ELEKTROSTATYKA 2.1 Obliczyć siłę, z jaką działają na siebie dwa ładunki punktowe Q 1 = Q 2 = 1C umieszczone w odległości l km od siebie, a z jaką siłą - w tej samej odległości - dwie jednogramowe kulki miedziane pozbawione elektronów? 2.2 Maksymalny ładunek, jaki moŝna zgromadzić na kulce metalowej o średnicy l cm jest ograniczony wytrzymałością powietrza na przebicie elektryczne i wynosi 10-8 C. Przyjmując dwie kulki jako ładunki punktowe Q 1 = Q 2 = 10-8 C w odległości 10 cm od siebie, obliczyć siłę, z jaką się odpychają oraz przyrost ich masy w wyniku naładowania. 2.3. Dwa jednakoimienne ładunki 6 10-9 C i 11 10-9 C znajdują się w odległości 5 cm od siebie. Obliczyć wielkość i kierunek siły działającej na ładunek 3 10-9 C w punkcie odległym od pierwszego i drugiego ładunku odpowiednio o 3 i 4 cm. RozwaŜyć jako ośrodki, próŝnię, powietrze, olej transformatorowy (ε=4ε 0 ). 2.4. Trzy jednakowe ładunki Q umieszczono w wierzchołkach równobocznego trójkąta. Jaki ładunek o przeciwnym znaku naleŝy umieścić w środku tego trójkąta, aby siła działająca na kaŝdy ładunek była równa zeru? 2.5. W wierzchołkach równobocznego trójkąta o boku l cm umieszczono ładunki Q 1 = Q 2 = 10-9 C, Q 3 = - 10-9 C. Określić wektor natęŝenia pola E i potencjał w geometrycznym środku trójkąta oraz w środku kaŝdego z jego boków. 2.6. Cienką nić nieprzewodzącą zwinięto w okręg o promieniu R i naładowano równomiernie z gęstością q l,. Wyznaczyć wektor E i potencjał na osi obrotu okręgu. 2.7. Na tarczy o promieniu R rozłoŝono równomiernie ładunek o gęstości powierzchniowej q S. Wyznaczyć natęŝenie pola na osi obrotu tarczy obrotowej oraz potencjał. Copyright 1989-2005, Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 1
2.8. Dla przedstawionych na rysunkach a) do h) rozkładów liniowych gęstości ładunku q l, określić wektor E i potencjał w punkcie P. 2.9. Na powierzchni kuli o promieniu R rozłoŝony jest ładunek o gęstości powierzchniowej q S = const cos(θ) (θ oznacza kąt mierzony od ustalonej osi przechodzącej przez środek kuli). Wyznaczyć natęŝenie pola elektrycznego oraz potencjał. 2.10. W płaszczyźnie naładowanej równomiernie ładunkiem o gęstości q S wycięto otwór o promieniu r. Określić natęŝenie pola E w dowolnym punkcie na prostej - osi obrotu otworu. 2.11. Jakie byłoby natęŝenie pola E w środku sfery o promieniu R gdyby jedna połowa tej sfery była naładowana równomiernie ładunkiem o gęstości q sl a druga o gęstości q s2 (ε=ε 0 ). Copyright 1989-2005, Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 2
2.12. Wyznaczyć wektor E r w przypadku powierzchni walcowej o promieniu r naładowanej równomiernie ładunkiem o gęstości q S.(r odległość punktu od osi, (ε=ε 0 ) 2.13. Wyznaczyć wektor E r od ładunku rozłoŝonego z równomierną gęstością przestrzenną q V wewnątrz walca obrotowego o promieniu r 0. (r - odległość punktu od osi). 2.14. W walcu o promieniu r 1 naładowanym równomiernie ładunkiem o gęstości q V zawarta jest wnęka walcowa o promieniu r 2 (r 2 < r 1 ). Osie obu walców są przesunięte o odcinek a (a+r 2 <r 1 ). Wyznaczyć natęŝenie E tego pola. 2.15 Kula o promienia R została naładowana równomiernie ładunkiem o gęstości q V. Wyznaczyć wektor E (r) oraz potencjał (r - odległość od środka kuli). 2.16. Przestrzeń między dwiema współśrodkowymi sferami o promieniach R 1 <R 2 wypełniono ładunkiem o gęstości przestrzennej q V =α/2 (α = const). Określić wektor E oraz potencjał w całej przestrzeni. 2.17. Wewnątrz kuli o promieniu R, naładowanej równomiernie gęstością przestrzenną q V znajduje się nienaładowana kulista wnęka o promieniu R 1. Środek tej wnęki znajduje się w odległości a od środka duŝej kuli (a + R 1 < R) określić pole E we wnęce. 2.18. Obszar między naładowanymi płaszczyznami oddalonymi o a od siebie o gęstościach: q S1., q S2 wypełniono ładunkiem o gęstości przestrzennej q V. Obliczyć wektor E w całej przestrzeni oraz pomiędzy płaszczyznami. 2.19. Wykazać potencjalność pola E: a) ładunku punktowego, b) prostej naładowanej równomiernie, c) kuli naładowanej równomiernie d) gdy E = f(r) r (r - współrzędna sferyczna lub walcowa). 