Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j } j J, {c k } k K ) f i - symbol funkcyjny P j - symbol relacji c k - symbol stałej Dodatkowo mamy funkcje: α : I N\{0} β : J N\{0} Funkcja f i jest α(i)-arna, a relacja P j jest β(i)-arna Sygnatura to L, α, β Teoria ciał uporządkowanych (ciało uporządkowane to np. R ) Jakie symbole używamy: Symbole funkcyjne (+), ( ) funkcje binarne, ( ), ( 1 ) funkcje unarne Symbol relacyjny relacja binarna Stałe 0,1 Czyli sygnatura języka ciał uporządkowanych jest następująca: ({+,,, 1 }, { }, {0, 1}) α(+) = 2, α( ) = 2, α( ) = 1, α( 1 ) = 1 β( ) = 2 Dodatkowo mamy symbole: 1

logiczne:,,,,,,, = pomocnicze: ), ( zmiennych: x 0, x 1, x 2,... 1.2 Termy języka L (o sygnaturze (L, α, β)) Definicja: Zbiór termów T L jest to najmniejszy zbiór spełniający warunki: c k T L, dla każdego k K x n T L, dla każdego n N jeśli α(i) = n i τ 1, τ 2,...τ n T L, to f i (τ 1, τ 2,...τ n ) T L y termów w języku teorii ciał uporządkowanych: 0, 1, x, y, z, +(x, y), (0, 0), (+(+(x, y), 1 (z))) Wersja normalna (notacja infiksowa): (x + y), (0 0), ((x + y) + z 1 ) 1.3 Formuły języka L Definicja: Zbiór formuł F L jest najmniejszym zbiorem spełniającym warunki: jeśli τ 1, τ 2 T L, to (τ 1 = τ 2 ) F L jeśli β(j) = n i τ 1, τ 2,..., τ n T L, to P j (τ 1, τ 2,...τ n ) F L jeśli ϕ, ψ F L, to ϕ, (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), ( x n )ϕ, ( x n )ϕ F L y formuł języka teorii ciał uporządkowanych: ( x)(x + y = 1 + 0) ( x)( y)(x + y y 1 ) 1.4 Model języka L Jest to M = (M, {fi M } i I, {Pj M } j J, {c M k } k K), gdzie: M to niepusty zbiór (M nazywamy uniwersum struktury) f M i : M α(i) M P j M β(j) c M k M 2

1.5 Interpretacja termów (bez zmiennych) w modelu M Konwencja: τ T L τ M M (τ M : interpretacja termu τ) (c k ) M = c M k (f i (τ 1, τ 2,..., τ n )) M = f M i (τ 1, τ 2,..., τ n ) τ = (+(1, 1), 1), struktura R = (R,...) τ R = ((1 + 1) R 1) R = 2 1 = 2 CEL: mając ϕ F L pokazać M = ϕ Załóżmy, że ϕ jest zdaniem, tzn. w ϕ nie wystepują zmienne wolne. W formułach ( x)ψ, ( x)ψ zmienna x występująca w ψ jest związana. ( y)(( x)(x y) x = y) W formule x=y w powyższej formule, x jest wolny Rozszerzamy język L do L(M) W L(M) mamy dodatkowo stałe c a, dla a M Owe stałe interpretujemy naturalnie, tzn. c M a = a Definicja: (M = ϕ dla zdań ϕ w języku L(M)) M = τ 1 = τ 2 wtedy i tylko wtedy, gdy τ M 1 = τ M 2 M = P j (τ 1, τ 2,...τ n ) wtedy i tylko wtedy, gdy (τ M 1, τ M 2,..., τ M n ) P M j M = ϕ ψ wtedy i tylko wtedy, gdy M = ϕ lub M = ψ M = ϕ wtedy i tylko wtedy, gdy nieprawda, że M = ϕ M = ( x)ϕ(x) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje a M takie, że M = ϕ(c a ) (w ϕ(x) mogą występować zmienne wolne, ϕ(c a ) to formuła ϕ(x) po zastąpieniu wszystkich wystąpień x przez c a ) M = ( x)ϕ(x) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego a M M = ϕ(c a ) 1.6 Spełnianie formuł Niech ϕ = ϕ(x 1,..., x n ) będzie formułą języka L, w której występują zmienne wolne x 1,..., x n Domknięcie uniwersalne tej formuły to: ϕ = ( x 1 )( x 2 )...( x n )ϕ(x 1, x 2,..., x n ) 3

