66 DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008
dr inż. Piotr Bętkowski Wydział Budownictwa Politechniki Śląskiej Obiekty mostowe WSTĘPNE PODNIESIENIE POMOSTU JAKO EFEKT ZWISU CIĘGIEN PODWIESZAJĄCYCH Kable mostów podwieszonych modelowane są często w obliczeniach przybliżonych przy użyciu elementów prętowych. Takie przybliżenie, zwłaszcza w przypadku słabego naciągu cięgien, może być błędne. Warto zwrócić uwagę na zwis kabla, który w przypadku wiotkich pomostów prowadzi do wstępnego odkształcenia konstrukcji, co skutkuje rozbieżnością wyników dla modeli z podwieszeniami modelowanymi w MES za pomocą elementów kablowych i prętowych. Modelowanie podwieszeń w MES za pomocą elementów prętów jest często podyktowane brakiem odpowiedniego licencjonowanego kosztownego oprogramowania lub koniecznością przyspieszenia terminu realizacji projektu (pełna nieliniowa analiza nakłada konieczność rozważania scenariuszy obciążeń). Jest to także niezależna, szybka i skuteczna metoda weryfikacji wyników obliczeń statycznych. Model Autor swoje przemyślenia przedstawił na prostym płaskim modelu 2D (ryc.1). Model mostu podwieszonego został znacznie uproszczony (jeden kabel podwieszający i odciągowy). Celem analiz jest pokazanie pewnego efektu pracy konstrukcji. Pomost podparto na pylonie pionowo za pomocą wahacza. Model 1 obciążono ciężarem własnym i obciążeniem eksploatacyjnym równomiernie rozłożonym na pomoście q eksp = 100 kn/m. Pylon modelowano jako rurę średnicy d = 4,0 m i grubości ścianki t=5 mm powyżej pomostu oraz t = 32 mm poniżej pomostu. Przekrój poprzeczny pomostu pokazano na (ryc. 2). Przyjęto cięgna o przekroju A k = 0,0380 m2. Wszystkie elementy zamodelowano ze stali o ciężarze objętościowym qstali = 80 kn/m3. Materiałowy moduł sprężystości podłużnej wynosi E = 205 GPa. Ryc. 1 Model 1 stworzony w programie MES Ryc. 2 Przekrój pomostu F = 1,012m 2 DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008 67
68 DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008
Efektywny moduł sprężystości Przez pojęcie efektywny moduł sprężystości E* należy rozumieć rzeczywistą, a nie materiałową wartość modułu sprężystości podłużnej, inną dla każdego pręta/kabla. Nazwy efektywny moduł sprężystości będę używał zgodnie z [1] ponieważ E* to efektywna, aktualna w danym momencie wartość modułu sprężystości podłużnej prętów/kabli, decydująca o sztywności i pracy (poprzez rozkład sił wewnętrznych i ugięć) całego układu wanty-pylonpomost. Inne nazwy to np. spotykana u Biliszczuka [2] nazwa użytkowy moduł sprężystości oraz u Mańki i Jakiela [3] sprowadzony moduł sprężystości. Przez pojęcie moduł sprężystości E należy w niniejszym artykule rozumieć materiałową wartość modułu sprężystości, charakterystyczną dla materiału, z którego wykonano kabel podwieszający. Ciężar własny kabla skośnego powoduje, że ma on pewien zwis. Efekt zwisu kabla jest znany i opisywany w literaturze. Jedną z prób opisu tego efektu, uważaną za propozycję fundamentalną, jest wzór Ernst a (wg [4], [5]): gdzie: E materiałowy moduł sprężystości, E* efektywny moduł sprężystości, q c ciężar jednostkowy kabla (na jednostkę długości, np. [MN/m]), A k pole