Obliczanie cen i parametrów greckich opcji walutowych w modelu Blacka-Scholesa

Bogusław Wróblewski Obliczanie cen i parametrów greckich opcji walutowych w modelu Blacka-Scholesa Raport i dokumentacja 06.06.0

Spis treści. Opis problemu....................................................... 3. Wzory teoretyczne.................................................... 5.. Pomocnicze funkcje i pochodne............................................ 5.. Opcje call i put..................................................... 0.3. Portfele opcji call i put..................................................4. Opcje digital...................................................... 5.5. Opcje barierowe z barierą europejską........................................ 8.6. Opcje barierowe z barierą amerykańską...................................... 3 3. Funkcje............................................................ 8 3.. Opis danych wejściowych............................................... 8 3.. Opis funkcji....................................................... 9 Bibliografia........................................................... 36

. Opis problemu Celem niniejszej pracy jest zestawienie wzorów analitycznych na ceny i parametry greckie opcji walutowych w modelu Blacka-Scholesa, a także opisanie zaimplementowanych w Octave 3..4 funkcji obliczających te wielkości. W tej części opiszemy założenia stosowanego przez nas modelu oraz wprowadzimy najważniejsze oznaczenia, którymi będziemy posługiwać się w pracy. Instrumentem podstawowym dla analizowanych przez nas opcji jest kurs wymiany. Rozpatrzmy dwie różne waluty: bazową, którą oznaczamy przez FOR od foreign, oraz niebazową, dla której stosujemy oznaczenie DOM od domestic. Niech T 0, + będzie momentem wykonania opcji jest to czas w latach. Kurs wymiany FOR/DOM w dowolnym momencie t [0, T ] oznaczamy przez S t, to znaczy jedna jednostka waluty FOR kosztuje S t jednostek waluty DOM w chwili t. Załóżmy ponadto, że mamy ustaloną przestrzeń probabilistyczną Ω, F, P z pewną filtracją F t t [0,T ], na której zadany jest proces Wienera W t t [0,T ]. Rozważamy model Blacka-Scholesa: zakładamy, że rynek jest doskonały por. [] oraz S t t [0,T ] jest procesem stochastycznym spełniającym równanie ds t = r d r f S t dt + σs t dw t dla t [0, T ].. Tutaj σ jest zmiennością w skali roku, a przez r d i r f oznaczamy ciągłe roczne stopy procentowe dla waluty niebazowej i bazowej odpowiednio, również w skali roku. Ponadto dla dowolnych T, σ, r d, r f > 0 oraz t [0, T przyjmujemy następujące oznaczenia: x = S t - kurs spot w chwili t,. DF d = e r dτ DF f = e r f τ τ = T t - czas życia opcji,.3 - czynnik dyskontowy dla waluty niebazowej w okresie czasu [t, T ],.4 - czynnik dyskontowy dla waluty bazowej w okresie czasu [t, T ],.5 F = DF f x DF d - cena forward instrumentu podstawowego w chwili t, liczona na moment T..6 Rozważmy dowolną opcję na kurs wymiany FOR/DOM. Jej wypłatę w momencie T będziemy oznaczać przez H, natomiast wartość w chwili t [0, T ] przez V i zawsze podajemy ją w jednostkach waluty DOM. Naszym głównym celem jest zestawienie wzorów na wartości opcji V oraz następujące parametry greckie: = V x F = V - delta spot,.7 - delta forward,.8 Γ = V x - gamma spot,.9 Γ F = V - gamma forward,.0 Θ = V V = V σ - theta,. - wega.. 3

W świecie rzeczywistym na rynku kwotowane są dwa rodzaje cen: bid za tyle instytucja finansowa jest w stanie kupić dany instrument oraz ask jest to cena sprzedaży, nie mniejsza od bid. Podobnie jest z czynnikami dyskontowymi. W związku z powyższym, podamy formuły pozwalające znajdować także ceny bid i ask rozważanych opcji oraz odpowiednie parametry greckie. Wzory te wyglądają prawie tak samo jak formuły w przedstawionym powyżej modelu Blacka-Scholesa, z jedną tylko różnicą: musimy w nich zaznaczyć, w którym miejscu występuje czynnik dyskontowy lub cena forward bid, a w którym ask. Czynimy to przez dopisanie odpowiedniego identyfikatora, to znaczy: x bid - kurs spot bid w chwili t..3 x ask - kurs spot ask w chwili t..4 DF d,bid - czynnik dyskontowy bid dla waluty niebazowej w okresie czasu [t, T ],.5 DF d,ask - czynnik dyskontowy ask dla waluty niebazowej w okresie czasu [t, T ],.6 DF f,bid - czynnik dyskontowy bid dla waluty bazowej w okresie czasu [t, T ],.7 DF f,ask - czynnik dyskontowy ask dla waluty bazowej w okresie czasu [t, T ],.8 F bid = DF f,askx bid DF d,bid - cena forward bid instrumentu podstawowego w chwili t, liczona na moment T,.9 F ask = DF f,bidx ask DF d,ask - cena forward ask instrumentu podstawowego w chwili t, liczona na moment T..0 4

