.1 13.2 13.3 13.4 13.5 -.04 -.02 0.02 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 2015q1 y t 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 2015q1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 40 / 56

Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Przykład empiryczny: wydatki konsumpcyjne w Niemczech model DL Model DL: K c t = α 0 + β i y t i + ε t, (53) i=0 K 0 1 2 α 0 0.002 0.002 0.002 (0.001) (0.001) (0.001) β 0 0.278 0.328 0.295 (0.092) (0.096) (0.087) β 1-0.135-0.200 (0.096) (0.091) β 2 0.142 (0.087) β LR 0.278 0.193 0.236 (0.092) (0.114) (0.120) BIC -705.547-696.699-705.430 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 41 / 56

Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień ADL(P,K) (autoregressive distributed lags model): y t = α 0 + P K α iy t i + β ix t i + ε t (54) i=1 i=0 Mnożnik krótkookresowy (jednoczesny, β SR ): β SR = β 0 (55) Mnożnik długookresowy (β LR ): β LR = β0 + β1 +... + β K 1 α 1 α 2... α P = K i=0 βi 1 P i=1 αi (56) Parametry strukturalne modelu (54) można szacować przy pomocy MNK. Należy pamiętać o weryfikacji założeń związanych ze składnikiem losowym. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 42 / 56

Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Wybór specyfikacji modelu dynamicznego jest konsensusem pomiędzy utratą efektywności oszacowań w przypadku bogatej specyfikacji, a obciążeniem i zgodnością oszacowań wynikających z pominięcia istotnych opóźnień. Od ogółu do szczegółu (from general to specific): selekcja jest rozpoczynana od bardzo bogatej specyfikacji dynamicznej. Następnie, eliminacji ze specyfikacji modelu dynamicznego poddawane są kolejne opóźnienia. Od szczegółu do ogółu (from specific to general): selekcja jest rozpoczynana od prostej specyfikacji. Kolejno, dodawane są kolejne opóźnienia. Kryteria wyboru W doborze odpowiedniej specyfikacji powinno uwzględniać informację o i) włanościach składnika losowego oraz ii) istotności zmiennych. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 43 / 56

Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego Przykład empiryczny: wydatki konsumpcyjne w Niemczech Model ADL: Q K c t = α 0 + α j c t j + β i y t i + ε t, (57) j=1 i=0 K 0 1 2 0 Q 0 0 0 1 α 0 0.002 0.002 0.002 0.002 (0.001) (0.001) (0.001) (0.001) α 1-0.290 (0.073) β 0 0.278 0.328 0.295 0.204 (0.092) (0.096) (0.087) (0.074) β 1-0.135-0.200 (0.096) (0.091) β 2 0.142 (0.087) β LR 0.278 0.193 0.236 0.205 (0.092) (0.114) (0.120) (0.068) BIC -705.547-696.699-705.430-707.569 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 44 / 56

Outline Stacjonarność i Integracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) 1 Stacjonarność i Integracja Definicja stacjonarności Integracja Przyrostostacjonarność vs. Trendostacjonarność ACF i PACF 2 Test Dickeya - Fullera Test KPSS 3 Proces autoregresyjny AR Proces średniej ruchomej MA 4 Model z rozkładem opóźnień Model Koycka Model autoregresyjny z rozkładem opóźnień Wybór specyfikacji modelu dynamicznego 5 Regresja pozorna Kointegracja Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 45 / 56

Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Stacjonarność szeregów czasowych w analizie ekonometrycznej jest pożądana w celu uniknięcia uzyskania istotnych statystycznie oszacowań na podstawie braku zależności pomiędzy zmiennymi. Taka sytuacja jest nazywana regresją pozorną. Zilustrujmy to na przykładzie regresji dla dwóch losowo wygenerowanych procesów błądzenia losowego (y t i x t): gdzieη t N ( 0, σ 2 η) i εt N ( 0, σ 2 ε). DGP 1 : y t = y t 1 + ε t DGP 2 : x t = x t 1 + η t (58) Szeregi czasowe y t I x t są wygenerowane niezależnie od siebie, a więc brak jest zależności pomiędzy nimi. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 46 / 56

Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Rysunek: Wygenerowane losowo szeregi czasowe y t i x t 0 10 20 30 40 50 60 y_t x_t 0 100 200 300 400 500 600 700 Pomimo braku faktycznej zależności, oba szeregi wykazują rosnącą tendencję. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 47 / 56 Time

Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Rysunek: Wykres rozrzutu wygenerowanych szeregów y t i x t rw2 0 10 20 30 40 50 10 20 30 40 50 60 rw1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 48 / 56

Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Regresja liniowa y t względem x t (błędy standardowe w nawiasach): y t = 17.818 + 0.842x t (0.62048) (0.02062) (59) Statystyka testu t-studenta x t : 40.82 R 2 wynosi około 0.705 Z drugiej strony wiemy, że tak naprawdę brak jest prawdziwej zależności pomiędzy tymi zmiennymi. Dlatego powyższe oszacowania są pozorne (spurious). W przypadku regresji pozornej, reszty z modelu liniowego są niestacjonarne i wykazują autkorelację. Składnik resztowy Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 49 / 56

Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Rysunek: Składnik resztowy z regresji y t względem x t 20 10 0 10 20 0 100 200 300 400 500 600 700 Statystyka Durbina-Watsona: 0.22 Statystyka LM (autokorelacja pierwszego rzędu): 682.958[0.0000] Powrót Time Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 50 / 56

Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Szczególnym przypadkiem zależności pomiędzy dwoma zmiennymi niestacjonarnymi jest kointegracja. Założmy, że y t oraz x t są zintegrowane w stopniu pierwszym oraz, że składnik resztowy e t, t.że: e t = y t β 0 β 1x t (60) jest stacjonarny. Wtedy powiemy, że zmienne x t oraz y t są skointegorwane. Intuicja(1): Jeżeli zmienne są skointegrowane to podażają za tym samym trendem stochastycznym. Intuicja(2): Jeżeli zmienne są skointegorwane to występuje długookresowa relacja (równowaga) pomiędzy nimi. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 51 / 56

Testowanie kointegracji Stacjonarność i Integracja Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Krok pierwszy: badanie stacjonarności zmiennych. Jeżeli zmienna x t oraz y t są zintegrowane w stopniu pierwszym to można przejść do kolejnego etapu. Krok drugi: oszacowanie modelu dla poziomów wybranych zmiennych, a następnie badanie stacjonarności składnika losowego (e t ): Hipotezy testu: e t = y t β 0 β 1 x t (61) H 0 : e t I(1) H 0 : x t and y t nie są skointegorwane H 1 : e t I(0) H 1 : x t and y t są skointegorwane Statystyka testu jest jest analogiczna jak w przyapdku testu ADF, ale wykorzystuje się inne statystyki testowe. (62) Tablica: Critical values Model 1% 5% 10% y t = β 1x t + e t -3.39-2.76-2.45 y t = β 0 + β 1x t + e t -3.96-3.37-3.07 y t = β 0 + δt + β 1x t + e t -3.98-3.42-3.13 Uwagi : wartości krytyczne na podstawie pracy Hamiltona (1994) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 52 / 56

Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Jeżeli zmienne x t oraz y t są skointegrowane to w modelowaniu można uwzględnić informację od odchyleniu od trendu stochastycznego. e t = y t β 0 β 1 x t (63) Składnik resztowy, e t jest stacjonarny. Ponadto, e t wyraża odchylenie od długookresowego stochastycznego trendu (lub równowagi pomiędzy tymi zmiennymi). Elastyczność długookresowa to β 1 w równaniu (63). W krótkooresowej analizie można uwzględnić odchylenie od równowagi długookresowej wykorzystując opóżniony o jeden okres składnik resztowy, tj. e t 1. P K y t = α 0 + δe t 1 + α i y t i + β i x t i + ε t (64) i=1 Równanie (64) opisuje model korekty błędem (error correction model). Parametr δ identyfikuje tempo powrotu do równowagi dlugookresowej. Uwaga: δ ( 1, 0) okres połowicznego wygaśnięcia (half-life) hl = ln(0.5) ln(1 + δ) i=0 (65) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 53 / 56

Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Przykład empiryczny: wydatki konsumpcyjne w Niemczech: model ECM c t oraz y t są zintegrowane w stopniu pierwszym. Reszty z regresji dla poziomów Relacja długookresowa: ĉ t = 3.984 (0.174) + 0.657y t (66) (0.013) Jaka jest elastyczność długookresowa? -.04 -.02 0.02.04 1995q1 2000q1 2005q1 2010q1 2015q1 Statystyka ADF: -3.52. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 54 / 56

Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Przykład empiryczny: wydatki konsumpcyjne w Niemczech: model ECM Model ECM (wersja uproszczona): ĉ t = 0.153ec t 1 + 0.283 y t (67) (0.050) (0.066) gdzie ec t to składnik korekty błędem, a więc reszty z regresji na poziomach. Oszacowanie parametru określającego tempo powrotu do długookresowej równowagi jest statystycznie istotne i ujemne. Okres połowiczne wygasania (tzw. half-life): 4.13 kwartały (4.13 ln(0.5)/ ln(1 0.153)). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 55 / 56

Regresja pozorna Kointegracja Model korekty błędem (ECM) Modelowanie zmiennych niestacjonarnych Trendostacjonarność Trend stochastyczny Model ARDL - poziomy zmiennych + trend deterministyczny Kointegracja Brak kointegracji Elastyczności długookresowe - model dla zmiennych I(1) Model korekty błędem (ECM) Model ARDL - pierwsze przyrosty zmiennych Jakub Mućk Ekonometria Wykład 5 & 6 Szaeregi czasowe 56 / 56