Leszek MOSZCZŃSKI Stef ÓJTOICZ J SIKORA Stef F FILIPOICZ ALGORTM REGRESJI LINIOEJ DLA PRZPADK NIEPENOŚCI OB ZMIENNCH TOMOGRAFII IMPEDANCJNEJ STRESZCZENIE Skcesem obrzo obekt techkch tomogrfczch jest jk jększ preczj poszczególch pomró Dl zpee dokłdośc dch pomroch tomogrf mpedcjej po bć zględe błęd poszczególch pomró złszcz ted gd różą sę oe mędz sobą stote mpedcjej tomogrf kompteroej stępją przpdk ked obe zleże lb ezleże zmee pomroe obcążoe są błędm tch przpdkch e po bć stoso stdrdo metod regresj Do tego tp oblczeń regresj polec jest zmodfko lgortm llmso rtkle przedstoo efekt metodę oblczeń prostej regresj rozszerzjąc ją przpdek korelcj błędó ob zmech Metodę zlstroo przkłdem bd kąt przesęce fzoego zleżośc od częstotlośc sgł pobdzjącego kłdze pomroej Sło klczoe: tomogrf mpedcj regresj lo dr ż Leszek MOSZCZŃSKI e-ml: lmoszczsk@ppedpl Isttt Techolog Mterłoej Poltechk rszsk dr ż Stef ÓJTOICZ e-ml: sojtocz@elpl Zkłd Metrolog Bdń Neszczącch Isttt Elektrotechk prof dr hb J SIKORA e-ml: sk@empedpl dr hb ż Stef F FILIPOICZ e-ml: f@ovempedpl Isttt Elektrotechk Teoretczej Sstemó Iformcjo-Pomroch Poltechk rszsk PRACE INSTTT ELEKTROTECHNIKI zeszt 30 007
6 L Moszczńsk S ójtocz J Skor SF Flpocz STĘP zgdech tomogrf mpedcjej często zchodz koeczość potrz pomró po określoch okresch czs celch poróczch Dotcz to szczególośc motoro tkek lb częśc cł podejrzech o zm choroboe czse tch erz elomesęczch okresó prmetr smego rządze pomroego zmeją sę róeż k obrczoe są określoą epeoścą Do roząz tch problemó stosoe są metod regresje zgdech mpedcjej tomogrf kompteroej operjem dm obcążom epeoścm pomr przpdk zązk loego pomędz zmem ch zględee mg zstoso jedej z metod regresj żoej Są to metod: loej regresj żoej dl której czoe jest złożee że odchle stdrdoe szstkch pktó pomroch są stłe ch poszczególe g / σ / σ są tke że / loej regresj żoej z ezleżm od sebe błędm dl zmech ob spółrzędch Te ostt łśe przpdek będze przedmotem dlszch rozżń OGÓLN MODEL REGRESJI Złóżm stępe że posde dośdczee ogól zjomość bdego obekt metodm tomogrfczm pozlją zmerzć m rtośc go chrkterzjącch Te zmerzoe rtośc chrkterzjące obekt ozczm jko m T Prdze ch rtośc bez błędó mogą bć estmoe jko m T ze stdrdom epeoścm m Jeśl r j ozcz spółczk korelcj mędz estmom rtoścm to korcję zązą z estmtorm j r j j leż rozptrć jko dodtko skłdk epeośc
Algortm regresj loej dl przpdk epeośc ob zmech 7 Dodtko skłdk epeośc opsje mcerz Σ m m m m m T j Złóżm że ektor ząze są z sobą fzklm lb emprczm zleżoścm możle jest stlee dl 0 k prmetró T k β β β tkch że k m k f f f f β β β β 0 0 0 cel proszcze rozżń przjmem że R f : Ω są różczkole Estmcj zmeej mcerz korcj Σ -mroej fkcj f β jest możl różm metodm rtkle korzsto do tego cel metodę jmejszch kdrtó której fkcj cel χ ch-sqred zdefo jest jko: T Σ χ 3 prz rkch f β 0 Zpsjąc β jko estmt β problem mmlzcj fkcj 4 sprodz sę do poszk roząz ró: 0 β β Φ 4