przekroju, rzeczywiste naprężenia, lx rzut poziomy cięciwy kabla. W wielu praktycznych realizacjach mostów podwieszonych, np. w RFN w mostach przez Ren, uważanych już dzisiaj za klasyczne i omawianych w setkach publikacji, do obliczeń stosowano metody przybliżone, w których cięgna podwieszeń były zastępowane w modelowaniu prętami prostymi ze zmodyfikowanym modułem sprężystości. Najbardziej znaną jest propozycja Ernst a [4]. Propozycja ta była wykorzystywana w praktyce i cytowana (1) w wielu publikacjach i monografiach. Jednak w wielu pracach, np. [5], [6] pojawiają się rozbieżności w szacowaniu wartości modułu sprężystości podwieszeń oraz wątpliwości, co do poprawności uzyskiwanych wyników. Autorzy tych prac podają różnice wyników uzyskanych z wykorzystaniem wzoru Ernst a oraz z badań na obiektach. W nowszych publikacjach (np. [7]) autorzy podają różnice wyników uzyskanych z modeli MES z elementami kablowymi oraz elementami prętowymi. Nie podejmują jednak prób oszacowania wartości efektywnego modułu sprężystości ani wyjaśnienia przyczyn tych niedokładności. Analiza porównawcza: kabel kontra pręt Analizie poddano wyniki otrzymane z obliczeń na modelu mostu z podwieszeniem raz kablowym (tzn. modelowanymi poprzez elementy kablowe), a raz prętowym ze zmodyfikowanym modułem sprężystości wg wzoru Ernst a. Analizy te są podstawą do rozważań nad zachowaniem się (modelowaniem) podwieszeń i ich rzeczywistymi efektywnymi modułami sprężystości. Analogią prętową autor nazywa zastąpienie kabla podwieszającego w modelu mostu analogicznym prętem (o tym samym polu przekroju i cechach materiałowych). Element kablowy będzie przez autora w uproszczeniu nazywany kablem, element prętowy prętem. Wyznaczono dla modelu 1 (ryc.1) następujące wielkości: momenty w pomoście: M 2, M 3, M 4, naprężenia osiowe w cięgnach: 7, 8, ugięcia poziome i pionowe pomostu w miejscu zamocowania cięgna: 4x, 4z. Model analizowano: pierwszy raz przyjmując podwieszenia jako elementy kablowe o module sprężystości E=205 GPa, drugi raz jako elementy prętowe o tym samym przekroju i module sprężystości. Wyniki podano poniżej w (tab. 1). Dla podwieszeń zamodelowanych za pomocą prętów wybrano analizę liniową, ponieważ taka analiza była wykorzystywana w wielu praktycznych obliczeniach projektowych. Użycie w tym przypadku analizy nieliniowej powoduje jedynie minimalną zmianę wyników. W drugim przypadku, ze względu na specyfikę ele- Obiekty mostowe DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008 69
Tab. 1 e wielkości odwieszeń anych jako o pręty [9] Pręt/kabel, A=0,0380 m 2 (φ=220mm), E=205GPa, ciężar stali q k =80kN/m 3 Schemat Momenty [MNm] Naprężenia [MPa] Ugięcia [m] obciążenia M 2 M 3 M 4 σ 7 σ 8 δ 4x δ 4z kabel cw -151,97 44,46 46,06-257,29-236,40-0,0060-0,5253 E=205 GPa eksp -193,91 56,73 57,37-317,19-291,40-0,0075-0,6664 komb -346,58 101,31 104,37-573,25-526,43-0,0135-1,1954 pręt cw -154,67 45,17 50,17-254,15-233,09-0,0059-0,5346 E=205 GPa eksp -194,26 56,79 57,85-316,58-290,58-0,0075-0,6683 komb -348,93 101,97 108,02-570,74-523,67-0,0134-1,2029 70 DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008