. Wzory teoretyczne W rozdziale tym przedstawimy popularne opcje walutowe o europejskim typie wykonania. Każdą z nich scharakteryzujemy przez podanie dodatkowych parametrów z nią związanych takich jak np. cena wykonania i bariera, wypłaty jej nabywcy, a także formuł na cenę i parametry greckie w modelu Blacka-Scholesa. Zaznaczmy w tym miejscu, że wzorów na litery greckie nie podamy w jawnej postaci, a jedynie w formie sumy iloczynów pewnych funkcji i pochodnych cząstkowych. Jak później zobaczymy, ceny wszystkich analizowanych przez nas opcji można zapisać przy pomocy pewnych funkcji B i oraz A j gdzie i, }, j,, 3, 4}, czynnika dyskontowego DF d, ceny forward F, a także dodatkowych stałych parametrów, takich jak cena wykonania K. W związku z tym wystarczy obliczyć pochodne cząstkowe z B i, A j, DF d oraz F co uczynimy w podrozdziale. i dzięki temu będziemy mogli znaleźć wszystkie parametry greckie. Wzory na pochodne z niektórych spośród tych funkcji zawłaszcza A j są bardzo skomplikowanymi wyrażeniami - doprowadzenie ich do jawnej postaci jest zadaniem bardzo czasochłonnym, poza tym istnieje duże ryzyko popełnienia błędu podczas przekształcania takich wyrażeń. Można oczywiście szukać w literaturze tych wzorów, jednak w wielu przypadkach są one trudno dostępne, a poza tym zawsze istnieje ryzyko, że autor podczas przepisywania lub wyprowadzania takich skomplikowanych formuł popełnił błąd. Dlatego my zadowolimy się postacią sumy iloczynów funkcji pomocniczych i pochodnych cząstkowych wynikającej z reguły różniczkowania iloczynu. Takie postępowanie gwarantuje poprawność przedstawionych wzorów, a poza tym upraszcza kod programu. Wszystkie funkcje obliczające współczynniki greckie liczą odpowiednie sumy oraz iloczyny, wcześniej wywołując inne funkcje, które znajdują potrzebne pochodne. Tą konwencję zastosowano w przypadku każdej opcji... Pomocnicze funkcje i pochodne W opisie problemu wprowadziliśmy już kilka podstawowych oznaczeń. W celu przedstawienia wzorów na ceny i parametry greckie niezbędne jest jednak wprowadzenie większej ilości oznaczeń, a mianowicie pewnych funkcji pomocniczych, czym zajmiemy się w tym podrozdziale. Ustalmy dowolne x, T, σ, r d, r f, B, K > 0 oraz t [0, T. Niech ponadto φ, η, ω będą liczbami ze zbioru, }. W wielu wzorach pojawi się gęstość oraz dystrybuanta zmiennej o rozkładzie normalnym. Będziemy je oznaczać odpowiednio przez n i N : nu = e u π dla u R,. N u = We wzorach Blacka-Scholesa pojawiają się pewne dodatkowe funkcje. Są to: u nvdv dla v R.. dk, η = ln x K + r d r f + ησ τ σ τ = ln F K + ησ τ σ,.3 τ hb, K, ω = ln B xk + r d r f + ωσ τ σ τ r B ω+ d r f lb, ω = x σ = DFf B DF d F ln DF f B DFd = F K + ωσ τ σ,.4 τ lndf ω+ f lndf d σ τ,.5 B K, φ, η = φn φdk, η,.6 B B, K, φ, η, ω = φn ηhb, K, ωlb, ω,.7 A K, φ = F B K, φ, KB K, φ,,.8 5

A B, K, φ = F B B, φ, KB B, φ,,.9 A 3 B, K, φ, η = F B B, K, φ, η, KB B, K, φ, η,,.0 A 4 B, K, φ, η = F B B, B, φ, η, KB B, B, φ, η,.. Ponadto będą nam potrzebne niektóre pochodne cząstkowe z powyżej zdefiniowanych odwzorowań. Łatwo jest je obliczyć dla DF d, F, dk, η, hb, K, ω, lb, ω, N φdk, η oraz N ηhb, K, ω: DF d x DF d = 0,. = 0,.3 = DF d x = 0,.4 DF d = 0,.5 DF d = r d e rdτ = DF d lndf d, τ.6 DF d = 0, σ.7 x = er d r f τ = DF f, DF d.8 =,.9 F = 0,.0 x F = 0,. DF d = r f r d xe r d r f τ = F ln DF f, τ. = 0, σ.3 d K, η = x xσ τ = DF f DF d F σ τ,.4 d K, η = F σ τ,.5 DF f d K, η = x x σ τ = DFd F σ τ,.6 d K, η = F σ τ,.7 d K, η = r d r f + ησ σ τ dk, ησ τ σ τ σ τ σdk, η r d r f + ησ τ στ d ηστσ τ dk, ησ τ τ K, η = σ σ τ h B, K, ω = x xσ τ = = σdk, η τ ln DF f DF d + ησ τ στ =.8,.9 = ησ τ dk, η, σ.30 DF f DF d F σ τ,.3 6

= h B, K, ω = F σ τ,.3 h x B, K, ω = x σ τ = DFf DFd F σ τ,.33 h B, K, ω = F σ τ,.34 h B, K, ω = r d r f + ωσ σ τ hb, K, ωσ τ σ τ σ τ σhb, K, ω r d r f + ωσ τ στ h ωστσ B, K, ω = σ = τ hb, K, ωσ τ τ σ τ φnφdk, η N φdk, η = x xσ τ σhb, K, ω τ ln DF f DF d + ωσ τ στ =.35,.36 = ωσ τ hb, K, ω,.37 σ = φdf f nφdk, η DF d F σ,.38 τ φnφdk, η N φdk, η = F σ,.39 τ η N φdk, η = φnφdk, x x σ + φ dk, η τ σ = φdf f nφdk, η τ DFd F σ τ η N φdk, η = φnφdk, F σ + φ dk, η τ σ τ + φ dk, η σ τ,.40,.4 N φdk, η = φnφdk, η σdk, η r d r f + ησ τ =.4 στ = φnφdk, η σdk, η τ lndf f lndf d + ησ τ,.43 στ σ N φdk, η = φnφdk, ηησ τ dk, η,.44 σ K, ω N ηhb, K, ω = ηnηhb, x xσ τ = ηdf f nηhb, K, ω DF d F σ,.45 τ K, ω N ηhb, K, ω = ηnηhb, F σ,.46 τ ηnηhb, K, ω N ηhb, K, ω = x x σ η hb, K, ω τ σ = ηdf f nηhb, K, ω τ DFd F σ τ ηnηhb, K, ω N ηhb, K, ω = F σ η hb, K, ω τ σ τ η hb, K, ω σ τ,.47,.48 N ηhb, K, ω = ηnηhb, K, ω σhb, K, ω τ lndf f lndf d + ωσ τ,.49 στ σ N ηhb, K, ω = ηnηhb, K, ωωσ τ hb, K, ω,.50 σ l x B, ω = ω + r d r f σ B ω+ r d r f σ x ω+ r d r f σ + =.5 = ω + lndf f lndf d σ τ l B, ω = ω + r d r f B ω+ lndf f lndf d σ σ τ DFd F DF f lndf ω+ f lndf d σ τ +,.5 r DFf B ω+ d r f σ F ω+ r d r f σ DF + =.53 d 7