8 L Moszczńsk S ójtocz J Skor SF Flpocz gdze Φ β T Σ T f β 5 dl spółczkó Lgrge T Szczegółoe roząze tego problem lstrje lgortm ork [3] 3 METODKA OBLICZEŃ REGRESJI AŻONEJ Pktem jśc do prodze lgortm ork jest mmlzcj fkcj krterlej zpropooej przez Demg [] χ { } 6 gdze: są obserolm rtoścm zmech to estmoe rtośc odpodjące zmem są gm zązm z epeoścą określe tk że: σ σ 7 σ σ są rcjm ob obserolch zmech Zkłd sę że estmoe rtośc ząze są zleżoścą: b dl 8 Jeśl b mją mmlzoć fkcję 6 to speło ms bć rek: δχ { δ δ} 0 9 δ δ δb δ 0 0
Algortm regresj loej dl przpdk epeośc ob zmech 9 Możąc 0 dl szstkch przez spółczk Lgrge dodjąc do 9 mm: 0 ] [ ] [ b δ δ δ δ Z ró k że: ; 0 orz 0 3 stjąc do 8 otrzmjem: 4 skąd po przeksztłcech: b 5 6 rto podkreślć że tk zdefo ogól g jest korzst tkże ch lgortmch Poeż 0 ztem b 0 róe 3 moż ztem zpsć jko: 0 b 7
L Moszczńsk S ójtocz J Skor SF Flpocz 30 stjąc oblczoą rtość otrzmm: 0 l l l b b l 8 Dlsze przeksztłce 8 mogą zostć proszczoe poprzez prodzee średch żoch ob zmech ; 9 stąd b 0 0 } { Przjmjąc zmee zstępcze: orz V - po przeksztłcech otrzmm: 0 } { 3 V V Róe ze zostło przez ork róem kbczm metod jmejszch kdrtó g Lest-Sqres Cbc 4 DSKSJA ROZIĄZAŃ RÓNANIA KBICZNEGO Nelo zględem prmetr złożo postć ró ork skł do rozże możlch prostszch przpdkó:
Algortm regresj loej dl przpdk epeośc ob zmech 3 gd tlko zme ezleż jest obcążo epeoścą: tm przpdk z 6 k że: 3 Róe prszcz sę óczs do postc: V 0 4 osttecze mm: V 5 Mmlzcj przebeg kerk os 0- regresj tego tp z jest żoą regresją g eghted regresso o Rzeczśce l łącząc pkt orz m chlee: kąt τ 6 jk to k z róń Jeśl to kąt ró jest zero co poterdz poższe spostrzeżee o położe l τ b tlko zme obcążo jest epeoścą: Ozcz to że: orz ęc: V V 7
L Moszczńsk S ójtocz J Skor SF Flpocz 3 Mmlzcj przebeg kerk os 0- regresj tego tp z jest żoą regresją g eghted regresso o c epeośc zmech spełją zleżość: c gdze c cost Z zleżośc 6 k że dl tego przpdk kąt l -c/ 8 ork kzł że jeżel / c to: } 4 { V V c c V V c V 9 Róe to jest detcze z róem zskm przez Demg [] d zmee przjmją róże epeośc: tm jbrdzej złożom przpdk poszk spółczk kerko prostej zcz jest z ró Róe to Reed [5] zpsje prostszej postc: f 3-3α 3β γ 0 30 gdze: ; 3 ; 3 V V V γ β α 3
Algortm regresj loej dl przpdk epeośc ob zmech 33 Róe 30 jest tlko pozore róem trzecego stop Moż zżć że α β γ są fkcjm spółczk kerkoego poprzez g ork bez dood skzje że róe 30 m trz rzeczste perstk Jedk doodz sę [5] że róe to posd róeż perstk rojoe Mogą oe pojć sę gąć kolejch tercjch Problem poższ rozązł llmso [6] dokojąc psedolerzcj ró 30 prodzjąc ozcze: 3 orz: 33 róe przber postć: 0 3 34 llmso stępe torz [8] podją ostteczą postć ró ormlego regresj bez skz sposob lerzcj tm cel leż róe 34 zpsć postc 3 35
34 L Moszczńsk S ójtocz J Skor SF Flpocz poeż v 36 ztem możąc prą stroę 35 przez 36 porządkjąc otrzmjem v v 0 37 Osttecze po dlszch jż prostch przeksztłcech mm : z z 38 gdze: z v 39 Poeż z są fkcjm prmetr ztem do zcze spółczkó prostej regresj trzeb tkże zstosoć tercją metodę oblczeoą 5 PROPONOANA MODFIKACJA ALGORTM ILLIAMSONA Jeżel pomr są zleże od sebe to może zdrzć sę że dodtm odchleom od rtośc średej odpodją tkże dodte odchle od Tm smm korcj cov 40 będze róż od zer óczs lgortm llmso mg modfkcj