2.20 Jaką pracę naleŝy wykonać, aby przenieść ładunek próbny q ze środka naładowanej równomiernie z gęstością q V kuli o promieniu R do nieskończoności? Związek tej pracy z potencjałem. 2.21. Dwa bardzo cienkie przewodniki zwinięto w okręgi o promieniu R kaŝdy naładowano równomiernie z gęstościami liniowymi q l1, q l2. Okręgi te leŝą w równoległych płaszczyznach oddalonych o a od siebie. Określić całkowite ładunki zgromadzone na okręgach, jeŝeli potencjały Copyright 1989-2005, Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 3
w ich środkach wynoszą V 1 i V 2 a oś obrotu okręgów jest wspólna. 2.22. Dwie współśrodkowe powierzchnie kuliste o promieniach R 1 i R 2 (R1<R2), naładowane powierzchniowo gęstościami q S1 i q S2, ograniczają obszar naładowany gęstością przestrzenną q V. Obliczyć pracę potrzebną do przeniesienia ładunku próbnego q z jednej powierzchni na drugą. 2.23. Trzy identyczne ładunki punktowe q są umieszczone na wierzchołkach trójkąta równobocznego. Jaką pracę naleŝy wykonać, aby przenieść jeden z tych ładunków do środka trójkąta? Wyznaczyć związek tej pracy z napięciem. 2.24. Jeden z (historycznych) modeli atomu zakłada, Ŝe ładunek elektronu w atomie niewzbudzonym jest rozłoŝony przestrzennie z gęstością e 2r q V(r)= exp 3 π - a a, gdzie a to tzw. borowski (od: N. Bohr a) promień atomu (a 0,53 10-8 cm), e ładunek elementarny (e 1,6 10-19 C). Określić potencjał i natęŝenie pola wytworzone przez rozmyty w ten sposób ładunek elektronu. 2.25. Ładunek rozproszony w nieskończoności o wartości Q sprowadzono na: a) powierzchnię sfery o promieniu R i rozłoŝono równomiernie. Jaka została wykonana praca? Określić energię pola całej przestrzeni (ε=ε 0 ). b) do wnętrza kuli o promieniu R i rozłoŝono równomiernie. Jaka została wykonana praca? Określić całkowitą energię pola. 2.26. W pole elektrostatyczne (pierwotnie równomierne) wprowadzono nienaładowaną bryłę metalu z wydrąŝoną w niej wnęką. Naszkicować układ linii pola zwracając szczególną uwagę na wyeksponowanie struktury pola przy powierzchni bryły. Odpowiedzieć na pytania: a) czy na wewnętrznej powierzchni bryły (od strony wnęki) pojawią się ładunki elektryczne, b) czy pole przenika do wnęki, c) czy linie pola zaburzonego obecnością bryły mogą zaczynać się i kończyć na powierzchni bryły? 2.27. Wykazać, Ŝe powierzchnie ekwipotencjalne pola wytworzonego przez dwie równomiernie naładowane prostoliniowo nici z gęstościami q l, -q l są walcami kołowymi. 2.28. Dwie metalowe kule o promieniach R 1, R 2, umieszczone w duŝej odległości od siebie połączone są przewodzącą nicią. Układ ten został naładowany ładunkiem Q a następnie usunięto łączącą kule nić. Copyright 1989-2005, Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 4
Obliczyć gęstości powierzchniowe ładunków kul i wyznaczyć ich związek z promieniami krzywizn powierzchni. 2.29. W lampie elektronowej elektrony są emitowane z gorącej, płaskiej katody a zbierane są przez płaską metalową anodę umieszczoną równolegle do katody w odległości d od niej (rys. 2.29). Rozkład potencjału jest określony wzorem V(x)=k x 1/3 (k=const). Określić a) powierzchniową gęstość ładunku na katodzie i anodzie, b) przestrzenną gęstość ładunku q V (x); (0 < x < d). 2.30. W układzie dwóch koncentrycznych sferycznych warstw metalowych (patrz rys. 2.30) sumaryczny ładunek warstwy wewnętrznej Q 1 a wewnętrznej Q 2. Naszkicować a) rozkład natęŝenia pola w funkcji odległości od środka, b) rozkład potencjału w funkcji j.w. 2.31. Dwie metalowe płyty równoległe są utrzymywane (patrz rys. 2.31) w odległości "d" od siebie i połączone na krawędzi metalową blaszką. Między płytami, w odległości d/3 od płyty górnej umieszczono cienką warstwę tworzywa naładowanego równomiernie z gęstością q S. Jakie jest natęŝenie pola przy powierzchni górnej i dolnej płyty? 2.32. Dwa ładunki punktowe Q 1 i Q 2 są odległe o a od siebie. Wykazać, Ŝe Copyright 1989-2005, Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 5