= ω + lndf f lndf d σ l x B, ω = ω + r d r f σ = lndf DFf B ω+ f lndf d σ τ DF d ω + r d r f σ + ω + lndf f lndf d σ τ B ω+ lndf f lndf d DFd F ω+ σ τ DF f F ω+ lndf f lndf d σ + τ,.54 B ω+ r d r f σ x ω+ r d r f ω + lndf f lndf d σ τ lndf f lndf d σ τ σ + =.55 +.56 +,.57 l B, ω = ω + r d r f σ ω + r r d r f DFf B ω+ d r f σ σ + F ω+ r d r f σ DF = d.58 = ω + lndf f lndf d σ ω + lndf f lndf d τ σ + τ.59 lndf DFf B ω+ f lndf d σ τ F ω+ lndf f lndf d σ DF τ, d.60 l B, ω = 0,.6 l σ B, ω = 4r r d r f B ω+ d r f σ B σ 3 ln = x x.6 = 4lnDF f lndf d σ 3 τ DFf B DF d F ω+ lndf f lndf d σ τ ln DFf B..63 DF d F Nie będziemy bezpośrednio obliczać pochodnych z B, B, A, A, A 3 i A 4. W wielu przypadkach są to bardzo skomplikowane wyrażenia, zadowolimy się więc postacią wynikającą z różniczkowania iloczynu funkcji: zapiszemy je w postaci zawierającej wcześniej obliczone funkcje i pochodne z nich. Mamy zatem: B K, φ, η = φ N φdk, η,.64 x x B K, φ, η = φ N φdk, η,.65 B K, φ, η = φ N φdk, η,.66 x x B K, φ, η = φ N φdk, η,.67 B K, φ, η = φ N φdk, η,.68 B K, φ, η = φ N φdk, η, σ σ.69 B l B, K, φ, η, ω = φ N φdk, ηlb, ω + φn φdk, η B, ω, x x x.70 B l B, K, φ, η, ω = φ N φdk, ηlb, ω + φn φdk, η B, ω,.7 B l B, K, φ, η, ω = φ N φdk, ηlb, ω + φ N φdk, η x x x x B, ω + φn φdk, η l B, ω,.7 x B B, K, φ, η, ω = φ N φdk, ηlb, ω + φ l N φdk, η B, ω + φn φdk, η l B, ω,.73 l N φdk, ηlb, ω + φn φdk, η B, ω.74 B B, K, φ, η, ω = φ B l B, K, φ, η, ω = φ N φdk, ηlb, ω + φn φdk, η B, ω.75 σ σ σ 8

A K, φ = x x B K, φ, + F B x K, φ, K B K, φ,, x.76 A K, φ = B K, φ, + F B K, φ, K B K, φ,, x.77 A x K, φ = F x B K, φ, + B x x K, φ, + F B x K, φ, K B K, φ,,.78 x A K, φ = F B K, φ, + A B K, φ, + F B K, φ = B K, φ, + F B A K, φ = σ σ B K, φ, + F B K, φ, K B K, φ,,.79 K, φ, K B K, φ,,.80 σ K, φ, K B K, φ,, σ.8 A B, K, φ = x x B B, φ, + F B x B, φ, K B B, φ,, x.8 A B, K, φ = B B, φ, + F B B, φ, K B B, φ,,.83 A x B, K, φ = F x B B, φ, + B x x B, φ, + F B x B, φ, K B B, φ,,.84 x A B, K, φ = F x B B, φ, + A B B, φ, + F B B, K, φ = B B, φ, + F B A B, K, φ = σ σ B B, φ, + F B B, φ, K B B, φ,,.85 B, φ, K B B, φ,,.86 σ B, φ, K B B, φ,, σ.87 A 3 B, K, φ, η = x x B B, K, φ, η, + F B x B, K, φ, η, K B B, K, φ, η,, x.88 A 3 B, K, φ, η = B B, K, φ, η, + F B B, K, φ, η, K B B, K, φ, η,,.89 A 3 x B, K, φ, η = F x B B, K, φ, η, + x B B, K, φ, η, +.90 x +F B x B, K, φ, η, K B B, K, φ, η,,.9 x A 3 B, K, φ, η = F B B, K, φ, η, + B B, K, φ, η, +.9 +F B B, K, φ, η, K B B, K, φ, η,,.93 A 3 B, K, φ, η = B B, K, φ, η, + F B B, K, φ, η, K B B, K, φ, η,,.94 A 3 B, K, φ, η = σ σ B B, K, φ, η, + F B σ B, K, φ, η, K B B, K, φ, η,, σ.95 A 4 B, K, φ, η = x x B B, B, φ, η, + F B x B, B, φ, η, K B B, B, φ, η,, x.96 A 4 B, K, φ, η = B B, B, φ, η, + F B B, B, φ, η, K B B, B, φ, η,,.97 A 4 x B, K, φ, η = F x B B, B, φ, η, + x B B, B, φ, η, +.98 x +F B x B, B, φ, η, K B B, B, φ, η,,.99 x 9

A 4 B, K, φ, η = F B B, B, φ, η, + B B, B, φ, η, +.00 +F B B, B, φ, η, K B B, B, φ, η,,.0 A 4 B, K, φ, η = B B, B, φ, η, + F B B, B, φ, η, K B B, B, φ, η,,.0 A 4 B, K, φ, η = σ σ B B, B, φ, η, + F B σ B, B, φ, η, K B B, B, φ, η,. σ.03.. Opcje call i put Rozpoczniemy od opisania dwóch najprostszych opcji: kupna i sprzedaży.. Opcja call. Dodatkowy parametr: K > 0 cena wykonania. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H call S T, K = S T K ST >K}..04 V call K = e r dτ F N dk, KN dk,..05 Powyższy wzór pochodzi z [8]; można go znaleźć także w [], [3] oraz [5], jednak występuje on tam pod nieco innymi postaciami m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Po uwzględnieniu w.05 oznaczeń z pierwszego rozdziału dostajemy Parametry greckie: V call K = DF d F N dk, KN dk, = DF d F B K,, KB K,,..06 call K = DF d x B K,, + F B x K,, K B x K,,,.07 F call K = DF d B K,, + F B K,, K B K,,,.08 F Γ call K = DF d x B K,, + B x x K,, + F B x K,, K B x K,,,.09 F Γ call K = DF d B K,, + B x K,, + F B K,, K B K,,,.0 Θ call K = DF d F B K,, KB K,, +DF d B K,, +F B K,, K B K,,,. V call K = DF d σ B K,, + F B σ K,, K B σ K,,.. Wzory.07 -. wynikają bezpośrednio z.06 wszystkie pochodne cząstkowe zostały już obliczone w podrozdziale.. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.06, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask oraz kurs forward F = F bid, a ponadto we wzorach na B K,, i B K,, uwzględniamy F = F bid : V bid callk = DF d,ask F bid B K,, KB K,,..3 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.06, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid oraz kurs forward F = F ask, a ponadto we wzorach na B K,, i B K,, uwzględniamy F = F ask : V ask call K = DF d,bid F ask B K,, KB K,,..4 0

Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.07 -. z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask.. Opcja put. Dodatkowy parametr: K > 0 cena wykonania. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H put S T, K = K S T ST <K}..5 V put K = e r dτ F N dk, KN dk,..6 Powyższy wzór pochodzi z [8]; można go znaleźć także w [], [3] oraz [5], jednak występuje on tam pod nieco innymi postaciami m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Po uwzględnieniu w.6 oznaczeń z pierwszego rozdziału dostajemy V put K = DF d F N dk, KN dk, = DF d F B K,, KB K,,..7 Parametry greckie: put K = DF d x B K,, + F B x K,, K B x K,,,.8 F putk = DF d B K,, + F B K,, K B K,,,.9 F Γ put K = DF d x B K,, + B x x K,, + F B x K,, K B x K,,,.0 F Γ put K = DF d B K,, + B x K,, + F B K,, K B K,,,. Θ put K = DF d F B K,, KB K,, +DF d B K,, +F B K,, K B K,,,. V put K = DF d σ B K,, + F B σ K,, K B σ K,,..3 Wzory.8 -.3 wynikają bezpośrednio z.7 wszystkie pochodne cząstkowe zostały już obliczone w podrozdziale.. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.7, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask oraz kurs forward F = F ask, a ponadto we wzorach na B K,, i B K,, uwzględniamy F = F ask : V bid put K = DF d,ask F ask B K,, KB K,,..4 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.7, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid oraz kurs forward F = F bid, a ponadto we wzorach na B K,, i B K,, uwzględniamy F = F bid : V ask put K = DF d,bid F bid B K,, KB K,,..5 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.8 -.3 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask..3. Portfele opcji call i put W dalszej kolejności opiszemy kilka innych popularnych opcji. Składają się one z długich i krótkich pozycji w call i put, dzięki czemu ich wartości i parametry greckie będziemy mogli łatwo obliczyć, dodając i odejmując odpowiednie wielkości obliczone dla opcji kupna i sprzedaży.

3. Opcja risk reversal. Dodatkowe parametry: K, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: H riskrev S T, K, K = S T K ST >K } K S T ST <K } = H call S T, K H put S T, K..6 Wartość w dowolnym momencie t [0, T : Parametry greckie: V riskrev K, K = V call K V put K..7 riskrev K, K = call K put K,.8 F riskrev K, K = F call K F putk,.9 Γ riskrev K, K = Γ call K Γ put K,.30 Γ F riskrev K, K = Γ F call K Γ F putk,.3 Θ riskrev K, K = Θ call K Θ put K,.3 V riskrev K, K = V call K V put K..33 Wzory.7 -.33 wynikają bezpośrednio z.6. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.7, przy czym uwzględniamy w nim ceny bid instrumentów z długą pozycją i ceny ask instrumentów z krótką pozycją: V bid riskrevk, K = V bid callk V ask put K..34 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.7, przy czym uwzględniamy w nim ceny ask instrumentów z długą pozycją i cenę ask instrumentów z krótką pozycją: V ask riskrevk, K = V ask call K V bid put K..35 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.8 -.33 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask. 4. Opcja straddle. Dodatkowy parametr: K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: H straddle S T, K = S T K ST >K} + K S T ST <K} = H call S T, K + H put S T, K..36 Wartość w dowolnym momencie t [0, T : Parametry greckie: V straddle K = V call K + V put K..37 straddle K = call K + put K,.38 F straddle K = F call K + F putk,.39 Γ straddle K = Γ call K + Γ put K,.40 Γ straddle K F = Γ F call K + ΓF putk,.4 Θ straddle K = Θ call K + Θ put K,.4 V straddle K = V call K + V put K..43 Wzory.37 -.43 wynikają bezpośrednio z.36. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.37, przy czym uwzględniamy w nim ceny bid wszystkich instrumentów: VstraddleK bid = VcallK bid + Vput bid K..44

Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.37, przy czym uwzględniamy w nim ceny ask wszystkich instrumentów: VstraddleK ask = Vcall ask K + Vput ask K..45 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.38 -.43 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask. 5. Opcja strangle. Dodatkowe parametry: K, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: H strangle S T, K, K = S T K ST >K } + K S T ST <K } = H call S T, K + H put S T, K..46 Wartość w dowolnym momencie t [0, T : Parametry greckie: V strangle K, K = V call K + V put K..47 strangle K, K = call K + put K,.48 F strangle K, K = F call K + F putk,.49 Γ strangle K, K = Γ call K + Γ put K,.50 Γ F strangle K, K = Γ F call K + Γ F putk,.5 Θ strangle K, K = Θ call K + Θ put K,.5 V strangle K, K = V call K + V put K..53 Wzory.47 -.53 wynikają bezpośrednio z.46. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.47, przy czym uwzględniamy w nim ceny bid wszystkich instrumentów: VstrangleK bid, K = VcallK bid + Vput bid K..54 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.47, przy czym uwzględniamy w nim ceny ask wszystkich instrumentów: VstrangleK ask, K = Vcall ask K + Vput ask K..55 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.48 -.53 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask. 6. Opcja butterfly. Dodatkowe parametry: K, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: H butterfly S T, K, K = S T K ST >K } + S T K ST >K }+.56 S T K + K ST > K +K } = H calls T, K + H call S T, K H call S T, K + K..57 Wartość w dowolnym momencie t [0, T : Parametry greckie: V butterfly K, K = V call K + V call K V call K + K..58 butterfly K, K = call K + call K call K + K,.59 F butterfly K, K = F call K + F call K F call K + K,.60 Γ butterfly K, K = Γ call K + Γ call K Γ call K + K,.6 3

Γ F butterfly K, K = Γ F call K + Γ F call K Γ F call K + K,.6 Θ butterfly K, K = Θ call K + Θ call K Θ call K + K,.63 V butterfly K, K = V call K + V call K V call K + K..64 Wzory.58 -.64 wynikają bezpośrednio z.56 i.57. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.58, przy czym uwzględniamy w nim ceny bid instrumentów z długą pozycją i ceny ask instrumentów z krótką pozycją: VbutterflyK bid, K = VcallK bid + VcallK bid Vcall ask K + K..65 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.58, przy czym uwzględniamy w nim ceny ask instrumentów z długą pozycją i cenę ask instrumentów z krótką pozycją: VbutterflyK ask, K = Vcall ask K + Vcall ask K Vcall bid K + K..66 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.59 -.64 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask. 7. Opcja seagull. Dodatkowe parametry: K, K, K 3 > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: H seagull S T, K, K, K 3 = S T K ST >K } S T K 3 ST >K 3}+.67 K S T ST <K } = H call S T, K H call S T, K 3 H put S T, K..68 Wartość w dowolnym momencie t [0, T : Parametry greckie: V seagull K, K, K 3 = V call K V call K 3 V put K..69 seagull K, K, K 3 = call K call K 3 put K,.70 F seagull K, K, K 3 = F call K F call K 3 F putk,.7 Γ seagull K, K, K 3 = Γ call K Γ call K 3 Γ put K,.7 Γ F seagull K, K, K 3 = Γ F call K Γ F call K 3 Γ F putk,.73 Θ seagull K, K, K 3 = Θ call K Θ call K 3 Θ put K,.74 V seagull K, K, K 3 = V call K V call K 3 V put K..75 Wzory.69 -.75 wynikają bezpośrednio z.67 i.68. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.69, przy czym uwzględniamy w nim ceny bid instrumentów z długą pozycją i ceny ask instrumentów z krótką pozycją: V bid seagullk, K = V bid callk V ask call K 3 V ask put K..76 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.69, przy czym uwzględniamy w nim ceny ask instrumentów z długą pozycją i cenę ask instrumentów z krótką pozycją: V ask seagullk, K = V ask call K V bid callk 3 V bid put K..77 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.70 -.75 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask. 4