Algortm regresj loej dl przpdk epeośc ob zmech 35 Fkcję cel 6 przeformłjem ztem stępjąc sposób: s χ 4 gdze: r s / ; r spółczk korelcj Przjmjąc 0 χ mm: s b 4 g tego pkt os: s 43 fkcj cel 4 prszcz sę do postc: b χ 44 Rozązjąc kłd róń: 0 χ orz 0 b χ 45 zskjem róe trzecego stop po jego lerzcj róe 46 którm z oblcze jest ze zor: s s v z 46
36 L Moszczńsk S ójtocz J Skor SF Flpocz Borąc r 0 mm s 0 zleżość 46 stje sę tożsm z 39 Moż kzć że róe 46 jest zgode z ostto podm przez ork róem zmodfkom od post perozor po blsko 40 ltch [3] Prezetoe t metod oblcze jest zcze prostsz prodzee pozboe jest złośc żmdch przeksztłceń lgebrczch jk to m mejsce prcch [5 8 9] rcje estmoch rtośc b zcz sę poprzez oblcze pochodej zględem elkośc Zmodfko lgortm relzo jest sześc krokch: stępe oblczee spółczk chle prostej regresj z pomocą metod regresj prostej; określee g orz g -tego pkt z 4 dl stloej rtośc spółczk r; 3 podste zjomośc 33 orz z oblczee prmetr 38 prostej regresj; 4 korzstjąc oą rtość potórzee krokó 3 ż do zsk zdljącej dokłdośc oblczeń; 5 oblczee prmetr b z zleżośc b ; 6 dl kżdego pkt pomroego stlee estmoej rtośc orz z z Oblcze są proste lgortm może bć zrelzo tkże rksz klklcjm Ecel Efektość lgortm moż jeszcze zększć doberjąc perszm krok tercj rtośc prmetr z oblczeń metodą regresj prostej Dokłdość dopso prostej regresj może bć oceo poprzez oblczee rtośc χ dl - stop sobod Dzłe lgortm sprdzoo dch Perso [] zch z de testjące dl procedr oblczeoch regresj 6 ZASTOSOANIE ALGORTM REGRESJI AŻONEJ DO NIKÓ EKSPERMENTALNCH N rsk przedstoo stosko ekspermetle do bd przesęc fzoego tomogrf mpedcjej
Algortm regresj loej dl przpdk epeośc ob zmech 37 Rs Stosko pomroe do bd przesęc fzoego tomogrf mpedcjej Pomr częstotlośc przesęc fzoego obcążoe są jk kżdm przrządze cfrom: błędm dskretzcj błędm zorc błędm brmko Błąd dskretzcj ops rozkłdem Smpso moż oszcoć operjąc stopem pełeem lczk przrząd Prz młm pełe lczk błęd dskretzcj mogą bć zcze ększe ż prz jego zpełe Błąd brmko k tomst z edokłdośc określe momet początk końc merzoego okres Zleż o ec tkże od częstotlośc sgł Czk te jśją zróżcoe epeośc pomró dl różch bdch rtośc częstotlośc przesęć fzoch prezetoch bdch rtośc rcj częstotlośc σ przesęć fzoch σ σ dl kżdej merzoej rtośc określoo ekspermetle zględoo horzot dłgoczso tj zmeość skzń przrządó po czse dłższm ż mesąc Pomr kąt doko bł oscloskopem HP 34600A bre średoe k pomr przedstoo tb korzstjąc ops lgortm przeprodzoo oblcze dl różch epeośc pomró tbel 3 przedstoo dzesęć przpdkó dobor spółczkó regresj dotczącch chrkterstk przesęć fzoch sgł tomogrf mpedcjej prz rozpoz obektó postc klock metloego poło jbłk
