Funkcje trygonometryczne

Funkcje trygonometryczne Piotr Rzonsowski Teoria Definicja. Sinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przeciwprostokątnej sin α = b c. Cosinusem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie α do przeciwprostokątnej cos α = a c. Tangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α do przyprostokątnej leżącej przy kącie α tg α = b a. Cotangensem kąta ostrego α nazywamy stosunek przyprostokątnej leżącej przy kącie α do przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta α ctg α = a b c b sin α = b c tg α = b a α a cos α = a c ctg α = a b Przykład. blicz wartości funkcji sin, cos, tg, ctg, dla kąta α w trójkącie ABC. C c = 5 b = α A B a = 4 Korzystając ze wzorów dostajemy: sin α = b c = 5, cos α = a c = 4 5 tg α = b a = 4, ctg α = a b = 4

Definicja. Miara łukowa kąta środkowego w okręgu, to liczba równa stosunkowi długości łuku, na którym oparty jest ten kąt, do długości promienia okręgu r α r l miara łukowa kąta α wynosi l r. Kąt o mierze łukowej nazywamy radianem. radian (w skrócie rad), to miara kąta środkowego, który wycina z okręgu koła łuk o długości równej długości promienia okręgu. Zauważmy, że rad 5, oraz 0, 0 rad r rad r r Definicja. Liczba to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą niezależną od promienia okręgu. miara w stopniach 0 45 60 90 80 60 miara łukowa 6 4 Uwaga. Wybrane wartości funkcji trygonometrycznych. 0 6 4 sin α 0 cos α 0 tg α 0 brak ctg α brak 0 Uwaga. Poniżej podane są wartości liczby, jakie pojawiały się w pracach uczonych świata. Babilończycy (ok. 000 r. p.n.e.):

Egipcjanie (ok. 000 r. p.n.e.): ( ) 6 9, 6049... Archimedes (III w. p.n.e.):, 4, 555... hinduski matematyk Bhasakara (VII w. n.e.): 54 40, 46666... włoski matematyk Leonardo Fibonacci (XIII w.): 864 5, 4599 niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz (XVII w.): 4 = + 5 + 9 + Chiński matematyk Chang Hing (I w. n. e.): 4 45 Uwaga. Warto pamiętać, że miara łukowa małych kątów jest dobrym przybliżeniem wartości funkcji trygonometrycznych sin i tg, tzn. sin x x oraz tg x x dla dostatecznie małych x. Przykład. Zamień miarę stopniową na miarę łukową dla kąta 40. Zanim zamienimy żądany kąt na radiany zastanówmy się, jak możemy to zrobić dla dowolnego kąta α. W tym celu ułóżmy proporcję Z powyższej proporcji dostajemy równanie 80 α x x 80 = α Dzieląc przez 80 dostajemy wzór na zamianę stopni na radiany: x = α 80 Korzystając z powyższego wzoru dostajemy Zatem w radianach kąt jest równy 9. x = 40 80 = 9 Przykład. Zamień miarę łukową na miarę stopniową dla wartości 0. Korzystając ponownie z proporcji: i wyznaczając tym razem α dostajemy 80 α x Z powyższego wzoru dostajemy α = x 80. α = Zatem miara w stopniach kąta jest równa 8. 0 80 = 8 Definicja 4. Kąt skierowany jest to uporządkowana para półprostych o wspólnym początku. Pierwsza półprosta jest nazywana ramieniem początkowym, druga półprosta - ramieniem końcowym, wspólny początek półprostych nazywamy wierzchołkiem kąta.