dla tego układu istnieje powierzchnia ekwipotencjalna o kształcie sfery. Wyznaczyć promień tej sfery R i odległość h jej środka od ładunku bezwzględnie mniejszego. 2.33. W polu ładunku punktowego Q umieszczony jest przewodnik kulisty o promieniu' "R" naładowany ładunkiem q. Odległość ładunku punktowego od środka przewodnika wynosi "a" (a > R/). Wyznaczyć potencjał przewodnika. 2.34. Bańka mydlana o promieniu R = 10 cm, o ściankach grubości 3,3 10-6 cm, ma potencjał 100 V, Obliczyć potencjał kulistej kropli o objętości równej objętości ścianki bańki przy zachowaniu poprzedniego ładunku. 2.35 Określić strumień wektora natęŝenia pola, pochodzącego od ładunku punktowego Q, przez powierzchnię sześcianu, gdy ładunek jest umieszczony: a) wewnątrz sześcianu, b) w środku jednej ze ścian c) w wierzchołku sześcianu. 2.36. Ładunek punktowy Q znajduje się w środku geometrycznym walca o promieniu podstawy R i wysokości h. Obliczyć strumień wektora E przez a) powierzchnie boczne walca, b) powierzchnię jednej z podstaw walca. 2.37. Metalowa kula zanurzona w nafcie (ε=2ε 0 ) naładowana jest do potencjału 200 V. Obliczyć wielkości D i P w punkcie odległym o 10 cm od środka kuli. Obliczyć powierzchniową gęstość ładunku na powierzchni kuli. Jak zmieniłyby się obliczane wielkości po usunięciu nafty? 2.38. Bryłę metalowe połączono z jednym biegunem baterii akumulatorów a drugi biegun uziemiono (patrz rys.). Uzasadnić odpowiedź na następujące pytania a) czy wektor D ulegnie zmianie, jeśli przy zamkniętym kluczu k zmienimy przenikalność z ε 1 na ε 2 b) czy wektor D ulegnie zmianie, jeśli zmienimy przenikalność ośrodka po uprzednim naładowaniu bryły i rozwarciu klucza k? Copyright 1989-2005, Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 6
2.40. Powierzchnią graniczną między dwoma dielektrykami jest równomierne naładowana ładunkiem q S płaszczyzna. Pole elektryczne jest równomierne i prostopadłe do tej płaszczyzny. Określić natęŝenia pola E po jednej stronie płaszczyzny, jeŝeli po drugiej stronie E 2 = 100 V/m, a przenikalność elektryczna: ε 1 =4ε 0, ε 1 =2ε 0 oraz q S =2 10-9 C/m. Określić powierzchniową gęstość ładunku związanego (polaryzacyjnego) na granicy dielektryków. 2.41. Ładunek punktowy Q umieszczony jest na wysokości h nad płaszczyznę przewodzącą. Posługując się metodę odbić zwierciadlanych określić: a) gęstość powierzchniową ładunku indukowanego na płaszczyźnie, b) siłę, z jaką płaszczyzna przyciąga ładunek Q (ε=ε 0 ). 2.42. Określić natęŝenie pola elektrycznego w próŝni między dwiema równoległymi płaszczyznami naładowanymi równomiernie z gęstością q S i -q S odpowiednio, Jak zmieni się to pole jeśli obszar między płaszczyznami zapełnić dielektrykiem o przenikalności ε>ε 0? 2.43. Odległość między równoległymi, naładowanymi q S1 i q S2 płaszczyznami wynosi d. Przenikalność dielektryczna ośrodka między okładkami kondensatora płaskiego zmienia się liniowo od ε 1 do ε 2 przy okładkach. Wyznaczyć napięcie między płaszczyznami. 2.44. Określić natęŝenie pola wytworzonego przez kulę metalową z sumarycznym ładunkiem Q. Jak zmieni się to pole jeśli obszar na zewnątrz kuli zapełnić dielektrykiem o przenikalności ε>ε 0? 2.45. Wyznaczyć rozkład gęstości powierzchniowej ładunku q S na powierzchni nienaładowanej kuli metalowej o promieniu R znajdującej się w polu punktowego ładunku Q odległego o "a" od jej środka (a>r). 2.46. Wyznaczyć rozkład gęstości powierzchniowej ładunku q S na powierzchni nienaładowanego walca metalowego o promieniu r znajdującego się w polu równomiernie naładowanej osi o gęstości liniowej ładunku q l odległej o a od osi walca. 2.47. Kulę metalową o promieniu r = 2,5 cm pokryto warstwą dielektryka (ε r = 10) o grubości b. Stwierdzono, Ŝe zwiększenie grubości pokrycia dielektrycznego o 10 cm powoduje dwukrotny wzrost pojemności elektrycznej kulki (w stosunku do pojemności, jaką ma kulka pokryta warstwą dielektryka o grubości b ). Znaleźć b. Copyright 1989-2005, Politechnika Wrocławska. All rights reserved. 7