.4. Opcje digital Przechodzimy od omówienia opcji egzotycznych. Na początek przedstawimy cztery instrumenty typu digital opcje binarne. Wzory na ich ceny wyprowadza się analogicznie jak w przypadku call i put odpowiednie formuły przedstawione są np. w [3]. 8. Opcja cash-or-nothing call. Dodatkowe parametry: K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty FOR: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H concall S T, K = ST >K}..78 V concall K = e r dτ N dk,..79 Powyższy wzór pochodzi z [3]; można go znaleźć także w [6], jednak występuje on tam pod nieco inną postacią m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Po uwzględnieniu w.79 oznaczeń z pierwszego rozdziału dostajemy V concall K = DF d N dk, = DF d B K,,..80 Parametry greckie: B concall K = DF d K,,, x.8 F concall K = DF B d K,,,.8 B Γ concall K = DF d K,,,.83 x Γ F concall K = DF B d K,,,.84 Θ concall K = DF d B B K,, + DF d K,,,.85 B V concall K = DF d K,,..86 σ Wzory.8 -.86 wynikają bezpośrednio z.80 wszystkie pochodne cząstkowe zostały już obliczone w podrozdziale.. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.80, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask oraz we wzorze na B K,, uwzględniamy F = F bid : V bid concallk = DF d,ask B K,,..87 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.80, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid oraz we wzorze na B K,, uwzględniamy F = F ask : V ask concallk = DF d,bid B K,,..88 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.8 -.86 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask. 9. Opcja cash-or-nothing put. Dodatkowe parametry: K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty FOR: H conput S T, K = ST <K}..89 5

Wartość w dowolnym momencie t [0, T : V conput K = e r dτ N dk,..90 Powyższy wzór pochodzi z [3]; można go znaleźć także w [6], jednak występuje on tam pod nieco inną postacią m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Po uwzględnieniu w.90 oznaczeń z pierwszego rozdziału dostajemy V conput K = DF d N dk, = DF d B K,,..9 Parametry greckie: B conput K = DF d K,,,.9 x F B conputk = DF d K,,,.93 B Γ conput K = DF d K,,,.94 x Γ F Θ conput K = DF d B conputk = DF d K,,,.95 B B K,, DF d K,,,.96 B V conput K = DF d K,,..97 σ Wzory.9 -.97 wynikają bezpośrednio z.9 wszystkie pochodne cząstkowe zostały już obliczone w podrozdziale.. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.9, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask oraz we wzorze na B K,, uwzględniamy F = F ask : V ask conputk = DF d,ask B K,,..98 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.9, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid oraz we wzorze na B K,, uwzględniamy F = F bid : V ask conputk = DF d,bid B K,,..99 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.9 -.97 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask. 0. Opcja asset-or-nothing call. Dodatkowy parametr: K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H aoncall S T, K = S T ST >K}..00 V aoncall K = e r dτ F N dk,..0 Powyższy wzór pochodzi z [3]; można go znaleźć także w [6], jednak występuje on tam pod nieco inną postacią m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Po uwzględnieniu w.0 oznaczeń z pierwszego rozdziału dostajemy V aoncall K = DF d F N dk, = DF d F B K,,..0 Parametry greckie: aoncall K = DF d x B K,, + F B x K,,,.03 6

F aoncall K = DF d B K,, + F B K,,,.04 F Γ aoncall K = DF d x B K,, + x F Γ F aoncall K = DF d B K,, + B x K,, + F B x K,,,.05 B K,, + F B x K,,,.06 Θ aoncall K = DF d F B K,, + DF d B K,, + F B K,,,.07 V aoncall K = DF d σ B K,, + F B σ K,,..08 Wzory.03 -.08 wynikają bezpośrednio z.0 wszystkie pochodne cząstkowe zostały już obliczone w podrozdziale.. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.0, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask oraz kurs forward F = F bid, a ponadto we wzorze na B K,, uwzględniamy F = F bid : V bid aoncallk = DF d,ask F bid B K,,..09 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.0, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid oraz kurs forward F = F ask, a ponadto we wzorze na B K,, uwzględniamy F = F ask : V ask aoncallk = DF d,bid F ask B K,,..0 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.03 -.08 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask.. Opcja asset-or-nothing put. Dodatkowy parametr: K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H aonput S T, K = S T ST <K}.. V aonput K = e r dτ F N dk,.. Powyższy wzór pochodzi z [3]; można go znaleźć także w [6], jednak występuje on tam pod nieco inną postacią m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Po uwzględnieniu w. oznaczeń z pierwszego rozdziału dostajemy Parametry greckie: V aonput K = DF d F N dk, = DF d F B K,,..3 aonput K = DF d x B K,, F B x K,,,.4 F aonputk = DF d B K,, F B K,,,.5 Γ aonput K = DF d F x B K,, B x x K,, F B x K,,,.6 Γ F aonputk = DF d F x B K,, B x x K,, F B x K,,,.7 Θ aonput K = DF d F B K,, + DF d B K,, F B K,,,.8 V aonput K = DF d σ B K,, F B σ K,,..9 Wzory.4 -.9 wynikają bezpośrednio z.3 wszystkie pochodne cząstkowe zostały już obliczone w podrozdziale.. 7

Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.3, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask oraz kurs forward F = F ask, a ponadto we wzorze na B K,, uwzględniamy F = F ask : V bid aonputk = DF d,ask F ask B K,,..0 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.3, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid oraz kurs forward F = F bid, a ponadto we wzorze na B K,, uwzględniamy F = F bid : V ask aonputk = DF d,bid F bid B K,,.. Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.4 -.9 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask..5. Opcje barierowe z barierą europejską Opiszemy teraz opcje barierowe. W przypadku bariery europejskiej instrument taki można przedstawić jako złożenie opcji binarnej z call lub put. Dzięki temu w celu obliczenia ceny i parametrów greckich możemy skorzystać z wcześniejszych wzorów.. Opcja down-and-out call z barierą typu europejskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: H doeucall S T, B, K = S T K ST >K} ST >B} = S T K ST >maxb,k}.. Jeśli B < K, to oczywiście H doeucall S T, B, K = H call S T, K. Jeśli natomiast B K, to H doeucall S T, B, K = S T K ST >B} = S T B ST >B} + B K ST >B} =.3 Stąd otrzymujemy = H call S T, B + B K H concall S T, B..4 H doeucall S T, B, K = Hcall S T, K dla B < K, H call S T, B + B K H concall S T, B dla B K..5 Wartość w dowolnym momencie t [0, T : V doeucall B, K = Vcall K dla B < K, V call B + B K V concall B dla B K..6 Parametry greckie: call K dla B < K, doeucall B, K =.7 call B + B K concall B dla B K, F F doeucall B, K = call K dla B < K, F call B + B K F concall B dla B K,.8 Γcall K dla B < K, Γ doeucall B, K =.9 Γ call B + B K Γ concall B dla B K, Γ F Γ F doeucall B, K = call K dla B < K, Γ F call B + B K ΓF concall B dla B K,.30 Θcall K dla B < K, Θ doeucall B, K =.3 Θ call B + B K Θ concall B dla B K, Vcall K dla B < K. V doeucall B, K =.3 V call B + B K V concall B dla B K, 8