ramię końcowe, B α ramię początkowe, A Kąt skierowany oznaczamy graficznie tak, jak to obrazuje rysunek (łuk kończy się strzałką, aby zaznaczyć ramię końcowe). Kąt skierowany oznaczamy następująco: AB. Mówimy, że dwa kąty skierowane α, β są równe gdy spełniony jest następujący warunek: każdy z tych kątów jest obrazem drugiego za pomocą pewnej translacji lub obrotu albo za pomocą złożenia tych dwóch przekształceń, przy czym w wyniku tych przekształceń ramię początkowe kąta β powinno się nałożyć na ramię początkowe kąta α, a ramię końcowe kąta β na ramię końcowe kąta α. Kątem skierowanym przeciwnym do kąta AB jest kąt BA i każdy kąt równy temu kątowi. Uwaga 4. Niech P = (x, y) będzie dowolnym punktem na płaszczyźnie kartezjańskiej. Wtedy mamy jednoznacznie wyznaczoną półprostą l o początku w środku układu współrzędnych oraz przechodzącą przez punkt P. Ponieważ półprosta l jest wyznaczona jednoznacznie, to również jest jednoznacznie wyznaczony kąt skierowany α pomiędzy półosią dodatnią osi X a półprostą l. Zauważmy, że miara kąta α nie zależy od wyboru punktu P na półprostej l i oczywiście należy do przedziału [0, ). P l α Definicja 5. Niech P = (x, y) będzie punktem, który odpowiada kątowi α z uwagi 4 oraz r = x + y (odległość punktu P od środka układu współrzędnych). Wtedy funkcje trygonometryczne sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta α definiujemy za pomocą następujących ilorazów: sin α = y r ; cos α = x r ; tg α = y x, x 0; ctg α = x, y 0. () y 4

W ten sposób zdefiniowaliśmy cztery funkcje trygonometryczne dla kątów skierowanych o mierze łukowej od 0 do rad, a więc funkcje, których argumentami są liczby rzeczywiste z przedziału [0, ]. Zauważmy, że funkcja tangens nie jest zdefiniowana dla x = 0, zatem funkcja ta nie jest zdefiniowana, gdy ramię końcowe kąta leży na osi Y, czyli dla kątów rad i rad. Natomiast cotangens nie jest określony dla y = 0, czyli gdy ramię końcowe leży na osi X, stąd dostajemy, że cotangens jest niezdefiniowany dla kątów 0 rad i rad. Przez kąt o mierze ujemnej rozumieć będziemy kąt, w którym ruch od ramienia początkowego do ramienia końcowego odbywa się w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, przy czym nadal ramię początkowe takiego kąta leży na dodatniej części osi X, a wierzchołek kąta pokrywa się z początkiem układu współrzędnych. W ten sposób poszerza się zakres rozpatrywanych (miar) kątów skierowanych, a więc zakres argumentów funkcji trygonometrycznych do przedziału [, ]. Możliwe wartości miary łukowej kątów od [, ] możemy dalej poszerzyć do zbioru R wszystkich liczb rzeczywistych, wykonując więcej niż jeden pełen obrót ramienia końcowego kąta w kierunku przeciwnym (dla kątów dodatnich) lub zgodnym (dla kątów ujemnych) do ruchu wskazówek zegara. Dla kąta o dowolnej mierze łukowej α R definiujemy funkcje trygonometryczne tak samo jak dla kąta od 0 do, tzn. wybieramy punkt P leżący na ramieniu końcowym kąta α, a następnie korzystamy ze wzorów (). Wykresy sinusa i cosinusa: y f (x) = sin x 6 4 x 5

y f (x) = cos x 6 4 Animacja rysująca wykresy funkcji sinus i cosinus(do działania animacji wymagany jest Adobe Reader): Uwaga 5. Z powyższej konstrukcji funkcji trygonometrycznej możemy określić następujące dziedziny i zbiory wartości x sin : R [, ], cos : R [, ], tg : R \ { + k} R, k Z, ctg : R \ {k} R, k Z. Uwaga 6. Zobaczmy, jakie są zależność między funkcjami trygonometrycznymi dla kąta α oraz α. Na początku zaznaczmy te kąty w układzie współrzędnych. P l α α s P Ponieważ każdy punkt na półprostych l i s wyznacza dokładnie ten sam kąt, dlatego przyjmijmy, że punkty P, P są oddalone od punktu o długość jednej jednostki. Możemy zauważyć wtedy, 6