Obiekty mostowe mentów kablowych, konieczne było zastosowanie analizy nieliniowej. Program MES [8] wykorzystuje przyrostową metodę Newtona-Raphsona. Oznaczenia (w tab. 1) i dalszych tablicach (dla schematów obciążenia): cw ciężar własny wszystkich elementów mostu, eksp obciążenie eksploatacyjne na pomoście, ciężar własny wszystkich elementów mostu jest zerowy (m.in. kable nie mają ciężaru własnego, nie ma efektu zwisu), komb kombinacja obciążeń cw+eksp. Wnioski z analizy (tab. 1) Momenty i ugięcia pomostu w modelu z podwieszeniami modelowanymi za pomocą elementów prętowych są większe, a naprężenia mniejsze, niż w modelu z kablami, przy czym różnice te są niewielkie. Dalsze analizy wykonano, aby zbadać, o ile różni się moduł sprężystości dla podwieszeń modelowanych za pomocą elementów prętowych, gdy uzyskuje się identyczne wartości momentów, ugięć i naprężeń od kombinacji obciążeń jak dla modelu z elementami kablowymi. Celem badań jest wykazanie, czy zalecenia literaturowe dotyczące sposobu uproszczonego modelowania mostów podwieszonych z wykorzystaniem elementów prętowych na podwieszenia są słuszne. Przyjęto, że rozwiązanie z elementami kablowymi jest rozwiązaniem dokładnym. Zmodyfikowano w rozwiązaniu prętowym (podwieszenia modelowane są za pomocą elementów prętowych analiza liniowa) moduł sprężystości podwieszeń tak, aby uzyskać takie same wyniki, jak przy analizie nieliniowej i elementach kablowych. W (tab. 2) zestawiono uzyskane wyniki i efektywne moduły sprężystości E* dla jakich je uzyskano. Aby ułatwić analizę danych w (tab. 2) wyróżniono pogrubioną czcionką wartości momentów, ugięć i naprężeń w modelu z podwieszeniami kablowymi i najbardziej zbliżone wyniki w modelu z podwieszeniami prętowymi wyróżniono wyniki od kombinacji obciążeń komb (najbardziej niekorzystny schemat obciążenia). Wnioski z analizy (tab. 2) Moduł sprężystości w rozwiązaniu prętowym uległ zwiększeniu, co jest niezgodne z dotychczas praktykowanym podejściem i wynikami badań doświadczalnych. Nie da się ustalić jednej wartości modułu sprężystości podwieszeń, która daje dla wszystkich wielkości w modelu z podwieszeniami prętowymi identyczne wyniki, jak w modelu z podwieszeniami kablowymi, wartości E* są różne. Różnice wartości modułów sprężystości podwieszeń są niewielkie, mniejsze niż 3%. Analizy przeprowadzone w tym punkcie doprowadziły do niepokojących wniosków, że wartość efektywnego modułu sprężystości podwieszeń rośnie, a nie maleje w przypadku, gdy zamiast elementów kablowych użyje się w modelu elementów prętowych. Jest to niezgodne z logiką, intuicją i wynikami badań doświadczalnych. Oczywiście w rzeczywistości efektywny moduł sprężystości podwieszeń jest mniejszy niż jego wartość materiałowa. Poniżej pokażę, co powoduje takie rozbieżności wyników tych analiz i doświadczeń praktycznych. Wartość efektywnego modułu sprężystości w modelowaniu Dla pełnego opisu zachowania się cięgien podwieszających w modelach z podwieszeniami modelowanymi jako pręty, potrzebne jest, zdaniem autora, uwzględnienie efektu podniesienia pomostu na skutek zwisu kabli. Sposób modelowania efektu podniesienia pomostu przez cięgna i uwzględnienia tego efektu w analogii prętowej podano w punkcie 6. Pręt/kabel, A=0,0380m 