Podstawy metod probabilistycznych Zadania

Podobne dokumenty
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo GEOMETRYCZNE

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1

PRAWDOPODOBIEŃSTWO CZAS PRACY: 180 MIN. ZADANIE 1 (5 PKT) NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI

Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)

Lista 1a 1. Statystyka. Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

Rozkłady zmiennych losowych

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Lista 1. Prawdopodobieństwo klasyczne i geometryczne

Lista 5. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym

Rachunek prawdopodobieństwa

I. Kombinatoryka i prawdopodobieństwo. g) różnowartościowych, h) bez miejsc zerowych, i) z jednym miejscem zerowym, j) z dwoma miejscami zerowymi,

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Zadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 2.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

Prawdopodobieństwo

Lista 1 - Prawdopodobieństwo

Zadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 1.

Rozkład zajęć, statystyka matematyczna, Rok akademicki 2015/16, semestr letni, Grupy dla powtarzających (C15; C16)

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

= 10 9 = Ile jest wszystkich dwucyfrowych liczb naturalnych podzielnych przez 3? A. 12 B. 24 C. 29 D. 30. Sposób I = 30.

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Zadanie 2. Wiadomo, że A, B i C są trzema zdarzeniami losowymi takimi, że P (A) = 2/5, P (B A) = 1/4, P (C A B) = 0.5, P (A B) = 6/10, P (C B) = 1/3.

Kurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 14 Zadania statystyka, prawdopodobieństwo i kombinatoryka

Statystyka matematyczna i ekonometria

X P 0,2 0,5 0,2 0,1

), którą będziemy uważać za prawdziwą jeżeli okaże się, że hipoteza H 0

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

R_PRACA KLASOWA 1 Statystyka i prawdopodobieństwo.

Dyskretne zmienne losowe

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa - seria Z 24 kart wybieramy 5. Jaka jest szansa, że otrzymamy fulla? Jaka jest szansa, że otrzymamy

dr Jarosław Kotowicz 14 października Zadania z wykładu 1

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA

12. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA zadania

DODATKOWA PULA ZADAŃ DO EGZAMINU. Rozważmy ciąg zdefiniowany tak: s 0 = a. s n+1 = 2s n +b (dla n=0,1,2 ) Pokaż, że s n = 2 n a +(2 n =1)b

Zmienne losowe skokowe

Moneta 1 Moneta 2 Kostka O, R O,R 1,2,3,4,5, Moneta 1 Moneta 2 Kostka O O ( )

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

Zdarzenia losowe Zmienne losowe Prawdopodobieństwo Niezależność

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 3 ZADANIA - ZESTAW 3

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

PRAWDOPODOBIEŃSTWO I KOMBINATORYKA

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

Przykłady do zadania 3.1 :

c) Zaszły oba zdarzenia A i B; d) Zaszło zdarzenie A i nie zaszło zdarzenie B;

Prawdopodobieństwo Warunkowe Prawdopodobieństwo Całkowite Niezależność Stochastyczna Zdarzeń

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012

Laboratorium nr 1. Kombinatoryka

Jednowymiarowa zmienna losowa

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski

Przestrzeń probabilistyczna

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa

a)dane są wartości zmiennej losowej: 2, 4, 2, 1, 1, 3, 2, 1. Obliczyć wartość średnią i wariancję.

Podstawy Teorii Prawdopodobieństwa

Metody Probabilistyczne zestaw do ćwiczeń Katarzyna Lubnauer

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

LISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Metody probabilistyczne

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL?

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

15. Rachunek prawdopodobieństwa mgr A. Piłat, mgr M. Małycha, mgr M. Warda

Rzucamy 10 razy symetryczną monetę. Czy zdarzenia: A - wypadł dokładnie 10 razy orzeł i B reszka wypadła dokładnie 10 razy są zależne?

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Joanna Karłowska-Pik Procesy Poissona w geometrii stochastycznej

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6

rachunek prawdopodobieństwa - zadania

01DRAP - klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Zmienne losowe zadania na sprawdzian

07DRAP - Zmienne losowe: dyskretne i ciągłe

Zadanie 1. Na diagramie Venna dla 3 zbiorów zaznacz:

Rachunek prawdopodobieństwa MAP1064 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz

Prawdopodobieństwo i statystyka r.

Prawdopodobieństwo Odp. Odp. 6 Odp. 1/6 Odp. 1/3. Odp. 0, 75.

Transkrypt:

Podstawy metod probabilistycznych Zadania 25 marca 2009

Zadanie 1 Czy jest możliwe, by P(A B) = 0, 9, P(A) = 0, 8, P(B) = 0, 3, i zdarzenia A i B były niezależne.