38 L Moszczńsk S ójtocz J Skor SF Flpocz TABELA k pomr przesęc fzoego prz różej częstotlośc pobdze Pomr częstotlośc geertor Częstotlość geertor Błąd skzń σ Pomr przesęc fzoego obekt Klocek lmo Przesęce fzoe Błąd skzń σ Przesęce fzoe Poło jbłk Błąd skzń σ khz khz stope stope stope stope 0 00 050 035 075-055 05 00 00 80 0 305 05 300 50 445 5 700 050 400 00 890 70 55 035 500 50 85 65 575 055 600 00 495 5 950 060 700 400 80 0 300 030 800 300 5 5 650 050 900 750 400 00 930 00 000 650 650 50 360 050 00 500 300 00 3565 055 00 750 3400 00 3850 050 300 500 3300 00 4095 075 400 750 3560 50 4309 030 500 750 370 90 4540 050 600 500 3865 45 4795 05 700 750 455 55 4995 05 800 750 4550 50 50 060 900 500 5000 00 540 030 000 000 55 075 5450 050 TABELA k oblczeń spółczkó regresj dl różch rcj dch pomroch metloego prostopdłośc Nr Przjmoe epeośc Elemet lmo prostopdłośce spółczk regresj Nepeośc spółczkó b s s b Algortm Algorm llmso llm 0066-0669 3533e-004 00035 eps v 0067-067464 33858e-004 00033 3 v eps 00568-056898 6053e-005 605 e-004 4 0 v 0 00643-58486 58605e-004 03649 5 m v eps 00670-4954083 30699e-005 003575 6 m v eps 00670-4954083 684899e-006 000799 7 m v 0067-064479 34504e-004 00866 8 m v 0069-0309840 459956e-004 00830 9 v m 00643-7305 507459e-004 059686 0 v m 00644-30043 333e-004 036576 esp jmejsz ze zmeoprzeckoch lczb kceptol przez lgortm esp 0-6 dotcz tbel 3
Algortm regresj loej dl przpdk epeośc ob zmech 39 TABELA 3 k oblczeń spółczkó regresj dl różch rcj dch pomroch poło jbłk Nr Przjmoe epeośc spółczk regresj Poło jbłk Nepeośc spółczkó b s s b Algortm Algortm llmso llmso 00985-0985 66e-004 0006 eps v 00985-0985 53e-004 0005 3 v eps 00304-0304 3755e-005 3755e-004 4 0 v 0 0098 057053 88698e-004 054769 5 m v eps 00984 0097 343737e-005 004008 6 m v eps 00984-009 76860e-006 000896 7 m v 00986-0306 673e-004 00 8 m v 00999-0368 34083e-004 008895 9 v m 0099 055768 33569e-004 036608 0 v m 00933 05069 405e-004 06503 ersz persz tbel przedst k zske prz zstoso opsego zmodfkoego lgortm llmso Pozostłe przpdk dotczą oblczeń z zględeem rożch możlch kombcj rcj zmech Tk ęc przkłd zps kolme drgej kolme trzecej v eps ozcz że pomr częstotlośc obcążo bł kżdm pkce pomrom rcją z tb tomst błęd przesęć fzoch przjęto jedkoe dl szstkch pomró o rtośc eps 0-6 Przpdek 0 orz v 0 ozcz że do oblczeń żto stdrdoej metod regresj OLS g Ordr Lest Sqres dostęp ększośc pketó oblczeoch Alzjąc elkośc tbelch 3 zżm że stosjąc lgortm OLS zskjem dobór prmetró regresj obcążo brdzo dżą epeoścą prmetr b p dl rozpoz połók jbłk odchlee stdrdoe s b 054769 Przjmjąc epeośc poszczególch pomró et brdzo ąskm zkrese dl częstotlośc m dl kąt v eps otrzmjem zcze lepsze dopsoe prostej regresj spółczk regresj oblcze różm metodm są blske sobe Ich g zcz jedk bć zcząc prz dżch częstotloścch Prz skch częstotloścch tomst decdjące zczee odgr spółczk b T różce dl poszczególch przpdkó są dże N rsk pokzo przebeg zleżość różc przesęć fzoch fkcj częstotlośc dl przedmot metloego poło jbłk zske dl kó podch tb 3
