STRUKTURALNE MODELE SZEREGÓW CZASOWYCH W ESTYMACJI STOPY BEZROBOCIA W DEZAGREGACJI NA WOJEWÓDZTWA,

PRZEGLD STATYSTYCZNY R. LXI ZESZYT 4 2014 KAMIL WILAK STRUKTURALNE MODELE SZEREGÓW CZASOWYCH W ESTYMACJI STOPY BEZROBOCIA W DEZAGREGACJI NA WOJEWÓDZTWA, PE I WIEK 1. WSTP Jednym z podstawowych wskaników opisujcych sytuacj na rynku pracy jest stopa bezrobocia, okrelona jako stosunek liczby osób bezrobotnych do liczby osób aktywnych zawodowo. Gównymi ródami wiedzy na temat stopy bezrobocia w Polsce s Badanie Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci (BAEL) oraz rejestr osób bezrobotnych. W przypadku BAEL, za bezrobotne uwaa si te osoby w wieku 15 74 lat, które w badanym tygodniu nie pracoway, lecz aktywnie poszukiway pracy i byy gotowe podj j w okresie 2 tygodni. Osobami aktywnymi zawodowo wg BAEL s wszystkie osoby pracujce lub bezrobotne (GUS 2014a). Natomiast w przypadku bezrobocia rejestrowanego, za bezrobotne uwaa si osoby zarejestrowane w powiatowym urzdzie pracy, za osobami aktywnymi zawodowo s osoby bezrobotne i pracujce w jednostkach sektora publicznego lub prywatnego (GUS 2014b). Rónice w denicjach osób bezrobotnych i aktywnych zawodowo sprawiaj, e stopa bezrobocia rejestrowanego moe znacznie róni si od stopy bezrobocia wg BAEL. Do szacowania stopy bezrobocia na podstawie BAEL, Gówny Urzd Statystyczny stosuje estymacj bezporedni. Estymacja ta wykorzystuje tylko informacje z wylosowanej próby. Zalet tego podejcia jest nieobciono estymatorów, natomiast wad jest dua wariancja w przypadku maej liczby jednostek z badanej domeny, wylosowanych do próby. Estymatory o duej wariancji uznawane s za mao precyzyjne. Domeny, w których liczba wylosowanych do badania jednostek jest tak maa, e estymacja bezporednia cechuj si zbyt ma precyzj, nazywane s maymi domenami (ang. small domain). Oszacowania stopy bezrobocia s publikowane przez GUS dla województw w domenach okrelonych oddzielnie przez pe, miejsce zamieszkania, poziom wyksztacenia. Ze wzgldu na zbyt du wariancj estymatorów bezporednich, GUS nie publikuje m.in. oszacowa dla województw w domenach okrelonych przez pe i wiek cznie. W niniejszej pracy rozwaa si estymacj stopy bezrobocia w przekroju województw dla trzech grup wieku (15 24 lat, 25 44 lat, 45 59/64 lat) z uwzgldnieniem pci, co stanowi cznie 3 x 2 = 6 domen dla województwa. W badaniu przepro-

410 Kamil Wilak wadzonym w niniejszym artykule ograniczono si do estymacji na podstawie danych z województwa wielkopolskiego. Metodami szacowania w warunkach maej liczebnoci próby zajmuje si statystyka maych obszarów (ang. small area estimation SAE), inaczej zwana statystyk maych domen lub estymacj dla maych domen. Sposobem na zwikszenie precyzji oszacowa w maych domenach jest zastosowanie bazujcej na modelach statystycznych estymacji poredniej, która wykorzystuje informacje spoza czci próby, wylosowanej z rozpatrywanej domeny. S to m.in. dane administracyjne, dane spoza badanej domeny, dane z wczeniej przeprowadzonych bada. Zmienne wykorzystane do zwikszenia precyzji estymacji badanego parametru nazywane s zmiennymi pomocniczymi. Estymacja porednia charakteryzuje si zazwyczaj mniejsz wariancj ni estymacja bezporednia, natomiast w przypadku le dobranego modelu moe cechowa si znaczn obcionoci. Przegld metod stosowanych w statystyce maych obszarów mona znale w pracach Rao (2003), Domaskiego, Pruski (2001). Zastosowanie metod statystyki maych obszarów w estymacji stropy bezrobocia na polskim rynku pracy mona znale w publikacji Goaty (2004). W literaturze wiatowej, w kontekcie estymacji poredniej charakterystyk rynku pracy, popularne jest podejcie zwane poyczaniem mocy w czasie (ang. borrowing strength across time). Polega ono na wykorzystaniu informacji z wczeniej przeprowadzonych bada, poprzez modelowanie szeregów czasowych skadajcych si z oszacowa bezporednich. W tym celu stosowane s m.in. strukturalne modele szeregów, które mona przedstawi w postaci dynamicznych modeli liniowych. Modele te zbudowane s z trendu, sezonowoci i skadnika systematycznego regresji liniowej. Zastosowanie takich modeli mona znale m.in. w pracach Brakela, Kriega (2008, 2009, 2010), Pfeffermana i in. (2005), Pfeffermana, Tillera (2006). W artykule Wilaka (2013) zastosowano strukturalny model szeregu czasowego do danych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci. Celem niniejszego artykuu jest ocena jakoci estymacji poredniej stopy bezrobocia wg BAEL w przekroju województw dla szeciu domen okrelonych przez wiek i pe, wykorzystujcej strukturalne modele szeregów czasowych. Przedmiotem badania jest take korelacja pomidzy stop bezrobocia wg BAEL a stop bezrobocia rejestrowanego. W niniejszej pracy rozwaa si wykorzystanie tej drugiej jako zmiennej pomocniczej. Werykacji poddano hipotez goszc, e estymacja porednia stopy bezrobocia w województwach dla maych domen okrelonych wedug pci i wieku, wykorzystujca strukturalne modele szeregów czasowych, cechuje si lepsz jakoci ni estymacja bezporednia. Jako estymatorów rozwaa si pod ktem ich dokadnoci i precyzji. Z dwóch estymatorów dokadniejszy jest ten, który cechuje si mniejsz obcionoci, natomiast precyzyjniejszy jest ten, którego odchylenie standardowe jest mniejsze. Dla werykacji postawionej hipotezy przeprowadzono eksperyment Monte Carlo z wykorzystaniem danych jednostkowych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci z lat 2000 2009. Na podstawie tych danych stworzono pseudo-populacj,