2 (φ=220mm), E=205GPa, ciężar stali q k =80kN/m 3 Momenty [MNm] Naprężenia [MPa] Ugięcia [cm] Schemat obciążenia M 2 M 3 M 4 σ 7 σ 8 δ 4x δ 4z kabel cw -151,97 44,46 46,06-257,29-236,4-0,0060-0,5253 E=205 GPa eksp -193,91 56,73 57,37-317,19-291,14-0,0075-0,6664 komb -346,58 101,31 104,37-573,25-526,43-0,0135-1,1954 pręt cw -154,16 45,08 49,48-255,04-233,88-0,0060-0,5316 E=207 GPa eksp -193,63 56,68 56,98-317,71-291,58-0,0075-0,6646 komb -347,79 101,76 106,47-572,75-525,46-0,0135-1,1963 pręt cw -153,91 45,03 49,14-255,49-234,27-0,0060-0,5304 E=208 GPa eksp -193,31 56,62 56,55-318,27-292,08-0,0075-0,6630 komb -347,22 101,65 105,69-573,76-526,35-0,0135-1,1935 pręt cw -153,66 44,99 48,81-255,93-234,66-0,0060-0,5291 E=209 GPa eksp -192,99 56,56 56,12-318,82-292,57-0,0075-0,6613 komb -346,67 101,55 104,93-574,75-527,23-0,0135-1,1904 pręt cw -153,41 44,94 48,47-256,37-235,05-0,0060-0,5277 E=210 GPa eksp -192,68 56,51 55,70-319,38-293,06-0,0075-0,6596 komb -346,10 101,45 104,16-575,74-528,11-0,0135-1,1873 Tab. 2 Wzrost wartości modułu sprężystości dla podwieszeń kablowych modelowanych jako pręty [9] DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008 71
Zmniejszenie wartości modułu sprężystości w analogii prętowej bez tego zabiegu, prowadzi do zwiększenia rozbieżności wyników rozwiązania dokładnego (kable) i przybliżonego (podwieszenia modelowane za pomocą prętów) [9]. Mniejszym błędem, niż zmniejszenie modułu sprężystości, jest wtedy przyjęcie jego materiałowej wartości. Zmiany wielkości wewnętrznych na skutek przyjęcia wartości E* wg wzoru Ernesta są na szczęście niewielkie (tab.1, 2). W przypadku prostych ustrojów, jak kładki podwieszone, w których cięgna mają w przybliżeniu stały i wysoki, na skutek naciągu wstępnego, poziom naprężeń, stosowanie analogii prętowej daje dobre rezultaty, nie należy jednak zmniejszać wartości modułu sprężystości. Żółtowski zamieszcza w artykule [10] wnioski, bardzo istotne z punktu widzenia autora niniejszego 72 DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008
artykułu: W analizie nie stwierdzono istotnego wpływu krzywizny cięgna na deformacje przęseł ujmowanego analitycznie przez wprowadzenie pojęcia Eef będącego zastępczym modułem sprężystości dla prostego i nieważkiego cięgna. Żółtowski proponuje przyjmowanie w obliczeniach materiałowej wartości modułu sprężystości dla podwieszeń. Podobne uwagi, aby nie zmniejszać wartości modułu sprężystości w analizie z podwieszeniami modelowanymi za pomocą prętów znaleźć można m.in. w [5], [6] (ale w pracach tych nie szuka się przyczyn rozbieżności wyników). Modelowanie efektu podniesienia pomostu przez cięgna podwieszające Wyznaczanie efektywnego modułu sprężystości podwieszeń dla cięgien bez naciągu Aby zbadać efekt zwisu cięgien model 1 (ryc. 1) obciążono jedynie ciężarem własnym podwieszeń tj. elementów nr 7,8. Pozostałe elementy mają ciężar własny równy 0, tzn. są nieważkie ich ciężar nie ma wpływu na zwis cięgna, wpływ ma jedynie schemat statyczny i sztywność mostu. Cięgna nie mają zadanego naciągu wstępnego, żeby nie wprowadzać dodatkowych sił do konstrukcji. Chodzi o to, aby odseparować od innych wpływów czysty efekt zwisu