Zadanie 2 Zdarzenia A i B są niezależne oraz P(A) = P(B) = p. Oblicz P(A B).

Zadanie 3 Zdarzenia A 1, A 2, A 3, A 4 są niezależne i P(A k ) = p k. Oblicz prawdopodobieństwo zajścia co najmniej jednego z tych zdarzeń.

Zadanie 4 Zdarzenia A i B mają następujące prawdopodobieństwa: P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(A B) = 1/8. Obliczyć prawdopodobieństwo,że nie zajdzie ani jedno ze zdarzeń A i B.

Zadanie 5 Rzucamy dwa razy symetryczną kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie w pierwszym i drugim rzucie wypadła ta sama liczba oczek, B zaś oznacza zdarzenie w drugim rzucie wypadło conajmniej 5 oczek. Sprawdzić czy zdarzenia A i B są niezależne.

Zadanie 6 Pewna choroba występuje u 0.1% ogółu ludności. Przygotowano test do jej wykrycia. Test daje wynik pozytywny u 97% chorych i 1% zdrowych. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest chora jeżeli test tej osoby dał wynik pozytywny.

Zadanie 7 Na kwadratowej tarczy o boku 20cm jest narysowany okrąg centralnie o promieniu 5cm. Strzał do tarczy pozostawić otwór o średnicy 2cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że otwór przebija linię okręgu?

Zadanie 8 Ściana domku jest pomalowana w systematyczne pasy białe (szerokości 12cm), żółte (szerokości 6cm) i fioletowe (szerokości 2cm). Na scianie usiadło 20 owadów. Oblicz ile należy oczekiwać owadów na pasach żółtych jeśli przyjąć, że kolory te są dla owadów obojętne.

Zadanie 9 Prawdopodobieństwo zagrożenia pożarem w dużej fabryce chemmicznej wynosi 0.02. W fabryce zainstalowany jest system alarmowy. W sytuacji awaryjnej system zawodzi w 1% przypadków. Fałszywy alarm systemu zdarza się w 5% przypadków. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe, że kolejny alarm okaże się fałszywy.

Zadanie 10 Do pewnego systemu obsługi zgłaszają się losowo dwaj klienci w przedziale czasu (0, T ). System może obsłużyć w dowolnej chwili tylko jednego klienta i jest on obsługiwany przez nielosowy czas a, gdzie 0 < a < T. Określić i narysowac na płaszczyźnie 1 przestrzeń zdarzeń elementarnych; 2 zdarzenie A - jeden z klientów będzie musiał czekać na obsługę; 3 obaj klienci będą obsłużeni bez czekania.

Zadanie 11 Na dziesięciu klockach wyrzeźbiono litery a, a, k, s, s, t, t, t, y, y. Bawiąc się nimi dziecko układa je w rząd. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przypadkowo ułoży słowo statystyka.

Zadanie 12 Na szczyt góry prowadzi 5 dróg. Każda z nich nadaje się również do zejścia. Zakładamy ponadto, że wszystkie trasy są równorzędne. Obliczyć prawdopodobieństwo spotkania się dwóch znajomych z których jeden wchodzi na szczyt a drugi jest w drodze powrotnej.

Zadanie 13 Pięciu studentów powtarzających dany rok studiów wybiera losowo każdy niezależnie od pozostałych, jedną z trzech równoległych grup. Zakładając, że wszystkie rozmieszczenia są jednakowo prawdopodobne, znaleźć prawdopodobieństwo tego, że 1 wszyscy znajdą się w pierwszej grupie; 2 wszyscy znajdą się w tej samej grupie; 3 w pierwszej grupie znajduje się dokładnie jeden student.

Zadanie 14 W partii N sztuk towaru, wśród których jest M sztuk zgodnych z normą losujemy n sztuk 1 ze zwrotem; 2 bez zwrotu. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród nich znajduje się k sztuk zgodnych z normą.

Zadanie 15 Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że przy losowaniu 5 kart z 52 1 wszystkie karty są tego samego koloru; 2 są wśród nich 4 asy.

Zadanie 16 Z 10 pracowników należy utworzyć: 1 dwa zespoły liczące po 4 i 6 pracowników; 2 trzy zespoły liczące po 5 3 i 2 pracowników 3 pięć zespołów dwuosobowych. Dla każdego podziału znaleźć prawdopodobieństwo, że dwóch ustalonych pracowników znajdzie się w jednym zespole przy założeniu, że podział na zespoły odbywa się losowo.