Strukturalne modele szeregów czasowych w estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji... 411 dla której szacowano stop bezrobocia. Porównania jakoci estymatorów porednich i bezporednich dokonano na podstawie ich obcie, odchyle standardowych, bdów redniokwadratowych i rednich bdów bezwzgldnych, wyznaczonych na podstawie eksperymentu. Metoda estymacji poredniej wykorzystana w niniejszej pracy jest zaczerpnita ze wiatowej literatury. Wkadem autora jest natomiast jej adaptacja do warunków polskich oraz ocena jakoci estymacji poredniej stopy bezrobocia w maych domenach okrelonych przez województwo, pe i wiek, wykorzystujcej t metod. Wartoci dodan jest równie fakt, e autor pracuje na danych rzeczywistych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci. 2. PRZEDSTAWIENIE MODELU Model opisany w tej czci pracy jest uproszczon, jednowymiarow wersj modelu przedstawionego przez Brakela, Kriega (2010). Uproszczenie to wie si z pominiciem w modelu korelacji midzy skadnikami trendów z rónych domen. Niech d,t oznacza parametr populacji w domenie d (d = 1,..., D) w czasie t (t = 1,..., T), a Y d,t warto estymatora bezporedniego tego parametru. Mona wtedy zapisa 1 : Y d,t = d,t + e d,t, (1) gdzie e d,t jest bdem estymacji. Na potrzeby badania zakada si, e próby w poszczególnych okresach losowane s niezalenie. Z nieobcionoci estymatora Y d,t wynika, e warto oczekiwana bdu e d,t wynosi E (e d,t ) = 0. Wariancj Var (e d,t ) mona oszacowa, uwzgldniajc przy tym schemat losowania próby. W modelu Brakela, Kriega (2010) zakada si, e parametr d,t mona przedstawi za pomoc strukturalnego modelu szeregu czasowego:, (2). (3) gdzie L d,t oznacza trend stochastyczny, S d,t sezonowo stochastyczn, x d,t zmienn pomocnicz, t wspóczynnik regresji a d,t reszty losowe, które odzwierciedlaj zmienno parametru populacji nietumaczon przez pozostae skadniki. 1 W literaturze czciej uywa si zapisu d,t = Y d,t + e d,t, natomiast na potrzeby wyprowadzenia estymatora poredniego stosuje si zapis Y d,t = d,t + e d,t.

412 Kamil Wilak Pierwszy skadnik modelu, trend stochastyczny L d,t, jest postaci 2 :, (4),, (5) gdzie R d,t jest skadnikiem losowym, który odzwierciedla nachylenie krzywej trendu, a R,d,t jest skadnikiem losowym odpowiedzialnym za zmiany tego nachylenia w czasie. Drugi skadnik modelu, sezonowo stochastyczna S d,t, to kwartalna sezonowo trygonometryczna (trigonometric seasonal) postaci 3 : gdzie dla j = 1,2:, (6),, (7),, (8) Skadniki losowe S,d,t,j i S*,d,t,j odpowiadaj za zmiany w czasie wartoci skadnika sezonowoci. W trzecim skadniku modelu, systematycznym skadniku regresji liniowej x d,t d,t, wspóczynnik regresji d,t opisany jest s za pomoc bdzenia losowego:,. (9) Zakada si brak zalenoci pomidzy skadnikami R,d,t, S,d,t,1, S*,d,t,1, S,d,t,2, S*,d,t,2,,d,t, a take brak zalenoci pomidzy skadnikami losowymi z rónych domen. Wstawiajc równanie (2) do (1) otrzymuje si strukturalny model dla szeregu czasowego oszacowa bezporednich Y d,1,..., Y d,t (d = 1,..., D):. (10) Ide estymacji poredniej parametrów populacji d,t (d = 1,..., D, t = 1,..., T) za pomoc strukturalnych modeli szeregów czasowych jest oczyszczenie oszacowa bez- 2 W literaturze mona znale równie inne propozycje trendu stochastycznego. 3 W literaturze mona znale równie inne propozycje sezonowoci stochastycznej.