że jeżeli punkt P ma współrzędne (x, y) to punkt P = (x, y). Korzystając z definicji funkcji trygonometrycznych dostajemy: sin(α) = y = y = sin( α), cos(α) = x = cos( α), tg(α) = y x = y x = tg( α), ctg(α) = x y = x y = ctg( α). Uwaga. Zastanówmy się w jaki sposób znając jedynie wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów z przedziału [0, ] można odczytywać wartości funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta. Zacznijmy od sporządzenia rysunku. P A = (0, y) (x, 0) β α Zauważmy, że w ten sposób powstał trójkąt prostokątny AP oraz mamy następującą zależność między kątami: α = β +. Możemy więc obliczyć wartość sin β w trójkącie prostokątnym, x tzn. sin β =. Następnie z własności wartości bezwzględnej i definicji funkcji trygonometrycznych dowolnego kąta x +y dostajemy: sin β = x x + y = x x + y = cos α

Zatem w celu obliczenia cosinusa kąta α z przedziału [, ] wystarczy obliczyć wartość sinusa dla kąta β = α. Dla przykładu obliczmy wartość cos 4, ponieważ 4 mieści się w powyższym przedziale, dlatego możemy skorzystać ze wzoru, który wyprowadziliśmy: cos 4 = cos( 4 + ) = sin 4 = Korzystając z podobnych argumentów możemy wyprowadzić wzory dla kątów z każdej ćwiartki. Nazywamy je wzorami redukcyjnymi I ćwiartka II ćwiartka III ćwiartka IV ćwiartka ϕ α + α α + α α + α α sin ϕ cos α cos α sin α sin α cos α cos α sin α cos ϕ sin α sin α cos α cos α sin α sin α cos α tg ϕ ctg α ctg α tg α tg α ctg α ctg α tg α ctg ϕ tg α tg α ctg α ctg α tg α tg α ctg α sin α + cos α = ; tg α = sin α cos α ; ctg α = cos α sin α ; tg α = ctg α ; tg α + = cos α ; ctg α + = ; sin sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β; sin(α β) = sin α cos β cos α sin β; cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β; cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β; sin α = sin α cos α; cos α = cos α sin α; tg α = tg α ; tg α sin α + sin β = sin α+β cos α β ; sin α sin β = cos α+β sin α β ; cos α + cos β = cos α+β cos α β ; cos α cos β = sin α+β sin α β ; sin α = cos α ; cos α = +cos α ; tg x = cos x sin x ; ctg x = +cos x sin x. Wybrane tożsamości trygonometryczne. 8

Zadania obowiązkowe Zadanie. Zamień miarę stopniową na łukową dla podanych kątów: a) 5, b) 0, Szkic rozwiązania. Do rozwiązania tego zadania wystarczy skorzystać ze wzoru x = α 80. Uwagi metodologiczne. Przed tym zadaniem na tablicy powinien zostać wyprowadzony powyższy wzór(wyprowadzenie jest w przykładzie ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru x = α 80. 5 dpowiedź: a) rad, b) rad Zadanie. Zamień miarę łukową na stopniową dla poniższych kątów: a) 6, b) 6, Szkic rozwiązania. Do rozwiązania tego zadania wystarczy skorzystać z wzoru α = x 80. Uwagi metodologiczne. Przed tym zadaniem na tablicy powinien zostać wyprowadzony powyższy wzór (Wyprowadzenie jest w przykładzie ). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru α = x 80. dpowiedź: a) 0, b, 5, Zadanie. Punkt (, 0) obracamy wokół początku układu współrzędnych o kąt α. Znajdź współrzędne punktu P, który otrzymamy, gdy kąt ten jest równy: a) 6, b) 4, Szkic rozwiązania. W każdym przypadku zaczynamy zadanie od zaznaczenia punktu (, 0) w układzie współrzędny, a następnie skonstruowaniu trójkąta prostokątnego którego przeciwprostokątna ma długość. a) P sin 0 0 cos 0 9

Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędne P = (cos 0, sin 0 ), stąd dostajemy P = (, ). b) P sin 45 45 cos 45 Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędne P = (cos 45, sin 45 ), stąd dostajemy P = (, ). Uwagi metodologiczne. Przy tym zadaniu warto wspomnieć o współrzędnych biegunowych. Wskazówka: Narysuj półprostą nachyloną do dodatniej półosi X pod kątem α, a następnie zaznacz na niej punkt w odległości od środka układu współrzędnych i skorzystaj z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. dpowiedź: a) P = (, ), b) P = (, ), Zadanie 4. Znajdź najmniejszy kąt dodatni o jaki należy obrócić punkt P = (, 0) wokół początku układu współrzędnych, aby otrzymać punkty: a) B = (, ), b) C = (, ). Szkic rozwiązania. a) Zaczynamy od zaznaczenia punktu w układzie współrzędnych: 0

α β B Teraz zauważmy, że α = + β. W celu obliczenia kąta β, możemy wykorzystać trójkąt prostokątny, którego wymiary są pokazane na rysunku. Mamy równość sin β =, a równość ta zachodzi dla kąta β = 4. Stąd dostajemy α = 4 = 5. b) Zaczynamy od zaznaczenia punktu w układzie współrzędnych: B β α Teraz zauważmy, że α = + β. W celu obliczenia kąta β, możemy wykorzystać trójkąt prostokątny, którego wymiary są pokazane na rysunku. Mamy równość sin β =, a równość ta zachodzi dla kąta β = 6. Stąd dostajemy α = 4 6 = 0. Wskazówka: Zaznacz punkt w układzie współrzędnych a następnie skorzystaj z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. dpowiedź: a) α = 4 = 5, b) α = 4 6 = 0.

Zadanie 5. Korzystając z poniższych informacji obliczyć wartości funkcji sin x, cos x, tg x, ctg x. a) cos x = 4 oraz x ( ; ), b) sin x = oraz x (, ). Wskazówka: Skorzystaj z jedynki trygonometrycznej i sprawdź jaki znak przymuje funkcja sin oraz cos w odpowiednich ćwiartkach. Szkic rozwiązania. a) Na początku skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej Stąd dostajemy sin x + cos x =. sin x + 9 6 = sin x = 6 sin x = 4 sin x = 4 Wiemy, że x (, ), więc sin x > 0. Zatem sin x = 4. Teraz możemy obliczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych: tg x = sin x cos x = 4 4 ctg x = cos x sin x = 4 4 = = b) Na początku skorzystajmy z jedynki trygonometrycznej Stąd dostajemy sin x + cos x =. 4 + cos x = cos x = 4 cos x = cos x = Wiemy, że x (, ), więc cos x > 0. Zatem cos x =. Teraz możemy obliczyć wartości pozostałych funkcji trygonometrycznych: tg x = sin x cos x = = ctg x = cos x sin x =, =.