Definiujemy: M = ϕ, wtedy i tylko wtedy, gdy M = ϕ ϕ = ( x)(x 0 ( y)(y y)) R = ϕ, bo jeśli a 0, to istnieje b = a, takie, że b b = a Ale Q = ϕ, bo nie istnieje b Q, takie że b b = 2 1.7 Teoria Definicja: Ustalmy język L. Teorią nazywamy zbiór T F L Definicja: M jest modelem teorii T, jeśli ( ϕ T ) M = ϕ (Piszemy w skrócie M = T ) Niech L będzie językiem teorii grup, tzn. jego sygnatura L = ({, 1 },, e) jest binarna, 1 jest unarna GT = {(x y) z = x (y z), x x 1 = x 1 x = e, x e = e x = x} Jeśli M = GT, to M jest grupą. Wiemy, że grupy istnieją, np. (R, {+, },, 0), (S n, {, 1 },, {id}) 1.8 Dowodzenie w teorii T Co to znaczy, że T = ϕ? (czytamy: teoria T dowodzi ϕ) Istnieje dowód, czyli ciąg formuł ϕ 1,..., ϕ n F L ϕ i T (ϕ i jest aksjomatem) lub ϕ i jest tautologią Klasycznego Rachunku Logicznego, np. lub ϕ i = ( x)(γ(x) δ(x)) ( x)(γ(x)) ( x)(δ(x)) ϕ i powstaje z ϕ 1, ϕ 2,..., ϕ i 1 przy pomocy reguł dowodzenia Wyjaśnienie ψ F L jest tautologią KRL dla dowolnego L-modelu M, mamy M = ψ 4

1.9 Reguły dowodzenia α 1, α 2,..., α k oznacza, że z przesłanek α 1,..., α k można wnioskować α α Poprawna reguła dowodzenia ma własność: dla dowolnego modelu M: jeśli M = α 1, M = α 2,..., M = α k, to M = α Wystarczą dwie reguły dowodzenia: Modus Ponens: α, α β β Zasada generalizacji: ϕ ( x)ϕ 1.10 Sprzeczność, niesprzeczność, zupełność Definicja: Teoria T jest sprzeczna jeśli istnieje ϕ F L, dla której T = ϕ i T = ϕ Uwaga: Każdy program wyborczy jest sprzeczny. Dobry program wyborczy to taki, którego dowód sprzeczności jest długi i nieoczywisty. Definicja: Teoria T jest niesprzeczna T nie jest teorią sprzeczną. Twierdzenie Teoria T jest niesprzeczna ( T 0 T )(T 0 skończona T 0 niesprzeczna) oczywiste niewprost Załóżmy, że T sprzeczna. Wtedy istnieje ϕ, takie że T = ϕ i T = ϕ. W dowodach wykorzystujemy skończony zbiór aksjomatów T 0, zatem T 0 = ϕ i T 0 = ϕ Twierdzenie (Gödel) T jest niesprzeczna T ma model (( M)(M = T )) Komentarz: Aby pokazać, zauważmy, że T = ϕ implikuje M = ϕ Wniosek: Jeśli dowolny skończony T 0 T ma model, to T niesprzeczna. Definicja: Teoria T jest zupełna (T F L ), jeśli dla każdego ϕ F L : T = ϕ lub T = ϕ Uwaga: Jeśli T nie jest zupełna, to istnieje ϕ, dla którego: (T = ϕ) (T = ϕ) 5

Mówimy wtedy, że ϕ jest niezalezne od T Fakt: Jeśli T = ϕ to T { ϕ} jest niesprzeczna. Oczywiście, jeśli T { ϕ} jest niesprzeczna, to T = ϕ Wniosek: Aby pokazać, że T nie jest zupełna wystarczy znaleźć ϕ F L, takie, że T {ϕ} jest niesprzeczna i T { ϕ} niesprzeczna. : CH jest niezależna od ZFC. 2: GT jest niesprzeczna i nie jest zupełna Niech ϕ = jest n!+1 elementów ϕ n = ( x 1 )( x 2 )...( x n! )( x n!+1 )( i j x i x j ) R = ϕ, S n = ϕ 3: Rozważmy teorię GT (teoria nieskończonych grup) GT = GT {ϕ n : n N}, gdzie ϕ n zdefiniowana jak w poprzednim przykładzie. GT jest niesprzeczna i nie jest zupełna: Niech ψ = ( x, y)(x y = y x) R = ψ, S = ψ (S - grupa permutacji liczb naturalnych) Dowód dla S : Używając twierdzenia Gódla wystarczy stwierdzić, że S n = ψ, dla n 3. Zatem GT { ψ} jest niesprzeczna 1.11 Teoria modelu, podstruktury Definicja: Niech M będzie modelem dla języka L (L strukturą). Teorią modelu M nazywamy zbiór Th(M) = {ϕ F L : M = ϕ} Fakt: Th(M) jest niesprzeczną, zupełną teorią. M = Th(M), więc Th(M) jest teorią niesprzeczną. Weźmy dowolne ϕ F L Załóżmy, że ϕ / Th(M) (w przeciwnym wypadku Th(M) = ϕ) Wtedy nieprawda, że M = ϕ. Z definicji spełniania wtedy M = ϕ Definicja: Niech M, N będą L strukturami 1. M jest izomorficzne z N (M = N) jeśli istnieje izomorfizm ϕ : M N, taki że: ϕ jest bijekcją 6