Strukturalne modele szeregów czasowych w estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji... 413 porednich Y d,t z bdów oszacowa e d,t. W celu estymacji parametrów modelu (10) zakada si, e bdy oszacowa e d,t maj rozkad normalny. Wtedy suma skadnika resztowego i bdu oszacowania v d,t = d,t + e d,t ma równie rozkad normalny. Warto oczekiwana skadnika v d,t wynosi E (v d,t ) = 0, natomiast o wariancji tego skadnika Brakel, Krieg (2010) zakadali, e jest równa:. (11) gdzie jest sta, któr naley oszacowa. Oczyszczenie Y d,t z bdów oszacowa e d,t, wie si z usuniciem skadnika v d,t. A wic oprócz bdów oszacowa e d,t usuwa si take cz zmiennoci parametru populacji w postaci skadnika resztowego d,t. Std wane jest, aby skadnik v d,t by zdominowany przez e d,t. Wówczas wariancja skadnika v d,t bdzie bliska wariancji Var (e d,t ) bdu estymatora bezporedniego, co oznacza, e warto jest bliska 1. Jeeli przedstawimy strukturalny model szeregu czasowego opisanego równaniem (1) (11) za pomoc notacji macierzowej otrzymamy klasyczn posta modelu przestrzeni stanów:, (12) gdzie Z to wektor znanych wspóczynników regresji: t to wektor nieznanych parametrów stanu: T to macierz przejcia:, (13), (14), (15), (16), (17), (18), (19)

414 Kamil Wilak d,t to wektor skadników losowych, odzwierciedlajcych zmiany w czasie wartoci parametrów stanu:, (20), (21), (22). (23) Ide modeli przestrzeni stanów jest zaoenie, e obserwowana zmienna Y d,t jest zalena od nieobserwowanego wektora parametrów stanu d,t. Równanie (12), nazywane równaniem pomiarowym, okrela zaleno midzy zmienn Y d,t a wektorem stanów d,t, za wektor Z w tym równaniu skada si ze wspóczynników okrelajcych t zaleno. Równanie (13), nazywane równaniem przejcia opisuje natomiast zmiany w czasie nieobserwowanego wektora parametrów stanu d,t. Równania (12) (19) opisuj szczególny przypadek modelu z rodziny przestrzeni stanów, w którym równanie pomiarowe i równanie przejcia s liniowe a rozkad skadników losowych jest normalny. Taki model nazywany jest dynamicznym modelem liniowym. W celu oszacowania wektora d,t zastosowa mona metod zaproponowan przez Kalmana (1960), zwan ltrem Kalmana. Rekurencyjna procedura szacowania wektora d,t opierajca si na informacjach dostpnych w okresie t nazywana jest ltrowaniem. Natomiast estymacja wektora d,t z uwzgldnieniem danych dostpnych po okresie t nazywana jest wygadzaniem. Filtrowanie stosuje si do szacowania w obecnym okresie T, natomiast wygadzanie wykorzystuje si do poprawy oszacowa z wczeniejszych okresów 1,..., T 1. Dla uycia filtru Kalmana potrzebna jest znajomo hiperparametrów 4 (d = 1,..., D). W praktyce najczciej ich wartoci nie s znane, naley wic je oszacowa. Dziki zaoeniu o normalnoci reszt w przedstawionym wyej modelu, hiperparametry mona oszacowa za pomoc metody najwikszej wiarygodnoci. Naley take przyj wartoci pocztkowe wektora 5 d,0. 4 W literaturze anglojzycznej pojcie hiperparametr (ang. hyperparameter) stosuje si dla parametrów rozkadu a priori, w celu odrónienia ich od parametrów modelu. W przypadku modelu zastosowanego w artykule hiperparametry s wariancjami reszt parametrów stanów majcych normalny rozkad a priori. 5 W obliczeniach przeprowadzonych w dalszej czci opracowania przyjto domylne wartoci paczki dlm w pakiecie statystycznym R: d,0 = (0,0,0,0,0,0,0), d = 1,..., D.