Uwagi metodologiczne. dpowiedź: a) sin x = tg x =, ctg x = 4, cos x = 4, tg x =, ctg x =, b) sin x =, cos x =, Zadanie 6. Wartość podanego wyrażenia jest liczbą dodatnią czy ujemną? Rozwiązać jeden z poniższych przykładów. a) sin 54 cos 4 tg b) c) sin 48 ctg 909 + cos 69 d) cos( 5 ) sin 9 tg( 0 ) sin 04 cos 9 ctg( ) Wskazówka: Skorzystaj z okresowości funkcji trygonometrycznej (sin α, cos α-; tg α, ctg α- ), a następnie określ znak funkcji w przedziale [0, ) Szkic rozwiązania. Wiemy, że sinus jest dodatni w pierwszej i drugiej ćwiartce, a ujemny w trzeciej i czwartej; cosinus jest dodatni w pierwszej i czwartej ćwiartce, a ujemy w drugiej i trzeciej; tangens jest dodatni w pierwszej i trzeciej, a ujemny w drugiej i czwartej; cotangens jest dodatni w pierwszej i trzeciej, a ujemny w drugiej i czwartej. a) Ponieważ wiemy, że funkcje sin oraz cos posiadają okres 60, a funkcja tg posiada okres 80. Dlatego możemy zapisać: sin 54 cos 4 tg = sin 8 cos 6 tg( 5 ) Zatem dostajemy, że sin 8 < 0, cos 6 > 0, tg < 0. Ponieważ dwie wartości są ujemne, a jedna dodatnia dlatego ich iloczyn będzie dodatni. b) Ponieważ cos( 5 ) = cos 5 < 0 oraz sin 9 > 0, zatem ich iloraz również jest liczbą ujemną. c) Z okresowości funkcji trygonometrycznych dostajemy: sin 48 ctg 909 + cos 69 = sin 48 ctg 9 + cos 69 Stąd mamy sin 48 < 0, ctg 9 > 0, cos 69 < 0, zatem od dwóch wartości ujemnych(sin 48, cos 69 ) odejmujemy wartość dodatnią(ctg 909 ) dlatego wartość wyrażenia jest ujemna. d) Z okresowości funkcji trygonometrycznych dostajemy: tg( 0 ) sin 04 cos 9 ctg( ) = tg 59 sin 4 cos 9 ctg 89 Stąd mamy tg 59 > 0, sin 4 < 0, cos 9 < 0, ctg 89 > 0, zatem wartość tego wyrażenia jest dodatnia. dpowiedź: a) +, b) -, c) -, d) + Zadanie. bliczyć: a) sin 5 ; b) cos 05 ; c) tg 5. Wskazówka: Skorzystaj z wzorów na sin(α ± β) oraz cos(α ± β). Szkic rozwiązania.

a) sin 5 = sin(0 + 45 ) = sin 0 cos 45 + sin 45 cos 0 = b) cos 05 = cos(60 + 45 ) = cos 60 cos 45 sin 60 sin 45 = 4 ( ) c) tg 5 = tg(45 0 ) = sin(45 0 ) dpowiedź: a) 4 ( + ), b) 4 ( ), c) + = = 4 ( + ) cos(45 0 ) = sin 45 cos( 0 )+sin( 0 ) cos(45 ) cos 45 cos( 0 ) sin 45 sin( 0 ) = +( ) = ( ) +. + ( ) = Zadanie 8. Korzystając ze wzoru sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, uzasadnij wybraną tożsamość trygonometryczną: a) sin(α β) = sin α cos β cos α sin β; b) cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β; c) cos(α β) = cos α cos β + sin α sin β. Wskazówka: Skorzystaj z parzystości i nieparzystości funkcji sin, cos oraz wzorów redukcyjnych. Szkic rozwiązania. a) sin(α β) = sin(α + ( β)) = sin α cos( β) + cos α sin( β) = sin α cos β cos α sin β; b) cos(α + β) = sin( (α + β)) = sin(( α) + ( β)) = sin( α) cos( β) + cos( α) sin( β) = cos α cos β sin α sin β; c) cos(α β) = sin( (α β)) sin(( α) + β) = sin( α) cos β + cos( α) sin β = cos α cos β + sin α sin β. Zadanie 9. Sprawdzić tożsamości trygonometryczne: a) sin x tg, 5x + cos x = b) sin ( cos x x) + sin x = (cos x sin x) ;. Wskazówka: Skorzystaj z wzorów które znajdują się na końcu częśći z teorią. Szkic rozwiązania. a) sin x tg, 5x + cos x = sin,5x cos,5x sin,5x cos,5x sin, 5x = ; b) L = sin ( sin x sin x + sin x, P = (sin x cos x) = sin x cos x = sin x; dpowiedź: a) Tak, b) Nie + cos, 5x sin, 5x = sin, 5x + cos, 5x x) + cos x sin x = sin ( x) + sin x sin x = cos x + sin x sin x = Zadania dodatkowe Zadanie 0. Zamień miarę stopniową na łukową dla podanych kątów: a) 60, b) 0, c) 45, d) 5. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru x = α 80. Szkic rozwiązania. Do rozwiązania tego zadania wystarczy skorzystać ze wzoru x = α dpowiedź: a) rad, b) 6 rad, c) 4 rad, d) 6 Zadanie. Zamień miarę łukową na stopniową dla poniższych kątów: 4 80.