ϕ zachowuje strukturę, tzn. ( i)( a 1, a 2,..., a n, b M)(f M i (a 1, a 2,..., a n ) = b f N i (ϕ(a 1 ), ϕ(a 2 ),..., ϕ(a n )) = ϕ(b)) ( j)( a 1, a 2,..., a n )(P M j (a 1, a 2,..., a n ) P N j (ϕ(a 1 ), ϕ(a 2 ),..., ϕ(a n ))) ( k)(ϕ(c M k ) = c N k ) 2. M jest elementarnie równoważne N, jeśli Th(M) = Th(N) Fakt: Jeśli M = N to M N 1.12 Elementarne podstruktury Definicja: M N (M jest elementarną podstrukturą (podmodelem) N) oznacza, że M N oraz dla dowolnego ϕ(x 1,..., x n ) F L oraz a 1,...a n M mamy M = ϕ(c a1,..., c an ) N = ϕ(c a1,..., c an ) Fakt: Jeśli M N to M N Weźmy dowolne zdanie ϕ F L. Wtedy z definicji elementarnej podstruktury: M = ϕ N = ϕ, czyli ϕ Th(M) ϕ Th(N) Zatem Th(M) = Th(N), czyli M N Twierdzenie (test Tarskiego-Vaughta) Niech M będzie L-strukturą oraz A M. Wtedy A jest uniwersum elementarnej podstruktury M wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej formuły ϕ(x 1, y 1,..., y n ) F L oraz elementów a 1,..., a n A: M = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) istnieje a A, że M = ϕ(c a, c a1,..., c an ) Weźmy dowolne ϕ F L, a 1,..., a n A M = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) (z elementarności) A = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) (z definicji spełniania) istnieje a A A = ϕ(c a, c a1,..., c an ) (z elementarności) istnieje a A M = ϕ(c a, c a1,..., c an ) A jest uniwersum podstruktury 1. Relacje P j - relacja β(j)-arna P A j = P M j A β(j) 2. Funkcje Trzeba sprawdzić, że fi M A α(i) : A α(i) A Niech a 1,..., a n A Wtedy M = ( x)(x = f i (c a1,..., c an )) Z założenia, istnieje a A, M = (c a = f i (c a1,..., c an )) A zatem fi M(c a 1,..., c an ) = a 7

3. Stałe M = ( x)(c k = x) Z założenia, istnieje a A M = (c a = c k ), co oznacza, że a = c M k Pokażemy, że A M (dowód przez indukcję względem skomplikowania formuły ψ) 1. ψ formuła atomowa A = ψ M = ψ (wynika z A M) 2. ψ = ϕ 1 ϕ 2 A = ϕ 1 ϕ 2 (z założenia indukcyjnego) M = ϕ 1 lub M = ϕ 2 M = ϕ 1 ϕ 2 3. ψ = ϕ itp. analogicznie... 4. ψ = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ), a 1,..., a n A M = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) (z założenia) istnieje a A M = ϕ(c a, c a1,..., c an ) istnieje a A A = ϕ(c a, c a1,..., c an ) A = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) Twierdzenie: (dolne Löwenheima Skolema) Niech M będzie L-strukturą, L przeliczalny. Niech A M, A przeliczalny. Wtedy istnieje M M, taki, że A M Niech A 0 = A Niech Φ 0 = {ϕ(x, c a1,..., c an ) : M = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an )} (ϕ(x, c a1,..., c an ) F L {ca:a A 0}) Φ 0 ℵ 0 Niech a ϕ M, że M = ϕ(c aϕ, c a1,..., c an ), dla ϕ Φ 0 A 1 = {a ϕ : ϕ Φ 0 }, A 1 ℵ 0 Φ 1 = {ϕ(x, c a1,..., c an ) : M = ( x)ϕ(x, c a1,..., c an ) (ϕ(x, c a1,..., c an ) F L {ca:a A 1}) Kontynuujemy, kładziemy M = n N A n M jest przeliczalny, A M M spełnia test Tarskiego-Vaughta! Twierdzenie: (górne Löwenheima Skolema) Niech M będzie L-strukturą. Niech κ > M, M nieskończony. Wtedy istnieje N M, N κ Niech T = Th(M, {c a, a M}) (teoria modelu M w języku wzbogaconym o stałe c a (dla a M)) Wzbogaćmy język o kolejne dodatkowe stałe : {c α : α κ} Niech T = T {c α c β : α β} 8

T jest niesprzeczny, bo dowolny skończony fragment T 0 T ma model. W M interpretujemy stałe c α (występujące w T 0 ), tak aby były parami różne. Z twierdzenia Gödla istnieje N = T, N κ, bo N {c N α N istnieje izomorficzna kopia modelu M M = {c N α : α M} (M to zielony model M) : α κ} W Fakt: DLO 0 jest zupełna (teoria gęstych liniowych porządków bez końców) (lista 9) Wiemy, że jeśli M = DLO 0 i N = DLO 0 oraz M = N = ℵ 0, to M = N Przypuśćmy, że DLO 0 nie jest zupełna. Wtedy istnieje ϕ, takie że T = DLO 0 {ϕ} i S = DLO 0 { ϕ} są niesprzeczne. Niech M = S, N = T Z dolnego twierdzenia Löwenheima Skolema istnieją przeliczalne M, N, że M M, N N Wtedy M = N. Zatem Th(M ) = Th(N ). Ale ϕ Th(M ), a ϕ Th(N ) co jest sprzecznością z definicją teorii modelu. 9