Strukturalne modele szeregów czasowych w estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji... 415 Wicej na temat szacowania parametrów i hiperparametrów dynamicznych modeli liniowych mona znale w pracach Harvey a (1989), Durbina, Koopmana (2001), Petrisa i in. (2007). Oszacowanie parametru d,t otrzymane za pomoc dynamicznego modelu liniowego opisanego równaniami (12) (13) jest postaci: lub, (24) gdzie i s oszacowaniami wektora d,t uzyskane odpowiednio poprzez ltrowanie (F ltered) i wygadzanie (S smoothing). 3. KONSTRUKCJA PSEUDOPOPULACJI W dalszej czci opracowania podjto prób oceny jakoci estymacji poredniej stopy bezrobocia z wykorzystaniem dynamicznych modeli liniowych. Oceny jakoci dokonano na podstawie eksperymentu Monte Carlo. W tym celu wykorzystano dane jednostkowe z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci z lat 2000 2009. Na potrzeby eksperymentu utworzono pseudo-populacj odpowiadajc ludno- ci w wieku 15+ zamieszkujcej województwo wielkopolskie. Wagi osób biorcych udzia w BAEL z woj. wielkopolskiego zmodykowano w taki sposób, aby dla kadego kwartau t (t = 1,..., 40) i dla kadej domeny d (d = 1,..., 6), okrelonej przez pe i wiek, sumoway si do liczebnoci populacji z woj. wielkopolskiego w roku odpowiadajcym kwartaowi t i domenie d. Niech w i,d,t oznacza wag i-tej osoby z domeny d w kwartale t. Zmodykowana waga i-tej osoby wyznaczona jest w nastpujcy sposób:, (25) gdzie w i,d,t to waga i-tej osoby, N d,t to liczebno populacji 6, n d,t to liczebno próby wylosowanej do BAEL w domenie d i kwartale t, za operator [ ] oznacza zaokrglenie do caoci. Nastpnie kad jednostk i z domeny d i kwartau t zduplikowano razy, zgodnie z zasad, e osoba o wadze w reprezentuje w osób. 6 jako liczebnoci N d,t przyjto oszacowania publikowane przez Gówny Urzd Statystyczny.

416 Kamil Wilak 4. STOPA BEZROBOCIA REJESTROWANEGO JAKO ZMIENNA POMOCNICZA Konstrukcja modelu statystycznego wie si z wyborem zmiennej objaniajcej (pomocniczej). Zasadniczym wymogiem w tej kwestii jest silne skorelowanie ze zmienn objanian. Naturalnym kandydatem na zmienn pomocnicz do szacowania stopy bezrobocia wg BAEL jest stopa bezrobocia rejestrowanego. Badajc relacj midzy tymi zmiennymi w skonstruowanej pseudo-populacji, zauway mona due podobiestwo zmiennoci w przekroju domen (por. rys. 1). Model strukturalny, przedstawiony w drugiej czci tego opracowania, zawiera trend i sezonowo. Wprowadzenie stopy bezrobocia rejestrowanego do tego modelu jako zmiennej pomocniczej wymaga oczyszczenia jej z trendu i waha sezonowych. W tym celu wykorzystano model opisany równaniami (12) (23) z pominiciem skadnika systematycznego regresji liniowej. Po oczyszczeniu z trendu i sezonowoci, a nastpnie po znormalizowaniu, relacje midzy stop bezrobocia i stop bezrobocia rejestrowanego wskazuj na siln korelacj (rys. 2, rys. 3, tab. 1). Szczególnie silna zaleno wystpuje w domenach kobiet w wieku 25 44 lat i mczyzn w wieku 25 44 lat. Rysunek 1. Stopa bezrobocia wg BAEL i stopa bezrobocia rejestrowanego w pseudo-populacji ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci.

Strukturalne modele szeregów czasowych w estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji... 417 Rysunek 2. Stopa bezrobocia wg BAEL i stopa bezrobocia rejestrowanego w pseudo-populacji, po oczyszczeniu z trendu i sezonowoci oraz znormalizowaniu ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci. Rysunek 3.Wykres korelacyjny stopy bezrobocia wg BAEL i stopy bezrobocia rejestrowanego w pseudo-populacji, po oczyszczeniu z trendu i sezonowoci ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci.

418 Kamil Wilak Tabela 1. Wspóczynniki korelacji liniowej midzy oczyszczonymi z trendu i sezonowoci stopami bezrobocia wg BAEL i bezrobocia rejestrowanego Domena Wspóczynnik korelacji liniowej 1: mczyni 15 24 lat 0,69 2: mczyni 25 44 lat 0,86 3: mczyni 45 64 lat 0,82 4: kobiety 15 24 lat 0,72 5: kobiety 25 44 lat 0,90 6: kobiety 45 59 lat 0,76 ródo: opracowanie wasne na podstawie Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci. 5. EKSPERYMENT MONTE CARLO Werykujc przydatno strukturalnych modeli szeregów czasowych do szacowania stopy bezrobocia, przeprowadzono eksperyment Monte Carlo. W eksperymencie tym szacowanymi parametrami s kwartalne stopy bezrobocia w pseudo-populacji w nastpujcych szeciu domenach: 1. mczyni w wieku 15 24 lat, 2. mczyni w wieku 25 44 lat, 3. mczyni w wieku 45 64 lat, 4. kobiety w wieku 15 24 lat, 5. kobiety w wieku 25 44 lat, 6. kobiety w wieku 45 59 lat. Jako zmienn pomocnicz w estymacji poredniej stopy bezrobocia wg BAEL wykorzystano stop bezrobocia rejestrowanego w pseudo-populacji. W obliczeniach stosowano losowanie proste bez zwracania. Do bezporedniej estymacji stopy bezrobocia wykorzystano estymator postaci:, (26) gdzie i to odpowiednio liczba osób bezrobotnych i liczba osób aktywnych zawodowo w wylosowanej próbie w kwartale t w domenie d. Oszacowanie wariancji tego estymatora, przy losowaniu prostym bez zwracania, jest dane wzorem:. (27)