a) 5 6, b) 5 4, c) 0, d) 9. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru α = x 80. Szkic rozwiązania. Do rozwiązania tego zadania wystarczy skorzystać z wzoru α = x 80. dpowiedź: a) 50, b) 5,c) 99, d) 40 Zadanie. Punkt (, 0) obracamy wokół początku układu współrzędnych o kąt α. Znajdź współrzędne punktu P, który otrzymamy, gdy kąt ten jest równy: a), b) 5, 4 c), d). 6 Wskazówka: Narysuj półprostą nachyloną do półosi X pod kątem α, a następnie zaznacz na niej punkt w odległości od środka układu współrzędnych i skorzystaj z funkcji trygonometrycznych w trójkącie prostokątnym. Szkic rozwiązania. W każdym przypadku zaczynamy zadanie od zaznaczenia punktu P w układzie współrzędny, a następnie skonstruowaniu trójkąta prostokątnego którego przeciwprostokątna ma długość. a) P sin 0 cos 0 0 0 Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędne P = ( sin 0, cos 0 ), stąd dostajemy P = (, ). 5

b) cos 45 45 5 sin 45 P c) Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędne P = ( cos 45, sin 45 ), stąd dostajemy P = (, ). 0 cos 0 0 sin 0 P Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędne P = (cos 0, sin 0 ), stąd dostajemy P = (, ). 6

d) 0 P Z rysunku wynika, że punkt P ma współrzędną x = 0, a ponieważ punkt P był oddalony od początku układu o jedną jednostkę, to współrzędne punktu są równe P = (0, ). Uwagi metodologiczne. Przy tym zadaniu warto wspomnieć o współrzędnych biegunowych. dpowiedź: a) P = (, ), b) P = (, ), c) P = (, ), d)p = (0, ) Zadanie. Uzasadnić następujące tożsamości trygonometryczne: tg α+tg β a) tg(α + β) = b) tg(α β) = tg α tg β ; tg α tg β +tg α tg β ; c) tg α = tg α. tg α Wskazówka: a) Rozpisać prawą stronę(zamienić tg α na iloraz sin α/ cos α) a następnie skorzystać z wzorów na sin α ± β, cos α ± β. Dla podpunktów b i c skorzystaj z a. Szkic rozwiązania. a) sin α tg α+tg β tg α tg β = cos α + sin β cos β sin α sin β = ( sin α cos α + sin β cos β ) cos α cos β cos α cos β sin α sin β cos α cos β b) z podpunktu a) oraz własności tg; c) z podpunktu a). sin α cos β+sin β cos α = cos α cos β sin α sin β = sin(α+β) cos(α+β) = tg(α + β); Zadanie 4. Uzasadnić następujące tożsamości trygonometryczne: a) sin α + sin β = sin α+β cos α β ; b) sin α sin β = cos α+β sin α β ; c) cos α + cos β = cos α+β cos α β ; d) cos α cos β = sin α+β sin α β. Wskazówka: Skorzystaj z podstawienia α = u + v, β = u v. Szkic rozwiązania. a) Przyjmijmy oznaczenia α = u + v, β = u v, wtedy dostajemy: sin(u + v) + sin(u v) = sin u cos v + cos u sin v + sin u cos v cos u sin v = sin u cos v