Wzory.6 -.3 wynikają bezpośrednio z.5. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.6, przy czym uwzględniamy w nim ceny bid wszystkich instrumentów: VdoeucallB, bid V bid K = call K dla B < K, Vcall bid bid B + B K Vconcall B dla B K..33 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.6, przy czym uwzględniamy w nim ceny ask wszystkich instrumentów: VdoeucallB, ask V ask K = call K dla B < K, Vcall ask ask B + B K Vconcall B dla B K..34 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.7 -.3 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask. 3. Opcja up-and-in call z barierą typu europejskiego. Opcja ta ma taką samą wypłatę, cenę i parametry greckie jak down-and-out call z punktu. gdyż bariera jest obserwowana tylko w chwili końcowej T. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : Parametry greckie: H uieucall S T, B, K = H doeucall S T, B, K..35 V uieucall B, K = V doeucall B, K..36 uieucall B, K = doeucall B, K,.37 F uieucall B, K = F doeucall B, K,.38 Γ uieucall B, K = Γ doeucall B, K,.39 Γ F uieucall B, K = ΓF doeucall B, K,.40 Θ uieucall B, K = Θ doeucall B, K,.4 V uieucall B, K = V doeucall B, K..4 Również ceny i parametry greckie bid i ask są takie same jak dla opcji down-and-out call. 4. Opcja up-and-out call z barierą typu europejskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: H uoeucall S T, B, K = S T K ST >K} ST <B} = S T K K<ST <B}..43 Jeśli B < K, to oczywiście H uoeucall S T, B, K = 0. Jeśli natomiast B K, to H uoeucall S T, B, K = S T K ST >K} S T K ST >B} = S T K ST >K}+.44 S T B ST >B} + B K ST >B} = H call S T, K H call S T, B + K B H concall S T, B..45 Stąd otrzymujemy H uoeucall S T, B, K = Hcall S T, K H call S T, B + K B H concall S T, B dla B < K, 0 dla B K..46 Wartość w dowolnym momencie t [0, T : V uoeucall B, K = Vcall K V call B + K B V concall B dla B < K, 0 dla B K..47 9

Parametry greckie: uoeucall B, K = F call K call B + K B concall B dla B < K, 0 dla B K, F uoeucall B, K = call K F call B + K B F concall B dla B < K, 0 dla B K, Γcall K Γ Γ uoeucall B, K = call B + K B Γ concall B dla B < K, 0 dla B K,.48.49.50 Γ F F Γ uoeucall B, K = call K ΓF call B + K B ΓF concall B dla B < K, 0 dla B K, Θcall K Θ Θ uoeucall B, K = call B + K B Θ concall B dla B < K, 0 dla B K, Vcall K V V uoeucall B, K = call B + K B V concall B dla B < K, 0 dla B K..5.5.53 Wzory.47 -.53 wynikają bezpośrednio z.46. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.47, przy czym uwzględniamy w nim ceny bid instrumentów z długą pozycją i ceny ask instrumentów z krótką pozycją: V bid uoeucallb, K = V bid ask bid call K Vcall B + K B Vconcall B dla B < K, 0 dla B K..54 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.47, przy czym uwzględniamy w nim ceny ask instrumentów z długą pozycją i ceny bid instrumentów z krótką pozycją: V ask uoeucallb, K = V ask bid ask call K Vcall B + K B Vconcall B dla B < K, 0 dla B K..55 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.48 -.53 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask. 5. Opcja down-and-in call z barierą typu europejskiego. Opcja ta ma taką samą wypłatę, cenę i parametry greckie jak up-and-out call z punktu 4. obserwowana tylko w chwili końcowej T. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: gdyż bariera jest Wartość w dowolnym momencie t [0, T : Parametry greckie: H dieucall S T, B, K = H uoeucall S T, B, K..56 V dieucall B, K = V uoeucall B, K..57 dieucall B, K = uoeucall B, K,.58 F dieucall B, K = F uoeucall B, K,.59 Γ dieucall B, K = Γ uoeucall B, K,.60 Γ F dieucall B, K = ΓF uoeucall B, K,.6 Θ dieucall B, K = Θ uoeucall B, K,.6 V dieucall B, K = V uoeucall B, K..63 Również ceny i parametry greckie bid i ask są takie same jak dla opcji up-and-out call. 0

6. Opcja down-and-out put z barierą typu europejskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: H doeuput S T, B, K = K S T ST <K} ST >B} = K S T B<ST <K}..64 Jeśli B K, to oczywiście H doeuput S T, B, K = 0. Jeśli natomiast B < K, to H doeuput S T, B, K = K S T ST <K} K S T ST <B} = K S T ST <K}+.65 B S T ST <B} + K B ST <B} = H put S T, K H put S T, B K B H conput S T, B..66 Stąd otrzymujemy H doeuput S T, B, K = Hput S T, K H put S T, B K B H conput S T, B dla B < K, 0 dla B K..67 Wartość w dowolnym momencie t [0, T : V doeuput B, K = Vput K V put B K B V conput B dla B < K, 0 dla B K..68 Parametry greckie: doeuput B, K = F put K put B K B conput B dla B < K, 0 dla B K, F doeuput B, K = putk F putb K B F conputb dla B < K, 0 dla B K, Γput K Γ Γ doeuput B, K = put B K B Γ conput B dla B < K, 0 dla B K,.69.70.7 Γ F F Γ doeuput B, K = putk Γ F putb K B Γ F conputb dla B < K, 0 dla B K, Θput K Θ Θ doeuput B, K = put B K B Θ conput B dla B < K, 0 dla B K, Vput K V V doeuput B, K = put B K B V conput B dla B < K, 0 dla B K..7.73.74 Wzory.68 -.74 wynikają bezpośrednio z.67. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.68, przy czym uwzględniamy w nim ceny bid instrumentów z długą pozycją i ceny ask instrumentów z krótką pozycją: V bid doeuputb, K = V bid put K V ask put B K B V ask conputb dla B < K, 0 dla B K..75 Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.68, przy czym uwzględniamy w nim ceny ask instrumentów z długą pozycją i ceny bid instrumentów z krótką pozycją: V ask doeuputb, K = V ask put K V bid put B K B V bid conputb dla B < K, 0 dla B K..76 Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.69 -.74 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask. 7. Opcja up-and-in put z barierą typu europejskiego. Opcja ta ma taką samą wypłatę, cenę i parametry greckie jak down-and-out put z punktu 6. gdyż bariera jest