Strukturalne modele szeregów czasowych w estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji... 419 Eksperyment przeprowadzono wedug nastpujcej procedury: 1. Dla kadego kwartau t z lat 2000 2009 (t = 1,..., 40) za pomoc niezalenego losowania prostego bez zwracania pobrano prób o rozmiarze 4000 7. 2. Na podstawie wylosowanej próby z wykorzystaniem estymatora bezporedniego danego wzorem (26) oszacowano stop bezrobocia dla 6 domen. W ten sposób otrzymano 6 szeregów czasowych (d = 1,..., 6) ocen estymatorów bezporednich. 3. Na podstawie szeregów (d = 1,..., 6) oszacowano hiperparametry (d = 1,..., 6) dynamicznego modelu liniowego (12) (23). 4. Nastpnie dla szeregu (d = 1,..., 6) za pomoc wygadzania oszacowano wektory parametrów stanów t (t = 1,..., 40) dynamicznego modelu liniowego. 5. Podstawiajc oszacowania parametrów stanów t do estymatora poredniego danego równaniem (24) otrzymano szeregi czasowe (d = 1,..., 6) ocen estymatorów porednich. Powysz procedur powtórzono 500 razy, w wyniku czego dla kadej domeny d (d = 1,..., 6) i dla kadego kwartau t (t = 1,..., 40) otrzymano po 500 ocen estymatorów bezporednich Y d,t oraz porednich (rys. 4). Na ich podstawie wyznaczono miary jakoci estymatorów: obcienie (B), odchylenie standardowe (S), pierwiastek bdu redniokwadratowego (RMSE) i redni bezwzgldny bd (MAE). Dla estymatora bezporedniego Y d,t obliczono je za pomoc wzorów:, (28), (29), (30), (31) gdzie Y d,t,i to ocena estymatora bezporedniego otrzymana w i-tej iteracji. Dla estymatorów porednich wzory s analogiczne. 7 Zaokrglona do tysicy przecitna wielko próby losowanej do BAEL z woj. wielkopolskiego

420 Kamil Wilak W celu porówna midzy domenami, interpretacji poddano stosunki tych miar do prawdziwej wartoci stopy bezrobocia:,,,.. 6. WYNIKI BADANIA Estymacja porednia cechuj si duym obcieniem, sigajcym nawet do 25% wartoci stopy bezrobocia w domenach mczyzn w wieku 15 24 lat i 45 64 lat oraz kobiet w wieku 15 24 lat i 45 59 lat (domeny 1, 3, 4 i 6) (por. rys 5 i 6). W tych domenach obcienie stanowi przecitnie okoo 7% wartoci stopy bezrobocia. Natomiast w przypadku domen mczyzn w wieku 25 44 lat oraz kobiet w wieku 25 44 lat (domeny 2 i 4) maksymalne obcienie wyników estymacji poredniej wynosi 15% wartoci stopy bezrobocia, a rednio stanowi okoo 4% (por. tab. 2 i 3). We wszystkich domenach estymacja porednia cechuje si mniejszym odchyleniem standardowym ni estymacja bezporednia, przecitnie od 1,73 razy w domenach 2, 6 do 1,9 razy w domenach 3 i 5 (por. rys. 7, tab. 4). Estymacja porednia w wikszoci przypadków cechuje si mniejszym bdem redniokwadratowym ni estymacja bezporednia (por. rys. 8). Odmienn sytuacj zaobserwowano w domenach mczyzn w wieku 15 24 lat i kobiet w wieku 15 24 lat (domeny 1 i 4) dla dwunastu i dziewiciu kwartaów, w domenach mczyzn w wieku 44 64 lat i kobiet w wieku 44 59 lat (domeny 3 i 6) dla piciu kwartaów, za w domenach mczyzn w wieku 25 44 lat i kobiet w wieku 25 44 lat (domeny 2 i 5) tylko dla trzech kwartaów. Przecitnie pierwiastek bdu redniokwadratowego w estymacji poredniej jest mniejszy ni w estymacji bezporedniej od 1,29 razy w domenie pierwszej do 1,59 razy w domenie pitej (por. tab. 5). W wikszoci przypadków estymacja porednia cechuje si mniejszym rednim bdem bezwzgldnym ni estymacja bezporednia (por. rys. 9). Wikszy redni bd bezwzgldny w estymacji poredniej w domenach mczyzn w wieku 15 24 lat i kobiet w wieku 15 24 lat (domeny 1 i 4) wystpuje odpowiednio w pitnastu i dziewiciu kwartaach, w domenach mczyzn w wieku 45 64 lat oraz kobiet w wieku 45 59 lat (domeny 3 i 6) w szeciu kwartaach, w domenach mczyzn w wieku 25 44 lat i kobiet w wieku 25 44 lat (domeny 2 i 5) w czterech i piciu kwartaach. Przecitny stosunek redniego bdu bezwzgldnego do prawdziwej stopy bezrobocia w estymacji bezporedniej wynosi od 9% w domenie pitej do 14% w domenach trzeciej i szóstej. Natomiast w estymacji poredniej stosunek ten wynosi od 6% w domenie pitej do 11% w domenach trzeciej i szóstej (por. tab. 6). redni bd bezwzgldny w estymacji poredniej jest mniejszy ni w estymacji bezporedniej przecitnie od 1,26 razy w domenie pierwszej do 1,57 razy w domenie pitej.