Zadanie 17 Pewien towar produkują 3 zakłady. Prawdopodobieństwo wyprodukowania przez te zakłady towaru pierwszej jakości wynosi odpowiednio 0, 97, 0, 90 0, 86. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że losowo wzięta sztuka towaru - spośród trzech pochodzących z różnych zakładów jest różnej jakości.

Zadanie 18 Tenisista musi wygrać dwa mecze pod rząd z trzech. Może grać a) z lepszym ze słabszym i znów z lepszym b) ze słabszym z lepszym i znów ze słabszym. Który wybór daje większe szanse jeśli wyniki kolejnych meczów są niezależne.

Zadanie 19 Pewien matematyk nosi w kieszeniach (lewej i prawej) po jednym pudełku zapałek. Ilekroć chce zapalić papierosa sięga do wybranej losowo kieszeni. Jaka jest szansa, że gdy po raz pierwszy wyciągnie puste pudełko w drugim będzie k zapałek? (k = 1, 2,..., m) gdzie m jest liczbę zapałek w pełnym pudełku. Zakładamy, że w chwili początkowej matematyk ma dwa pełne pudełka.

Zadanie 20 W ramach bieżącej kontroli jakości produkcji okreesowo sprawdza się kolejno produkowane sztuki towaru, jednak nie więcej niż 4 i w przypadku stwierdzenia sztuki wadliwej proces produkcji poddaje się regulacji. Liczba sztuk sprawdzonych w trakcie jednej takiej kontroli jest więc zmienną losową X. Ponadto przyjmujemy, że: a) prawdopodobieństwo wyprodukowania wadliwej sztuki towaru wynosi p = 0, 06. b) jakości kolejno produkowanych sztuk są zdarzeniami niezależnymi. Dla zmiennej losowej X wyznaczyć 1 funkcję prawdopodobieństwa, 2 dystrybuantę, 3 wartość przeciętną.

Zadanie 21 Zmienna losowa X ma rozkład o dystrybuancie 0, dla x < 1 x 1 F (x) = 2 dla 1 x < 3 1 dla x 3 Wyznacz wartość średnią oraz odchylenie standardowe zmiennej losowej X.

Zadanie 22 Pojedynek przebiega według następujących zasad. Każdy z przeciwników otrzymuje rewolwer bębenkowy z jednym nabojem umieszczonym w jednej z pięciu komór rewolweru ( pozostałe cztery komory są puste) i wielorotnie obraca bębenek następnie jeden z nich pociąga za spust i tylko w przypadku niezranienia próbuje oddać strzał drugi przeciwnik. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pojedynek skończy się bezkrwawo, gdy prawdopodobieństwo trafienia do celu dla każdego przeciwnika jest jednakowe i wynosi 0, 8.

Zadanie 23 Aby oszacować liczbę ryb w stawie wyławia się 1000 ryb, oznacza się je i wpuszcza z powrotem. Dla jakiej ilości ryb w stawie prawdopodobieństwo otrzymania wśród 150 nowo złowionych ryb 10 oznaczonych będzie największe.

Zadanie 24 Obliczyć prawdopodobieństwo przyjęcia partii N sztuk towaru, wśród których jest n sztuk wadliwych, jeśli partię przyjmuje się, gdy w m elementowej próbce (losowanej bez zwrotu) z tej partii znajdzie się co najwyżej jedna sztuka niedobra. Wykonać rachunki jeśli a) N = 50, m = 8 a n = 5 b) N = 200 m = 20 a n = 10.

Zadanie 25 W 1693 roku Johnowi Smithowi zadano następujące pytanie: czy trzy osoby, z których pierwsza chce otrzymać conajmniej jedną szóstkę przy 6 rzutach kostką, druga co najmniej 2 szóstki przy 12 rzutach kostką, a trzecia - conajmniej 3 szóstki przy 18 rzutach kostką mają jednakowe szanse?

Zadanie 26 Owad składa k jajeczek z prawdopodobieństwem λk k! e λ, λ > 0. Potomek wylęga się z jaja z prawdopodobieństwem p niezależnie od innych. Znaleźć prawdopodobieństwo, że liczba potomków będzie równa l.

Zadanie 27 Prawdopodobieństwo trafienia śzóstki w Toto-Lotku jest równe 1/ ( 49) 6 = 1/139883816. Ilu szóstek należy się spodziewać w każdym tygodniu, jeśli grający wypełniają kupony niezależnie od siebie i całkowicie losowo, kuponów jest n = 10 7?