obserwowana tylko w chwili końcowej T. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : Parametry greckie: H uieuput S T, B, K = H doeuput S T, B, K..77 V uieuput B, K = V doeuput B, K..78 uieuput B, K = doeuput B, K,.79 F uieuput B, K = F doeuput B, K,.80 Γ uieuput B, K = Γ doeuput B, K,.8 Γ F uieuput B, K = ΓF doeuput B, K,.8 Θ uieuput B, K = Θ doeuput B, K,.83 V uieuput B, K = V doeuput B, K..84 Również ceny i parametry greckie bid i ask są takie same jak dla opcji down-and-out put. 8. Opcja up-and-out put z barierą typu europejskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: H uoeuput S T, B, K = K S T ST <K} ST <B} = K S T ST <minb,k} =.85 Jeśli B K, to oczywiście H uoeuput S T, B, K = H put S T, K. Jeśli natomiast B < K, to H uoeuput S T, B, K = K S T ST <B} = B S T ST <B} + K B ST <B} =.86 Stąd otrzymujemy = H put S T, B + K B H conput S T, B..87 H uoeuput S T, B, K = Hput S T, B + K B H conput S T, B dla B < K, H put S T, K dla B K..88 Wartość w dowolnym momencie t [0, T : V uoeuput B, K = Vput B + K B V conput B dla B < K, V put K dla B K..89 Parametry greckie: uoeuput B, K = put B + K B conput B dla B < K, put K dla B K, F uoeuputb, F K = putb + K B F conputb dla B < K, putk F dla B K, Γput B + K B Γ Γ uoeuput B, K = conput B dla B < K, Γ put K dla B K, Γ F uoeuputb, Γ F K = putb + K B Γ F conputb dla B < K, Γ F putk dla B K, Θput B + K B Θ Θ uoeuput B, K = conput B dla B < K, Θ put K dla B K,.90.9.9.93.94

Vput B + K B V V uoeuput B, K = conput B dla B < K, V put K dla B K,.95 Wzory.89 -.95 wynikają bezpośrednio z.88. Obliczając cenę bid należy skorzystać ze wzoru.89, przy czym uwzględniamy w nim ceny bid wszystkich instrumentów: V VuoeuputB, bid bid put B + K B V K = conputb bid dla B < K, Vput bid.96 K dla B K. Obliczając cenę ask należy skorzystać ze wzoru.89, przy czym uwzględniamy w nim ceny ask wszystkich instrumentów: V VuoeuputB, ask ask put B + K B V K = conputb ask dla B < K, Vput ask.97 K dla B K. Obliczając parametry greckie bid i ask należy skorzystać ze wzorów.90 -.95 z uwzględnieniem takich samych uwag jak w przypadku cen bid oraz ask. 9. Opcja down-and-in put z barierą typu europejskiego. Opcja ta ma taką samą wypłatę, cenę i parametry greckie jak up-and-out put z punktu 8. obserwowana tylko w chwili końcowej T. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: gdyż bariera jest Wartość w dowolnym momencie t [0, T : Parametry greckie: H dieuput S T, B, K = H uoeuput S T, B, K..98 V dieuput B, K = V uoeuput B, K..99 dieuput B, K = uoeuput B, K,.300 F dieuput B, K = F uoeuputb, K,.30 Γ dieuput B, K = Γ uoeuput B, K,.30 Γ F dieuput B, K = ΓF uoeuputb, K,.303 Θ dieuput B, K = Θ uoeuput B, K,.304 V dieuput B, K = V uoeuput B, K..305 Również ceny i parametry greckie bid i ask są takie same jak dla opcji up-and-out put..6. Opcje barierowe z barierą amerykańską W przypadku opcji barierowych z barierą typu amerykańskiego wyprowadzenie jest bardziej skomplikowane. Wzory na wartości i parametry greckie tych opcji można znaleźć np. w [7]. Znajdują się one także w [3], przy czym są one tam zapisane w innych postaciach. Ponadto wzory dla takich opcji podane są w [], [] oraz [6], jednak należałoby porównać ich postać z postacią z wcześniejszych dwóch pozycji. 0. Opcja down-and-out call z barierą typu amerykańskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H doamcall S T, B, K = S T K ST >K} mint [0,T ] S t>b}..306 V doamcall B, K = DFd A K, A 3 B, K,, dla B < K, DF d A B, K, A 4 B, K,, dla B K..307 3

Powyższy wzór pochodzi z [7]; można go znaleźć także w [3], jednak występuje on tam przy nieco innych oznaczeniach m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Postaci parametrów greckich wynikają bezpośrednio ze wzoru.307, który - tak jak w przypadku wcześniejszych opcji, np. call - należy zróżniczkować względem odpowiednich zmiennych wszystkie pochodne cząstkowe obliczono już w podrozdziale.. Program w obecnej wersji oblicza cenę bid a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie bid podobnie jak dla opcji call: korzystając ze wzoru.307, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F bid, DF d = DF d,bid oraz DF f = DF f,ask. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. Program w obecnej wersji oblicza cenę ask a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie ask podobnie jak dla opcji call: korzystając ze wzoru.307, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F ask, DF d = DF d,ask oraz DF f = DF f,bid. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania.. Opcja up-and-in call z barierą typu amerykańskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H uiamcall S T, B, K = S T K ST >K} maxt [0,T ] S t>b}..308 V uiamcall B, K = DFd A K, dla B < K, DF d A B, K, A 3 B, K,, + A 4 B, K,, dla B K,.309 Powyższy wzór pochodzi z [7]; można go znaleźć także w [3], jednak występuje on tam przy nieco innych oznaczeniach m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Postaci parametrów greckich wynikają bezpośrednio ze wzoru.309, który - tak jak w przypadku wcześniejszych opcji, np. call - należy zróżniczkować względem odpowiednich zmiennych wszystkie pochodne cząstkowe obliczono już w podrozdziale.. Program w obecnej wersji oblicza cenę bid a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie bid podobnie jak dla opcji call: korzystając ze wzoru.309, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F bid, DF d = DF d,bid oraz DF f = DF f,ask. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. Program w obecnej wersji oblicza cenę ask a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie ask podobnie jak dla opcji call: korzystając ze wzoru.309, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F ask, DF d = DF d,ask oraz DF f = DF f,bid. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania.. Opcja up-and-out call z barierą typu amerykańskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H uoamcall S T, B, K = S T K ST >K} maxt [0,T ] S t<b}..30 V uoamcall B, K = 0 dla B < K, DF d A K, A B, K, + A 3 B, K,, A 4 B, K,, dla B K..3 Powyższy wzór pochodzi z [7]; można go znaleźć także w [3], jednak występuje on tam przy nieco innych oznaczeniach m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Postaci parametrów greckich wynikają bezpośrednio ze wzoru.3, który - tak jak w przypadku wcześniejszych opcji, np. call - należy zróżniczkować względem odpowiednich zmiennych wszystkie pochodne cząstkowe obliczono już w podrozdziale.. Program w obecnej wersji oblicza cenę bid a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie bid podobnie jak dla opcji call: korzystając ze wzoru.3, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F bid, DF d = DF d,bid oraz 4