Strukturalne modele szeregów czasowych w estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji... 421 Podstawowe statystyki stosunku obcienia wyznaczonego na podstawie eksperymentu do prawdziwej stopy bezrobocia Tabela 2. Estymator Bezporedni Poredni Domena 1 M 15 24 2 M 25 44 3 M 45 64 4 K 15 24 5 K 25 44 6 K 45 59 1 M 15 24 2 M 25 44 3 M 45 64 4 K 15 24 5 K 25 44 6 K 45 59 Minimum -0,03-0,01-0,02-0,01-0,01-0,02-0,17-0,15-0,25-0,17-0,11-0,25 Kwartyl 1. 0,00 0,00-0,01 0,00 0,00 0,00-0,08-0,05-0,08-0,06-0,03-0,06 Mediana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,02 0,00-0,01 0,00-0,01-0,03 Kwartyl 3. 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,06 0,03 0,04 0,06 0,03 0,04 Maximum 0,01 0,01 0,03 0,01 0,01 0,02 0,23 0,09 0,16 0,25 0,12 0,20 rednia 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,01-0,01-0,02 0,00-0,01-0,01 Odch. stand. 0,01 0,00 0,01 0,01 0,01 0,01 0,09 0,05 0,09 0,09 0,05 0,09 ródo: opracowanie wasne.

422 Kamil Wilak Tabela 3. Podstawowe statystyki stosunku wartoci bezwzgldnej obcienia wyznaczonego na podstawie eksperymentu do prawdziwej stopy bezrobocia Estymator Bezporedni Poredni Domena 1 M 15 24 2 M 25 44 3 M 45 64 4 K 15 24 5 K 25 44 6 K 45 59 1 M 15 24 2 M 25 44 3 M 45 64 4 K 15 24 5 K 25 44 6 K 45 59 Minimum 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Kwartyl 1. 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,03 0,02 0,02 0,03 0,02 0,03 Mediana 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,01 0,06 0,04 0,06 0,06 0,03 0,06 Kwartyl 3. 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01 0,10 0,07 0,10 0,10 0,05 0,09 Maximum 0,03 0,01 0,03 0,01 0,01 0,02 0,23 0,15 0,25 0,25 0,12 0,25 rednia 0,01 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,07 0,04 0,07 0,07 0,04 0,07 Odch. stand. 0,01 0,00 0,01 0,00 0,00 0,01 0,05 0,03 0,06 0,05 0,03 0,05 ródo: opracowanie wasne.

Strukturalne modele szeregów czasowych w estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji... 423 Tabela 4. Podstawowe statystyki stosunku odchylenia standardowego wyznaczonego na podstawie eksperymentu do prawdziwej stopy bezrobocia Estymator Bezporedni Poredni Domena 1 M 15 24 2 M 25 44 3 M 45 64 4 K 15 24 5 K 25 44 6 K 45 59 1 M 15 24 2 M 25 44 3 M 45 64 4 K 15 24 5 K 25 44 6 K 45 59 Minimum 0,08 0,08 0,12 0,08 0,08 0,13 0,04 0,04 0,05 0,04 0,04 0,06 Kwartyl 1. 0,10 0,10 0,15 0,10 0,09 0,14 0,05 0,05 0,07 0,05 0,04 0,08 Mediana 0,11 0,11 0,16 0,11 0,10 0,16 0,07 0,07 0,08 0,06 0,05 0,09 Kwartyl 3. 0,17 0,15 0,20 0,17 0,13 0,19 0,10 0,09 0,12 0,09 0,08 0,13 Maximum 0,36 0,21 0,31 0,25 0,16 0,31 0,36 0,16 0,26 0,17 0,11 0,26 rednia 0,14 0,13 0,18 0,13 0,11 0,18 0,09 0,08 0,10 0,08 0,06 0,11 Odch. stand. 0,06 0,04 0,05 0,05 0,02 0,05 0,06 0,03 0,05 0,03 0,02 0,05 ródo: opracowanie wasne.

424 Kamil Wilak Podstawowe statystyki stosunku pierwiastka bdu redniokwadratowego wyznaczonego na podstawie eksperymentu do prawdziwej stopy bezrobocia Tabela 5. Estymator Bezporedni Poredni Domena 1 M 15 24 2 M 25 44 3 M 45 64 4 K 15 24 5 K 25 44 6 K 45 59 1 M 15 24 2 M 25 44 3 M 45 64 4 K 15 24 5 K 25 44 6 K 45 59 Minimum 0,08 0,08 0,13 0,08 0,08 0,13 0,05 0,05 0,06 0,05 0,04 0,07 Kwartyl 1. 0,10 0,10 0,15 0,10 0,09 0,14 0,08 0,06 0,08 0,07 0,05 0,09 Mediana 0,11 0,11 0,16 0,11 0,10 0,16 0,11 0,09 0,11 0,10 0,06 0,12 Kwartyl 3. 0,17 0,15 0,20 0,17 0,13 0,19 0,15 0,12 0,15 0,14 0,09 0,15 Maximum 0,36 0,21 0,31 0,25 0,16 0,31 0,43 0,18 0,30 0,30 0,15 0,32 rednia 0,14 0,13 0,18 0,13 0,11 0,18 0,12 0,09 0,13 0,11 0,07 0,13 Odch. stand. 0,06 0,04 0,05 0,05 0,02 0,05 0,07 0,04 0,06 0,05 0,03 0,06 ródo: opracowanie wasne.