Ponieważ u = α+β i v = α β dostajemy sin α + sin β = sin α + β cos α β b) Stosujemy zamianę cos α = sin( α) i cos β = sin( β) i korzystamy z podpunktu a); c) Analogicznie do podpunktu b). Zadanie 5. Uzasadnić następujące tożsamości trygonometryczne: tg x a) tg x+ctg x = sin x; sin x+cos x b) cos x tg x = sin x tg x cos x + ; c) sin(x + y) sin(x y) = sin x sin y; Szkic rozwiązania. a) b) c) tg x tg x+ctg x = sin x cos x sin x cos x + cos x sin x = sin x(sin x cos x) cos x(sin x+cos x) = sin x sin x + cos x tg x = sin x cos x tg x cos x + sin x cos x + cos x sin x tg x = cos x tg x cos x + tg x + tg x = sin x tg x cos x + = sin x cos x + sin x cos x = cos x cos x + = sin(x + y) sin(x + y) = (sin x cos y + sin y cos x)(sin x cos y sin y cos x) = sin x( sin y) sin y( sin x) = sin x sin x sin y sin y + sin x sin y = sin x sin y dpowiedź: a) Tak, b) Tak, c) Tak Zadanie 6. blicz: a) sin + sin + + sin 58 + sin 59 ; b) cos + cos + + cos 8 + cos 9. Wskazówka: a) Korzystamy z wzoru sin α + sin β = sin α+β cos α β i sumujemy skrajne elementy, b) Korzystamy z wzoru cos α + cos β = cos α+β cos α β i sumujemy skrajne elementy Szkic rozwiązania. a) Korzystamy z wzoru sin α + sin β = sin α+β cos α β i sumujemy skrajne elementy, b) Korzystamy z wzoru cos α + cos β = cos α+β cos α β i sumujemy skrajne elementy 8

dpowiedź: a) 0, b) 0 Zadania domowe Zadanie. Zamienić miarę stopniową na łukową dla kątów: a) 5, b) 00, c) 0, d). Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru x = α 80. dpowiedź: a) 6, b) 5, c) 68 9, d) 45 Zadanie 8. Zamienić miarę łukową na stopniową dla kątów: a) 4, b) 5, c) 0, d) 80. Wskazówka: Skorzystaj ze wzoru α = x 80. dpowiedź: a) 5, b) 4, c) 800, d) Zadanie 9. kreślić znak każdej z funkcji trygonometrycznych dla kątów: a) 0, b) 4. Wskazówka: Narysuj wykres funkcji sin x oraz cos x, a następnie skorzystaj z okresowości funkcji trygonometrycznych. dpowiedź: a) sin 0 0 0 < 0, cos < 0, tg > 0, ctg 0 > 0, b) sin( 4 ) > 0, cos( 4 ) < 0, tg( 4 ) < 0, ctg( 4 ) < 0. Zadanie 0. bliczyć, korzystając ze wzorów redukcyjnych oraz okresowości funkcji trygonometrycznych: a) sin, b) ctg 4, c) ctg( 40 ), d) cos. 4 6 dpowiedź: a), b), c), d) Zadanie. Podane liczby uporządkować rosnąco a) a = cos 0, b = cos, c = cos, d = cos ; b) a = ctg, b = ctg, c = ctg, d = ctg. 6 Wskazówka: Skorzystaj z monotoniczności funkcji trygonometrycznych w odpowiednich przedziałach. dpowiedź: a) d < c < b < a, b) c < d < b < a. Literatura 9

M. Kurczab, E. Kurczab, E.Świda, Matematyka Podręcznik do liceów i techników klasa, ficyna Edukacyjna, 00. M. Kurczab, E. Kurczab, E.Świda, Matematyka Zbiór zadań do liceów i techników klasa, ficyna Edukacyjna, 00. M. Braun, M. Dobrowolska, M. Karpiński, J. Lech, E. Zamościńska,Matematyka II Zbiór zadań dla liceum i technikum, Gdańskie Wydawnictwo światowe, 005. N. Dróbka, K. Szymański, Zbiór zadań z matematyki dla kl. I i II liceum ogólnokształcącego, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 994. 0