cięgien. Wszystkie elementy, także te z ciężarem 0 (zerowym), mają zadane stałe dla danego elementu, określone cechy geometryczne, takie jak np. pole przekroju, wskaźniki zginania. Na (ryc. 3) pokazano przemieszczenia w pomoście dla podwieszeń modelowanych w MES za pomocą elementów kablowych (obciążenie tylko ciężar własny podwieszeń). Widać, że na skutek zwisu kabli pomost przemieszcza się w punkcie mocowania podwieszeń do góry o 16,03 cm (jest podciągany przez kabel). Na ryc. 4 pokazano przemieszczenia w pomoście dla podwieszeń modelowanych za pomocą prętów (obciążenie tylko ciężar własny podwieszeń). Pręty podwieszeń ulegają wydłużeniu, a pomost przemieszcza się w punkcie mocowania podwieszeń na dół o 1,18 cm. Takie różnice wywołuje znaczna siła osiowa w kablu, która nie występuje w pręcie. W przypadku uwzględnienia ciężaru własnego wszystkich elementów mostu (typowy schemat obciążenia nr 1 w analizach MES) nie da się tego efektu wychwycić, ponieważ pomost przemieszcza się zawsze w dół (ryc. 6, 7). Autor nie znalazł opracowań wskazujących, jak ten efekt uwzględnić w przypadku modelowania podwieszeń za pomocą prętów. Problem ma pewien wymiar praktyczny, gdyż w wielu projektach mostów podwieszonych (kładek podwieszonych) podwieszenia kablowe modelowane są za pomocą elementów prętowych. Ryc. 3 Podwieszenia: kable. Obciążenie: tylko ciężar własny podwieszeń Obiekty mostowe Efekt podniesienia pomostu na skutek zwisu kabli, w przypadku podwieszeń modelowanych za pomocą prętów, został zamodelowany przez autora przez dylatację ujemną pręta, czyli jego skrócenie. Założono, że schemat z podwieszeniem modelowanym za pomocą kabli jest rozwiązaniem dokładnym (oczywiście jest to jedynie przybliżenie, a rozwiązanie dokładne nie istnieje). Metodą prób dobrano takie dylatacje podwieszeń modelowanych za pomocą prętów, żeby wyniki pokrywały się z rozwiązaniem dokładnym (ryc. 5). Moduły sprężystości podwieszeń dla prętów i kabli są w tym momencie jednakowe, równe ich materiałowej wartości E=205 GPa. Ryc. 4 Podwieszenia: pręty. Obciążenie: tylko ciężar własny prętów (nr 7, 8) bez dylatacji Ryc. 5 Podwieszenia: pręty, tylko ciężar własny podwieszeń, dylatacja względna prętów ( p7 = -48 10-5, p8 = -92 10-5 ) DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008 73
74 DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008
Kolejny etap to analiza zachowania się mostu obciążonego ciężarem własnym na wszystkich elementach. Moduły sprężystości podwieszeń dla prętów i kabli są w tym momencie jednakowe, równe ich materiałowej wartości E=205 GPa. Model z podwieszeniem prętowym obciążony jest dodatkowo dylatacją względną p7 = -48 10-5, p8 = -92 10-5 (wyznaczoną dla modelu obciążonego jedynie ciężarem własnym podwieszeń). Za rozwiązanie dokładne, będące punktem odniesienia, biorę rozwiązanie z elementem kablowym (ryc. 6). W przypadku podwieszeń modelowanych za pomocą prętów (ryc. 7) widać, że przemieszczenie pomostu w punkcie mocowania podwieszeń jest mniejsze niż w rozwiązaniu dokładnym (pręty mają zadane wyliczone poprzednio dylatacje ujemne). O sztywności całego układu pomost-wanty-pylon w dużej mierze decyduje sztywność podwieszeń. Wykorzystując