40 L Moszczńsk S ójtocz J Skor SF Flpocz Rs Różce przesęć fzoch prz różch metodch oblczeń Ozcze prostch: ops tekśce Prost ozczo cfrą oblczo zostł edłg prezetoego cześej lgortm docze jest że dl częstotlośc róej zero zske przesęce fzoe jest zeroe Śdcz to o poprośc dobor prostej czego e moż poedzeć o pozostłch prostch oblczoch edłg ersz 3 4 5 z tb Róeż chlee prostej formje że mm do cze z obektem o chrkterze rezstcjo-pojemoścom; możl to zczee zjemch relcj mędz tm elemetm co jest szczególe że bdo model mtemtczego obekt orz może bć korzste bdch smlcjch obodoch p prz żc jęzk NAP Zczee łścego dobor spółczkó regresj jlepej moż oceć porójąc ze sobą chrkterstk przesęć fzoch różch lb tch smch obektó lecz koch różch okresch czs 7 PODSMOANIE I NIOSKI Skcesem obrzo obekt techkch tomogrfczch jest jk jększ preczj poszczególch pomró Dl zpee dokłdośc
Algortm regresj loej dl przpdk epeośc ob zmech 4 dch pomroch tomogrf mpedcjej po bć zględe błęd poszczególch pomró złszcz ted gd różą sę oe mędz sobą stote Do tego tp oblczeń regresj polec jest zmodfko lgortm llmso Jest o prostsz ż stoso lgortm ork może bć zmplemeto tkże progrme Ecel Przkłd zstoso tej metod do bdń tomogrfczch pokzje że ezględee błędó ob elkoścch merzoch prodz do zczego poszerze przedzł fośc prostej klbrcj Może to płć zcząco oceę kó bdń tomogrfczch Zmodfko lgortm llmso leż stosoć złszcz dl przpdkó ked celch poróczch prodzoe bd są potrze po dłgm okrese czsom LITERATRA Perso K O les d ples of closest ft to sstems of pots spce Phl Mg str 9-96 90 Demg E Sttstcl Adjstmet of Dt le Ne ork 964 3 ork D Lest-sqres fttg of strght le C J Phs 44 str 079-086966 4 Jeffrs H Robst estmto he more th oe vrble per eqto of codto hs error Bometrk 77 str 597-607 990 5 Reed BC Ler lest sqres fts th errors both coordtes Am J Phs 57 89 str 64-646 990 6 llmso JH Lest-sqres fttg of strght le C J Phs 46 str 845-847 968 7 ork D fed eqto for slope tercept d stdrd errors of the best strght le Am J Phs 7 3 str 367-75 004 8 Cecch GC Error lss of the prmeters of lest-sqres determed crve he both vrbles hve certtes Mes Sc Techol str 7-9 990 9 Lbo M A better lest-sqres method he both vrbles hve crttes Am J Phs 5 str -6 984 0 Orer J Lest sqres he both vrbles hve certtes Am J Phs 50 0 str 9-95 98 Errtm for Lest sqres he both vrbles hve certtes Am J Phs 5 3 str 78-79 984 R JRs F Method comprrso sg regresso th certtes both es Treds ltcl chemstr 6str -6 997 Rękops dostrczoo d 00007 r Opoł: prof dr hb ż Ato Ceśl
4 L Moszczńsk S ójtocz J Skor SF Flpocz LINEAR REGRESSION ALGORITHM IN CASE OF NCERTAINT BOTH VARIABLES IN ELECTRICAL IMPEDANCE TOMOGRAPH Leszek MOSZCZŃSK Stef ÓJTOICZ J SIKORA Stef F FILIPOICZ ABSTRACT For Electrcl Impedce Tomogrph ofte e hve to del th the cse he both vrbles depedet d depedet oes re collected th cert error level I order to cheve better reslts the stdrd regresso method shold ot be ppled sch cses Ne Ler Regresso Method epded o the cse of error correlto for both vrbles d s preseted ths pper Electrcl Impedce Tomogrph EIT problems ver ofte eed to be repeted fter some perod of tme It s ecessr for tsse motorg or eve for some prts of the hm bod motorg hch re chged b cert lless Drg ths ver ofte log perods of tme prmeters of mesrg sstem lso re chged tht s h the otpt vrbles hve cert level of certt I order to solve sch problem sll regresso method s emploed Ths method s llstrted b emple of phse shft gle vestgto th respect to the ectto sgl of mesrg bth