Strukturalne modele szeregów czasowych w estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji... 425 Tabela 6. Podstawowe statystyki stosunku redniego bdu bezwzgldnego wyznaczonego na podstawie eksperymentu do prawdziwej stopy bezrobocia Estymator Bezporedni Poredni Domena 1 M 15 24 2 M 25 44 3 M 45 64 4 K 15 24 5 K 25 44 6 K 45 59 1 M 15 24 2 M 25 44 3 M 45 64 4 K 15 24 5 K 25 44 6 K 45 59 Minimum 0,07 0,06 0,10 0,06 0,06 0,10 0,04 0,04 0,05 0,04 0,03 0,06 Kwartyl 1. 0,08 0,08 0,12 0,08 0,07 0,11 0,06 0,05 0,07 0,06 0,04 0,08 Mediana 0,09 0,09 0,13 0,09 0,08 0,13 0,09 0,07 0,09 0,08 0,05 0,10 Kwartyl 3. 0,13 0,12 0,15 0,14 0,10 0,16 0,13 0,10 0,12 0,12 0,07 0,13 Maximum 0,29 0,17 0,25 0,20 0,13 0,25 0,36 0,15 0,25 0,26 0,13 0,27 rednia 0,12 0,10 0,14 0,11 0,09 0,14 0,10 0,08 0,11 0,09 0,06 0,11 Odch. stand. 0,05 0,03 0,04 0,04 0,02 0,04 0,06 0,03 0,05 0,05 0,02 0,05 ródo: opracowanie wasne.

426 Kamil Wilak Rysunek 4. Oceny estymatorów otrzymane w wyniku eksperymentu ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci. Rysunek 5. Stosunek obcienia wyznaczonego na podstawie eksperymentu do prawdziwej stopy bezrobocia ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci.

Strukturalne modele szeregów czasowych w estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji... 427 Rysunek 6. Stosunek wartoci bezwzgldnej obcienia wyznaczonego na podstawie eksperymentu do prawdziwej stopy bezrobocia ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci. Rysunek 7. Stosunek odchylenia standardowego wyznaczonego na podstawie eksperymentu do prawdziwej stopy bezrobocia ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci.

428 Kamil Wilak Rysunek 8. Stosunek pierwiastka bdu redniokwadratowego wyznaczonego na podstawie eksperymentu do prawdziwej stopy bezrobocia ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci. Rysunek 9. Stosunek redniego bdu bezwzgldnego wyznaczonego na podstawie eksperymentu do prawdziwej stopy bezrobocia ródo: opracowanie wasne na podstawie danych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci.

Strukturalne modele szeregów czasowych w estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji... 429 7. WNIOSKI I DALSZE KIERUNKI BADA W ogólnym przypadku estymacja porednia cechuje si mniejsz dokadnoci, ale wiksz precyzj ni estymacja bezporednia. W wikszoci kwartaów jako estymacji mierzona za pomoc bdu redniokwadratowego i redniego bdu bezwzgldnego jest wiksza w przypadku estymacji poredniej. Due obcienia estymatorów porednich w niektórych kwartaach spowodowane byy nie do koca dobrze dopasowanym modelem. Oczyszczona z trendu i sezonowoci stopa bezrobocia rejestrowanego bdca zmienn pomocnicz, w niektórych kwartaach przebiegaa znaczco odmiennie ni oczyszczona z trendu i sezonowoci stopa bezrobocia, co powodowao, e systematyczny skadnik regresji liniowej w tych kwartaach pogarsza dopasowanie modelu. Najmniejsze bdy estymacji poredniej mona zaobserwowa w domenach mczyzn w wieku 25 44 lat i kobiet w wieku 25 44 lat (domeny 2 i 5), gdzie zmienna pomocnicza bya najsilniej skorelowana z prawdziw stop bezrobocia. Za w domenach mczyzn 15 24 lat i kobiet w wieku 15 24 lat (domeny 1 i 4) zmienna pomocnicza jest najsabiej skorelowana z prawdziw stop bezrobocia, co przekada si na wiksze bdy estymacji poredniej. Oszacowania otrzymane metod zastosowan w niniejszym artykule charakteryzuj si niespójnoci, a mianowicie rednia waona oszacowa z poszczególnych domen nie jest równa oszacowaniu dla caego województwa. W celu otrzymania spójnych oszacowa w literaturze stosuje si techniki zwane benchmarkingiem. Zastosowanie benchmarkingu mona znale m.in. w pracy Pfeffermanna i in. (2005), Pfeffermanna, Tillera (2006). Jednym z dalszych kierunków bada autora jest zastosowanie tych technik w celu otrzymania spójnych oszacowa charakterystyk polskiego rynku pracy za pomoc estymacji poredniej. Uniwersytet Ekonomiczny w Poznaniu LITERATURA Brakel J., Krieg S., (2008), Estimation of the Monthly Unemployment Rate through Structural Time Series Modeling in a Rotating Panel Design, Statistics Netherlands, Hague. Brakel J., Krieg S., (2009), Structural Time Series Modeling of the Monthly Unemployment Rate in a Rotating Panel, Statistics Netherlands, Hague. Brakel J., Krieg S., (2010), Estimation of the Monthly Unemployment Rate for Six Domains through Structural Time Series Modeling with Cointegrated Trends, Statistics Netherlands, Hague. Domaski C., Pruska K., (2001), Metody statystyki maych obszarów, Wydawnictwo Uniwersytetu ódzkiego, ód. Durbin J., Koopman S. J., (2001), Time Series Analysis by State Space Methods, Oxford University Press, Oxford.