tę informację zmniejszono moduł sprężystości podwieszeń do takiej wartości, aby ugięcia pomostu (odkształcenia) wzrosły i uzyskały taką samą wartość, jak w rozwiązaniu dokładnym. Uzyskano następujące wartości modułu sprężystości podwieszeń (odpowiednio dla prętów nr 7 i 8): E p7 =152 GPa, E p8 =120 GPa. Jest do zgodne z tym, czego zgodnie z praktyką należy się spodziewać dla podwieszeń bez naciągu (duży zwis). Efektywny moduł sprężystości cięgien jest mniejszy od jego wartości materiałowej. Obiekty mostowe Ryc. 6 Podwieszenia: kable. Obciążenie: ciężar własny wszystkich elementów mostu Ryc. 7 Podwieszenia: pręty. Obciążenie: ciężar własny wszystkich elementów mostu, dylatacja względna prętów Wnioski: Na skutek zwisu kabla od ciężaru samych tylko podwieszeń pomost jest pociągany w górę. W przypadku modelowania podwieszeń za pomocą elementów prętów taki efekt nie występuje. Jeżeli pominie się opisany w artykule efekt podniesienia pomostu, to wstępny wyjściowy stan odkształceń konstrukcji z podwieszeniem prętowym jest inny niż z kablowym kable dają przeciwną strzałkę ugięcia pomostu. Dopiero więc po przyłożeniu na pomoście pewnego obciążenia pomost wraca do poziomu. Ten efekt powoduje, że ugięcie pomostu w modelu z podwieszeniem kablowym jest mniejsze niż z prętowym, gdy DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008 75
Ryc. 7 Podwieszenia: pręty. Obciążenie: ciężar własny wszystkich elementów mostu, dylatacja względna prętów dla obydwu rodzajów podwieszeń stosuje się tę samą wartość modułu sprężystości E. Efekt podniesienia pomostu skutkuje skróceniem cięciwy kabla. Można go w modelu z podwieszeniem prętowym uwzględnić przez odpowiednie równoważne skrócenie pręta. Skrócenie pręta realizowano jako dylatację względną ujemną. Efektywny modułu sprężystości podwieszeń dla kabli z naciągiem wstępnym Naciąg wstępny kabli podwieszeń jest istotny w przypadku mostów podwieszonych, ponieważ umożliwia odpowiednie kreowanie rozkładu sił wewnętrznych w pomoście, co pozwala na optymalne projektowanie konstrukcji ze względu np. na zużycie i rodzaj użytych materiałów. Ilustrują to dwa poniższe rysunki ryc. 8 i ryc. 9. ści ma większą wartość dla kabli z naciągiem (niż bez naciągu) i jednocześnie nadal jest mniejszy od jego wartości materiałowej (205 GPa). Podsumowanie i wnioski końcowe W artykule pokazano, jak modelować podwieszenia kablowe za pomocą prętów oraz jak prawidłowo za pomocą dylatacji ujemnej modelować efekt podniesienia pomostu na skutek zwisu kabli, wymuszając odpowiedni wstępny stan odkształceń konstrukcji. Pokazanie efektu podniesienia pomostu i potrzeba zadawania ujemnej dylatacji prętów jest podejściem nowym. Wielu autorów wskazywało na różnice w wynikach, gdy podwieszenia były modelowane jako pręty, ale nie wyjaśniano przyczyn tych różnic. Przy zaproponowanej przez autora metodzie analizy, uzyskuje się praktycznie takie same wyniki dla modeli z podwieszeniami modelowanymi jako kable i jako pręty. Podana metoda (sposób postępowania) może służyć do określenia rzeczywistego modułu sprężystości podwieszeń, który decyduje o sztywności całego układu pylon-wanty-pomost, a więc o rozkładzie sił wewnętrznych