DF f = DF f,ask. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. Program w obecnej wersji oblicza cenę ask a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie ask podobnie jak dla opcji call: korzystając ze wzoru.3, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F ask, DF d = DF d,ask oraz DF f = DF f,bid. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. 3. Opcja down-and-in call z barierą typu amerykańskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H diamcall S T, B, K = S T K ST >K} mint [0,T ] S t<b}..3 V diamcall B, K = DFd A 3 B, K,, dla B < K, DF d A K, A B, K, + A 4 B, K,, dla B K..33 Powyższy wzór pochodzi z [7]; można go znaleźć także w [3], jednak występuje on tam przy nieco innych oznaczeniach m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Postaci parametrów greckich wynikają bezpośrednio ze wzoru.33, który - tak jak w przypadku wcześniejszych opcji, np. call - należy zróżniczkować względem odpowiednich zmiennych wszystkie pochodne cząstkowe obliczono już w podrozdziale.. Program w obecnej wersji oblicza cenę bid a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie bid podobnie jak dla opcji call: korzystając ze wzoru.33, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F bid, DF d = DF d,bid oraz DF f = DF f,ask. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. Program w obecnej wersji oblicza cenę ask a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie ask podobnie jak dla opcji call: korzystając ze wzoru.33, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F ask, DF d = DF d,ask oraz DF f = DF f,bid. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. 4. Opcja down-and-out put z barierą typu amerykańskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H doamput S T, B, K = K S T ST <K} mint [0,T ] S t>b}..34 V doamput B, K = DFd A K, A B, K, + A 3 B, K,, A 4 B, K,, dla B < K, 0 dla B K..35 Powyższy wzór pochodzi z [7]; można go znaleźć także w [3], jednak występuje on tam przy nieco innych oznaczeniach m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Postaci parametrów greckich wynikają bezpośrednio ze wzoru.35, który - tak jak w przypadku wcześniejszych opcji, np. put - należy zróżniczkować względem odpowiednich zmiennych wszystkie pochodne cząstkowe obliczono już w podrozdziale.. Program w obecnej wersji oblicza cenę bid a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie bid podobnie jak dla opcji put: korzystając ze wzoru.35, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F ask, DF d = DF d,ask oraz DF f = DF f,bid. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. Program w obecnej wersji oblicza cenę ask a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie ask podobnie jak dla opcji put: korzystając ze wzoru.35, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F bid, DF d = DF d,bid oraz DF f = DF f,ask. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. 5. Opcja up-and-in put z barierą typu amerykańskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. 5

Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H uiamput S T, B, K = K S T ST <K} maxt [0,T ] S t>b}..36 V uiamput B, K = DFd A K, A B, K, + A 4 B, K,, dla B < K, DF d A 3 B, K,, dla B K..37 Powyższy wzór pochodzi z [7]; można go znaleźć także w [3], jednak występuje on tam przy nieco innych oznaczeniach m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Postaci parametrów greckich wynikają bezpośrednio ze wzoru.37, który - tak jak w przypadku wcześniejszych opcji, np. put - należy zróżniczkować względem odpowiednich zmiennych wszystkie pochodne cząstkowe obliczono już w podrozdziale.. Program w obecnej wersji oblicza cenę bid a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie bid podobnie jak dla opcji put: korzystając ze wzoru.37, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F ask, DF d = DF d,ask oraz DF f = DF f,bid. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. Program w obecnej wersji oblicza cenę ask a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie ask podobnie jak dla opcji put: korzystając ze wzoru.37, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F bid, DF d = DF d,bid oraz DF f = DF f,ask. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. 6. Opcja up-and-out put z barierą typu amerykańskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H uoamput S T, B, K = K S T ST <K} maxt [0,T ] S t<b}..38 V uoamput B, K = DFd A B, K, A 4 B, K,, dla B < K, DF d A K, A 3 B, K,, dla B K..39 Powyższy wzór pochodzi z [7]; można go znaleźć także w [3], jednak występuje on tam przy nieco innych oznaczeniach m. in. pojawia się tam wolna od ryzyka stopa procentowa r zamiast r d oraz stopa dywidendy δ zamiast r f. Postaci parametrów greckich wynikają bezpośrednio ze wzoru.39, który - tak jak w przypadku wcześniejszych opcji, np. put - należy zróżniczkować względem odpowiednich zmiennych wszystkie pochodne cząstkowe obliczono już w podrozdziale.. Program w obecnej wersji oblicza cenę bid a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie bid podobnie jak dla opcji put: korzystając ze wzoru.39, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,ask, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F ask, DF d = DF d,ask oraz DF f = DF f,bid. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. Program w obecnej wersji oblicza cenę ask a następnie, poprzez różniczkowanie, parametry greckie ask podobnie jak dla opcji put: korzystając ze wzoru.39, przy czym bierzemy w nim czynnik dyskontowy DF d = DF d,bid, a ponadto we wzorach na A K,, A B, K,, A 3 B, K,, i A 4 B, K,, uwzględniamy F = F bid, DF d = DF d,bid oraz DF f = DF f,ask. Poprawność tego postępowania jest do zweryfikowania. 7. Opcja down-and-in put z barierą typu amerykańskiego. Dodatkowe parametry: B > 0 bariera, K > 0. Wypłata dla długiej pozycji w chwili T w jednostkach waluty DOM: Wartość w dowolnym momencie t [0, T : H diamput S T, B, K = K S T ST <K} mint [0,T ] S t<b}..30 V diamput B, K = DFd A B, K, A 3 B, K,, + A 4 B, K,, dla B < K, DF d A K, dla B K..3 6