430 Kamil Wilak GUS (2014a), Aktywno ekonomiczna ludnoci Polski, IV kwarta 2013, Gówny Urzd Statystyczny, Warszawa. GUS (2014b), Bezrobocie rejestrowane, I IV kwarta 2013, Gówny Urzd Statystyczny, Warszawa. Goata E., (2004), Estymacja porednia bezrobocia na lokalnym rynku pracy, Prace habilitacyjne, Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego w Poznaniu, Pozna. Harvey A. C., (1989), Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter, Cambridge University Press, Cambridge. Kalman R. E., (1960), A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, Journal of Basic Engineering, 82 (Series D), 35 45. Petris G., Petrone S., Campagnoli P., (2007), Dynamic Linear Models with R, Springer, New York. Pfeffermann D., Tiller R., Brown S., (2005), Small Area Estimation with Stochastic Benchmark Constraints: Theory and Practical Application in US Labor Statistics, Statistical Ofce of the European Communities (Eurostat) Working papers and studies, Luxemburg. Pfeffermann D., Tiller R., (2006), Small Area Estimation with State Space Models Subject to Benchamrk Constraints, Journal of the American Statistical Association, 476 (101), 1387 1397. Rao J. N. K., (2003), Small Area Estimation, John Wiley & Sons, Hoboken. Wilak K., (2013), Wykorzystanie dynamicznych modeli liniowych w estymacji poredniej, Ekonometria, 2 (40), 126 138. STRUKTURALNE MODELE SZEREGÓW CZASOWYCH W ESTYMACJI STOPY BEZROBOCIA W DEZAGREGACJI NA WOJEWÓDZTWA, PE I WIEK Streszczenie Informacje publikowane przez Gówny Urzd Statystyczny na podstawie Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci cechuj si duym poziomem agregacji. Oszacowania w przekroju województw dla maych grup okrelonych przez cechy demograczne nie s publikowane ze wzgldu na zbyt ma precyzj estymacji bezporedniej, spowodowan ma liczebnoci próby. Sposobem na zwikszenie precyzji oszacowania jest zastosowanie estymacji poredniej. W literaturze popularne jest podejcie, w którym do estymacji poredniej charakterystyk rynku pracy stosuje si strukturalne modele szeregów czasowych. W niniejszym artykule zostaa podjta próba oceny wykorzystania tej metody w kontekcie zwikszenia precyzji estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji na województwa, pe i wiek. Ocena ta zostaa dokonana na podstawie eksperymentu Monte Carlo z wykorzystaniem danych jednostkowych z Badania Aktywnoci Ekonomicznej Ludnoci z lat 2000 2009. Wyniki tego badania pokazuj, e zastosowany estymator poredni w wikszoci przypadków cechuje si lepsz jakoci ni estymacja bezporednia. Sowa kluczowe: statystyka maych obszarów, estymacja porednia, dynamiczne modele liniowe, stopa bezrobocia

Strukturalne modele szeregów czasowych w estymacji stopy bezrobocia w dezagregacji... 431 STRUCTURAL TIME SERIES MODELS IN UNEMPLOYMENT RATE ESTIMATION IN DISAGGREGATION ON VOIVODESHIP, SEX AND AGE Abstract Central Statistical Ofce in Poland publishes information on labour market derived from Labour Force Survey at high level of aggregation. Estimates for small demographic domains on voivodeship level are not published due to insufcient precision of direct estimates, caused by small sample size. One of possible approaches to the problem is to apply small area estimation. Taking into account that LFS is panel research of households structural time series models can be used in order to borrow strength in time. The aim of the article is to evaluate this method in the context of unemployment rate estimation on voivodeship level including sex and age domains. Monte Carlo simulation study will be applied in order to assess results of estimation and compare to direct estimation. Data obtained from the Labour Force Survey in Poland between 2000 2009 will be used. Results of the study indicates that temporal small area estimation have better quality of estimates compared to direct estimation. Keywords: Small Area Estimation, direct estimation, dynamic linear models, unemployment rate