i ugięciach. Wielu projektantów oraz autorów badań, artykułów, monografii mostów podwieszonych zmagało się z problemem prawidłowej oceny podatności podwieszeń. Problem nie został do końca rozpoznany o czym świadczą wciąż pojawiające się publikacje, np. [3], [7], [10], [12], [13], [14]. Ryc. 8 Wykres momentów od ciężaru własnego wszystkich elementów mostu. Kable bez naciągu Naciąg wstępny kabli w analizowanym przykładzie zrealizowano za pomocą dylatacji względnej ujemnej (skrócenie kabla): k7 =-220 10-5, k8 = -180 10-5 (odpowiada to sile naciągu wstępnego: kabel 8: 14,5MN, kabel 7: 16,0MN). Dobrano dylatacje tak, aby wyrównać momenty w pomoście od obciążeń ciężarem własnym, co jest postępowaniem typowym w mostach podwieszonych z pomostem stalowym, np. [2], [1], [5], [6], [11], [12]. Dla zrównoważenia efektu podniesienia pomostu przez kable, opisanego w punkcie poprzednim, trzeba wprowadzić do pręta zastępującego dany kabel dodatkową dylatację niezależną od tej wynikającej z naciągu wstępnego podwieszeń. Dobrane metodą prób względne dylatacje prętów wynoszą: p7 =-226 10-5, p8=-192 10-5. Dla tych dylatacji ujemnych, postępując analogicznie jak w rozdziale poprzednim, uzyskano następujące wartości modułu sprężystości podwieszeń (odpowiednio dla prętów nr 7 i 8): E p7 =200,5 GPa, E p8 =193,5 GPa. Jest do zgodne z tym, czego należy się spodziewać zgodnie z praktyką dla podwieszeń z naciągiem. Efektywny moduł sprężysto- 76 DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008
Obiekty mostowe Piśmiennictwo: 1. Jaromniak A.: Mosty podwieszone. Rzeszów, Oficyna Wydawnicza Politechniki Rzeszowskiej, 1997. 2. Biliszczuk J.: Mosty podwieszone. Konstrukcja i realizacja. Warszawa, Arkady, 2005. 3. Jakiel P., Mańko Z.: Ocena wpływów nieliniowych w stalowym moście podwieszonym z pomostem składanym. Inżynieria i Budownictwo. 9/1999, s. 507-510. 4. Ernst H. J.: Der E-Modul von Seilen unter Berücksichtigung des Durchhangers. Bauingenieur. 1965, 40(2), s. 52-55. 5. Podolny W.: Scalzi J., Construction and Design of Cable- Stayed Bridges. New York, John Wiley and Sons, Inc., 1976. 6. Troitsky M.: Cable-stayed Bridges. Theory and Design. London, Crosby Lockwood Staples, 1977. 7. Karoumi R.: Some modeling aspects in the nonlinear finite element analysis of supported bridges. Computers and Structures. 1999, Vol.71, s. 397-412. 8. RobotMillennium firmy Robobat. 9. Bętkowski P.: Ocena za pomocą liczb przedziałowych i analiza niepewności typu rozmytego w mostach podwieszonych. Rozprawa doktorska. Gliwice, 2005. 10. Żółtowski K.: Wpływ różnych cięgien na właściwości statyczne i dynamiczne kładki podwieszonej. Drogi i Mosty. 2/2002, s. 119-129. 11. Biliszczuk J. i in.: Projektowanie stalowych kładek dla pieszych. Wrocław, DWE, 2007. 12. Gimsing N.: Cable supported bridges. Chichester, John Wiley and Sons, 1997. 13. Ito M.: Cable-supported Steel Bridges. Design Problems and Solutions. Journal Construct Steel. 1996, Vol. 39, No. 1, s. 69-84. 14. Wang P.H., Lin H.T., Tang T.Y.: Study on nonlinear analysis of a highly redundant cable-stayed bridge. Computers and Structures. 1996, Vol.60, s. 243-260. DROGI lądowe, powietrzne, wodne 12/2008 77